YES

Problem 1: 

(VAR v_NonEmpty:S M:S N:S X:S Y:S Z:S)
(RULES
append(add(N:S,X:S),Y:S) -> add(N:S,append(X:S,Y:S))
append(nil,Y:S) -> Y:S
f_1(pair(X:S,Z:S),N:S,M:S,Y:S) -> f_2(lt(N:S,M:S),N:S,M:S,Y:S,X:S,Z:S)
f_2(ffalse,N:S,M:S,Y:S,X:S,Z:S) -> pair(add(M:S,X:S),Z:S)
f_2(ttrue,N:S,M:S,Y:S,X:S,Z:S) -> pair(X:S,add(M:S,Z:S))
f_3(pair(Y:S,Z:S),N:S,X:S) -> append(qsort(Y:S),add(X:S,qsort(Z:S)))
lt(0,s(X:S)) -> ttrue
lt(s(X:S),0) -> ffalse
lt(s(X:S),s(Y:S)) -> lt(X:S,Y:S)
qsort(add(N:S,X:S)) -> f_3(split(N:S,X:S),N:S,X:S)
qsort(nil) -> nil
split(N:S,add(M:S,Y:S)) -> f_1(split(N:S,Y:S),N:S,M:S,Y:S)
split(N:S,nil) -> pair(nil,nil)
)

Problem 1: 

Innermost Equivalent Processor:
-> Rules:
 append(add(N:S,X:S),Y:S) -> add(N:S,append(X:S,Y:S))
 append(nil,Y:S) -> Y:S
 f_1(pair(X:S,Z:S),N:S,M:S,Y:S) -> f_2(lt(N:S,M:S),N:S,M:S,Y:S,X:S,Z:S)
 f_2(ffalse,N:S,M:S,Y:S,X:S,Z:S) -> pair(add(M:S,X:S),Z:S)
 f_2(ttrue,N:S,M:S,Y:S,X:S,Z:S) -> pair(X:S,add(M:S,Z:S))
 f_3(pair(Y:S,Z:S),N:S,X:S) -> append(qsort(Y:S),add(X:S,qsort(Z:S)))
 lt(0,s(X:S)) -> ttrue
 lt(s(X:S),0) -> ffalse
 lt(s(X:S),s(Y:S)) -> lt(X:S,Y:S)
 qsort(add(N:S,X:S)) -> f_3(split(N:S,X:S),N:S,X:S)
 qsort(nil) -> nil
 split(N:S,add(M:S,Y:S)) -> f_1(split(N:S,Y:S),N:S,M:S,Y:S)
 split(N:S,nil) -> pair(nil,nil)
-> The term rewriting system is non-overlaping or locally confluent overlay system. Therefore, innermost termination implies termination.
 

Problem 1: 

Dependency Pairs Processor:
-> Pairs:
 APPEND(add(N:S,X:S),Y:S) -> APPEND(X:S,Y:S)
 F_1(pair(X:S,Z:S),N:S,M:S,Y:S) -> F_2(lt(N:S,M:S),N:S,M:S,Y:S,X:S,Z:S)
 F_1(pair(X:S,Z:S),N:S,M:S,Y:S) -> LT(N:S,M:S)
 F_3(pair(Y:S,Z:S),N:S,X:S) -> APPEND(qsort(Y:S),add(X:S,qsort(Z:S)))
 F_3(pair(Y:S,Z:S),N:S,X:S) -> QSORT(Y:S)
 F_3(pair(Y:S,Z:S),N:S,X:S) -> QSORT(Z:S)
 LT(s(X:S),s(Y:S)) -> LT(X:S,Y:S)
 QSORT(add(N:S,X:S)) -> F_3(split(N:S,X:S),N:S,X:S)
 QSORT(add(N:S,X:S)) -> SPLIT(N:S,X:S)
 SPLIT(N:S,add(M:S,Y:S)) -> F_1(split(N:S,Y:S),N:S,M:S,Y:S)
 SPLIT(N:S,add(M:S,Y:S)) -> SPLIT(N:S,Y:S)
-> Rules:
 append(add(N:S,X:S),Y:S) -> add(N:S,append(X:S,Y:S))
 append(nil,Y:S) -> Y:S
 f_1(pair(X:S,Z:S),N:S,M:S,Y:S) -> f_2(lt(N:S,M:S),N:S,M:S,Y:S,X:S,Z:S)
 f_2(ffalse,N:S,M:S,Y:S,X:S,Z:S) -> pair(add(M:S,X:S),Z:S)
 f_2(ttrue,N:S,M:S,Y:S,X:S,Z:S) -> pair(X:S,add(M:S,Z:S))
 f_3(pair(Y:S,Z:S),N:S,X:S) -> append(qsort(Y:S),add(X:S,qsort(Z:S)))
 lt(0,s(X:S)) -> ttrue
 lt(s(X:S),0) -> ffalse
 lt(s(X:S),s(Y:S)) -> lt(X:S,Y:S)
 qsort(add(N:S,X:S)) -> f_3(split(N:S,X:S),N:S,X:S)
 qsort(nil) -> nil
 split(N:S,add(M:S,Y:S)) -> f_1(split(N:S,Y:S),N:S,M:S,Y:S)
 split(N:S,nil) -> pair(nil,nil)

Problem 1: 

SCC Processor:
-> Pairs:
 APPEND(add(N:S,X:S),Y:S) -> APPEND(X:S,Y:S)
 F_1(pair(X:S,Z:S),N:S,M:S,Y:S) -> F_2(lt(N:S,M:S),N:S,M:S,Y:S,X:S,Z:S)
 F_1(pair(X:S,Z:S),N:S,M:S,Y:S) -> LT(N:S,M:S)
 F_3(pair(Y:S,Z:S),N:S,X:S) -> APPEND(qsort(Y:S),add(X:S,qsort(Z:S)))
 F_3(pair(Y:S,Z:S),N:S,X:S) -> QSORT(Y:S)
 F_3(pair(Y:S,Z:S),N:S,X:S) -> QSORT(Z:S)
 LT(s(X:S),s(Y:S)) -> LT(X:S,Y:S)
 QSORT(add(N:S,X:S)) -> F_3(split(N:S,X:S),N:S,X:S)
 QSORT(add(N:S,X:S)) -> SPLIT(N:S,X:S)
 SPLIT(N:S,add(M:S,Y:S)) -> F_1(split(N:S,Y:S),N:S,M:S,Y:S)
 SPLIT(N:S,add(M:S,Y:S)) -> SPLIT(N:S,Y:S)
-> Rules:
 append(add(N:S,X:S),Y:S) -> add(N:S,append(X:S,Y:S))
 append(nil,Y:S) -> Y:S
 f_1(pair(X:S,Z:S),N:S,M:S,Y:S) -> f_2(lt(N:S,M:S),N:S,M:S,Y:S,X:S,Z:S)
 f_2(ffalse,N:S,M:S,Y:S,X:S,Z:S) -> pair(add(M:S,X:S),Z:S)
 f_2(ttrue,N:S,M:S,Y:S,X:S,Z:S) -> pair(X:S,add(M:S,Z:S))
 f_3(pair(Y:S,Z:S),N:S,X:S) -> append(qsort(Y:S),add(X:S,qsort(Z:S)))
 lt(0,s(X:S)) -> ttrue
 lt(s(X:S),0) -> ffalse
 lt(s(X:S),s(Y:S)) -> lt(X:S,Y:S)
 qsort(add(N:S,X:S)) -> f_3(split(N:S,X:S),N:S,X:S)
 qsort(nil) -> nil
 split(N:S,add(M:S,Y:S)) -> f_1(split(N:S,Y:S),N:S,M:S,Y:S)
 split(N:S,nil) -> pair(nil,nil)
->Strongly Connected Components:
->->Cycle:
->->-> Pairs:
 LT(s(X:S),s(Y:S)) -> LT(X:S,Y:S)
->->-> Rules:
 append(add(N:S,X:S),Y:S) -> add(N:S,append(X:S,Y:S))
 append(nil,Y:S) -> Y:S
 f_1(pair(X:S,Z:S),N:S,M:S,Y:S) -> f_2(lt(N:S,M:S),N:S,M:S,Y:S,X:S,Z:S)
 f_2(ffalse,N:S,M:S,Y:S,X:S,Z:S) -> pair(add(M:S,X:S),Z:S)
 f_2(ttrue,N:S,M:S,Y:S,X:S,Z:S) -> pair(X:S,add(M:S,Z:S))
 f_3(pair(Y:S,Z:S),N:S,X:S) -> append(qsort(Y:S),add(X:S,qsort(Z:S)))
 lt(0,s(X:S)) -> ttrue
 lt(s(X:S),0) -> ffalse
 lt(s(X:S),s(Y:S)) -> lt(X:S,Y:S)
 qsort(add(N:S,X:S)) -> f_3(split(N:S,X:S),N:S,X:S)
 qsort(nil) -> nil
 split(N:S,add(M:S,Y:S)) -> f_1(split(N:S,Y:S),N:S,M:S,Y:S)
 split(N:S,nil) -> pair(nil,nil)
->->Cycle:
->->-> Pairs:
 SPLIT(N:S,add(M:S,Y:S)) -> SPLIT(N:S,Y:S)
->->-> Rules:
 append(add(N:S,X:S),Y:S) -> add(N:S,append(X:S,Y:S))
 append(nil,Y:S) -> Y:S
 f_1(pair(X:S,Z:S),N:S,M:S,Y:S) -> f_2(lt(N:S,M:S),N:S,M:S,Y:S,X:S,Z:S)
 f_2(ffalse,N:S,M:S,Y:S,X:S,Z:S) -> pair(add(M:S,X:S),Z:S)
 f_2(ttrue,N:S,M:S,Y:S,X:S,Z:S) -> pair(X:S,add(M:S,Z:S))
 f_3(pair(Y:S,Z:S),N:S,X:S) -> append(qsort(Y:S),add(X:S,qsort(Z:S)))
 lt(0,s(X:S)) -> ttrue
 lt(s(X:S),0) -> ffalse
 lt(s(X:S),s(Y:S)) -> lt(X:S,Y:S)
 qsort(add(N:S,X:S)) -> f_3(split(N:S,X:S),N:S,X:S)
 qsort(nil) -> nil
 split(N:S,add(M:S,Y:S)) -> f_1(split(N:S,Y:S),N:S,M:S,Y:S)
 split(N:S,nil) -> pair(nil,nil)
->->Cycle:
->->-> Pairs:
 APPEND(add(N:S,X:S),Y:S) -> APPEND(X:S,Y:S)
->->-> Rules:
 append(add(N:S,X:S),Y:S) -> add(N:S,append(X:S,Y:S))
 append(nil,Y:S) -> Y:S
 f_1(pair(X:S,Z:S),N:S,M:S,Y:S) -> f_2(lt(N:S,M:S),N:S,M:S,Y:S,X:S,Z:S)
 f_2(ffalse,N:S,M:S,Y:S,X:S,Z:S) -> pair(add(M:S,X:S),Z:S)
 f_2(ttrue,N:S,M:S,Y:S,X:S,Z:S) -> pair(X:S,add(M:S,Z:S))
 f_3(pair(Y:S,Z:S),N:S,X:S) -> append(qsort(Y:S),add(X:S,qsort(Z:S)))
 lt(0,s(X:S)) -> ttrue
 lt(s(X:S),0) -> ffalse
 lt(s(X:S),s(Y:S)) -> lt(X:S,Y:S)
 qsort(add(N:S,X:S)) -> f_3(split(N:S,X:S),N:S,X:S)
 qsort(nil) -> nil
 split(N:S,add(M:S,Y:S)) -> f_1(split(N:S,Y:S),N:S,M:S,Y:S)
 split(N:S,nil) -> pair(nil,nil)
->->Cycle:
->->-> Pairs:
 F_3(pair(Y:S,Z:S),N:S,X:S) -> QSORT(Y:S)
 F_3(pair(Y:S,Z:S),N:S,X:S) -> QSORT(Z:S)
 QSORT(add(N:S,X:S)) -> F_3(split(N:S,X:S),N:S,X:S)
->->-> Rules:
 append(add(N:S,X:S),Y:S) -> add(N:S,append(X:S,Y:S))
 append(nil,Y:S) -> Y:S
 f_1(pair(X:S,Z:S),N:S,M:S,Y:S) -> f_2(lt(N:S,M:S),N:S,M:S,Y:S,X:S,Z:S)
 f_2(ffalse,N:S,M:S,Y:S,X:S,Z:S) -> pair(add(M:S,X:S),Z:S)
 f_2(ttrue,N:S,M:S,Y:S,X:S,Z:S) -> pair(X:S,add(M:S,Z:S))
 f_3(pair(Y:S,Z:S),N:S,X:S) -> append(qsort(Y:S),add(X:S,qsort(Z:S)))
 lt(0,s(X:S)) -> ttrue
 lt(s(X:S),0) -> ffalse
 lt(s(X:S),s(Y:S)) -> lt(X:S,Y:S)
 qsort(add(N:S,X:S)) -> f_3(split(N:S,X:S),N:S,X:S)
 qsort(nil) -> nil
 split(N:S,add(M:S,Y:S)) -> f_1(split(N:S,Y:S),N:S,M:S,Y:S)
 split(N:S,nil) -> pair(nil,nil)


The problem is decomposed in 4 subproblems.

Problem 1.1: 

Subterm Processor:
-> Pairs:
 LT(s(X:S),s(Y:S)) -> LT(X:S,Y:S)
-> Rules:
 append(add(N:S,X:S),Y:S) -> add(N:S,append(X:S,Y:S))
 append(nil,Y:S) -> Y:S
 f_1(pair(X:S,Z:S),N:S,M:S,Y:S) -> f_2(lt(N:S,M:S),N:S,M:S,Y:S,X:S,Z:S)
 f_2(ffalse,N:S,M:S,Y:S,X:S,Z:S) -> pair(add(M:S,X:S),Z:S)
 f_2(ttrue,N:S,M:S,Y:S,X:S,Z:S) -> pair(X:S,add(M:S,Z:S))
 f_3(pair(Y:S,Z:S),N:S,X:S) -> append(qsort(Y:S),add(X:S,qsort(Z:S)))
 lt(0,s(X:S)) -> ttrue
 lt(s(X:S),0) -> ffalse
 lt(s(X:S),s(Y:S)) -> lt(X:S,Y:S)
 qsort(add(N:S,X:S)) -> f_3(split(N:S,X:S),N:S,X:S)
 qsort(nil) -> nil
 split(N:S,add(M:S,Y:S)) -> f_1(split(N:S,Y:S),N:S,M:S,Y:S)
 split(N:S,nil) -> pair(nil,nil)
->Projection:
 pi(LT) = 1

Problem 1.1: 

SCC Processor:
-> Pairs:
 Empty
-> Rules:
 append(add(N:S,X:S),Y:S) -> add(N:S,append(X:S,Y:S))
 append(nil,Y:S) -> Y:S
 f_1(pair(X:S,Z:S),N:S,M:S,Y:S) -> f_2(lt(N:S,M:S),N:S,M:S,Y:S,X:S,Z:S)
 f_2(ffalse,N:S,M:S,Y:S,X:S,Z:S) -> pair(add(M:S,X:S),Z:S)
 f_2(ttrue,N:S,M:S,Y:S,X:S,Z:S) -> pair(X:S,add(M:S,Z:S))
 f_3(pair(Y:S,Z:S),N:S,X:S) -> append(qsort(Y:S),add(X:S,qsort(Z:S)))
 lt(0,s(X:S)) -> ttrue
 lt(s(X:S),0) -> ffalse
 lt(s(X:S),s(Y:S)) -> lt(X:S,Y:S)
 qsort(add(N:S,X:S)) -> f_3(split(N:S,X:S),N:S,X:S)
 qsort(nil) -> nil
 split(N:S,add(M:S,Y:S)) -> f_1(split(N:S,Y:S),N:S,M:S,Y:S)
 split(N:S,nil) -> pair(nil,nil)
->Strongly Connected Components:
 There is no strongly connected component

The problem is finite.

Problem 1.2: 

Subterm Processor:
-> Pairs:
 SPLIT(N:S,add(M:S,Y:S)) -> SPLIT(N:S,Y:S)
-> Rules:
 append(add(N:S,X:S),Y:S) -> add(N:S,append(X:S,Y:S))
 append(nil,Y:S) -> Y:S
 f_1(pair(X:S,Z:S),N:S,M:S,Y:S) -> f_2(lt(N:S,M:S),N:S,M:S,Y:S,X:S,Z:S)
 f_2(ffalse,N:S,M:S,Y:S,X:S,Z:S) -> pair(add(M:S,X:S),Z:S)
 f_2(ttrue,N:S,M:S,Y:S,X:S,Z:S) -> pair(X:S,add(M:S,Z:S))
 f_3(pair(Y:S,Z:S),N:S,X:S) -> append(qsort(Y:S),add(X:S,qsort(Z:S)))
 lt(0,s(X:S)) -> ttrue
 lt(s(X:S),0) -> ffalse
 lt(s(X:S),s(Y:S)) -> lt(X:S,Y:S)
 qsort(add(N:S,X:S)) -> f_3(split(N:S,X:S),N:S,X:S)
 qsort(nil) -> nil
 split(N:S,add(M:S,Y:S)) -> f_1(split(N:S,Y:S),N:S,M:S,Y:S)
 split(N:S,nil) -> pair(nil,nil)
->Projection:
 pi(SPLIT) = 2

Problem 1.2: 

SCC Processor:
-> Pairs:
 Empty
-> Rules:
 append(add(N:S,X:S),Y:S) -> add(N:S,append(X:S,Y:S))
 append(nil,Y:S) -> Y:S
 f_1(pair(X:S,Z:S),N:S,M:S,Y:S) -> f_2(lt(N:S,M:S),N:S,M:S,Y:S,X:S,Z:S)
 f_2(ffalse,N:S,M:S,Y:S,X:S,Z:S) -> pair(add(M:S,X:S),Z:S)
 f_2(ttrue,N:S,M:S,Y:S,X:S,Z:S) -> pair(X:S,add(M:S,Z:S))
 f_3(pair(Y:S,Z:S),N:S,X:S) -> append(qsort(Y:S),add(X:S,qsort(Z:S)))
 lt(0,s(X:S)) -> ttrue
 lt(s(X:S),0) -> ffalse
 lt(s(X:S),s(Y:S)) -> lt(X:S,Y:S)
 qsort(add(N:S,X:S)) -> f_3(split(N:S,X:S),N:S,X:S)
 qsort(nil) -> nil
 split(N:S,add(M:S,Y:S)) -> f_1(split(N:S,Y:S),N:S,M:S,Y:S)
 split(N:S,nil) -> pair(nil,nil)
->Strongly Connected Components:
 There is no strongly connected component

The problem is finite.

Problem 1.3: 

Subterm Processor:
-> Pairs:
 APPEND(add(N:S,X:S),Y:S) -> APPEND(X:S,Y:S)
-> Rules:
 append(add(N:S,X:S),Y:S) -> add(N:S,append(X:S,Y:S))
 append(nil,Y:S) -> Y:S
 f_1(pair(X:S,Z:S),N:S,M:S,Y:S) -> f_2(lt(N:S,M:S),N:S,M:S,Y:S,X:S,Z:S)
 f_2(ffalse,N:S,M:S,Y:S,X:S,Z:S) -> pair(add(M:S,X:S),Z:S)
 f_2(ttrue,N:S,M:S,Y:S,X:S,Z:S) -> pair(X:S,add(M:S,Z:S))
 f_3(pair(Y:S,Z:S),N:S,X:S) -> append(qsort(Y:S),add(X:S,qsort(Z:S)))
 lt(0,s(X:S)) -> ttrue
 lt(s(X:S),0) -> ffalse
 lt(s(X:S),s(Y:S)) -> lt(X:S,Y:S)
 qsort(add(N:S,X:S)) -> f_3(split(N:S,X:S),N:S,X:S)
 qsort(nil) -> nil
 split(N:S,add(M:S,Y:S)) -> f_1(split(N:S,Y:S),N:S,M:S,Y:S)
 split(N:S,nil) -> pair(nil,nil)
->Projection:
 pi(APPEND) = 1

Problem 1.3: 

SCC Processor:
-> Pairs:
 Empty
-> Rules:
 append(add(N:S,X:S),Y:S) -> add(N:S,append(X:S,Y:S))
 append(nil,Y:S) -> Y:S
 f_1(pair(X:S,Z:S),N:S,M:S,Y:S) -> f_2(lt(N:S,M:S),N:S,M:S,Y:S,X:S,Z:S)
 f_2(ffalse,N:S,M:S,Y:S,X:S,Z:S) -> pair(add(M:S,X:S),Z:S)
 f_2(ttrue,N:S,M:S,Y:S,X:S,Z:S) -> pair(X:S,add(M:S,Z:S))
 f_3(pair(Y:S,Z:S),N:S,X:S) -> append(qsort(Y:S),add(X:S,qsort(Z:S)))
 lt(0,s(X:S)) -> ttrue
 lt(s(X:S),0) -> ffalse
 lt(s(X:S),s(Y:S)) -> lt(X:S,Y:S)
 qsort(add(N:S,X:S)) -> f_3(split(N:S,X:S),N:S,X:S)
 qsort(nil) -> nil
 split(N:S,add(M:S,Y:S)) -> f_1(split(N:S,Y:S),N:S,M:S,Y:S)
 split(N:S,nil) -> pair(nil,nil)
->Strongly Connected Components:
 There is no strongly connected component

The problem is finite.

Problem 1.4: 

Reduction Pairs Processor:
-> Pairs:
 F_3(pair(Y:S,Z:S),N:S,X:S) -> QSORT(Y:S)
 F_3(pair(Y:S,Z:S),N:S,X:S) -> QSORT(Z:S)
 QSORT(add(N:S,X:S)) -> F_3(split(N:S,X:S),N:S,X:S)
-> Rules:
 append(add(N:S,X:S),Y:S) -> add(N:S,append(X:S,Y:S))
 append(nil,Y:S) -> Y:S
 f_1(pair(X:S,Z:S),N:S,M:S,Y:S) -> f_2(lt(N:S,M:S),N:S,M:S,Y:S,X:S,Z:S)
 f_2(ffalse,N:S,M:S,Y:S,X:S,Z:S) -> pair(add(M:S,X:S),Z:S)
 f_2(ttrue,N:S,M:S,Y:S,X:S,Z:S) -> pair(X:S,add(M:S,Z:S))
 f_3(pair(Y:S,Z:S),N:S,X:S) -> append(qsort(Y:S),add(X:S,qsort(Z:S)))
 lt(0,s(X:S)) -> ttrue
 lt(s(X:S),0) -> ffalse
 lt(s(X:S),s(Y:S)) -> lt(X:S,Y:S)
 qsort(add(N:S,X:S)) -> f_3(split(N:S,X:S),N:S,X:S)
 qsort(nil) -> nil
 split(N:S,add(M:S,Y:S)) -> f_1(split(N:S,Y:S),N:S,M:S,Y:S)
 split(N:S,nil) -> pair(nil,nil)
-> Usable rules:
 f_1(pair(X:S,Z:S),N:S,M:S,Y:S) -> f_2(lt(N:S,M:S),N:S,M:S,Y:S,X:S,Z:S)
 f_2(ffalse,N:S,M:S,Y:S,X:S,Z:S) -> pair(add(M:S,X:S),Z:S)
 f_2(ttrue,N:S,M:S,Y:S,X:S,Z:S) -> pair(X:S,add(M:S,Z:S))
 lt(0,s(X:S)) -> ttrue
 lt(s(X:S),0) -> ffalse
 lt(s(X:S),s(Y:S)) -> lt(X:S,Y:S)
 split(N:S,add(M:S,Y:S)) -> f_1(split(N:S,Y:S),N:S,M:S,Y:S)
 split(N:S,nil) -> pair(nil,nil)
->Interpretation type:
 Linear
->Coefficients:
 Natural Numbers
->Dimension:
 1
->Bound:
 2
->Interpretation:
 
[append](X1,X2) = 0
[f_1](X1,X2,X3,X4) = 2.X1 + 2
[f_2](X1,X2,X3,X4,X5,X6) = 2.X1 + 2.X5 + 2.X6 + 2
[f_3](X1,X2,X3) = 0
[lt](X1,X2) = 2
[qsort](X) = 0
[split](X1,X2) = 2.X2 + 2
[0] = 0
[add](X1,X2) = 2.X2 + 2
[fSNonEmpty] = 0
[false] = 2
[nil] = 2
[pair](X1,X2) = X1 + X2 + 2
[s](X) = 1
[true] = 2
[APPEND](X1,X2) = 0
[F_1](X1,X2,X3,X4) = 0
[F_2](X1,X2,X3,X4,X5,X6) = 0
[F_3](X1,X2,X3) = 2.X1 + 2
[LT](X1,X2) = 0
[QSORT](X) = 2.X + 2
[SPLIT](X1,X2) = 0

Problem 1.4: 

SCC Processor:
-> Pairs:
 F_3(pair(Y:S,Z:S),N:S,X:S) -> QSORT(Z:S)
 QSORT(add(N:S,X:S)) -> F_3(split(N:S,X:S),N:S,X:S)
-> Rules:
 append(add(N:S,X:S),Y:S) -> add(N:S,append(X:S,Y:S))
 append(nil,Y:S) -> Y:S
 f_1(pair(X:S,Z:S),N:S,M:S,Y:S) -> f_2(lt(N:S,M:S),N:S,M:S,Y:S,X:S,Z:S)
 f_2(ffalse,N:S,M:S,Y:S,X:S,Z:S) -> pair(add(M:S,X:S),Z:S)
 f_2(ttrue,N:S,M:S,Y:S,X:S,Z:S) -> pair(X:S,add(M:S,Z:S))
 f_3(pair(Y:S,Z:S),N:S,X:S) -> append(qsort(Y:S),add(X:S,qsort(Z:S)))
 lt(0,s(X:S)) -> ttrue
 lt(s(X:S),0) -> ffalse
 lt(s(X:S),s(Y:S)) -> lt(X:S,Y:S)
 qsort(add(N:S,X:S)) -> f_3(split(N:S,X:S),N:S,X:S)
 qsort(nil) -> nil
 split(N:S,add(M:S,Y:S)) -> f_1(split(N:S,Y:S),N:S,M:S,Y:S)
 split(N:S,nil) -> pair(nil,nil)
->Strongly Connected Components:
->->Cycle:
->->-> Pairs:
 F_3(pair(Y:S,Z:S),N:S,X:S) -> QSORT(Z:S)
 QSORT(add(N:S,X:S)) -> F_3(split(N:S,X:S),N:S,X:S)
->->-> Rules:
 append(add(N:S,X:S),Y:S) -> add(N:S,append(X:S,Y:S))
 append(nil,Y:S) -> Y:S
 f_1(pair(X:S,Z:S),N:S,M:S,Y:S) -> f_2(lt(N:S,M:S),N:S,M:S,Y:S,X:S,Z:S)
 f_2(ffalse,N:S,M:S,Y:S,X:S,Z:S) -> pair(add(M:S,X:S),Z:S)
 f_2(ttrue,N:S,M:S,Y:S,X:S,Z:S) -> pair(X:S,add(M:S,Z:S))
 f_3(pair(Y:S,Z:S),N:S,X:S) -> append(qsort(Y:S),add(X:S,qsort(Z:S)))
 lt(0,s(X:S)) -> ttrue
 lt(s(X:S),0) -> ffalse
 lt(s(X:S),s(Y:S)) -> lt(X:S,Y:S)
 qsort(add(N:S,X:S)) -> f_3(split(N:S,X:S),N:S,X:S)
 qsort(nil) -> nil
 split(N:S,add(M:S,Y:S)) -> f_1(split(N:S,Y:S),N:S,M:S,Y:S)
 split(N:S,nil) -> pair(nil,nil)

Problem 1.4: 

Reduction Pairs Processor:
-> Pairs:
 F_3(pair(Y:S,Z:S),N:S,X:S) -> QSORT(Z:S)
 QSORT(add(N:S,X:S)) -> F_3(split(N:S,X:S),N:S,X:S)
-> Rules:
 append(add(N:S,X:S),Y:S) -> add(N:S,append(X:S,Y:S))
 append(nil,Y:S) -> Y:S
 f_1(pair(X:S,Z:S),N:S,M:S,Y:S) -> f_2(lt(N:S,M:S),N:S,M:S,Y:S,X:S,Z:S)
 f_2(ffalse,N:S,M:S,Y:S,X:S,Z:S) -> pair(add(M:S,X:S),Z:S)
 f_2(ttrue,N:S,M:S,Y:S,X:S,Z:S) -> pair(X:S,add(M:S,Z:S))
 f_3(pair(Y:S,Z:S),N:S,X:S) -> append(qsort(Y:S),add(X:S,qsort(Z:S)))
 lt(0,s(X:S)) -> ttrue
 lt(s(X:S),0) -> ffalse
 lt(s(X:S),s(Y:S)) -> lt(X:S,Y:S)
 qsort(add(N:S,X:S)) -> f_3(split(N:S,X:S),N:S,X:S)
 qsort(nil) -> nil
 split(N:S,add(M:S,Y:S)) -> f_1(split(N:S,Y:S),N:S,M:S,Y:S)
 split(N:S,nil) -> pair(nil,nil)
-> Usable rules:
 f_1(pair(X:S,Z:S),N:S,M:S,Y:S) -> f_2(lt(N:S,M:S),N:S,M:S,Y:S,X:S,Z:S)
 f_2(ffalse,N:S,M:S,Y:S,X:S,Z:S) -> pair(add(M:S,X:S),Z:S)
 f_2(ttrue,N:S,M:S,Y:S,X:S,Z:S) -> pair(X:S,add(M:S,Z:S))
 lt(0,s(X:S)) -> ttrue
 lt(s(X:S),0) -> ffalse
 lt(s(X:S),s(Y:S)) -> lt(X:S,Y:S)
 split(N:S,add(M:S,Y:S)) -> f_1(split(N:S,Y:S),N:S,M:S,Y:S)
 split(N:S,nil) -> pair(nil,nil)
->Interpretation type:
 Linear
->Coefficients:
 Natural Numbers
->Dimension:
 1
->Bound:
 2
->Interpretation:
 
[append](X1,X2) = 0
[f_1](X1,X2,X3,X4) = 2.X1
[f_2](X1,X2,X3,X4,X5,X6) = 2.X1 + 2.X5 + 2.X6
[f_3](X1,X2,X3) = 0
[lt](X1,X2) = 2
[qsort](X) = 0
[split](X1,X2) = X2 + 2
[0] = 0
[add](X1,X2) = 2.X2 + 2
[fSNonEmpty] = 0
[false] = 2
[nil] = 0
[pair](X1,X2) = X1 + X2 + 2
[s](X) = X
[true] = 2
[APPEND](X1,X2) = 0
[F_1](X1,X2,X3,X4) = 0
[F_2](X1,X2,X3,X4,X5,X6) = 0
[F_3](X1,X2,X3) = 2.X1 + 2.X3 + 2
[LT](X1,X2) = 0
[QSORT](X) = 2.X + 2
[SPLIT](X1,X2) = 0

Problem 1.4: 

SCC Processor:
-> Pairs:
 QSORT(add(N:S,X:S)) -> F_3(split(N:S,X:S),N:S,X:S)
-> Rules:
 append(add(N:S,X:S),Y:S) -> add(N:S,append(X:S,Y:S))
 append(nil,Y:S) -> Y:S
 f_1(pair(X:S,Z:S),N:S,M:S,Y:S) -> f_2(lt(N:S,M:S),N:S,M:S,Y:S,X:S,Z:S)
 f_2(ffalse,N:S,M:S,Y:S,X:S,Z:S) -> pair(add(M:S,X:S),Z:S)
 f_2(ttrue,N:S,M:S,Y:S,X:S,Z:S) -> pair(X:S,add(M:S,Z:S))
 f_3(pair(Y:S,Z:S),N:S,X:S) -> append(qsort(Y:S),add(X:S,qsort(Z:S)))
 lt(0,s(X:S)) -> ttrue
 lt(s(X:S),0) -> ffalse
 lt(s(X:S),s(Y:S)) -> lt(X:S,Y:S)
 qsort(add(N:S,X:S)) -> f_3(split(N:S,X:S),N:S,X:S)
 qsort(nil) -> nil
 split(N:S,add(M:S,Y:S)) -> f_1(split(N:S,Y:S),N:S,M:S,Y:S)
 split(N:S,nil) -> pair(nil,nil)
->Strongly Connected Components:
 There is no strongly connected component

The problem is finite.