YES Problem 1: (VAR v_NonEmpty:S m:S n:S x:S y:S) (RULES app(add(n:S,x:S),y:S) -> add(n:S,app(x:S,y:S)) app(nil,y:S) -> y:S eq(0,0) -> ttrue eq(0,s(x:S)) -> ffalse eq(s(x:S),0) -> ffalse eq(s(x:S),s(y:S)) -> eq(x:S,y:S) if_min(ffalse,add(n:S,add(m:S,x:S))) -> min(add(m:S,x:S)) if_min(ttrue,add(n:S,add(m:S,x:S))) -> min(add(n:S,x:S)) if_minsort(ffalse,add(n:S,x:S),y:S) -> minsort(x:S,add(n:S,y:S)) if_minsort(ttrue,add(n:S,x:S),y:S) -> add(n:S,minsort(app(rm(n:S,x:S),y:S),nil)) if_rm(ffalse,n:S,add(m:S,x:S)) -> add(m:S,rm(n:S,x:S)) if_rm(ttrue,n:S,add(m:S,x:S)) -> rm(n:S,x:S) le(0,y:S) -> ttrue le(s(x:S),0) -> ffalse le(s(x:S),s(y:S)) -> le(x:S,y:S) min(add(n:S,add(m:S,x:S))) -> if_min(le(n:S,m:S),add(n:S,add(m:S,x:S))) min(add(n:S,nil)) -> n:S minsort(add(n:S,x:S),y:S) -> if_minsort(eq(n:S,min(add(n:S,x:S))),add(n:S,x:S),y:S) minsort(nil,nil) -> nil rm(n:S,add(m:S,x:S)) -> if_rm(eq(n:S,m:S),n:S,add(m:S,x:S)) rm(n:S,nil) -> nil ) Problem 1: Innermost Equivalent Processor: -> Rules: app(add(n:S,x:S),y:S) -> add(n:S,app(x:S,y:S)) app(nil,y:S) -> y:S eq(0,0) -> ttrue eq(0,s(x:S)) -> ffalse eq(s(x:S),0) -> ffalse eq(s(x:S),s(y:S)) -> eq(x:S,y:S) if_min(ffalse,add(n:S,add(m:S,x:S))) -> min(add(m:S,x:S)) if_min(ttrue,add(n:S,add(m:S,x:S))) -> min(add(n:S,x:S)) if_minsort(ffalse,add(n:S,x:S),y:S) -> minsort(x:S,add(n:S,y:S)) if_minsort(ttrue,add(n:S,x:S),y:S) -> add(n:S,minsort(app(rm(n:S,x:S),y:S),nil)) if_rm(ffalse,n:S,add(m:S,x:S)) -> add(m:S,rm(n:S,x:S)) if_rm(ttrue,n:S,add(m:S,x:S)) -> rm(n:S,x:S) le(0,y:S) -> ttrue le(s(x:S),0) -> ffalse le(s(x:S),s(y:S)) -> le(x:S,y:S) min(add(n:S,add(m:S,x:S))) -> if_min(le(n:S,m:S),add(n:S,add(m:S,x:S))) min(add(n:S,nil)) -> n:S minsort(add(n:S,x:S),y:S) -> if_minsort(eq(n:S,min(add(n:S,x:S))),add(n:S,x:S),y:S) minsort(nil,nil) -> nil rm(n:S,add(m:S,x:S)) -> if_rm(eq(n:S,m:S),n:S,add(m:S,x:S)) rm(n:S,nil) -> nil -> The term rewriting system is non-overlaping or locally confluent overlay system. Therefore, innermost termination implies termination. Problem 1: Dependency Pairs Processor: -> Pairs: APP(add(n:S,x:S),y:S) -> APP(x:S,y:S) EQ(s(x:S),s(y:S)) -> EQ(x:S,y:S) IF_MIN(ffalse,add(n:S,add(m:S,x:S))) -> MIN(add(m:S,x:S)) IF_MIN(ttrue,add(n:S,add(m:S,x:S))) -> MIN(add(n:S,x:S)) IF_MINSORT(ffalse,add(n:S,x:S),y:S) -> MINSORT(x:S,add(n:S,y:S)) IF_MINSORT(ttrue,add(n:S,x:S),y:S) -> APP(rm(n:S,x:S),y:S) IF_MINSORT(ttrue,add(n:S,x:S),y:S) -> MINSORT(app(rm(n:S,x:S),y:S),nil) IF_MINSORT(ttrue,add(n:S,x:S),y:S) -> RM(n:S,x:S) IF_RM(ffalse,n:S,add(m:S,x:S)) -> RM(n:S,x:S) IF_RM(ttrue,n:S,add(m:S,x:S)) -> RM(n:S,x:S) LE(s(x:S),s(y:S)) -> LE(x:S,y:S) MIN(add(n:S,add(m:S,x:S))) -> IF_MIN(le(n:S,m:S),add(n:S,add(m:S,x:S))) MIN(add(n:S,add(m:S,x:S))) -> LE(n:S,m:S) MINSORT(add(n:S,x:S),y:S) -> EQ(n:S,min(add(n:S,x:S))) MINSORT(add(n:S,x:S),y:S) -> IF_MINSORT(eq(n:S,min(add(n:S,x:S))),add(n:S,x:S),y:S) MINSORT(add(n:S,x:S),y:S) -> MIN(add(n:S,x:S)) RM(n:S,add(m:S,x:S)) -> EQ(n:S,m:S) RM(n:S,add(m:S,x:S)) -> IF_RM(eq(n:S,m:S),n:S,add(m:S,x:S)) -> Rules: app(add(n:S,x:S),y:S) -> add(n:S,app(x:S,y:S)) app(nil,y:S) -> y:S eq(0,0) -> ttrue eq(0,s(x:S)) -> ffalse eq(s(x:S),0) -> ffalse eq(s(x:S),s(y:S)) -> eq(x:S,y:S) if_min(ffalse,add(n:S,add(m:S,x:S))) -> min(add(m:S,x:S)) if_min(ttrue,add(n:S,add(m:S,x:S))) -> min(add(n:S,x:S)) if_minsort(ffalse,add(n:S,x:S),y:S) -> minsort(x:S,add(n:S,y:S)) if_minsort(ttrue,add(n:S,x:S),y:S) -> add(n:S,minsort(app(rm(n:S,x:S),y:S),nil)) if_rm(ffalse,n:S,add(m:S,x:S)) -> add(m:S,rm(n:S,x:S)) if_rm(ttrue,n:S,add(m:S,x:S)) -> rm(n:S,x:S) le(0,y:S) -> ttrue le(s(x:S),0) -> ffalse le(s(x:S),s(y:S)) -> le(x:S,y:S) min(add(n:S,add(m:S,x:S))) -> if_min(le(n:S,m:S),add(n:S,add(m:S,x:S))) min(add(n:S,nil)) -> n:S minsort(add(n:S,x:S),y:S) -> if_minsort(eq(n:S,min(add(n:S,x:S))),add(n:S,x:S),y:S) minsort(nil,nil) -> nil rm(n:S,add(m:S,x:S)) -> if_rm(eq(n:S,m:S),n:S,add(m:S,x:S)) rm(n:S,nil) -> nil Problem 1: SCC Processor: -> Pairs: APP(add(n:S,x:S),y:S) -> APP(x:S,y:S) EQ(s(x:S),s(y:S)) -> EQ(x:S,y:S) IF_MIN(ffalse,add(n:S,add(m:S,x:S))) -> MIN(add(m:S,x:S)) IF_MIN(ttrue,add(n:S,add(m:S,x:S))) -> MIN(add(n:S,x:S)) IF_MINSORT(ffalse,add(n:S,x:S),y:S) -> MINSORT(x:S,add(n:S,y:S)) IF_MINSORT(ttrue,add(n:S,x:S),y:S) -> APP(rm(n:S,x:S),y:S) IF_MINSORT(ttrue,add(n:S,x:S),y:S) -> MINSORT(app(rm(n:S,x:S),y:S),nil) IF_MINSORT(ttrue,add(n:S,x:S),y:S) -> RM(n:S,x:S) IF_RM(ffalse,n:S,add(m:S,x:S)) -> RM(n:S,x:S) IF_RM(ttrue,n:S,add(m:S,x:S)) -> RM(n:S,x:S) LE(s(x:S),s(y:S)) -> LE(x:S,y:S) MIN(add(n:S,add(m:S,x:S))) -> IF_MIN(le(n:S,m:S),add(n:S,add(m:S,x:S))) MIN(add(n:S,add(m:S,x:S))) -> LE(n:S,m:S) MINSORT(add(n:S,x:S),y:S) -> EQ(n:S,min(add(n:S,x:S))) MINSORT(add(n:S,x:S),y:S) -> IF_MINSORT(eq(n:S,min(add(n:S,x:S))),add(n:S,x:S),y:S) MINSORT(add(n:S,x:S),y:S) -> MIN(add(n:S,x:S)) RM(n:S,add(m:S,x:S)) -> EQ(n:S,m:S) RM(n:S,add(m:S,x:S)) -> IF_RM(eq(n:S,m:S),n:S,add(m:S,x:S)) -> Rules: app(add(n:S,x:S),y:S) -> add(n:S,app(x:S,y:S)) app(nil,y:S) -> y:S eq(0,0) -> ttrue eq(0,s(x:S)) -> ffalse eq(s(x:S),0) -> ffalse eq(s(x:S),s(y:S)) -> eq(x:S,y:S) if_min(ffalse,add(n:S,add(m:S,x:S))) -> min(add(m:S,x:S)) if_min(ttrue,add(n:S,add(m:S,x:S))) -> min(add(n:S,x:S)) if_minsort(ffalse,add(n:S,x:S),y:S) -> minsort(x:S,add(n:S,y:S)) if_minsort(ttrue,add(n:S,x:S),y:S) -> add(n:S,minsort(app(rm(n:S,x:S),y:S),nil)) if_rm(ffalse,n:S,add(m:S,x:S)) -> add(m:S,rm(n:S,x:S)) if_rm(ttrue,n:S,add(m:S,x:S)) -> rm(n:S,x:S) le(0,y:S) -> ttrue le(s(x:S),0) -> ffalse le(s(x:S),s(y:S)) -> le(x:S,y:S) min(add(n:S,add(m:S,x:S))) -> if_min(le(n:S,m:S),add(n:S,add(m:S,x:S))) min(add(n:S,nil)) -> n:S minsort(add(n:S,x:S),y:S) -> if_minsort(eq(n:S,min(add(n:S,x:S))),add(n:S,x:S),y:S) minsort(nil,nil) -> nil rm(n:S,add(m:S,x:S)) -> if_rm(eq(n:S,m:S),n:S,add(m:S,x:S)) rm(n:S,nil) -> nil ->Strongly Connected Components: ->->Cycle: ->->-> Pairs: LE(s(x:S),s(y:S)) -> LE(x:S,y:S) ->->-> Rules: app(add(n:S,x:S),y:S) -> add(n:S,app(x:S,y:S)) app(nil,y:S) -> y:S eq(0,0) -> ttrue eq(0,s(x:S)) -> ffalse eq(s(x:S),0) -> ffalse eq(s(x:S),s(y:S)) -> eq(x:S,y:S) if_min(ffalse,add(n:S,add(m:S,x:S))) -> min(add(m:S,x:S)) if_min(ttrue,add(n:S,add(m:S,x:S))) -> min(add(n:S,x:S)) if_minsort(ffalse,add(n:S,x:S),y:S) -> minsort(x:S,add(n:S,y:S)) if_minsort(ttrue,add(n:S,x:S),y:S) -> add(n:S,minsort(app(rm(n:S,x:S),y:S),nil)) if_rm(ffalse,n:S,add(m:S,x:S)) -> add(m:S,rm(n:S,x:S)) if_rm(ttrue,n:S,add(m:S,x:S)) -> rm(n:S,x:S) le(0,y:S) -> ttrue le(s(x:S),0) -> ffalse le(s(x:S),s(y:S)) -> le(x:S,y:S) min(add(n:S,add(m:S,x:S))) -> if_min(le(n:S,m:S),add(n:S,add(m:S,x:S))) min(add(n:S,nil)) -> n:S minsort(add(n:S,x:S),y:S) -> if_minsort(eq(n:S,min(add(n:S,x:S))),add(n:S,x:S),y:S) minsort(nil,nil) -> nil rm(n:S,add(m:S,x:S)) -> if_rm(eq(n:S,m:S),n:S,add(m:S,x:S)) rm(n:S,nil) -> nil ->->Cycle: ->->-> Pairs: IF_MIN(ffalse,add(n:S,add(m:S,x:S))) -> MIN(add(m:S,x:S)) IF_MIN(ttrue,add(n:S,add(m:S,x:S))) -> MIN(add(n:S,x:S)) MIN(add(n:S,add(m:S,x:S))) -> IF_MIN(le(n:S,m:S),add(n:S,add(m:S,x:S))) ->->-> Rules: app(add(n:S,x:S),y:S) -> add(n:S,app(x:S,y:S)) app(nil,y:S) -> y:S eq(0,0) -> ttrue eq(0,s(x:S)) -> ffalse eq(s(x:S),0) -> ffalse eq(s(x:S),s(y:S)) -> eq(x:S,y:S) if_min(ffalse,add(n:S,add(m:S,x:S))) -> min(add(m:S,x:S)) if_min(ttrue,add(n:S,add(m:S,x:S))) -> min(add(n:S,x:S)) if_minsort(ffalse,add(n:S,x:S),y:S) -> minsort(x:S,add(n:S,y:S)) if_minsort(ttrue,add(n:S,x:S),y:S) -> add(n:S,minsort(app(rm(n:S,x:S),y:S),nil)) if_rm(ffalse,n:S,add(m:S,x:S)) -> add(m:S,rm(n:S,x:S)) if_rm(ttrue,n:S,add(m:S,x:S)) -> rm(n:S,x:S) le(0,y:S) -> ttrue le(s(x:S),0) -> ffalse le(s(x:S),s(y:S)) -> le(x:S,y:S) min(add(n:S,add(m:S,x:S))) -> if_min(le(n:S,m:S),add(n:S,add(m:S,x:S))) min(add(n:S,nil)) -> n:S minsort(add(n:S,x:S),y:S) -> if_minsort(eq(n:S,min(add(n:S,x:S))),add(n:S,x:S),y:S) minsort(nil,nil) -> nil rm(n:S,add(m:S,x:S)) -> if_rm(eq(n:S,m:S),n:S,add(m:S,x:S)) rm(n:S,nil) -> nil ->->Cycle: ->->-> Pairs: EQ(s(x:S),s(y:S)) -> EQ(x:S,y:S) ->->-> Rules: app(add(n:S,x:S),y:S) -> add(n:S,app(x:S,y:S)) app(nil,y:S) -> y:S eq(0,0) -> ttrue eq(0,s(x:S)) -> ffalse eq(s(x:S),0) -> ffalse eq(s(x:S),s(y:S)) -> eq(x:S,y:S) if_min(ffalse,add(n:S,add(m:S,x:S))) -> min(add(m:S,x:S)) if_min(ttrue,add(n:S,add(m:S,x:S))) -> min(add(n:S,x:S)) if_minsort(ffalse,add(n:S,x:S),y:S) -> minsort(x:S,add(n:S,y:S)) if_minsort(ttrue,add(n:S,x:S),y:S) -> add(n:S,minsort(app(rm(n:S,x:S),y:S),nil)) if_rm(ffalse,n:S,add(m:S,x:S)) -> add(m:S,rm(n:S,x:S)) if_rm(ttrue,n:S,add(m:S,x:S)) -> rm(n:S,x:S) le(0,y:S) -> ttrue le(s(x:S),0) -> ffalse le(s(x:S),s(y:S)) -> le(x:S,y:S) min(add(n:S,add(m:S,x:S))) -> if_min(le(n:S,m:S),add(n:S,add(m:S,x:S))) min(add(n:S,nil)) -> n:S minsort(add(n:S,x:S),y:S) -> if_minsort(eq(n:S,min(add(n:S,x:S))),add(n:S,x:S),y:S) minsort(nil,nil) -> nil rm(n:S,add(m:S,x:S)) -> if_rm(eq(n:S,m:S),n:S,add(m:S,x:S)) rm(n:S,nil) -> nil ->->Cycle: ->->-> Pairs: IF_RM(ffalse,n:S,add(m:S,x:S)) -> RM(n:S,x:S) IF_RM(ttrue,n:S,add(m:S,x:S)) -> RM(n:S,x:S) RM(n:S,add(m:S,x:S)) -> IF_RM(eq(n:S,m:S),n:S,add(m:S,x:S)) ->->-> Rules: app(add(n:S,x:S),y:S) -> add(n:S,app(x:S,y:S)) app(nil,y:S) -> y:S eq(0,0) -> ttrue eq(0,s(x:S)) -> ffalse eq(s(x:S),0) -> ffalse eq(s(x:S),s(y:S)) -> eq(x:S,y:S) if_min(ffalse,add(n:S,add(m:S,x:S))) -> min(add(m:S,x:S)) if_min(ttrue,add(n:S,add(m:S,x:S))) -> min(add(n:S,x:S)) if_minsort(ffalse,add(n:S,x:S),y:S) -> minsort(x:S,add(n:S,y:S)) if_minsort(ttrue,add(n:S,x:S),y:S) -> add(n:S,minsort(app(rm(n:S,x:S),y:S),nil)) if_rm(ffalse,n:S,add(m:S,x:S)) -> add(m:S,rm(n:S,x:S)) if_rm(ttrue,n:S,add(m:S,x:S)) -> rm(n:S,x:S) le(0,y:S) -> ttrue le(s(x:S),0) -> ffalse le(s(x:S),s(y:S)) -> le(x:S,y:S) min(add(n:S,add(m:S,x:S))) -> if_min(le(n:S,m:S),add(n:S,add(m:S,x:S))) min(add(n:S,nil)) -> n:S minsort(add(n:S,x:S),y:S) -> if_minsort(eq(n:S,min(add(n:S,x:S))),add(n:S,x:S),y:S) minsort(nil,nil) -> nil rm(n:S,add(m:S,x:S)) -> if_rm(eq(n:S,m:S),n:S,add(m:S,x:S)) rm(n:S,nil) -> nil ->->Cycle: ->->-> Pairs: APP(add(n:S,x:S),y:S) -> APP(x:S,y:S) ->->-> Rules: app(add(n:S,x:S),y:S) -> add(n:S,app(x:S,y:S)) app(nil,y:S) -> y:S eq(0,0) -> ttrue eq(0,s(x:S)) -> ffalse eq(s(x:S),0) -> ffalse eq(s(x:S),s(y:S)) -> eq(x:S,y:S) if_min(ffalse,add(n:S,add(m:S,x:S))) -> min(add(m:S,x:S)) if_min(ttrue,add(n:S,add(m:S,x:S))) -> min(add(n:S,x:S)) if_minsort(ffalse,add(n:S,x:S),y:S) -> minsort(x:S,add(n:S,y:S)) if_minsort(ttrue,add(n:S,x:S),y:S) -> add(n:S,minsort(app(rm(n:S,x:S),y:S),nil)) if_rm(ffalse,n:S,add(m:S,x:S)) -> add(m:S,rm(n:S,x:S)) if_rm(ttrue,n:S,add(m:S,x:S)) -> rm(n:S,x:S) le(0,y:S) -> ttrue le(s(x:S),0) -> ffalse le(s(x:S),s(y:S)) -> le(x:S,y:S) min(add(n:S,add(m:S,x:S))) -> if_min(le(n:S,m:S),add(n:S,add(m:S,x:S))) min(add(n:S,nil)) -> n:S minsort(add(n:S,x:S),y:S) -> if_minsort(eq(n:S,min(add(n:S,x:S))),add(n:S,x:S),y:S) minsort(nil,nil) -> nil rm(n:S,add(m:S,x:S)) -> if_rm(eq(n:S,m:S),n:S,add(m:S,x:S)) rm(n:S,nil) -> nil ->->Cycle: ->->-> Pairs: IF_MINSORT(ffalse,add(n:S,x:S),y:S) -> MINSORT(x:S,add(n:S,y:S)) IF_MINSORT(ttrue,add(n:S,x:S),y:S) -> MINSORT(app(rm(n:S,x:S),y:S),nil) MINSORT(add(n:S,x:S),y:S) -> IF_MINSORT(eq(n:S,min(add(n:S,x:S))),add(n:S,x:S),y:S) ->->-> Rules: app(add(n:S,x:S),y:S) -> add(n:S,app(x:S,y:S)) app(nil,y:S) -> y:S eq(0,0) -> ttrue eq(0,s(x:S)) -> ffalse eq(s(x:S),0) -> ffalse eq(s(x:S),s(y:S)) -> eq(x:S,y:S) if_min(ffalse,add(n:S,add(m:S,x:S))) -> min(add(m:S,x:S)) if_min(ttrue,add(n:S,add(m:S,x:S))) -> min(add(n:S,x:S)) if_minsort(ffalse,add(n:S,x:S),y:S) -> minsort(x:S,add(n:S,y:S)) if_minsort(ttrue,add(n:S,x:S),y:S) -> add(n:S,minsort(app(rm(n:S,x:S),y:S),nil)) if_rm(ffalse,n:S,add(m:S,x:S)) -> add(m:S,rm(n:S,x:S)) if_rm(ttrue,n:S,add(m:S,x:S)) -> rm(n:S,x:S) le(0,y:S) -> ttrue le(s(x:S),0) -> ffalse le(s(x:S),s(y:S)) -> le(x:S,y:S) min(add(n:S,add(m:S,x:S))) -> if_min(le(n:S,m:S),add(n:S,add(m:S,x:S))) min(add(n:S,nil)) -> n:S minsort(add(n:S,x:S),y:S) -> if_minsort(eq(n:S,min(add(n:S,x:S))),add(n:S,x:S),y:S) minsort(nil,nil) -> nil rm(n:S,add(m:S,x:S)) -> if_rm(eq(n:S,m:S),n:S,add(m:S,x:S)) rm(n:S,nil) -> nil The problem is decomposed in 6 subproblems. Problem 1.1: Subterm Processor: -> Pairs: LE(s(x:S),s(y:S)) -> LE(x:S,y:S) -> Rules: app(add(n:S,x:S),y:S) -> add(n:S,app(x:S,y:S)) app(nil,y:S) -> y:S eq(0,0) -> ttrue eq(0,s(x:S)) -> ffalse eq(s(x:S),0) -> ffalse eq(s(x:S),s(y:S)) -> eq(x:S,y:S) if_min(ffalse,add(n:S,add(m:S,x:S))) -> min(add(m:S,x:S)) if_min(ttrue,add(n:S,add(m:S,x:S))) -> min(add(n:S,x:S)) if_minsort(ffalse,add(n:S,x:S),y:S) -> minsort(x:S,add(n:S,y:S)) if_minsort(ttrue,add(n:S,x:S),y:S) -> add(n:S,minsort(app(rm(n:S,x:S),y:S),nil)) if_rm(ffalse,n:S,add(m:S,x:S)) -> add(m:S,rm(n:S,x:S)) if_rm(ttrue,n:S,add(m:S,x:S)) -> rm(n:S,x:S) le(0,y:S) -> ttrue le(s(x:S),0) -> ffalse le(s(x:S),s(y:S)) -> le(x:S,y:S) min(add(n:S,add(m:S,x:S))) -> if_min(le(n:S,m:S),add(n:S,add(m:S,x:S))) min(add(n:S,nil)) -> n:S minsort(add(n:S,x:S),y:S) -> if_minsort(eq(n:S,min(add(n:S,x:S))),add(n:S,x:S),y:S) minsort(nil,nil) -> nil rm(n:S,add(m:S,x:S)) -> if_rm(eq(n:S,m:S),n:S,add(m:S,x:S)) rm(n:S,nil) -> nil ->Projection: pi(LE) = 1 Problem 1.1: SCC Processor: -> Pairs: Empty -> Rules: app(add(n:S,x:S),y:S) -> add(n:S,app(x:S,y:S)) app(nil,y:S) -> y:S eq(0,0) -> ttrue eq(0,s(x:S)) -> ffalse eq(s(x:S),0) -> ffalse eq(s(x:S),s(y:S)) -> eq(x:S,y:S) if_min(ffalse,add(n:S,add(m:S,x:S))) -> min(add(m:S,x:S)) if_min(ttrue,add(n:S,add(m:S,x:S))) -> min(add(n:S,x:S)) if_minsort(ffalse,add(n:S,x:S),y:S) -> minsort(x:S,add(n:S,y:S)) if_minsort(ttrue,add(n:S,x:S),y:S) -> add(n:S,minsort(app(rm(n:S,x:S),y:S),nil)) if_rm(ffalse,n:S,add(m:S,x:S)) -> add(m:S,rm(n:S,x:S)) if_rm(ttrue,n:S,add(m:S,x:S)) -> rm(n:S,x:S) le(0,y:S) -> ttrue le(s(x:S),0) -> ffalse le(s(x:S),s(y:S)) -> le(x:S,y:S) min(add(n:S,add(m:S,x:S))) -> if_min(le(n:S,m:S),add(n:S,add(m:S,x:S))) min(add(n:S,nil)) -> n:S minsort(add(n:S,x:S),y:S) -> if_minsort(eq(n:S,min(add(n:S,x:S))),add(n:S,x:S),y:S) minsort(nil,nil) -> nil rm(n:S,add(m:S,x:S)) -> if_rm(eq(n:S,m:S),n:S,add(m:S,x:S)) rm(n:S,nil) -> nil ->Strongly Connected Components: There is no strongly connected component The problem is finite. Problem 1.2: Reduction Pairs Processor: -> Pairs: IF_MIN(ffalse,add(n:S,add(m:S,x:S))) -> MIN(add(m:S,x:S)) IF_MIN(ttrue,add(n:S,add(m:S,x:S))) -> MIN(add(n:S,x:S)) MIN(add(n:S,add(m:S,x:S))) -> IF_MIN(le(n:S,m:S),add(n:S,add(m:S,x:S))) -> Rules: app(add(n:S,x:S),y:S) -> add(n:S,app(x:S,y:S)) app(nil,y:S) -> y:S eq(0,0) -> ttrue eq(0,s(x:S)) -> ffalse eq(s(x:S),0) -> ffalse eq(s(x:S),s(y:S)) -> eq(x:S,y:S) if_min(ffalse,add(n:S,add(m:S,x:S))) -> min(add(m:S,x:S)) if_min(ttrue,add(n:S,add(m:S,x:S))) -> min(add(n:S,x:S)) if_minsort(ffalse,add(n:S,x:S),y:S) -> minsort(x:S,add(n:S,y:S)) if_minsort(ttrue,add(n:S,x:S),y:S) -> add(n:S,minsort(app(rm(n:S,x:S),y:S),nil)) if_rm(ffalse,n:S,add(m:S,x:S)) -> add(m:S,rm(n:S,x:S)) if_rm(ttrue,n:S,add(m:S,x:S)) -> rm(n:S,x:S) le(0,y:S) -> ttrue le(s(x:S),0) -> ffalse le(s(x:S),s(y:S)) -> le(x:S,y:S) min(add(n:S,add(m:S,x:S))) -> if_min(le(n:S,m:S),add(n:S,add(m:S,x:S))) min(add(n:S,nil)) -> n:S minsort(add(n:S,x:S),y:S) -> if_minsort(eq(n:S,min(add(n:S,x:S))),add(n:S,x:S),y:S) minsort(nil,nil) -> nil rm(n:S,add(m:S,x:S)) -> if_rm(eq(n:S,m:S),n:S,add(m:S,x:S)) rm(n:S,nil) -> nil -> Usable rules: le(0,y:S) -> ttrue le(s(x:S),0) -> ffalse le(s(x:S),s(y:S)) -> le(x:S,y:S) ->Interpretation type: Linear ->Coefficients: Natural Numbers ->Dimension: 1 ->Bound: 2 ->Interpretation: [app](X1,X2) = 0 [eq](X1,X2) = 0 [if_min](X1,X2) = 0 [if_minsort](X1,X2,X3) = 0 [if_rm](X1,X2,X3) = 0 [le](X1,X2) = 1 [min](X) = 0 [minsort](X1,X2) = 0 [rm](X1,X2) = 0 [0] = 2 [add](X1,X2) = X2 + 2 [fSNonEmpty] = 0 [false] = 1 [nil] = 0 [s](X) = X + 1 [true] = 1 [APP](X1,X2) = 0 [EQ](X1,X2) = 0 [IF_MIN](X1,X2) = 2.X1 + 2.X2 [IF_MINSORT](X1,X2,X3) = 0 [IF_RM](X1,X2,X3) = 0 [LE](X1,X2) = 0 [MIN](X) = 2.X + 2 [MINSORT](X1,X2) = 0 [RM](X1,X2) = 0 Problem 1.2: SCC Processor: -> Pairs: IF_MIN(ttrue,add(n:S,add(m:S,x:S))) -> MIN(add(n:S,x:S)) MIN(add(n:S,add(m:S,x:S))) -> IF_MIN(le(n:S,m:S),add(n:S,add(m:S,x:S))) -> Rules: app(add(n:S,x:S),y:S) -> add(n:S,app(x:S,y:S)) app(nil,y:S) -> y:S eq(0,0) -> ttrue eq(0,s(x:S)) -> ffalse eq(s(x:S),0) -> ffalse eq(s(x:S),s(y:S)) -> eq(x:S,y:S) if_min(ffalse,add(n:S,add(m:S,x:S))) -> min(add(m:S,x:S)) if_min(ttrue,add(n:S,add(m:S,x:S))) -> min(add(n:S,x:S)) if_minsort(ffalse,add(n:S,x:S),y:S) -> minsort(x:S,add(n:S,y:S)) if_minsort(ttrue,add(n:S,x:S),y:S) -> add(n:S,minsort(app(rm(n:S,x:S),y:S),nil)) if_rm(ffalse,n:S,add(m:S,x:S)) -> add(m:S,rm(n:S,x:S)) if_rm(ttrue,n:S,add(m:S,x:S)) -> rm(n:S,x:S) le(0,y:S) -> ttrue le(s(x:S),0) -> ffalse le(s(x:S),s(y:S)) -> le(x:S,y:S) min(add(n:S,add(m:S,x:S))) -> if_min(le(n:S,m:S),add(n:S,add(m:S,x:S))) min(add(n:S,nil)) -> n:S minsort(add(n:S,x:S),y:S) -> if_minsort(eq(n:S,min(add(n:S,x:S))),add(n:S,x:S),y:S) minsort(nil,nil) -> nil rm(n:S,add(m:S,x:S)) -> if_rm(eq(n:S,m:S),n:S,add(m:S,x:S)) rm(n:S,nil) -> nil ->Strongly Connected Components: ->->Cycle: ->->-> Pairs: IF_MIN(ttrue,add(n:S,add(m:S,x:S))) -> MIN(add(n:S,x:S)) MIN(add(n:S,add(m:S,x:S))) -> IF_MIN(le(n:S,m:S),add(n:S,add(m:S,x:S))) ->->-> Rules: app(add(n:S,x:S),y:S) -> add(n:S,app(x:S,y:S)) app(nil,y:S) -> y:S eq(0,0) -> ttrue eq(0,s(x:S)) -> ffalse eq(s(x:S),0) -> ffalse eq(s(x:S),s(y:S)) -> eq(x:S,y:S) if_min(ffalse,add(n:S,add(m:S,x:S))) -> min(add(m:S,x:S)) if_min(ttrue,add(n:S,add(m:S,x:S))) -> min(add(n:S,x:S)) if_minsort(ffalse,add(n:S,x:S),y:S) -> minsort(x:S,add(n:S,y:S)) if_minsort(ttrue,add(n:S,x:S),y:S) -> add(n:S,minsort(app(rm(n:S,x:S),y:S),nil)) if_rm(ffalse,n:S,add(m:S,x:S)) -> add(m:S,rm(n:S,x:S)) if_rm(ttrue,n:S,add(m:S,x:S)) -> rm(n:S,x:S) le(0,y:S) -> ttrue le(s(x:S),0) -> ffalse le(s(x:S),s(y:S)) -> le(x:S,y:S) min(add(n:S,add(m:S,x:S))) -> if_min(le(n:S,m:S),add(n:S,add(m:S,x:S))) min(add(n:S,nil)) -> n:S minsort(add(n:S,x:S),y:S) -> if_minsort(eq(n:S,min(add(n:S,x:S))),add(n:S,x:S),y:S) minsort(nil,nil) -> nil rm(n:S,add(m:S,x:S)) -> if_rm(eq(n:S,m:S),n:S,add(m:S,x:S)) rm(n:S,nil) -> nil Problem 1.2: Reduction Pairs Processor: -> Pairs: IF_MIN(ttrue,add(n:S,add(m:S,x:S))) -> MIN(add(n:S,x:S)) MIN(add(n:S,add(m:S,x:S))) -> IF_MIN(le(n:S,m:S),add(n:S,add(m:S,x:S))) -> Rules: app(add(n:S,x:S),y:S) -> add(n:S,app(x:S,y:S)) app(nil,y:S) -> y:S eq(0,0) -> ttrue eq(0,s(x:S)) -> ffalse eq(s(x:S),0) -> ffalse eq(s(x:S),s(y:S)) -> eq(x:S,y:S) if_min(ffalse,add(n:S,add(m:S,x:S))) -> min(add(m:S,x:S)) if_min(ttrue,add(n:S,add(m:S,x:S))) -> min(add(n:S,x:S)) if_minsort(ffalse,add(n:S,x:S),y:S) -> minsort(x:S,add(n:S,y:S)) if_minsort(ttrue,add(n:S,x:S),y:S) -> add(n:S,minsort(app(rm(n:S,x:S),y:S),nil)) if_rm(ffalse,n:S,add(m:S,x:S)) -> add(m:S,rm(n:S,x:S)) if_rm(ttrue,n:S,add(m:S,x:S)) -> rm(n:S,x:S) le(0,y:S) -> ttrue le(s(x:S),0) -> ffalse le(s(x:S),s(y:S)) -> le(x:S,y:S) min(add(n:S,add(m:S,x:S))) -> if_min(le(n:S,m:S),add(n:S,add(m:S,x:S))) min(add(n:S,nil)) -> n:S minsort(add(n:S,x:S),y:S) -> if_minsort(eq(n:S,min(add(n:S,x:S))),add(n:S,x:S),y:S) minsort(nil,nil) -> nil rm(n:S,add(m:S,x:S)) -> if_rm(eq(n:S,m:S),n:S,add(m:S,x:S)) rm(n:S,nil) -> nil -> Usable rules: le(0,y:S) -> ttrue le(s(x:S),0) -> ffalse le(s(x:S),s(y:S)) -> le(x:S,y:S) ->Interpretation type: Linear ->Coefficients: Natural Numbers ->Dimension: 1 ->Bound: 2 ->Interpretation: [app](X1,X2) = 0 [eq](X1,X2) = 0 [if_min](X1,X2) = 0 [if_minsort](X1,X2,X3) = 0 [if_rm](X1,X2,X3) = 0 [le](X1,X2) = 2 [min](X) = 0 [minsort](X1,X2) = 0 [rm](X1,X2) = 0 [0] = 0 [add](X1,X2) = 2.X2 + 2 [fSNonEmpty] = 0 [false] = 0 [nil] = 0 [s](X) = 2.X + 2 [true] = 2 [APP](X1,X2) = 0 [EQ](X1,X2) = 0 [IF_MIN](X1,X2) = 2.X1 + X2 + 2 [IF_MINSORT](X1,X2,X3) = 0 [IF_RM](X1,X2,X3) = 0 [LE](X1,X2) = 0 [MIN](X) = 2.X + 2 [MINSORT](X1,X2) = 0 [RM](X1,X2) = 0 Problem 1.2: SCC Processor: -> Pairs: MIN(add(n:S,add(m:S,x:S))) -> IF_MIN(le(n:S,m:S),add(n:S,add(m:S,x:S))) -> Rules: app(add(n:S,x:S),y:S) -> add(n:S,app(x:S,y:S)) app(nil,y:S) -> y:S eq(0,0) -> ttrue eq(0,s(x:S)) -> ffalse eq(s(x:S),0) -> ffalse eq(s(x:S),s(y:S)) -> eq(x:S,y:S) if_min(ffalse,add(n:S,add(m:S,x:S))) -> min(add(m:S,x:S)) if_min(ttrue,add(n:S,add(m:S,x:S))) -> min(add(n:S,x:S)) if_minsort(ffalse,add(n:S,x:S),y:S) -> minsort(x:S,add(n:S,y:S)) if_minsort(ttrue,add(n:S,x:S),y:S) -> add(n:S,minsort(app(rm(n:S,x:S),y:S),nil)) if_rm(ffalse,n:S,add(m:S,x:S)) -> add(m:S,rm(n:S,x:S)) if_rm(ttrue,n:S,add(m:S,x:S)) -> rm(n:S,x:S) le(0,y:S) -> ttrue le(s(x:S),0) -> ffalse le(s(x:S),s(y:S)) -> le(x:S,y:S) min(add(n:S,add(m:S,x:S))) -> if_min(le(n:S,m:S),add(n:S,add(m:S,x:S))) min(add(n:S,nil)) -> n:S minsort(add(n:S,x:S),y:S) -> if_minsort(eq(n:S,min(add(n:S,x:S))),add(n:S,x:S),y:S) minsort(nil,nil) -> nil rm(n:S,add(m:S,x:S)) -> if_rm(eq(n:S,m:S),n:S,add(m:S,x:S)) rm(n:S,nil) -> nil ->Strongly Connected Components: There is no strongly connected component The problem is finite. Problem 1.3: Subterm Processor: -> Pairs: EQ(s(x:S),s(y:S)) -> EQ(x:S,y:S) -> Rules: app(add(n:S,x:S),y:S) -> add(n:S,app(x:S,y:S)) app(nil,y:S) -> y:S eq(0,0) -> ttrue eq(0,s(x:S)) -> ffalse eq(s(x:S),0) -> ffalse eq(s(x:S),s(y:S)) -> eq(x:S,y:S) if_min(ffalse,add(n:S,add(m:S,x:S))) -> min(add(m:S,x:S)) if_min(ttrue,add(n:S,add(m:S,x:S))) -> min(add(n:S,x:S)) if_minsort(ffalse,add(n:S,x:S),y:S) -> minsort(x:S,add(n:S,y:S)) if_minsort(ttrue,add(n:S,x:S),y:S) -> add(n:S,minsort(app(rm(n:S,x:S),y:S),nil)) if_rm(ffalse,n:S,add(m:S,x:S)) -> add(m:S,rm(n:S,x:S)) if_rm(ttrue,n:S,add(m:S,x:S)) -> rm(n:S,x:S) le(0,y:S) -> ttrue le(s(x:S),0) -> ffalse le(s(x:S),s(y:S)) -> le(x:S,y:S) min(add(n:S,add(m:S,x:S))) -> if_min(le(n:S,m:S),add(n:S,add(m:S,x:S))) min(add(n:S,nil)) -> n:S minsort(add(n:S,x:S),y:S) -> if_minsort(eq(n:S,min(add(n:S,x:S))),add(n:S,x:S),y:S) minsort(nil,nil) -> nil rm(n:S,add(m:S,x:S)) -> if_rm(eq(n:S,m:S),n:S,add(m:S,x:S)) rm(n:S,nil) -> nil ->Projection: pi(EQ) = 1 Problem 1.3: SCC Processor: -> Pairs: Empty -> Rules: app(add(n:S,x:S),y:S) -> add(n:S,app(x:S,y:S)) app(nil,y:S) -> y:S eq(0,0) -> ttrue eq(0,s(x:S)) -> ffalse eq(s(x:S),0) -> ffalse eq(s(x:S),s(y:S)) -> eq(x:S,y:S) if_min(ffalse,add(n:S,add(m:S,x:S))) -> min(add(m:S,x:S)) if_min(ttrue,add(n:S,add(m:S,x:S))) -> min(add(n:S,x:S)) if_minsort(ffalse,add(n:S,x:S),y:S) -> minsort(x:S,add(n:S,y:S)) if_minsort(ttrue,add(n:S,x:S),y:S) -> add(n:S,minsort(app(rm(n:S,x:S),y:S),nil)) if_rm(ffalse,n:S,add(m:S,x:S)) -> add(m:S,rm(n:S,x:S)) if_rm(ttrue,n:S,add(m:S,x:S)) -> rm(n:S,x:S) le(0,y:S) -> ttrue le(s(x:S),0) -> ffalse le(s(x:S),s(y:S)) -> le(x:S,y:S) min(add(n:S,add(m:S,x:S))) -> if_min(le(n:S,m:S),add(n:S,add(m:S,x:S))) min(add(n:S,nil)) -> n:S minsort(add(n:S,x:S),y:S) -> if_minsort(eq(n:S,min(add(n:S,x:S))),add(n:S,x:S),y:S) minsort(nil,nil) -> nil rm(n:S,add(m:S,x:S)) -> if_rm(eq(n:S,m:S),n:S,add(m:S,x:S)) rm(n:S,nil) -> nil ->Strongly Connected Components: There is no strongly connected component The problem is finite. Problem 1.4: Subterm Processor: -> Pairs: IF_RM(ffalse,n:S,add(m:S,x:S)) -> RM(n:S,x:S) IF_RM(ttrue,n:S,add(m:S,x:S)) -> RM(n:S,x:S) RM(n:S,add(m:S,x:S)) -> IF_RM(eq(n:S,m:S),n:S,add(m:S,x:S)) -> Rules: app(add(n:S,x:S),y:S) -> add(n:S,app(x:S,y:S)) app(nil,y:S) -> y:S eq(0,0) -> ttrue eq(0,s(x:S)) -> ffalse eq(s(x:S),0) -> ffalse eq(s(x:S),s(y:S)) -> eq(x:S,y:S) if_min(ffalse,add(n:S,add(m:S,x:S))) -> min(add(m:S,x:S)) if_min(ttrue,add(n:S,add(m:S,x:S))) -> min(add(n:S,x:S)) if_minsort(ffalse,add(n:S,x:S),y:S) -> minsort(x:S,add(n:S,y:S)) if_minsort(ttrue,add(n:S,x:S),y:S) -> add(n:S,minsort(app(rm(n:S,x:S),y:S),nil)) if_rm(ffalse,n:S,add(m:S,x:S)) -> add(m:S,rm(n:S,x:S)) if_rm(ttrue,n:S,add(m:S,x:S)) -> rm(n:S,x:S) le(0,y:S) -> ttrue le(s(x:S),0) -> ffalse le(s(x:S),s(y:S)) -> le(x:S,y:S) min(add(n:S,add(m:S,x:S))) -> if_min(le(n:S,m:S),add(n:S,add(m:S,x:S))) min(add(n:S,nil)) -> n:S minsort(add(n:S,x:S),y:S) -> if_minsort(eq(n:S,min(add(n:S,x:S))),add(n:S,x:S),y:S) minsort(nil,nil) -> nil rm(n:S,add(m:S,x:S)) -> if_rm(eq(n:S,m:S),n:S,add(m:S,x:S)) rm(n:S,nil) -> nil ->Projection: pi(IF_RM) = 3 pi(RM) = 2 Problem 1.4: SCC Processor: -> Pairs: RM(n:S,add(m:S,x:S)) -> IF_RM(eq(n:S,m:S),n:S,add(m:S,x:S)) -> Rules: app(add(n:S,x:S),y:S) -> add(n:S,app(x:S,y:S)) app(nil,y:S) -> y:S eq(0,0) -> ttrue eq(0,s(x:S)) -> ffalse eq(s(x:S),0) -> ffalse eq(s(x:S),s(y:S)) -> eq(x:S,y:S) if_min(ffalse,add(n:S,add(m:S,x:S))) -> min(add(m:S,x:S)) if_min(ttrue,add(n:S,add(m:S,x:S))) -> min(add(n:S,x:S)) if_minsort(ffalse,add(n:S,x:S),y:S) -> minsort(x:S,add(n:S,y:S)) if_minsort(ttrue,add(n:S,x:S),y:S) -> add(n:S,minsort(app(rm(n:S,x:S),y:S),nil)) if_rm(ffalse,n:S,add(m:S,x:S)) -> add(m:S,rm(n:S,x:S)) if_rm(ttrue,n:S,add(m:S,x:S)) -> rm(n:S,x:S) le(0,y:S) -> ttrue le(s(x:S),0) -> ffalse le(s(x:S),s(y:S)) -> le(x:S,y:S) min(add(n:S,add(m:S,x:S))) -> if_min(le(n:S,m:S),add(n:S,add(m:S,x:S))) min(add(n:S,nil)) -> n:S minsort(add(n:S,x:S),y:S) -> if_minsort(eq(n:S,min(add(n:S,x:S))),add(n:S,x:S),y:S) minsort(nil,nil) -> nil rm(n:S,add(m:S,x:S)) -> if_rm(eq(n:S,m:S),n:S,add(m:S,x:S)) rm(n:S,nil) -> nil ->Strongly Connected Components: There is no strongly connected component The problem is finite. Problem 1.5: Subterm Processor: -> Pairs: APP(add(n:S,x:S),y:S) -> APP(x:S,y:S) -> Rules: app(add(n:S,x:S),y:S) -> add(n:S,app(x:S,y:S)) app(nil,y:S) -> y:S eq(0,0) -> ttrue eq(0,s(x:S)) -> ffalse eq(s(x:S),0) -> ffalse eq(s(x:S),s(y:S)) -> eq(x:S,y:S) if_min(ffalse,add(n:S,add(m:S,x:S))) -> min(add(m:S,x:S)) if_min(ttrue,add(n:S,add(m:S,x:S))) -> min(add(n:S,x:S)) if_minsort(ffalse,add(n:S,x:S),y:S) -> minsort(x:S,add(n:S,y:S)) if_minsort(ttrue,add(n:S,x:S),y:S) -> add(n:S,minsort(app(rm(n:S,x:S),y:S),nil)) if_rm(ffalse,n:S,add(m:S,x:S)) -> add(m:S,rm(n:S,x:S)) if_rm(ttrue,n:S,add(m:S,x:S)) -> rm(n:S,x:S) le(0,y:S) -> ttrue le(s(x:S),0) -> ffalse le(s(x:S),s(y:S)) -> le(x:S,y:S) min(add(n:S,add(m:S,x:S))) -> if_min(le(n:S,m:S),add(n:S,add(m:S,x:S))) min(add(n:S,nil)) -> n:S minsort(add(n:S,x:S),y:S) -> if_minsort(eq(n:S,min(add(n:S,x:S))),add(n:S,x:S),y:S) minsort(nil,nil) -> nil rm(n:S,add(m:S,x:S)) -> if_rm(eq(n:S,m:S),n:S,add(m:S,x:S)) rm(n:S,nil) -> nil ->Projection: pi(APP) = 1 Problem 1.5: SCC Processor: -> Pairs: Empty -> Rules: app(add(n:S,x:S),y:S) -> add(n:S,app(x:S,y:S)) app(nil,y:S) -> y:S eq(0,0) -> ttrue eq(0,s(x:S)) -> ffalse eq(s(x:S),0) -> ffalse eq(s(x:S),s(y:S)) -> eq(x:S,y:S) if_min(ffalse,add(n:S,add(m:S,x:S))) -> min(add(m:S,x:S)) if_min(ttrue,add(n:S,add(m:S,x:S))) -> min(add(n:S,x:S)) if_minsort(ffalse,add(n:S,x:S),y:S) -> minsort(x:S,add(n:S,y:S)) if_minsort(ttrue,add(n:S,x:S),y:S) -> add(n:S,minsort(app(rm(n:S,x:S),y:S),nil)) if_rm(ffalse,n:S,add(m:S,x:S)) -> add(m:S,rm(n:S,x:S)) if_rm(ttrue,n:S,add(m:S,x:S)) -> rm(n:S,x:S) le(0,y:S) -> ttrue le(s(x:S),0) -> ffalse le(s(x:S),s(y:S)) -> le(x:S,y:S) min(add(n:S,add(m:S,x:S))) -> if_min(le(n:S,m:S),add(n:S,add(m:S,x:S))) min(add(n:S,nil)) -> n:S minsort(add(n:S,x:S),y:S) -> if_minsort(eq(n:S,min(add(n:S,x:S))),add(n:S,x:S),y:S) minsort(nil,nil) -> nil rm(n:S,add(m:S,x:S)) -> if_rm(eq(n:S,m:S),n:S,add(m:S,x:S)) rm(n:S,nil) -> nil ->Strongly Connected Components: There is no strongly connected component The problem is finite. Problem 1.6: Reduction Pairs Processor: -> Pairs: IF_MINSORT(ffalse,add(n:S,x:S),y:S) -> MINSORT(x:S,add(n:S,y:S)) IF_MINSORT(ttrue,add(n:S,x:S),y:S) -> MINSORT(app(rm(n:S,x:S),y:S),nil) MINSORT(add(n:S,x:S),y:S) -> IF_MINSORT(eq(n:S,min(add(n:S,x:S))),add(n:S,x:S),y:S) -> Rules: app(add(n:S,x:S),y:S) -> add(n:S,app(x:S,y:S)) app(nil,y:S) -> y:S eq(0,0) -> ttrue eq(0,s(x:S)) -> ffalse eq(s(x:S),0) -> ffalse eq(s(x:S),s(y:S)) -> eq(x:S,y:S) if_min(ffalse,add(n:S,add(m:S,x:S))) -> min(add(m:S,x:S)) if_min(ttrue,add(n:S,add(m:S,x:S))) -> min(add(n:S,x:S)) if_minsort(ffalse,add(n:S,x:S),y:S) -> minsort(x:S,add(n:S,y:S)) if_minsort(ttrue,add(n:S,x:S),y:S) -> add(n:S,minsort(app(rm(n:S,x:S),y:S),nil)) if_rm(ffalse,n:S,add(m:S,x:S)) -> add(m:S,rm(n:S,x:S)) if_rm(ttrue,n:S,add(m:S,x:S)) -> rm(n:S,x:S) le(0,y:S) -> ttrue le(s(x:S),0) -> ffalse le(s(x:S),s(y:S)) -> le(x:S,y:S) min(add(n:S,add(m:S,x:S))) -> if_min(le(n:S,m:S),add(n:S,add(m:S,x:S))) min(add(n:S,nil)) -> n:S minsort(add(n:S,x:S),y:S) -> if_minsort(eq(n:S,min(add(n:S,x:S))),add(n:S,x:S),y:S) minsort(nil,nil) -> nil rm(n:S,add(m:S,x:S)) -> if_rm(eq(n:S,m:S),n:S,add(m:S,x:S)) rm(n:S,nil) -> nil -> Usable rules: app(add(n:S,x:S),y:S) -> add(n:S,app(x:S,y:S)) app(nil,y:S) -> y:S eq(0,0) -> ttrue eq(0,s(x:S)) -> ffalse eq(s(x:S),0) -> ffalse eq(s(x:S),s(y:S)) -> eq(x:S,y:S) if_min(ffalse,add(n:S,add(m:S,x:S))) -> min(add(m:S,x:S)) if_min(ttrue,add(n:S,add(m:S,x:S))) -> min(add(n:S,x:S)) if_rm(ffalse,n:S,add(m:S,x:S)) -> add(m:S,rm(n:S,x:S)) if_rm(ttrue,n:S,add(m:S,x:S)) -> rm(n:S,x:S) le(0,y:S) -> ttrue le(s(x:S),0) -> ffalse le(s(x:S),s(y:S)) -> le(x:S,y:S) min(add(n:S,add(m:S,x:S))) -> if_min(le(n:S,m:S),add(n:S,add(m:S,x:S))) min(add(n:S,nil)) -> n:S rm(n:S,add(m:S,x:S)) -> if_rm(eq(n:S,m:S),n:S,add(m:S,x:S)) rm(n:S,nil) -> nil ->Interpretation type: Linear ->Coefficients: Natural Numbers ->Dimension: 1 ->Bound: 2 ->Interpretation: [app](X1,X2) = X1 + X2 [eq](X1,X2) = 2.X1 + 2.X2 [if_min](X1,X2) = 2.X2 + 2 [if_minsort](X1,X2,X3) = 0 [if_rm](X1,X2,X3) = X2 + X3 + 1 [le](X1,X2) = 2.X1 + X2 + 2 [min](X) = 2.X + 2 [minsort](X1,X2) = 0 [rm](X1,X2) = X1 + X2 + 1 [0] = 2 [add](X1,X2) = 2.X1 + X2 + 2 [fSNonEmpty] = 0 [false] = 2 [nil] = 0 [s](X) = 2.X [true] = 0 [APP](X1,X2) = 0 [EQ](X1,X2) = 0 [IF_MIN](X1,X2) = 0 [IF_MINSORT](X1,X2,X3) = 2.X2 + 2.X3 + 1 [IF_RM](X1,X2,X3) = 0 [LE](X1,X2) = 0 [MIN](X) = 0 [MINSORT](X1,X2) = 2.X1 + 2.X2 + 1 [RM](X1,X2) = 0 Problem 1.6: SCC Processor: -> Pairs: IF_MINSORT(ffalse,add(n:S,x:S),y:S) -> MINSORT(x:S,add(n:S,y:S)) MINSORT(add(n:S,x:S),y:S) -> IF_MINSORT(eq(n:S,min(add(n:S,x:S))),add(n:S,x:S),y:S) -> Rules: app(add(n:S,x:S),y:S) -> add(n:S,app(x:S,y:S)) app(nil,y:S) -> y:S eq(0,0) -> ttrue eq(0,s(x:S)) -> ffalse eq(s(x:S),0) -> ffalse eq(s(x:S),s(y:S)) -> eq(x:S,y:S) if_min(ffalse,add(n:S,add(m:S,x:S))) -> min(add(m:S,x:S)) if_min(ttrue,add(n:S,add(m:S,x:S))) -> min(add(n:S,x:S)) if_minsort(ffalse,add(n:S,x:S),y:S) -> minsort(x:S,add(n:S,y:S)) if_minsort(ttrue,add(n:S,x:S),y:S) -> add(n:S,minsort(app(rm(n:S,x:S),y:S),nil)) if_rm(ffalse,n:S,add(m:S,x:S)) -> add(m:S,rm(n:S,x:S)) if_rm(ttrue,n:S,add(m:S,x:S)) -> rm(n:S,x:S) le(0,y:S) -> ttrue le(s(x:S),0) -> ffalse le(s(x:S),s(y:S)) -> le(x:S,y:S) min(add(n:S,add(m:S,x:S))) -> if_min(le(n:S,m:S),add(n:S,add(m:S,x:S))) min(add(n:S,nil)) -> n:S minsort(add(n:S,x:S),y:S) -> if_minsort(eq(n:S,min(add(n:S,x:S))),add(n:S,x:S),y:S) minsort(nil,nil) -> nil rm(n:S,add(m:S,x:S)) -> if_rm(eq(n:S,m:S),n:S,add(m:S,x:S)) rm(n:S,nil) -> nil ->Strongly Connected Components: ->->Cycle: ->->-> Pairs: IF_MINSORT(ffalse,add(n:S,x:S),y:S) -> MINSORT(x:S,add(n:S,y:S)) MINSORT(add(n:S,x:S),y:S) -> IF_MINSORT(eq(n:S,min(add(n:S,x:S))),add(n:S,x:S),y:S) ->->-> Rules: app(add(n:S,x:S),y:S) -> add(n:S,app(x:S,y:S)) app(nil,y:S) -> y:S eq(0,0) -> ttrue eq(0,s(x:S)) -> ffalse eq(s(x:S),0) -> ffalse eq(s(x:S),s(y:S)) -> eq(x:S,y:S) if_min(ffalse,add(n:S,add(m:S,x:S))) -> min(add(m:S,x:S)) if_min(ttrue,add(n:S,add(m:S,x:S))) -> min(add(n:S,x:S)) if_minsort(ffalse,add(n:S,x:S),y:S) -> minsort(x:S,add(n:S,y:S)) if_minsort(ttrue,add(n:S,x:S),y:S) -> add(n:S,minsort(app(rm(n:S,x:S),y:S),nil)) if_rm(ffalse,n:S,add(m:S,x:S)) -> add(m:S,rm(n:S,x:S)) if_rm(ttrue,n:S,add(m:S,x:S)) -> rm(n:S,x:S) le(0,y:S) -> ttrue le(s(x:S),0) -> ffalse le(s(x:S),s(y:S)) -> le(x:S,y:S) min(add(n:S,add(m:S,x:S))) -> if_min(le(n:S,m:S),add(n:S,add(m:S,x:S))) min(add(n:S,nil)) -> n:S minsort(add(n:S,x:S),y:S) -> if_minsort(eq(n:S,min(add(n:S,x:S))),add(n:S,x:S),y:S) minsort(nil,nil) -> nil rm(n:S,add(m:S,x:S)) -> if_rm(eq(n:S,m:S),n:S,add(m:S,x:S)) rm(n:S,nil) -> nil Problem 1.6: Subterm Processor: -> Pairs: IF_MINSORT(ffalse,add(n:S,x:S),y:S) -> MINSORT(x:S,add(n:S,y:S)) MINSORT(add(n:S,x:S),y:S) -> IF_MINSORT(eq(n:S,min(add(n:S,x:S))),add(n:S,x:S),y:S) -> Rules: app(add(n:S,x:S),y:S) -> add(n:S,app(x:S,y:S)) app(nil,y:S) -> y:S eq(0,0) -> ttrue eq(0,s(x:S)) -> ffalse eq(s(x:S),0) -> ffalse eq(s(x:S),s(y:S)) -> eq(x:S,y:S) if_min(ffalse,add(n:S,add(m:S,x:S))) -> min(add(m:S,x:S)) if_min(ttrue,add(n:S,add(m:S,x:S))) -> min(add(n:S,x:S)) if_minsort(ffalse,add(n:S,x:S),y:S) -> minsort(x:S,add(n:S,y:S)) if_minsort(ttrue,add(n:S,x:S),y:S) -> add(n:S,minsort(app(rm(n:S,x:S),y:S),nil)) if_rm(ffalse,n:S,add(m:S,x:S)) -> add(m:S,rm(n:S,x:S)) if_rm(ttrue,n:S,add(m:S,x:S)) -> rm(n:S,x:S) le(0,y:S) -> ttrue le(s(x:S),0) -> ffalse le(s(x:S),s(y:S)) -> le(x:S,y:S) min(add(n:S,add(m:S,x:S))) -> if_min(le(n:S,m:S),add(n:S,add(m:S,x:S))) min(add(n:S,nil)) -> n:S minsort(add(n:S,x:S),y:S) -> if_minsort(eq(n:S,min(add(n:S,x:S))),add(n:S,x:S),y:S) minsort(nil,nil) -> nil rm(n:S,add(m:S,x:S)) -> if_rm(eq(n:S,m:S),n:S,add(m:S,x:S)) rm(n:S,nil) -> nil ->Projection: pi(IF_MINSORT) = 2 pi(MINSORT) = 1 Problem 1.6: SCC Processor: -> Pairs: MINSORT(add(n:S,x:S),y:S) -> IF_MINSORT(eq(n:S,min(add(n:S,x:S))),add(n:S,x:S),y:S) -> Rules: app(add(n:S,x:S),y:S) -> add(n:S,app(x:S,y:S)) app(nil,y:S) -> y:S eq(0,0) -> ttrue eq(0,s(x:S)) -> ffalse eq(s(x:S),0) -> ffalse eq(s(x:S),s(y:S)) -> eq(x:S,y:S) if_min(ffalse,add(n:S,add(m:S,x:S))) -> min(add(m:S,x:S)) if_min(ttrue,add(n:S,add(m:S,x:S))) -> min(add(n:S,x:S)) if_minsort(ffalse,add(n:S,x:S),y:S) -> minsort(x:S,add(n:S,y:S)) if_minsort(ttrue,add(n:S,x:S),y:S) -> add(n:S,minsort(app(rm(n:S,x:S),y:S),nil)) if_rm(ffalse,n:S,add(m:S,x:S)) -> add(m:S,rm(n:S,x:S)) if_rm(ttrue,n:S,add(m:S,x:S)) -> rm(n:S,x:S) le(0,y:S) -> ttrue le(s(x:S),0) -> ffalse le(s(x:S),s(y:S)) -> le(x:S,y:S) min(add(n:S,add(m:S,x:S))) -> if_min(le(n:S,m:S),add(n:S,add(m:S,x:S))) min(add(n:S,nil)) -> n:S minsort(add(n:S,x:S),y:S) -> if_minsort(eq(n:S,min(add(n:S,x:S))),add(n:S,x:S),y:S) minsort(nil,nil) -> nil rm(n:S,add(m:S,x:S)) -> if_rm(eq(n:S,m:S),n:S,add(m:S,x:S)) rm(n:S,nil) -> nil ->Strongly Connected Components: There is no strongly connected component The problem is finite.