/export/starexec/sandbox/solver/bin/starexec_run_complexity /export/starexec/sandbox/benchmark/theBenchmark.xml /export/starexec/sandbox/output/output_files -------------------------------------------------------------------------------- WORST_CASE(Omega(n^1), ?) proof of /export/starexec/sandbox/benchmark/theBenchmark.xml # AProVE Commit ID: 48fb2092695e11cc9f56e44b17a92a5f88ffb256 marcel 20180622 unpublished dirty The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). (0) CpxTRS (1) RenamingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (2) CpxTRS (3) TypeInferenceProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (4) typed CpxTrs (5) OrderProof [LOWER BOUND(ID), 0 ms] (6) typed CpxTrs (7) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 472 ms] (8) BEST (9) proven lower bound (10) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms] (11) BOUNDS(n^1, INF) (12) typed CpxTrs (13) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 629 ms] (14) typed CpxTrs ---------------------------------------- (0) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: a__U11(tt, V2) -> a__U12(a__isNat(V2)) a__U12(tt) -> tt a__U21(tt) -> tt a__U31(tt, N) -> mark(N) a__U41(tt, M, N) -> a__U42(a__isNat(N), M, N) a__U42(tt, M, N) -> s(a__plus(mark(N), mark(M))) a__isNat(0) -> tt a__isNat(plus(V1, V2)) -> a__U11(a__isNat(V1), V2) a__isNat(s(V1)) -> a__U21(a__isNat(V1)) a__plus(N, 0) -> a__U31(a__isNat(N), N) a__plus(N, s(M)) -> a__U41(a__isNat(M), M, N) mark(U11(X1, X2)) -> a__U11(mark(X1), X2) mark(U12(X)) -> a__U12(mark(X)) mark(isNat(X)) -> a__isNat(X) mark(U21(X)) -> a__U21(mark(X)) mark(U31(X1, X2)) -> a__U31(mark(X1), X2) mark(U41(X1, X2, X3)) -> a__U41(mark(X1), X2, X3) mark(U42(X1, X2, X3)) -> a__U42(mark(X1), X2, X3) mark(plus(X1, X2)) -> a__plus(mark(X1), mark(X2)) mark(tt) -> tt mark(s(X)) -> s(mark(X)) mark(0) -> 0 a__U11(X1, X2) -> U11(X1, X2) a__U12(X) -> U12(X) a__isNat(X) -> isNat(X) a__U21(X) -> U21(X) a__U31(X1, X2) -> U31(X1, X2) a__U41(X1, X2, X3) -> U41(X1, X2, X3) a__U42(X1, X2, X3) -> U42(X1, X2, X3) a__plus(X1, X2) -> plus(X1, X2) S is empty. Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (1) RenamingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol. ---------------------------------------- (2) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: a__U11(tt, V2) -> a__U12(a__isNat(V2)) a__U12(tt) -> tt a__U21(tt) -> tt a__U31(tt, N) -> mark(N) a__U41(tt, M, N) -> a__U42(a__isNat(N), M, N) a__U42(tt, M, N) -> s(a__plus(mark(N), mark(M))) a__isNat(0') -> tt a__isNat(plus(V1, V2)) -> a__U11(a__isNat(V1), V2) a__isNat(s(V1)) -> a__U21(a__isNat(V1)) a__plus(N, 0') -> a__U31(a__isNat(N), N) a__plus(N, s(M)) -> a__U41(a__isNat(M), M, N) mark(U11(X1, X2)) -> a__U11(mark(X1), X2) mark(U12(X)) -> a__U12(mark(X)) mark(isNat(X)) -> a__isNat(X) mark(U21(X)) -> a__U21(mark(X)) mark(U31(X1, X2)) -> a__U31(mark(X1), X2) mark(U41(X1, X2, X3)) -> a__U41(mark(X1), X2, X3) mark(U42(X1, X2, X3)) -> a__U42(mark(X1), X2, X3) mark(plus(X1, X2)) -> a__plus(mark(X1), mark(X2)) mark(tt) -> tt mark(s(X)) -> s(mark(X)) mark(0') -> 0' a__U11(X1, X2) -> U11(X1, X2) a__U12(X) -> U12(X) a__isNat(X) -> isNat(X) a__U21(X) -> U21(X) a__U31(X1, X2) -> U31(X1, X2) a__U41(X1, X2, X3) -> U41(X1, X2, X3) a__U42(X1, X2, X3) -> U42(X1, X2, X3) a__plus(X1, X2) -> plus(X1, X2) S is empty. Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (3) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Infered types. ---------------------------------------- (4) Obligation: Innermost TRS: Rules: a__U11(tt, V2) -> a__U12(a__isNat(V2)) a__U12(tt) -> tt a__U21(tt) -> tt a__U31(tt, N) -> mark(N) a__U41(tt, M, N) -> a__U42(a__isNat(N), M, N) a__U42(tt, M, N) -> s(a__plus(mark(N), mark(M))) a__isNat(0') -> tt a__isNat(plus(V1, V2)) -> a__U11(a__isNat(V1), V2) a__isNat(s(V1)) -> a__U21(a__isNat(V1)) a__plus(N, 0') -> a__U31(a__isNat(N), N) a__plus(N, s(M)) -> a__U41(a__isNat(M), M, N) mark(U11(X1, X2)) -> a__U11(mark(X1), X2) mark(U12(X)) -> a__U12(mark(X)) mark(isNat(X)) -> a__isNat(X) mark(U21(X)) -> a__U21(mark(X)) mark(U31(X1, X2)) -> a__U31(mark(X1), X2) mark(U41(X1, X2, X3)) -> a__U41(mark(X1), X2, X3) mark(U42(X1, X2, X3)) -> a__U42(mark(X1), X2, X3) mark(plus(X1, X2)) -> a__plus(mark(X1), mark(X2)) mark(tt) -> tt mark(s(X)) -> s(mark(X)) mark(0') -> 0' a__U11(X1, X2) -> U11(X1, X2) a__U12(X) -> U12(X) a__isNat(X) -> isNat(X) a__U21(X) -> U21(X) a__U31(X1, X2) -> U31(X1, X2) a__U41(X1, X2, X3) -> U41(X1, X2, X3) a__U42(X1, X2, X3) -> U42(X1, X2, X3) a__plus(X1, X2) -> plus(X1, X2) Types: a__U11 :: tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 tt :: tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 a__U12 :: tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 a__isNat :: tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 a__U21 :: tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 a__U31 :: tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 mark :: tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 a__U41 :: tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 a__U42 :: tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 s :: tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 a__plus :: tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 0' :: tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 plus :: tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 U11 :: tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 U12 :: tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 isNat :: tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 U21 :: tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 U31 :: tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 U41 :: tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 U42 :: tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 hole_tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U421_0 :: tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 gen_tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U422_0 :: Nat -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 ---------------------------------------- (5) OrderProof (LOWER BOUND(ID)) Heuristically decided to analyse the following defined symbols: a__U11, a__isNat, a__U31, mark, a__U41, a__U42, a__plus They will be analysed ascendingly in the following order: a__U11 = a__isNat a__U11 < mark a__isNat < mark a__isNat < a__U41 a__isNat < a__plus a__U31 = mark a__U31 = a__U41 a__U31 = a__U42 a__U31 = a__plus mark = a__U41 mark = a__U42 mark = a__plus a__U41 = a__U42 a__U41 = a__plus a__U42 = a__plus ---------------------------------------- (6) Obligation: Innermost TRS: Rules: a__U11(tt, V2) -> a__U12(a__isNat(V2)) a__U12(tt) -> tt a__U21(tt) -> tt a__U31(tt, N) -> mark(N) a__U41(tt, M, N) -> a__U42(a__isNat(N), M, N) a__U42(tt, M, N) -> s(a__plus(mark(N), mark(M))) a__isNat(0') -> tt a__isNat(plus(V1, V2)) -> a__U11(a__isNat(V1), V2) a__isNat(s(V1)) -> a__U21(a__isNat(V1)) a__plus(N, 0') -> a__U31(a__isNat(N), N) a__plus(N, s(M)) -> a__U41(a__isNat(M), M, N) mark(U11(X1, X2)) -> a__U11(mark(X1), X2) mark(U12(X)) -> a__U12(mark(X)) mark(isNat(X)) -> a__isNat(X) mark(U21(X)) -> a__U21(mark(X)) mark(U31(X1, X2)) -> a__U31(mark(X1), X2) mark(U41(X1, X2, X3)) -> a__U41(mark(X1), X2, X3) mark(U42(X1, X2, X3)) -> a__U42(mark(X1), X2, X3) mark(plus(X1, X2)) -> a__plus(mark(X1), mark(X2)) mark(tt) -> tt mark(s(X)) -> s(mark(X)) mark(0') -> 0' a__U11(X1, X2) -> U11(X1, X2) a__U12(X) -> U12(X) a__isNat(X) -> isNat(X) a__U21(X) -> U21(X) a__U31(X1, X2) -> U31(X1, X2) a__U41(X1, X2, X3) -> U41(X1, X2, X3) a__U42(X1, X2, X3) -> U42(X1, X2, X3) a__plus(X1, X2) -> plus(X1, X2) Types: a__U11 :: tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 tt :: tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 a__U12 :: tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 a__isNat :: tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 a__U21 :: tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 a__U31 :: tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 mark :: tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 a__U41 :: tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 a__U42 :: tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 s :: tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 a__plus :: tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 0' :: tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 plus :: tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 U11 :: tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 U12 :: tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 isNat :: tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 U21 :: tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 U31 :: tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 U41 :: tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 U42 :: tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 hole_tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U421_0 :: tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 gen_tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U422_0 :: Nat -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 Generator Equations: gen_tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U422_0(0) <=> tt gen_tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U422_0(+(x, 1)) <=> s(gen_tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U422_0(x)) The following defined symbols remain to be analysed: a__isNat, a__U11, a__U31, mark, a__U41, a__U42, a__plus They will be analysed ascendingly in the following order: a__U11 = a__isNat a__U11 < mark a__isNat < mark a__isNat < a__U41 a__isNat < a__plus a__U31 = mark a__U31 = a__U41 a__U31 = a__U42 a__U31 = a__plus mark = a__U41 mark = a__U42 mark = a__plus a__U41 = a__U42 a__U41 = a__plus a__U42 = a__plus ---------------------------------------- (7) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: a__isNat(gen_tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U422_0(+(1, n4_0))) -> *3_0, rt in Omega(n4_0) Induction Base: a__isNat(gen_tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U422_0(+(1, 0))) Induction Step: a__isNat(gen_tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U422_0(+(1, +(n4_0, 1)))) ->_R^Omega(1) a__U21(a__isNat(gen_tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U422_0(+(1, n4_0)))) ->_IH a__U21(*3_0) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (8) Complex Obligation (BEST) ---------------------------------------- (9) Obligation: Proved the lower bound n^1 for the following obligation: Innermost TRS: Rules: a__U11(tt, V2) -> a__U12(a__isNat(V2)) a__U12(tt) -> tt a__U21(tt) -> tt a__U31(tt, N) -> mark(N) a__U41(tt, M, N) -> a__U42(a__isNat(N), M, N) a__U42(tt, M, N) -> s(a__plus(mark(N), mark(M))) a__isNat(0') -> tt a__isNat(plus(V1, V2)) -> a__U11(a__isNat(V1), V2) a__isNat(s(V1)) -> a__U21(a__isNat(V1)) a__plus(N, 0') -> a__U31(a__isNat(N), N) a__plus(N, s(M)) -> a__U41(a__isNat(M), M, N) mark(U11(X1, X2)) -> a__U11(mark(X1), X2) mark(U12(X)) -> a__U12(mark(X)) mark(isNat(X)) -> a__isNat(X) mark(U21(X)) -> a__U21(mark(X)) mark(U31(X1, X2)) -> a__U31(mark(X1), X2) mark(U41(X1, X2, X3)) -> a__U41(mark(X1), X2, X3) mark(U42(X1, X2, X3)) -> a__U42(mark(X1), X2, X3) mark(plus(X1, X2)) -> a__plus(mark(X1), mark(X2)) mark(tt) -> tt mark(s(X)) -> s(mark(X)) mark(0') -> 0' a__U11(X1, X2) -> U11(X1, X2) a__U12(X) -> U12(X) a__isNat(X) -> isNat(X) a__U21(X) -> U21(X) a__U31(X1, X2) -> U31(X1, X2) a__U41(X1, X2, X3) -> U41(X1, X2, X3) a__U42(X1, X2, X3) -> U42(X1, X2, X3) a__plus(X1, X2) -> plus(X1, X2) Types: a__U11 :: tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 tt :: tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 a__U12 :: tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 a__isNat :: tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 a__U21 :: tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 a__U31 :: tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 mark :: tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 a__U41 :: tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 a__U42 :: tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 s :: tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 a__plus :: tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 0' :: tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 plus :: tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 U11 :: tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 U12 :: tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 isNat :: tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 U21 :: tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 U31 :: tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 U41 :: tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 U42 :: tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 hole_tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U421_0 :: tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 gen_tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U422_0 :: Nat -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 Generator Equations: gen_tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U422_0(0) <=> tt gen_tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U422_0(+(x, 1)) <=> s(gen_tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U422_0(x)) The following defined symbols remain to be analysed: a__isNat, a__U11, a__U31, mark, a__U41, a__U42, a__plus They will be analysed ascendingly in the following order: a__U11 = a__isNat a__U11 < mark a__isNat < mark a__isNat < a__U41 a__isNat < a__plus a__U31 = mark a__U31 = a__U41 a__U31 = a__U42 a__U31 = a__plus mark = a__U41 mark = a__U42 mark = a__plus a__U41 = a__U42 a__U41 = a__plus a__U42 = a__plus ---------------------------------------- (10) LowerBoundPropagationProof (FINISHED) Propagated lower bound. ---------------------------------------- (11) BOUNDS(n^1, INF) ---------------------------------------- (12) Obligation: Innermost TRS: Rules: a__U11(tt, V2) -> a__U12(a__isNat(V2)) a__U12(tt) -> tt a__U21(tt) -> tt a__U31(tt, N) -> mark(N) a__U41(tt, M, N) -> a__U42(a__isNat(N), M, N) a__U42(tt, M, N) -> s(a__plus(mark(N), mark(M))) a__isNat(0') -> tt a__isNat(plus(V1, V2)) -> a__U11(a__isNat(V1), V2) a__isNat(s(V1)) -> a__U21(a__isNat(V1)) a__plus(N, 0') -> a__U31(a__isNat(N), N) a__plus(N, s(M)) -> a__U41(a__isNat(M), M, N) mark(U11(X1, X2)) -> a__U11(mark(X1), X2) mark(U12(X)) -> a__U12(mark(X)) mark(isNat(X)) -> a__isNat(X) mark(U21(X)) -> a__U21(mark(X)) mark(U31(X1, X2)) -> a__U31(mark(X1), X2) mark(U41(X1, X2, X3)) -> a__U41(mark(X1), X2, X3) mark(U42(X1, X2, X3)) -> a__U42(mark(X1), X2, X3) mark(plus(X1, X2)) -> a__plus(mark(X1), mark(X2)) mark(tt) -> tt mark(s(X)) -> s(mark(X)) mark(0') -> 0' a__U11(X1, X2) -> U11(X1, X2) a__U12(X) -> U12(X) a__isNat(X) -> isNat(X) a__U21(X) -> U21(X) a__U31(X1, X2) -> U31(X1, X2) a__U41(X1, X2, X3) -> U41(X1, X2, X3) a__U42(X1, X2, X3) -> U42(X1, X2, X3) a__plus(X1, X2) -> plus(X1, X2) Types: a__U11 :: tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 tt :: tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 a__U12 :: tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 a__isNat :: tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 a__U21 :: tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 a__U31 :: tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 mark :: tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 a__U41 :: tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 a__U42 :: tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 s :: tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 a__plus :: tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 0' :: tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 plus :: tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 U11 :: tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 U12 :: tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 isNat :: tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 U21 :: tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 U31 :: tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 U41 :: tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 U42 :: tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 hole_tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U421_0 :: tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 gen_tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U422_0 :: Nat -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 Lemmas: a__isNat(gen_tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U422_0(+(1, n4_0))) -> *3_0, rt in Omega(n4_0) Generator Equations: gen_tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U422_0(0) <=> tt gen_tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U422_0(+(x, 1)) <=> s(gen_tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U422_0(x)) The following defined symbols remain to be analysed: a__U11, a__U31, mark, a__U41, a__U42, a__plus They will be analysed ascendingly in the following order: a__U11 = a__isNat a__U11 < mark a__isNat < mark a__isNat < a__U41 a__isNat < a__plus a__U31 = mark a__U31 = a__U41 a__U31 = a__U42 a__U31 = a__plus mark = a__U41 mark = a__U42 mark = a__plus a__U41 = a__U42 a__U41 = a__plus a__U42 = a__plus ---------------------------------------- (13) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: mark(gen_tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U422_0(n2533_0)) -> gen_tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U422_0(n2533_0), rt in Omega(1 + n2533_0) Induction Base: mark(gen_tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U422_0(0)) ->_R^Omega(1) tt Induction Step: mark(gen_tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U422_0(+(n2533_0, 1))) ->_R^Omega(1) s(mark(gen_tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U422_0(n2533_0))) ->_IH s(gen_tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U422_0(c2534_0)) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (14) Obligation: Innermost TRS: Rules: a__U11(tt, V2) -> a__U12(a__isNat(V2)) a__U12(tt) -> tt a__U21(tt) -> tt a__U31(tt, N) -> mark(N) a__U41(tt, M, N) -> a__U42(a__isNat(N), M, N) a__U42(tt, M, N) -> s(a__plus(mark(N), mark(M))) a__isNat(0') -> tt a__isNat(plus(V1, V2)) -> a__U11(a__isNat(V1), V2) a__isNat(s(V1)) -> a__U21(a__isNat(V1)) a__plus(N, 0') -> a__U31(a__isNat(N), N) a__plus(N, s(M)) -> a__U41(a__isNat(M), M, N) mark(U11(X1, X2)) -> a__U11(mark(X1), X2) mark(U12(X)) -> a__U12(mark(X)) mark(isNat(X)) -> a__isNat(X) mark(U21(X)) -> a__U21(mark(X)) mark(U31(X1, X2)) -> a__U31(mark(X1), X2) mark(U41(X1, X2, X3)) -> a__U41(mark(X1), X2, X3) mark(U42(X1, X2, X3)) -> a__U42(mark(X1), X2, X3) mark(plus(X1, X2)) -> a__plus(mark(X1), mark(X2)) mark(tt) -> tt mark(s(X)) -> s(mark(X)) mark(0') -> 0' a__U11(X1, X2) -> U11(X1, X2) a__U12(X) -> U12(X) a__isNat(X) -> isNat(X) a__U21(X) -> U21(X) a__U31(X1, X2) -> U31(X1, X2) a__U41(X1, X2, X3) -> U41(X1, X2, X3) a__U42(X1, X2, X3) -> U42(X1, X2, X3) a__plus(X1, X2) -> plus(X1, X2) Types: a__U11 :: tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 tt :: tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 a__U12 :: tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 a__isNat :: tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 a__U21 :: tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 a__U31 :: tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 mark :: tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 a__U41 :: tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 a__U42 :: tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 s :: tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 a__plus :: tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 0' :: tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 plus :: tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 U11 :: tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 U12 :: tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 isNat :: tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 U21 :: tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 U31 :: tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 U41 :: tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 U42 :: tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 hole_tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U421_0 :: tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 gen_tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U422_0 :: Nat -> tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U42 Lemmas: a__isNat(gen_tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U422_0(+(1, n4_0))) -> *3_0, rt in Omega(n4_0) mark(gen_tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U422_0(n2533_0)) -> gen_tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U422_0(n2533_0), rt in Omega(1 + n2533_0) Generator Equations: gen_tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U422_0(0) <=> tt gen_tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U422_0(+(x, 1)) <=> s(gen_tt:s:0':plus:U11:U12:isNat:U21:U31:U41:U422_0(x)) The following defined symbols remain to be analysed: a__U31, a__U41, a__U42, a__plus They will be analysed ascendingly in the following order: a__U31 = mark a__U31 = a__U41 a__U31 = a__U42 a__U31 = a__plus mark = a__U41 mark = a__U42 mark = a__plus a__U41 = a__U42 a__U41 = a__plus a__U42 = a__plus