YES After renaming modulo { 0->0, 1->1, 3->2, 2->3 }, it remains to prove termination of the 81-rule system { 0 0 1 0 1 2 3 0 0 1 2 2 3 1 3 3 1 3 -> 0 2 0 1 0 0 3 0 1 2 2 3 1 1 3 3 1 3 , 0 0 1 1 2 0 1 2 0 1 0 1 1 1 3 2 3 2 -> 0 0 2 0 0 1 1 1 2 2 0 1 1 3 3 1 1 2 , 0 0 3 3 1 0 1 1 2 3 2 2 3 0 1 2 3 0 -> 0 2 3 1 3 1 3 3 1 2 0 0 3 1 2 2 0 0 , 0 0 3 3 1 0 1 2 0 1 2 2 2 2 3 0 3 1 -> 0 2 1 0 3 2 2 0 3 2 0 2 3 0 1 1 3 1 , 0 0 3 3 2 3 0 0 2 3 3 0 1 3 3 2 2 2 -> 0 0 3 0 3 3 0 2 2 3 2 2 0 2 3 1 3 3 , 0 1 1 0 0 1 2 2 1 2 3 0 2 0 1 0 1 3 -> 0 2 0 1 0 1 0 0 3 1 2 2 0 2 1 3 1 1 , 0 1 1 1 3 1 0 0 1 3 3 1 0 2 2 3 1 3 -> 0 1 1 3 2 2 1 1 3 1 0 3 3 1 1 0 3 0 , 0 1 1 3 1 1 0 1 1 3 2 1 3 0 2 2 3 3 -> 0 1 3 2 1 1 1 2 1 3 3 3 0 1 1 2 0 3 , 0 1 1 3 1 2 3 0 3 1 1 0 1 3 0 2 3 1 -> 0 1 2 1 0 0 1 1 1 3 1 3 3 2 0 3 3 1 , 0 1 1 2 3 0 3 0 2 3 3 3 1 2 3 0 2 2 -> 0 0 3 2 0 1 2 3 3 3 2 0 3 2 1 3 2 1 , 0 1 1 2 3 3 0 3 0 3 0 2 3 3 0 2 3 3 -> 0 3 0 3 2 2 3 1 0 3 3 3 3 0 2 1 0 3 , 0 1 2 0 3 0 0 1 0 1 2 3 3 3 0 2 1 3 -> 0 2 1 1 1 0 3 0 2 1 3 2 0 3 0 0 3 3 , 0 1 2 3 0 2 0 2 0 2 3 1 0 0 1 2 3 1 -> 0 2 0 2 1 0 0 3 1 1 3 3 2 0 2 2 1 0 , 0 1 2 2 3 2 3 1 2 3 3 0 2 3 0 3 0 1 -> 0 3 3 1 0 3 2 3 2 3 1 2 0 2 3 0 2 1 , 0 3 0 0 1 0 2 2 3 0 0 1 0 3 2 0 0 3 -> 0 0 2 0 3 0 1 0 3 0 1 0 2 0 3 2 3 0 , 0 2 0 1 0 3 0 0 0 1 2 1 2 3 1 2 2 2 -> 0 2 0 1 0 1 0 2 0 1 3 1 2 2 2 0 3 2 , 0 2 0 2 0 1 3 0 3 2 3 0 1 1 0 2 3 3 -> 0 2 1 2 0 3 3 2 0 0 2 0 3 1 3 0 1 3 , 0 2 3 3 0 1 2 1 3 2 3 0 1 0 1 1 0 3 -> 0 1 0 2 2 0 1 3 0 3 1 3 0 1 3 3 2 1 , 0 2 3 3 1 1 0 0 2 3 1 2 2 3 1 3 3 0 -> 0 2 2 0 3 3 3 1 2 3 3 1 0 1 1 3 2 0 , 0 2 3 2 0 1 3 3 1 1 2 3 0 1 3 2 1 0 -> 0 3 1 0 2 3 1 3 2 2 1 0 1 3 3 1 2 0 , 0 2 3 2 1 2 0 0 3 3 2 2 2 3 2 2 3 2 -> 0 2 2 2 2 3 3 3 1 0 2 2 2 3 2 0 3 2 , 1 0 0 1 2 1 1 0 2 3 0 0 2 2 3 3 1 3 -> 2 1 3 1 3 0 3 0 2 0 1 1 0 0 3 2 2 1 , 1 0 0 2 3 1 2 3 2 3 0 1 1 1 3 3 1 3 -> 1 0 1 1 1 3 3 3 3 3 1 3 2 0 0 2 2 1 , 1 0 1 2 1 2 3 1 3 3 2 1 2 3 2 3 0 2 -> 1 3 3 3 3 3 0 2 1 2 2 1 0 2 1 2 1 2 , 1 0 3 1 1 0 2 3 1 1 1 1 2 2 0 0 0 0 -> 1 1 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0 3 1 2 2 2 3 0 3 2 1 2 3 1 3 3 , 1 3 3 0 0 0 2 1 3 3 2 2 1 1 0 0 1 3 -> 0 3 1 0 1 1 1 2 0 3 2 1 3 3 3 2 0 0 , 1 3 2 1 0 0 0 2 0 1 2 3 1 0 2 3 0 2 -> 1 3 0 3 1 2 0 1 0 3 0 0 2 1 0 2 2 2 , 1 2 3 0 0 0 2 1 3 3 3 2 3 0 1 2 2 3 -> 1 3 0 3 3 2 2 0 1 2 2 0 0 2 1 3 3 3 , 1 2 3 2 1 3 0 0 1 0 0 1 2 3 1 3 1 1 -> 1 1 3 3 3 1 1 0 3 1 1 0 2 2 1 0 2 0 , 1 2 3 2 3 3 3 2 0 0 1 1 1 2 3 1 3 0 -> 1 2 0 3 0 2 1 2 0 1 3 2 1 1 3 3 3 3 , 3 0 0 0 0 3 3 3 3 3 1 2 3 3 3 1 1 2 -> 2 0 2 3 1 0 1 3 3 1 3 3 3 3 0 0 3 3 , 3 0 0 2 3 1 1 3 3 1 1 2 2 0 3 2 3 3 -> 2 0 3 2 3 1 3 1 3 3 1 2 1 3 0 2 0 3 , 3 0 1 0 0 0 3 1 0 0 1 3 0 3 2 1 2 1 -> 3 0 1 0 1 2 0 2 0 3 0 1 0 3 0 1 3 1 , 3 0 1 1 1 2 1 2 3 3 2 3 2 1 0 0 2 1 -> 2 2 3 3 1 0 2 1 2 0 1 1 1 1 0 2 3 3 , 3 0 1 2 1 0 2 3 1 3 3 3 0 0 1 2 0 1 -> 2 0 2 0 1 0 1 3 2 0 3 1 3 3 1 1 3 0 , 3 0 3 0 2 1 3 0 0 1 3 0 0 1 2 3 0 1 -> 3 0 1 0 0 3 3 0 0 1 2 2 0 0 1 3 3 1 , 3 0 3 3 3 2 3 2 3 0 1 1 1 0 3 0 3 2 -> 3 0 3 0 3 0 3 3 1 2 2 1 3 0 1 3 3 2 , 3 1 3 0 0 2 1 1 2 0 2 2 3 1 1 3 3 3 -> 3 1 0 2 3 1 2 0 3 3 2 3 1 1 2 0 3 1 , 3 1 3 3 1 3 0 0 1 2 3 0 1 2 2 3 0 0 -> 3 3 0 2 1 3 3 0 1 0 1 2 3 0 1 3 2 0 , 3 1 2 3 3 1 3 0 1 2 3 3 3 0 0 0 3 0 -> 3 3 1 0 3 3 1 0 2 2 0 3 3 1 0 3 0 3 , 3 3 1 1 3 0 2 3 2 3 1 2 3 2 1 3 1 1 -> 3 1 3 3 0 2 1 3 2 1 1 2 1 1 3 3 2 3 , 3 3 1 2 3 0 0 3 3 1 3 2 3 2 0 0 1 3 -> 3 3 2 0 3 3 1 2 0 3 0 1 0 3 3 1 2 3 , 3 3 3 0 2 3 3 0 0 1 2 1 2 1 2 2 3 2 -> 3 3 2 3 2 2 1 0 1 3 2 0 0 3 3 1 2 2 , 3 3 3 2 2 3 2 1 3 3 1 3 3 0 1 3 0 1 -> 3 3 2 0 3 2 0 3 2 1 3 3 3 3 1 1 3 1 , 3 3 2 3 1 3 0 0 0 0 3 3 0 0 2 3 2 3 -> 3 3 0 3 2 3 0 0 3 0 3 2 0 2 3 3 0 1 , 3 2 1 2 3 0 1 2 3 0 0 0 0 2 3 2 2 0 -> 3 2 1 2 2 2 0 0 3 3 0 0 0 2 2 0 3 1 , 3 2 1 2 3 3 2 0 2 0 0 2 3 2 2 3 0 3 -> 3 2 0 2 0 3 2 2 1 3 3 2 0 2 2 3 0 3 , 3 2 3 3 0 0 2 2 2 1 2 3 0 0 1 0 3 1 -> 3 0 3 1 3 0 0 2 0 2 2 1 2 2 0 3 1 3 , 2 0 0 3 3 0 1 3 2 2 3 3 3 0 1 0 1 2 -> 2 1 0 3 3 0 2 3 0 1 3 0 3 3 1 0 2 2 , 2 1 0 1 3 2 3 0 3 1 3 3 0 2 2 1 1 1 -> 2 0 2 1 3 3 1 1 0 2 2 0 3 1 1 3 3 1 , 2 1 0 2 0 1 2 2 2 2 2 2 0 0 1 2 2 1 -> 2 0 0 2 1 2 2 1 2 2 0 2 1 0 2 2 2 1 , 2 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 3 1 2 2 2 -> 2 1 2 1 2 0 1 0 1 1 0 1 3 0 0 0 1 2 , 2 1 1 3 2 1 2 0 2 3 1 3 0 0 0 0 1 3 -> 2 1 0 1 1 0 3 2 2 2 1 3 1 0 0 0 3 3 , 2 1 3 0 1 0 0 3 0 1 2 1 0 3 2 2 1 2 -> 2 0 3 3 1 0 2 0 2 1 2 1 1 1 0 2 0 3 , 2 3 0 0 2 3 2 0 0 0 0 0 0 0 2 2 2 2 -> 2 3 0 0 0 0 0 0 3 2 0 0 2 2 2 2 0 2 , 2 3 0 2 3 3 1 3 3 0 1 2 2 0 0 0 3 1 -> 2 0 3 1 2 0 3 0 2 0 3 0 3 2 1 1 3 3 , 2 3 1 1 2 3 2 2 0 2 3 1 3 0 2 1 2 2 -> 2 2 2 1 2 2 0 2 0 1 3 3 1 3 3 2 2 1 , 2 3 3 0 0 0 2 3 1 0 1 3 2 3 0 1 1 2 -> 2 2 3 0 3 1 0 3 1 0 1 0 3 0 3 2 1 2 , 2 3 2 2 1 2 2 3 0 0 2 3 2 3 2 3 1 1 -> 2 1 2 0 1 3 3 0 3 2 3 2 1 2 2 2 2 3 , 2 2 0 0 3 2 3 0 0 0 0 3 0 2 2 1 3 1 -> 2 1 0 3 0 3 0 2 3 0 2 0 0 2 1 2 0 3 , 2 2 0 3 1 1 2 1 1 3 1 2 2 1 2 1 0 0 -> 2 0 1 1 2 1 1 1 2 0 3 3 1 1 2 2 2 0 , 2 2 0 2 3 1 2 3 0 3 1 0 0 2 3 3 1 2 -> 2 0 1 3 2 3 0 2 0 2 3 2 1 3 0 3 2 1 , 2 2 3 1 2 0 0 0 0 3 1 0 3 1 2 1 1 1 -> 2 0 0 1 3 2 1 1 1 2 2 0 1 0 1 0 3 3 , 2 2 3 1 2 2 2 3 0 2 2 2 0 0 1 1 2 0 -> 2 2 2 1 2 0 3 2 0 2 2 2 2 1 3 1 0 0 , 2 2 3 3 2 2 2 3 3 1 2 2 2 0 0 0 2 3 -> 2 0 3 2 0 3 3 2 2 2 3 2 0 2 3 2 1 2 , 2 2 3 2 3 2 1 0 1 2 3 1 3 0 1 0 1 2 -> 2 0 2 2 2 1 3 1 2 3 1 0 3 1 1 0 2 3 , 2 2 2 3 0 1 1 1 0 1 0 2 0 1 2 0 3 0 -> 2 0 3 1 1 2 0 2 0 3 1 1 1 0 0 2 2 0 , 0 1 3 2 ->= 0 1 3 2 } The system was reversed. After renaming modulo { 3->0, 1->1, 2->2, 0->3 }, it remains to prove termination of the 81-rule system { 0 1 0 0 1 0 2 2 1 3 3 0 2 1 3 1 3 3 -> 0 1 0 0 1 1 0 2 2 1 3 0 3 3 1 3 2 3 , 2 0 2 0 1 1 1 3 1 3 2 1 3 2 1 1 3 3 -> 2 1 1 0 0 1 1 3 2 2 1 1 1 3 3 2 3 3 , 3 0 2 1 3 0 2 2 0 2 1 1 3 1 0 0 3 3 -> 3 3 2 2 1 0 3 3 2 1 0 0 1 0 1 0 2 3 , 1 0 3 0 2 2 2 2 1 3 2 1 3 1 0 0 3 3 -> 1 0 1 1 3 0 2 3 2 0 3 2 2 0 3 1 2 3 , 2 2 2 0 0 1 3 0 0 2 3 3 0 2 0 0 3 3 -> 0 0 1 0 2 3 2 2 0 2 2 3 0 0 3 0 3 3 , 0 1 3 1 3 2 3 0 2 1 2 2 1 3 3 1 1 3 -> 1 1 0 1 2 3 2 2 1 0 3 3 1 3 1 3 2 3 , 0 1 0 2 2 3 1 0 0 1 3 3 1 0 1 1 1 3 -> 3 0 3 1 1 0 0 3 1 0 1 1 2 2 0 1 1 3 , 0 0 2 2 3 0 1 2 0 1 1 3 1 1 0 1 1 3 -> 0 3 2 1 1 3 0 0 0 1 2 1 1 1 2 0 1 3 , 1 0 2 3 0 1 3 1 1 0 3 0 2 1 0 1 1 3 -> 1 0 0 3 2 0 0 1 0 1 1 1 3 3 1 2 1 3 , 2 2 3 0 2 1 0 0 0 2 3 0 3 0 2 1 1 3 -> 1 2 0 1 2 0 3 2 0 0 0 2 1 3 2 0 3 3 , 0 0 2 3 0 0 2 3 0 3 0 3 0 0 2 1 1 3 -> 0 3 1 2 3 0 0 0 0 3 1 0 2 2 0 3 0 3 , 0 1 2 3 0 0 0 2 1 3 1 3 3 0 3 2 1 3 -> 0 0 3 3 0 3 2 0 1 2 3 0 3 1 1 1 2 3 , 1 0 2 1 3 3 1 0 2 3 2 3 2 3 0 2 1 3 -> 3 1 2 2 3 2 0 0 1 1 0 3 3 1 2 3 2 3 , 1 3 0 3 0 2 3 0 0 2 1 0 2 0 2 2 1 3 -> 1 2 3 0 2 3 2 1 0 2 0 2 0 3 1 0 0 3 , 0 3 3 2 0 3 1 3 3 0 2 2 3 1 3 3 0 3 -> 3 0 2 0 3 2 3 1 3 0 3 1 3 0 3 2 3 3 , 2 2 2 1 0 2 1 2 1 3 3 3 0 3 1 3 2 3 -> 2 0 3 2 2 2 1 0 1 3 2 3 1 3 1 3 2 3 , 0 0 2 3 1 1 3 0 2 0 3 0 1 3 2 3 2 3 -> 0 1 3 0 1 0 3 2 3 3 2 0 0 3 2 1 2 3 , 0 3 1 1 3 1 3 0 2 0 1 2 1 3 0 0 2 3 -> 1 2 0 0 1 3 0 1 0 3 0 1 3 2 2 3 1 3 , 3 0 0 1 0 2 2 1 0 2 3 3 1 1 0 0 2 3 -> 3 2 0 1 1 3 1 0 0 2 1 0 0 0 3 2 2 3 , 3 1 2 0 1 3 0 2 1 1 0 0 1 3 2 0 2 3 -> 3 2 1 0 0 1 3 1 2 2 0 1 0 2 3 1 0 3 , 2 0 2 2 0 2 2 2 0 0 3 3 2 1 2 0 2 3 -> 2 0 3 2 0 2 2 2 3 1 0 0 0 2 2 2 2 3 , 0 1 0 0 2 2 3 3 0 2 3 1 1 2 1 3 3 1 -> 1 2 2 0 3 3 1 1 3 2 3 0 3 0 1 0 1 2 , 0 1 0 0 1 1 1 3 0 2 0 2 1 0 2 3 3 1 -> 1 2 2 3 3 2 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 3 1 , 2 3 0 2 0 2 1 2 0 0 1 0 2 1 2 1 3 1 -> 2 1 2 1 2 3 1 2 2 1 2 3 0 0 0 0 0 1 , 3 3 3 3 2 2 1 1 1 1 0 2 3 1 1 0 3 1 -> 3 3 0 3 3 0 1 2 3 1 1 1 1 3 2 2 1 1 , 1 2 2 2 0 2 3 1 2 1 2 1 3 0 1 2 3 1 -> 0 2 2 3 2 1 2 2 1 1 2 1 3 2 1 0 3 1 , 0 1 2 1 1 1 0 0 2 2 1 3 3 2 1 1 1 1 -> 0 1 2 2 1 1 0 1 2 1 2 0 3 1 3 1 1 1 , 0 0 0 3 2 3 0 0 3 3 1 0 0 1 0 1 1 1 -> 0 3 2 0 0 3 0 3 1 0 0 0 1 0 3 1 1 1 , 2 1 1 0 0 3 1 1 1 1 2 3 3 0 2 1 1 1 -> 2 1 1 0 1 1 1 1 0 3 2 2 3 1 3 0 1 1 , 1 1 0 0 1 2 1 3 1 3 1 2 1 0 2 1 1 1 -> 0 1 1 0 3 2 2 1 3 0 1 1 1 2 1 1 1 1 , 1 0 0 2 2 1 0 0 1 1 0 3 3 0 1 0 1 1 -> 1 1 1 1 2 0 1 3 0 3 0 0 0 2 0 0 1 1 , 0 1 3 3 0 2 1 1 0 2 2 1 1 3 0 0 1 1 -> 0 1 3 1 1 2 0 0 0 1 1 1 2 3 3 2 0 1 , 0 1 1 0 1 2 0 2 0 2 1 1 0 1 3 2 1 1 -> 0 2 3 2 2 0 1 1 0 1 1 1 2 0 0 1 1 1 , 1 2 2 3 2 3 3 3 1 2 0 0 1 0 1 2 1 1 -> 3 2 1 2 1 0 0 3 2 1 1 2 0 3 1 3 2 1 , 2 2 0 0 2 3 3 3 3 2 1 3 2 1 2 2 1 1 -> 0 1 3 1 2 2 3 1 2 3 0 3 2 2 1 2 2 3 , 2 1 1 3 3 3 2 1 1 3 2 1 3 2 2 2 1 1 -> 1 3 2 3 1 1 3 2 1 3 2 3 1 2 2 2 1 1 , 2 3 3 3 2 1 3 1 1 1 0 0 2 2 3 3 0 1 -> 0 2 3 1 2 0 3 0 3 2 1 3 3 1 1 3 2 1 , 0 0 2 3 2 0 0 2 1 1 1 0 0 2 2 3 0 1 -> 0 0 1 0 2 1 2 0 3 0 2 2 2 1 0 3 0 1 , 0 1 3 3 1 1 2 2 0 0 1 2 3 3 3 0 0 1 -> 3 3 2 0 0 0 1 2 0 3 2 1 1 1 3 1 0 3 , 2 3 0 2 3 1 0 2 1 3 2 3 3 3 1 2 0 1 -> 2 2 2 3 1 2 3 3 0 3 1 3 2 1 0 3 0 1 , 0 2 2 1 3 0 2 0 0 0 1 2 3 3 3 0 2 1 -> 0 0 0 1 2 3 3 2 2 1 3 2 2 0 0 3 0 1 , 1 1 0 1 0 2 1 3 3 1 3 3 0 1 2 0 2 1 -> 3 2 3 1 2 2 3 1 1 0 3 1 1 0 0 0 1 1 , 3 0 1 0 2 1 1 1 3 3 2 0 0 0 2 0 2 1 -> 0 0 0 0 1 1 2 0 1 3 2 1 2 3 0 3 2 1 , 2 1 1 0 0 0 2 1 0 0 0 0 0 3 3 3 3 0 -> 0 0 3 3 0 0 0 0 1 0 0 1 3 1 0 2 3 2 , 0 0 2 0 3 2 2 1 1 0 0 1 1 0 2 3 3 0 -> 0 3 2 3 0 1 2 1 0 0 1 0 1 0 2 0 3 2 , 1 2 1 2 0 3 0 1 3 3 1 0 3 3 3 1 3 0 -> 1 0 1 3 0 3 1 3 0 3 2 3 2 1 3 1 3 0 , 1 2 3 3 1 2 0 2 0 0 2 1 2 1 1 1 3 0 -> 0 0 2 3 1 1 1 1 3 2 1 2 3 1 0 0 2 2 , 1 3 2 1 3 3 0 0 0 1 0 2 3 1 2 1 3 0 -> 3 0 1 1 0 0 1 0 3 2 0 1 3 1 3 2 3 2 , 1 3 0 2 1 3 3 0 1 3 3 0 1 2 3 0 3 0 -> 1 0 0 1 3 3 2 2 1 3 3 0 0 3 3 1 3 0 , 2 0 3 0 3 1 1 1 3 0 2 0 2 0 0 0 3 0 -> 2 0 0 1 3 0 1 2 2 1 0 0 3 0 3 0 3 0 , 0 0 0 1 1 0 2 2 3 2 1 1 2 3 3 0 1 0 -> 1 0 3 2 1 1 0 2 0 0 3 2 1 0 2 3 1 0 , 3 3 0 2 2 1 3 0 2 1 3 3 0 1 0 0 1 0 -> 3 2 0 1 3 0 2 1 3 1 3 0 0 1 2 3 0 0 , 3 0 3 3 3 0 0 0 2 1 3 0 1 0 0 2 1 0 -> 0 3 0 3 1 0 0 3 2 2 3 1 0 0 3 1 0 0 , 1 1 0 1 2 0 2 1 0 2 0 2 3 0 1 1 0 0 -> 0 2 0 0 1 1 2 1 1 2 0 1 2 3 0 0 1 0 , 0 1 3 3 2 0 2 0 1 0 0 3 3 0 2 1 0 0 -> 0 2 1 0 0 3 1 3 0 3 2 1 0 0 3 2 0 0 , 2 0 2 2 1 2 1 2 1 3 3 0 0 2 3 0 0 0 -> 2 2 1 0 0 3 3 2 0 1 3 1 2 2 0 2 0 0 , 1 3 0 1 3 0 0 1 0 0 1 2 0 2 2 0 0 0 -> 1 0 1 1 0 0 0 0 1 2 0 3 2 0 3 2 0 0 , 0 2 0 2 3 3 0 0 3 3 3 3 0 1 0 2 0 0 -> 1 3 0 0 2 3 2 0 3 0 3 3 0 2 0 3 0 0 , 3 2 2 0 2 3 3 3 3 0 2 1 3 0 2 1 2 0 -> 1 0 3 2 2 3 3 3 0 0 3 3 2 2 2 1 2 0 , 0 3 0 2 2 0 2 3 3 2 3 2 0 0 2 1 2 0 -> 0 3 0 2 2 3 2 0 0 1 2 2 0 3 2 3 2 0 , 1 0 3 1 3 3 0 2 1 2 2 2 3 3 0 0 2 0 -> 0 1 0 3 2 2 1 2 2 3 2 3 3 0 1 0 3 0 , 2 1 3 1 3 0 0 0 2 2 0 1 3 0 0 3 3 2 -> 2 2 3 1 0 0 3 0 1 3 0 2 3 0 0 3 1 2 , 1 1 1 2 2 3 0 0 1 0 3 0 2 0 1 3 1 2 -> 1 0 0 1 1 0 3 2 2 3 1 1 0 0 1 2 3 2 , 1 2 2 1 3 3 2 2 2 2 2 2 1 3 2 3 1 2 -> 1 2 2 2 3 1 2 3 2 2 1 2 2 1 2 3 3 2 , 2 2 2 1 0 1 1 3 3 1 3 1 3 3 3 1 1 2 -> 2 1 3 3 3 0 1 3 1 1 3 1 3 2 1 2 1 2 , 0 1 3 3 3 3 0 1 0 2 3 2 1 2 0 1 1 2 -> 0 0 3 3 3 1 0 1 2 2 2 0 3 1 1 3 1 2 , 2 1 2 2 0 3 1 2 1 3 0 3 3 1 3 0 1 2 -> 0 3 2 3 1 1 1 2 1 2 3 2 3 1 0 0 3 2 , 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 2 0 2 3 3 0 2 -> 2 3 2 2 2 2 3 3 2 0 3 3 3 3 3 3 0 2 , 1 0 3 3 3 2 2 1 3 0 0 1 0 0 2 3 0 2 -> 0 0 1 1 2 0 3 0 3 2 3 0 3 2 1 0 3 2 , 2 2 1 2 3 0 1 0 2 3 2 2 0 2 1 1 0 2 -> 1 2 2 0 0 1 0 0 1 3 2 3 2 2 1 2 2 2 , 2 1 1 3 0 2 0 1 3 1 0 2 3 3 3 0 0 2 -> 2 1 2 0 3 0 3 1 3 1 0 3 1 0 3 0 2 2 , 1 1 0 2 0 2 0 2 3 3 0 2 2 1 2 2 0 2 -> 0 2 2 2 2 1 2 0 2 0 3 0 0 1 3 2 1 2 , 1 0 1 2 2 3 0 3 3 3 3 0 2 0 3 3 2 2 -> 0 3 2 1 2 3 3 2 3 0 2 3 0 3 0 3 1 2 , 3 3 1 2 1 2 2 1 0 1 1 2 1 1 0 3 2 2 -> 3 2 2 2 1 1 0 0 3 2 1 1 1 2 1 1 3 2 , 2 1 0 0 2 3 3 1 0 3 0 2 1 0 2 3 2 2 -> 1 2 0 3 0 1 2 0 2 3 2 3 0 2 0 1 3 2 , 1 1 1 2 1 0 3 1 0 3 3 3 3 2 1 0 2 2 -> 0 0 3 1 3 1 3 2 2 1 1 1 2 0 1 3 3 2 , 3 2 1 1 3 3 2 2 2 3 0 2 2 2 1 0 2 2 -> 3 3 1 0 1 2 2 2 2 3 2 0 3 2 1 2 2 2 , 0 2 3 3 3 2 2 2 1 0 0 2 2 2 0 0 2 2 -> 2 1 2 0 2 3 2 0 2 2 2 0 0 3 2 0 3 2 , 2 1 3 1 3 0 1 0 2 1 3 1 2 0 2 0 2 2 -> 0 2 3 1 1 0 3 1 0 2 1 0 1 2 2 2 3 2 , 3 0 3 2 1 3 2 3 1 3 1 1 1 3 0 2 2 2 -> 3 2 2 3 3 1 1 1 0 3 2 3 2 1 1 0 3 2 , 2 0 1 3 ->= 2 0 1 3 } Applying context closure of depth 1 in the following form: System R over Sigma maps to { fold(xly) -> fold(xry) | l -> r in R, x,y in Sigma } over Sigma^2, where fold(a_1...a_n) = (a_1,a_2)...(a_{n-1},a_{n}) After renaming modulo { [0, 0]->0, [0, 1]->1, [1, 0]->2, [0, 2]->3, [2, 2]->4, [2, 1]->5, [1, 3]->6, [3, 3]->7, [3, 0]->8, [3, 1]->9, [1, 1]->10, [0, 3]->11, [3, 2]->12, [2, 3]->13, [2, 0]->14, [1, 2]->15 }, it remains to prove termination of the 1296-rule system { 0 1 2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 3 5 6 9 6 7 8 -> 0 1 2 0 1 10 2 3 4 5 6 8 11 7 9 6 12 13 8 , 3 14 3 14 1 10 10 6 9 6 12 5 6 12 5 10 6 7 8 -> 3 5 10 2 0 1 10 6 12 4 5 10 10 6 7 12 13 7 8 , 11 8 3 5 6 8 3 4 14 3 5 10 6 9 2 0 11 7 8 -> 11 7 12 4 5 2 11 7 12 5 2 0 1 2 1 2 3 13 8 , 1 2 11 8 3 4 4 4 5 6 12 5 6 9 2 0 11 7 8 -> 1 2 1 10 6 8 3 13 12 14 11 12 4 14 11 9 15 13 8 , 3 4 4 14 0 1 6 8 0 3 13 7 8 3 14 0 11 7 8 -> 0 0 1 2 3 13 12 4 14 3 4 13 8 0 11 8 11 7 8 , 0 1 6 9 6 12 13 8 3 5 15 4 5 6 7 9 10 6 8 -> 1 10 2 1 15 13 12 4 5 2 11 7 9 6 9 6 12 13 8 , 0 1 2 3 4 13 9 2 0 1 6 7 9 2 1 10 10 6 8 -> 11 8 11 9 10 2 0 11 9 2 1 10 15 4 14 1 10 6 8 , 0 0 3 4 13 8 1 15 14 1 10 6 9 10 2 1 10 6 8 -> 0 11 12 5 10 6 8 0 0 1 15 5 10 10 15 14 1 6 8 , 1 2 3 13 8 1 6 9 10 2 11 8 3 5 2 1 10 6 8 -> 1 2 0 11 12 14 0 1 2 1 10 10 6 7 9 15 5 6 8 , 3 4 13 8 3 5 2 0 0 3 13 8 11 8 3 5 10 6 8 -> 1 15 14 1 15 14 11 12 14 0 0 3 5 6 12 14 11 7 8 , 0 0 3 13 8 0 3 13 8 11 8 11 8 0 3 5 10 6 8 -> 0 11 9 15 13 8 0 0 0 11 9 2 3 4 14 11 8 11 8 , 0 1 15 13 8 0 0 3 5 6 9 6 7 8 11 12 5 6 8 -> 0 0 11 7 8 11 12 14 1 15 13 8 11 9 10 10 15 13 8 , 1 2 3 5 6 7 9 2 3 13 12 13 12 13 8 3 5 6 8 -> 11 9 15 4 13 12 14 0 1 10 2 11 7 9 15 13 12 13 8 , 1 6 8 11 8 3 13 8 0 3 5 2 3 14 3 4 5 6 8 -> 1 15 13 8 3 13 12 5 2 3 14 3 14 11 9 2 0 11 8 , 0 11 7 12 14 11 9 6 7 8 3 4 13 9 6 7 8 11 8 -> 11 8 3 14 11 12 13 9 6 8 11 9 6 8 11 12 13 7 8 , 3 4 4 5 2 3 5 15 5 6 7 7 8 11 9 6 12 13 8 -> 3 14 11 12 4 4 5 2 1 6 12 13 9 6 9 6 12 13 8 , 0 0 3 13 9 10 6 8 3 14 11 8 1 6 12 13 12 13 8 -> 0 1 6 8 1 2 11 12 13 7 12 14 0 11 12 5 15 13 8 , 0 11 9 10 6 9 6 8 3 14 1 15 5 6 8 0 3 13 8 -> 1 15 14 0 1 6 8 1 2 11 8 1 6 12 4 13 9 6 8 , 11 8 0 1 2 3 4 5 2 3 13 7 9 10 2 0 3 13 8 -> 11 12 14 1 10 6 9 2 0 3 5 2 0 0 11 12 4 13 8 , 11 9 15 14 1 6 8 3 5 10 2 0 1 6 12 14 3 13 8 -> 11 12 5 2 0 1 6 9 15 4 14 1 2 3 13 9 2 11 8 , 3 14 3 4 14 3 4 4 14 0 11 7 12 5 15 14 3 13 8 -> 3 14 11 12 14 3 4 4 13 9 2 0 0 3 4 4 4 13 8 , 0 1 2 0 3 4 13 7 8 3 13 9 10 15 5 6 7 9 2 -> 1 15 4 14 11 7 9 10 6 12 13 8 11 8 1 2 1 15 14 , 0 1 2 0 1 10 10 6 8 3 14 3 5 2 3 13 7 9 2 -> 1 15 4 13 7 12 14 1 2 0 0 0 0 1 10 10 6 9 2 , 3 13 8 3 14 3 5 15 14 0 1 2 3 5 15 5 6 9 2 -> 3 5 15 5 15 13 9 15 4 5 15 13 8 0 0 0 0 1 2 , 11 7 7 7 12 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12 5 15 14 3 13 12 14 3 4 4 14 0 11 12 14 11 12 13 , 12 5 6 9 6 8 1 2 3 5 6 9 15 14 3 14 3 4 13 -> 8 3 13 9 10 2 11 9 2 3 5 2 1 15 4 4 13 12 13 , 7 8 11 12 5 6 12 13 9 6 9 10 10 6 8 3 4 4 13 -> 7 12 4 13 7 9 10 10 2 11 12 13 12 5 10 2 11 12 13 , 12 14 1 6 7 ->= 12 14 1 6 7 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 2: 0 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 1 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 2 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 3 is interpreted by / \ | 1 2 | | 0 1 | \ / 4 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 5 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 6 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 7 is interpreted by / \ | 1 2 | | 0 1 | \ / 8 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 9 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 10 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 11 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 12 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 13 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 14 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 15 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / After renaming modulo { 3->0, 14->1, 1->2, 6->3, 8->4, 9->5, 12->6, 7->7, 15->8, 4->9 }, it remains to prove termination of the 16-rule system { 0 1 2 3 4 ->= 0 1 2 3 4 , 0 1 2 3 5 ->= 0 1 2 3 5 , 0 1 2 3 6 ->= 0 1 2 3 6 , 0 1 2 3 7 ->= 0 1 2 3 7 , 8 1 2 3 4 ->= 8 1 2 3 4 , 8 1 2 3 5 ->= 8 1 2 3 5 , 8 1 2 3 6 ->= 8 1 2 3 6 , 8 1 2 3 7 ->= 8 1 2 3 7 , 9 1 2 3 4 ->= 9 1 2 3 4 , 9 1 2 3 5 ->= 9 1 2 3 5 , 9 1 2 3 6 ->= 9 1 2 3 6 , 9 1 2 3 7 ->= 9 1 2 3 7 , 6 1 2 3 4 ->= 6 1 2 3 4 , 6 1 2 3 5 ->= 6 1 2 3 5 , 6 1 2 3 6 ->= 6 1 2 3 6 , 6 1 2 3 7 ->= 6 1 2 3 7 } The system is trivially terminating.