/export/starexec/sandbox/solver/bin/starexec_run_default /export/starexec/sandbox/benchmark/theBenchmark.xml /export/starexec/sandbox/output/output_files -------------------------------------------------------------------------------- YES Problem 1: (VAR k m n x) (RULES eq(0,0) -> true eq(0,s(m)) -> false eq(s(n),0) -> false eq(s(n),s(m)) -> eq(n,m) if_min(false,cons(n,cons(m,x))) -> min(cons(m,x)) if_min(true,cons(n,cons(m,x))) -> min(cons(n,x)) if_replace(false,n,m,cons(k,x)) -> cons(k,replace(n,m,x)) if_replace(true,n,m,cons(k,x)) -> cons(m,x) le(0,m) -> true le(s(n),0) -> false le(s(n),s(m)) -> le(n,m) min(cons(0,nil)) -> 0 min(cons(s(n),nil)) -> s(n) min(cons(n,cons(m,x))) -> if_min(le(n,m),cons(n,cons(m,x))) replace(n,m,cons(k,x)) -> if_replace(eq(n,k),n,m,cons(k,x)) replace(n,m,nil) -> nil sort(cons(n,x)) -> cons(min(cons(n,x)),sort(replace(min(cons(n,x)),n,x))) sort(nil) -> nil ) Problem 1: Innermost Equivalent Processor: -> Rules: eq(0,0) -> true eq(0,s(m)) -> false eq(s(n),0) -> false eq(s(n),s(m)) -> eq(n,m) if_min(false,cons(n,cons(m,x))) -> min(cons(m,x)) if_min(true,cons(n,cons(m,x))) -> min(cons(n,x)) if_replace(false,n,m,cons(k,x)) -> cons(k,replace(n,m,x)) if_replace(true,n,m,cons(k,x)) -> cons(m,x) le(0,m) -> true le(s(n),0) -> false le(s(n),s(m)) -> le(n,m) min(cons(0,nil)) -> 0 min(cons(s(n),nil)) -> s(n) min(cons(n,cons(m,x))) -> if_min(le(n,m),cons(n,cons(m,x))) replace(n,m,cons(k,x)) -> if_replace(eq(n,k),n,m,cons(k,x)) replace(n,m,nil) -> nil sort(cons(n,x)) -> cons(min(cons(n,x)),sort(replace(min(cons(n,x)),n,x))) sort(nil) -> nil -> The term rewriting system is non-overlaping or locally confluent overlay system. Therefore, innermost termination implies termination. Problem 1: Dependency Pairs Processor: -> Pairs: EQ(s(n),s(m)) -> EQ(n,m) IF_MIN(false,cons(n,cons(m,x))) -> MIN(cons(m,x)) IF_MIN(true,cons(n,cons(m,x))) -> MIN(cons(n,x)) IF_REPLACE(false,n,m,cons(k,x)) -> REPLACE(n,m,x) LE(s(n),s(m)) -> LE(n,m) MIN(cons(n,cons(m,x))) -> IF_MIN(le(n,m),cons(n,cons(m,x))) MIN(cons(n,cons(m,x))) -> LE(n,m) REPLACE(n,m,cons(k,x)) -> EQ(n,k) REPLACE(n,m,cons(k,x)) -> IF_REPLACE(eq(n,k),n,m,cons(k,x)) SORT(cons(n,x)) -> MIN(cons(n,x)) SORT(cons(n,x)) -> REPLACE(min(cons(n,x)),n,x) SORT(cons(n,x)) -> SORT(replace(min(cons(n,x)),n,x)) -> Rules: eq(0,0) -> true eq(0,s(m)) -> false eq(s(n),0) -> false eq(s(n),s(m)) -> eq(n,m) if_min(false,cons(n,cons(m,x))) -> min(cons(m,x)) if_min(true,cons(n,cons(m,x))) -> min(cons(n,x)) if_replace(false,n,m,cons(k,x)) -> cons(k,replace(n,m,x)) if_replace(true,n,m,cons(k,x)) -> cons(m,x) le(0,m) -> true le(s(n),0) -> false le(s(n),s(m)) -> le(n,m) min(cons(0,nil)) -> 0 min(cons(s(n),nil)) -> s(n) min(cons(n,cons(m,x))) -> if_min(le(n,m),cons(n,cons(m,x))) replace(n,m,cons(k,x)) -> if_replace(eq(n,k),n,m,cons(k,x)) replace(n,m,nil) -> nil sort(cons(n,x)) -> cons(min(cons(n,x)),sort(replace(min(cons(n,x)),n,x))) sort(nil) -> nil Problem 1: SCC Processor: -> Pairs: EQ(s(n),s(m)) -> EQ(n,m) IF_MIN(false,cons(n,cons(m,x))) -> MIN(cons(m,x)) IF_MIN(true,cons(n,cons(m,x))) -> MIN(cons(n,x)) IF_REPLACE(false,n,m,cons(k,x)) -> REPLACE(n,m,x) LE(s(n),s(m)) -> LE(n,m) MIN(cons(n,cons(m,x))) -> IF_MIN(le(n,m),cons(n,cons(m,x))) MIN(cons(n,cons(m,x))) -> LE(n,m) REPLACE(n,m,cons(k,x)) -> EQ(n,k) REPLACE(n,m,cons(k,x)) -> IF_REPLACE(eq(n,k),n,m,cons(k,x)) SORT(cons(n,x)) -> MIN(cons(n,x)) SORT(cons(n,x)) -> REPLACE(min(cons(n,x)),n,x) SORT(cons(n,x)) -> SORT(replace(min(cons(n,x)),n,x)) -> Rules: eq(0,0) -> true eq(0,s(m)) -> false eq(s(n),0) -> false eq(s(n),s(m)) -> eq(n,m) if_min(false,cons(n,cons(m,x))) -> min(cons(m,x)) if_min(true,cons(n,cons(m,x))) -> min(cons(n,x)) if_replace(false,n,m,cons(k,x)) -> cons(k,replace(n,m,x)) if_replace(true,n,m,cons(k,x)) -> cons(m,x) le(0,m) -> true le(s(n),0) -> false le(s(n),s(m)) -> le(n,m) min(cons(0,nil)) -> 0 min(cons(s(n),nil)) -> s(n) min(cons(n,cons(m,x))) -> if_min(le(n,m),cons(n,cons(m,x))) replace(n,m,cons(k,x)) -> if_replace(eq(n,k),n,m,cons(k,x)) replace(n,m,nil) -> nil sort(cons(n,x)) -> cons(min(cons(n,x)),sort(replace(min(cons(n,x)),n,x))) sort(nil) -> nil ->Strongly Connected Components: ->->Cycle: ->->-> Pairs: LE(s(n),s(m)) -> LE(n,m) ->->-> Rules: eq(0,0) -> true eq(0,s(m)) -> false eq(s(n),0) -> false eq(s(n),s(m)) -> eq(n,m) if_min(false,cons(n,cons(m,x))) -> min(cons(m,x)) if_min(true,cons(n,cons(m,x))) -> min(cons(n,x)) if_replace(false,n,m,cons(k,x)) -> cons(k,replace(n,m,x)) if_replace(true,n,m,cons(k,x)) -> cons(m,x) le(0,m) -> true le(s(n),0) -> false le(s(n),s(m)) -> le(n,m) min(cons(0,nil)) -> 0 min(cons(s(n),nil)) -> s(n) min(cons(n,cons(m,x))) -> if_min(le(n,m),cons(n,cons(m,x))) replace(n,m,cons(k,x)) -> if_replace(eq(n,k),n,m,cons(k,x)) replace(n,m,nil) -> nil sort(cons(n,x)) -> cons(min(cons(n,x)),sort(replace(min(cons(n,x)),n,x))) sort(nil) -> nil ->->Cycle: ->->-> Pairs: IF_MIN(false,cons(n,cons(m,x))) -> MIN(cons(m,x)) IF_MIN(true,cons(n,cons(m,x))) -> MIN(cons(n,x)) MIN(cons(n,cons(m,x))) -> IF_MIN(le(n,m),cons(n,cons(m,x))) ->->-> Rules: eq(0,0) -> true eq(0,s(m)) -> false eq(s(n),0) -> false eq(s(n),s(m)) -> eq(n,m) if_min(false,cons(n,cons(m,x))) -> min(cons(m,x)) if_min(true,cons(n,cons(m,x))) -> min(cons(n,x)) if_replace(false,n,m,cons(k,x)) -> cons(k,replace(n,m,x)) if_replace(true,n,m,cons(k,x)) -> cons(m,x) le(0,m) -> true le(s(n),0) -> false le(s(n),s(m)) -> le(n,m) min(cons(0,nil)) -> 0 min(cons(s(n),nil)) -> s(n) min(cons(n,cons(m,x))) -> if_min(le(n,m),cons(n,cons(m,x))) replace(n,m,cons(k,x)) -> if_replace(eq(n,k),n,m,cons(k,x)) replace(n,m,nil) -> nil sort(cons(n,x)) -> cons(min(cons(n,x)),sort(replace(min(cons(n,x)),n,x))) sort(nil) -> nil ->->Cycle: ->->-> Pairs: EQ(s(n),s(m)) -> EQ(n,m) ->->-> Rules: eq(0,0) -> true eq(0,s(m)) -> false eq(s(n),0) -> false eq(s(n),s(m)) -> eq(n,m) if_min(false,cons(n,cons(m,x))) -> min(cons(m,x)) if_min(true,cons(n,cons(m,x))) -> min(cons(n,x)) if_replace(false,n,m,cons(k,x)) -> cons(k,replace(n,m,x)) if_replace(true,n,m,cons(k,x)) -> cons(m,x) le(0,m) -> true le(s(n),0) -> false le(s(n),s(m)) -> le(n,m) min(cons(0,nil)) -> 0 min(cons(s(n),nil)) -> s(n) min(cons(n,cons(m,x))) -> if_min(le(n,m),cons(n,cons(m,x))) replace(n,m,cons(k,x)) -> if_replace(eq(n,k),n,m,cons(k,x)) replace(n,m,nil) -> nil sort(cons(n,x)) -> cons(min(cons(n,x)),sort(replace(min(cons(n,x)),n,x))) sort(nil) -> nil ->->Cycle: ->->-> Pairs: IF_REPLACE(false,n,m,cons(k,x)) -> REPLACE(n,m,x) REPLACE(n,m,cons(k,x)) -> IF_REPLACE(eq(n,k),n,m,cons(k,x)) ->->-> Rules: eq(0,0) -> true eq(0,s(m)) -> false eq(s(n),0) -> false eq(s(n),s(m)) -> eq(n,m) if_min(false,cons(n,cons(m,x))) -> min(cons(m,x)) if_min(true,cons(n,cons(m,x))) -> min(cons(n,x)) if_replace(false,n,m,cons(k,x)) -> cons(k,replace(n,m,x)) if_replace(true,n,m,cons(k,x)) -> cons(m,x) le(0,m) -> true le(s(n),0) -> false le(s(n),s(m)) -> le(n,m) min(cons(0,nil)) -> 0 min(cons(s(n),nil)) -> s(n) min(cons(n,cons(m,x))) -> if_min(le(n,m),cons(n,cons(m,x))) replace(n,m,cons(k,x)) -> if_replace(eq(n,k),n,m,cons(k,x)) replace(n,m,nil) -> nil sort(cons(n,x)) -> cons(min(cons(n,x)),sort(replace(min(cons(n,x)),n,x))) sort(nil) -> nil ->->Cycle: ->->-> Pairs: SORT(cons(n,x)) -> SORT(replace(min(cons(n,x)),n,x)) ->->-> Rules: eq(0,0) -> true eq(0,s(m)) -> false eq(s(n),0) -> false eq(s(n),s(m)) -> eq(n,m) if_min(false,cons(n,cons(m,x))) -> min(cons(m,x)) if_min(true,cons(n,cons(m,x))) -> min(cons(n,x)) if_replace(false,n,m,cons(k,x)) -> cons(k,replace(n,m,x)) if_replace(true,n,m,cons(k,x)) -> cons(m,x) le(0,m) -> true le(s(n),0) -> false le(s(n),s(m)) -> le(n,m) min(cons(0,nil)) -> 0 min(cons(s(n),nil)) -> s(n) min(cons(n,cons(m,x))) -> if_min(le(n,m),cons(n,cons(m,x))) replace(n,m,cons(k,x)) -> if_replace(eq(n,k),n,m,cons(k,x)) replace(n,m,nil) -> nil sort(cons(n,x)) -> cons(min(cons(n,x)),sort(replace(min(cons(n,x)),n,x))) sort(nil) -> nil The problem is decomposed in 5 subproblems. Problem 1.1: Subterm Processor: -> Pairs: LE(s(n),s(m)) -> LE(n,m) -> Rules: eq(0,0) -> true eq(0,s(m)) -> false eq(s(n),0) -> false eq(s(n),s(m)) -> eq(n,m) if_min(false,cons(n,cons(m,x))) -> min(cons(m,x)) if_min(true,cons(n,cons(m,x))) -> min(cons(n,x)) if_replace(false,n,m,cons(k,x)) -> cons(k,replace(n,m,x)) if_replace(true,n,m,cons(k,x)) -> cons(m,x) le(0,m) -> true le(s(n),0) -> false le(s(n),s(m)) -> le(n,m) min(cons(0,nil)) -> 0 min(cons(s(n),nil)) -> s(n) min(cons(n,cons(m,x))) -> if_min(le(n,m),cons(n,cons(m,x))) replace(n,m,cons(k,x)) -> if_replace(eq(n,k),n,m,cons(k,x)) replace(n,m,nil) -> nil sort(cons(n,x)) -> cons(min(cons(n,x)),sort(replace(min(cons(n,x)),n,x))) sort(nil) -> nil ->Projection: pi(LE) = 1 Problem 1.1: SCC Processor: -> Pairs: Empty -> Rules: eq(0,0) -> true eq(0,s(m)) -> false eq(s(n),0) -> false eq(s(n),s(m)) -> eq(n,m) if_min(false,cons(n,cons(m,x))) -> min(cons(m,x)) if_min(true,cons(n,cons(m,x))) -> min(cons(n,x)) if_replace(false,n,m,cons(k,x)) -> cons(k,replace(n,m,x)) if_replace(true,n,m,cons(k,x)) -> cons(m,x) le(0,m) -> true le(s(n),0) -> false le(s(n),s(m)) -> le(n,m) min(cons(0,nil)) -> 0 min(cons(s(n),nil)) -> s(n) min(cons(n,cons(m,x))) -> if_min(le(n,m),cons(n,cons(m,x))) replace(n,m,cons(k,x)) -> if_replace(eq(n,k),n,m,cons(k,x)) replace(n,m,nil) -> nil sort(cons(n,x)) -> cons(min(cons(n,x)),sort(replace(min(cons(n,x)),n,x))) sort(nil) -> nil ->Strongly Connected Components: There is no strongly connected component The problem is finite. Problem 1.2: Reduction Pairs Processor: -> Pairs: IF_MIN(false,cons(n,cons(m,x))) -> MIN(cons(m,x)) IF_MIN(true,cons(n,cons(m,x))) -> MIN(cons(n,x)) MIN(cons(n,cons(m,x))) -> IF_MIN(le(n,m),cons(n,cons(m,x))) -> Rules: eq(0,0) -> true eq(0,s(m)) -> false eq(s(n),0) -> false eq(s(n),s(m)) -> eq(n,m) if_min(false,cons(n,cons(m,x))) -> min(cons(m,x)) if_min(true,cons(n,cons(m,x))) -> min(cons(n,x)) if_replace(false,n,m,cons(k,x)) -> cons(k,replace(n,m,x)) if_replace(true,n,m,cons(k,x)) -> cons(m,x) le(0,m) -> true le(s(n),0) -> false le(s(n),s(m)) -> le(n,m) min(cons(0,nil)) -> 0 min(cons(s(n),nil)) -> s(n) min(cons(n,cons(m,x))) -> if_min(le(n,m),cons(n,cons(m,x))) replace(n,m,cons(k,x)) -> if_replace(eq(n,k),n,m,cons(k,x)) replace(n,m,nil) -> nil sort(cons(n,x)) -> cons(min(cons(n,x)),sort(replace(min(cons(n,x)),n,x))) sort(nil) -> nil -> Usable rules: le(0,m) -> true le(s(n),0) -> false le(s(n),s(m)) -> le(n,m) ->Interpretation type: Linear ->Coefficients: Natural Numbers ->Dimension: 1 ->Bound: 2 ->Interpretation: [le](X1,X2) = 2.X1 + 2.X2 + 2 [0] = 2 [cons](X1,X2) = 2.X1 + 2.X2 + 2 [false] = 0 [s](X) = 2.X [true] = 2 [IF_MIN](X1,X2) = 2.X2 + 1 [MIN](X) = 2.X + 1 Problem 1.2: SCC Processor: -> Pairs: IF_MIN(true,cons(n,cons(m,x))) -> MIN(cons(n,x)) MIN(cons(n,cons(m,x))) -> IF_MIN(le(n,m),cons(n,cons(m,x))) -> Rules: eq(0,0) -> true eq(0,s(m)) -> false eq(s(n),0) -> false eq(s(n),s(m)) -> eq(n,m) if_min(false,cons(n,cons(m,x))) -> min(cons(m,x)) if_min(true,cons(n,cons(m,x))) -> min(cons(n,x)) if_replace(false,n,m,cons(k,x)) -> cons(k,replace(n,m,x)) if_replace(true,n,m,cons(k,x)) -> cons(m,x) le(0,m) -> true le(s(n),0) -> false le(s(n),s(m)) -> le(n,m) min(cons(0,nil)) -> 0 min(cons(s(n),nil)) -> s(n) min(cons(n,cons(m,x))) -> if_min(le(n,m),cons(n,cons(m,x))) replace(n,m,cons(k,x)) -> if_replace(eq(n,k),n,m,cons(k,x)) replace(n,m,nil) -> nil sort(cons(n,x)) -> cons(min(cons(n,x)),sort(replace(min(cons(n,x)),n,x))) sort(nil) -> nil ->Strongly Connected Components: ->->Cycle: ->->-> Pairs: IF_MIN(true,cons(n,cons(m,x))) -> MIN(cons(n,x)) MIN(cons(n,cons(m,x))) -> IF_MIN(le(n,m),cons(n,cons(m,x))) ->->-> Rules: eq(0,0) -> true eq(0,s(m)) -> false eq(s(n),0) -> false eq(s(n),s(m)) -> eq(n,m) if_min(false,cons(n,cons(m,x))) -> min(cons(m,x)) if_min(true,cons(n,cons(m,x))) -> min(cons(n,x)) if_replace(false,n,m,cons(k,x)) -> cons(k,replace(n,m,x)) if_replace(true,n,m,cons(k,x)) -> cons(m,x) le(0,m) -> true le(s(n),0) -> false le(s(n),s(m)) -> le(n,m) min(cons(0,nil)) -> 0 min(cons(s(n),nil)) -> s(n) min(cons(n,cons(m,x))) -> if_min(le(n,m),cons(n,cons(m,x))) replace(n,m,cons(k,x)) -> if_replace(eq(n,k),n,m,cons(k,x)) replace(n,m,nil) -> nil sort(cons(n,x)) -> cons(min(cons(n,x)),sort(replace(min(cons(n,x)),n,x))) sort(nil) -> nil Problem 1.2: Reduction Pairs Processor: -> Pairs: IF_MIN(true,cons(n,cons(m,x))) -> MIN(cons(n,x)) MIN(cons(n,cons(m,x))) -> IF_MIN(le(n,m),cons(n,cons(m,x))) -> Rules: eq(0,0) -> true eq(0,s(m)) -> false eq(s(n),0) -> false eq(s(n),s(m)) -> eq(n,m) if_min(false,cons(n,cons(m,x))) -> min(cons(m,x)) if_min(true,cons(n,cons(m,x))) -> min(cons(n,x)) if_replace(false,n,m,cons(k,x)) -> cons(k,replace(n,m,x)) if_replace(true,n,m,cons(k,x)) -> cons(m,x) le(0,m) -> true le(s(n),0) -> false le(s(n),s(m)) -> le(n,m) min(cons(0,nil)) -> 0 min(cons(s(n),nil)) -> s(n) min(cons(n,cons(m,x))) -> if_min(le(n,m),cons(n,cons(m,x))) replace(n,m,cons(k,x)) -> if_replace(eq(n,k),n,m,cons(k,x)) replace(n,m,nil) -> nil sort(cons(n,x)) -> cons(min(cons(n,x)),sort(replace(min(cons(n,x)),n,x))) sort(nil) -> nil -> Usable rules: le(0,m) -> true le(s(n),0) -> false le(s(n),s(m)) -> le(n,m) ->Interpretation type: Linear ->Coefficients: Natural Numbers ->Dimension: 1 ->Bound: 2 ->Interpretation: [le](X1,X2) = 1 [0] = 1 [cons](X1,X2) = 2.X1 + 2.X2 + 2 [false] = 1 [s](X) = 0 [true] = 1 [IF_MIN](X1,X2) = 2.X1 + 2.X2 [MIN](X) = 2.X + 2 Problem 1.2: SCC Processor: -> Pairs: MIN(cons(n,cons(m,x))) -> IF_MIN(le(n,m),cons(n,cons(m,x))) -> Rules: eq(0,0) -> true eq(0,s(m)) -> false eq(s(n),0) -> false eq(s(n),s(m)) -> eq(n,m) if_min(false,cons(n,cons(m,x))) -> min(cons(m,x)) if_min(true,cons(n,cons(m,x))) -> min(cons(n,x)) if_replace(false,n,m,cons(k,x)) -> cons(k,replace(n,m,x)) if_replace(true,n,m,cons(k,x)) -> cons(m,x) le(0,m) -> true le(s(n),0) -> false le(s(n),s(m)) -> le(n,m) min(cons(0,nil)) -> 0 min(cons(s(n),nil)) -> s(n) min(cons(n,cons(m,x))) -> if_min(le(n,m),cons(n,cons(m,x))) replace(n,m,cons(k,x)) -> if_replace(eq(n,k),n,m,cons(k,x)) replace(n,m,nil) -> nil sort(cons(n,x)) -> cons(min(cons(n,x)),sort(replace(min(cons(n,x)),n,x))) sort(nil) -> nil ->Strongly Connected Components: There is no strongly connected component The problem is finite. Problem 1.3: Subterm Processor: -> Pairs: EQ(s(n),s(m)) -> EQ(n,m) -> Rules: eq(0,0) -> true eq(0,s(m)) -> false eq(s(n),0) -> false eq(s(n),s(m)) -> eq(n,m) if_min(false,cons(n,cons(m,x))) -> min(cons(m,x)) if_min(true,cons(n,cons(m,x))) -> min(cons(n,x)) if_replace(false,n,m,cons(k,x)) -> cons(k,replace(n,m,x)) if_replace(true,n,m,cons(k,x)) -> cons(m,x) le(0,m) -> true le(s(n),0) -> false le(s(n),s(m)) -> le(n,m) min(cons(0,nil)) -> 0 min(cons(s(n),nil)) -> s(n) min(cons(n,cons(m,x))) -> if_min(le(n,m),cons(n,cons(m,x))) replace(n,m,cons(k,x)) -> if_replace(eq(n,k),n,m,cons(k,x)) replace(n,m,nil) -> nil sort(cons(n,x)) -> cons(min(cons(n,x)),sort(replace(min(cons(n,x)),n,x))) sort(nil) -> nil ->Projection: pi(EQ) = 1 Problem 1.3: SCC Processor: -> Pairs: Empty -> Rules: eq(0,0) -> true eq(0,s(m)) -> false eq(s(n),0) -> false eq(s(n),s(m)) -> eq(n,m) if_min(false,cons(n,cons(m,x))) -> min(cons(m,x)) if_min(true,cons(n,cons(m,x))) -> min(cons(n,x)) if_replace(false,n,m,cons(k,x)) -> cons(k,replace(n,m,x)) if_replace(true,n,m,cons(k,x)) -> cons(m,x) le(0,m) -> true le(s(n),0) -> false le(s(n),s(m)) -> le(n,m) min(cons(0,nil)) -> 0 min(cons(s(n),nil)) -> s(n) min(cons(n,cons(m,x))) -> if_min(le(n,m),cons(n,cons(m,x))) replace(n,m,cons(k,x)) -> if_replace(eq(n,k),n,m,cons(k,x)) replace(n,m,nil) -> nil sort(cons(n,x)) -> cons(min(cons(n,x)),sort(replace(min(cons(n,x)),n,x))) sort(nil) -> nil ->Strongly Connected Components: There is no strongly connected component The problem is finite. Problem 1.4: Subterm Processor: -> Pairs: IF_REPLACE(false,n,m,cons(k,x)) -> REPLACE(n,m,x) REPLACE(n,m,cons(k,x)) -> IF_REPLACE(eq(n,k),n,m,cons(k,x)) -> Rules: eq(0,0) -> true eq(0,s(m)) -> false eq(s(n),0) -> false eq(s(n),s(m)) -> eq(n,m) if_min(false,cons(n,cons(m,x))) -> min(cons(m,x)) if_min(true,cons(n,cons(m,x))) -> min(cons(n,x)) if_replace(false,n,m,cons(k,x)) -> cons(k,replace(n,m,x)) if_replace(true,n,m,cons(k,x)) -> cons(m,x) le(0,m) -> true le(s(n),0) -> false le(s(n),s(m)) -> le(n,m) min(cons(0,nil)) -> 0 min(cons(s(n),nil)) -> s(n) min(cons(n,cons(m,x))) -> if_min(le(n,m),cons(n,cons(m,x))) replace(n,m,cons(k,x)) -> if_replace(eq(n,k),n,m,cons(k,x)) replace(n,m,nil) -> nil sort(cons(n,x)) -> cons(min(cons(n,x)),sort(replace(min(cons(n,x)),n,x))) sort(nil) -> nil ->Projection: pi(IF_REPLACE) = 4 pi(REPLACE) = 3 Problem 1.4: SCC Processor: -> Pairs: REPLACE(n,m,cons(k,x)) -> IF_REPLACE(eq(n,k),n,m,cons(k,x)) -> Rules: eq(0,0) -> true eq(0,s(m)) -> false eq(s(n),0) -> false eq(s(n),s(m)) -> eq(n,m) if_min(false,cons(n,cons(m,x))) -> min(cons(m,x)) if_min(true,cons(n,cons(m,x))) -> min(cons(n,x)) if_replace(false,n,m,cons(k,x)) -> cons(k,replace(n,m,x)) if_replace(true,n,m,cons(k,x)) -> cons(m,x) le(0,m) -> true le(s(n),0) -> false le(s(n),s(m)) -> le(n,m) min(cons(0,nil)) -> 0 min(cons(s(n),nil)) -> s(n) min(cons(n,cons(m,x))) -> if_min(le(n,m),cons(n,cons(m,x))) replace(n,m,cons(k,x)) -> if_replace(eq(n,k),n,m,cons(k,x)) replace(n,m,nil) -> nil sort(cons(n,x)) -> cons(min(cons(n,x)),sort(replace(min(cons(n,x)),n,x))) sort(nil) -> nil ->Strongly Connected Components: There is no strongly connected component The problem is finite. Problem 1.5: Reduction Pairs Processor: -> Pairs: SORT(cons(n,x)) -> SORT(replace(min(cons(n,x)),n,x)) -> Rules: eq(0,0) -> true eq(0,s(m)) -> false eq(s(n),0) -> false eq(s(n),s(m)) -> eq(n,m) if_min(false,cons(n,cons(m,x))) -> min(cons(m,x)) if_min(true,cons(n,cons(m,x))) -> min(cons(n,x)) if_replace(false,n,m,cons(k,x)) -> cons(k,replace(n,m,x)) if_replace(true,n,m,cons(k,x)) -> cons(m,x) le(0,m) -> true le(s(n),0) -> false le(s(n),s(m)) -> le(n,m) min(cons(0,nil)) -> 0 min(cons(s(n),nil)) -> s(n) min(cons(n,cons(m,x))) -> if_min(le(n,m),cons(n,cons(m,x))) replace(n,m,cons(k,x)) -> if_replace(eq(n,k),n,m,cons(k,x)) replace(n,m,nil) -> nil sort(cons(n,x)) -> cons(min(cons(n,x)),sort(replace(min(cons(n,x)),n,x))) sort(nil) -> nil -> Usable rules: eq(0,0) -> true eq(0,s(m)) -> false eq(s(n),0) -> false eq(s(n),s(m)) -> eq(n,m) if_min(false,cons(n,cons(m,x))) -> min(cons(m,x)) if_min(true,cons(n,cons(m,x))) -> min(cons(n,x)) if_replace(false,n,m,cons(k,x)) -> cons(k,replace(n,m,x)) if_replace(true,n,m,cons(k,x)) -> cons(m,x) le(0,m) -> true le(s(n),0) -> false le(s(n),s(m)) -> le(n,m) min(cons(0,nil)) -> 0 min(cons(s(n),nil)) -> s(n) min(cons(n,cons(m,x))) -> if_min(le(n,m),cons(n,cons(m,x))) replace(n,m,cons(k,x)) -> if_replace(eq(n,k),n,m,cons(k,x)) replace(n,m,nil) -> nil ->Interpretation type: Linear ->Coefficients: Natural Numbers ->Dimension: 1 ->Bound: 2 ->Interpretation: [eq](X1,X2) = 1 [if_min](X1,X2) = 2.X2 [if_replace](X1,X2,X3,X4) = X1 + 2.X4 [le](X1,X2) = 1 [min](X) = 2.X [replace](X1,X2,X3) = 2.X3 + 1 [0] = 0 [cons](X1,X2) = 2.X2 + 2 [false] = 1 [nil] = 2 [s](X) = 0 [true] = 1 [SORT](X) = 2.X Problem 1.5: SCC Processor: -> Pairs: Empty -> Rules: eq(0,0) -> true eq(0,s(m)) -> false eq(s(n),0) -> false eq(s(n),s(m)) -> eq(n,m) if_min(false,cons(n,cons(m,x))) -> min(cons(m,x)) if_min(true,cons(n,cons(m,x))) -> min(cons(n,x)) if_replace(false,n,m,cons(k,x)) -> cons(k,replace(n,m,x)) if_replace(true,n,m,cons(k,x)) -> cons(m,x) le(0,m) -> true le(s(n),0) -> false le(s(n),s(m)) -> le(n,m) min(cons(0,nil)) -> 0 min(cons(s(n),nil)) -> s(n) min(cons(n,cons(m,x))) -> if_min(le(n,m),cons(n,cons(m,x))) replace(n,m,cons(k,x)) -> if_replace(eq(n,k),n,m,cons(k,x)) replace(n,m,nil) -> nil sort(cons(n,x)) -> cons(min(cons(n,x)),sort(replace(min(cons(n,x)),n,x))) sort(nil) -> nil ->Strongly Connected Components: There is no strongly connected component The problem is finite.