YES Problem 1: (VAR v_NonEmpty:S K:S L:S M:S N:S X:S Y:S) (RULES eq(0,0) -> ttrue eq(0,s(Y:S)) -> ffalse eq(s(X:S),0) -> ffalse eq(s(X:S),s(Y:S)) -> eq(X:S,Y:S) ifmin(ffalse,cons(N:S,cons(M:S,L:S))) -> min(cons(M:S,L:S)) ifmin(ttrue,cons(N:S,cons(M:S,L:S))) -> min(cons(N:S,L:S)) ifrepl(ffalse,N:S,M:S,cons(K:S,L:S)) -> cons(K:S,replace(N:S,M:S,L:S)) ifrepl(ttrue,N:S,M:S,cons(K:S,L:S)) -> cons(M:S,L:S) ifselsort(ffalse,cons(N:S,L:S)) -> cons(min(cons(N:S,L:S)),selsort(replace(min(cons(N:S,L:S)),N:S,L:S))) ifselsort(ttrue,cons(N:S,L:S)) -> cons(N:S,selsort(L:S)) le(0,Y:S) -> ttrue le(s(X:S),0) -> ffalse le(s(X:S),s(Y:S)) -> le(X:S,Y:S) min(cons(0,nil)) -> 0 min(cons(s(N:S),nil)) -> s(N:S) min(cons(N:S,cons(M:S,L:S))) -> ifmin(le(N:S,M:S),cons(N:S,cons(M:S,L:S))) replace(N:S,M:S,cons(K:S,L:S)) -> ifrepl(eq(N:S,K:S),N:S,M:S,cons(K:S,L:S)) replace(N:S,M:S,nil) -> nil selsort(cons(N:S,L:S)) -> ifselsort(eq(N:S,min(cons(N:S,L:S))),cons(N:S,L:S)) selsort(nil) -> nil ) Problem 1: Innermost Equivalent Processor: -> Rules: eq(0,0) -> ttrue eq(0,s(Y:S)) -> ffalse eq(s(X:S),0) -> ffalse eq(s(X:S),s(Y:S)) -> eq(X:S,Y:S) ifmin(ffalse,cons(N:S,cons(M:S,L:S))) -> min(cons(M:S,L:S)) ifmin(ttrue,cons(N:S,cons(M:S,L:S))) -> min(cons(N:S,L:S)) ifrepl(ffalse,N:S,M:S,cons(K:S,L:S)) -> cons(K:S,replace(N:S,M:S,L:S)) ifrepl(ttrue,N:S,M:S,cons(K:S,L:S)) -> cons(M:S,L:S) ifselsort(ffalse,cons(N:S,L:S)) -> cons(min(cons(N:S,L:S)),selsort(replace(min(cons(N:S,L:S)),N:S,L:S))) ifselsort(ttrue,cons(N:S,L:S)) -> cons(N:S,selsort(L:S)) le(0,Y:S) -> ttrue le(s(X:S),0) -> ffalse le(s(X:S),s(Y:S)) -> le(X:S,Y:S) min(cons(0,nil)) -> 0 min(cons(s(N:S),nil)) -> s(N:S) min(cons(N:S,cons(M:S,L:S))) -> ifmin(le(N:S,M:S),cons(N:S,cons(M:S,L:S))) replace(N:S,M:S,cons(K:S,L:S)) -> ifrepl(eq(N:S,K:S),N:S,M:S,cons(K:S,L:S)) replace(N:S,M:S,nil) -> nil selsort(cons(N:S,L:S)) -> ifselsort(eq(N:S,min(cons(N:S,L:S))),cons(N:S,L:S)) selsort(nil) -> nil -> The term rewriting system is non-overlaping or locally confluent overlay system. Therefore, innermost termination implies termination. Problem 1: Dependency Pairs Processor: -> Pairs: EQ(s(X:S),s(Y:S)) -> EQ(X:S,Y:S) IFMIN(ffalse,cons(N:S,cons(M:S,L:S))) -> MIN(cons(M:S,L:S)) IFMIN(ttrue,cons(N:S,cons(M:S,L:S))) -> MIN(cons(N:S,L:S)) IFREPL(ffalse,N:S,M:S,cons(K:S,L:S)) -> REPLACE(N:S,M:S,L:S) IFSELSORT(ffalse,cons(N:S,L:S)) -> MIN(cons(N:S,L:S)) IFSELSORT(ffalse,cons(N:S,L:S)) -> REPLACE(min(cons(N:S,L:S)),N:S,L:S) IFSELSORT(ffalse,cons(N:S,L:S)) -> SELSORT(replace(min(cons(N:S,L:S)),N:S,L:S)) IFSELSORT(ttrue,cons(N:S,L:S)) -> SELSORT(L:S) LE(s(X:S),s(Y:S)) -> LE(X:S,Y:S) MIN(cons(N:S,cons(M:S,L:S))) -> IFMIN(le(N:S,M:S),cons(N:S,cons(M:S,L:S))) MIN(cons(N:S,cons(M:S,L:S))) -> LE(N:S,M:S) REPLACE(N:S,M:S,cons(K:S,L:S)) -> EQ(N:S,K:S) REPLACE(N:S,M:S,cons(K:S,L:S)) -> IFREPL(eq(N:S,K:S),N:S,M:S,cons(K:S,L:S)) SELSORT(cons(N:S,L:S)) -> EQ(N:S,min(cons(N:S,L:S))) SELSORT(cons(N:S,L:S)) -> IFSELSORT(eq(N:S,min(cons(N:S,L:S))),cons(N:S,L:S)) SELSORT(cons(N:S,L:S)) -> MIN(cons(N:S,L:S)) -> Rules: eq(0,0) -> ttrue eq(0,s(Y:S)) -> ffalse eq(s(X:S),0) -> ffalse eq(s(X:S),s(Y:S)) -> eq(X:S,Y:S) ifmin(ffalse,cons(N:S,cons(M:S,L:S))) -> min(cons(M:S,L:S)) ifmin(ttrue,cons(N:S,cons(M:S,L:S))) -> min(cons(N:S,L:S)) ifrepl(ffalse,N:S,M:S,cons(K:S,L:S)) -> cons(K:S,replace(N:S,M:S,L:S)) ifrepl(ttrue,N:S,M:S,cons(K:S,L:S)) -> cons(M:S,L:S) ifselsort(ffalse,cons(N:S,L:S)) -> cons(min(cons(N:S,L:S)),selsort(replace(min(cons(N:S,L:S)),N:S,L:S))) ifselsort(ttrue,cons(N:S,L:S)) -> cons(N:S,selsort(L:S)) le(0,Y:S) -> ttrue le(s(X:S),0) -> ffalse le(s(X:S),s(Y:S)) -> le(X:S,Y:S) min(cons(0,nil)) -> 0 min(cons(s(N:S),nil)) -> s(N:S) min(cons(N:S,cons(M:S,L:S))) -> ifmin(le(N:S,M:S),cons(N:S,cons(M:S,L:S))) replace(N:S,M:S,cons(K:S,L:S)) -> ifrepl(eq(N:S,K:S),N:S,M:S,cons(K:S,L:S)) replace(N:S,M:S,nil) -> nil selsort(cons(N:S,L:S)) -> ifselsort(eq(N:S,min(cons(N:S,L:S))),cons(N:S,L:S)) selsort(nil) -> nil Problem 1: SCC Processor: -> Pairs: EQ(s(X:S),s(Y:S)) -> EQ(X:S,Y:S) IFMIN(ffalse,cons(N:S,cons(M:S,L:S))) -> MIN(cons(M:S,L:S)) IFMIN(ttrue,cons(N:S,cons(M:S,L:S))) -> MIN(cons(N:S,L:S)) IFREPL(ffalse,N:S,M:S,cons(K:S,L:S)) -> REPLACE(N:S,M:S,L:S) IFSELSORT(ffalse,cons(N:S,L:S)) -> MIN(cons(N:S,L:S)) IFSELSORT(ffalse,cons(N:S,L:S)) -> REPLACE(min(cons(N:S,L:S)),N:S,L:S) IFSELSORT(ffalse,cons(N:S,L:S)) -> SELSORT(replace(min(cons(N:S,L:S)),N:S,L:S)) IFSELSORT(ttrue,cons(N:S,L:S)) -> SELSORT(L:S) LE(s(X:S),s(Y:S)) -> LE(X:S,Y:S) MIN(cons(N:S,cons(M:S,L:S))) -> IFMIN(le(N:S,M:S),cons(N:S,cons(M:S,L:S))) MIN(cons(N:S,cons(M:S,L:S))) -> LE(N:S,M:S) REPLACE(N:S,M:S,cons(K:S,L:S)) -> EQ(N:S,K:S) REPLACE(N:S,M:S,cons(K:S,L:S)) -> IFREPL(eq(N:S,K:S),N:S,M:S,cons(K:S,L:S)) SELSORT(cons(N:S,L:S)) -> EQ(N:S,min(cons(N:S,L:S))) SELSORT(cons(N:S,L:S)) -> IFSELSORT(eq(N:S,min(cons(N:S,L:S))),cons(N:S,L:S)) SELSORT(cons(N:S,L:S)) -> MIN(cons(N:S,L:S)) -> Rules: eq(0,0) -> ttrue eq(0,s(Y:S)) -> ffalse eq(s(X:S),0) -> ffalse eq(s(X:S),s(Y:S)) -> eq(X:S,Y:S) ifmin(ffalse,cons(N:S,cons(M:S,L:S))) -> min(cons(M:S,L:S)) ifmin(ttrue,cons(N:S,cons(M:S,L:S))) -> min(cons(N:S,L:S)) ifrepl(ffalse,N:S,M:S,cons(K:S,L:S)) -> cons(K:S,replace(N:S,M:S,L:S)) ifrepl(ttrue,N:S,M:S,cons(K:S,L:S)) -> cons(M:S,L:S) ifselsort(ffalse,cons(N:S,L:S)) -> cons(min(cons(N:S,L:S)),selsort(replace(min(cons(N:S,L:S)),N:S,L:S))) ifselsort(ttrue,cons(N:S,L:S)) -> cons(N:S,selsort(L:S)) le(0,Y:S) -> ttrue le(s(X:S),0) -> ffalse le(s(X:S),s(Y:S)) -> le(X:S,Y:S) min(cons(0,nil)) -> 0 min(cons(s(N:S),nil)) -> s(N:S) min(cons(N:S,cons(M:S,L:S))) -> ifmin(le(N:S,M:S),cons(N:S,cons(M:S,L:S))) replace(N:S,M:S,cons(K:S,L:S)) -> ifrepl(eq(N:S,K:S),N:S,M:S,cons(K:S,L:S)) replace(N:S,M:S,nil) -> nil selsort(cons(N:S,L:S)) -> ifselsort(eq(N:S,min(cons(N:S,L:S))),cons(N:S,L:S)) selsort(nil) -> nil ->Strongly Connected Components: ->->Cycle: ->->-> Pairs: LE(s(X:S),s(Y:S)) -> LE(X:S,Y:S) ->->-> Rules: eq(0,0) -> ttrue eq(0,s(Y:S)) -> ffalse eq(s(X:S),0) -> ffalse eq(s(X:S),s(Y:S)) -> eq(X:S,Y:S) ifmin(ffalse,cons(N:S,cons(M:S,L:S))) -> min(cons(M:S,L:S)) ifmin(ttrue,cons(N:S,cons(M:S,L:S))) -> min(cons(N:S,L:S)) ifrepl(ffalse,N:S,M:S,cons(K:S,L:S)) -> cons(K:S,replace(N:S,M:S,L:S)) ifrepl(ttrue,N:S,M:S,cons(K:S,L:S)) -> cons(M:S,L:S) ifselsort(ffalse,cons(N:S,L:S)) -> cons(min(cons(N:S,L:S)),selsort(replace(min(cons(N:S,L:S)),N:S,L:S))) ifselsort(ttrue,cons(N:S,L:S)) -> cons(N:S,selsort(L:S)) le(0,Y:S) -> ttrue le(s(X:S),0) -> ffalse le(s(X:S),s(Y:S)) -> le(X:S,Y:S) min(cons(0,nil)) -> 0 min(cons(s(N:S),nil)) -> s(N:S) min(cons(N:S,cons(M:S,L:S))) -> ifmin(le(N:S,M:S),cons(N:S,cons(M:S,L:S))) replace(N:S,M:S,cons(K:S,L:S)) -> ifrepl(eq(N:S,K:S),N:S,M:S,cons(K:S,L:S)) replace(N:S,M:S,nil) -> nil selsort(cons(N:S,L:S)) -> ifselsort(eq(N:S,min(cons(N:S,L:S))),cons(N:S,L:S)) selsort(nil) -> nil ->->Cycle: ->->-> Pairs: IFMIN(ffalse,cons(N:S,cons(M:S,L:S))) -> MIN(cons(M:S,L:S)) IFMIN(ttrue,cons(N:S,cons(M:S,L:S))) -> MIN(cons(N:S,L:S)) MIN(cons(N:S,cons(M:S,L:S))) -> IFMIN(le(N:S,M:S),cons(N:S,cons(M:S,L:S))) ->->-> Rules: eq(0,0) -> ttrue eq(0,s(Y:S)) -> ffalse eq(s(X:S),0) -> ffalse eq(s(X:S),s(Y:S)) -> eq(X:S,Y:S) ifmin(ffalse,cons(N:S,cons(M:S,L:S))) -> min(cons(M:S,L:S)) ifmin(ttrue,cons(N:S,cons(M:S,L:S))) -> min(cons(N:S,L:S)) ifrepl(ffalse,N:S,M:S,cons(K:S,L:S)) -> cons(K:S,replace(N:S,M:S,L:S)) ifrepl(ttrue,N:S,M:S,cons(K:S,L:S)) -> cons(M:S,L:S) ifselsort(ffalse,cons(N:S,L:S)) -> cons(min(cons(N:S,L:S)),selsort(replace(min(cons(N:S,L:S)),N:S,L:S))) ifselsort(ttrue,cons(N:S,L:S)) -> cons(N:S,selsort(L:S)) le(0,Y:S) -> ttrue le(s(X:S),0) -> ffalse le(s(X:S),s(Y:S)) -> le(X:S,Y:S) min(cons(0,nil)) -> 0 min(cons(s(N:S),nil)) -> s(N:S) min(cons(N:S,cons(M:S,L:S))) -> ifmin(le(N:S,M:S),cons(N:S,cons(M:S,L:S))) replace(N:S,M:S,cons(K:S,L:S)) -> ifrepl(eq(N:S,K:S),N:S,M:S,cons(K:S,L:S)) replace(N:S,M:S,nil) -> nil selsort(cons(N:S,L:S)) -> ifselsort(eq(N:S,min(cons(N:S,L:S))),cons(N:S,L:S)) selsort(nil) -> nil ->->Cycle: ->->-> Pairs: EQ(s(X:S),s(Y:S)) -> EQ(X:S,Y:S) ->->-> Rules: eq(0,0) -> ttrue eq(0,s(Y:S)) -> ffalse eq(s(X:S),0) -> ffalse eq(s(X:S),s(Y:S)) -> eq(X:S,Y:S) ifmin(ffalse,cons(N:S,cons(M:S,L:S))) -> min(cons(M:S,L:S)) ifmin(ttrue,cons(N:S,cons(M:S,L:S))) -> min(cons(N:S,L:S)) ifrepl(ffalse,N:S,M:S,cons(K:S,L:S)) -> cons(K:S,replace(N:S,M:S,L:S)) ifrepl(ttrue,N:S,M:S,cons(K:S,L:S)) -> cons(M:S,L:S) ifselsort(ffalse,cons(N:S,L:S)) -> cons(min(cons(N:S,L:S)),selsort(replace(min(cons(N:S,L:S)),N:S,L:S))) ifselsort(ttrue,cons(N:S,L:S)) -> cons(N:S,selsort(L:S)) le(0,Y:S) -> ttrue le(s(X:S),0) -> ffalse le(s(X:S),s(Y:S)) -> le(X:S,Y:S) min(cons(0,nil)) -> 0 min(cons(s(N:S),nil)) -> s(N:S) min(cons(N:S,cons(M:S,L:S))) -> ifmin(le(N:S,M:S),cons(N:S,cons(M:S,L:S))) replace(N:S,M:S,cons(K:S,L:S)) -> ifrepl(eq(N:S,K:S),N:S,M:S,cons(K:S,L:S)) replace(N:S,M:S,nil) -> nil selsort(cons(N:S,L:S)) -> ifselsort(eq(N:S,min(cons(N:S,L:S))),cons(N:S,L:S)) selsort(nil) -> nil ->->Cycle: ->->-> Pairs: IFREPL(ffalse,N:S,M:S,cons(K:S,L:S)) -> REPLACE(N:S,M:S,L:S) REPLACE(N:S,M:S,cons(K:S,L:S)) -> IFREPL(eq(N:S,K:S),N:S,M:S,cons(K:S,L:S)) ->->-> Rules: eq(0,0) -> ttrue eq(0,s(Y:S)) -> ffalse eq(s(X:S),0) -> ffalse eq(s(X:S),s(Y:S)) -> eq(X:S,Y:S) ifmin(ffalse,cons(N:S,cons(M:S,L:S))) -> min(cons(M:S,L:S)) ifmin(ttrue,cons(N:S,cons(M:S,L:S))) -> min(cons(N:S,L:S)) ifrepl(ffalse,N:S,M:S,cons(K:S,L:S)) -> cons(K:S,replace(N:S,M:S,L:S)) ifrepl(ttrue,N:S,M:S,cons(K:S,L:S)) -> cons(M:S,L:S) ifselsort(ffalse,cons(N:S,L:S)) -> cons(min(cons(N:S,L:S)),selsort(replace(min(cons(N:S,L:S)),N:S,L:S))) ifselsort(ttrue,cons(N:S,L:S)) -> cons(N:S,selsort(L:S)) le(0,Y:S) -> ttrue le(s(X:S),0) -> ffalse le(s(X:S),s(Y:S)) -> le(X:S,Y:S) min(cons(0,nil)) -> 0 min(cons(s(N:S),nil)) -> s(N:S) min(cons(N:S,cons(M:S,L:S))) -> ifmin(le(N:S,M:S),cons(N:S,cons(M:S,L:S))) replace(N:S,M:S,cons(K:S,L:S)) -> ifrepl(eq(N:S,K:S),N:S,M:S,cons(K:S,L:S)) replace(N:S,M:S,nil) -> nil selsort(cons(N:S,L:S)) -> ifselsort(eq(N:S,min(cons(N:S,L:S))),cons(N:S,L:S)) selsort(nil) -> nil ->->Cycle: ->->-> Pairs: IFSELSORT(ffalse,cons(N:S,L:S)) -> SELSORT(replace(min(cons(N:S,L:S)),N:S,L:S)) IFSELSORT(ttrue,cons(N:S,L:S)) -> SELSORT(L:S) SELSORT(cons(N:S,L:S)) -> IFSELSORT(eq(N:S,min(cons(N:S,L:S))),cons(N:S,L:S)) ->->-> Rules: eq(0,0) -> ttrue eq(0,s(Y:S)) -> ffalse eq(s(X:S),0) -> ffalse eq(s(X:S),s(Y:S)) -> eq(X:S,Y:S) ifmin(ffalse,cons(N:S,cons(M:S,L:S))) -> min(cons(M:S,L:S)) ifmin(ttrue,cons(N:S,cons(M:S,L:S))) -> min(cons(N:S,L:S)) ifrepl(ffalse,N:S,M:S,cons(K:S,L:S)) -> cons(K:S,replace(N:S,M:S,L:S)) ifrepl(ttrue,N:S,M:S,cons(K:S,L:S)) -> cons(M:S,L:S) ifselsort(ffalse,cons(N:S,L:S)) -> cons(min(cons(N:S,L:S)),selsort(replace(min(cons(N:S,L:S)),N:S,L:S))) ifselsort(ttrue,cons(N:S,L:S)) -> cons(N:S,selsort(L:S)) le(0,Y:S) -> ttrue le(s(X:S),0) -> ffalse le(s(X:S),s(Y:S)) -> le(X:S,Y:S) min(cons(0,nil)) -> 0 min(cons(s(N:S),nil)) -> s(N:S) min(cons(N:S,cons(M:S,L:S))) -> ifmin(le(N:S,M:S),cons(N:S,cons(M:S,L:S))) replace(N:S,M:S,cons(K:S,L:S)) -> ifrepl(eq(N:S,K:S),N:S,M:S,cons(K:S,L:S)) replace(N:S,M:S,nil) -> nil selsort(cons(N:S,L:S)) -> ifselsort(eq(N:S,min(cons(N:S,L:S))),cons(N:S,L:S)) selsort(nil) -> nil The problem is decomposed in 5 subproblems. Problem 1.1: Subterm Processor: -> Pairs: LE(s(X:S),s(Y:S)) -> LE(X:S,Y:S) -> Rules: eq(0,0) -> ttrue eq(0,s(Y:S)) -> ffalse eq(s(X:S),0) -> ffalse eq(s(X:S),s(Y:S)) -> eq(X:S,Y:S) ifmin(ffalse,cons(N:S,cons(M:S,L:S))) -> min(cons(M:S,L:S)) ifmin(ttrue,cons(N:S,cons(M:S,L:S))) -> min(cons(N:S,L:S)) ifrepl(ffalse,N:S,M:S,cons(K:S,L:S)) -> cons(K:S,replace(N:S,M:S,L:S)) ifrepl(ttrue,N:S,M:S,cons(K:S,L:S)) -> cons(M:S,L:S) ifselsort(ffalse,cons(N:S,L:S)) -> cons(min(cons(N:S,L:S)),selsort(replace(min(cons(N:S,L:S)),N:S,L:S))) ifselsort(ttrue,cons(N:S,L:S)) -> cons(N:S,selsort(L:S)) le(0,Y:S) -> ttrue le(s(X:S),0) -> ffalse le(s(X:S),s(Y:S)) -> le(X:S,Y:S) min(cons(0,nil)) -> 0 min(cons(s(N:S),nil)) -> s(N:S) min(cons(N:S,cons(M:S,L:S))) -> ifmin(le(N:S,M:S),cons(N:S,cons(M:S,L:S))) replace(N:S,M:S,cons(K:S,L:S)) -> ifrepl(eq(N:S,K:S),N:S,M:S,cons(K:S,L:S)) replace(N:S,M:S,nil) -> nil selsort(cons(N:S,L:S)) -> ifselsort(eq(N:S,min(cons(N:S,L:S))),cons(N:S,L:S)) selsort(nil) -> nil ->Projection: pi(LE) = 1 Problem 1.1: SCC Processor: -> Pairs: Empty -> Rules: eq(0,0) -> ttrue eq(0,s(Y:S)) -> ffalse eq(s(X:S),0) -> ffalse eq(s(X:S),s(Y:S)) -> eq(X:S,Y:S) ifmin(ffalse,cons(N:S,cons(M:S,L:S))) -> min(cons(M:S,L:S)) ifmin(ttrue,cons(N:S,cons(M:S,L:S))) -> min(cons(N:S,L:S)) ifrepl(ffalse,N:S,M:S,cons(K:S,L:S)) -> cons(K:S,replace(N:S,M:S,L:S)) ifrepl(ttrue,N:S,M:S,cons(K:S,L:S)) -> cons(M:S,L:S) ifselsort(ffalse,cons(N:S,L:S)) -> cons(min(cons(N:S,L:S)),selsort(replace(min(cons(N:S,L:S)),N:S,L:S))) ifselsort(ttrue,cons(N:S,L:S)) -> cons(N:S,selsort(L:S)) le(0,Y:S) -> ttrue le(s(X:S),0) -> ffalse le(s(X:S),s(Y:S)) -> le(X:S,Y:S) min(cons(0,nil)) -> 0 min(cons(s(N:S),nil)) -> s(N:S) min(cons(N:S,cons(M:S,L:S))) -> ifmin(le(N:S,M:S),cons(N:S,cons(M:S,L:S))) replace(N:S,M:S,cons(K:S,L:S)) -> ifrepl(eq(N:S,K:S),N:S,M:S,cons(K:S,L:S)) replace(N:S,M:S,nil) -> nil selsort(cons(N:S,L:S)) -> ifselsort(eq(N:S,min(cons(N:S,L:S))),cons(N:S,L:S)) selsort(nil) -> nil ->Strongly Connected Components: There is no strongly connected component The problem is finite. Problem 1.2: Reduction Pairs Processor: -> Pairs: IFMIN(ffalse,cons(N:S,cons(M:S,L:S))) -> MIN(cons(M:S,L:S)) IFMIN(ttrue,cons(N:S,cons(M:S,L:S))) -> MIN(cons(N:S,L:S)) MIN(cons(N:S,cons(M:S,L:S))) -> IFMIN(le(N:S,M:S),cons(N:S,cons(M:S,L:S))) -> Rules: eq(0,0) -> ttrue eq(0,s(Y:S)) -> ffalse eq(s(X:S),0) -> ffalse eq(s(X:S),s(Y:S)) -> eq(X:S,Y:S) ifmin(ffalse,cons(N:S,cons(M:S,L:S))) -> min(cons(M:S,L:S)) ifmin(ttrue,cons(N:S,cons(M:S,L:S))) -> min(cons(N:S,L:S)) ifrepl(ffalse,N:S,M:S,cons(K:S,L:S)) -> cons(K:S,replace(N:S,M:S,L:S)) ifrepl(ttrue,N:S,M:S,cons(K:S,L:S)) -> cons(M:S,L:S) ifselsort(ffalse,cons(N:S,L:S)) -> cons(min(cons(N:S,L:S)),selsort(replace(min(cons(N:S,L:S)),N:S,L:S))) ifselsort(ttrue,cons(N:S,L:S)) -> cons(N:S,selsort(L:S)) le(0,Y:S) -> ttrue le(s(X:S),0) -> ffalse le(s(X:S),s(Y:S)) -> le(X:S,Y:S) min(cons(0,nil)) -> 0 min(cons(s(N:S),nil)) -> s(N:S) min(cons(N:S,cons(M:S,L:S))) -> ifmin(le(N:S,M:S),cons(N:S,cons(M:S,L:S))) replace(N:S,M:S,cons(K:S,L:S)) -> ifrepl(eq(N:S,K:S),N:S,M:S,cons(K:S,L:S)) replace(N:S,M:S,nil) -> nil selsort(cons(N:S,L:S)) -> ifselsort(eq(N:S,min(cons(N:S,L:S))),cons(N:S,L:S)) selsort(nil) -> nil -> Usable rules: le(0,Y:S) -> ttrue le(s(X:S),0) -> ffalse le(s(X:S),s(Y:S)) -> le(X:S,Y:S) ->Interpretation type: Linear ->Coefficients: Natural Numbers ->Dimension: 1 ->Bound: 2 ->Interpretation: [eq](X1,X2) = 0 [ifmin](X1,X2) = 0 [ifrepl](X1,X2,X3,X4) = 0 [ifselsort](X1,X2) = 0 [le](X1,X2) = 1 [min](X) = 0 [replace](X1,X2,X3) = 0 [selsort](X) = 0 [0] = 2 [cons](X1,X2) = X2 + 2 [fSNonEmpty] = 0 [false] = 1 [nil] = 0 [s](X) = X + 1 [true] = 1 [EQ](X1,X2) = 0 [IFMIN](X1,X2) = 2.X1 + 2.X2 [IFREPL](X1,X2,X3,X4) = 0 [IFSELSORT](X1,X2) = 0 [LE](X1,X2) = 0 [MIN](X) = 2.X + 2 [REPLACE](X1,X2,X3) = 0 [SELSORT](X) = 0 Problem 1.2: SCC Processor: -> Pairs: IFMIN(ttrue,cons(N:S,cons(M:S,L:S))) -> MIN(cons(N:S,L:S)) MIN(cons(N:S,cons(M:S,L:S))) -> IFMIN(le(N:S,M:S),cons(N:S,cons(M:S,L:S))) -> Rules: eq(0,0) -> ttrue eq(0,s(Y:S)) -> ffalse eq(s(X:S),0) -> ffalse eq(s(X:S),s(Y:S)) -> eq(X:S,Y:S) ifmin(ffalse,cons(N:S,cons(M:S,L:S))) -> min(cons(M:S,L:S)) ifmin(ttrue,cons(N:S,cons(M:S,L:S))) -> min(cons(N:S,L:S)) ifrepl(ffalse,N:S,M:S,cons(K:S,L:S)) -> cons(K:S,replace(N:S,M:S,L:S)) ifrepl(ttrue,N:S,M:S,cons(K:S,L:S)) -> cons(M:S,L:S) ifselsort(ffalse,cons(N:S,L:S)) -> cons(min(cons(N:S,L:S)),selsort(replace(min(cons(N:S,L:S)),N:S,L:S))) ifselsort(ttrue,cons(N:S,L:S)) -> cons(N:S,selsort(L:S)) le(0,Y:S) -> ttrue le(s(X:S),0) -> ffalse le(s(X:S),s(Y:S)) -> le(X:S,Y:S) min(cons(0,nil)) -> 0 min(cons(s(N:S),nil)) -> s(N:S) min(cons(N:S,cons(M:S,L:S))) -> ifmin(le(N:S,M:S),cons(N:S,cons(M:S,L:S))) replace(N:S,M:S,cons(K:S,L:S)) -> ifrepl(eq(N:S,K:S),N:S,M:S,cons(K:S,L:S)) replace(N:S,M:S,nil) -> nil selsort(cons(N:S,L:S)) -> ifselsort(eq(N:S,min(cons(N:S,L:S))),cons(N:S,L:S)) selsort(nil) -> nil ->Strongly Connected Components: ->->Cycle: ->->-> Pairs: IFMIN(ttrue,cons(N:S,cons(M:S,L:S))) -> MIN(cons(N:S,L:S)) MIN(cons(N:S,cons(M:S,L:S))) -> IFMIN(le(N:S,M:S),cons(N:S,cons(M:S,L:S))) ->->-> Rules: eq(0,0) -> ttrue eq(0,s(Y:S)) -> ffalse eq(s(X:S),0) -> ffalse eq(s(X:S),s(Y:S)) -> eq(X:S,Y:S) ifmin(ffalse,cons(N:S,cons(M:S,L:S))) -> min(cons(M:S,L:S)) ifmin(ttrue,cons(N:S,cons(M:S,L:S))) -> min(cons(N:S,L:S)) ifrepl(ffalse,N:S,M:S,cons(K:S,L:S)) -> cons(K:S,replace(N:S,M:S,L:S)) ifrepl(ttrue,N:S,M:S,cons(K:S,L:S)) -> cons(M:S,L:S) ifselsort(ffalse,cons(N:S,L:S)) -> cons(min(cons(N:S,L:S)),selsort(replace(min(cons(N:S,L:S)),N:S,L:S))) ifselsort(ttrue,cons(N:S,L:S)) -> cons(N:S,selsort(L:S)) le(0,Y:S) -> ttrue le(s(X:S),0) -> ffalse le(s(X:S),s(Y:S)) -> le(X:S,Y:S) min(cons(0,nil)) -> 0 min(cons(s(N:S),nil)) -> s(N:S) min(cons(N:S,cons(M:S,L:S))) -> ifmin(le(N:S,M:S),cons(N:S,cons(M:S,L:S))) replace(N:S,M:S,cons(K:S,L:S)) -> ifrepl(eq(N:S,K:S),N:S,M:S,cons(K:S,L:S)) replace(N:S,M:S,nil) -> nil selsort(cons(N:S,L:S)) -> ifselsort(eq(N:S,min(cons(N:S,L:S))),cons(N:S,L:S)) selsort(nil) -> nil Problem 1.2: Reduction Pairs Processor: -> Pairs: IFMIN(ttrue,cons(N:S,cons(M:S,L:S))) -> MIN(cons(N:S,L:S)) MIN(cons(N:S,cons(M:S,L:S))) -> IFMIN(le(N:S,M:S),cons(N:S,cons(M:S,L:S))) -> Rules: eq(0,0) -> ttrue eq(0,s(Y:S)) -> ffalse eq(s(X:S),0) -> ffalse eq(s(X:S),s(Y:S)) -> eq(X:S,Y:S) ifmin(ffalse,cons(N:S,cons(M:S,L:S))) -> min(cons(M:S,L:S)) ifmin(ttrue,cons(N:S,cons(M:S,L:S))) -> min(cons(N:S,L:S)) ifrepl(ffalse,N:S,M:S,cons(K:S,L:S)) -> cons(K:S,replace(N:S,M:S,L:S)) ifrepl(ttrue,N:S,M:S,cons(K:S,L:S)) -> cons(M:S,L:S) ifselsort(ffalse,cons(N:S,L:S)) -> cons(min(cons(N:S,L:S)),selsort(replace(min(cons(N:S,L:S)),N:S,L:S))) ifselsort(ttrue,cons(N:S,L:S)) -> cons(N:S,selsort(L:S)) le(0,Y:S) -> ttrue le(s(X:S),0) -> ffalse le(s(X:S),s(Y:S)) -> le(X:S,Y:S) min(cons(0,nil)) -> 0 min(cons(s(N:S),nil)) -> s(N:S) min(cons(N:S,cons(M:S,L:S))) -> ifmin(le(N:S,M:S),cons(N:S,cons(M:S,L:S))) replace(N:S,M:S,cons(K:S,L:S)) -> ifrepl(eq(N:S,K:S),N:S,M:S,cons(K:S,L:S)) replace(N:S,M:S,nil) -> nil selsort(cons(N:S,L:S)) -> ifselsort(eq(N:S,min(cons(N:S,L:S))),cons(N:S,L:S)) selsort(nil) -> nil -> Usable rules: le(0,Y:S) -> ttrue le(s(X:S),0) -> ffalse le(s(X:S),s(Y:S)) -> le(X:S,Y:S) ->Interpretation type: Linear ->Coefficients: Natural Numbers ->Dimension: 1 ->Bound: 2 ->Interpretation: [eq](X1,X2) = 0 [ifmin](X1,X2) = 0 [ifrepl](X1,X2,X3,X4) = 0 [ifselsort](X1,X2) = 0 [le](X1,X2) = 2 [min](X) = 0 [replace](X1,X2,X3) = 0 [selsort](X) = 0 [0] = 0 [cons](X1,X2) = 2.X2 + 2 [fSNonEmpty] = 0 [false] = 0 [nil] = 0 [s](X) = 2.X + 2 [true] = 2 [EQ](X1,X2) = 0 [IFMIN](X1,X2) = 2.X1 + X2 + 2 [IFREPL](X1,X2,X3,X4) = 0 [IFSELSORT](X1,X2) = 0 [LE](X1,X2) = 0 [MIN](X) = 2.X + 2 [REPLACE](X1,X2,X3) = 0 [SELSORT](X) = 0 Problem 1.2: SCC Processor: -> Pairs: MIN(cons(N:S,cons(M:S,L:S))) -> IFMIN(le(N:S,M:S),cons(N:S,cons(M:S,L:S))) -> Rules: eq(0,0) -> ttrue eq(0,s(Y:S)) -> ffalse eq(s(X:S),0) -> ffalse eq(s(X:S),s(Y:S)) -> eq(X:S,Y:S) ifmin(ffalse,cons(N:S,cons(M:S,L:S))) -> min(cons(M:S,L:S)) ifmin(ttrue,cons(N:S,cons(M:S,L:S))) -> min(cons(N:S,L:S)) ifrepl(ffalse,N:S,M:S,cons(K:S,L:S)) -> cons(K:S,replace(N:S,M:S,L:S)) ifrepl(ttrue,N:S,M:S,cons(K:S,L:S)) -> cons(M:S,L:S) ifselsort(ffalse,cons(N:S,L:S)) -> cons(min(cons(N:S,L:S)),selsort(replace(min(cons(N:S,L:S)),N:S,L:S))) ifselsort(ttrue,cons(N:S,L:S)) -> cons(N:S,selsort(L:S)) le(0,Y:S) -> ttrue le(s(X:S),0) -> ffalse le(s(X:S),s(Y:S)) -> le(X:S,Y:S) min(cons(0,nil)) -> 0 min(cons(s(N:S),nil)) -> s(N:S) min(cons(N:S,cons(M:S,L:S))) -> ifmin(le(N:S,M:S),cons(N:S,cons(M:S,L:S))) replace(N:S,M:S,cons(K:S,L:S)) -> ifrepl(eq(N:S,K:S),N:S,M:S,cons(K:S,L:S)) replace(N:S,M:S,nil) -> nil selsort(cons(N:S,L:S)) -> ifselsort(eq(N:S,min(cons(N:S,L:S))),cons(N:S,L:S)) selsort(nil) -> nil ->Strongly Connected Components: There is no strongly connected component The problem is finite. Problem 1.3: Subterm Processor: -> Pairs: EQ(s(X:S),s(Y:S)) -> EQ(X:S,Y:S) -> Rules: eq(0,0) -> ttrue eq(0,s(Y:S)) -> ffalse eq(s(X:S),0) -> ffalse eq(s(X:S),s(Y:S)) -> eq(X:S,Y:S) ifmin(ffalse,cons(N:S,cons(M:S,L:S))) -> min(cons(M:S,L:S)) ifmin(ttrue,cons(N:S,cons(M:S,L:S))) -> min(cons(N:S,L:S)) ifrepl(ffalse,N:S,M:S,cons(K:S,L:S)) -> cons(K:S,replace(N:S,M:S,L:S)) ifrepl(ttrue,N:S,M:S,cons(K:S,L:S)) -> cons(M:S,L:S) ifselsort(ffalse,cons(N:S,L:S)) -> cons(min(cons(N:S,L:S)),selsort(replace(min(cons(N:S,L:S)),N:S,L:S))) ifselsort(ttrue,cons(N:S,L:S)) -> cons(N:S,selsort(L:S)) le(0,Y:S) -> ttrue le(s(X:S),0) -> ffalse le(s(X:S),s(Y:S)) -> le(X:S,Y:S) min(cons(0,nil)) -> 0 min(cons(s(N:S),nil)) -> s(N:S) min(cons(N:S,cons(M:S,L:S))) -> ifmin(le(N:S,M:S),cons(N:S,cons(M:S,L:S))) replace(N:S,M:S,cons(K:S,L:S)) -> ifrepl(eq(N:S,K:S),N:S,M:S,cons(K:S,L:S)) replace(N:S,M:S,nil) -> nil selsort(cons(N:S,L:S)) -> ifselsort(eq(N:S,min(cons(N:S,L:S))),cons(N:S,L:S)) selsort(nil) -> nil ->Projection: pi(EQ) = 1 Problem 1.3: SCC Processor: -> Pairs: Empty -> Rules: eq(0,0) -> ttrue eq(0,s(Y:S)) -> ffalse eq(s(X:S),0) -> ffalse eq(s(X:S),s(Y:S)) -> eq(X:S,Y:S) ifmin(ffalse,cons(N:S,cons(M:S,L:S))) -> min(cons(M:S,L:S)) ifmin(ttrue,cons(N:S,cons(M:S,L:S))) -> min(cons(N:S,L:S)) ifrepl(ffalse,N:S,M:S,cons(K:S,L:S)) -> cons(K:S,replace(N:S,M:S,L:S)) ifrepl(ttrue,N:S,M:S,cons(K:S,L:S)) -> cons(M:S,L:S) ifselsort(ffalse,cons(N:S,L:S)) -> cons(min(cons(N:S,L:S)),selsort(replace(min(cons(N:S,L:S)),N:S,L:S))) ifselsort(ttrue,cons(N:S,L:S)) -> cons(N:S,selsort(L:S)) le(0,Y:S) -> ttrue le(s(X:S),0) -> ffalse le(s(X:S),s(Y:S)) -> le(X:S,Y:S) min(cons(0,nil)) -> 0 min(cons(s(N:S),nil)) -> s(N:S) min(cons(N:S,cons(M:S,L:S))) -> ifmin(le(N:S,M:S),cons(N:S,cons(M:S,L:S))) replace(N:S,M:S,cons(K:S,L:S)) -> ifrepl(eq(N:S,K:S),N:S,M:S,cons(K:S,L:S)) replace(N:S,M:S,nil) -> nil selsort(cons(N:S,L:S)) -> ifselsort(eq(N:S,min(cons(N:S,L:S))),cons(N:S,L:S)) selsort(nil) -> nil ->Strongly Connected Components: There is no strongly connected component The problem is finite. Problem 1.4: Subterm Processor: -> Pairs: IFREPL(ffalse,N:S,M:S,cons(K:S,L:S)) -> REPLACE(N:S,M:S,L:S) REPLACE(N:S,M:S,cons(K:S,L:S)) -> IFREPL(eq(N:S,K:S),N:S,M:S,cons(K:S,L:S)) -> Rules: eq(0,0) -> ttrue eq(0,s(Y:S)) -> ffalse eq(s(X:S),0) -> ffalse eq(s(X:S),s(Y:S)) -> eq(X:S,Y:S) ifmin(ffalse,cons(N:S,cons(M:S,L:S))) -> min(cons(M:S,L:S)) ifmin(ttrue,cons(N:S,cons(M:S,L:S))) -> min(cons(N:S,L:S)) ifrepl(ffalse,N:S,M:S,cons(K:S,L:S)) -> cons(K:S,replace(N:S,M:S,L:S)) ifrepl(ttrue,N:S,M:S,cons(K:S,L:S)) -> cons(M:S,L:S) ifselsort(ffalse,cons(N:S,L:S)) -> cons(min(cons(N:S,L:S)),selsort(replace(min(cons(N:S,L:S)),N:S,L:S))) ifselsort(ttrue,cons(N:S,L:S)) -> cons(N:S,selsort(L:S)) le(0,Y:S) -> ttrue le(s(X:S),0) -> ffalse le(s(X:S),s(Y:S)) -> le(X:S,Y:S) min(cons(0,nil)) -> 0 min(cons(s(N:S),nil)) -> s(N:S) min(cons(N:S,cons(M:S,L:S))) -> ifmin(le(N:S,M:S),cons(N:S,cons(M:S,L:S))) replace(N:S,M:S,cons(K:S,L:S)) -> ifrepl(eq(N:S,K:S),N:S,M:S,cons(K:S,L:S)) replace(N:S,M:S,nil) -> nil selsort(cons(N:S,L:S)) -> ifselsort(eq(N:S,min(cons(N:S,L:S))),cons(N:S,L:S)) selsort(nil) -> nil ->Projection: pi(IFREPL) = 4 pi(REPLACE) = 3 Problem 1.4: SCC Processor: -> Pairs: REPLACE(N:S,M:S,cons(K:S,L:S)) -> IFREPL(eq(N:S,K:S),N:S,M:S,cons(K:S,L:S)) -> Rules: eq(0,0) -> ttrue eq(0,s(Y:S)) -> ffalse eq(s(X:S),0) -> ffalse eq(s(X:S),s(Y:S)) -> eq(X:S,Y:S) ifmin(ffalse,cons(N:S,cons(M:S,L:S))) -> min(cons(M:S,L:S)) ifmin(ttrue,cons(N:S,cons(M:S,L:S))) -> min(cons(N:S,L:S)) ifrepl(ffalse,N:S,M:S,cons(K:S,L:S)) -> cons(K:S,replace(N:S,M:S,L:S)) ifrepl(ttrue,N:S,M:S,cons(K:S,L:S)) -> cons(M:S,L:S) ifselsort(ffalse,cons(N:S,L:S)) -> cons(min(cons(N:S,L:S)),selsort(replace(min(cons(N:S,L:S)),N:S,L:S))) ifselsort(ttrue,cons(N:S,L:S)) -> cons(N:S,selsort(L:S)) le(0,Y:S) -> ttrue le(s(X:S),0) -> ffalse le(s(X:S),s(Y:S)) -> le(X:S,Y:S) min(cons(0,nil)) -> 0 min(cons(s(N:S),nil)) -> s(N:S) min(cons(N:S,cons(M:S,L:S))) -> ifmin(le(N:S,M:S),cons(N:S,cons(M:S,L:S))) replace(N:S,M:S,cons(K:S,L:S)) -> ifrepl(eq(N:S,K:S),N:S,M:S,cons(K:S,L:S)) replace(N:S,M:S,nil) -> nil selsort(cons(N:S,L:S)) -> ifselsort(eq(N:S,min(cons(N:S,L:S))),cons(N:S,L:S)) selsort(nil) -> nil ->Strongly Connected Components: There is no strongly connected component The problem is finite. Problem 1.5: Reduction Pairs Processor: -> Pairs: IFSELSORT(ffalse,cons(N:S,L:S)) -> SELSORT(replace(min(cons(N:S,L:S)),N:S,L:S)) IFSELSORT(ttrue,cons(N:S,L:S)) -> SELSORT(L:S) SELSORT(cons(N:S,L:S)) -> IFSELSORT(eq(N:S,min(cons(N:S,L:S))),cons(N:S,L:S)) -> Rules: eq(0,0) -> ttrue eq(0,s(Y:S)) -> ffalse eq(s(X:S),0) -> ffalse eq(s(X:S),s(Y:S)) -> eq(X:S,Y:S) ifmin(ffalse,cons(N:S,cons(M:S,L:S))) -> min(cons(M:S,L:S)) ifmin(ttrue,cons(N:S,cons(M:S,L:S))) -> min(cons(N:S,L:S)) ifrepl(ffalse,N:S,M:S,cons(K:S,L:S)) -> cons(K:S,replace(N:S,M:S,L:S)) ifrepl(ttrue,N:S,M:S,cons(K:S,L:S)) -> cons(M:S,L:S) ifselsort(ffalse,cons(N:S,L:S)) -> cons(min(cons(N:S,L:S)),selsort(replace(min(cons(N:S,L:S)),N:S,L:S))) ifselsort(ttrue,cons(N:S,L:S)) -> cons(N:S,selsort(L:S)) le(0,Y:S) -> ttrue le(s(X:S),0) -> ffalse le(s(X:S),s(Y:S)) -> le(X:S,Y:S) min(cons(0,nil)) -> 0 min(cons(s(N:S),nil)) -> s(N:S) min(cons(N:S,cons(M:S,L:S))) -> ifmin(le(N:S,M:S),cons(N:S,cons(M:S,L:S))) replace(N:S,M:S,cons(K:S,L:S)) -> ifrepl(eq(N:S,K:S),N:S,M:S,cons(K:S,L:S)) replace(N:S,M:S,nil) -> nil selsort(cons(N:S,L:S)) -> ifselsort(eq(N:S,min(cons(N:S,L:S))),cons(N:S,L:S)) selsort(nil) -> nil -> Usable rules: eq(0,0) -> ttrue eq(0,s(Y:S)) -> ffalse eq(s(X:S),0) -> ffalse eq(s(X:S),s(Y:S)) -> eq(X:S,Y:S) ifmin(ffalse,cons(N:S,cons(M:S,L:S))) -> min(cons(M:S,L:S)) ifmin(ttrue,cons(N:S,cons(M:S,L:S))) -> min(cons(N:S,L:S)) ifrepl(ffalse,N:S,M:S,cons(K:S,L:S)) -> cons(K:S,replace(N:S,M:S,L:S)) ifrepl(ttrue,N:S,M:S,cons(K:S,L:S)) -> cons(M:S,L:S) le(0,Y:S) -> ttrue le(s(X:S),0) -> ffalse le(s(X:S),s(Y:S)) -> le(X:S,Y:S) min(cons(0,nil)) -> 0 min(cons(s(N:S),nil)) -> s(N:S) min(cons(N:S,cons(M:S,L:S))) -> ifmin(le(N:S,M:S),cons(N:S,cons(M:S,L:S))) replace(N:S,M:S,cons(K:S,L:S)) -> ifrepl(eq(N:S,K:S),N:S,M:S,cons(K:S,L:S)) replace(N:S,M:S,nil) -> nil ->Interpretation type: Linear ->Coefficients: Natural Numbers ->Dimension: 1 ->Bound: 2 ->Interpretation: [eq](X1,X2) = 2.X1 + 2.X2 + 2 [ifmin](X1,X2) = 2.X2 + 1 [ifrepl](X1,X2,X3,X4) = 2.X3 + X4 [ifselsort](X1,X2) = 0 [le](X1,X2) = 2.X2 + 2 [min](X) = 2.X + 1 [replace](X1,X2,X3) = 2.X2 + X3 [selsort](X) = 0 [0] = 2 [cons](X1,X2) = 2.X1 + X2 + 2 [fSNonEmpty] = 0 [false] = 0 [nil] = 0 [s](X) = 2.X + 2 [true] = 0 [EQ](X1,X2) = 0 [IFMIN](X1,X2) = 0 [IFREPL](X1,X2,X3,X4) = 0 [IFSELSORT](X1,X2) = 2.X2 + 1 [LE](X1,X2) = 0 [MIN](X) = 0 [REPLACE](X1,X2,X3) = 0 [SELSORT](X) = 2.X + 1 Problem 1.5: SCC Processor: -> Pairs: IFSELSORT(ttrue,cons(N:S,L:S)) -> SELSORT(L:S) SELSORT(cons(N:S,L:S)) -> IFSELSORT(eq(N:S,min(cons(N:S,L:S))),cons(N:S,L:S)) -> Rules: eq(0,0) -> ttrue eq(0,s(Y:S)) -> ffalse eq(s(X:S),0) -> ffalse eq(s(X:S),s(Y:S)) -> eq(X:S,Y:S) ifmin(ffalse,cons(N:S,cons(M:S,L:S))) -> min(cons(M:S,L:S)) ifmin(ttrue,cons(N:S,cons(M:S,L:S))) -> min(cons(N:S,L:S)) ifrepl(ffalse,N:S,M:S,cons(K:S,L:S)) -> cons(K:S,replace(N:S,M:S,L:S)) ifrepl(ttrue,N:S,M:S,cons(K:S,L:S)) -> cons(M:S,L:S) ifselsort(ffalse,cons(N:S,L:S)) -> cons(min(cons(N:S,L:S)),selsort(replace(min(cons(N:S,L:S)),N:S,L:S))) ifselsort(ttrue,cons(N:S,L:S)) -> cons(N:S,selsort(L:S)) le(0,Y:S) -> ttrue le(s(X:S),0) -> ffalse le(s(X:S),s(Y:S)) -> le(X:S,Y:S) min(cons(0,nil)) -> 0 min(cons(s(N:S),nil)) -> s(N:S) min(cons(N:S,cons(M:S,L:S))) -> ifmin(le(N:S,M:S),cons(N:S,cons(M:S,L:S))) replace(N:S,M:S,cons(K:S,L:S)) -> ifrepl(eq(N:S,K:S),N:S,M:S,cons(K:S,L:S)) replace(N:S,M:S,nil) -> nil selsort(cons(N:S,L:S)) -> ifselsort(eq(N:S,min(cons(N:S,L:S))),cons(N:S,L:S)) selsort(nil) -> nil ->Strongly Connected Components: ->->Cycle: ->->-> Pairs: IFSELSORT(ttrue,cons(N:S,L:S)) -> SELSORT(L:S) SELSORT(cons(N:S,L:S)) -> IFSELSORT(eq(N:S,min(cons(N:S,L:S))),cons(N:S,L:S)) ->->-> Rules: eq(0,0) -> ttrue eq(0,s(Y:S)) -> ffalse eq(s(X:S),0) -> ffalse eq(s(X:S),s(Y:S)) -> eq(X:S,Y:S) ifmin(ffalse,cons(N:S,cons(M:S,L:S))) -> min(cons(M:S,L:S)) ifmin(ttrue,cons(N:S,cons(M:S,L:S))) -> min(cons(N:S,L:S)) ifrepl(ffalse,N:S,M:S,cons(K:S,L:S)) -> cons(K:S,replace(N:S,M:S,L:S)) ifrepl(ttrue,N:S,M:S,cons(K:S,L:S)) -> cons(M:S,L:S) ifselsort(ffalse,cons(N:S,L:S)) -> cons(min(cons(N:S,L:S)),selsort(replace(min(cons(N:S,L:S)),N:S,L:S))) ifselsort(ttrue,cons(N:S,L:S)) -> cons(N:S,selsort(L:S)) le(0,Y:S) -> ttrue le(s(X:S),0) -> ffalse le(s(X:S),s(Y:S)) -> le(X:S,Y:S) min(cons(0,nil)) -> 0 min(cons(s(N:S),nil)) -> s(N:S) min(cons(N:S,cons(M:S,L:S))) -> ifmin(le(N:S,M:S),cons(N:S,cons(M:S,L:S))) replace(N:S,M:S,cons(K:S,L:S)) -> ifrepl(eq(N:S,K:S),N:S,M:S,cons(K:S,L:S)) replace(N:S,M:S,nil) -> nil selsort(cons(N:S,L:S)) -> ifselsort(eq(N:S,min(cons(N:S,L:S))),cons(N:S,L:S)) selsort(nil) -> nil Problem 1.5: Subterm Processor: -> Pairs: IFSELSORT(ttrue,cons(N:S,L:S)) -> SELSORT(L:S) SELSORT(cons(N:S,L:S)) -> IFSELSORT(eq(N:S,min(cons(N:S,L:S))),cons(N:S,L:S)) -> Rules: eq(0,0) -> ttrue eq(0,s(Y:S)) -> ffalse eq(s(X:S),0) -> ffalse eq(s(X:S),s(Y:S)) -> eq(X:S,Y:S) ifmin(ffalse,cons(N:S,cons(M:S,L:S))) -> min(cons(M:S,L:S)) ifmin(ttrue,cons(N:S,cons(M:S,L:S))) -> min(cons(N:S,L:S)) ifrepl(ffalse,N:S,M:S,cons(K:S,L:S)) -> cons(K:S,replace(N:S,M:S,L:S)) ifrepl(ttrue,N:S,M:S,cons(K:S,L:S)) -> cons(M:S,L:S) ifselsort(ffalse,cons(N:S,L:S)) -> cons(min(cons(N:S,L:S)),selsort(replace(min(cons(N:S,L:S)),N:S,L:S))) ifselsort(ttrue,cons(N:S,L:S)) -> cons(N:S,selsort(L:S)) le(0,Y:S) -> ttrue le(s(X:S),0) -> ffalse le(s(X:S),s(Y:S)) -> le(X:S,Y:S) min(cons(0,nil)) -> 0 min(cons(s(N:S),nil)) -> s(N:S) min(cons(N:S,cons(M:S,L:S))) -> ifmin(le(N:S,M:S),cons(N:S,cons(M:S,L:S))) replace(N:S,M:S,cons(K:S,L:S)) -> ifrepl(eq(N:S,K:S),N:S,M:S,cons(K:S,L:S)) replace(N:S,M:S,nil) -> nil selsort(cons(N:S,L:S)) -> ifselsort(eq(N:S,min(cons(N:S,L:S))),cons(N:S,L:S)) selsort(nil) -> nil ->Projection: pi(IFSELSORT) = 2 pi(SELSORT) = 1 Problem 1.5: SCC Processor: -> Pairs: SELSORT(cons(N:S,L:S)) -> IFSELSORT(eq(N:S,min(cons(N:S,L:S))),cons(N:S,L:S)) -> Rules: eq(0,0) -> ttrue eq(0,s(Y:S)) -> ffalse eq(s(X:S),0) -> ffalse eq(s(X:S),s(Y:S)) -> eq(X:S,Y:S) ifmin(ffalse,cons(N:S,cons(M:S,L:S))) -> min(cons(M:S,L:S)) ifmin(ttrue,cons(N:S,cons(M:S,L:S))) -> min(cons(N:S,L:S)) ifrepl(ffalse,N:S,M:S,cons(K:S,L:S)) -> cons(K:S,replace(N:S,M:S,L:S)) ifrepl(ttrue,N:S,M:S,cons(K:S,L:S)) -> cons(M:S,L:S) ifselsort(ffalse,cons(N:S,L:S)) -> cons(min(cons(N:S,L:S)),selsort(replace(min(cons(N:S,L:S)),N:S,L:S))) ifselsort(ttrue,cons(N:S,L:S)) -> cons(N:S,selsort(L:S)) le(0,Y:S) -> ttrue le(s(X:S),0) -> ffalse le(s(X:S),s(Y:S)) -> le(X:S,Y:S) min(cons(0,nil)) -> 0 min(cons(s(N:S),nil)) -> s(N:S) min(cons(N:S,cons(M:S,L:S))) -> ifmin(le(N:S,M:S),cons(N:S,cons(M:S,L:S))) replace(N:S,M:S,cons(K:S,L:S)) -> ifrepl(eq(N:S,K:S),N:S,M:S,cons(K:S,L:S)) replace(N:S,M:S,nil) -> nil selsort(cons(N:S,L:S)) -> ifselsort(eq(N:S,min(cons(N:S,L:S))),cons(N:S,L:S)) selsort(nil) -> nil ->Strongly Connected Components: There is no strongly connected component The problem is finite.