1073.51/291.58 WORST_CASE(Omega(n^1), ?) 1077.11/292.47 proof of /export/starexec/sandbox2/benchmark/theBenchmark.xml 1077.11/292.47 # AProVE Commit ID: 48fb2092695e11cc9f56e44b17a92a5f88ffb256 marcel 20180622 unpublished dirty 1077.11/292.47 1077.11/292.47 1077.11/292.47 The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). 1077.11/292.47 1077.11/292.47 (0) CpxTRS 1077.11/292.47 (1) RenamingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] 1077.11/292.47 (2) CpxTRS 1077.11/292.47 (3) TypeInferenceProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] 1077.11/292.47 (4) typed CpxTrs 1077.11/292.47 (5) OrderProof [LOWER BOUND(ID), 0 ms] 1077.11/292.47 (6) typed CpxTrs 1077.11/292.47 (7) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 23.4 s] 1077.11/292.47 (8) BEST 1077.11/292.47 (9) proven lower bound 1077.11/292.47 (10) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms] 1077.11/292.47 (11) BOUNDS(n^1, INF) 1077.11/292.47 (12) typed CpxTrs 1077.11/292.47 (13) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 197 ms] 1077.11/292.47 (14) typed CpxTrs 1077.11/292.47 (15) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 2667 ms] 1077.11/292.47 (16) typed CpxTrs 1077.11/292.47 1077.11/292.47 1077.11/292.47 ---------------------------------------- 1077.11/292.47 1077.11/292.47 (0) 1077.11/292.47 Obligation: 1077.11/292.47 The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). 1077.11/292.47 1077.11/292.47 1077.11/292.47 The TRS R consists of the following rules: 1077.11/292.47 1077.11/292.47 a__U11(tt, V1, V2) -> a__U12(a__isNat(V1), V2) 1077.11/292.47 a__U12(tt, V2) -> a__U13(a__isNat(V2)) 1077.11/292.47 a__U13(tt) -> tt 1077.11/292.47 a__U21(tt, V1) -> a__U22(a__isNat(V1)) 1077.11/292.47 a__U22(tt) -> tt 1077.11/292.47 a__U31(tt, N) -> mark(N) 1077.11/292.47 a__U41(tt, M, N) -> s(a__plus(mark(N), mark(M))) 1077.11/292.47 a__and(tt, X) -> mark(X) 1077.11/292.47 a__isNat(0) -> tt 1077.11/292.47 a__isNat(plus(V1, V2)) -> a__U11(a__and(a__isNatKind(V1), isNatKind(V2)), V1, V2) 1077.11/292.47 a__isNat(s(V1)) -> a__U21(a__isNatKind(V1), V1) 1077.11/292.47 a__isNatKind(0) -> tt 1077.11/292.47 a__isNatKind(plus(V1, V2)) -> a__and(a__isNatKind(V1), isNatKind(V2)) 1077.11/292.47 a__isNatKind(s(V1)) -> a__isNatKind(V1) 1077.11/292.47 a__plus(N, 0) -> a__U31(a__and(a__isNat(N), isNatKind(N)), N) 1077.11/292.47 a__plus(N, s(M)) -> a__U41(a__and(a__and(a__isNat(M), isNatKind(M)), and(isNat(N), isNatKind(N))), M, N) 1077.11/292.47 mark(U11(X1, X2, X3)) -> a__U11(mark(X1), X2, X3) 1077.11/292.47 mark(U12(X1, X2)) -> a__U12(mark(X1), X2) 1077.11/292.47 mark(isNat(X)) -> a__isNat(X) 1077.11/292.47 mark(U13(X)) -> a__U13(mark(X)) 1077.11/292.47 mark(U21(X1, X2)) -> a__U21(mark(X1), X2) 1077.11/292.47 mark(U22(X)) -> a__U22(mark(X)) 1077.11/292.47 mark(U31(X1, X2)) -> a__U31(mark(X1), X2) 1077.11/292.47 mark(U41(X1, X2, X3)) -> a__U41(mark(X1), X2, X3) 1077.11/292.47 mark(plus(X1, X2)) -> a__plus(mark(X1), mark(X2)) 1077.11/292.47 mark(and(X1, X2)) -> a__and(mark(X1), X2) 1077.11/292.47 mark(isNatKind(X)) -> a__isNatKind(X) 1077.11/292.47 mark(tt) -> tt 1077.11/292.47 mark(s(X)) -> s(mark(X)) 1077.11/292.47 mark(0) -> 0 1077.11/292.47 a__U11(X1, X2, X3) -> U11(X1, X2, X3) 1077.11/292.47 a__U12(X1, X2) -> U12(X1, X2) 1077.11/292.47 a__isNat(X) -> isNat(X) 1077.11/292.47 a__U13(X) -> U13(X) 1077.11/292.47 a__U21(X1, X2) -> U21(X1, X2) 1077.11/292.47 a__U22(X) -> U22(X) 1077.11/292.47 a__U31(X1, X2) -> U31(X1, X2) 1077.11/292.47 a__U41(X1, X2, X3) -> U41(X1, X2, X3) 1077.11/292.47 a__plus(X1, X2) -> plus(X1, X2) 1077.11/292.47 a__and(X1, X2) -> and(X1, X2) 1077.11/292.47 a__isNatKind(X) -> isNatKind(X) 1077.11/292.47 1077.11/292.47 S is empty. 1077.11/292.47 Rewrite Strategy: INNERMOST 1077.11/292.47 ---------------------------------------- 1077.11/292.47 1077.11/292.47 (1) RenamingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) 1077.11/292.47 Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol. 1077.11/292.47 ---------------------------------------- 1077.11/292.47 1077.11/292.47 (2) 1077.11/292.47 Obligation: 1077.11/292.47 The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). 1077.11/292.47 1077.11/292.47 1077.11/292.47 The TRS R consists of the following rules: 1077.11/292.47 1077.11/292.47 a__U11(tt, V1, V2) -> a__U12(a__isNat(V1), V2) 1077.11/292.47 a__U12(tt, V2) -> a__U13(a__isNat(V2)) 1077.11/292.47 a__U13(tt) -> tt 1077.11/292.47 a__U21(tt, V1) -> a__U22(a__isNat(V1)) 1077.11/292.47 a__U22(tt) -> tt 1077.11/292.47 a__U31(tt, N) -> mark(N) 1077.11/292.47 a__U41(tt, M, N) -> s(a__plus(mark(N), mark(M))) 1077.11/292.47 a__and(tt, X) -> mark(X) 1077.11/292.47 a__isNat(0') -> tt 1077.11/292.47 a__isNat(plus(V1, V2)) -> a__U11(a__and(a__isNatKind(V1), isNatKind(V2)), V1, V2) 1077.11/292.47 a__isNat(s(V1)) -> a__U21(a__isNatKind(V1), V1) 1077.11/292.47 a__isNatKind(0') -> tt 1077.11/292.47 a__isNatKind(plus(V1, V2)) -> a__and(a__isNatKind(V1), isNatKind(V2)) 1077.11/292.47 a__isNatKind(s(V1)) -> a__isNatKind(V1) 1077.11/292.47 a__plus(N, 0') -> a__U31(a__and(a__isNat(N), isNatKind(N)), N) 1077.11/292.47 a__plus(N, s(M)) -> a__U41(a__and(a__and(a__isNat(M), isNatKind(M)), and(isNat(N), isNatKind(N))), M, N) 1077.11/292.47 mark(U11(X1, X2, X3)) -> a__U11(mark(X1), X2, X3) 1077.11/292.47 mark(U12(X1, X2)) -> a__U12(mark(X1), X2) 1077.11/292.47 mark(isNat(X)) -> a__isNat(X) 1077.11/292.47 mark(U13(X)) -> a__U13(mark(X)) 1077.11/292.47 mark(U21(X1, X2)) -> a__U21(mark(X1), X2) 1077.11/292.47 mark(U22(X)) -> a__U22(mark(X)) 1077.11/292.47 mark(U31(X1, X2)) -> a__U31(mark(X1), X2) 1077.11/292.47 mark(U41(X1, X2, X3)) -> a__U41(mark(X1), X2, X3) 1077.11/292.47 mark(plus(X1, X2)) -> a__plus(mark(X1), mark(X2)) 1077.11/292.47 mark(and(X1, X2)) -> a__and(mark(X1), X2) 1077.11/292.47 mark(isNatKind(X)) -> a__isNatKind(X) 1077.11/292.47 mark(tt) -> tt 1077.11/292.47 mark(s(X)) -> s(mark(X)) 1077.11/292.47 mark(0') -> 0' 1077.11/292.47 a__U11(X1, X2, X3) -> U11(X1, X2, X3) 1077.11/292.47 a__U12(X1, X2) -> U12(X1, X2) 1077.11/292.47 a__isNat(X) -> isNat(X) 1077.11/292.47 a__U13(X) -> U13(X) 1077.11/292.47 a__U21(X1, X2) -> U21(X1, X2) 1077.11/292.47 a__U22(X) -> U22(X) 1077.11/292.47 a__U31(X1, X2) -> U31(X1, X2) 1077.11/292.47 a__U41(X1, X2, X3) -> U41(X1, X2, X3) 1077.11/292.47 a__plus(X1, X2) -> plus(X1, X2) 1077.11/292.47 a__and(X1, X2) -> and(X1, X2) 1077.11/292.47 a__isNatKind(X) -> isNatKind(X) 1077.11/292.47 1077.11/292.47 S is empty. 1077.11/292.47 Rewrite Strategy: INNERMOST 1077.11/292.47 ---------------------------------------- 1077.11/292.47 1077.11/292.47 (3) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) 1077.11/292.47 Infered types. 1077.11/292.47 ---------------------------------------- 1077.11/292.47 1077.11/292.47 (4) 1077.11/292.47 Obligation: 1077.11/292.47 Innermost TRS: 1077.11/292.47 Rules: 1077.11/292.47 a__U11(tt, V1, V2) -> a__U12(a__isNat(V1), V2) 1077.11/292.47 a__U12(tt, V2) -> a__U13(a__isNat(V2)) 1077.11/292.47 a__U13(tt) -> tt 1077.11/292.47 a__U21(tt, V1) -> a__U22(a__isNat(V1)) 1077.11/292.47 a__U22(tt) -> tt 1077.11/292.47 a__U31(tt, N) -> mark(N) 1077.11/292.47 a__U41(tt, M, N) -> s(a__plus(mark(N), mark(M))) 1077.11/292.47 a__and(tt, X) -> mark(X) 1077.11/292.47 a__isNat(0') -> tt 1077.11/292.47 a__isNat(plus(V1, V2)) -> a__U11(a__and(a__isNatKind(V1), isNatKind(V2)), V1, V2) 1077.11/292.47 a__isNat(s(V1)) -> a__U21(a__isNatKind(V1), V1) 1077.11/292.47 a__isNatKind(0') -> tt 1077.11/292.47 a__isNatKind(plus(V1, V2)) -> a__and(a__isNatKind(V1), isNatKind(V2)) 1077.11/292.47 a__isNatKind(s(V1)) -> a__isNatKind(V1) 1077.11/292.47 a__plus(N, 0') -> a__U31(a__and(a__isNat(N), isNatKind(N)), N) 1077.11/292.47 a__plus(N, s(M)) -> a__U41(a__and(a__and(a__isNat(M), isNatKind(M)), and(isNat(N), isNatKind(N))), M, N) 1077.11/292.47 mark(U11(X1, X2, X3)) -> a__U11(mark(X1), X2, X3) 1077.11/292.47 mark(U12(X1, X2)) -> a__U12(mark(X1), X2) 1077.11/292.47 mark(isNat(X)) -> a__isNat(X) 1077.11/292.47 mark(U13(X)) -> a__U13(mark(X)) 1077.11/292.47 mark(U21(X1, X2)) -> a__U21(mark(X1), X2) 1077.11/292.47 mark(U22(X)) -> a__U22(mark(X)) 1077.11/292.47 mark(U31(X1, X2)) -> a__U31(mark(X1), X2) 1077.11/292.47 mark(U41(X1, X2, X3)) -> a__U41(mark(X1), X2, X3) 1077.11/292.47 mark(plus(X1, X2)) -> a__plus(mark(X1), mark(X2)) 1077.11/292.47 mark(and(X1, X2)) -> a__and(mark(X1), X2) 1077.11/292.47 mark(isNatKind(X)) -> a__isNatKind(X) 1077.11/292.47 mark(tt) -> tt 1077.11/292.47 mark(s(X)) -> s(mark(X)) 1077.11/292.47 mark(0') -> 0' 1077.11/292.47 a__U11(X1, X2, X3) -> U11(X1, X2, X3) 1077.11/292.47 a__U12(X1, X2) -> U12(X1, X2) 1077.11/292.47 a__isNat(X) -> isNat(X) 1077.11/292.47 a__U13(X) -> U13(X) 1077.11/292.47 a__U21(X1, X2) -> U21(X1, X2) 1077.11/292.47 a__U22(X) -> U22(X) 1077.11/292.47 a__U31(X1, X2) -> U31(X1, X2) 1077.11/292.47 a__U41(X1, X2, X3) -> U41(X1, X2, X3) 1077.11/292.47 a__plus(X1, X2) -> plus(X1, X2) 1077.11/292.47 a__and(X1, X2) -> and(X1, X2) 1077.11/292.47 a__isNatKind(X) -> isNatKind(X) 1077.11/292.47 1077.11/292.47 Types: 1077.11/292.47 a__U11 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.47 tt :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.47 a__U12 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.47 a__isNat :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.47 a__U13 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.47 a__U21 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.47 a__U22 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.47 a__U31 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.47 mark :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.47 a__U41 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.47 s :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.47 a__plus :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.47 a__and :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.47 0' :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.47 plus :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.47 a__isNatKind :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.47 isNatKind :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.47 and :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.47 isNat :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.47 U11 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.47 U12 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.47 U13 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.47 U21 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.47 U22 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.47 U31 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.47 U41 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.47 hole_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U411_0 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.47 gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0 :: Nat -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.47 1077.11/292.47 ---------------------------------------- 1077.11/292.47 1077.11/292.47 (5) OrderProof (LOWER BOUND(ID)) 1077.11/292.47 Heuristically decided to analyse the following defined symbols: 1077.11/292.47 a__U11, a__U12, a__isNat, a__U21, a__U31, mark, a__U41, a__plus, a__and, a__isNatKind 1077.11/292.47 1077.11/292.47 They will be analysed ascendingly in the following order: 1077.11/292.47 a__U11 = a__U12 1077.11/292.47 a__U11 = a__isNat 1077.11/292.47 a__U11 = a__U21 1077.11/292.47 a__U11 = a__U31 1077.11/292.47 a__U11 = mark 1077.11/292.47 a__U11 = a__U41 1077.11/292.47 a__U11 = a__plus 1077.11/292.47 a__U11 = a__and 1077.11/292.47 a__U11 = a__isNatKind 1077.11/292.47 a__U12 = a__isNat 1077.11/292.47 a__U12 = a__U21 1077.11/292.47 a__U12 = a__U31 1077.11/292.47 a__U12 = mark 1077.11/292.47 a__U12 = a__U41 1077.11/292.47 a__U12 = a__plus 1077.11/292.47 a__U12 = a__and 1077.11/292.47 a__U12 = a__isNatKind 1077.11/292.47 a__isNat = a__U21 1077.11/292.47 a__isNat = a__U31 1077.11/292.47 a__isNat = mark 1077.11/292.47 a__isNat = a__U41 1077.11/292.47 a__isNat = a__plus 1077.11/292.47 a__isNat = a__and 1077.11/292.47 a__isNat = a__isNatKind 1077.11/292.47 a__U21 = a__U31 1077.11/292.47 a__U21 = mark 1077.11/292.47 a__U21 = a__U41 1077.11/292.47 a__U21 = a__plus 1077.11/292.47 a__U21 = a__and 1077.11/292.47 a__U21 = a__isNatKind 1077.11/292.47 a__U31 = mark 1077.11/292.47 a__U31 = a__U41 1077.11/292.47 a__U31 = a__plus 1077.11/292.47 a__U31 = a__and 1077.11/292.47 a__U31 = a__isNatKind 1077.11/292.47 mark = a__U41 1077.11/292.47 mark = a__plus 1077.11/292.47 mark = a__and 1077.11/292.47 mark = a__isNatKind 1077.11/292.47 a__U41 = a__plus 1077.11/292.47 a__U41 = a__and 1077.11/292.47 a__U41 = a__isNatKind 1077.11/292.47 a__plus = a__and 1077.11/292.47 a__plus = a__isNatKind 1077.11/292.47 a__and = a__isNatKind 1077.11/292.47 1077.11/292.47 ---------------------------------------- 1077.11/292.47 1077.11/292.47 (6) 1077.11/292.47 Obligation: 1077.11/292.47 Innermost TRS: 1077.11/292.47 Rules: 1077.11/292.47 a__U11(tt, V1, V2) -> a__U12(a__isNat(V1), V2) 1077.11/292.47 a__U12(tt, V2) -> a__U13(a__isNat(V2)) 1077.11/292.47 a__U13(tt) -> tt 1077.11/292.47 a__U21(tt, V1) -> a__U22(a__isNat(V1)) 1077.11/292.47 a__U22(tt) -> tt 1077.11/292.47 a__U31(tt, N) -> mark(N) 1077.11/292.47 a__U41(tt, M, N) -> s(a__plus(mark(N), mark(M))) 1077.11/292.47 a__and(tt, X) -> mark(X) 1077.11/292.47 a__isNat(0') -> tt 1077.11/292.47 a__isNat(plus(V1, V2)) -> a__U11(a__and(a__isNatKind(V1), isNatKind(V2)), V1, V2) 1077.11/292.47 a__isNat(s(V1)) -> a__U21(a__isNatKind(V1), V1) 1077.11/292.47 a__isNatKind(0') -> tt 1077.11/292.47 a__isNatKind(plus(V1, V2)) -> a__and(a__isNatKind(V1), isNatKind(V2)) 1077.11/292.47 a__isNatKind(s(V1)) -> a__isNatKind(V1) 1077.11/292.47 a__plus(N, 0') -> a__U31(a__and(a__isNat(N), isNatKind(N)), N) 1077.11/292.47 a__plus(N, s(M)) -> a__U41(a__and(a__and(a__isNat(M), isNatKind(M)), and(isNat(N), isNatKind(N))), M, N) 1077.11/292.47 mark(U11(X1, X2, X3)) -> a__U11(mark(X1), X2, X3) 1077.11/292.47 mark(U12(X1, X2)) -> a__U12(mark(X1), X2) 1077.11/292.47 mark(isNat(X)) -> a__isNat(X) 1077.11/292.47 mark(U13(X)) -> a__U13(mark(X)) 1077.11/292.47 mark(U21(X1, X2)) -> a__U21(mark(X1), X2) 1077.11/292.47 mark(U22(X)) -> a__U22(mark(X)) 1077.11/292.47 mark(U31(X1, X2)) -> a__U31(mark(X1), X2) 1077.11/292.47 mark(U41(X1, X2, X3)) -> a__U41(mark(X1), X2, X3) 1077.11/292.47 mark(plus(X1, X2)) -> a__plus(mark(X1), mark(X2)) 1077.11/292.47 mark(and(X1, X2)) -> a__and(mark(X1), X2) 1077.11/292.47 mark(isNatKind(X)) -> a__isNatKind(X) 1077.11/292.47 mark(tt) -> tt 1077.11/292.47 mark(s(X)) -> s(mark(X)) 1077.11/292.47 mark(0') -> 0' 1077.11/292.47 a__U11(X1, X2, X3) -> U11(X1, X2, X3) 1077.11/292.47 a__U12(X1, X2) -> U12(X1, X2) 1077.11/292.47 a__isNat(X) -> isNat(X) 1077.11/292.47 a__U13(X) -> U13(X) 1077.11/292.47 a__U21(X1, X2) -> U21(X1, X2) 1077.11/292.47 a__U22(X) -> U22(X) 1077.11/292.47 a__U31(X1, X2) -> U31(X1, X2) 1077.11/292.47 a__U41(X1, X2, X3) -> U41(X1, X2, X3) 1077.11/292.47 a__plus(X1, X2) -> plus(X1, X2) 1077.11/292.47 a__and(X1, X2) -> and(X1, X2) 1077.11/292.47 a__isNatKind(X) -> isNatKind(X) 1077.11/292.47 1077.11/292.47 Types: 1077.11/292.47 a__U11 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.47 tt :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.47 a__U12 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.48 a__isNat :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.48 a__U13 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.48 a__U21 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.48 a__U22 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.48 a__U31 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.48 mark :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.48 a__U41 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.48 s :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.48 a__plus :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.48 a__and :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.48 0' :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.48 plus :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.48 a__isNatKind :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.48 isNatKind :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.48 and :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.48 isNat :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.48 U11 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.48 U12 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.48 U13 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.48 U21 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.48 U22 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.48 U31 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.48 U41 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.48 hole_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U411_0 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.48 gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0 :: Nat -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.48 1077.11/292.48 1077.11/292.48 Generator Equations: 1077.11/292.48 gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(0) <=> tt 1077.11/292.48 gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(+(x, 1)) <=> s(gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(x)) 1077.11/292.48 1077.11/292.48 1077.11/292.48 The following defined symbols remain to be analysed: 1077.11/292.48 a__U12, a__U11, a__isNat, a__U21, a__U31, mark, a__U41, a__plus, a__and, a__isNatKind 1077.11/292.48 1077.11/292.48 They will be analysed ascendingly in the following order: 1077.11/292.48 a__U11 = a__U12 1077.11/292.48 a__U11 = a__isNat 1077.11/292.48 a__U11 = a__U21 1077.11/292.48 a__U11 = a__U31 1077.11/292.48 a__U11 = mark 1077.11/292.48 a__U11 = a__U41 1077.11/292.48 a__U11 = a__plus 1077.11/292.48 a__U11 = a__and 1077.11/292.48 a__U11 = a__isNatKind 1077.11/292.48 a__U12 = a__isNat 1077.11/292.48 a__U12 = a__U21 1077.11/292.48 a__U12 = a__U31 1077.11/292.48 a__U12 = mark 1077.11/292.48 a__U12 = a__U41 1077.11/292.48 a__U12 = a__plus 1077.11/292.48 a__U12 = a__and 1077.11/292.48 a__U12 = a__isNatKind 1077.11/292.48 a__isNat = a__U21 1077.11/292.48 a__isNat = a__U31 1077.11/292.48 a__isNat = mark 1077.11/292.48 a__isNat = a__U41 1077.11/292.48 a__isNat = a__plus 1077.11/292.48 a__isNat = a__and 1077.11/292.48 a__isNat = a__isNatKind 1077.11/292.48 a__U21 = a__U31 1077.11/292.48 a__U21 = mark 1077.11/292.48 a__U21 = a__U41 1077.11/292.48 a__U21 = a__plus 1077.11/292.48 a__U21 = a__and 1077.11/292.48 a__U21 = a__isNatKind 1077.11/292.48 a__U31 = mark 1077.11/292.48 a__U31 = a__U41 1077.11/292.48 a__U31 = a__plus 1077.11/292.48 a__U31 = a__and 1077.11/292.48 a__U31 = a__isNatKind 1077.11/292.48 mark = a__U41 1077.11/292.48 mark = a__plus 1077.11/292.48 mark = a__and 1077.11/292.48 mark = a__isNatKind 1077.11/292.48 a__U41 = a__plus 1077.11/292.48 a__U41 = a__and 1077.11/292.48 a__U41 = a__isNatKind 1077.11/292.48 a__plus = a__and 1077.11/292.48 a__plus = a__isNatKind 1077.11/292.48 a__and = a__isNatKind 1077.11/292.48 1077.11/292.48 ---------------------------------------- 1077.11/292.48 1077.11/292.48 (7) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) 1077.11/292.48 Proved the following rewrite lemma: 1077.11/292.48 mark(gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(n1842524_0)) -> gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(n1842524_0), rt in Omega(1 + n1842524_0) 1077.11/292.48 1077.11/292.48 Induction Base: 1077.11/292.48 mark(gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(0)) ->_R^Omega(1) 1077.11/292.48 tt 1077.11/292.48 1077.11/292.48 Induction Step: 1077.11/292.48 mark(gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(+(n1842524_0, 1))) ->_R^Omega(1) 1077.11/292.48 s(mark(gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(n1842524_0))) ->_IH 1077.11/292.48 s(gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(c1842525_0)) 1077.11/292.48 1077.11/292.48 We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). 1077.11/292.48 ---------------------------------------- 1077.11/292.48 1077.11/292.48 (8) 1077.11/292.48 Complex Obligation (BEST) 1077.11/292.48 1077.11/292.48 ---------------------------------------- 1077.11/292.48 1077.11/292.48 (9) 1077.11/292.48 Obligation: 1077.11/292.48 Proved the lower bound n^1 for the following obligation: 1077.11/292.48 1077.11/292.48 Innermost TRS: 1077.11/292.48 Rules: 1077.11/292.48 a__U11(tt, V1, V2) -> a__U12(a__isNat(V1), V2) 1077.11/292.48 a__U12(tt, V2) -> a__U13(a__isNat(V2)) 1077.11/292.48 a__U13(tt) -> tt 1077.11/292.48 a__U21(tt, V1) -> a__U22(a__isNat(V1)) 1077.11/292.48 a__U22(tt) -> tt 1077.11/292.48 a__U31(tt, N) -> mark(N) 1077.11/292.48 a__U41(tt, M, N) -> s(a__plus(mark(N), mark(M))) 1077.11/292.48 a__and(tt, X) -> mark(X) 1077.11/292.48 a__isNat(0') -> tt 1077.11/292.48 a__isNat(plus(V1, V2)) -> a__U11(a__and(a__isNatKind(V1), isNatKind(V2)), V1, V2) 1077.11/292.48 a__isNat(s(V1)) -> a__U21(a__isNatKind(V1), V1) 1077.11/292.48 a__isNatKind(0') -> tt 1077.11/292.48 a__isNatKind(plus(V1, V2)) -> a__and(a__isNatKind(V1), isNatKind(V2)) 1077.11/292.48 a__isNatKind(s(V1)) -> a__isNatKind(V1) 1077.11/292.48 a__plus(N, 0') -> a__U31(a__and(a__isNat(N), isNatKind(N)), N) 1077.11/292.48 a__plus(N, s(M)) -> a__U41(a__and(a__and(a__isNat(M), isNatKind(M)), and(isNat(N), isNatKind(N))), M, N) 1077.11/292.48 mark(U11(X1, X2, X3)) -> a__U11(mark(X1), X2, X3) 1077.11/292.48 mark(U12(X1, X2)) -> a__U12(mark(X1), X2) 1077.11/292.48 mark(isNat(X)) -> a__isNat(X) 1077.11/292.48 mark(U13(X)) -> a__U13(mark(X)) 1077.11/292.48 mark(U21(X1, X2)) -> a__U21(mark(X1), X2) 1077.11/292.48 mark(U22(X)) -> a__U22(mark(X)) 1077.11/292.48 mark(U31(X1, X2)) -> a__U31(mark(X1), X2) 1077.11/292.48 mark(U41(X1, X2, X3)) -> a__U41(mark(X1), X2, X3) 1077.11/292.48 mark(plus(X1, X2)) -> a__plus(mark(X1), mark(X2)) 1077.11/292.48 mark(and(X1, X2)) -> a__and(mark(X1), X2) 1077.11/292.48 mark(isNatKind(X)) -> a__isNatKind(X) 1077.11/292.48 mark(tt) -> tt 1077.11/292.48 mark(s(X)) -> s(mark(X)) 1077.11/292.48 mark(0') -> 0' 1077.11/292.48 a__U11(X1, X2, X3) -> U11(X1, X2, X3) 1077.11/292.48 a__U12(X1, X2) -> U12(X1, X2) 1077.11/292.48 a__isNat(X) -> isNat(X) 1077.11/292.48 a__U13(X) -> U13(X) 1077.11/292.48 a__U21(X1, X2) -> U21(X1, X2) 1077.11/292.48 a__U22(X) -> U22(X) 1077.11/292.48 a__U31(X1, X2) -> U31(X1, X2) 1077.11/292.48 a__U41(X1, X2, X3) -> U41(X1, X2, X3) 1077.11/292.48 a__plus(X1, X2) -> plus(X1, X2) 1077.11/292.48 a__and(X1, X2) -> and(X1, X2) 1077.11/292.48 a__isNatKind(X) -> isNatKind(X) 1077.11/292.48 1077.11/292.48 Types: 1077.11/292.48 a__U11 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.48 tt :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.48 a__U12 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.48 a__isNat :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.48 a__U13 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.48 a__U21 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.48 a__U22 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.48 a__U31 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.48 mark :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.48 a__U41 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.48 s :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.48 a__plus :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.48 a__and :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.48 0' :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.48 plus :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.48 a__isNatKind :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.48 isNatKind :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.48 and :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.48 isNat :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.48 U11 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.48 U12 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.48 U13 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.48 U21 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.48 U22 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.48 U31 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.48 U41 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.48 hole_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U411_0 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.48 gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0 :: Nat -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.48 1077.11/292.48 1077.11/292.48 Generator Equations: 1077.11/292.48 gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(0) <=> tt 1077.11/292.48 gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(+(x, 1)) <=> s(gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(x)) 1077.11/292.48 1077.11/292.48 1077.11/292.48 The following defined symbols remain to be analysed: 1077.11/292.48 mark, a__U21, a__U31, a__U41, a__plus, a__isNatKind 1077.11/292.48 1077.11/292.48 They will be analysed ascendingly in the following order: 1077.11/292.48 a__U11 = a__U12 1077.11/292.48 a__U11 = a__isNat 1077.11/292.48 a__U11 = a__U21 1077.11/292.48 a__U11 = a__U31 1077.11/292.48 a__U11 = mark 1077.11/292.48 a__U11 = a__U41 1077.11/292.48 a__U11 = a__plus 1077.11/292.48 a__U11 = a__and 1077.11/292.48 a__U11 = a__isNatKind 1077.11/292.48 a__U12 = a__isNat 1077.11/292.48 a__U12 = a__U21 1077.11/292.48 a__U12 = a__U31 1077.11/292.48 a__U12 = mark 1077.11/292.48 a__U12 = a__U41 1077.11/292.48 a__U12 = a__plus 1077.11/292.48 a__U12 = a__and 1077.11/292.48 a__U12 = a__isNatKind 1077.11/292.48 a__isNat = a__U21 1077.11/292.48 a__isNat = a__U31 1077.11/292.48 a__isNat = mark 1077.11/292.48 a__isNat = a__U41 1077.11/292.48 a__isNat = a__plus 1077.11/292.48 a__isNat = a__and 1077.11/292.48 a__isNat = a__isNatKind 1077.11/292.48 a__U21 = a__U31 1077.11/292.48 a__U21 = mark 1077.11/292.48 a__U21 = a__U41 1077.11/292.48 a__U21 = a__plus 1077.11/292.48 a__U21 = a__and 1077.11/292.48 a__U21 = a__isNatKind 1077.11/292.48 a__U31 = mark 1077.11/292.48 a__U31 = a__U41 1077.11/292.48 a__U31 = a__plus 1077.11/292.48 a__U31 = a__and 1077.11/292.48 a__U31 = a__isNatKind 1077.11/292.48 mark = a__U41 1077.11/292.48 mark = a__plus 1077.11/292.48 mark = a__and 1077.11/292.48 mark = a__isNatKind 1077.11/292.48 a__U41 = a__plus 1077.11/292.48 a__U41 = a__and 1077.11/292.48 a__U41 = a__isNatKind 1077.11/292.48 a__plus = a__and 1077.11/292.48 a__plus = a__isNatKind 1077.11/292.48 a__and = a__isNatKind 1077.11/292.48 1077.11/292.48 ---------------------------------------- 1077.11/292.48 1077.11/292.48 (10) LowerBoundPropagationProof (FINISHED) 1077.11/292.48 Propagated lower bound. 1077.11/292.48 ---------------------------------------- 1077.11/292.48 1077.11/292.48 (11) 1077.11/292.48 BOUNDS(n^1, INF) 1077.11/292.48 1077.11/292.48 ---------------------------------------- 1077.11/292.48 1077.11/292.48 (12) 1077.11/292.48 Obligation: 1077.11/292.48 Innermost TRS: 1077.11/292.48 Rules: 1077.11/292.48 a__U11(tt, V1, V2) -> a__U12(a__isNat(V1), V2) 1077.11/292.48 a__U12(tt, V2) -> a__U13(a__isNat(V2)) 1077.11/292.48 a__U13(tt) -> tt 1077.11/292.48 a__U21(tt, V1) -> a__U22(a__isNat(V1)) 1077.11/292.48 a__U22(tt) -> tt 1077.11/292.48 a__U31(tt, N) -> mark(N) 1077.11/292.48 a__U41(tt, M, N) -> s(a__plus(mark(N), mark(M))) 1077.11/292.48 a__and(tt, X) -> mark(X) 1077.11/292.48 a__isNat(0') -> tt 1077.11/292.48 a__isNat(plus(V1, V2)) -> a__U11(a__and(a__isNatKind(V1), isNatKind(V2)), V1, V2) 1077.11/292.48 a__isNat(s(V1)) -> a__U21(a__isNatKind(V1), V1) 1077.11/292.48 a__isNatKind(0') -> tt 1077.11/292.48 a__isNatKind(plus(V1, V2)) -> a__and(a__isNatKind(V1), isNatKind(V2)) 1077.11/292.48 a__isNatKind(s(V1)) -> a__isNatKind(V1) 1077.11/292.48 a__plus(N, 0') -> a__U31(a__and(a__isNat(N), isNatKind(N)), N) 1077.11/292.48 a__plus(N, s(M)) -> a__U41(a__and(a__and(a__isNat(M), isNatKind(M)), and(isNat(N), isNatKind(N))), M, N) 1077.11/292.48 mark(U11(X1, X2, X3)) -> a__U11(mark(X1), X2, X3) 1077.11/292.48 mark(U12(X1, X2)) -> a__U12(mark(X1), X2) 1077.11/292.48 mark(isNat(X)) -> a__isNat(X) 1077.11/292.48 mark(U13(X)) -> a__U13(mark(X)) 1077.11/292.48 mark(U21(X1, X2)) -> a__U21(mark(X1), X2) 1077.11/292.48 mark(U22(X)) -> a__U22(mark(X)) 1077.11/292.48 mark(U31(X1, X2)) -> a__U31(mark(X1), X2) 1077.11/292.48 mark(U41(X1, X2, X3)) -> a__U41(mark(X1), X2, X3) 1077.11/292.48 mark(plus(X1, X2)) -> a__plus(mark(X1), mark(X2)) 1077.11/292.48 mark(and(X1, X2)) -> a__and(mark(X1), X2) 1077.11/292.48 mark(isNatKind(X)) -> a__isNatKind(X) 1077.11/292.48 mark(tt) -> tt 1077.11/292.48 mark(s(X)) -> s(mark(X)) 1077.11/292.48 mark(0') -> 0' 1077.11/292.48 a__U11(X1, X2, X3) -> U11(X1, X2, X3) 1077.11/292.48 a__U12(X1, X2) -> U12(X1, X2) 1077.11/292.48 a__isNat(X) -> isNat(X) 1077.11/292.48 a__U13(X) -> U13(X) 1077.11/292.48 a__U21(X1, X2) -> U21(X1, X2) 1077.11/292.48 a__U22(X) -> U22(X) 1077.11/292.48 a__U31(X1, X2) -> U31(X1, X2) 1077.11/292.48 a__U41(X1, X2, X3) -> U41(X1, X2, X3) 1077.11/292.48 a__plus(X1, X2) -> plus(X1, X2) 1077.11/292.48 a__and(X1, X2) -> and(X1, X2) 1077.11/292.48 a__isNatKind(X) -> isNatKind(X) 1077.11/292.48 1077.11/292.48 Types: 1077.11/292.48 a__U11 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.48 tt :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.48 a__U12 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.48 a__isNat :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.48 a__U13 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.48 a__U21 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.48 a__U22 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.48 a__U31 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.48 mark :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.48 a__U41 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.48 s :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.48 a__plus :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.48 a__and :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.48 0' :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.48 plus :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.48 a__isNatKind :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.48 isNatKind :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.48 and :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.48 isNat :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.48 U11 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.48 U12 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.48 U13 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.48 U21 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.48 U22 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.48 U31 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.48 U41 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.48 hole_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U411_0 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.48 gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0 :: Nat -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.48 1077.11/292.48 1077.11/292.48 Lemmas: 1077.11/292.48 mark(gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(n1842524_0)) -> gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(n1842524_0), rt in Omega(1 + n1842524_0) 1077.11/292.48 1077.11/292.48 1077.11/292.48 Generator Equations: 1077.11/292.48 gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(0) <=> tt 1077.11/292.48 gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(+(x, 1)) <=> s(gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(x)) 1077.11/292.48 1077.11/292.48 1077.11/292.48 The following defined symbols remain to be analysed: 1077.11/292.48 a__U21, a__U11, a__U12, a__isNat, a__U31, a__U41, a__plus, a__and, a__isNatKind 1077.11/292.48 1077.11/292.48 They will be analysed ascendingly in the following order: 1077.11/292.48 a__U11 = a__U12 1077.11/292.48 a__U11 = a__isNat 1077.11/292.48 a__U11 = a__U21 1077.11/292.48 a__U11 = a__U31 1077.11/292.48 a__U11 = mark 1077.11/292.48 a__U11 = a__U41 1077.11/292.48 a__U11 = a__plus 1077.11/292.48 a__U11 = a__and 1077.11/292.48 a__U11 = a__isNatKind 1077.11/292.48 a__U12 = a__isNat 1077.11/292.48 a__U12 = a__U21 1077.11/292.48 a__U12 = a__U31 1077.11/292.48 a__U12 = mark 1077.11/292.48 a__U12 = a__U41 1077.11/292.48 a__U12 = a__plus 1077.11/292.48 a__U12 = a__and 1077.11/292.48 a__U12 = a__isNatKind 1077.11/292.48 a__isNat = a__U21 1077.11/292.48 a__isNat = a__U31 1077.11/292.48 a__isNat = mark 1077.11/292.48 a__isNat = a__U41 1077.11/292.48 a__isNat = a__plus 1077.11/292.48 a__isNat = a__and 1077.11/292.48 a__isNat = a__isNatKind 1077.11/292.48 a__U21 = a__U31 1077.11/292.48 a__U21 = mark 1077.11/292.48 a__U21 = a__U41 1077.11/292.48 a__U21 = a__plus 1077.11/292.48 a__U21 = a__and 1077.11/292.48 a__U21 = a__isNatKind 1077.11/292.48 a__U31 = mark 1077.11/292.48 a__U31 = a__U41 1077.11/292.48 a__U31 = a__plus 1077.11/292.48 a__U31 = a__and 1077.11/292.48 a__U31 = a__isNatKind 1077.11/292.48 mark = a__U41 1077.11/292.48 mark = a__plus 1077.11/292.48 mark = a__and 1077.11/292.48 mark = a__isNatKind 1077.11/292.48 a__U41 = a__plus 1077.11/292.48 a__U41 = a__and 1077.11/292.48 a__U41 = a__isNatKind 1077.11/292.48 a__plus = a__and 1077.11/292.48 a__plus = a__isNatKind 1077.11/292.48 a__and = a__isNatKind 1077.11/292.48 1077.11/292.48 ---------------------------------------- 1077.11/292.48 1077.11/292.48 (13) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) 1077.11/292.48 Proved the following rewrite lemma: 1077.11/292.48 a__isNatKind(gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(+(1, n2190332_0))) -> *3_0, rt in Omega(n2190332_0) 1077.11/292.48 1077.11/292.48 Induction Base: 1077.11/292.48 a__isNatKind(gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(+(1, 0))) 1077.11/292.48 1077.11/292.48 Induction Step: 1077.11/292.48 a__isNatKind(gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(+(1, +(n2190332_0, 1)))) ->_R^Omega(1) 1077.11/292.48 a__isNatKind(gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(+(1, n2190332_0))) ->_IH 1077.11/292.48 *3_0 1077.11/292.48 1077.11/292.48 We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). 1077.11/292.48 ---------------------------------------- 1077.11/292.48 1077.11/292.48 (14) 1077.11/292.48 Obligation: 1077.11/292.48 Innermost TRS: 1077.11/292.48 Rules: 1077.11/292.48 a__U11(tt, V1, V2) -> a__U12(a__isNat(V1), V2) 1077.11/292.48 a__U12(tt, V2) -> a__U13(a__isNat(V2)) 1077.11/292.48 a__U13(tt) -> tt 1077.11/292.48 a__U21(tt, V1) -> a__U22(a__isNat(V1)) 1077.11/292.48 a__U22(tt) -> tt 1077.11/292.48 a__U31(tt, N) -> mark(N) 1077.11/292.48 a__U41(tt, M, N) -> s(a__plus(mark(N), mark(M))) 1077.11/292.48 a__and(tt, X) -> mark(X) 1077.11/292.48 a__isNat(0') -> tt 1077.11/292.48 a__isNat(plus(V1, V2)) -> a__U11(a__and(a__isNatKind(V1), isNatKind(V2)), V1, V2) 1077.11/292.48 a__isNat(s(V1)) -> a__U21(a__isNatKind(V1), V1) 1077.11/292.48 a__isNatKind(0') -> tt 1077.11/292.48 a__isNatKind(plus(V1, V2)) -> a__and(a__isNatKind(V1), isNatKind(V2)) 1077.11/292.48 a__isNatKind(s(V1)) -> a__isNatKind(V1) 1077.11/292.48 a__plus(N, 0') -> a__U31(a__and(a__isNat(N), isNatKind(N)), N) 1077.11/292.48 a__plus(N, s(M)) -> a__U41(a__and(a__and(a__isNat(M), isNatKind(M)), and(isNat(N), isNatKind(N))), M, N) 1077.11/292.48 mark(U11(X1, X2, X3)) -> a__U11(mark(X1), X2, X3) 1077.11/292.48 mark(U12(X1, X2)) -> a__U12(mark(X1), X2) 1077.11/292.48 mark(isNat(X)) -> a__isNat(X) 1077.11/292.48 mark(U13(X)) -> a__U13(mark(X)) 1077.11/292.48 mark(U21(X1, X2)) -> a__U21(mark(X1), X2) 1077.11/292.48 mark(U22(X)) -> a__U22(mark(X)) 1077.11/292.48 mark(U31(X1, X2)) -> a__U31(mark(X1), X2) 1077.11/292.48 mark(U41(X1, X2, X3)) -> a__U41(mark(X1), X2, X3) 1077.11/292.48 mark(plus(X1, X2)) -> a__plus(mark(X1), mark(X2)) 1077.11/292.48 mark(and(X1, X2)) -> a__and(mark(X1), X2) 1077.11/292.48 mark(isNatKind(X)) -> a__isNatKind(X) 1077.11/292.48 mark(tt) -> tt 1077.11/292.48 mark(s(X)) -> s(mark(X)) 1077.11/292.48 mark(0') -> 0' 1077.11/292.48 a__U11(X1, X2, X3) -> U11(X1, X2, X3) 1077.11/292.48 a__U12(X1, X2) -> U12(X1, X2) 1077.11/292.48 a__isNat(X) -> isNat(X) 1077.11/292.48 a__U13(X) -> U13(X) 1077.11/292.48 a__U21(X1, X2) -> U21(X1, X2) 1077.11/292.48 a__U22(X) -> U22(X) 1077.11/292.48 a__U31(X1, X2) -> U31(X1, X2) 1077.11/292.48 a__U41(X1, X2, X3) -> U41(X1, X2, X3) 1077.11/292.48 a__plus(X1, X2) -> plus(X1, X2) 1077.11/292.48 a__and(X1, X2) -> and(X1, X2) 1077.11/292.48 a__isNatKind(X) -> isNatKind(X) 1077.11/292.48 1077.11/292.48 Types: 1077.11/292.48 a__U11 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.48 tt :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.48 a__U12 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.48 a__isNat :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.48 a__U13 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.48 a__U21 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.48 a__U22 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.48 a__U31 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.48 mark :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.48 a__U41 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.48 s :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.48 a__plus :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.48 a__and :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.48 0' :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.48 plus :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.48 a__isNatKind :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.48 isNatKind :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.48 and :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.48 isNat :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.48 U11 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.48 U12 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.48 U13 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.48 U21 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.48 U22 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.48 U31 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.48 U41 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.48 hole_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U411_0 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.48 gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0 :: Nat -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.48 1077.11/292.48 1077.11/292.48 Lemmas: 1077.11/292.48 mark(gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(n1842524_0)) -> gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(n1842524_0), rt in Omega(1 + n1842524_0) 1077.11/292.48 a__isNatKind(gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(+(1, n2190332_0))) -> *3_0, rt in Omega(n2190332_0) 1077.11/292.48 1077.11/292.48 1077.11/292.48 Generator Equations: 1077.11/292.48 gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(0) <=> tt 1077.11/292.48 gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(+(x, 1)) <=> s(gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(x)) 1077.11/292.48 1077.11/292.48 1077.11/292.48 The following defined symbols remain to be analysed: 1077.11/292.48 a__U12, a__U11, a__isNat, a__U21, a__U31, mark, a__U41, a__plus, a__and 1077.11/292.48 1077.11/292.48 They will be analysed ascendingly in the following order: 1077.11/292.48 a__U11 = a__U12 1077.11/292.48 a__U11 = a__isNat 1077.11/292.48 a__U11 = a__U21 1077.11/292.48 a__U11 = a__U31 1077.11/292.48 a__U11 = mark 1077.11/292.48 a__U11 = a__U41 1077.11/292.48 a__U11 = a__plus 1077.11/292.48 a__U11 = a__and 1077.11/292.48 a__U11 = a__isNatKind 1077.11/292.48 a__U12 = a__isNat 1077.11/292.48 a__U12 = a__U21 1077.11/292.48 a__U12 = a__U31 1077.11/292.48 a__U12 = mark 1077.11/292.48 a__U12 = a__U41 1077.11/292.48 a__U12 = a__plus 1077.11/292.48 a__U12 = a__and 1077.11/292.48 a__U12 = a__isNatKind 1077.11/292.48 a__isNat = a__U21 1077.11/292.48 a__isNat = a__U31 1077.11/292.48 a__isNat = mark 1077.11/292.48 a__isNat = a__U41 1077.11/292.48 a__isNat = a__plus 1077.11/292.48 a__isNat = a__and 1077.11/292.48 a__isNat = a__isNatKind 1077.11/292.48 a__U21 = a__U31 1077.11/292.48 a__U21 = mark 1077.11/292.48 a__U21 = a__U41 1077.11/292.48 a__U21 = a__plus 1077.11/292.48 a__U21 = a__and 1077.11/292.48 a__U21 = a__isNatKind 1077.11/292.48 a__U31 = mark 1077.11/292.48 a__U31 = a__U41 1077.11/292.48 a__U31 = a__plus 1077.11/292.48 a__U31 = a__and 1077.11/292.48 a__U31 = a__isNatKind 1077.11/292.48 mark = a__U41 1077.11/292.48 mark = a__plus 1077.11/292.48 mark = a__and 1077.11/292.48 mark = a__isNatKind 1077.11/292.48 a__U41 = a__plus 1077.11/292.48 a__U41 = a__and 1077.11/292.48 a__U41 = a__isNatKind 1077.11/292.48 a__plus = a__and 1077.11/292.48 a__plus = a__isNatKind 1077.11/292.48 a__and = a__isNatKind 1077.11/292.48 1077.11/292.48 ---------------------------------------- 1077.11/292.48 1077.11/292.48 (15) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) 1077.11/292.48 Proved the following rewrite lemma: 1077.11/292.48 mark(gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(n2194936_0)) -> gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(n2194936_0), rt in Omega(1 + n2194936_0) 1077.11/292.48 1077.11/292.48 Induction Base: 1077.11/292.48 mark(gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(0)) ->_R^Omega(1) 1077.11/292.48 tt 1077.11/292.48 1077.11/292.48 Induction Step: 1077.11/292.48 mark(gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(+(n2194936_0, 1))) ->_R^Omega(1) 1077.11/292.48 s(mark(gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(n2194936_0))) ->_IH 1077.11/292.48 s(gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(c2194937_0)) 1077.11/292.48 1077.11/292.48 We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). 1077.11/292.48 ---------------------------------------- 1077.11/292.48 1077.11/292.48 (16) 1077.11/292.48 Obligation: 1077.11/292.48 Innermost TRS: 1077.11/292.48 Rules: 1077.11/292.48 a__U11(tt, V1, V2) -> a__U12(a__isNat(V1), V2) 1077.11/292.48 a__U12(tt, V2) -> a__U13(a__isNat(V2)) 1077.11/292.48 a__U13(tt) -> tt 1077.11/292.48 a__U21(tt, V1) -> a__U22(a__isNat(V1)) 1077.11/292.48 a__U22(tt) -> tt 1077.11/292.48 a__U31(tt, N) -> mark(N) 1077.11/292.48 a__U41(tt, M, N) -> s(a__plus(mark(N), mark(M))) 1077.11/292.48 a__and(tt, X) -> mark(X) 1077.11/292.48 a__isNat(0') -> tt 1077.11/292.48 a__isNat(plus(V1, V2)) -> a__U11(a__and(a__isNatKind(V1), isNatKind(V2)), V1, V2) 1077.11/292.48 a__isNat(s(V1)) -> a__U21(a__isNatKind(V1), V1) 1077.11/292.48 a__isNatKind(0') -> tt 1077.11/292.48 a__isNatKind(plus(V1, V2)) -> a__and(a__isNatKind(V1), isNatKind(V2)) 1077.11/292.48 a__isNatKind(s(V1)) -> a__isNatKind(V1) 1077.11/292.48 a__plus(N, 0') -> a__U31(a__and(a__isNat(N), isNatKind(N)), N) 1077.11/292.48 a__plus(N, s(M)) -> a__U41(a__and(a__and(a__isNat(M), isNatKind(M)), and(isNat(N), isNatKind(N))), M, N) 1077.11/292.48 mark(U11(X1, X2, X3)) -> a__U11(mark(X1), X2, X3) 1077.11/292.48 mark(U12(X1, X2)) -> a__U12(mark(X1), X2) 1077.11/292.48 mark(isNat(X)) -> a__isNat(X) 1077.11/292.48 mark(U13(X)) -> a__U13(mark(X)) 1077.11/292.48 mark(U21(X1, X2)) -> a__U21(mark(X1), X2) 1077.11/292.48 mark(U22(X)) -> a__U22(mark(X)) 1077.11/292.48 mark(U31(X1, X2)) -> a__U31(mark(X1), X2) 1077.11/292.48 mark(U41(X1, X2, X3)) -> a__U41(mark(X1), X2, X3) 1077.11/292.48 mark(plus(X1, X2)) -> a__plus(mark(X1), mark(X2)) 1077.11/292.48 mark(and(X1, X2)) -> a__and(mark(X1), X2) 1077.11/292.48 mark(isNatKind(X)) -> a__isNatKind(X) 1077.11/292.48 mark(tt) -> tt 1077.11/292.48 mark(s(X)) -> s(mark(X)) 1077.11/292.48 mark(0') -> 0' 1077.11/292.48 a__U11(X1, X2, X3) -> U11(X1, X2, X3) 1077.11/292.48 a__U12(X1, X2) -> U12(X1, X2) 1077.11/292.48 a__isNat(X) -> isNat(X) 1077.11/292.48 a__U13(X) -> U13(X) 1077.11/292.48 a__U21(X1, X2) -> U21(X1, X2) 1077.11/292.48 a__U22(X) -> U22(X) 1077.11/292.48 a__U31(X1, X2) -> U31(X1, X2) 1077.11/292.48 a__U41(X1, X2, X3) -> U41(X1, X2, X3) 1077.11/292.48 a__plus(X1, X2) -> plus(X1, X2) 1077.11/292.48 a__and(X1, X2) -> and(X1, X2) 1077.11/292.48 a__isNatKind(X) -> isNatKind(X) 1077.11/292.48 1077.11/292.48 Types: 1077.11/292.48 a__U11 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.48 tt :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.48 a__U12 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.48 a__isNat :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.48 a__U13 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.48 a__U21 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.48 a__U22 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.48 a__U31 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.48 mark :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.48 a__U41 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.48 s :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.48 a__plus :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.48 a__and :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.48 0' :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.48 plus :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.48 a__isNatKind :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.48 isNatKind :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.48 and :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.48 isNat :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.48 U11 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.48 U12 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.48 U13 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.48 U21 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.48 U22 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.48 U31 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.48 U41 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.48 hole_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U411_0 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.48 gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0 :: Nat -> tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 1077.11/292.48 1077.11/292.48 1077.11/292.48 Lemmas: 1077.11/292.48 mark(gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(n2194936_0)) -> gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(n2194936_0), rt in Omega(1 + n2194936_0) 1077.11/292.48 a__isNatKind(gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(+(1, n2190332_0))) -> *3_0, rt in Omega(n2190332_0) 1077.11/292.48 1077.11/292.48 1077.11/292.48 Generator Equations: 1077.11/292.48 gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(0) <=> tt 1077.11/292.48 gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(+(x, 1)) <=> s(gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(x)) 1077.11/292.48 1077.11/292.48 1077.11/292.48 The following defined symbols remain to be analysed: 1077.11/292.48 a__U21, a__U31, a__U41, a__plus 1077.11/292.48 1077.11/292.48 They will be analysed ascendingly in the following order: 1077.11/292.48 a__U11 = a__U12 1077.11/292.48 a__U11 = a__isNat 1077.11/292.48 a__U11 = a__U21 1077.11/292.48 a__U11 = a__U31 1077.11/292.48 a__U11 = mark 1077.11/292.48 a__U11 = a__U41 1077.11/292.48 a__U11 = a__plus 1077.11/292.48 a__U11 = a__and 1077.11/292.48 a__U11 = a__isNatKind 1077.11/292.48 a__U12 = a__isNat 1077.11/292.48 a__U12 = a__U21 1077.11/292.48 a__U12 = a__U31 1077.11/292.48 a__U12 = mark 1077.11/292.48 a__U12 = a__U41 1077.11/292.48 a__U12 = a__plus 1077.11/292.48 a__U12 = a__and 1077.11/292.48 a__U12 = a__isNatKind 1077.11/292.48 a__isNat = a__U21 1077.11/292.48 a__isNat = a__U31 1077.11/292.48 a__isNat = mark 1077.11/292.48 a__isNat = a__U41 1077.11/292.48 a__isNat = a__plus 1077.11/292.48 a__isNat = a__and 1077.11/292.48 a__isNat = a__isNatKind 1077.11/292.48 a__U21 = a__U31 1077.11/292.48 a__U21 = mark 1077.11/292.48 a__U21 = a__U41 1077.11/292.48 a__U21 = a__plus 1077.11/292.48 a__U21 = a__and 1077.11/292.48 a__U21 = a__isNatKind 1077.11/292.48 a__U31 = mark 1077.11/292.48 a__U31 = a__U41 1077.11/292.48 a__U31 = a__plus 1077.11/292.48 a__U31 = a__and 1077.11/292.48 a__U31 = a__isNatKind 1077.11/292.48 mark = a__U41 1077.11/292.48 mark = a__plus 1077.11/292.48 mark = a__and 1077.11/292.48 mark = a__isNatKind 1077.11/292.48 a__U41 = a__plus 1077.11/292.48 a__U41 = a__and 1077.11/292.48 a__U41 = a__isNatKind 1077.11/292.48 a__plus = a__and 1077.11/292.48 a__plus = a__isNatKind 1077.11/292.48 a__and = a__isNatKind 1077.46/292.59 EOF