/export/starexec/sandbox/solver/bin/starexec_run_default /export/starexec/sandbox/benchmark/theBenchmark.xml /export/starexec/sandbox/output/output_files -------------------------------------------------------------------------------- YES Problem 1: (VAR m n x y) (RULES app(add(n,x),y) -> add(n,app(x,y)) app(nil,y) -> y eq(0,0) -> true eq(0,s(x)) -> false eq(s(x),0) -> false eq(s(x),s(y)) -> eq(x,y) if_min(false,add(n,add(m,x))) -> min(add(m,x)) if_min(true,add(n,add(m,x))) -> min(add(n,x)) if_minsort(false,add(n,x),y) -> minsort(x,add(n,y)) if_minsort(true,add(n,x),y) -> add(n,minsort(app(rm(n,x),y),nil)) if_rm(false,n,add(m,x)) -> add(m,rm(n,x)) if_rm(true,n,add(m,x)) -> rm(n,x) le(0,y) -> true le(s(x),0) -> false le(s(x),s(y)) -> le(x,y) min(add(n,add(m,x))) -> if_min(le(n,m),add(n,add(m,x))) min(add(n,nil)) -> n minsort(add(n,x),y) -> if_minsort(eq(n,min(add(n,x))),add(n,x),y) minsort(nil,nil) -> nil rm(n,add(m,x)) -> if_rm(eq(n,m),n,add(m,x)) rm(n,nil) -> nil ) Problem 1: Innermost Equivalent Processor: -> Rules: app(add(n,x),y) -> add(n,app(x,y)) app(nil,y) -> y eq(0,0) -> true eq(0,s(x)) -> false eq(s(x),0) -> false eq(s(x),s(y)) -> eq(x,y) if_min(false,add(n,add(m,x))) -> min(add(m,x)) if_min(true,add(n,add(m,x))) -> min(add(n,x)) if_minsort(false,add(n,x),y) -> minsort(x,add(n,y)) if_minsort(true,add(n,x),y) -> add(n,minsort(app(rm(n,x),y),nil)) if_rm(false,n,add(m,x)) -> add(m,rm(n,x)) if_rm(true,n,add(m,x)) -> rm(n,x) le(0,y) -> true le(s(x),0) -> false le(s(x),s(y)) -> le(x,y) min(add(n,add(m,x))) -> if_min(le(n,m),add(n,add(m,x))) min(add(n,nil)) -> n minsort(add(n,x),y) -> if_minsort(eq(n,min(add(n,x))),add(n,x),y) minsort(nil,nil) -> nil rm(n,add(m,x)) -> if_rm(eq(n,m),n,add(m,x)) rm(n,nil) -> nil -> The term rewriting system is non-overlaping or locally confluent overlay system. Therefore, innermost termination implies termination. Problem 1: Dependency Pairs Processor: -> Pairs: APP(add(n,x),y) -> APP(x,y) EQ(s(x),s(y)) -> EQ(x,y) IF_MIN(false,add(n,add(m,x))) -> MIN(add(m,x)) IF_MIN(true,add(n,add(m,x))) -> MIN(add(n,x)) IF_MINSORT(false,add(n,x),y) -> MINSORT(x,add(n,y)) IF_MINSORT(true,add(n,x),y) -> APP(rm(n,x),y) IF_MINSORT(true,add(n,x),y) -> MINSORT(app(rm(n,x),y),nil) IF_MINSORT(true,add(n,x),y) -> RM(n,x) IF_RM(false,n,add(m,x)) -> RM(n,x) IF_RM(true,n,add(m,x)) -> RM(n,x) LE(s(x),s(y)) -> LE(x,y) MIN(add(n,add(m,x))) -> IF_MIN(le(n,m),add(n,add(m,x))) MIN(add(n,add(m,x))) -> LE(n,m) MINSORT(add(n,x),y) -> EQ(n,min(add(n,x))) MINSORT(add(n,x),y) -> IF_MINSORT(eq(n,min(add(n,x))),add(n,x),y) MINSORT(add(n,x),y) -> MIN(add(n,x)) RM(n,add(m,x)) -> EQ(n,m) RM(n,add(m,x)) -> IF_RM(eq(n,m),n,add(m,x)) -> Rules: app(add(n,x),y) -> add(n,app(x,y)) app(nil,y) -> y eq(0,0) -> true eq(0,s(x)) -> false eq(s(x),0) -> false eq(s(x),s(y)) -> eq(x,y) if_min(false,add(n,add(m,x))) -> min(add(m,x)) if_min(true,add(n,add(m,x))) -> min(add(n,x)) if_minsort(false,add(n,x),y) -> minsort(x,add(n,y)) if_minsort(true,add(n,x),y) -> add(n,minsort(app(rm(n,x),y),nil)) if_rm(false,n,add(m,x)) -> add(m,rm(n,x)) if_rm(true,n,add(m,x)) -> rm(n,x) le(0,y) -> true le(s(x),0) -> false le(s(x),s(y)) -> le(x,y) min(add(n,add(m,x))) -> if_min(le(n,m),add(n,add(m,x))) min(add(n,nil)) -> n minsort(add(n,x),y) -> if_minsort(eq(n,min(add(n,x))),add(n,x),y) minsort(nil,nil) -> nil rm(n,add(m,x)) -> if_rm(eq(n,m),n,add(m,x)) rm(n,nil) -> nil Problem 1: SCC Processor: -> Pairs: APP(add(n,x),y) -> APP(x,y) EQ(s(x),s(y)) -> EQ(x,y) IF_MIN(false,add(n,add(m,x))) -> MIN(add(m,x)) IF_MIN(true,add(n,add(m,x))) -> MIN(add(n,x)) IF_MINSORT(false,add(n,x),y) -> MINSORT(x,add(n,y)) IF_MINSORT(true,add(n,x),y) -> APP(rm(n,x),y) IF_MINSORT(true,add(n,x),y) -> MINSORT(app(rm(n,x),y),nil) IF_MINSORT(true,add(n,x),y) -> RM(n,x) IF_RM(false,n,add(m,x)) -> RM(n,x) IF_RM(true,n,add(m,x)) -> RM(n,x) LE(s(x),s(y)) -> LE(x,y) MIN(add(n,add(m,x))) -> IF_MIN(le(n,m),add(n,add(m,x))) MIN(add(n,add(m,x))) -> LE(n,m) MINSORT(add(n,x),y) -> EQ(n,min(add(n,x))) MINSORT(add(n,x),y) -> IF_MINSORT(eq(n,min(add(n,x))),add(n,x),y) MINSORT(add(n,x),y) -> MIN(add(n,x)) RM(n,add(m,x)) -> EQ(n,m) RM(n,add(m,x)) -> IF_RM(eq(n,m),n,add(m,x)) -> Rules: app(add(n,x),y) -> add(n,app(x,y)) app(nil,y) -> y eq(0,0) -> true eq(0,s(x)) -> false eq(s(x),0) -> false eq(s(x),s(y)) -> eq(x,y) if_min(false,add(n,add(m,x))) -> min(add(m,x)) if_min(true,add(n,add(m,x))) -> min(add(n,x)) if_minsort(false,add(n,x),y) -> minsort(x,add(n,y)) if_minsort(true,add(n,x),y) -> add(n,minsort(app(rm(n,x),y),nil)) if_rm(false,n,add(m,x)) -> add(m,rm(n,x)) if_rm(true,n,add(m,x)) -> rm(n,x) le(0,y) -> true le(s(x),0) -> false le(s(x),s(y)) -> le(x,y) min(add(n,add(m,x))) -> if_min(le(n,m),add(n,add(m,x))) min(add(n,nil)) -> n minsort(add(n,x),y) -> if_minsort(eq(n,min(add(n,x))),add(n,x),y) minsort(nil,nil) -> nil rm(n,add(m,x)) -> if_rm(eq(n,m),n,add(m,x)) rm(n,nil) -> nil ->Strongly Connected Components: ->->Cycle: ->->-> Pairs: LE(s(x),s(y)) -> LE(x,y) ->->-> Rules: app(add(n,x),y) -> add(n,app(x,y)) app(nil,y) -> y eq(0,0) -> true eq(0,s(x)) -> false eq(s(x),0) -> false eq(s(x),s(y)) -> eq(x,y) if_min(false,add(n,add(m,x))) -> min(add(m,x)) if_min(true,add(n,add(m,x))) -> min(add(n,x)) if_minsort(false,add(n,x),y) -> minsort(x,add(n,y)) if_minsort(true,add(n,x),y) -> add(n,minsort(app(rm(n,x),y),nil)) if_rm(false,n,add(m,x)) -> add(m,rm(n,x)) if_rm(true,n,add(m,x)) -> rm(n,x) le(0,y) -> true le(s(x),0) -> false le(s(x),s(y)) -> le(x,y) min(add(n,add(m,x))) -> if_min(le(n,m),add(n,add(m,x))) min(add(n,nil)) -> n minsort(add(n,x),y) -> if_minsort(eq(n,min(add(n,x))),add(n,x),y) minsort(nil,nil) -> nil rm(n,add(m,x)) -> if_rm(eq(n,m),n,add(m,x)) rm(n,nil) -> nil ->->Cycle: ->->-> Pairs: IF_MIN(false,add(n,add(m,x))) -> MIN(add(m,x)) IF_MIN(true,add(n,add(m,x))) -> MIN(add(n,x)) MIN(add(n,add(m,x))) -> IF_MIN(le(n,m),add(n,add(m,x))) ->->-> Rules: app(add(n,x),y) -> add(n,app(x,y)) app(nil,y) -> y eq(0,0) -> true eq(0,s(x)) -> false eq(s(x),0) -> false eq(s(x),s(y)) -> eq(x,y) if_min(false,add(n,add(m,x))) -> min(add(m,x)) if_min(true,add(n,add(m,x))) -> min(add(n,x)) if_minsort(false,add(n,x),y) -> minsort(x,add(n,y)) if_minsort(true,add(n,x),y) -> add(n,minsort(app(rm(n,x),y),nil)) if_rm(false,n,add(m,x)) -> add(m,rm(n,x)) if_rm(true,n,add(m,x)) -> rm(n,x) le(0,y) -> true le(s(x),0) -> false le(s(x),s(y)) -> le(x,y) min(add(n,add(m,x))) -> if_min(le(n,m),add(n,add(m,x))) min(add(n,nil)) -> n minsort(add(n,x),y) -> if_minsort(eq(n,min(add(n,x))),add(n,x),y) minsort(nil,nil) -> nil rm(n,add(m,x)) -> if_rm(eq(n,m),n,add(m,x)) rm(n,nil) -> nil ->->Cycle: ->->-> Pairs: EQ(s(x),s(y)) -> EQ(x,y) ->->-> Rules: app(add(n,x),y) -> add(n,app(x,y)) app(nil,y) -> y eq(0,0) -> true eq(0,s(x)) -> false eq(s(x),0) -> false eq(s(x),s(y)) -> eq(x,y) if_min(false,add(n,add(m,x))) -> min(add(m,x)) if_min(true,add(n,add(m,x))) -> min(add(n,x)) if_minsort(false,add(n,x),y) -> minsort(x,add(n,y)) if_minsort(true,add(n,x),y) -> add(n,minsort(app(rm(n,x),y),nil)) if_rm(false,n,add(m,x)) -> add(m,rm(n,x)) if_rm(true,n,add(m,x)) -> rm(n,x) le(0,y) -> true le(s(x),0) -> false le(s(x),s(y)) -> le(x,y) min(add(n,add(m,x))) -> if_min(le(n,m),add(n,add(m,x))) min(add(n,nil)) -> n minsort(add(n,x),y) -> if_minsort(eq(n,min(add(n,x))),add(n,x),y) minsort(nil,nil) -> nil rm(n,add(m,x)) -> if_rm(eq(n,m),n,add(m,x)) rm(n,nil) -> nil ->->Cycle: ->->-> Pairs: IF_RM(false,n,add(m,x)) -> RM(n,x) IF_RM(true,n,add(m,x)) -> RM(n,x) RM(n,add(m,x)) -> IF_RM(eq(n,m),n,add(m,x)) ->->-> Rules: app(add(n,x),y) -> add(n,app(x,y)) app(nil,y) -> y eq(0,0) -> true eq(0,s(x)) -> false eq(s(x),0) -> false eq(s(x),s(y)) -> eq(x,y) if_min(false,add(n,add(m,x))) -> min(add(m,x)) if_min(true,add(n,add(m,x))) -> min(add(n,x)) if_minsort(false,add(n,x),y) -> minsort(x,add(n,y)) if_minsort(true,add(n,x),y) -> add(n,minsort(app(rm(n,x),y),nil)) if_rm(false,n,add(m,x)) -> add(m,rm(n,x)) if_rm(true,n,add(m,x)) -> rm(n,x) le(0,y) -> true le(s(x),0) -> false le(s(x),s(y)) -> le(x,y) min(add(n,add(m,x))) -> if_min(le(n,m),add(n,add(m,x))) min(add(n,nil)) -> n minsort(add(n,x),y) -> if_minsort(eq(n,min(add(n,x))),add(n,x),y) minsort(nil,nil) -> nil rm(n,add(m,x)) -> if_rm(eq(n,m),n,add(m,x)) rm(n,nil) -> nil ->->Cycle: ->->-> Pairs: APP(add(n,x),y) -> APP(x,y) ->->-> Rules: app(add(n,x),y) -> add(n,app(x,y)) app(nil,y) -> y eq(0,0) -> true eq(0,s(x)) -> false eq(s(x),0) -> false eq(s(x),s(y)) -> eq(x,y) if_min(false,add(n,add(m,x))) -> min(add(m,x)) if_min(true,add(n,add(m,x))) -> min(add(n,x)) if_minsort(false,add(n,x),y) -> minsort(x,add(n,y)) if_minsort(true,add(n,x),y) -> add(n,minsort(app(rm(n,x),y),nil)) if_rm(false,n,add(m,x)) -> add(m,rm(n,x)) if_rm(true,n,add(m,x)) -> rm(n,x) le(0,y) -> true le(s(x),0) -> false le(s(x),s(y)) -> le(x,y) min(add(n,add(m,x))) -> if_min(le(n,m),add(n,add(m,x))) min(add(n,nil)) -> n minsort(add(n,x),y) -> if_minsort(eq(n,min(add(n,x))),add(n,x),y) minsort(nil,nil) -> nil rm(n,add(m,x)) -> if_rm(eq(n,m),n,add(m,x)) rm(n,nil) -> nil ->->Cycle: ->->-> Pairs: IF_MINSORT(false,add(n,x),y) -> MINSORT(x,add(n,y)) IF_MINSORT(true,add(n,x),y) -> MINSORT(app(rm(n,x),y),nil) MINSORT(add(n,x),y) -> IF_MINSORT(eq(n,min(add(n,x))),add(n,x),y) ->->-> Rules: app(add(n,x),y) -> add(n,app(x,y)) app(nil,y) -> y eq(0,0) -> true eq(0,s(x)) -> false eq(s(x),0) -> false eq(s(x),s(y)) -> eq(x,y) if_min(false,add(n,add(m,x))) -> min(add(m,x)) if_min(true,add(n,add(m,x))) -> min(add(n,x)) if_minsort(false,add(n,x),y) -> minsort(x,add(n,y)) if_minsort(true,add(n,x),y) -> add(n,minsort(app(rm(n,x),y),nil)) if_rm(false,n,add(m,x)) -> add(m,rm(n,x)) if_rm(true,n,add(m,x)) -> rm(n,x) le(0,y) -> true le(s(x),0) -> false le(s(x),s(y)) -> le(x,y) min(add(n,add(m,x))) -> if_min(le(n,m),add(n,add(m,x))) min(add(n,nil)) -> n minsort(add(n,x),y) -> if_minsort(eq(n,min(add(n,x))),add(n,x),y) minsort(nil,nil) -> nil rm(n,add(m,x)) -> if_rm(eq(n,m),n,add(m,x)) rm(n,nil) -> nil The problem is decomposed in 6 subproblems. Problem 1.1: Subterm Processor: -> Pairs: LE(s(x),s(y)) -> LE(x,y) -> Rules: app(add(n,x),y) -> add(n,app(x,y)) app(nil,y) -> y eq(0,0) -> true eq(0,s(x)) -> false eq(s(x),0) -> false eq(s(x),s(y)) -> eq(x,y) if_min(false,add(n,add(m,x))) -> min(add(m,x)) if_min(true,add(n,add(m,x))) -> min(add(n,x)) if_minsort(false,add(n,x),y) -> minsort(x,add(n,y)) if_minsort(true,add(n,x),y) -> add(n,minsort(app(rm(n,x),y),nil)) if_rm(false,n,add(m,x)) -> add(m,rm(n,x)) if_rm(true,n,add(m,x)) -> rm(n,x) le(0,y) -> true le(s(x),0) -> false le(s(x),s(y)) -> le(x,y) min(add(n,add(m,x))) -> if_min(le(n,m),add(n,add(m,x))) min(add(n,nil)) -> n minsort(add(n,x),y) -> if_minsort(eq(n,min(add(n,x))),add(n,x),y) minsort(nil,nil) -> nil rm(n,add(m,x)) -> if_rm(eq(n,m),n,add(m,x)) rm(n,nil) -> nil ->Projection: pi(LE) = 1 Problem 1.1: SCC Processor: -> Pairs: Empty -> Rules: app(add(n,x),y) -> add(n,app(x,y)) app(nil,y) -> y eq(0,0) -> true eq(0,s(x)) -> false eq(s(x),0) -> false eq(s(x),s(y)) -> eq(x,y) if_min(false,add(n,add(m,x))) -> min(add(m,x)) if_min(true,add(n,add(m,x))) -> min(add(n,x)) if_minsort(false,add(n,x),y) -> minsort(x,add(n,y)) if_minsort(true,add(n,x),y) -> add(n,minsort(app(rm(n,x),y),nil)) if_rm(false,n,add(m,x)) -> add(m,rm(n,x)) if_rm(true,n,add(m,x)) -> rm(n,x) le(0,y) -> true le(s(x),0) -> false le(s(x),s(y)) -> le(x,y) min(add(n,add(m,x))) -> if_min(le(n,m),add(n,add(m,x))) min(add(n,nil)) -> n minsort(add(n,x),y) -> if_minsort(eq(n,min(add(n,x))),add(n,x),y) minsort(nil,nil) -> nil rm(n,add(m,x)) -> if_rm(eq(n,m),n,add(m,x)) rm(n,nil) -> nil ->Strongly Connected Components: There is no strongly connected component The problem is finite. Problem 1.2: Reduction Pairs Processor: -> Pairs: IF_MIN(false,add(n,add(m,x))) -> MIN(add(m,x)) IF_MIN(true,add(n,add(m,x))) -> MIN(add(n,x)) MIN(add(n,add(m,x))) -> IF_MIN(le(n,m),add(n,add(m,x))) -> Rules: app(add(n,x),y) -> add(n,app(x,y)) app(nil,y) -> y eq(0,0) -> true eq(0,s(x)) -> false eq(s(x),0) -> false eq(s(x),s(y)) -> eq(x,y) if_min(false,add(n,add(m,x))) -> min(add(m,x)) if_min(true,add(n,add(m,x))) -> min(add(n,x)) if_minsort(false,add(n,x),y) -> minsort(x,add(n,y)) if_minsort(true,add(n,x),y) -> add(n,minsort(app(rm(n,x),y),nil)) if_rm(false,n,add(m,x)) -> add(m,rm(n,x)) if_rm(true,n,add(m,x)) -> rm(n,x) le(0,y) -> true le(s(x),0) -> false le(s(x),s(y)) -> le(x,y) min(add(n,add(m,x))) -> if_min(le(n,m),add(n,add(m,x))) min(add(n,nil)) -> n minsort(add(n,x),y) -> if_minsort(eq(n,min(add(n,x))),add(n,x),y) minsort(nil,nil) -> nil rm(n,add(m,x)) -> if_rm(eq(n,m),n,add(m,x)) rm(n,nil) -> nil -> Usable rules: le(0,y) -> true le(s(x),0) -> false le(s(x),s(y)) -> le(x,y) ->Interpretation type: Linear ->Coefficients: Natural Numbers ->Dimension: 1 ->Bound: 2 ->Interpretation: [le](X1,X2) = 2 [0] = 1 [add](X1,X2) = 2.X1 + 2.X2 + 2 [false] = 2 [s](X) = 0 [true] = 0 [IF_MIN](X1,X2) = X1 + 2.X2 [MIN](X) = 2.X + 2 Problem 1.2: SCC Processor: -> Pairs: IF_MIN(true,add(n,add(m,x))) -> MIN(add(n,x)) MIN(add(n,add(m,x))) -> IF_MIN(le(n,m),add(n,add(m,x))) -> Rules: app(add(n,x),y) -> add(n,app(x,y)) app(nil,y) -> y eq(0,0) -> true eq(0,s(x)) -> false eq(s(x),0) -> false eq(s(x),s(y)) -> eq(x,y) if_min(false,add(n,add(m,x))) -> min(add(m,x)) if_min(true,add(n,add(m,x))) -> min(add(n,x)) if_minsort(false,add(n,x),y) -> minsort(x,add(n,y)) if_minsort(true,add(n,x),y) -> add(n,minsort(app(rm(n,x),y),nil)) if_rm(false,n,add(m,x)) -> add(m,rm(n,x)) if_rm(true,n,add(m,x)) -> rm(n,x) le(0,y) -> true le(s(x),0) -> false le(s(x),s(y)) -> le(x,y) min(add(n,add(m,x))) -> if_min(le(n,m),add(n,add(m,x))) min(add(n,nil)) -> n minsort(add(n,x),y) -> if_minsort(eq(n,min(add(n,x))),add(n,x),y) minsort(nil,nil) -> nil rm(n,add(m,x)) -> if_rm(eq(n,m),n,add(m,x)) rm(n,nil) -> nil ->Strongly Connected Components: ->->Cycle: ->->-> Pairs: IF_MIN(true,add(n,add(m,x))) -> MIN(add(n,x)) MIN(add(n,add(m,x))) -> IF_MIN(le(n,m),add(n,add(m,x))) ->->-> Rules: app(add(n,x),y) -> add(n,app(x,y)) app(nil,y) -> y eq(0,0) -> true eq(0,s(x)) -> false eq(s(x),0) -> false eq(s(x),s(y)) -> eq(x,y) if_min(false,add(n,add(m,x))) -> min(add(m,x)) if_min(true,add(n,add(m,x))) -> min(add(n,x)) if_minsort(false,add(n,x),y) -> minsort(x,add(n,y)) if_minsort(true,add(n,x),y) -> add(n,minsort(app(rm(n,x),y),nil)) if_rm(false,n,add(m,x)) -> add(m,rm(n,x)) if_rm(true,n,add(m,x)) -> rm(n,x) le(0,y) -> true le(s(x),0) -> false le(s(x),s(y)) -> le(x,y) min(add(n,add(m,x))) -> if_min(le(n,m),add(n,add(m,x))) min(add(n,nil)) -> n minsort(add(n,x),y) -> if_minsort(eq(n,min(add(n,x))),add(n,x),y) minsort(nil,nil) -> nil rm(n,add(m,x)) -> if_rm(eq(n,m),n,add(m,x)) rm(n,nil) -> nil Problem 1.2: Reduction Pairs Processor: -> Pairs: IF_MIN(true,add(n,add(m,x))) -> MIN(add(n,x)) MIN(add(n,add(m,x))) -> IF_MIN(le(n,m),add(n,add(m,x))) -> Rules: app(add(n,x),y) -> add(n,app(x,y)) app(nil,y) -> y eq(0,0) -> true eq(0,s(x)) -> false eq(s(x),0) -> false eq(s(x),s(y)) -> eq(x,y) if_min(false,add(n,add(m,x))) -> min(add(m,x)) if_min(true,add(n,add(m,x))) -> min(add(n,x)) if_minsort(false,add(n,x),y) -> minsort(x,add(n,y)) if_minsort(true,add(n,x),y) -> add(n,minsort(app(rm(n,x),y),nil)) if_rm(false,n,add(m,x)) -> add(m,rm(n,x)) if_rm(true,n,add(m,x)) -> rm(n,x) le(0,y) -> true le(s(x),0) -> false le(s(x),s(y)) -> le(x,y) min(add(n,add(m,x))) -> if_min(le(n,m),add(n,add(m,x))) min(add(n,nil)) -> n minsort(add(n,x),y) -> if_minsort(eq(n,min(add(n,x))),add(n,x),y) minsort(nil,nil) -> nil rm(n,add(m,x)) -> if_rm(eq(n,m),n,add(m,x)) rm(n,nil) -> nil -> Usable rules: le(0,y) -> true le(s(x),0) -> false le(s(x),s(y)) -> le(x,y) ->Interpretation type: Linear ->Coefficients: Natural Numbers ->Dimension: 1 ->Bound: 2 ->Interpretation: [le](X1,X2) = 2 [0] = 0 [add](X1,X2) = 2.X2 + 2 [false] = 0 [s](X) = 2.X + 2 [true] = 2 [IF_MIN](X1,X2) = 2.X1 + X2 + 2 [MIN](X) = 2.X Problem 1.2: SCC Processor: -> Pairs: MIN(add(n,add(m,x))) -> IF_MIN(le(n,m),add(n,add(m,x))) -> Rules: app(add(n,x),y) -> add(n,app(x,y)) app(nil,y) -> y eq(0,0) -> true eq(0,s(x)) -> false eq(s(x),0) -> false eq(s(x),s(y)) -> eq(x,y) if_min(false,add(n,add(m,x))) -> min(add(m,x)) if_min(true,add(n,add(m,x))) -> min(add(n,x)) if_minsort(false,add(n,x),y) -> minsort(x,add(n,y)) if_minsort(true,add(n,x),y) -> add(n,minsort(app(rm(n,x),y),nil)) if_rm(false,n,add(m,x)) -> add(m,rm(n,x)) if_rm(true,n,add(m,x)) -> rm(n,x) le(0,y) -> true le(s(x),0) -> false le(s(x),s(y)) -> le(x,y) min(add(n,add(m,x))) -> if_min(le(n,m),add(n,add(m,x))) min(add(n,nil)) -> n minsort(add(n,x),y) -> if_minsort(eq(n,min(add(n,x))),add(n,x),y) minsort(nil,nil) -> nil rm(n,add(m,x)) -> if_rm(eq(n,m),n,add(m,x)) rm(n,nil) -> nil ->Strongly Connected Components: There is no strongly connected component The problem is finite. Problem 1.3: Subterm Processor: -> Pairs: EQ(s(x),s(y)) -> EQ(x,y) -> Rules: app(add(n,x),y) -> add(n,app(x,y)) app(nil,y) -> y eq(0,0) -> true eq(0,s(x)) -> false eq(s(x),0) -> false eq(s(x),s(y)) -> eq(x,y) if_min(false,add(n,add(m,x))) -> min(add(m,x)) if_min(true,add(n,add(m,x))) -> min(add(n,x)) if_minsort(false,add(n,x),y) -> minsort(x,add(n,y)) if_minsort(true,add(n,x),y) -> add(n,minsort(app(rm(n,x),y),nil)) if_rm(false,n,add(m,x)) -> add(m,rm(n,x)) if_rm(true,n,add(m,x)) -> rm(n,x) le(0,y) -> true le(s(x),0) -> false le(s(x),s(y)) -> le(x,y) min(add(n,add(m,x))) -> if_min(le(n,m),add(n,add(m,x))) min(add(n,nil)) -> n minsort(add(n,x),y) -> if_minsort(eq(n,min(add(n,x))),add(n,x),y) minsort(nil,nil) -> nil rm(n,add(m,x)) -> if_rm(eq(n,m),n,add(m,x)) rm(n,nil) -> nil ->Projection: pi(EQ) = 1 Problem 1.3: SCC Processor: -> Pairs: Empty -> Rules: app(add(n,x),y) -> add(n,app(x,y)) app(nil,y) -> y eq(0,0) -> true eq(0,s(x)) -> false eq(s(x),0) -> false eq(s(x),s(y)) -> eq(x,y) if_min(false,add(n,add(m,x))) -> min(add(m,x)) if_min(true,add(n,add(m,x))) -> min(add(n,x)) if_minsort(false,add(n,x),y) -> minsort(x,add(n,y)) if_minsort(true,add(n,x),y) -> add(n,minsort(app(rm(n,x),y),nil)) if_rm(false,n,add(m,x)) -> add(m,rm(n,x)) if_rm(true,n,add(m,x)) -> rm(n,x) le(0,y) -> true le(s(x),0) -> false le(s(x),s(y)) -> le(x,y) min(add(n,add(m,x))) -> if_min(le(n,m),add(n,add(m,x))) min(add(n,nil)) -> n minsort(add(n,x),y) -> if_minsort(eq(n,min(add(n,x))),add(n,x),y) minsort(nil,nil) -> nil rm(n,add(m,x)) -> if_rm(eq(n,m),n,add(m,x)) rm(n,nil) -> nil ->Strongly Connected Components: There is no strongly connected component The problem is finite. Problem 1.4: Subterm Processor: -> Pairs: IF_RM(false,n,add(m,x)) -> RM(n,x) IF_RM(true,n,add(m,x)) -> RM(n,x) RM(n,add(m,x)) -> IF_RM(eq(n,m),n,add(m,x)) -> Rules: app(add(n,x),y) -> add(n,app(x,y)) app(nil,y) -> y eq(0,0) -> true eq(0,s(x)) -> false eq(s(x),0) -> false eq(s(x),s(y)) -> eq(x,y) if_min(false,add(n,add(m,x))) -> min(add(m,x)) if_min(true,add(n,add(m,x))) -> min(add(n,x)) if_minsort(false,add(n,x),y) -> minsort(x,add(n,y)) if_minsort(true,add(n,x),y) -> add(n,minsort(app(rm(n,x),y),nil)) if_rm(false,n,add(m,x)) -> add(m,rm(n,x)) if_rm(true,n,add(m,x)) -> rm(n,x) le(0,y) -> true le(s(x),0) -> false le(s(x),s(y)) -> le(x,y) min(add(n,add(m,x))) -> if_min(le(n,m),add(n,add(m,x))) min(add(n,nil)) -> n minsort(add(n,x),y) -> if_minsort(eq(n,min(add(n,x))),add(n,x),y) minsort(nil,nil) -> nil rm(n,add(m,x)) -> if_rm(eq(n,m),n,add(m,x)) rm(n,nil) -> nil ->Projection: pi(IF_RM) = 3 pi(RM) = 2 Problem 1.4: SCC Processor: -> Pairs: RM(n,add(m,x)) -> IF_RM(eq(n,m),n,add(m,x)) -> Rules: app(add(n,x),y) -> add(n,app(x,y)) app(nil,y) -> y eq(0,0) -> true eq(0,s(x)) -> false eq(s(x),0) -> false eq(s(x),s(y)) -> eq(x,y) if_min(false,add(n,add(m,x))) -> min(add(m,x)) if_min(true,add(n,add(m,x))) -> min(add(n,x)) if_minsort(false,add(n,x),y) -> minsort(x,add(n,y)) if_minsort(true,add(n,x),y) -> add(n,minsort(app(rm(n,x),y),nil)) if_rm(false,n,add(m,x)) -> add(m,rm(n,x)) if_rm(true,n,add(m,x)) -> rm(n,x) le(0,y) -> true le(s(x),0) -> false le(s(x),s(y)) -> le(x,y) min(add(n,add(m,x))) -> if_min(le(n,m),add(n,add(m,x))) min(add(n,nil)) -> n minsort(add(n,x),y) -> if_minsort(eq(n,min(add(n,x))),add(n,x),y) minsort(nil,nil) -> nil rm(n,add(m,x)) -> if_rm(eq(n,m),n,add(m,x)) rm(n,nil) -> nil ->Strongly Connected Components: There is no strongly connected component The problem is finite. Problem 1.5: Subterm Processor: -> Pairs: APP(add(n,x),y) -> APP(x,y) -> Rules: app(add(n,x),y) -> add(n,app(x,y)) app(nil,y) -> y eq(0,0) -> true eq(0,s(x)) -> false eq(s(x),0) -> false eq(s(x),s(y)) -> eq(x,y) if_min(false,add(n,add(m,x))) -> min(add(m,x)) if_min(true,add(n,add(m,x))) -> min(add(n,x)) if_minsort(false,add(n,x),y) -> minsort(x,add(n,y)) if_minsort(true,add(n,x),y) -> add(n,minsort(app(rm(n,x),y),nil)) if_rm(false,n,add(m,x)) -> add(m,rm(n,x)) if_rm(true,n,add(m,x)) -> rm(n,x) le(0,y) -> true le(s(x),0) -> false le(s(x),s(y)) -> le(x,y) min(add(n,add(m,x))) -> if_min(le(n,m),add(n,add(m,x))) min(add(n,nil)) -> n minsort(add(n,x),y) -> if_minsort(eq(n,min(add(n,x))),add(n,x),y) minsort(nil,nil) -> nil rm(n,add(m,x)) -> if_rm(eq(n,m),n,add(m,x)) rm(n,nil) -> nil ->Projection: pi(APP) = 1 Problem 1.5: SCC Processor: -> Pairs: Empty -> Rules: app(add(n,x),y) -> add(n,app(x,y)) app(nil,y) -> y eq(0,0) -> true eq(0,s(x)) -> false eq(s(x),0) -> false eq(s(x),s(y)) -> eq(x,y) if_min(false,add(n,add(m,x))) -> min(add(m,x)) if_min(true,add(n,add(m,x))) -> min(add(n,x)) if_minsort(false,add(n,x),y) -> minsort(x,add(n,y)) if_minsort(true,add(n,x),y) -> add(n,minsort(app(rm(n,x),y),nil)) if_rm(false,n,add(m,x)) -> add(m,rm(n,x)) if_rm(true,n,add(m,x)) -> rm(n,x) le(0,y) -> true le(s(x),0) -> false le(s(x),s(y)) -> le(x,y) min(add(n,add(m,x))) -> if_min(le(n,m),add(n,add(m,x))) min(add(n,nil)) -> n minsort(add(n,x),y) -> if_minsort(eq(n,min(add(n,x))),add(n,x),y) minsort(nil,nil) -> nil rm(n,add(m,x)) -> if_rm(eq(n,m),n,add(m,x)) rm(n,nil) -> nil ->Strongly Connected Components: There is no strongly connected component The problem is finite. Problem 1.6: Reduction Pairs Processor: -> Pairs: IF_MINSORT(false,add(n,x),y) -> MINSORT(x,add(n,y)) IF_MINSORT(true,add(n,x),y) -> MINSORT(app(rm(n,x),y),nil) MINSORT(add(n,x),y) -> IF_MINSORT(eq(n,min(add(n,x))),add(n,x),y) -> Rules: app(add(n,x),y) -> add(n,app(x,y)) app(nil,y) -> y eq(0,0) -> true eq(0,s(x)) -> false eq(s(x),0) -> false eq(s(x),s(y)) -> eq(x,y) if_min(false,add(n,add(m,x))) -> min(add(m,x)) if_min(true,add(n,add(m,x))) -> min(add(n,x)) if_minsort(false,add(n,x),y) -> minsort(x,add(n,y)) if_minsort(true,add(n,x),y) -> add(n,minsort(app(rm(n,x),y),nil)) if_rm(false,n,add(m,x)) -> add(m,rm(n,x)) if_rm(true,n,add(m,x)) -> rm(n,x) le(0,y) -> true le(s(x),0) -> false le(s(x),s(y)) -> le(x,y) min(add(n,add(m,x))) -> if_min(le(n,m),add(n,add(m,x))) min(add(n,nil)) -> n minsort(add(n,x),y) -> if_minsort(eq(n,min(add(n,x))),add(n,x),y) minsort(nil,nil) -> nil rm(n,add(m,x)) -> if_rm(eq(n,m),n,add(m,x)) rm(n,nil) -> nil -> Usable rules: app(add(n,x),y) -> add(n,app(x,y)) app(nil,y) -> y eq(0,0) -> true eq(0,s(x)) -> false eq(s(x),0) -> false eq(s(x),s(y)) -> eq(x,y) if_min(false,add(n,add(m,x))) -> min(add(m,x)) if_min(true,add(n,add(m,x))) -> min(add(n,x)) if_rm(false,n,add(m,x)) -> add(m,rm(n,x)) if_rm(true,n,add(m,x)) -> rm(n,x) le(0,y) -> true le(s(x),0) -> false le(s(x),s(y)) -> le(x,y) min(add(n,add(m,x))) -> if_min(le(n,m),add(n,add(m,x))) min(add(n,nil)) -> n rm(n,add(m,x)) -> if_rm(eq(n,m),n,add(m,x)) rm(n,nil) -> nil ->Interpretation type: Linear ->Coefficients: Natural Numbers ->Dimension: 1 ->Bound: 2 ->Interpretation: [app](X1,X2) = X1 + X2 [eq](X1,X2) = 2.X1 + X2 + 2 [if_min](X1,X2) = 2.X2 + 2 [if_rm](X1,X2,X3) = 2.X2 + X3 + 1 [le](X1,X2) = 2.X1 + 2.X2 + 1 [min](X) = 2.X + 2 [rm](X1,X2) = 2.X1 + X2 + 1 [0] = 1 [add](X1,X2) = 2.X1 + X2 + 2 [false] = 1 [nil] = 0 [s](X) = 2.X [true] = 0 [IF_MINSORT](X1,X2,X3) = 2.X2 + 2.X3 + 2 [MINSORT](X1,X2) = 2.X1 + 2.X2 + 2 Problem 1.6: SCC Processor: -> Pairs: IF_MINSORT(false,add(n,x),y) -> MINSORT(x,add(n,y)) MINSORT(add(n,x),y) -> IF_MINSORT(eq(n,min(add(n,x))),add(n,x),y) -> Rules: app(add(n,x),y) -> add(n,app(x,y)) app(nil,y) -> y eq(0,0) -> true eq(0,s(x)) -> false eq(s(x),0) -> false eq(s(x),s(y)) -> eq(x,y) if_min(false,add(n,add(m,x))) -> min(add(m,x)) if_min(true,add(n,add(m,x))) -> min(add(n,x)) if_minsort(false,add(n,x),y) -> minsort(x,add(n,y)) if_minsort(true,add(n,x),y) -> add(n,minsort(app(rm(n,x),y),nil)) if_rm(false,n,add(m,x)) -> add(m,rm(n,x)) if_rm(true,n,add(m,x)) -> rm(n,x) le(0,y) -> true le(s(x),0) -> false le(s(x),s(y)) -> le(x,y) min(add(n,add(m,x))) -> if_min(le(n,m),add(n,add(m,x))) min(add(n,nil)) -> n minsort(add(n,x),y) -> if_minsort(eq(n,min(add(n,x))),add(n,x),y) minsort(nil,nil) -> nil rm(n,add(m,x)) -> if_rm(eq(n,m),n,add(m,x)) rm(n,nil) -> nil ->Strongly Connected Components: ->->Cycle: ->->-> Pairs: IF_MINSORT(false,add(n,x),y) -> MINSORT(x,add(n,y)) MINSORT(add(n,x),y) -> IF_MINSORT(eq(n,min(add(n,x))),add(n,x),y) ->->-> Rules: app(add(n,x),y) -> add(n,app(x,y)) app(nil,y) -> y eq(0,0) -> true eq(0,s(x)) -> false eq(s(x),0) -> false eq(s(x),s(y)) -> eq(x,y) if_min(false,add(n,add(m,x))) -> min(add(m,x)) if_min(true,add(n,add(m,x))) -> min(add(n,x)) if_minsort(false,add(n,x),y) -> minsort(x,add(n,y)) if_minsort(true,add(n,x),y) -> add(n,minsort(app(rm(n,x),y),nil)) if_rm(false,n,add(m,x)) -> add(m,rm(n,x)) if_rm(true,n,add(m,x)) -> rm(n,x) le(0,y) -> true le(s(x),0) -> false le(s(x),s(y)) -> le(x,y) min(add(n,add(m,x))) -> if_min(le(n,m),add(n,add(m,x))) min(add(n,nil)) -> n minsort(add(n,x),y) -> if_minsort(eq(n,min(add(n,x))),add(n,x),y) minsort(nil,nil) -> nil rm(n,add(m,x)) -> if_rm(eq(n,m),n,add(m,x)) rm(n,nil) -> nil Problem 1.6: Subterm Processor: -> Pairs: IF_MINSORT(false,add(n,x),y) -> MINSORT(x,add(n,y)) MINSORT(add(n,x),y) -> IF_MINSORT(eq(n,min(add(n,x))),add(n,x),y) -> Rules: app(add(n,x),y) -> add(n,app(x,y)) app(nil,y) -> y eq(0,0) -> true eq(0,s(x)) -> false eq(s(x),0) -> false eq(s(x),s(y)) -> eq(x,y) if_min(false,add(n,add(m,x))) -> min(add(m,x)) if_min(true,add(n,add(m,x))) -> min(add(n,x)) if_minsort(false,add(n,x),y) -> minsort(x,add(n,y)) if_minsort(true,add(n,x),y) -> add(n,minsort(app(rm(n,x),y),nil)) if_rm(false,n,add(m,x)) -> add(m,rm(n,x)) if_rm(true,n,add(m,x)) -> rm(n,x) le(0,y) -> true le(s(x),0) -> false le(s(x),s(y)) -> le(x,y) min(add(n,add(m,x))) -> if_min(le(n,m),add(n,add(m,x))) min(add(n,nil)) -> n minsort(add(n,x),y) -> if_minsort(eq(n,min(add(n,x))),add(n,x),y) minsort(nil,nil) -> nil rm(n,add(m,x)) -> if_rm(eq(n,m),n,add(m,x)) rm(n,nil) -> nil ->Projection: pi(IF_MINSORT) = 2 pi(MINSORT) = 1 Problem 1.6: SCC Processor: -> Pairs: MINSORT(add(n,x),y) -> IF_MINSORT(eq(n,min(add(n,x))),add(n,x),y) -> Rules: app(add(n,x),y) -> add(n,app(x,y)) app(nil,y) -> y eq(0,0) -> true eq(0,s(x)) -> false eq(s(x),0) -> false eq(s(x),s(y)) -> eq(x,y) if_min(false,add(n,add(m,x))) -> min(add(m,x)) if_min(true,add(n,add(m,x))) -> min(add(n,x)) if_minsort(false,add(n,x),y) -> minsort(x,add(n,y)) if_minsort(true,add(n,x),y) -> add(n,minsort(app(rm(n,x),y),nil)) if_rm(false,n,add(m,x)) -> add(m,rm(n,x)) if_rm(true,n,add(m,x)) -> rm(n,x) le(0,y) -> true le(s(x),0) -> false le(s(x),s(y)) -> le(x,y) min(add(n,add(m,x))) -> if_min(le(n,m),add(n,add(m,x))) min(add(n,nil)) -> n minsort(add(n,x),y) -> if_minsort(eq(n,min(add(n,x))),add(n,x),y) minsort(nil,nil) -> nil rm(n,add(m,x)) -> if_rm(eq(n,m),n,add(m,x)) rm(n,nil) -> nil ->Strongly Connected Components: There is no strongly connected component The problem is finite.