YES After renaming modulo { 0->0, 1->1, 2->2, 3->3 }, it remains to prove termination of the 81-rule system { 0 1 1 0 1 2 2 3 3 0 1 3 2 0 2 0 1 3 -> 0 3 2 3 2 2 1 0 0 1 1 1 0 2 0 3 1 3 , 0 1 1 2 0 1 3 2 2 1 3 0 1 2 0 3 0 1 -> 0 2 1 0 3 1 2 1 0 0 1 2 3 1 2 3 0 1 , 0 1 1 2 2 0 0 1 1 1 1 3 3 0 2 2 2 1 -> 0 0 2 2 0 1 1 2 0 1 1 2 1 2 3 1 3 1 , 0 1 3 0 3 1 0 2 1 1 1 3 3 0 3 1 2 3 -> 0 1 3 2 0 1 3 1 0 3 3 2 1 3 1 0 1 3 , 0 2 0 2 0 0 1 1 2 0 0 0 1 2 2 2 0 0 -> 0 2 1 0 2 0 1 2 2 2 1 0 2 0 0 0 0 0 , 0 2 1 1 3 0 1 0 1 0 0 0 3 1 0 1 1 1 -> 0 0 1 1 3 1 0 3 0 0 2 0 0 1 1 1 1 1 , 0 2 2 3 0 1 2 2 2 3 3 3 3 2 2 0 3 3 -> 0 0 1 2 3 3 2 0 3 3 2 2 2 2 3 2 3 3 , 0 2 2 3 2 2 2 3 3 0 0 3 3 1 1 0 3 3 -> 0 0 3 1 3 0 2 3 2 1 3 0 2 2 3 2 3 3 , 0 3 0 0 1 0 2 3 2 1 3 0 1 1 1 0 2 3 -> 0 0 3 0 1 1 2 1 0 3 2 1 3 1 0 0 2 3 , 0 3 0 3 3 1 0 2 2 2 3 3 2 0 3 0 0 1 -> 0 0 2 2 3 3 3 0 0 3 1 0 0 2 3 3 2 1 , 0 3 2 1 0 1 2 1 3 2 0 1 0 1 2 3 2 3 -> 0 3 2 0 3 1 1 0 3 2 1 0 2 2 1 2 1 3 , 0 3 3 0 3 0 3 2 0 3 3 1 0 0 3 1 1 0 -> 0 0 3 3 0 3 3 3 1 1 3 2 0 0 0 3 1 0 , 0 3 3 0 3 2 0 2 0 1 1 3 0 0 0 3 0 3 -> 0 3 0 0 0 0 3 0 0 1 3 2 2 3 1 3 0 3 , 1 0 0 1 2 3 1 3 0 1 2 0 1 0 2 1 0 3 -> 1 3 3 2 1 1 0 0 2 0 1 3 1 0 0 0 1 2 , 1 0 0 3 3 3 3 2 2 2 3 2 3 3 3 2 3 3 -> 2 3 2 3 1 3 3 2 2 3 2 3 3 0 0 3 3 3 , 1 0 1 0 3 3 0 0 2 2 3 1 2 2 2 2 1 2 -> 2 3 2 0 0 2 0 0 2 1 2 1 1 2 3 1 3 2 , 1 0 3 0 0 0 1 3 3 1 0 0 2 3 0 1 1 0 -> 1 2 0 0 0 1 0 1 3 1 3 0 1 3 3 0 0 0 , 1 0 3 2 0 0 3 3 3 3 3 2 2 1 2 2 1 1 -> 0 3 2 3 1 3 1 2 1 3 1 2 3 2 0 0 3 2 , 1 0 3 3 0 2 0 3 2 1 2 3 3 0 0 1 1 2 -> 2 0 1 3 1 0 1 0 0 2 0 3 1 3 2 2 3 3 , 1 0 3 3 1 3 3 3 2 3 1 2 0 3 3 1 2 1 -> 1 3 0 3 2 3 3 0 3 1 3 2 2 1 3 1 3 1 , 1 0 3 3 3 1 0 2 2 2 0 1 1 3 2 2 0 2 -> 2 3 2 0 1 2 3 1 3 1 1 3 2 0 2 2 0 0 , 1 1 1 0 2 2 0 0 1 2 3 0 0 1 2 2 0 1 -> 1 2 2 2 1 0 2 3 0 1 0 0 0 0 2 1 1 1 , 1 1 1 1 1 3 0 1 1 1 0 1 1 2 3 1 1 1 -> 1 1 2 1 3 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 3 1 , 1 1 3 3 2 2 0 1 3 0 2 1 2 3 2 0 1 2 -> 1 1 3 0 2 0 3 2 1 1 2 3 2 0 3 1 2 2 , 1 3 0 2 1 1 2 2 2 2 2 3 0 1 3 1 0 0 -> 1 2 2 3 1 0 0 0 2 1 3 2 3 1 2 2 1 0 , 1 3 3 0 1 1 2 0 2 0 3 3 3 3 1 1 3 1 -> 1 3 1 0 0 1 1 0 3 3 3 3 3 1 2 2 3 1 , 2 0 0 3 0 1 3 1 3 0 1 3 2 1 2 3 3 3 -> 2 0 0 2 3 1 2 3 1 1 3 0 3 1 3 0 3 3 , 2 0 1 0 0 2 1 2 2 0 2 3 2 1 2 3 2 2 -> 2 2 0 0 1 2 0 2 0 2 3 2 1 3 1 2 2 2 , 2 0 1 1 1 1 2 2 3 3 2 0 3 0 2 3 2 0 -> 2 2 2 1 3 0 3 1 3 1 3 2 0 1 2 0 0 2 , 2 0 1 1 3 0 1 0 1 3 0 0 3 3 0 0 2 1 -> 3 0 1 3 2 0 0 1 2 3 0 0 0 1 0 1 3 1 , 2 0 1 3 3 3 0 1 2 0 1 0 3 3 1 3 1 0 -> 1 0 3 1 2 1 3 2 0 3 0 3 0 3 1 3 1 0 , 2 0 2 2 3 0 2 2 2 1 0 2 2 2 1 0 0 2 -> 2 2 0 2 0 0 2 0 3 2 0 2 2 2 1 1 2 2 , 2 0 2 3 0 3 3 3 1 2 2 1 0 2 3 3 3 3 -> 2 3 3 3 0 0 2 0 3 3 1 2 2 3 3 1 2 3 , 2 0 3 3 1 3 2 1 1 2 0 0 3 0 0 1 2 3 -> 2 0 2 2 0 0 0 1 3 1 3 1 0 3 3 3 1 2 , 2 1 0 1 2 2 3 0 2 2 3 0 3 2 3 1 1 3 -> 2 1 0 2 1 3 0 3 1 3 2 2 2 0 3 2 1 3 , 2 1 0 1 3 0 2 2 3 0 1 1 1 2 1 1 3 3 -> 0 1 2 1 3 1 1 1 3 1 1 0 2 0 2 3 2 3 , 2 1 0 2 2 3 0 3 0 2 2 2 3 1 1 1 2 2 -> 2 3 0 0 3 2 2 1 0 1 3 2 2 1 1 2 2 2 , 2 1 0 3 1 0 2 2 0 3 0 2 0 2 3 0 2 2 -> 0 2 3 2 3 2 0 1 2 2 1 2 3 0 0 0 0 2 , 2 1 1 0 2 3 2 2 3 3 0 1 1 3 1 0 1 0 -> 1 2 3 2 1 3 1 0 1 0 3 2 1 2 0 3 1 0 , 2 1 1 3 0 1 1 2 2 0 0 1 2 1 3 0 2 1 -> 2 0 0 1 3 1 1 2 1 2 1 2 3 2 1 0 0 1 , 2 1 1 3 3 0 3 3 0 2 2 3 2 3 0 3 3 2 -> 2 0 2 3 1 0 3 3 2 3 1 3 2 0 3 3 3 2 , 2 1 2 0 2 0 2 3 3 3 0 3 3 3 3 1 1 0 -> 2 2 3 1 3 3 2 3 1 3 3 0 1 3 0 0 0 2 , 2 1 3 1 1 0 0 2 2 0 0 0 1 0 1 0 1 0 -> 1 1 2 2 0 0 0 1 3 1 1 2 0 0 0 0 1 0 , 2 2 0 1 0 1 2 1 1 2 0 2 0 0 1 2 0 0 -> 2 0 1 0 0 0 1 1 1 2 2 2 0 1 2 2 0 0 , 2 2 0 1 1 0 3 2 1 3 3 0 1 3 3 3 0 1 -> 1 3 0 3 2 1 3 1 2 3 0 2 0 3 3 1 0 1 , 2 2 0 3 0 2 2 1 1 2 1 1 0 2 2 2 2 2 -> 2 1 2 1 3 0 0 2 1 0 2 2 1 2 2 2 2 2 , 2 2 1 1 0 1 3 3 2 3 0 1 0 2 3 3 1 0 -> 2 2 0 1 3 3 2 1 3 3 1 0 1 0 3 1 2 0 , 2 2 2 0 2 1 1 1 0 1 3 0 3 1 2 2 2 1 -> 2 2 0 2 3 1 1 2 2 3 2 0 0 1 1 1 2 1 , 2 2 2 1 0 2 1 0 0 3 3 0 3 0 1 0 2 0 -> 2 0 2 0 0 1 1 0 1 3 2 2 3 2 3 0 0 0 , 2 2 2 1 1 0 0 3 2 0 2 2 0 0 1 1 1 1 -> 2 0 0 0 0 2 1 2 2 1 1 0 3 1 2 1 2 1 , 2 2 3 1 2 2 1 0 3 0 1 1 3 0 3 0 0 2 -> 2 1 3 1 1 1 0 2 3 2 3 0 3 0 0 0 2 2 , 2 2 3 2 1 0 1 3 3 2 2 2 0 3 1 1 0 2 -> 1 1 2 2 3 2 0 0 2 2 3 1 3 1 0 3 2 2 , 2 3 1 0 2 0 3 0 2 2 1 3 0 2 0 2 2 1 -> 1 0 0 2 0 2 3 1 2 2 2 2 0 0 3 1 3 2 , 2 3 1 3 2 2 1 1 0 1 2 3 2 0 1 1 3 2 -> 2 2 1 0 0 1 3 1 2 1 2 3 3 1 2 1 3 2 , 2 3 3 0 1 2 3 0 0 2 0 1 1 2 0 3 1 0 -> 2 0 2 0 3 0 3 1 2 0 0 0 3 1 2 1 1 3 , 2 3 3 1 2 3 0 1 1 1 2 0 2 2 3 0 2 1 -> 2 0 1 2 2 3 2 0 2 0 2 3 3 1 3 1 1 1 , 3 0 0 1 0 2 3 3 2 2 1 0 3 3 2 2 3 1 -> 2 3 2 3 0 3 1 3 2 1 0 0 3 2 0 2 3 1 , 3 0 0 2 3 0 2 3 2 1 1 2 0 1 2 2 2 2 -> 1 3 1 0 2 0 2 3 2 3 1 2 0 0 2 2 2 2 , 3 0 1 1 1 0 1 3 3 1 1 2 3 0 3 0 2 0 -> 1 0 2 3 1 1 3 3 3 1 2 1 1 0 0 3 0 0 , 3 0 1 3 3 1 0 1 0 2 3 2 0 2 0 1 1 3 -> 1 0 1 3 0 0 0 0 3 3 1 2 2 3 1 3 1 2 , 3 0 2 1 0 1 0 0 1 0 3 0 2 3 2 2 1 0 -> 3 0 0 2 2 0 3 1 0 0 1 1 2 3 1 0 2 0 , 3 0 2 1 3 3 0 2 0 3 0 0 0 2 0 2 2 2 -> 3 0 1 2 3 0 3 2 2 0 0 0 2 0 0 3 2 2 , 3 0 3 1 1 0 1 3 2 0 3 3 0 1 0 3 3 0 -> 3 0 3 3 1 3 1 0 3 1 2 0 3 0 3 0 1 0 , 3 0 3 2 2 2 1 1 3 3 2 1 1 1 3 1 2 3 -> 1 2 2 3 1 2 0 3 3 1 3 1 3 2 1 3 1 2 , 3 1 0 3 2 2 0 1 2 3 1 3 3 0 0 3 3 0 -> 3 1 3 3 0 3 1 0 2 3 2 0 0 2 1 3 3 0 , 3 1 2 0 1 1 1 3 0 2 2 1 3 3 3 0 3 2 -> 3 1 1 0 3 1 2 2 0 0 1 3 3 3 3 1 2 2 , 3 2 0 2 1 1 1 1 0 1 1 3 2 2 1 3 0 1 -> 3 2 1 0 0 2 1 3 2 1 1 1 1 1 0 3 2 1 , 3 2 0 3 2 2 3 0 3 0 2 2 2 2 3 2 2 2 -> 3 2 3 3 3 2 2 3 2 0 2 0 2 2 0 2 2 2 , 3 2 0 3 2 3 3 3 2 3 0 2 2 2 1 1 0 0 -> 3 2 2 3 3 3 0 0 1 2 3 1 2 2 3 2 0 0 , 3 2 1 1 1 0 3 3 2 0 1 2 3 2 2 2 3 3 -> 3 2 3 2 3 2 2 1 1 3 1 0 1 2 2 0 3 3 , 3 2 1 3 2 3 1 1 0 1 2 0 3 2 2 3 2 2 -> 3 1 3 1 3 2 1 3 2 2 2 2 1 2 3 0 0 2 , 3 2 2 1 1 3 0 1 2 2 3 3 0 1 2 3 2 2 -> 3 1 3 2 2 0 2 1 3 1 1 3 2 2 2 2 0 3 , 3 2 3 0 3 2 3 0 1 1 2 1 0 1 0 3 1 0 -> 3 0 1 3 2 0 1 3 2 0 1 3 1 3 2 1 0 0 , 3 2 3 1 1 0 3 0 2 2 0 2 3 0 2 3 3 2 -> 3 1 2 0 2 3 0 3 1 3 2 2 0 0 3 3 2 2 , 3 3 0 1 1 0 1 0 3 0 2 2 3 2 1 0 0 1 -> 3 3 2 0 0 1 0 3 0 0 1 2 2 1 0 3 1 1 , 3 3 1 0 3 3 1 1 3 0 1 1 0 3 1 0 2 1 -> 2 3 1 3 0 3 0 0 0 1 3 1 3 1 3 1 1 1 , 3 3 2 1 1 2 3 1 1 2 2 2 3 3 2 1 3 2 -> 3 2 3 2 3 2 1 3 1 3 2 2 1 1 1 3 2 2 , 3 3 3 2 3 3 2 0 2 2 1 3 0 1 2 3 1 2 -> 3 3 2 1 3 1 3 1 2 0 2 0 2 2 2 3 3 3 , 3 3 3 3 2 3 3 2 3 3 1 2 0 1 3 2 0 2 -> 3 1 2 3 3 2 3 1 3 3 2 3 3 0 0 2 3 2 , 3 3 3 3 3 3 3 0 0 0 1 1 2 3 3 0 3 3 -> 3 0 0 3 3 1 3 1 3 0 3 3 0 3 3 2 3 3 , 0 1 2 3 ->= 0 1 2 3 } The system was reversed. After renaming modulo { 3->0, 1->1, 0->2, 2->3 }, it remains to prove termination of the 81-rule system { 0 1 2 3 2 3 0 1 2 0 0 3 3 1 2 1 1 2 -> 0 1 0 2 3 2 1 1 1 2 2 1 3 3 0 3 0 2 , 1 2 0 2 3 1 2 0 1 3 3 0 1 2 3 1 1 2 -> 1 2 0 3 1 0 3 1 2 2 1 3 1 0 2 1 3 2 , 1 3 3 3 2 0 0 1 1 1 1 2 2 3 3 1 1 2 -> 1 0 1 0 3 1 3 1 1 2 3 1 1 2 3 3 2 2 , 0 3 1 0 2 0 0 1 1 1 3 2 1 0 2 0 1 2 -> 0 1 2 1 0 1 3 0 0 2 1 0 1 2 3 0 1 2 , 2 2 3 3 3 1 2 2 2 3 1 1 2 2 3 2 3 2 -> 2 2 2 2 2 3 2 1 3 3 3 1 2 3 2 1 3 2 , 1 1 1 2 1 0 2 2 2 1 2 1 2 0 1 1 3 2 -> 1 1 1 1 1 2 2 3 2 2 0 2 1 0 1 1 2 2 , 0 0 2 3 3 0 0 0 0 3 3 3 1 2 0 3 3 2 -> 0 0 3 0 3 3 3 3 0 0 2 3 0 0 3 1 2 2 , 0 0 2 1 1 0 0 2 2 0 0 3 3 3 0 3 3 2 -> 0 0 3 0 3 3 2 0 1 3 0 3 2 0 1 0 2 2 , 0 3 2 1 1 1 2 0 1 3 0 3 2 1 2 2 0 2 -> 0 3 2 2 1 0 1 3 0 2 1 3 1 1 2 0 2 2 , 1 2 2 0 2 3 0 0 3 3 3 2 1 0 0 2 0 2 -> 1 3 0 0 3 2 2 1 0 2 2 0 0 0 3 3 2 2 , 0 3 0 3 1 2 1 2 3 0 1 3 1 2 1 3 0 2 -> 0 1 3 1 3 3 2 1 3 0 2 1 1 0 2 3 0 2 , 2 1 1 0 2 2 1 0 0 2 3 0 2 0 2 0 0 2 -> 2 1 0 2 2 2 3 0 1 1 0 0 0 2 0 0 2 2 , 0 2 0 2 2 2 0 1 1 2 3 2 3 0 2 0 0 2 -> 0 2 0 1 0 3 3 0 1 2 2 0 2 2 2 2 0 2 , 0 2 1 3 2 1 2 3 1 2 0 1 0 3 1 2 2 1 -> 3 1 2 2 2 1 0 1 2 3 2 2 1 1 3 0 0 1 , 0 0 3 0 0 0 3 0 3 3 3 0 0 0 0 2 2 1 -> 0 0 0 2 2 0 0 3 0 3 3 0 0 1 0 3 0 3 , 3 1 3 3 3 3 1 0 3 3 2 2 0 0 2 1 2 1 -> 3 0 1 0 3 1 1 3 1 3 2 2 3 2 2 3 0 3 , 2 1 1 2 0 3 2 2 1 0 0 1 2 2 2 0 2 1 -> 2 2 2 0 0 1 2 0 1 0 1 2 1 2 2 2 3 1 , 1 1 3 3 1 3 3 0 0 0 0 0 2 2 3 0 2 1 -> 3 0 2 2 3 0 3 1 0 1 3 1 0 1 0 3 0 2 , 3 1 1 2 2 0 0 3 1 3 0 2 3 2 0 0 2 1 -> 0 0 3 3 0 1 0 2 3 2 2 1 2 1 0 1 2 3 , 1 3 1 0 0 2 3 1 0 3 0 0 0 1 0 0 2 1 -> 1 0 1 0 1 3 3 0 1 0 2 0 0 3 0 2 0 1 , 3 2 3 3 0 1 1 2 3 3 3 2 1 0 0 0 2 1 -> 2 2 3 3 2 3 0 1 1 0 1 0 3 1 2 3 0 3 , 1 2 3 3 1 2 2 0 3 1 2 2 3 3 2 1 1 1 -> 1 1 1 3 2 2 2 2 1 2 0 3 2 1 3 3 3 1 , 1 1 1 0 3 1 1 2 1 1 1 2 0 1 1 1 1 1 -> 1 0 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 0 1 3 1 1 , 3 1 2 3 0 3 1 3 2 0 1 2 3 3 0 0 1 1 -> 3 3 1 0 2 3 0 3 1 1 3 0 2 3 2 0 1 1 , 2 2 1 0 1 2 0 3 3 3 3 3 1 1 3 2 0 1 -> 2 1 3 3 1 0 3 0 1 3 2 2 2 1 0 3 3 1 , 1 0 1 1 0 0 0 0 2 3 2 3 1 1 2 0 0 1 -> 1 0 3 3 1 0 0 0 0 0 2 1 1 2 2 1 0 1 , 0 0 0 3 1 3 0 1 2 0 1 0 1 2 0 2 2 3 -> 0 0 2 0 1 0 2 0 1 1 0 3 1 0 3 2 2 3 , 3 3 0 3 1 3 0 3 2 3 3 1 3 2 2 1 2 3 -> 3 3 3 1 0 1 3 0 3 2 3 2 3 1 2 2 3 3 , 2 3 0 3 2 0 2 3 0 0 3 3 1 1 1 1 2 3 -> 3 2 2 3 1 2 3 0 1 0 1 0 2 0 1 3 3 3 , 1 3 2 2 0 0 2 2 0 1 2 1 2 0 1 1 2 3 -> 1 0 1 2 1 2 2 2 0 3 1 2 2 3 0 1 2 0 , 2 1 0 1 0 0 2 1 2 3 1 2 0 0 0 1 2 3 -> 2 1 0 1 0 2 0 2 0 2 3 0 1 3 1 0 2 1 , 3 2 2 1 3 3 3 2 1 3 3 3 2 0 3 3 2 3 -> 3 3 1 1 3 3 3 2 3 0 2 3 2 2 3 2 3 3 , 0 0 0 0 3 2 1 3 3 1 0 0 0 2 0 3 2 3 -> 0 3 1 0 0 3 3 1 0 0 2 3 2 2 0 0 0 3 , 0 3 1 2 2 0 2 2 3 1 1 3 0 1 0 0 2 3 -> 3 1 0 0 0 2 1 0 1 0 1 2 2 2 3 3 2 3 , 0 1 1 0 3 0 2 0 3 3 2 0 3 3 1 2 1 3 -> 0 1 3 0 2 3 3 3 0 1 0 2 0 1 3 2 1 3 , 0 0 1 1 3 1 1 1 2 0 3 3 2 0 1 2 1 3 -> 0 3 0 3 2 3 2 1 1 0 1 1 1 0 1 3 1 2 , 3 3 1 1 1 0 3 3 3 2 0 2 0 3 3 2 1 3 -> 3 3 3 1 1 3 3 0 1 2 1 3 3 0 2 2 0 3 , 3 3 2 0 3 2 3 2 0 2 3 3 2 1 0 2 1 3 -> 3 2 2 2 2 0 3 1 3 3 1 2 3 0 3 0 3 2 , 2 1 2 1 0 1 1 2 0 0 3 3 0 3 2 1 1 3 -> 2 1 0 2 3 1 3 0 2 1 2 1 0 1 3 0 3 1 , 1 3 2 0 1 3 1 2 2 3 3 1 1 2 0 1 1 3 -> 1 2 2 1 3 0 3 1 3 1 3 1 1 0 1 2 2 3 , 3 0 0 2 0 3 0 3 3 2 0 0 2 0 0 1 1 3 -> 3 0 0 0 2 3 0 1 0 3 0 0 2 1 0 3 2 3 , 2 1 1 0 0 0 0 2 0 0 0 3 2 3 2 3 1 3 -> 3 2 2 2 0 1 2 0 0 1 0 3 0 0 1 0 3 3 , 2 1 2 1 2 1 2 2 2 3 3 2 2 1 1 0 1 3 -> 2 1 2 2 2 2 3 1 1 0 1 2 2 2 3 3 1 1 , 2 2 3 1 2 2 3 2 3 1 1 3 1 2 1 2 3 3 -> 2 2 3 3 1 2 3 3 3 1 1 1 2 2 2 1 2 3 , 1 2 0 0 0 1 2 0 0 1 3 0 2 1 1 2 3 3 -> 1 2 1 0 0 2 3 2 0 3 1 0 1 3 0 2 0 1 , 3 3 3 3 3 2 1 1 3 1 1 3 3 2 0 2 3 3 -> 3 3 3 3 3 1 3 3 2 1 3 2 2 0 1 3 1 3 , 2 1 0 0 3 2 1 2 0 3 0 0 1 2 1 1 3 3 -> 2 3 1 0 2 1 2 1 0 0 1 3 0 0 1 2 3 3 , 1 3 3 3 1 0 2 0 1 2 1 1 1 3 2 3 3 3 -> 1 3 1 1 1 2 2 3 0 3 3 1 1 0 3 2 3 3 , 2 3 2 1 2 0 2 0 0 2 2 1 3 2 1 3 3 3 -> 2 2 2 0 3 0 3 3 0 1 2 1 1 2 2 3 2 3 , 1 1 1 1 2 2 3 3 2 3 0 2 2 1 1 3 3 3 -> 1 3 1 3 1 0 2 1 1 3 3 1 3 2 2 2 2 3 , 3 2 2 0 2 0 1 1 2 0 2 1 3 3 1 0 3 3 -> 3 3 2 2 2 0 2 0 3 0 3 2 1 1 1 0 1 3 , 3 2 1 1 0 2 3 3 3 0 0 1 2 1 3 0 3 3 -> 3 3 0 2 1 0 1 0 3 3 2 2 3 0 3 3 1 1 , 1 3 3 2 3 2 0 1 3 3 2 0 2 3 2 1 0 3 -> 3 0 1 0 2 2 3 3 3 3 1 0 3 2 3 2 2 1 , 3 0 1 1 2 3 0 3 1 2 1 1 3 3 0 1 0 3 -> 3 0 1 3 1 0 0 3 1 3 1 0 1 2 2 1 3 3 , 2 1 0 2 3 1 1 2 3 2 2 0 3 1 2 0 0 3 -> 0 1 1 3 1 0 2 2 2 3 1 0 2 0 2 3 2 3 , 1 3 2 0 3 3 2 3 1 1 1 2 0 3 1 0 0 3 -> 1 1 1 0 1 0 0 3 2 3 2 3 0 3 3 1 2 3 , 1 0 3 3 0 0 2 1 3 3 0 0 3 2 1 2 2 0 -> 1 0 3 2 3 0 2 2 1 3 0 1 0 2 0 3 0 3 , 3 3 3 3 1 2 3 1 1 3 0 3 2 0 3 2 2 0 -> 3 3 3 3 2 2 3 1 0 3 0 3 2 3 2 1 0 1 , 2 3 2 0 2 0 3 1 1 0 0 1 2 1 1 1 2 0 -> 2 2 0 2 2 1 1 3 1 0 0 0 1 1 0 3 2 1 , 0 1 1 2 3 2 3 0 3 2 1 2 1 0 0 1 2 0 -> 3 1 0 1 0 3 3 1 0 0 2 2 2 2 0 1 2 1 , 2 1 3 3 0 3 2 0 2 1 2 2 1 2 1 3 2 0 -> 2 3 2 1 0 3 1 1 2 2 1 0 2 3 3 2 2 0 , 3 3 3 2 3 2 2 2 0 2 3 2 0 0 1 3 2 0 -> 3 3 0 2 2 3 2 2 2 3 3 0 2 0 3 1 2 0 , 2 0 0 2 1 2 0 0 2 3 0 1 2 1 1 0 2 0 -> 2 1 2 0 2 0 2 3 1 0 2 1 0 1 0 0 2 0 , 0 3 1 0 1 1 1 3 0 0 1 1 3 3 3 0 2 0 -> 3 1 0 1 3 0 1 0 1 0 0 2 3 1 0 3 3 1 , 2 0 0 2 2 0 0 1 0 3 1 2 3 3 0 2 1 0 -> 2 0 0 1 3 2 2 3 0 3 2 1 0 2 0 0 1 0 , 3 0 2 0 0 0 1 3 3 2 0 1 1 1 2 3 1 0 -> 3 3 1 0 0 0 0 1 2 2 3 3 1 0 2 1 1 0 , 1 2 0 1 3 3 0 1 1 2 1 1 1 1 3 2 3 0 -> 1 3 0 2 1 1 1 1 1 3 0 1 3 2 2 1 3 0 , 3 3 3 0 3 3 3 3 2 0 2 0 3 3 0 2 3 0 -> 3 3 3 2 3 3 2 3 2 3 0 3 3 0 0 0 3 0 , 2 2 1 1 3 3 3 2 0 3 0 0 0 3 0 2 3 0 -> 2 2 3 0 3 3 1 0 3 1 2 2 0 0 0 3 3 0 , 0 0 3 3 3 0 3 1 2 3 0 0 2 1 1 1 3 0 -> 0 0 2 3 3 1 2 1 0 1 1 3 3 0 3 0 3 0 , 3 3 0 3 3 0 2 3 1 2 1 1 0 3 0 1 3 0 -> 3 2 2 0 3 1 3 3 3 3 0 1 3 0 1 0 1 0 , 3 3 0 3 1 2 0 0 3 3 1 2 0 1 1 3 3 0 -> 0 2 3 3 3 3 0 1 1 0 1 3 2 3 3 0 1 0 , 2 1 0 2 1 2 1 3 1 1 2 0 3 0 2 0 3 0 -> 2 2 1 3 0 1 0 1 2 3 0 1 2 3 0 1 2 0 , 3 0 0 3 2 0 3 2 3 3 2 0 2 1 1 0 3 0 -> 3 3 0 0 2 2 3 3 0 1 0 2 0 3 2 3 1 0 , 1 2 2 1 3 0 3 3 2 0 2 1 2 1 1 2 0 0 -> 1 1 0 2 1 3 3 1 2 2 0 2 1 2 2 3 0 0 , 1 3 2 1 0 2 1 1 2 0 1 1 0 0 2 1 0 0 -> 1 1 1 0 1 0 1 0 1 2 2 2 0 2 0 1 0 3 , 3 0 1 3 0 0 3 3 3 1 1 0 3 1 1 3 0 0 -> 3 3 0 1 1 1 3 3 0 1 0 1 3 0 3 0 3 0 , 3 1 0 3 1 2 0 1 3 3 2 3 0 0 3 0 0 0 -> 0 0 0 3 3 3 2 3 2 3 1 0 1 0 1 3 0 0 , 3 2 3 0 1 2 3 1 0 0 3 0 0 3 0 0 0 0 -> 3 0 3 2 2 0 0 3 0 0 1 0 3 0 0 3 1 0 , 0 0 2 0 0 3 1 1 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 -> 0 0 3 0 0 2 0 0 2 0 1 0 1 0 0 2 2 0 , 0 3 1 2 ->= 0 3 1 2 } Applying context closure of depth 1 in the following form: System R over Sigma maps to { fold(xly) -> fold(xry) | l -> r in R, x,y in Sigma } over Sigma^2, where fold(a_1...a_n) = (a_1,a_2)...(a_{n-1},a_{n}) After renaming modulo { [0, 0]->0, [0, 1]->1, [1, 2]->2, [2, 3]->3, [3, 2]->4, [3, 0]->5, [2, 0]->6, [0, 3]->7, [3, 3]->8, [3, 1]->9, [2, 1]->10, [1, 1]->11, [1, 0]->12, [0, 2]->13, [2, 2]->14, [1, 3]->15 }, it remains to prove termination of the 1296-rule system { 0 1 2 3 4 3 5 1 2 6 0 7 8 9 2 10 11 2 6 -> 0 1 12 13 3 4 10 11 11 2 14 10 15 8 5 7 5 13 6 , 1 2 6 13 3 9 2 6 1 15 8 5 1 2 3 9 11 2 6 -> 1 2 6 7 9 12 7 9 2 14 10 15 9 12 13 10 15 4 6 , 1 15 8 8 4 6 0 1 11 11 11 2 14 3 8 9 11 2 6 -> 1 12 1 12 7 9 15 9 11 2 3 9 11 2 3 8 4 14 6 , 0 7 9 12 13 6 0 1 11 11 15 4 10 12 13 6 1 2 6 -> 0 1 2 10 12 1 15 5 0 13 10 12 1 2 3 5 1 2 6 , 13 14 3 8 8 9 2 14 14 3 9 11 2 14 3 4 3 4 6 -> 13 14 14 14 14 3 4 10 15 8 8 9 2 3 4 10 15 4 6 , 1 11 11 2 10 12 13 14 14 10 2 10 2 6 1 11 15 4 6 -> 1 11 11 11 11 2 14 3 4 14 6 13 10 12 1 11 2 14 6 , 0 0 13 3 8 5 0 0 0 7 8 8 9 2 6 7 8 4 6 -> 0 0 7 5 7 8 8 8 5 0 13 3 5 0 7 9 2 14 6 , 0 0 13 10 11 12 0 13 14 6 0 7 8 8 5 7 8 4 6 -> 0 0 7 5 7 8 4 6 1 15 5 7 4 6 1 12 13 14 6 , 0 7 4 10 11 11 2 6 1 15 5 7 4 10 2 14 6 13 6 -> 0 7 4 14 10 12 1 15 5 13 10 15 9 11 2 6 13 14 6 , 1 2 14 6 13 3 5 0 7 8 8 4 10 12 0 13 6 13 6 -> 1 15 5 0 7 4 14 10 12 13 14 6 0 0 7 8 4 14 6 , 0 7 5 7 9 2 10 2 3 5 1 15 9 2 10 15 5 13 6 -> 0 1 15 9 15 8 4 10 15 5 13 10 11 12 13 3 5 13 6 , 13 10 11 12 13 14 10 12 0 13 3 5 13 6 13 6 0 13 6 -> 13 10 12 13 14 14 3 5 1 11 12 0 0 13 6 0 13 14 6 , 0 13 6 13 14 14 6 1 11 2 3 4 3 5 13 6 0 13 6 -> 0 13 6 1 12 7 8 5 1 2 14 6 13 14 14 14 6 13 6 , 0 13 10 15 4 10 2 3 9 2 6 1 12 7 9 2 14 10 12 -> 7 9 2 14 14 10 12 1 2 3 4 14 10 11 15 5 0 1 12 , 0 0 7 5 0 0 7 5 7 8 8 5 0 0 0 13 14 10 12 -> 0 0 0 13 14 6 0 7 5 7 8 5 0 1 12 7 5 7 5 , 7 9 15 8 8 8 9 12 7 8 4 14 6 0 13 10 2 10 12 -> 7 5 1 12 7 9 11 15 9 15 4 14 3 4 14 3 5 7 5 , 13 10 11 2 6 7 4 14 10 12 0 1 2 14 14 6 13 10 12 -> 13 14 14 6 0 1 2 6 1 12 1 2 10 2 14 14 3 9 12 , 1 11 15 8 9 15 8 5 0 0 0 0 13 14 3 5 13 10 12 -> 7 5 13 14 3 5 7 9 12 1 15 9 12 1 12 7 5 13 6 , 7 9 11 2 14 6 0 7 9 15 5 13 3 4 6 0 13 10 12 -> 0 0 7 8 5 1 12 13 3 4 14 10 2 10 12 1 2 3 5 , 1 15 9 12 0 13 3 9 12 7 5 0 0 1 12 0 13 10 12 -> 1 12 1 12 1 15 8 5 1 12 13 6 0 7 5 13 6 1 12 , 7 4 3 8 5 1 11 2 3 8 8 4 10 12 0 0 13 10 12 -> 13 14 3 8 4 3 5 1 11 12 1 12 7 9 2 3 5 7 5 , 1 2 3 8 9 2 14 6 7 9 2 14 3 8 4 10 11 11 12 -> 1 11 11 15 4 14 14 14 10 2 6 7 4 10 15 8 8 9 12 , 1 11 11 12 7 9 11 2 10 11 11 2 6 1 11 11 11 11 12 -> 1 12 1 11 2 10 11 11 11 2 10 11 11 12 1 15 9 11 12 , 7 9 2 3 5 7 9 15 4 6 1 2 3 8 5 0 1 11 12 -> 7 8 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7 5 0 7 9 12 7 , 5 0 13 6 0 7 9 11 2 14 14 6 0 0 0 0 0 0 7 -> 5 0 7 5 0 13 6 0 13 6 1 12 1 12 0 13 14 6 7 , 5 7 9 2 3 ->= 5 7 9 2 3 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 2: 0 is interpreted by / \ | 1 2 | | 0 1 | \ / 1 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 2 is interpreted by / \ | 1 6 | | 0 1 | \ / 3 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 4 is interpreted by / \ | 1 4 | | 0 1 | \ / 5 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 6 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 7 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 8 is interpreted by / \ | 1 2 | | 0 1 | \ / 9 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 10 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 11 is interpreted by / \ | 1 2 | | 0 1 | \ / 12 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 13 is interpreted by / \ | 1 4 | | 0 1 | \ / 14 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 15 is interpreted by / \ | 1 2 | | 0 1 | \ / After renaming modulo { 0->0, 7->1, 9->2, 2->3, 6->4, 10->5, 14->6, 3->7, 12->8, 5->9 }, it remains to prove termination of the 16-rule system { 0 1 2 3 4 ->= 0 1 2 3 4 , 0 1 2 3 5 ->= 0 1 2 3 5 , 0 1 2 3 6 ->= 0 1 2 3 6 , 0 1 2 3 7 ->= 0 1 2 3 7 , 8 1 2 3 4 ->= 8 1 2 3 4 , 8 1 2 3 5 ->= 8 1 2 3 5 , 8 1 2 3 6 ->= 8 1 2 3 6 , 8 1 2 3 7 ->= 8 1 2 3 7 , 4 1 2 3 4 ->= 4 1 2 3 4 , 4 1 2 3 5 ->= 4 1 2 3 5 , 4 1 2 3 6 ->= 4 1 2 3 6 , 4 1 2 3 7 ->= 4 1 2 3 7 , 9 1 2 3 4 ->= 9 1 2 3 4 , 9 1 2 3 5 ->= 9 1 2 3 5 , 9 1 2 3 6 ->= 9 1 2 3 6 , 9 1 2 3 7 ->= 9 1 2 3 7 } The system is trivially terminating.