YES

Problem 1: 

(VAR v_NonEmpty:S K:S L:S Lp:S S:S Sp:S T:S Tp:S X:S Xp:S Y:S Z:S)
(RULES
and(ffalse,ffalse) -> ffalse
and(ffalse,ttrue) -> ffalse
and(ttrue,ffalse) -> ffalse
and(ttrue,ttrue) -> ttrue
eq(apply(T:S,S:S),apply(Tp:S,Sp:S)) -> and(eq(T:S,Tp:S),eq(S:S,Sp:S))
eq(apply(T:S,S:S),lambda(X:S,Tp:S)) -> ffalse
eq(apply(T:S,S:S),var(L:S)) -> ffalse
eq(cons(T:S,L:S),cons(Tp:S,Lp:S)) -> and(eq(T:S,Tp:S),eq(L:S,Lp:S))
eq(cons(T:S,L:S),nil) -> ffalse
eq(lambda(X:S,T:S),apply(Tp:S,Sp:S)) -> ffalse
eq(lambda(X:S,T:S),lambda(Xp:S,Tp:S)) -> and(eq(T:S,Tp:S),eq(X:S,Xp:S))
eq(lambda(X:S,T:S),var(L:S)) -> ffalse
eq(nil,cons(T:S,L:S)) -> ffalse
eq(nil,nil) -> ttrue
eq(var(L:S),apply(T:S,S:S)) -> ffalse
eq(var(L:S),lambda(X:S,T:S)) -> ffalse
eq(var(L:S),var(Lp:S)) -> eq(L:S,Lp:S)
if(ffalse,var(K:S),var(L:S)) -> var(L:S)
if(ttrue,var(K:S),var(L:S)) -> var(K:S)
ren(var(L:S),var(K:S),var(Lp:S)) -> if(eq(L:S,Lp:S),var(K:S),var(Lp:S))
ren(X:S,Y:S,apply(T:S,S:S)) -> apply(ren(X:S,Y:S,T:S),ren(X:S,Y:S,S:S))
ren(X:S,Y:S,lambda(Z:S,T:S)) -> lambda(var(cons(X:S,cons(Y:S,cons(lambda(Z:S,T:S),nil)))),ren(X:S,Y:S,ren(Z:S,var(cons(X:S,cons(Y:S,cons(lambda(Z:S,T:S),nil)))),T:S)))
)

Problem 1: 

Innermost Equivalent Processor:
-> Rules:
 and(ffalse,ffalse) -> ffalse
 and(ffalse,ttrue) -> ffalse
 and(ttrue,ffalse) -> ffalse
 and(ttrue,ttrue) -> ttrue
 eq(apply(T:S,S:S),apply(Tp:S,Sp:S)) -> and(eq(T:S,Tp:S),eq(S:S,Sp:S))
 eq(apply(T:S,S:S),lambda(X:S,Tp:S)) -> ffalse
 eq(apply(T:S,S:S),var(L:S)) -> ffalse
 eq(cons(T:S,L:S),cons(Tp:S,Lp:S)) -> and(eq(T:S,Tp:S),eq(L:S,Lp:S))
 eq(cons(T:S,L:S),nil) -> ffalse
 eq(lambda(X:S,T:S),apply(Tp:S,Sp:S)) -> ffalse
 eq(lambda(X:S,T:S),lambda(Xp:S,Tp:S)) -> and(eq(T:S,Tp:S),eq(X:S,Xp:S))
 eq(lambda(X:S,T:S),var(L:S)) -> ffalse
 eq(nil,cons(T:S,L:S)) -> ffalse
 eq(nil,nil) -> ttrue
 eq(var(L:S),apply(T:S,S:S)) -> ffalse
 eq(var(L:S),lambda(X:S,T:S)) -> ffalse
 eq(var(L:S),var(Lp:S)) -> eq(L:S,Lp:S)
 if(ffalse,var(K:S),var(L:S)) -> var(L:S)
 if(ttrue,var(K:S),var(L:S)) -> var(K:S)
 ren(var(L:S),var(K:S),var(Lp:S)) -> if(eq(L:S,Lp:S),var(K:S),var(Lp:S))
 ren(X:S,Y:S,apply(T:S,S:S)) -> apply(ren(X:S,Y:S,T:S),ren(X:S,Y:S,S:S))
 ren(X:S,Y:S,lambda(Z:S,T:S)) -> lambda(var(cons(X:S,cons(Y:S,cons(lambda(Z:S,T:S),nil)))),ren(X:S,Y:S,ren(Z:S,var(cons(X:S,cons(Y:S,cons(lambda(Z:S,T:S),nil)))),T:S)))
-> The term rewriting system is non-overlaping or locally confluent overlay system. Therefore, innermost termination implies termination.
 

Problem 1: 

Dependency Pairs Processor:
-> Pairs:
 EQ(apply(T:S,S:S),apply(Tp:S,Sp:S)) -> AND(eq(T:S,Tp:S),eq(S:S,Sp:S))
 EQ(apply(T:S,S:S),apply(Tp:S,Sp:S)) -> EQ(S:S,Sp:S)
 EQ(apply(T:S,S:S),apply(Tp:S,Sp:S)) -> EQ(T:S,Tp:S)
 EQ(cons(T:S,L:S),cons(Tp:S,Lp:S)) -> AND(eq(T:S,Tp:S),eq(L:S,Lp:S))
 EQ(cons(T:S,L:S),cons(Tp:S,Lp:S)) -> EQ(L:S,Lp:S)
 EQ(cons(T:S,L:S),cons(Tp:S,Lp:S)) -> EQ(T:S,Tp:S)
 EQ(lambda(X:S,T:S),lambda(Xp:S,Tp:S)) -> AND(eq(T:S,Tp:S),eq(X:S,Xp:S))
 EQ(lambda(X:S,T:S),lambda(Xp:S,Tp:S)) -> EQ(T:S,Tp:S)
 EQ(lambda(X:S,T:S),lambda(Xp:S,Tp:S)) -> EQ(X:S,Xp:S)
 EQ(var(L:S),var(Lp:S)) -> EQ(L:S,Lp:S)
 REN(var(L:S),var(K:S),var(Lp:S)) -> EQ(L:S,Lp:S)
 REN(var(L:S),var(K:S),var(Lp:S)) -> IF(eq(L:S,Lp:S),var(K:S),var(Lp:S))
 REN(X:S,Y:S,apply(T:S,S:S)) -> REN(X:S,Y:S,S:S)
 REN(X:S,Y:S,apply(T:S,S:S)) -> REN(X:S,Y:S,T:S)
 REN(X:S,Y:S,lambda(Z:S,T:S)) -> REN(X:S,Y:S,ren(Z:S,var(cons(X:S,cons(Y:S,cons(lambda(Z:S,T:S),nil)))),T:S))
 REN(X:S,Y:S,lambda(Z:S,T:S)) -> REN(Z:S,var(cons(X:S,cons(Y:S,cons(lambda(Z:S,T:S),nil)))),T:S)
-> Rules:
 and(ffalse,ffalse) -> ffalse
 and(ffalse,ttrue) -> ffalse
 and(ttrue,ffalse) -> ffalse
 and(ttrue,ttrue) -> ttrue
 eq(apply(T:S,S:S),apply(Tp:S,Sp:S)) -> and(eq(T:S,Tp:S),eq(S:S,Sp:S))
 eq(apply(T:S,S:S),lambda(X:S,Tp:S)) -> ffalse
 eq(apply(T:S,S:S),var(L:S)) -> ffalse
 eq(cons(T:S,L:S),cons(Tp:S,Lp:S)) -> and(eq(T:S,Tp:S),eq(L:S,Lp:S))
 eq(cons(T:S,L:S),nil) -> ffalse
 eq(lambda(X:S,T:S),apply(Tp:S,Sp:S)) -> ffalse
 eq(lambda(X:S,T:S),lambda(Xp:S,Tp:S)) -> and(eq(T:S,Tp:S),eq(X:S,Xp:S))
 eq(lambda(X:S,T:S),var(L:S)) -> ffalse
 eq(nil,cons(T:S,L:S)) -> ffalse
 eq(nil,nil) -> ttrue
 eq(var(L:S),apply(T:S,S:S)) -> ffalse
 eq(var(L:S),lambda(X:S,T:S)) -> ffalse
 eq(var(L:S),var(Lp:S)) -> eq(L:S,Lp:S)
 if(ffalse,var(K:S),var(L:S)) -> var(L:S)
 if(ttrue,var(K:S),var(L:S)) -> var(K:S)
 ren(var(L:S),var(K:S),var(Lp:S)) -> if(eq(L:S,Lp:S),var(K:S),var(Lp:S))
 ren(X:S,Y:S,apply(T:S,S:S)) -> apply(ren(X:S,Y:S,T:S),ren(X:S,Y:S,S:S))
 ren(X:S,Y:S,lambda(Z:S,T:S)) -> lambda(var(cons(X:S,cons(Y:S,cons(lambda(Z:S,T:S),nil)))),ren(X:S,Y:S,ren(Z:S,var(cons(X:S,cons(Y:S,cons(lambda(Z:S,T:S),nil)))),T:S)))

Problem 1: 

SCC Processor:
-> Pairs:
 EQ(apply(T:S,S:S),apply(Tp:S,Sp:S)) -> AND(eq(T:S,Tp:S),eq(S:S,Sp:S))
 EQ(apply(T:S,S:S),apply(Tp:S,Sp:S)) -> EQ(S:S,Sp:S)
 EQ(apply(T:S,S:S),apply(Tp:S,Sp:S)) -> EQ(T:S,Tp:S)
 EQ(cons(T:S,L:S),cons(Tp:S,Lp:S)) -> AND(eq(T:S,Tp:S),eq(L:S,Lp:S))
 EQ(cons(T:S,L:S),cons(Tp:S,Lp:S)) -> EQ(L:S,Lp:S)
 EQ(cons(T:S,L:S),cons(Tp:S,Lp:S)) -> EQ(T:S,Tp:S)
 EQ(lambda(X:S,T:S),lambda(Xp:S,Tp:S)) -> AND(eq(T:S,Tp:S),eq(X:S,Xp:S))
 EQ(lambda(X:S,T:S),lambda(Xp:S,Tp:S)) -> EQ(T:S,Tp:S)
 EQ(lambda(X:S,T:S),lambda(Xp:S,Tp:S)) -> EQ(X:S,Xp:S)
 EQ(var(L:S),var(Lp:S)) -> EQ(L:S,Lp:S)
 REN(var(L:S),var(K:S),var(Lp:S)) -> EQ(L:S,Lp:S)
 REN(var(L:S),var(K:S),var(Lp:S)) -> IF(eq(L:S,Lp:S),var(K:S),var(Lp:S))
 REN(X:S,Y:S,apply(T:S,S:S)) -> REN(X:S,Y:S,S:S)
 REN(X:S,Y:S,apply(T:S,S:S)) -> REN(X:S,Y:S,T:S)
 REN(X:S,Y:S,lambda(Z:S,T:S)) -> REN(X:S,Y:S,ren(Z:S,var(cons(X:S,cons(Y:S,cons(lambda(Z:S,T:S),nil)))),T:S))
 REN(X:S,Y:S,lambda(Z:S,T:S)) -> REN(Z:S,var(cons(X:S,cons(Y:S,cons(lambda(Z:S,T:S),nil)))),T:S)
-> Rules:
 and(ffalse,ffalse) -> ffalse
 and(ffalse,ttrue) -> ffalse
 and(ttrue,ffalse) -> ffalse
 and(ttrue,ttrue) -> ttrue
 eq(apply(T:S,S:S),apply(Tp:S,Sp:S)) -> and(eq(T:S,Tp:S),eq(S:S,Sp:S))
 eq(apply(T:S,S:S),lambda(X:S,Tp:S)) -> ffalse
 eq(apply(T:S,S:S),var(L:S)) -> ffalse
 eq(cons(T:S,L:S),cons(Tp:S,Lp:S)) -> and(eq(T:S,Tp:S),eq(L:S,Lp:S))
 eq(cons(T:S,L:S),nil) -> ffalse
 eq(lambda(X:S,T:S),apply(Tp:S,Sp:S)) -> ffalse
 eq(lambda(X:S,T:S),lambda(Xp:S,Tp:S)) -> and(eq(T:S,Tp:S),eq(X:S,Xp:S))
 eq(lambda(X:S,T:S),var(L:S)) -> ffalse
 eq(nil,cons(T:S,L:S)) -> ffalse
 eq(nil,nil) -> ttrue
 eq(var(L:S),apply(T:S,S:S)) -> ffalse
 eq(var(L:S),lambda(X:S,T:S)) -> ffalse
 eq(var(L:S),var(Lp:S)) -> eq(L:S,Lp:S)
 if(ffalse,var(K:S),var(L:S)) -> var(L:S)
 if(ttrue,var(K:S),var(L:S)) -> var(K:S)
 ren(var(L:S),var(K:S),var(Lp:S)) -> if(eq(L:S,Lp:S),var(K:S),var(Lp:S))
 ren(X:S,Y:S,apply(T:S,S:S)) -> apply(ren(X:S,Y:S,T:S),ren(X:S,Y:S,S:S))
 ren(X:S,Y:S,lambda(Z:S,T:S)) -> lambda(var(cons(X:S,cons(Y:S,cons(lambda(Z:S,T:S),nil)))),ren(X:S,Y:S,ren(Z:S,var(cons(X:S,cons(Y:S,cons(lambda(Z:S,T:S),nil)))),T:S)))
->Strongly Connected Components:
->->Cycle:
->->-> Pairs:
 EQ(apply(T:S,S:S),apply(Tp:S,Sp:S)) -> EQ(S:S,Sp:S)
 EQ(apply(T:S,S:S),apply(Tp:S,Sp:S)) -> EQ(T:S,Tp:S)
 EQ(cons(T:S,L:S),cons(Tp:S,Lp:S)) -> EQ(L:S,Lp:S)
 EQ(cons(T:S,L:S),cons(Tp:S,Lp:S)) -> EQ(T:S,Tp:S)
 EQ(lambda(X:S,T:S),lambda(Xp:S,Tp:S)) -> EQ(T:S,Tp:S)
 EQ(lambda(X:S,T:S),lambda(Xp:S,Tp:S)) -> EQ(X:S,Xp:S)
 EQ(var(L:S),var(Lp:S)) -> EQ(L:S,Lp:S)
->->-> Rules:
 and(ffalse,ffalse) -> ffalse
 and(ffalse,ttrue) -> ffalse
 and(ttrue,ffalse) -> ffalse
 and(ttrue,ttrue) -> ttrue
 eq(apply(T:S,S:S),apply(Tp:S,Sp:S)) -> and(eq(T:S,Tp:S),eq(S:S,Sp:S))
 eq(apply(T:S,S:S),lambda(X:S,Tp:S)) -> ffalse
 eq(apply(T:S,S:S),var(L:S)) -> ffalse
 eq(cons(T:S,L:S),cons(Tp:S,Lp:S)) -> and(eq(T:S,Tp:S),eq(L:S,Lp:S))
 eq(cons(T:S,L:S),nil) -> ffalse
 eq(lambda(X:S,T:S),apply(Tp:S,Sp:S)) -> ffalse
 eq(lambda(X:S,T:S),lambda(Xp:S,Tp:S)) -> and(eq(T:S,Tp:S),eq(X:S,Xp:S))
 eq(lambda(X:S,T:S),var(L:S)) -> ffalse
 eq(nil,cons(T:S,L:S)) -> ffalse
 eq(nil,nil) -> ttrue
 eq(var(L:S),apply(T:S,S:S)) -> ffalse
 eq(var(L:S),lambda(X:S,T:S)) -> ffalse
 eq(var(L:S),var(Lp:S)) -> eq(L:S,Lp:S)
 if(ffalse,var(K:S),var(L:S)) -> var(L:S)
 if(ttrue,var(K:S),var(L:S)) -> var(K:S)
 ren(var(L:S),var(K:S),var(Lp:S)) -> if(eq(L:S,Lp:S),var(K:S),var(Lp:S))
 ren(X:S,Y:S,apply(T:S,S:S)) -> apply(ren(X:S,Y:S,T:S),ren(X:S,Y:S,S:S))
 ren(X:S,Y:S,lambda(Z:S,T:S)) -> lambda(var(cons(X:S,cons(Y:S,cons(lambda(Z:S,T:S),nil)))),ren(X:S,Y:S,ren(Z:S,var(cons(X:S,cons(Y:S,cons(lambda(Z:S,T:S),nil)))),T:S)))
->->Cycle:
->->-> Pairs:
 REN(X:S,Y:S,apply(T:S,S:S)) -> REN(X:S,Y:S,S:S)
 REN(X:S,Y:S,apply(T:S,S:S)) -> REN(X:S,Y:S,T:S)
 REN(X:S,Y:S,lambda(Z:S,T:S)) -> REN(X:S,Y:S,ren(Z:S,var(cons(X:S,cons(Y:S,cons(lambda(Z:S,T:S),nil)))),T:S))
 REN(X:S,Y:S,lambda(Z:S,T:S)) -> REN(Z:S,var(cons(X:S,cons(Y:S,cons(lambda(Z:S,T:S),nil)))),T:S)
->->-> Rules:
 and(ffalse,ffalse) -> ffalse
 and(ffalse,ttrue) -> ffalse
 and(ttrue,ffalse) -> ffalse
 and(ttrue,ttrue) -> ttrue
 eq(apply(T:S,S:S),apply(Tp:S,Sp:S)) -> and(eq(T:S,Tp:S),eq(S:S,Sp:S))
 eq(apply(T:S,S:S),lambda(X:S,Tp:S)) -> ffalse
 eq(apply(T:S,S:S),var(L:S)) -> ffalse
 eq(cons(T:S,L:S),cons(Tp:S,Lp:S)) -> and(eq(T:S,Tp:S),eq(L:S,Lp:S))
 eq(cons(T:S,L:S),nil) -> ffalse
 eq(lambda(X:S,T:S),apply(Tp:S,Sp:S)) -> ffalse
 eq(lambda(X:S,T:S),lambda(Xp:S,Tp:S)) -> and(eq(T:S,Tp:S),eq(X:S,Xp:S))
 eq(lambda(X:S,T:S),var(L:S)) -> ffalse
 eq(nil,cons(T:S,L:S)) -> ffalse
 eq(nil,nil) -> ttrue
 eq(var(L:S),apply(T:S,S:S)) -> ffalse
 eq(var(L:S),lambda(X:S,T:S)) -> ffalse
 eq(var(L:S),var(Lp:S)) -> eq(L:S,Lp:S)
 if(ffalse,var(K:S),var(L:S)) -> var(L:S)
 if(ttrue,var(K:S),var(L:S)) -> var(K:S)
 ren(var(L:S),var(K:S),var(Lp:S)) -> if(eq(L:S,Lp:S),var(K:S),var(Lp:S))
 ren(X:S,Y:S,apply(T:S,S:S)) -> apply(ren(X:S,Y:S,T:S),ren(X:S,Y:S,S:S))
 ren(X:S,Y:S,lambda(Z:S,T:S)) -> lambda(var(cons(X:S,cons(Y:S,cons(lambda(Z:S,T:S),nil)))),ren(X:S,Y:S,ren(Z:S,var(cons(X:S,cons(Y:S,cons(lambda(Z:S,T:S),nil)))),T:S)))


The problem is decomposed in 2 subproblems.

Problem 1.1: 

Subterm Processor:
-> Pairs:
 EQ(apply(T:S,S:S),apply(Tp:S,Sp:S)) -> EQ(S:S,Sp:S)
 EQ(apply(T:S,S:S),apply(Tp:S,Sp:S)) -> EQ(T:S,Tp:S)
 EQ(cons(T:S,L:S),cons(Tp:S,Lp:S)) -> EQ(L:S,Lp:S)
 EQ(cons(T:S,L:S),cons(Tp:S,Lp:S)) -> EQ(T:S,Tp:S)
 EQ(lambda(X:S,T:S),lambda(Xp:S,Tp:S)) -> EQ(T:S,Tp:S)
 EQ(lambda(X:S,T:S),lambda(Xp:S,Tp:S)) -> EQ(X:S,Xp:S)
 EQ(var(L:S),var(Lp:S)) -> EQ(L:S,Lp:S)
-> Rules:
 and(ffalse,ffalse) -> ffalse
 and(ffalse,ttrue) -> ffalse
 and(ttrue,ffalse) -> ffalse
 and(ttrue,ttrue) -> ttrue
 eq(apply(T:S,S:S),apply(Tp:S,Sp:S)) -> and(eq(T:S,Tp:S),eq(S:S,Sp:S))
 eq(apply(T:S,S:S),lambda(X:S,Tp:S)) -> ffalse
 eq(apply(T:S,S:S),var(L:S)) -> ffalse
 eq(cons(T:S,L:S),cons(Tp:S,Lp:S)) -> and(eq(T:S,Tp:S),eq(L:S,Lp:S))
 eq(cons(T:S,L:S),nil) -> ffalse
 eq(lambda(X:S,T:S),apply(Tp:S,Sp:S)) -> ffalse
 eq(lambda(X:S,T:S),lambda(Xp:S,Tp:S)) -> and(eq(T:S,Tp:S),eq(X:S,Xp:S))
 eq(lambda(X:S,T:S),var(L:S)) -> ffalse
 eq(nil,cons(T:S,L:S)) -> ffalse
 eq(nil,nil) -> ttrue
 eq(var(L:S),apply(T:S,S:S)) -> ffalse
 eq(var(L:S),lambda(X:S,T:S)) -> ffalse
 eq(var(L:S),var(Lp:S)) -> eq(L:S,Lp:S)
 if(ffalse,var(K:S),var(L:S)) -> var(L:S)
 if(ttrue,var(K:S),var(L:S)) -> var(K:S)
 ren(var(L:S),var(K:S),var(Lp:S)) -> if(eq(L:S,Lp:S),var(K:S),var(Lp:S))
 ren(X:S,Y:S,apply(T:S,S:S)) -> apply(ren(X:S,Y:S,T:S),ren(X:S,Y:S,S:S))
 ren(X:S,Y:S,lambda(Z:S,T:S)) -> lambda(var(cons(X:S,cons(Y:S,cons(lambda(Z:S,T:S),nil)))),ren(X:S,Y:S,ren(Z:S,var(cons(X:S,cons(Y:S,cons(lambda(Z:S,T:S),nil)))),T:S)))
->Projection:
 pi(EQ) = 1

Problem 1.1: 

SCC Processor:
-> Pairs:
 Empty
-> Rules:
 and(ffalse,ffalse) -> ffalse
 and(ffalse,ttrue) -> ffalse
 and(ttrue,ffalse) -> ffalse
 and(ttrue,ttrue) -> ttrue
 eq(apply(T:S,S:S),apply(Tp:S,Sp:S)) -> and(eq(T:S,Tp:S),eq(S:S,Sp:S))
 eq(apply(T:S,S:S),lambda(X:S,Tp:S)) -> ffalse
 eq(apply(T:S,S:S),var(L:S)) -> ffalse
 eq(cons(T:S,L:S),cons(Tp:S,Lp:S)) -> and(eq(T:S,Tp:S),eq(L:S,Lp:S))
 eq(cons(T:S,L:S),nil) -> ffalse
 eq(lambda(X:S,T:S),apply(Tp:S,Sp:S)) -> ffalse
 eq(lambda(X:S,T:S),lambda(Xp:S,Tp:S)) -> and(eq(T:S,Tp:S),eq(X:S,Xp:S))
 eq(lambda(X:S,T:S),var(L:S)) -> ffalse
 eq(nil,cons(T:S,L:S)) -> ffalse
 eq(nil,nil) -> ttrue
 eq(var(L:S),apply(T:S,S:S)) -> ffalse
 eq(var(L:S),lambda(X:S,T:S)) -> ffalse
 eq(var(L:S),var(Lp:S)) -> eq(L:S,Lp:S)
 if(ffalse,var(K:S),var(L:S)) -> var(L:S)
 if(ttrue,var(K:S),var(L:S)) -> var(K:S)
 ren(var(L:S),var(K:S),var(Lp:S)) -> if(eq(L:S,Lp:S),var(K:S),var(Lp:S))
 ren(X:S,Y:S,apply(T:S,S:S)) -> apply(ren(X:S,Y:S,T:S),ren(X:S,Y:S,S:S))
 ren(X:S,Y:S,lambda(Z:S,T:S)) -> lambda(var(cons(X:S,cons(Y:S,cons(lambda(Z:S,T:S),nil)))),ren(X:S,Y:S,ren(Z:S,var(cons(X:S,cons(Y:S,cons(lambda(Z:S,T:S),nil)))),T:S)))
->Strongly Connected Components:
 There is no strongly connected component

The problem is finite.

Problem 1.2: 

Reduction Pairs Processor:
-> Pairs:
 REN(X:S,Y:S,apply(T:S,S:S)) -> REN(X:S,Y:S,S:S)
 REN(X:S,Y:S,apply(T:S,S:S)) -> REN(X:S,Y:S,T:S)
 REN(X:S,Y:S,lambda(Z:S,T:S)) -> REN(X:S,Y:S,ren(Z:S,var(cons(X:S,cons(Y:S,cons(lambda(Z:S,T:S),nil)))),T:S))
 REN(X:S,Y:S,lambda(Z:S,T:S)) -> REN(Z:S,var(cons(X:S,cons(Y:S,cons(lambda(Z:S,T:S),nil)))),T:S)
-> Rules:
 and(ffalse,ffalse) -> ffalse
 and(ffalse,ttrue) -> ffalse
 and(ttrue,ffalse) -> ffalse
 and(ttrue,ttrue) -> ttrue
 eq(apply(T:S,S:S),apply(Tp:S,Sp:S)) -> and(eq(T:S,Tp:S),eq(S:S,Sp:S))
 eq(apply(T:S,S:S),lambda(X:S,Tp:S)) -> ffalse
 eq(apply(T:S,S:S),var(L:S)) -> ffalse
 eq(cons(T:S,L:S),cons(Tp:S,Lp:S)) -> and(eq(T:S,Tp:S),eq(L:S,Lp:S))
 eq(cons(T:S,L:S),nil) -> ffalse
 eq(lambda(X:S,T:S),apply(Tp:S,Sp:S)) -> ffalse
 eq(lambda(X:S,T:S),lambda(Xp:S,Tp:S)) -> and(eq(T:S,Tp:S),eq(X:S,Xp:S))
 eq(lambda(X:S,T:S),var(L:S)) -> ffalse
 eq(nil,cons(T:S,L:S)) -> ffalse
 eq(nil,nil) -> ttrue
 eq(var(L:S),apply(T:S,S:S)) -> ffalse
 eq(var(L:S),lambda(X:S,T:S)) -> ffalse
 eq(var(L:S),var(Lp:S)) -> eq(L:S,Lp:S)
 if(ffalse,var(K:S),var(L:S)) -> var(L:S)
 if(ttrue,var(K:S),var(L:S)) -> var(K:S)
 ren(var(L:S),var(K:S),var(Lp:S)) -> if(eq(L:S,Lp:S),var(K:S),var(Lp:S))
 ren(X:S,Y:S,apply(T:S,S:S)) -> apply(ren(X:S,Y:S,T:S),ren(X:S,Y:S,S:S))
 ren(X:S,Y:S,lambda(Z:S,T:S)) -> lambda(var(cons(X:S,cons(Y:S,cons(lambda(Z:S,T:S),nil)))),ren(X:S,Y:S,ren(Z:S,var(cons(X:S,cons(Y:S,cons(lambda(Z:S,T:S),nil)))),T:S)))
-> Usable rules:
 and(ffalse,ffalse) -> ffalse
 and(ffalse,ttrue) -> ffalse
 and(ttrue,ffalse) -> ffalse
 and(ttrue,ttrue) -> ttrue
 eq(apply(T:S,S:S),apply(Tp:S,Sp:S)) -> and(eq(T:S,Tp:S),eq(S:S,Sp:S))
 eq(apply(T:S,S:S),lambda(X:S,Tp:S)) -> ffalse
 eq(apply(T:S,S:S),var(L:S)) -> ffalse
 eq(cons(T:S,L:S),cons(Tp:S,Lp:S)) -> and(eq(T:S,Tp:S),eq(L:S,Lp:S))
 eq(cons(T:S,L:S),nil) -> ffalse
 eq(lambda(X:S,T:S),apply(Tp:S,Sp:S)) -> ffalse
 eq(lambda(X:S,T:S),lambda(Xp:S,Tp:S)) -> and(eq(T:S,Tp:S),eq(X:S,Xp:S))
 eq(lambda(X:S,T:S),var(L:S)) -> ffalse
 eq(nil,cons(T:S,L:S)) -> ffalse
 eq(nil,nil) -> ttrue
 eq(var(L:S),apply(T:S,S:S)) -> ffalse
 eq(var(L:S),lambda(X:S,T:S)) -> ffalse
 eq(var(L:S),var(Lp:S)) -> eq(L:S,Lp:S)
 if(ffalse,var(K:S),var(L:S)) -> var(L:S)
 if(ttrue,var(K:S),var(L:S)) -> var(K:S)
 ren(var(L:S),var(K:S),var(Lp:S)) -> if(eq(L:S,Lp:S),var(K:S),var(Lp:S))
 ren(X:S,Y:S,apply(T:S,S:S)) -> apply(ren(X:S,Y:S,T:S),ren(X:S,Y:S,S:S))
 ren(X:S,Y:S,lambda(Z:S,T:S)) -> lambda(var(cons(X:S,cons(Y:S,cons(lambda(Z:S,T:S),nil)))),ren(X:S,Y:S,ren(Z:S,var(cons(X:S,cons(Y:S,cons(lambda(Z:S,T:S),nil)))),T:S)))
->Interpretation type:
 Linear
->Coefficients:
 Natural Numbers
->Dimension:
 1
->Bound:
 2
->Interpretation:
 
[and](X1,X2) = 2
[eq](X1,X2) = 2
[if](X1,X2,X3) = 2.X3
[ren](X1,X2,X3) = X3
[apply](X1,X2) = 2.X1 + 2.X2 + 2
[cons](X1,X2) = 1
[fSNonEmpty] = 0
[false] = 2
[lambda](X1,X2) = X1 + X2 + 2
[nil] = 2
[true] = 0
[var](X) = 0
[AND](X1,X2) = 0
[EQ](X1,X2) = 0
[IF](X1,X2,X3) = 0
[REN](X1,X2,X3) = X1 + 2.X2 + 2.X3

Problem 1.2: 

SCC Processor:
-> Pairs:
 REN(X:S,Y:S,apply(T:S,S:S)) -> REN(X:S,Y:S,T:S)
 REN(X:S,Y:S,lambda(Z:S,T:S)) -> REN(X:S,Y:S,ren(Z:S,var(cons(X:S,cons(Y:S,cons(lambda(Z:S,T:S),nil)))),T:S))
 REN(X:S,Y:S,lambda(Z:S,T:S)) -> REN(Z:S,var(cons(X:S,cons(Y:S,cons(lambda(Z:S,T:S),nil)))),T:S)
-> Rules:
 and(ffalse,ffalse) -> ffalse
 and(ffalse,ttrue) -> ffalse
 and(ttrue,ffalse) -> ffalse
 and(ttrue,ttrue) -> ttrue
 eq(apply(T:S,S:S),apply(Tp:S,Sp:S)) -> and(eq(T:S,Tp:S),eq(S:S,Sp:S))
 eq(apply(T:S,S:S),lambda(X:S,Tp:S)) -> ffalse
 eq(apply(T:S,S:S),var(L:S)) -> ffalse
 eq(cons(T:S,L:S),cons(Tp:S,Lp:S)) -> and(eq(T:S,Tp:S),eq(L:S,Lp:S))
 eq(cons(T:S,L:S),nil) -> ffalse
 eq(lambda(X:S,T:S),apply(Tp:S,Sp:S)) -> ffalse
 eq(lambda(X:S,T:S),lambda(Xp:S,Tp:S)) -> and(eq(T:S,Tp:S),eq(X:S,Xp:S))
 eq(lambda(X:S,T:S),var(L:S)) -> ffalse
 eq(nil,cons(T:S,L:S)) -> ffalse
 eq(nil,nil) -> ttrue
 eq(var(L:S),apply(T:S,S:S)) -> ffalse
 eq(var(L:S),lambda(X:S,T:S)) -> ffalse
 eq(var(L:S),var(Lp:S)) -> eq(L:S,Lp:S)
 if(ffalse,var(K:S),var(L:S)) -> var(L:S)
 if(ttrue,var(K:S),var(L:S)) -> var(K:S)
 ren(var(L:S),var(K:S),var(Lp:S)) -> if(eq(L:S,Lp:S),var(K:S),var(Lp:S))
 ren(X:S,Y:S,apply(T:S,S:S)) -> apply(ren(X:S,Y:S,T:S),ren(X:S,Y:S,S:S))
 ren(X:S,Y:S,lambda(Z:S,T:S)) -> lambda(var(cons(X:S,cons(Y:S,cons(lambda(Z:S,T:S),nil)))),ren(X:S,Y:S,ren(Z:S,var(cons(X:S,cons(Y:S,cons(lambda(Z:S,T:S),nil)))),T:S)))
->Strongly Connected Components:
->->Cycle:
->->-> Pairs:
 REN(X:S,Y:S,apply(T:S,S:S)) -> REN(X:S,Y:S,T:S)
 REN(X:S,Y:S,lambda(Z:S,T:S)) -> REN(X:S,Y:S,ren(Z:S,var(cons(X:S,cons(Y:S,cons(lambda(Z:S,T:S),nil)))),T:S))
 REN(X:S,Y:S,lambda(Z:S,T:S)) -> REN(Z:S,var(cons(X:S,cons(Y:S,cons(lambda(Z:S,T:S),nil)))),T:S)
->->-> Rules:
 and(ffalse,ffalse) -> ffalse
 and(ffalse,ttrue) -> ffalse
 and(ttrue,ffalse) -> ffalse
 and(ttrue,ttrue) -> ttrue
 eq(apply(T:S,S:S),apply(Tp:S,Sp:S)) -> and(eq(T:S,Tp:S),eq(S:S,Sp:S))
 eq(apply(T:S,S:S),lambda(X:S,Tp:S)) -> ffalse
 eq(apply(T:S,S:S),var(L:S)) -> ffalse
 eq(cons(T:S,L:S),cons(Tp:S,Lp:S)) -> and(eq(T:S,Tp:S),eq(L:S,Lp:S))
 eq(cons(T:S,L:S),nil) -> ffalse
 eq(lambda(X:S,T:S),apply(Tp:S,Sp:S)) -> ffalse
 eq(lambda(X:S,T:S),lambda(Xp:S,Tp:S)) -> and(eq(T:S,Tp:S),eq(X:S,Xp:S))
 eq(lambda(X:S,T:S),var(L:S)) -> ffalse
 eq(nil,cons(T:S,L:S)) -> ffalse
 eq(nil,nil) -> ttrue
 eq(var(L:S),apply(T:S,S:S)) -> ffalse
 eq(var(L:S),lambda(X:S,T:S)) -> ffalse
 eq(var(L:S),var(Lp:S)) -> eq(L:S,Lp:S)
 if(ffalse,var(K:S),var(L:S)) -> var(L:S)
 if(ttrue,var(K:S),var(L:S)) -> var(K:S)
 ren(var(L:S),var(K:S),var(Lp:S)) -> if(eq(L:S,Lp:S),var(K:S),var(Lp:S))
 ren(X:S,Y:S,apply(T:S,S:S)) -> apply(ren(X:S,Y:S,T:S),ren(X:S,Y:S,S:S))
 ren(X:S,Y:S,lambda(Z:S,T:S)) -> lambda(var(cons(X:S,cons(Y:S,cons(lambda(Z:S,T:S),nil)))),ren(X:S,Y:S,ren(Z:S,var(cons(X:S,cons(Y:S,cons(lambda(Z:S,T:S),nil)))),T:S)))

Problem 1.2: 

Reduction Pairs Processor:
-> Pairs:
 REN(X:S,Y:S,apply(T:S,S:S)) -> REN(X:S,Y:S,T:S)
 REN(X:S,Y:S,lambda(Z:S,T:S)) -> REN(X:S,Y:S,ren(Z:S,var(cons(X:S,cons(Y:S,cons(lambda(Z:S,T:S),nil)))),T:S))
 REN(X:S,Y:S,lambda(Z:S,T:S)) -> REN(Z:S,var(cons(X:S,cons(Y:S,cons(lambda(Z:S,T:S),nil)))),T:S)
-> Rules:
 and(ffalse,ffalse) -> ffalse
 and(ffalse,ttrue) -> ffalse
 and(ttrue,ffalse) -> ffalse
 and(ttrue,ttrue) -> ttrue
 eq(apply(T:S,S:S),apply(Tp:S,Sp:S)) -> and(eq(T:S,Tp:S),eq(S:S,Sp:S))
 eq(apply(T:S,S:S),lambda(X:S,Tp:S)) -> ffalse
 eq(apply(T:S,S:S),var(L:S)) -> ffalse
 eq(cons(T:S,L:S),cons(Tp:S,Lp:S)) -> and(eq(T:S,Tp:S),eq(L:S,Lp:S))
 eq(cons(T:S,L:S),nil) -> ffalse
 eq(lambda(X:S,T:S),apply(Tp:S,Sp:S)) -> ffalse
 eq(lambda(X:S,T:S),lambda(Xp:S,Tp:S)) -> and(eq(T:S,Tp:S),eq(X:S,Xp:S))
 eq(lambda(X:S,T:S),var(L:S)) -> ffalse
 eq(nil,cons(T:S,L:S)) -> ffalse
 eq(nil,nil) -> ttrue
 eq(var(L:S),apply(T:S,S:S)) -> ffalse
 eq(var(L:S),lambda(X:S,T:S)) -> ffalse
 eq(var(L:S),var(Lp:S)) -> eq(L:S,Lp:S)
 if(ffalse,var(K:S),var(L:S)) -> var(L:S)
 if(ttrue,var(K:S),var(L:S)) -> var(K:S)
 ren(var(L:S),var(K:S),var(Lp:S)) -> if(eq(L:S,Lp:S),var(K:S),var(Lp:S))
 ren(X:S,Y:S,apply(T:S,S:S)) -> apply(ren(X:S,Y:S,T:S),ren(X:S,Y:S,S:S))
 ren(X:S,Y:S,lambda(Z:S,T:S)) -> lambda(var(cons(X:S,cons(Y:S,cons(lambda(Z:S,T:S),nil)))),ren(X:S,Y:S,ren(Z:S,var(cons(X:S,cons(Y:S,cons(lambda(Z:S,T:S),nil)))),T:S)))
-> Usable rules:
 and(ffalse,ffalse) -> ffalse
 and(ffalse,ttrue) -> ffalse
 and(ttrue,ffalse) -> ffalse
 and(ttrue,ttrue) -> ttrue
 eq(apply(T:S,S:S),apply(Tp:S,Sp:S)) -> and(eq(T:S,Tp:S),eq(S:S,Sp:S))
 eq(apply(T:S,S:S),lambda(X:S,Tp:S)) -> ffalse
 eq(apply(T:S,S:S),var(L:S)) -> ffalse
 eq(cons(T:S,L:S),cons(Tp:S,Lp:S)) -> and(eq(T:S,Tp:S),eq(L:S,Lp:S))
 eq(cons(T:S,L:S),nil) -> ffalse
 eq(lambda(X:S,T:S),apply(Tp:S,Sp:S)) -> ffalse
 eq(lambda(X:S,T:S),lambda(Xp:S,Tp:S)) -> and(eq(T:S,Tp:S),eq(X:S,Xp:S))
 eq(lambda(X:S,T:S),var(L:S)) -> ffalse
 eq(nil,cons(T:S,L:S)) -> ffalse
 eq(nil,nil) -> ttrue
 eq(var(L:S),apply(T:S,S:S)) -> ffalse
 eq(var(L:S),lambda(X:S,T:S)) -> ffalse
 eq(var(L:S),var(Lp:S)) -> eq(L:S,Lp:S)
 if(ffalse,var(K:S),var(L:S)) -> var(L:S)
 if(ttrue,var(K:S),var(L:S)) -> var(K:S)
 ren(var(L:S),var(K:S),var(Lp:S)) -> if(eq(L:S,Lp:S),var(K:S),var(Lp:S))
 ren(X:S,Y:S,apply(T:S,S:S)) -> apply(ren(X:S,Y:S,T:S),ren(X:S,Y:S,S:S))
 ren(X:S,Y:S,lambda(Z:S,T:S)) -> lambda(var(cons(X:S,cons(Y:S,cons(lambda(Z:S,T:S),nil)))),ren(X:S,Y:S,ren(Z:S,var(cons(X:S,cons(Y:S,cons(lambda(Z:S,T:S),nil)))),T:S)))
->Interpretation type:
 Linear
->Coefficients:
 Natural Numbers
->Dimension:
 1
->Bound:
 2
->Interpretation:
 
[and](X1,X2) = X2
[eq](X1,X2) = 2
[if](X1,X2,X3) = 2.X2
[ren](X1,X2,X3) = X3
[apply](X1,X2) = 2.X1 + 2
[cons](X1,X2) = 0
[fSNonEmpty] = 0
[false] = 2
[lambda](X1,X2) = 2.X1 + X2 + 1
[nil] = 0
[true] = 2
[var](X) = 0
[AND](X1,X2) = 0
[EQ](X1,X2) = 0
[IF](X1,X2,X3) = 0
[REN](X1,X2,X3) = 2.X1 + 2.X2 + 2.X3

Problem 1.2: 

SCC Processor:
-> Pairs:
 REN(X:S,Y:S,lambda(Z:S,T:S)) -> REN(X:S,Y:S,ren(Z:S,var(cons(X:S,cons(Y:S,cons(lambda(Z:S,T:S),nil)))),T:S))
 REN(X:S,Y:S,lambda(Z:S,T:S)) -> REN(Z:S,var(cons(X:S,cons(Y:S,cons(lambda(Z:S,T:S),nil)))),T:S)
-> Rules:
 and(ffalse,ffalse) -> ffalse
 and(ffalse,ttrue) -> ffalse
 and(ttrue,ffalse) -> ffalse
 and(ttrue,ttrue) -> ttrue
 eq(apply(T:S,S:S),apply(Tp:S,Sp:S)) -> and(eq(T:S,Tp:S),eq(S:S,Sp:S))
 eq(apply(T:S,S:S),lambda(X:S,Tp:S)) -> ffalse
 eq(apply(T:S,S:S),var(L:S)) -> ffalse
 eq(cons(T:S,L:S),cons(Tp:S,Lp:S)) -> and(eq(T:S,Tp:S),eq(L:S,Lp:S))
 eq(cons(T:S,L:S),nil) -> ffalse
 eq(lambda(X:S,T:S),apply(Tp:S,Sp:S)) -> ffalse
 eq(lambda(X:S,T:S),lambda(Xp:S,Tp:S)) -> and(eq(T:S,Tp:S),eq(X:S,Xp:S))
 eq(lambda(X:S,T:S),var(L:S)) -> ffalse
 eq(nil,cons(T:S,L:S)) -> ffalse
 eq(nil,nil) -> ttrue
 eq(var(L:S),apply(T:S,S:S)) -> ffalse
 eq(var(L:S),lambda(X:S,T:S)) -> ffalse
 eq(var(L:S),var(Lp:S)) -> eq(L:S,Lp:S)
 if(ffalse,var(K:S),var(L:S)) -> var(L:S)
 if(ttrue,var(K:S),var(L:S)) -> var(K:S)
 ren(var(L:S),var(K:S),var(Lp:S)) -> if(eq(L:S,Lp:S),var(K:S),var(Lp:S))
 ren(X:S,Y:S,apply(T:S,S:S)) -> apply(ren(X:S,Y:S,T:S),ren(X:S,Y:S,S:S))
 ren(X:S,Y:S,lambda(Z:S,T:S)) -> lambda(var(cons(X:S,cons(Y:S,cons(lambda(Z:S,T:S),nil)))),ren(X:S,Y:S,ren(Z:S,var(cons(X:S,cons(Y:S,cons(lambda(Z:S,T:S),nil)))),T:S)))
->Strongly Connected Components:
->->Cycle:
->->-> Pairs:
 REN(X:S,Y:S,lambda(Z:S,T:S)) -> REN(X:S,Y:S,ren(Z:S,var(cons(X:S,cons(Y:S,cons(lambda(Z:S,T:S),nil)))),T:S))
 REN(X:S,Y:S,lambda(Z:S,T:S)) -> REN(Z:S,var(cons(X:S,cons(Y:S,cons(lambda(Z:S,T:S),nil)))),T:S)
->->-> Rules:
 and(ffalse,ffalse) -> ffalse
 and(ffalse,ttrue) -> ffalse
 and(ttrue,ffalse) -> ffalse
 and(ttrue,ttrue) -> ttrue
 eq(apply(T:S,S:S),apply(Tp:S,Sp:S)) -> and(eq(T:S,Tp:S),eq(S:S,Sp:S))
 eq(apply(T:S,S:S),lambda(X:S,Tp:S)) -> ffalse
 eq(apply(T:S,S:S),var(L:S)) -> ffalse
 eq(cons(T:S,L:S),cons(Tp:S,Lp:S)) -> and(eq(T:S,Tp:S),eq(L:S,Lp:S))
 eq(cons(T:S,L:S),nil) -> ffalse
 eq(lambda(X:S,T:S),apply(Tp:S,Sp:S)) -> ffalse
 eq(lambda(X:S,T:S),lambda(Xp:S,Tp:S)) -> and(eq(T:S,Tp:S),eq(X:S,Xp:S))
 eq(lambda(X:S,T:S),var(L:S)) -> ffalse
 eq(nil,cons(T:S,L:S)) -> ffalse
 eq(nil,nil) -> ttrue
 eq(var(L:S),apply(T:S,S:S)) -> ffalse
 eq(var(L:S),lambda(X:S,T:S)) -> ffalse
 eq(var(L:S),var(Lp:S)) -> eq(L:S,Lp:S)
 if(ffalse,var(K:S),var(L:S)) -> var(L:S)
 if(ttrue,var(K:S),var(L:S)) -> var(K:S)
 ren(var(L:S),var(K:S),var(Lp:S)) -> if(eq(L:S,Lp:S),var(K:S),var(Lp:S))
 ren(X:S,Y:S,apply(T:S,S:S)) -> apply(ren(X:S,Y:S,T:S),ren(X:S,Y:S,S:S))
 ren(X:S,Y:S,lambda(Z:S,T:S)) -> lambda(var(cons(X:S,cons(Y:S,cons(lambda(Z:S,T:S),nil)))),ren(X:S,Y:S,ren(Z:S,var(cons(X:S,cons(Y:S,cons(lambda(Z:S,T:S),nil)))),T:S)))

Problem 1.2: 

Reduction Pairs Processor:
-> Pairs:
 REN(X:S,Y:S,lambda(Z:S,T:S)) -> REN(X:S,Y:S,ren(Z:S,var(cons(X:S,cons(Y:S,cons(lambda(Z:S,T:S),nil)))),T:S))
 REN(X:S,Y:S,lambda(Z:S,T:S)) -> REN(Z:S,var(cons(X:S,cons(Y:S,cons(lambda(Z:S,T:S),nil)))),T:S)
-> Rules:
 and(ffalse,ffalse) -> ffalse
 and(ffalse,ttrue) -> ffalse
 and(ttrue,ffalse) -> ffalse
 and(ttrue,ttrue) -> ttrue
 eq(apply(T:S,S:S),apply(Tp:S,Sp:S)) -> and(eq(T:S,Tp:S),eq(S:S,Sp:S))
 eq(apply(T:S,S:S),lambda(X:S,Tp:S)) -> ffalse
 eq(apply(T:S,S:S),var(L:S)) -> ffalse
 eq(cons(T:S,L:S),cons(Tp:S,Lp:S)) -> and(eq(T:S,Tp:S),eq(L:S,Lp:S))
 eq(cons(T:S,L:S),nil) -> ffalse
 eq(lambda(X:S,T:S),apply(Tp:S,Sp:S)) -> ffalse
 eq(lambda(X:S,T:S),lambda(Xp:S,Tp:S)) -> and(eq(T:S,Tp:S),eq(X:S,Xp:S))
 eq(lambda(X:S,T:S),var(L:S)) -> ffalse
 eq(nil,cons(T:S,L:S)) -> ffalse
 eq(nil,nil) -> ttrue
 eq(var(L:S),apply(T:S,S:S)) -> ffalse
 eq(var(L:S),lambda(X:S,T:S)) -> ffalse
 eq(var(L:S),var(Lp:S)) -> eq(L:S,Lp:S)
 if(ffalse,var(K:S),var(L:S)) -> var(L:S)
 if(ttrue,var(K:S),var(L:S)) -> var(K:S)
 ren(var(L:S),var(K:S),var(Lp:S)) -> if(eq(L:S,Lp:S),var(K:S),var(Lp:S))
 ren(X:S,Y:S,apply(T:S,S:S)) -> apply(ren(X:S,Y:S,T:S),ren(X:S,Y:S,S:S))
 ren(X:S,Y:S,lambda(Z:S,T:S)) -> lambda(var(cons(X:S,cons(Y:S,cons(lambda(Z:S,T:S),nil)))),ren(X:S,Y:S,ren(Z:S,var(cons(X:S,cons(Y:S,cons(lambda(Z:S,T:S),nil)))),T:S)))
-> Usable rules:
 and(ffalse,ffalse) -> ffalse
 and(ffalse,ttrue) -> ffalse
 and(ttrue,ffalse) -> ffalse
 and(ttrue,ttrue) -> ttrue
 eq(apply(T:S,S:S),apply(Tp:S,Sp:S)) -> and(eq(T:S,Tp:S),eq(S:S,Sp:S))
 eq(apply(T:S,S:S),lambda(X:S,Tp:S)) -> ffalse
 eq(apply(T:S,S:S),var(L:S)) -> ffalse
 eq(cons(T:S,L:S),cons(Tp:S,Lp:S)) -> and(eq(T:S,Tp:S),eq(L:S,Lp:S))
 eq(cons(T:S,L:S),nil) -> ffalse
 eq(lambda(X:S,T:S),apply(Tp:S,Sp:S)) -> ffalse
 eq(lambda(X:S,T:S),lambda(Xp:S,Tp:S)) -> and(eq(T:S,Tp:S),eq(X:S,Xp:S))
 eq(lambda(X:S,T:S),var(L:S)) -> ffalse
 eq(nil,cons(T:S,L:S)) -> ffalse
 eq(nil,nil) -> ttrue
 eq(var(L:S),apply(T:S,S:S)) -> ffalse
 eq(var(L:S),lambda(X:S,T:S)) -> ffalse
 eq(var(L:S),var(Lp:S)) -> eq(L:S,Lp:S)
 if(ffalse,var(K:S),var(L:S)) -> var(L:S)
 if(ttrue,var(K:S),var(L:S)) -> var(K:S)
 ren(var(L:S),var(K:S),var(Lp:S)) -> if(eq(L:S,Lp:S),var(K:S),var(Lp:S))
 ren(X:S,Y:S,apply(T:S,S:S)) -> apply(ren(X:S,Y:S,T:S),ren(X:S,Y:S,S:S))
 ren(X:S,Y:S,lambda(Z:S,T:S)) -> lambda(var(cons(X:S,cons(Y:S,cons(lambda(Z:S,T:S),nil)))),ren(X:S,Y:S,ren(Z:S,var(cons(X:S,cons(Y:S,cons(lambda(Z:S,T:S),nil)))),T:S)))
->Interpretation type:
 Linear
->Coefficients:
 Natural Numbers
->Dimension:
 1
->Bound:
 2
->Interpretation:
 
[and](X1,X2) = 2
[eq](X1,X2) = 2
[if](X1,X2,X3) = 0
[ren](X1,X2,X3) = X3
[apply](X1,X2) = 2.X1 + X2 + 2
[cons](X1,X2) = 0
[fSNonEmpty] = 0
[false] = 0
[lambda](X1,X2) = X1 + 2.X2 + 2
[nil] = 2
[true] = 2
[var](X) = 0
[AND](X1,X2) = 0
[EQ](X1,X2) = 0
[IF](X1,X2,X3) = 0
[REN](X1,X2,X3) = 2.X1 + 2.X2 + 2.X3

Problem 1.2: 

SCC Processor:
-> Pairs:
 REN(X:S,Y:S,lambda(Z:S,T:S)) -> REN(Z:S,var(cons(X:S,cons(Y:S,cons(lambda(Z:S,T:S),nil)))),T:S)
-> Rules:
 and(ffalse,ffalse) -> ffalse
 and(ffalse,ttrue) -> ffalse
 and(ttrue,ffalse) -> ffalse
 and(ttrue,ttrue) -> ttrue
 eq(apply(T:S,S:S),apply(Tp:S,Sp:S)) -> and(eq(T:S,Tp:S),eq(S:S,Sp:S))
 eq(apply(T:S,S:S),lambda(X:S,Tp:S)) -> ffalse
 eq(apply(T:S,S:S),var(L:S)) -> ffalse
 eq(cons(T:S,L:S),cons(Tp:S,Lp:S)) -> and(eq(T:S,Tp:S),eq(L:S,Lp:S))
 eq(cons(T:S,L:S),nil) -> ffalse
 eq(lambda(X:S,T:S),apply(Tp:S,Sp:S)) -> ffalse
 eq(lambda(X:S,T:S),lambda(Xp:S,Tp:S)) -> and(eq(T:S,Tp:S),eq(X:S,Xp:S))
 eq(lambda(X:S,T:S),var(L:S)) -> ffalse
 eq(nil,cons(T:S,L:S)) -> ffalse
 eq(nil,nil) -> ttrue
 eq(var(L:S),apply(T:S,S:S)) -> ffalse
 eq(var(L:S),lambda(X:S,T:S)) -> ffalse
 eq(var(L:S),var(Lp:S)) -> eq(L:S,Lp:S)
 if(ffalse,var(K:S),var(L:S)) -> var(L:S)
 if(ttrue,var(K:S),var(L:S)) -> var(K:S)
 ren(var(L:S),var(K:S),var(Lp:S)) -> if(eq(L:S,Lp:S),var(K:S),var(Lp:S))
 ren(X:S,Y:S,apply(T:S,S:S)) -> apply(ren(X:S,Y:S,T:S),ren(X:S,Y:S,S:S))
 ren(X:S,Y:S,lambda(Z:S,T:S)) -> lambda(var(cons(X:S,cons(Y:S,cons(lambda(Z:S,T:S),nil)))),ren(X:S,Y:S,ren(Z:S,var(cons(X:S,cons(Y:S,cons(lambda(Z:S,T:S),nil)))),T:S)))
->Strongly Connected Components:
->->Cycle:
->->-> Pairs:
 REN(X:S,Y:S,lambda(Z:S,T:S)) -> REN(Z:S,var(cons(X:S,cons(Y:S,cons(lambda(Z:S,T:S),nil)))),T:S)
->->-> Rules:
 and(ffalse,ffalse) -> ffalse
 and(ffalse,ttrue) -> ffalse
 and(ttrue,ffalse) -> ffalse
 and(ttrue,ttrue) -> ttrue
 eq(apply(T:S,S:S),apply(Tp:S,Sp:S)) -> and(eq(T:S,Tp:S),eq(S:S,Sp:S))
 eq(apply(T:S,S:S),lambda(X:S,Tp:S)) -> ffalse
 eq(apply(T:S,S:S),var(L:S)) -> ffalse
 eq(cons(T:S,L:S),cons(Tp:S,Lp:S)) -> and(eq(T:S,Tp:S),eq(L:S,Lp:S))
 eq(cons(T:S,L:S),nil) -> ffalse
 eq(lambda(X:S,T:S),apply(Tp:S,Sp:S)) -> ffalse
 eq(lambda(X:S,T:S),lambda(Xp:S,Tp:S)) -> and(eq(T:S,Tp:S),eq(X:S,Xp:S))
 eq(lambda(X:S,T:S),var(L:S)) -> ffalse
 eq(nil,cons(T:S,L:S)) -> ffalse
 eq(nil,nil) -> ttrue
 eq(var(L:S),apply(T:S,S:S)) -> ffalse
 eq(var(L:S),lambda(X:S,T:S)) -> ffalse
 eq(var(L:S),var(Lp:S)) -> eq(L:S,Lp:S)
 if(ffalse,var(K:S),var(L:S)) -> var(L:S)
 if(ttrue,var(K:S),var(L:S)) -> var(K:S)
 ren(var(L:S),var(K:S),var(Lp:S)) -> if(eq(L:S,Lp:S),var(K:S),var(Lp:S))
 ren(X:S,Y:S,apply(T:S,S:S)) -> apply(ren(X:S,Y:S,T:S),ren(X:S,Y:S,S:S))
 ren(X:S,Y:S,lambda(Z:S,T:S)) -> lambda(var(cons(X:S,cons(Y:S,cons(lambda(Z:S,T:S),nil)))),ren(X:S,Y:S,ren(Z:S,var(cons(X:S,cons(Y:S,cons(lambda(Z:S,T:S),nil)))),T:S)))

Problem 1.2: 

Subterm Processor:
-> Pairs:
 REN(X:S,Y:S,lambda(Z:S,T:S)) -> REN(Z:S,var(cons(X:S,cons(Y:S,cons(lambda(Z:S,T:S),nil)))),T:S)
-> Rules:
 and(ffalse,ffalse) -> ffalse
 and(ffalse,ttrue) -> ffalse
 and(ttrue,ffalse) -> ffalse
 and(ttrue,ttrue) -> ttrue
 eq(apply(T:S,S:S),apply(Tp:S,Sp:S)) -> and(eq(T:S,Tp:S),eq(S:S,Sp:S))
 eq(apply(T:S,S:S),lambda(X:S,Tp:S)) -> ffalse
 eq(apply(T:S,S:S),var(L:S)) -> ffalse
 eq(cons(T:S,L:S),cons(Tp:S,Lp:S)) -> and(eq(T:S,Tp:S),eq(L:S,Lp:S))
 eq(cons(T:S,L:S),nil) -> ffalse
 eq(lambda(X:S,T:S),apply(Tp:S,Sp:S)) -> ffalse
 eq(lambda(X:S,T:S),lambda(Xp:S,Tp:S)) -> and(eq(T:S,Tp:S),eq(X:S,Xp:S))
 eq(lambda(X:S,T:S),var(L:S)) -> ffalse
 eq(nil,cons(T:S,L:S)) -> ffalse
 eq(nil,nil) -> ttrue
 eq(var(L:S),apply(T:S,S:S)) -> ffalse
 eq(var(L:S),lambda(X:S,T:S)) -> ffalse
 eq(var(L:S),var(Lp:S)) -> eq(L:S,Lp:S)
 if(ffalse,var(K:S),var(L:S)) -> var(L:S)
 if(ttrue,var(K:S),var(L:S)) -> var(K:S)
 ren(var(L:S),var(K:S),var(Lp:S)) -> if(eq(L:S,Lp:S),var(K:S),var(Lp:S))
 ren(X:S,Y:S,apply(T:S,S:S)) -> apply(ren(X:S,Y:S,T:S),ren(X:S,Y:S,S:S))
 ren(X:S,Y:S,lambda(Z:S,T:S)) -> lambda(var(cons(X:S,cons(Y:S,cons(lambda(Z:S,T:S),nil)))),ren(X:S,Y:S,ren(Z:S,var(cons(X:S,cons(Y:S,cons(lambda(Z:S,T:S),nil)))),T:S)))
->Projection:
 pi(REN) = 3

Problem 1.2: 

SCC Processor:
-> Pairs:
 Empty
-> Rules:
 and(ffalse,ffalse) -> ffalse
 and(ffalse,ttrue) -> ffalse
 and(ttrue,ffalse) -> ffalse
 and(ttrue,ttrue) -> ttrue
 eq(apply(T:S,S:S),apply(Tp:S,Sp:S)) -> and(eq(T:S,Tp:S),eq(S:S,Sp:S))
 eq(apply(T:S,S:S),lambda(X:S,Tp:S)) -> ffalse
 eq(apply(T:S,S:S),var(L:S)) -> ffalse
 eq(cons(T:S,L:S),cons(Tp:S,Lp:S)) -> and(eq(T:S,Tp:S),eq(L:S,Lp:S))
 eq(cons(T:S,L:S),nil) -> ffalse
 eq(lambda(X:S,T:S),apply(Tp:S,Sp:S)) -> ffalse
 eq(lambda(X:S,T:S),lambda(Xp:S,Tp:S)) -> and(eq(T:S,Tp:S),eq(X:S,Xp:S))
 eq(lambda(X:S,T:S),var(L:S)) -> ffalse
 eq(nil,cons(T:S,L:S)) -> ffalse
 eq(nil,nil) -> ttrue
 eq(var(L:S),apply(T:S,S:S)) -> ffalse
 eq(var(L:S),lambda(X:S,T:S)) -> ffalse
 eq(var(L:S),var(Lp:S)) -> eq(L:S,Lp:S)
 if(ffalse,var(K:S),var(L:S)) -> var(L:S)
 if(ttrue,var(K:S),var(L:S)) -> var(K:S)
 ren(var(L:S),var(K:S),var(Lp:S)) -> if(eq(L:S,Lp:S),var(K:S),var(Lp:S))
 ren(X:S,Y:S,apply(T:S,S:S)) -> apply(ren(X:S,Y:S,T:S),ren(X:S,Y:S,S:S))
 ren(X:S,Y:S,lambda(Z:S,T:S)) -> lambda(var(cons(X:S,cons(Y:S,cons(lambda(Z:S,T:S),nil)))),ren(X:S,Y:S,ren(Z:S,var(cons(X:S,cons(Y:S,cons(lambda(Z:S,T:S),nil)))),T:S)))
->Strongly Connected Components:
 There is no strongly connected component

The problem is finite.