YES

Problem 1: 

(VAR v_NonEmpty:S m:S n:S x:S y:S)
(RULES
app(add(n:S,x:S),y:S) -> add(n:S,app(x:S,y:S))
app(nil,y:S) -> y:S
high(n:S,add(m:S,x:S)) -> if_high(le(m:S,n:S),n:S,add(m:S,x:S))
high(n:S,nil) -> nil
if_high(ffalse,n:S,add(m:S,x:S)) -> add(m:S,high(n:S,x:S))
if_high(ttrue,n:S,add(m:S,x:S)) -> high(n:S,x:S)
if_low(ffalse,n:S,add(m:S,x:S)) -> low(n:S,x:S)
if_low(ttrue,n:S,add(m:S,x:S)) -> add(m:S,low(n:S,x:S))
le(0,y:S) -> ttrue
le(s(x:S),0) -> ffalse
le(s(x:S),s(y:S)) -> le(x:S,y:S)
low(n:S,add(m:S,x:S)) -> if_low(le(m:S,n:S),n:S,add(m:S,x:S))
low(n:S,nil) -> nil
minus(s(x:S),s(y:S)) -> minus(x:S,y:S)
minus(x:S,0) -> x:S
quicksort(add(n:S,x:S)) -> app(quicksort(low(n:S,x:S)),add(n:S,quicksort(high(n:S,x:S))))
quicksort(nil) -> nil
quot(0,s(y:S)) -> 0
quot(s(x:S),s(y:S)) -> s(quot(minus(x:S,y:S),s(y:S)))
)

Problem 1: 

Innermost Equivalent Processor:
-> Rules:
 app(add(n:S,x:S),y:S) -> add(n:S,app(x:S,y:S))
 app(nil,y:S) -> y:S
 high(n:S,add(m:S,x:S)) -> if_high(le(m:S,n:S),n:S,add(m:S,x:S))
 high(n:S,nil) -> nil
 if_high(ffalse,n:S,add(m:S,x:S)) -> add(m:S,high(n:S,x:S))
 if_high(ttrue,n:S,add(m:S,x:S)) -> high(n:S,x:S)
 if_low(ffalse,n:S,add(m:S,x:S)) -> low(n:S,x:S)
 if_low(ttrue,n:S,add(m:S,x:S)) -> add(m:S,low(n:S,x:S))
 le(0,y:S) -> ttrue
 le(s(x:S),0) -> ffalse
 le(s(x:S),s(y:S)) -> le(x:S,y:S)
 low(n:S,add(m:S,x:S)) -> if_low(le(m:S,n:S),n:S,add(m:S,x:S))
 low(n:S,nil) -> nil
 minus(s(x:S),s(y:S)) -> minus(x:S,y:S)
 minus(x:S,0) -> x:S
 quicksort(add(n:S,x:S)) -> app(quicksort(low(n:S,x:S)),add(n:S,quicksort(high(n:S,x:S))))
 quicksort(nil) -> nil
 quot(0,s(y:S)) -> 0
 quot(s(x:S),s(y:S)) -> s(quot(minus(x:S,y:S),s(y:S)))
-> The term rewriting system is non-overlaping or locally confluent overlay system. Therefore, innermost termination implies termination.
 

Problem 1: 

Dependency Pairs Processor:
-> Pairs:
 APP(add(n:S,x:S),y:S) -> APP(x:S,y:S)
 HIGH(n:S,add(m:S,x:S)) -> IF_HIGH(le(m:S,n:S),n:S,add(m:S,x:S))
 HIGH(n:S,add(m:S,x:S)) -> LE(m:S,n:S)
 IF_HIGH(ffalse,n:S,add(m:S,x:S)) -> HIGH(n:S,x:S)
 IF_HIGH(ttrue,n:S,add(m:S,x:S)) -> HIGH(n:S,x:S)
 IF_LOW(ffalse,n:S,add(m:S,x:S)) -> LOW(n:S,x:S)
 IF_LOW(ttrue,n:S,add(m:S,x:S)) -> LOW(n:S,x:S)
 LE(s(x:S),s(y:S)) -> LE(x:S,y:S)
 LOW(n:S,add(m:S,x:S)) -> IF_LOW(le(m:S,n:S),n:S,add(m:S,x:S))
 LOW(n:S,add(m:S,x:S)) -> LE(m:S,n:S)
 MINUS(s(x:S),s(y:S)) -> MINUS(x:S,y:S)
 QUICKSORT(add(n:S,x:S)) -> APP(quicksort(low(n:S,x:S)),add(n:S,quicksort(high(n:S,x:S))))
 QUICKSORT(add(n:S,x:S)) -> HIGH(n:S,x:S)
 QUICKSORT(add(n:S,x:S)) -> LOW(n:S,x:S)
 QUICKSORT(add(n:S,x:S)) -> QUICKSORT(high(n:S,x:S))
 QUICKSORT(add(n:S,x:S)) -> QUICKSORT(low(n:S,x:S))
 QUOT(s(x:S),s(y:S)) -> MINUS(x:S,y:S)
 QUOT(s(x:S),s(y:S)) -> QUOT(minus(x:S,y:S),s(y:S))
-> Rules:
 app(add(n:S,x:S),y:S) -> add(n:S,app(x:S,y:S))
 app(nil,y:S) -> y:S
 high(n:S,add(m:S,x:S)) -> if_high(le(m:S,n:S),n:S,add(m:S,x:S))
 high(n:S,nil) -> nil
 if_high(ffalse,n:S,add(m:S,x:S)) -> add(m:S,high(n:S,x:S))
 if_high(ttrue,n:S,add(m:S,x:S)) -> high(n:S,x:S)
 if_low(ffalse,n:S,add(m:S,x:S)) -> low(n:S,x:S)
 if_low(ttrue,n:S,add(m:S,x:S)) -> add(m:S,low(n:S,x:S))
 le(0,y:S) -> ttrue
 le(s(x:S),0) -> ffalse
 le(s(x:S),s(y:S)) -> le(x:S,y:S)
 low(n:S,add(m:S,x:S)) -> if_low(le(m:S,n:S),n:S,add(m:S,x:S))
 low(n:S,nil) -> nil
 minus(s(x:S),s(y:S)) -> minus(x:S,y:S)
 minus(x:S,0) -> x:S
 quicksort(add(n:S,x:S)) -> app(quicksort(low(n:S,x:S)),add(n:S,quicksort(high(n:S,x:S))))
 quicksort(nil) -> nil
 quot(0,s(y:S)) -> 0
 quot(s(x:S),s(y:S)) -> s(quot(minus(x:S,y:S),s(y:S)))

Problem 1: 

SCC Processor:
-> Pairs:
 APP(add(n:S,x:S),y:S) -> APP(x:S,y:S)
 HIGH(n:S,add(m:S,x:S)) -> IF_HIGH(le(m:S,n:S),n:S,add(m:S,x:S))
 HIGH(n:S,add(m:S,x:S)) -> LE(m:S,n:S)
 IF_HIGH(ffalse,n:S,add(m:S,x:S)) -> HIGH(n:S,x:S)
 IF_HIGH(ttrue,n:S,add(m:S,x:S)) -> HIGH(n:S,x:S)
 IF_LOW(ffalse,n:S,add(m:S,x:S)) -> LOW(n:S,x:S)
 IF_LOW(ttrue,n:S,add(m:S,x:S)) -> LOW(n:S,x:S)
 LE(s(x:S),s(y:S)) -> LE(x:S,y:S)
 LOW(n:S,add(m:S,x:S)) -> IF_LOW(le(m:S,n:S),n:S,add(m:S,x:S))
 LOW(n:S,add(m:S,x:S)) -> LE(m:S,n:S)
 MINUS(s(x:S),s(y:S)) -> MINUS(x:S,y:S)
 QUICKSORT(add(n:S,x:S)) -> APP(quicksort(low(n:S,x:S)),add(n:S,quicksort(high(n:S,x:S))))
 QUICKSORT(add(n:S,x:S)) -> HIGH(n:S,x:S)
 QUICKSORT(add(n:S,x:S)) -> LOW(n:S,x:S)
 QUICKSORT(add(n:S,x:S)) -> QUICKSORT(high(n:S,x:S))
 QUICKSORT(add(n:S,x:S)) -> QUICKSORT(low(n:S,x:S))
 QUOT(s(x:S),s(y:S)) -> MINUS(x:S,y:S)
 QUOT(s(x:S),s(y:S)) -> QUOT(minus(x:S,y:S),s(y:S))
-> Rules:
 app(add(n:S,x:S),y:S) -> add(n:S,app(x:S,y:S))
 app(nil,y:S) -> y:S
 high(n:S,add(m:S,x:S)) -> if_high(le(m:S,n:S),n:S,add(m:S,x:S))
 high(n:S,nil) -> nil
 if_high(ffalse,n:S,add(m:S,x:S)) -> add(m:S,high(n:S,x:S))
 if_high(ttrue,n:S,add(m:S,x:S)) -> high(n:S,x:S)
 if_low(ffalse,n:S,add(m:S,x:S)) -> low(n:S,x:S)
 if_low(ttrue,n:S,add(m:S,x:S)) -> add(m:S,low(n:S,x:S))
 le(0,y:S) -> ttrue
 le(s(x:S),0) -> ffalse
 le(s(x:S),s(y:S)) -> le(x:S,y:S)
 low(n:S,add(m:S,x:S)) -> if_low(le(m:S,n:S),n:S,add(m:S,x:S))
 low(n:S,nil) -> nil
 minus(s(x:S),s(y:S)) -> minus(x:S,y:S)
 minus(x:S,0) -> x:S
 quicksort(add(n:S,x:S)) -> app(quicksort(low(n:S,x:S)),add(n:S,quicksort(high(n:S,x:S))))
 quicksort(nil) -> nil
 quot(0,s(y:S)) -> 0
 quot(s(x:S),s(y:S)) -> s(quot(minus(x:S,y:S),s(y:S)))
->Strongly Connected Components:
->->Cycle:
->->-> Pairs:
 MINUS(s(x:S),s(y:S)) -> MINUS(x:S,y:S)
->->-> Rules:
 app(add(n:S,x:S),y:S) -> add(n:S,app(x:S,y:S))
 app(nil,y:S) -> y:S
 high(n:S,add(m:S,x:S)) -> if_high(le(m:S,n:S),n:S,add(m:S,x:S))
 high(n:S,nil) -> nil
 if_high(ffalse,n:S,add(m:S,x:S)) -> add(m:S,high(n:S,x:S))
 if_high(ttrue,n:S,add(m:S,x:S)) -> high(n:S,x:S)
 if_low(ffalse,n:S,add(m:S,x:S)) -> low(n:S,x:S)
 if_low(ttrue,n:S,add(m:S,x:S)) -> add(m:S,low(n:S,x:S))
 le(0,y:S) -> ttrue
 le(s(x:S),0) -> ffalse
 le(s(x:S),s(y:S)) -> le(x:S,y:S)
 low(n:S,add(m:S,x:S)) -> if_low(le(m:S,n:S),n:S,add(m:S,x:S))
 low(n:S,nil) -> nil
 minus(s(x:S),s(y:S)) -> minus(x:S,y:S)
 minus(x:S,0) -> x:S
 quicksort(add(n:S,x:S)) -> app(quicksort(low(n:S,x:S)),add(n:S,quicksort(high(n:S,x:S))))
 quicksort(nil) -> nil
 quot(0,s(y:S)) -> 0
 quot(s(x:S),s(y:S)) -> s(quot(minus(x:S,y:S),s(y:S)))
->->Cycle:
->->-> Pairs:
 QUOT(s(x:S),s(y:S)) -> QUOT(minus(x:S,y:S),s(y:S))
->->-> Rules:
 app(add(n:S,x:S),y:S) -> add(n:S,app(x:S,y:S))
 app(nil,y:S) -> y:S
 high(n:S,add(m:S,x:S)) -> if_high(le(m:S,n:S),n:S,add(m:S,x:S))
 high(n:S,nil) -> nil
 if_high(ffalse,n:S,add(m:S,x:S)) -> add(m:S,high(n:S,x:S))
 if_high(ttrue,n:S,add(m:S,x:S)) -> high(n:S,x:S)
 if_low(ffalse,n:S,add(m:S,x:S)) -> low(n:S,x:S)
 if_low(ttrue,n:S,add(m:S,x:S)) -> add(m:S,low(n:S,x:S))
 le(0,y:S) -> ttrue
 le(s(x:S),0) -> ffalse
 le(s(x:S),s(y:S)) -> le(x:S,y:S)
 low(n:S,add(m:S,x:S)) -> if_low(le(m:S,n:S),n:S,add(m:S,x:S))
 low(n:S,nil) -> nil
 minus(s(x:S),s(y:S)) -> minus(x:S,y:S)
 minus(x:S,0) -> x:S
 quicksort(add(n:S,x:S)) -> app(quicksort(low(n:S,x:S)),add(n:S,quicksort(high(n:S,x:S))))
 quicksort(nil) -> nil
 quot(0,s(y:S)) -> 0
 quot(s(x:S),s(y:S)) -> s(quot(minus(x:S,y:S),s(y:S)))
->->Cycle:
->->-> Pairs:
 LE(s(x:S),s(y:S)) -> LE(x:S,y:S)
->->-> Rules:
 app(add(n:S,x:S),y:S) -> add(n:S,app(x:S,y:S))
 app(nil,y:S) -> y:S
 high(n:S,add(m:S,x:S)) -> if_high(le(m:S,n:S),n:S,add(m:S,x:S))
 high(n:S,nil) -> nil
 if_high(ffalse,n:S,add(m:S,x:S)) -> add(m:S,high(n:S,x:S))
 if_high(ttrue,n:S,add(m:S,x:S)) -> high(n:S,x:S)
 if_low(ffalse,n:S,add(m:S,x:S)) -> low(n:S,x:S)
 if_low(ttrue,n:S,add(m:S,x:S)) -> add(m:S,low(n:S,x:S))
 le(0,y:S) -> ttrue
 le(s(x:S),0) -> ffalse
 le(s(x:S),s(y:S)) -> le(x:S,y:S)
 low(n:S,add(m:S,x:S)) -> if_low(le(m:S,n:S),n:S,add(m:S,x:S))
 low(n:S,nil) -> nil
 minus(s(x:S),s(y:S)) -> minus(x:S,y:S)
 minus(x:S,0) -> x:S
 quicksort(add(n:S,x:S)) -> app(quicksort(low(n:S,x:S)),add(n:S,quicksort(high(n:S,x:S))))
 quicksort(nil) -> nil
 quot(0,s(y:S)) -> 0
 quot(s(x:S),s(y:S)) -> s(quot(minus(x:S,y:S),s(y:S)))
->->Cycle:
->->-> Pairs:
 IF_LOW(ffalse,n:S,add(m:S,x:S)) -> LOW(n:S,x:S)
 IF_LOW(ttrue,n:S,add(m:S,x:S)) -> LOW(n:S,x:S)
 LOW(n:S,add(m:S,x:S)) -> IF_LOW(le(m:S,n:S),n:S,add(m:S,x:S))
->->-> Rules:
 app(add(n:S,x:S),y:S) -> add(n:S,app(x:S,y:S))
 app(nil,y:S) -> y:S
 high(n:S,add(m:S,x:S)) -> if_high(le(m:S,n:S),n:S,add(m:S,x:S))
 high(n:S,nil) -> nil
 if_high(ffalse,n:S,add(m:S,x:S)) -> add(m:S,high(n:S,x:S))
 if_high(ttrue,n:S,add(m:S,x:S)) -> high(n:S,x:S)
 if_low(ffalse,n:S,add(m:S,x:S)) -> low(n:S,x:S)
 if_low(ttrue,n:S,add(m:S,x:S)) -> add(m:S,low(n:S,x:S))
 le(0,y:S) -> ttrue
 le(s(x:S),0) -> ffalse
 le(s(x:S),s(y:S)) -> le(x:S,y:S)
 low(n:S,add(m:S,x:S)) -> if_low(le(m:S,n:S),n:S,add(m:S,x:S))
 low(n:S,nil) -> nil
 minus(s(x:S),s(y:S)) -> minus(x:S,y:S)
 minus(x:S,0) -> x:S
 quicksort(add(n:S,x:S)) -> app(quicksort(low(n:S,x:S)),add(n:S,quicksort(high(n:S,x:S))))
 quicksort(nil) -> nil
 quot(0,s(y:S)) -> 0
 quot(s(x:S),s(y:S)) -> s(quot(minus(x:S,y:S),s(y:S)))
->->Cycle:
->->-> Pairs:
 HIGH(n:S,add(m:S,x:S)) -> IF_HIGH(le(m:S,n:S),n:S,add(m:S,x:S))
 IF_HIGH(ffalse,n:S,add(m:S,x:S)) -> HIGH(n:S,x:S)
 IF_HIGH(ttrue,n:S,add(m:S,x:S)) -> HIGH(n:S,x:S)
->->-> Rules:
 app(add(n:S,x:S),y:S) -> add(n:S,app(x:S,y:S))
 app(nil,y:S) -> y:S
 high(n:S,add(m:S,x:S)) -> if_high(le(m:S,n:S),n:S,add(m:S,x:S))
 high(n:S,nil) -> nil
 if_high(ffalse,n:S,add(m:S,x:S)) -> add(m:S,high(n:S,x:S))
 if_high(ttrue,n:S,add(m:S,x:S)) -> high(n:S,x:S)
 if_low(ffalse,n:S,add(m:S,x:S)) -> low(n:S,x:S)
 if_low(ttrue,n:S,add(m:S,x:S)) -> add(m:S,low(n:S,x:S))
 le(0,y:S) -> ttrue
 le(s(x:S),0) -> ffalse
 le(s(x:S),s(y:S)) -> le(x:S,y:S)
 low(n:S,add(m:S,x:S)) -> if_low(le(m:S,n:S),n:S,add(m:S,x:S))
 low(n:S,nil) -> nil
 minus(s(x:S),s(y:S)) -> minus(x:S,y:S)
 minus(x:S,0) -> x:S
 quicksort(add(n:S,x:S)) -> app(quicksort(low(n:S,x:S)),add(n:S,quicksort(high(n:S,x:S))))
 quicksort(nil) -> nil
 quot(0,s(y:S)) -> 0
 quot(s(x:S),s(y:S)) -> s(quot(minus(x:S,y:S),s(y:S)))
->->Cycle:
->->-> Pairs:
 APP(add(n:S,x:S),y:S) -> APP(x:S,y:S)
->->-> Rules:
 app(add(n:S,x:S),y:S) -> add(n:S,app(x:S,y:S))
 app(nil,y:S) -> y:S
 high(n:S,add(m:S,x:S)) -> if_high(le(m:S,n:S),n:S,add(m:S,x:S))
 high(n:S,nil) -> nil
 if_high(ffalse,n:S,add(m:S,x:S)) -> add(m:S,high(n:S,x:S))
 if_high(ttrue,n:S,add(m:S,x:S)) -> high(n:S,x:S)
 if_low(ffalse,n:S,add(m:S,x:S)) -> low(n:S,x:S)
 if_low(ttrue,n:S,add(m:S,x:S)) -> add(m:S,low(n:S,x:S))
 le(0,y:S) -> ttrue
 le(s(x:S),0) -> ffalse
 le(s(x:S),s(y:S)) -> le(x:S,y:S)
 low(n:S,add(m:S,x:S)) -> if_low(le(m:S,n:S),n:S,add(m:S,x:S))
 low(n:S,nil) -> nil
 minus(s(x:S),s(y:S)) -> minus(x:S,y:S)
 minus(x:S,0) -> x:S
 quicksort(add(n:S,x:S)) -> app(quicksort(low(n:S,x:S)),add(n:S,quicksort(high(n:S,x:S))))
 quicksort(nil) -> nil
 quot(0,s(y:S)) -> 0
 quot(s(x:S),s(y:S)) -> s(quot(minus(x:S,y:S),s(y:S)))
->->Cycle:
->->-> Pairs:
 QUICKSORT(add(n:S,x:S)) -> QUICKSORT(high(n:S,x:S))
 QUICKSORT(add(n:S,x:S)) -> QUICKSORT(low(n:S,x:S))
->->-> Rules:
 app(add(n:S,x:S),y:S) -> add(n:S,app(x:S,y:S))
 app(nil,y:S) -> y:S
 high(n:S,add(m:S,x:S)) -> if_high(le(m:S,n:S),n:S,add(m:S,x:S))
 high(n:S,nil) -> nil
 if_high(ffalse,n:S,add(m:S,x:S)) -> add(m:S,high(n:S,x:S))
 if_high(ttrue,n:S,add(m:S,x:S)) -> high(n:S,x:S)
 if_low(ffalse,n:S,add(m:S,x:S)) -> low(n:S,x:S)
 if_low(ttrue,n:S,add(m:S,x:S)) -> add(m:S,low(n:S,x:S))
 le(0,y:S) -> ttrue
 le(s(x:S),0) -> ffalse
 le(s(x:S),s(y:S)) -> le(x:S,y:S)
 low(n:S,add(m:S,x:S)) -> if_low(le(m:S,n:S),n:S,add(m:S,x:S))
 low(n:S,nil) -> nil
 minus(s(x:S),s(y:S)) -> minus(x:S,y:S)
 minus(x:S,0) -> x:S
 quicksort(add(n:S,x:S)) -> app(quicksort(low(n:S,x:S)),add(n:S,quicksort(high(n:S,x:S))))
 quicksort(nil) -> nil
 quot(0,s(y:S)) -> 0
 quot(s(x:S),s(y:S)) -> s(quot(minus(x:S,y:S),s(y:S)))


The problem is decomposed in 7 subproblems.

Problem 1.1: 

Subterm Processor:
-> Pairs:
 MINUS(s(x:S),s(y:S)) -> MINUS(x:S,y:S)
-> Rules:
 app(add(n:S,x:S),y:S) -> add(n:S,app(x:S,y:S))
 app(nil,y:S) -> y:S
 high(n:S,add(m:S,x:S)) -> if_high(le(m:S,n:S),n:S,add(m:S,x:S))
 high(n:S,nil) -> nil
 if_high(ffalse,n:S,add(m:S,x:S)) -> add(m:S,high(n:S,x:S))
 if_high(ttrue,n:S,add(m:S,x:S)) -> high(n:S,x:S)
 if_low(ffalse,n:S,add(m:S,x:S)) -> low(n:S,x:S)
 if_low(ttrue,n:S,add(m:S,x:S)) -> add(m:S,low(n:S,x:S))
 le(0,y:S) -> ttrue
 le(s(x:S),0) -> ffalse
 le(s(x:S),s(y:S)) -> le(x:S,y:S)
 low(n:S,add(m:S,x:S)) -> if_low(le(m:S,n:S),n:S,add(m:S,x:S))
 low(n:S,nil) -> nil
 minus(s(x:S),s(y:S)) -> minus(x:S,y:S)
 minus(x:S,0) -> x:S
 quicksort(add(n:S,x:S)) -> app(quicksort(low(n:S,x:S)),add(n:S,quicksort(high(n:S,x:S))))
 quicksort(nil) -> nil
 quot(0,s(y:S)) -> 0
 quot(s(x:S),s(y:S)) -> s(quot(minus(x:S,y:S),s(y:S)))
->Projection:
 pi(MINUS) = 1

Problem 1.1: 

SCC Processor:
-> Pairs:
 Empty
-> Rules:
 app(add(n:S,x:S),y:S) -> add(n:S,app(x:S,y:S))
 app(nil,y:S) -> y:S
 high(n:S,add(m:S,x:S)) -> if_high(le(m:S,n:S),n:S,add(m:S,x:S))
 high(n:S,nil) -> nil
 if_high(ffalse,n:S,add(m:S,x:S)) -> add(m:S,high(n:S,x:S))
 if_high(ttrue,n:S,add(m:S,x:S)) -> high(n:S,x:S)
 if_low(ffalse,n:S,add(m:S,x:S)) -> low(n:S,x:S)
 if_low(ttrue,n:S,add(m:S,x:S)) -> add(m:S,low(n:S,x:S))
 le(0,y:S) -> ttrue
 le(s(x:S),0) -> ffalse
 le(s(x:S),s(y:S)) -> le(x:S,y:S)
 low(n:S,add(m:S,x:S)) -> if_low(le(m:S,n:S),n:S,add(m:S,x:S))
 low(n:S,nil) -> nil
 minus(s(x:S),s(y:S)) -> minus(x:S,y:S)
 minus(x:S,0) -> x:S
 quicksort(add(n:S,x:S)) -> app(quicksort(low(n:S,x:S)),add(n:S,quicksort(high(n:S,x:S))))
 quicksort(nil) -> nil
 quot(0,s(y:S)) -> 0
 quot(s(x:S),s(y:S)) -> s(quot(minus(x:S,y:S),s(y:S)))
->Strongly Connected Components:
 There is no strongly connected component

The problem is finite.

Problem 1.2: 

Reduction Pairs Processor:
-> Pairs:
 QUOT(s(x:S),s(y:S)) -> QUOT(minus(x:S,y:S),s(y:S))
-> Rules:
 app(add(n:S,x:S),y:S) -> add(n:S,app(x:S,y:S))
 app(nil,y:S) -> y:S
 high(n:S,add(m:S,x:S)) -> if_high(le(m:S,n:S),n:S,add(m:S,x:S))
 high(n:S,nil) -> nil
 if_high(ffalse,n:S,add(m:S,x:S)) -> add(m:S,high(n:S,x:S))
 if_high(ttrue,n:S,add(m:S,x:S)) -> high(n:S,x:S)
 if_low(ffalse,n:S,add(m:S,x:S)) -> low(n:S,x:S)
 if_low(ttrue,n:S,add(m:S,x:S)) -> add(m:S,low(n:S,x:S))
 le(0,y:S) -> ttrue
 le(s(x:S),0) -> ffalse
 le(s(x:S),s(y:S)) -> le(x:S,y:S)
 low(n:S,add(m:S,x:S)) -> if_low(le(m:S,n:S),n:S,add(m:S,x:S))
 low(n:S,nil) -> nil
 minus(s(x:S),s(y:S)) -> minus(x:S,y:S)
 minus(x:S,0) -> x:S
 quicksort(add(n:S,x:S)) -> app(quicksort(low(n:S,x:S)),add(n:S,quicksort(high(n:S,x:S))))
 quicksort(nil) -> nil
 quot(0,s(y:S)) -> 0
 quot(s(x:S),s(y:S)) -> s(quot(minus(x:S,y:S),s(y:S)))
-> Usable rules:
 minus(s(x:S),s(y:S)) -> minus(x:S,y:S)
 minus(x:S,0) -> x:S
->Interpretation type:
 Linear
->Coefficients:
 Natural Numbers
->Dimension:
 1
->Bound:
 2
->Interpretation:
 
[app](X1,X2) = 0
[high](X1,X2) = 0
[if_high](X1,X2,X3) = 0
[if_low](X1,X2,X3) = 0
[le](X1,X2) = 0
[low](X1,X2) = 0
[minus](X1,X2) = 2.X1
[quicksort](X) = 0
[quot](X1,X2) = 0
[0] = 0
[add](X1,X2) = 0
[fSNonEmpty] = 0
[false] = 0
[nil] = 0
[s](X) = 2.X + 2
[true] = 0
[APP](X1,X2) = 0
[HIGH](X1,X2) = 0
[IF_HIGH](X1,X2,X3) = 0
[IF_LOW](X1,X2,X3) = 0
[LE](X1,X2) = 0
[LOW](X1,X2) = 0
[MINUS](X1,X2) = 0
[QUICKSORT](X) = 0
[QUOT](X1,X2) = 2.X1

Problem 1.2: 

SCC Processor:
-> Pairs:
 Empty
-> Rules:
 app(add(n:S,x:S),y:S) -> add(n:S,app(x:S,y:S))
 app(nil,y:S) -> y:S
 high(n:S,add(m:S,x:S)) -> if_high(le(m:S,n:S),n:S,add(m:S,x:S))
 high(n:S,nil) -> nil
 if_high(ffalse,n:S,add(m:S,x:S)) -> add(m:S,high(n:S,x:S))
 if_high(ttrue,n:S,add(m:S,x:S)) -> high(n:S,x:S)
 if_low(ffalse,n:S,add(m:S,x:S)) -> low(n:S,x:S)
 if_low(ttrue,n:S,add(m:S,x:S)) -> add(m:S,low(n:S,x:S))
 le(0,y:S) -> ttrue
 le(s(x:S),0) -> ffalse
 le(s(x:S),s(y:S)) -> le(x:S,y:S)
 low(n:S,add(m:S,x:S)) -> if_low(le(m:S,n:S),n:S,add(m:S,x:S))
 low(n:S,nil) -> nil
 minus(s(x:S),s(y:S)) -> minus(x:S,y:S)
 minus(x:S,0) -> x:S
 quicksort(add(n:S,x:S)) -> app(quicksort(low(n:S,x:S)),add(n:S,quicksort(high(n:S,x:S))))
 quicksort(nil) -> nil
 quot(0,s(y:S)) -> 0
 quot(s(x:S),s(y:S)) -> s(quot(minus(x:S,y:S),s(y:S)))
->Strongly Connected Components:
 There is no strongly connected component

The problem is finite.

Problem 1.3: 

Subterm Processor:
-> Pairs:
 LE(s(x:S),s(y:S)) -> LE(x:S,y:S)
-> Rules:
 app(add(n:S,x:S),y:S) -> add(n:S,app(x:S,y:S))
 app(nil,y:S) -> y:S
 high(n:S,add(m:S,x:S)) -> if_high(le(m:S,n:S),n:S,add(m:S,x:S))
 high(n:S,nil) -> nil
 if_high(ffalse,n:S,add(m:S,x:S)) -> add(m:S,high(n:S,x:S))
 if_high(ttrue,n:S,add(m:S,x:S)) -> high(n:S,x:S)
 if_low(ffalse,n:S,add(m:S,x:S)) -> low(n:S,x:S)
 if_low(ttrue,n:S,add(m:S,x:S)) -> add(m:S,low(n:S,x:S))
 le(0,y:S) -> ttrue
 le(s(x:S),0) -> ffalse
 le(s(x:S),s(y:S)) -> le(x:S,y:S)
 low(n:S,add(m:S,x:S)) -> if_low(le(m:S,n:S),n:S,add(m:S,x:S))
 low(n:S,nil) -> nil
 minus(s(x:S),s(y:S)) -> minus(x:S,y:S)
 minus(x:S,0) -> x:S
 quicksort(add(n:S,x:S)) -> app(quicksort(low(n:S,x:S)),add(n:S,quicksort(high(n:S,x:S))))
 quicksort(nil) -> nil
 quot(0,s(y:S)) -> 0
 quot(s(x:S),s(y:S)) -> s(quot(minus(x:S,y:S),s(y:S)))
->Projection:
 pi(LE) = 1

Problem 1.3: 

SCC Processor:
-> Pairs:
 Empty
-> Rules:
 app(add(n:S,x:S),y:S) -> add(n:S,app(x:S,y:S))
 app(nil,y:S) -> y:S
 high(n:S,add(m:S,x:S)) -> if_high(le(m:S,n:S),n:S,add(m:S,x:S))
 high(n:S,nil) -> nil
 if_high(ffalse,n:S,add(m:S,x:S)) -> add(m:S,high(n:S,x:S))
 if_high(ttrue,n:S,add(m:S,x:S)) -> high(n:S,x:S)
 if_low(ffalse,n:S,add(m:S,x:S)) -> low(n:S,x:S)
 if_low(ttrue,n:S,add(m:S,x:S)) -> add(m:S,low(n:S,x:S))
 le(0,y:S) -> ttrue
 le(s(x:S),0) -> ffalse
 le(s(x:S),s(y:S)) -> le(x:S,y:S)
 low(n:S,add(m:S,x:S)) -> if_low(le(m:S,n:S),n:S,add(m:S,x:S))
 low(n:S,nil) -> nil
 minus(s(x:S),s(y:S)) -> minus(x:S,y:S)
 minus(x:S,0) -> x:S
 quicksort(add(n:S,x:S)) -> app(quicksort(low(n:S,x:S)),add(n:S,quicksort(high(n:S,x:S))))
 quicksort(nil) -> nil
 quot(0,s(y:S)) -> 0
 quot(s(x:S),s(y:S)) -> s(quot(minus(x:S,y:S),s(y:S)))
->Strongly Connected Components:
 There is no strongly connected component

The problem is finite.

Problem 1.4: 

Subterm Processor:
-> Pairs:
 IF_LOW(ffalse,n:S,add(m:S,x:S)) -> LOW(n:S,x:S)
 IF_LOW(ttrue,n:S,add(m:S,x:S)) -> LOW(n:S,x:S)
 LOW(n:S,add(m:S,x:S)) -> IF_LOW(le(m:S,n:S),n:S,add(m:S,x:S))
-> Rules:
 app(add(n:S,x:S),y:S) -> add(n:S,app(x:S,y:S))
 app(nil,y:S) -> y:S
 high(n:S,add(m:S,x:S)) -> if_high(le(m:S,n:S),n:S,add(m:S,x:S))
 high(n:S,nil) -> nil
 if_high(ffalse,n:S,add(m:S,x:S)) -> add(m:S,high(n:S,x:S))
 if_high(ttrue,n:S,add(m:S,x:S)) -> high(n:S,x:S)
 if_low(ffalse,n:S,add(m:S,x:S)) -> low(n:S,x:S)
 if_low(ttrue,n:S,add(m:S,x:S)) -> add(m:S,low(n:S,x:S))
 le(0,y:S) -> ttrue
 le(s(x:S),0) -> ffalse
 le(s(x:S),s(y:S)) -> le(x:S,y:S)
 low(n:S,add(m:S,x:S)) -> if_low(le(m:S,n:S),n:S,add(m:S,x:S))
 low(n:S,nil) -> nil
 minus(s(x:S),s(y:S)) -> minus(x:S,y:S)
 minus(x:S,0) -> x:S
 quicksort(add(n:S,x:S)) -> app(quicksort(low(n:S,x:S)),add(n:S,quicksort(high(n:S,x:S))))
 quicksort(nil) -> nil
 quot(0,s(y:S)) -> 0
 quot(s(x:S),s(y:S)) -> s(quot(minus(x:S,y:S),s(y:S)))
->Projection:
 pi(IF_LOW) = 3
 pi(LOW) = 2

Problem 1.4: 

SCC Processor:
-> Pairs:
 LOW(n:S,add(m:S,x:S)) -> IF_LOW(le(m:S,n:S),n:S,add(m:S,x:S))
-> Rules:
 app(add(n:S,x:S),y:S) -> add(n:S,app(x:S,y:S))
 app(nil,y:S) -> y:S
 high(n:S,add(m:S,x:S)) -> if_high(le(m:S,n:S),n:S,add(m:S,x:S))
 high(n:S,nil) -> nil
 if_high(ffalse,n:S,add(m:S,x:S)) -> add(m:S,high(n:S,x:S))
 if_high(ttrue,n:S,add(m:S,x:S)) -> high(n:S,x:S)
 if_low(ffalse,n:S,add(m:S,x:S)) -> low(n:S,x:S)
 if_low(ttrue,n:S,add(m:S,x:S)) -> add(m:S,low(n:S,x:S))
 le(0,y:S) -> ttrue
 le(s(x:S),0) -> ffalse
 le(s(x:S),s(y:S)) -> le(x:S,y:S)
 low(n:S,add(m:S,x:S)) -> if_low(le(m:S,n:S),n:S,add(m:S,x:S))
 low(n:S,nil) -> nil
 minus(s(x:S),s(y:S)) -> minus(x:S,y:S)
 minus(x:S,0) -> x:S
 quicksort(add(n:S,x:S)) -> app(quicksort(low(n:S,x:S)),add(n:S,quicksort(high(n:S,x:S))))
 quicksort(nil) -> nil
 quot(0,s(y:S)) -> 0
 quot(s(x:S),s(y:S)) -> s(quot(minus(x:S,y:S),s(y:S)))
->Strongly Connected Components:
 There is no strongly connected component

The problem is finite.

Problem 1.5: 

Subterm Processor:
-> Pairs:
 HIGH(n:S,add(m:S,x:S)) -> IF_HIGH(le(m:S,n:S),n:S,add(m:S,x:S))
 IF_HIGH(ffalse,n:S,add(m:S,x:S)) -> HIGH(n:S,x:S)
 IF_HIGH(ttrue,n:S,add(m:S,x:S)) -> HIGH(n:S,x:S)
-> Rules:
 app(add(n:S,x:S),y:S) -> add(n:S,app(x:S,y:S))
 app(nil,y:S) -> y:S
 high(n:S,add(m:S,x:S)) -> if_high(le(m:S,n:S),n:S,add(m:S,x:S))
 high(n:S,nil) -> nil
 if_high(ffalse,n:S,add(m:S,x:S)) -> add(m:S,high(n:S,x:S))
 if_high(ttrue,n:S,add(m:S,x:S)) -> high(n:S,x:S)
 if_low(ffalse,n:S,add(m:S,x:S)) -> low(n:S,x:S)
 if_low(ttrue,n:S,add(m:S,x:S)) -> add(m:S,low(n:S,x:S))
 le(0,y:S) -> ttrue
 le(s(x:S),0) -> ffalse
 le(s(x:S),s(y:S)) -> le(x:S,y:S)
 low(n:S,add(m:S,x:S)) -> if_low(le(m:S,n:S),n:S,add(m:S,x:S))
 low(n:S,nil) -> nil
 minus(s(x:S),s(y:S)) -> minus(x:S,y:S)
 minus(x:S,0) -> x:S
 quicksort(add(n:S,x:S)) -> app(quicksort(low(n:S,x:S)),add(n:S,quicksort(high(n:S,x:S))))
 quicksort(nil) -> nil
 quot(0,s(y:S)) -> 0
 quot(s(x:S),s(y:S)) -> s(quot(minus(x:S,y:S),s(y:S)))
->Projection:
 pi(HIGH) = 2
 pi(IF_HIGH) = 3

Problem 1.5: 

SCC Processor:
-> Pairs:
 HIGH(n:S,add(m:S,x:S)) -> IF_HIGH(le(m:S,n:S),n:S,add(m:S,x:S))
-> Rules:
 app(add(n:S,x:S),y:S) -> add(n:S,app(x:S,y:S))
 app(nil,y:S) -> y:S
 high(n:S,add(m:S,x:S)) -> if_high(le(m:S,n:S),n:S,add(m:S,x:S))
 high(n:S,nil) -> nil
 if_high(ffalse,n:S,add(m:S,x:S)) -> add(m:S,high(n:S,x:S))
 if_high(ttrue,n:S,add(m:S,x:S)) -> high(n:S,x:S)
 if_low(ffalse,n:S,add(m:S,x:S)) -> low(n:S,x:S)
 if_low(ttrue,n:S,add(m:S,x:S)) -> add(m:S,low(n:S,x:S))
 le(0,y:S) -> ttrue
 le(s(x:S),0) -> ffalse
 le(s(x:S),s(y:S)) -> le(x:S,y:S)
 low(n:S,add(m:S,x:S)) -> if_low(le(m:S,n:S),n:S,add(m:S,x:S))
 low(n:S,nil) -> nil
 minus(s(x:S),s(y:S)) -> minus(x:S,y:S)
 minus(x:S,0) -> x:S
 quicksort(add(n:S,x:S)) -> app(quicksort(low(n:S,x:S)),add(n:S,quicksort(high(n:S,x:S))))
 quicksort(nil) -> nil
 quot(0,s(y:S)) -> 0
 quot(s(x:S),s(y:S)) -> s(quot(minus(x:S,y:S),s(y:S)))
->Strongly Connected Components:
 There is no strongly connected component

The problem is finite.

Problem 1.6: 

Subterm Processor:
-> Pairs:
 APP(add(n:S,x:S),y:S) -> APP(x:S,y:S)
-> Rules:
 app(add(n:S,x:S),y:S) -> add(n:S,app(x:S,y:S))
 app(nil,y:S) -> y:S
 high(n:S,add(m:S,x:S)) -> if_high(le(m:S,n:S),n:S,add(m:S,x:S))
 high(n:S,nil) -> nil
 if_high(ffalse,n:S,add(m:S,x:S)) -> add(m:S,high(n:S,x:S))
 if_high(ttrue,n:S,add(m:S,x:S)) -> high(n:S,x:S)
 if_low(ffalse,n:S,add(m:S,x:S)) -> low(n:S,x:S)
 if_low(ttrue,n:S,add(m:S,x:S)) -> add(m:S,low(n:S,x:S))
 le(0,y:S) -> ttrue
 le(s(x:S),0) -> ffalse
 le(s(x:S),s(y:S)) -> le(x:S,y:S)
 low(n:S,add(m:S,x:S)) -> if_low(le(m:S,n:S),n:S,add(m:S,x:S))
 low(n:S,nil) -> nil
 minus(s(x:S),s(y:S)) -> minus(x:S,y:S)
 minus(x:S,0) -> x:S
 quicksort(add(n:S,x:S)) -> app(quicksort(low(n:S,x:S)),add(n:S,quicksort(high(n:S,x:S))))
 quicksort(nil) -> nil
 quot(0,s(y:S)) -> 0
 quot(s(x:S),s(y:S)) -> s(quot(minus(x:S,y:S),s(y:S)))
->Projection:
 pi(APP) = 1

Problem 1.6: 

SCC Processor:
-> Pairs:
 Empty
-> Rules:
 app(add(n:S,x:S),y:S) -> add(n:S,app(x:S,y:S))
 app(nil,y:S) -> y:S
 high(n:S,add(m:S,x:S)) -> if_high(le(m:S,n:S),n:S,add(m:S,x:S))
 high(n:S,nil) -> nil
 if_high(ffalse,n:S,add(m:S,x:S)) -> add(m:S,high(n:S,x:S))
 if_high(ttrue,n:S,add(m:S,x:S)) -> high(n:S,x:S)
 if_low(ffalse,n:S,add(m:S,x:S)) -> low(n:S,x:S)
 if_low(ttrue,n:S,add(m:S,x:S)) -> add(m:S,low(n:S,x:S))
 le(0,y:S) -> ttrue
 le(s(x:S),0) -> ffalse
 le(s(x:S),s(y:S)) -> le(x:S,y:S)
 low(n:S,add(m:S,x:S)) -> if_low(le(m:S,n:S),n:S,add(m:S,x:S))
 low(n:S,nil) -> nil
 minus(s(x:S),s(y:S)) -> minus(x:S,y:S)
 minus(x:S,0) -> x:S
 quicksort(add(n:S,x:S)) -> app(quicksort(low(n:S,x:S)),add(n:S,quicksort(high(n:S,x:S))))
 quicksort(nil) -> nil
 quot(0,s(y:S)) -> 0
 quot(s(x:S),s(y:S)) -> s(quot(minus(x:S,y:S),s(y:S)))
->Strongly Connected Components:
 There is no strongly connected component

The problem is finite.

Problem 1.7: 

Reduction Pairs Processor:
-> Pairs:
 QUICKSORT(add(n:S,x:S)) -> QUICKSORT(high(n:S,x:S))
 QUICKSORT(add(n:S,x:S)) -> QUICKSORT(low(n:S,x:S))
-> Rules:
 app(add(n:S,x:S),y:S) -> add(n:S,app(x:S,y:S))
 app(nil,y:S) -> y:S
 high(n:S,add(m:S,x:S)) -> if_high(le(m:S,n:S),n:S,add(m:S,x:S))
 high(n:S,nil) -> nil
 if_high(ffalse,n:S,add(m:S,x:S)) -> add(m:S,high(n:S,x:S))
 if_high(ttrue,n:S,add(m:S,x:S)) -> high(n:S,x:S)
 if_low(ffalse,n:S,add(m:S,x:S)) -> low(n:S,x:S)
 if_low(ttrue,n:S,add(m:S,x:S)) -> add(m:S,low(n:S,x:S))
 le(0,y:S) -> ttrue
 le(s(x:S),0) -> ffalse
 le(s(x:S),s(y:S)) -> le(x:S,y:S)
 low(n:S,add(m:S,x:S)) -> if_low(le(m:S,n:S),n:S,add(m:S,x:S))
 low(n:S,nil) -> nil
 minus(s(x:S),s(y:S)) -> minus(x:S,y:S)
 minus(x:S,0) -> x:S
 quicksort(add(n:S,x:S)) -> app(quicksort(low(n:S,x:S)),add(n:S,quicksort(high(n:S,x:S))))
 quicksort(nil) -> nil
 quot(0,s(y:S)) -> 0
 quot(s(x:S),s(y:S)) -> s(quot(minus(x:S,y:S),s(y:S)))
-> Usable rules:
 high(n:S,add(m:S,x:S)) -> if_high(le(m:S,n:S),n:S,add(m:S,x:S))
 high(n:S,nil) -> nil
 if_high(ffalse,n:S,add(m:S,x:S)) -> add(m:S,high(n:S,x:S))
 if_high(ttrue,n:S,add(m:S,x:S)) -> high(n:S,x:S)
 if_low(ffalse,n:S,add(m:S,x:S)) -> low(n:S,x:S)
 if_low(ttrue,n:S,add(m:S,x:S)) -> add(m:S,low(n:S,x:S))
 le(0,y:S) -> ttrue
 le(s(x:S),0) -> ffalse
 le(s(x:S),s(y:S)) -> le(x:S,y:S)
 low(n:S,add(m:S,x:S)) -> if_low(le(m:S,n:S),n:S,add(m:S,x:S))
 low(n:S,nil) -> nil
->Interpretation type:
 Linear
->Coefficients:
 Natural Numbers
->Dimension:
 1
->Bound:
 2
->Interpretation:
 
[app](X1,X2) = 0
[high](X1,X2) = 2.X2 + 1
[if_high](X1,X2,X3) = 2.X3 + 1
[if_low](X1,X2,X3) = 2.X3 + 1
[le](X1,X2) = X1 + 2.X2 + 2
[low](X1,X2) = 2.X2 + 1
[minus](X1,X2) = 0
[quicksort](X) = 0
[quot](X1,X2) = 0
[0] = 2
[add](X1,X2) = 2.X1 + 2.X2 + 2
[fSNonEmpty] = 0
[false] = 2
[nil] = 2
[s](X) = 2.X + 1
[true] = 2
[APP](X1,X2) = 0
[HIGH](X1,X2) = 0
[IF_HIGH](X1,X2,X3) = 0
[IF_LOW](X1,X2,X3) = 0
[LE](X1,X2) = 0
[LOW](X1,X2) = 0
[MINUS](X1,X2) = 0
[QUICKSORT](X) = 2.X
[QUOT](X1,X2) = 0

Problem 1.7: 

SCC Processor:
-> Pairs:
 QUICKSORT(add(n:S,x:S)) -> QUICKSORT(low(n:S,x:S))
-> Rules:
 app(add(n:S,x:S),y:S) -> add(n:S,app(x:S,y:S))
 app(nil,y:S) -> y:S
 high(n:S,add(m:S,x:S)) -> if_high(le(m:S,n:S),n:S,add(m:S,x:S))
 high(n:S,nil) -> nil
 if_high(ffalse,n:S,add(m:S,x:S)) -> add(m:S,high(n:S,x:S))
 if_high(ttrue,n:S,add(m:S,x:S)) -> high(n:S,x:S)
 if_low(ffalse,n:S,add(m:S,x:S)) -> low(n:S,x:S)
 if_low(ttrue,n:S,add(m:S,x:S)) -> add(m:S,low(n:S,x:S))
 le(0,y:S) -> ttrue
 le(s(x:S),0) -> ffalse
 le(s(x:S),s(y:S)) -> le(x:S,y:S)
 low(n:S,add(m:S,x:S)) -> if_low(le(m:S,n:S),n:S,add(m:S,x:S))
 low(n:S,nil) -> nil
 minus(s(x:S),s(y:S)) -> minus(x:S,y:S)
 minus(x:S,0) -> x:S
 quicksort(add(n:S,x:S)) -> app(quicksort(low(n:S,x:S)),add(n:S,quicksort(high(n:S,x:S))))
 quicksort(nil) -> nil
 quot(0,s(y:S)) -> 0
 quot(s(x:S),s(y:S)) -> s(quot(minus(x:S,y:S),s(y:S)))
->Strongly Connected Components:
->->Cycle:
->->-> Pairs:
 QUICKSORT(add(n:S,x:S)) -> QUICKSORT(low(n:S,x:S))
->->-> Rules:
 app(add(n:S,x:S),y:S) -> add(n:S,app(x:S,y:S))
 app(nil,y:S) -> y:S
 high(n:S,add(m:S,x:S)) -> if_high(le(m:S,n:S),n:S,add(m:S,x:S))
 high(n:S,nil) -> nil
 if_high(ffalse,n:S,add(m:S,x:S)) -> add(m:S,high(n:S,x:S))
 if_high(ttrue,n:S,add(m:S,x:S)) -> high(n:S,x:S)
 if_low(ffalse,n:S,add(m:S,x:S)) -> low(n:S,x:S)
 if_low(ttrue,n:S,add(m:S,x:S)) -> add(m:S,low(n:S,x:S))
 le(0,y:S) -> ttrue
 le(s(x:S),0) -> ffalse
 le(s(x:S),s(y:S)) -> le(x:S,y:S)
 low(n:S,add(m:S,x:S)) -> if_low(le(m:S,n:S),n:S,add(m:S,x:S))
 low(n:S,nil) -> nil
 minus(s(x:S),s(y:S)) -> minus(x:S,y:S)
 minus(x:S,0) -> x:S
 quicksort(add(n:S,x:S)) -> app(quicksort(low(n:S,x:S)),add(n:S,quicksort(high(n:S,x:S))))
 quicksort(nil) -> nil
 quot(0,s(y:S)) -> 0
 quot(s(x:S),s(y:S)) -> s(quot(minus(x:S,y:S),s(y:S)))

Problem 1.7: 

Reduction Pairs Processor:
-> Pairs:
 QUICKSORT(add(n:S,x:S)) -> QUICKSORT(low(n:S,x:S))
-> Rules:
 app(add(n:S,x:S),y:S) -> add(n:S,app(x:S,y:S))
 app(nil,y:S) -> y:S
 high(n:S,add(m:S,x:S)) -> if_high(le(m:S,n:S),n:S,add(m:S,x:S))
 high(n:S,nil) -> nil
 if_high(ffalse,n:S,add(m:S,x:S)) -> add(m:S,high(n:S,x:S))
 if_high(ttrue,n:S,add(m:S,x:S)) -> high(n:S,x:S)
 if_low(ffalse,n:S,add(m:S,x:S)) -> low(n:S,x:S)
 if_low(ttrue,n:S,add(m:S,x:S)) -> add(m:S,low(n:S,x:S))
 le(0,y:S) -> ttrue
 le(s(x:S),0) -> ffalse
 le(s(x:S),s(y:S)) -> le(x:S,y:S)
 low(n:S,add(m:S,x:S)) -> if_low(le(m:S,n:S),n:S,add(m:S,x:S))
 low(n:S,nil) -> nil
 minus(s(x:S),s(y:S)) -> minus(x:S,y:S)
 minus(x:S,0) -> x:S
 quicksort(add(n:S,x:S)) -> app(quicksort(low(n:S,x:S)),add(n:S,quicksort(high(n:S,x:S))))
 quicksort(nil) -> nil
 quot(0,s(y:S)) -> 0
 quot(s(x:S),s(y:S)) -> s(quot(minus(x:S,y:S),s(y:S)))
-> Usable rules:
 if_low(ffalse,n:S,add(m:S,x:S)) -> low(n:S,x:S)
 if_low(ttrue,n:S,add(m:S,x:S)) -> add(m:S,low(n:S,x:S))
 le(0,y:S) -> ttrue
 le(s(x:S),0) -> ffalse
 le(s(x:S),s(y:S)) -> le(x:S,y:S)
 low(n:S,add(m:S,x:S)) -> if_low(le(m:S,n:S),n:S,add(m:S,x:S))
 low(n:S,nil) -> nil
->Interpretation type:
 Linear
->Coefficients:
 Natural Numbers
->Dimension:
 1
->Bound:
 2
->Interpretation:
 
[app](X1,X2) = 0
[high](X1,X2) = 0
[if_high](X1,X2,X3) = 0
[if_low](X1,X2,X3) = X1 + 2.X3
[le](X1,X2) = 1
[low](X1,X2) = 2.X2 + 1
[minus](X1,X2) = 0
[quicksort](X) = 0
[quot](X1,X2) = 0
[0] = 0
[add](X1,X2) = X1 + 2.X2 + 2
[fSNonEmpty] = 0
[false] = 1
[nil] = 2
[s](X) = X + 2
[true] = 1
[APP](X1,X2) = 0
[HIGH](X1,X2) = 0
[IF_HIGH](X1,X2,X3) = 0
[IF_LOW](X1,X2,X3) = 0
[LE](X1,X2) = 0
[LOW](X1,X2) = 0
[MINUS](X1,X2) = 0
[QUICKSORT](X) = 2.X
[QUOT](X1,X2) = 0

Problem 1.7: 

SCC Processor:
-> Pairs:
 Empty
-> Rules:
 app(add(n:S,x:S),y:S) -> add(n:S,app(x:S,y:S))
 app(nil,y:S) -> y:S
 high(n:S,add(m:S,x:S)) -> if_high(le(m:S,n:S),n:S,add(m:S,x:S))
 high(n:S,nil) -> nil
 if_high(ffalse,n:S,add(m:S,x:S)) -> add(m:S,high(n:S,x:S))
 if_high(ttrue,n:S,add(m:S,x:S)) -> high(n:S,x:S)
 if_low(ffalse,n:S,add(m:S,x:S)) -> low(n:S,x:S)
 if_low(ttrue,n:S,add(m:S,x:S)) -> add(m:S,low(n:S,x:S))
 le(0,y:S) -> ttrue
 le(s(x:S),0) -> ffalse
 le(s(x:S),s(y:S)) -> le(x:S,y:S)
 low(n:S,add(m:S,x:S)) -> if_low(le(m:S,n:S),n:S,add(m:S,x:S))
 low(n:S,nil) -> nil
 minus(s(x:S),s(y:S)) -> minus(x:S,y:S)
 minus(x:S,0) -> x:S
 quicksort(add(n:S,x:S)) -> app(quicksort(low(n:S,x:S)),add(n:S,quicksort(high(n:S,x:S))))
 quicksort(nil) -> nil
 quot(0,s(y:S)) -> 0
 quot(s(x:S),s(y:S)) -> s(quot(minus(x:S,y:S),s(y:S)))
->Strongly Connected Components:
 There is no strongly connected component

The problem is finite.