YES After renaming modulo { 0->0, 1->1, 2->2, 3->3 }, it remains to prove termination of the 81-rule system { 0 0 0 0 1 2 2 0 3 0 0 1 2 0 0 2 2 2 -> 0 0 0 0 2 1 2 0 0 1 3 2 2 0 0 0 2 2 , 0 0 2 2 0 1 1 0 3 1 0 2 2 1 3 1 2 1 -> 0 0 1 2 2 0 2 0 0 3 1 2 3 1 1 1 2 1 , 0 0 3 1 2 0 0 2 0 2 1 3 1 1 3 1 0 0 -> 0 1 3 0 2 3 2 0 2 0 1 1 0 1 3 1 0 0 , 0 0 3 2 0 1 2 2 1 2 1 2 3 0 0 2 1 1 -> 0 1 0 2 2 3 2 0 2 2 1 0 1 3 0 2 1 1 , 0 0 3 2 1 0 1 2 1 2 1 0 3 2 1 0 0 0 -> 1 2 0 0 0 0 0 1 0 2 3 2 3 1 1 0 1 2 , 0 0 3 2 1 2 1 3 0 2 1 0 3 0 3 2 2 2 -> 0 0 2 3 1 0 1 2 1 0 3 3 0 2 2 3 2 2 , 0 0 3 2 3 1 0 3 3 0 0 3 0 3 0 3 1 1 -> 0 0 0 3 3 1 3 3 1 2 3 3 1 0 0 0 3 0 , 0 1 0 1 1 1 1 3 0 2 2 0 3 0 3 0 3 3 -> 0 1 0 0 3 2 3 1 3 1 1 1 0 3 0 2 0 3 , 0 1 2 2 2 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 -> 0 1 1 1 2 0 1 0 0 2 0 1 0 1 1 2 0 0 , 0 2 1 0 3 1 1 3 3 2 2 0 3 1 0 3 1 3 -> 0 1 0 3 1 1 3 1 0 0 3 2 2 3 2 3 1 3 , 0 2 1 1 2 0 3 1 2 2 2 0 3 2 2 2 2 2 -> 0 2 2 1 0 2 2 2 0 2 1 2 2 3 2 3 1 2 , 0 2 3 2 0 3 0 0 2 2 2 2 2 0 3 2 0 0 -> 0 2 0 2 2 0 2 3 0 3 2 3 2 0 2 0 0 2 , 0 3 0 1 2 2 2 0 2 1 1 3 1 1 2 2 0 0 -> 0 0 2 3 1 2 2 0 1 0 1 2 3 2 2 0 1 1 , 0 3 0 2 2 1 2 2 3 0 3 2 1 1 1 1 0 1 -> 1 2 2 0 3 3 0 2 3 1 1 2 0 2 1 1 0 1 , 0 3 0 3 3 3 0 0 2 1 2 0 2 1 3 0 3 1 -> 1 3 2 3 0 0 2 0 0 0 2 3 3 1 3 3 1 0 , 0 3 1 1 1 3 2 3 0 1 0 0 3 0 2 2 1 1 -> 0 0 1 3 1 2 0 0 0 2 3 3 1 1 3 1 2 1 , 0 3 2 0 1 0 2 3 0 3 0 3 3 1 1 1 1 1 -> 1 3 0 0 2 0 1 1 1 3 1 0 0 3 3 2 3 1 , 0 3 2 0 2 1 0 0 0 3 1 3 3 3 2 1 0 3 -> 0 2 3 2 3 1 0 1 3 3 1 0 0 3 0 0 2 3 , 0 3 2 0 2 2 3 3 1 2 1 2 2 1 1 2 1 0 -> 1 3 1 2 2 3 2 2 1 2 3 2 1 0 2 0 1 0 , 0 3 3 1 0 1 1 0 2 3 3 0 3 2 0 0 2 2 -> 0 0 0 0 1 3 3 1 2 3 3 0 2 0 3 1 2 2 , 0 3 3 1 1 3 1 0 1 0 2 1 1 0 3 3 0 3 -> 1 1 0 0 3 3 3 1 3 1 0 2 3 1 1 0 0 3 , 1 0 0 1 2 2 3 1 1 0 3 3 2 1 1 3 0 1 -> 1 0 1 2 2 3 3 3 0 2 3 1 1 0 1 0 1 1 , 1 0 1 0 2 1 2 2 0 3 3 1 2 3 0 2 2 2 -> 1 3 2 1 0 2 2 0 2 3 1 2 0 2 3 1 0 2 , 1 0 1 2 2 1 3 3 3 0 3 0 0 3 1 1 3 1 -> 2 3 3 0 3 2 0 1 0 1 3 1 0 1 3 1 3 1 , 1 0 3 0 3 2 0 0 2 3 0 3 3 3 1 2 1 3 -> 0 0 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1 2 0 1 0 0 1 3 2 3 0 3 0 1 3 1 , 1 3 3 3 2 2 3 0 3 0 2 1 2 2 3 3 3 2 -> 1 1 0 3 3 2 3 3 2 2 2 3 0 3 3 2 3 2 , 2 0 3 1 2 2 3 1 2 1 0 0 0 1 1 1 2 0 -> 2 1 2 1 1 0 1 3 3 1 2 0 0 2 0 1 2 0 , 2 1 0 3 2 0 3 1 2 3 2 2 1 3 0 3 3 0 -> 1 0 2 3 0 2 3 1 3 1 0 2 3 3 3 2 2 0 , 2 1 1 0 3 1 1 0 2 0 2 1 0 3 1 2 2 2 -> 2 0 1 2 3 3 1 2 2 0 1 0 1 1 1 2 0 2 , 2 1 1 1 0 3 0 3 1 1 3 3 2 2 0 2 1 1 -> 1 3 3 2 1 0 1 2 0 1 3 2 0 2 1 3 1 1 , 2 1 3 2 3 1 1 1 3 3 0 1 1 3 2 2 1 2 -> 2 1 1 1 2 3 1 2 0 1 3 2 1 3 2 3 3 1 , 2 2 0 3 0 3 3 2 2 2 0 1 3 0 2 2 0 1 -> 2 2 0 1 0 2 1 2 3 2 2 0 3 3 2 3 0 0 , 2 2 1 1 1 2 2 2 0 3 3 0 2 3 0 0 3 2 -> 3 2 2 1 0 1 2 0 2 1 2 0 0 3 2 3 3 2 , 2 2 1 2 1 2 0 2 0 2 2 2 3 3 2 2 0 0 -> 2 2 1 2 0 1 2 2 3 2 2 2 0 2 3 2 0 0 , 2 2 2 1 2 3 2 0 0 1 1 3 3 0 2 0 2 0 -> 2 3 1 1 2 0 1 3 0 2 0 2 3 0 2 2 2 0 , 2 2 2 3 3 0 2 3 0 0 2 2 0 2 2 1 2 2 -> 2 2 2 2 3 0 1 3 2 2 0 3 2 2 0 2 0 2 , 2 2 3 3 1 3 2 2 3 2 1 1 3 3 0 3 3 3 -> 2 3 3 2 0 3 2 3 2 1 1 2 3 3 1 3 3 3 , 2 3 2 1 3 3 1 3 3 1 2 2 2 1 1 3 2 1 -> 2 3 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0 0 1 2 2 3 1 2 3 3 2 3 2 0 2 0 , 3 2 2 0 3 0 2 1 0 3 0 3 2 0 0 1 3 3 -> 3 2 3 2 0 2 3 0 0 3 1 3 1 2 0 0 0 3 , 3 2 2 3 0 0 2 3 3 1 1 2 2 3 3 3 3 3 -> 3 2 3 2 3 2 2 2 3 3 1 0 3 3 1 3 0 3 , 3 2 3 0 3 2 1 1 2 2 1 2 3 3 2 1 0 3 -> 3 2 3 2 0 1 3 1 2 2 3 2 3 1 2 3 0 1 , 3 3 0 0 2 2 2 2 1 0 0 0 3 3 1 2 2 1 -> 3 2 2 0 0 0 3 2 3 2 0 0 3 1 2 1 2 1 , 3 3 0 0 2 3 3 3 2 2 0 3 1 2 1 2 2 1 -> 2 2 0 1 3 2 3 1 3 2 3 2 3 1 3 0 2 0 , 3 3 0 2 2 1 2 1 0 3 3 2 1 1 2 2 2 1 -> 3 2 2 2 3 2 1 1 0 2 3 1 1 3 2 1 2 0 , 3 3 0 3 1 1 3 0 0 2 2 3 2 3 0 3 3 3 -> 3 3 3 0 3 1 0 0 2 1 3 2 3 0 3 2 3 3 , 3 3 1 3 0 3 0 3 0 3 0 2 0 1 0 2 2 1 -> 3 3 2 3 2 1 1 3 2 3 3 0 0 0 0 1 0 0 , 3 3 2 2 0 3 1 2 3 2 0 3 2 1 3 2 2 2 -> 3 2 3 1 3 2 2 2 3 2 2 0 3 1 3 0 2 2 , 3 3 2 2 1 1 3 0 0 2 1 1 2 0 3 1 1 3 -> 3 1 3 1 3 1 2 0 0 3 1 0 2 1 2 2 1 3 , 3 3 3 0 2 1 3 1 1 1 2 0 3 2 0 0 2 2 -> 3 3 3 1 1 1 2 3 2 3 1 2 0 0 2 0 0 2 , 3 3 3 0 3 0 0 3 0 3 3 1 0 3 0 3 1 3 -> 3 3 3 0 0 0 0 1 3 0 3 3 1 3 3 3 0 3 , 3 3 3 0 3 3 0 2 2 1 3 1 0 2 1 2 2 1 -> 3 2 3 1 3 1 3 2 0 2 1 0 2 0 3 2 3 1 , 3 3 3 1 3 3 2 1 3 0 2 1 1 3 2 3 0 1 -> 3 0 3 3 1 2 3 1 3 3 2 3 1 3 1 2 0 1 , 3 3 3 2 0 3 0 0 3 3 2 0 2 2 2 0 1 0 -> 3 0 3 2 3 2 3 2 3 0 0 1 2 3 2 0 0 0 , 3 3 3 2 1 1 3 1 2 2 3 3 3 3 1 2 3 1 -> 3 3 1 3 1 1 3 2 3 2 3 3 2 3 3 1 1 2 , 0 1 2 3 ->= 0 1 2 3 } The system was reversed. After renaming modulo { 2->0, 0->1, 1->2, 3->3 }, it remains to prove termination of the 81-rule system { 0 0 0 1 1 0 2 1 1 3 1 0 0 2 1 1 1 1 -> 0 0 1 1 1 0 0 3 2 1 1 0 2 0 1 1 1 1 , 2 0 2 3 2 0 0 1 2 3 1 2 2 1 0 0 1 1 -> 2 0 2 2 2 3 0 2 3 1 1 0 1 0 0 2 1 1 , 1 1 2 3 2 2 3 2 0 1 0 1 1 0 2 3 1 1 -> 1 1 2 3 2 1 2 2 1 0 1 0 3 0 1 3 2 1 , 2 2 0 1 1 3 0 2 0 2 0 0 2 1 0 3 1 1 -> 2 2 0 1 3 2 1 2 0 0 1 0 3 0 0 1 2 1 , 1 1 1 2 0 3 1 2 0 2 0 2 1 2 0 3 1 1 -> 0 2 1 2 2 3 0 3 0 1 2 1 1 1 1 1 0 2 , 0 0 0 3 1 3 1 2 0 1 3 2 0 2 0 3 1 1 -> 0 0 3 0 0 1 3 3 1 2 0 2 1 2 3 0 1 1 , 2 2 3 1 3 1 3 1 1 3 3 1 2 3 0 3 1 1 -> 1 3 1 1 1 2 3 3 0 2 3 3 2 3 3 1 1 1 , 3 3 1 3 1 3 1 0 0 1 3 2 2 2 2 1 2 1 -> 3 1 0 1 3 1 2 2 2 3 2 3 0 3 1 1 2 1 , 1 2 2 2 1 1 2 1 1 1 1 2 2 0 0 0 2 1 -> 1 1 0 2 2 1 2 1 0 1 1 2 1 0 2 2 2 1 , 3 2 3 1 2 3 1 0 0 3 3 2 2 3 1 2 0 1 -> 3 2 3 0 3 0 0 3 1 1 2 3 2 2 3 1 2 1 , 0 0 0 0 0 3 1 0 0 0 2 3 1 0 2 2 0 1 -> 0 2 3 0 3 0 0 2 0 1 0 0 0 1 2 0 0 1 , 1 1 0 3 1 0 0 0 0 0 1 1 3 1 0 3 0 1 -> 0 1 1 0 1 0 3 0 3 1 3 0 1 0 0 1 0 1 , 1 1 0 0 2 2 3 2 2 0 1 0 0 0 2 1 3 1 -> 2 2 1 0 0 3 0 2 1 2 1 0 0 2 3 0 1 1 , 2 1 2 2 2 2 0 3 1 3 0 0 2 0 0 1 3 1 -> 2 1 2 2 0 1 0 2 2 3 0 1 3 3 1 0 0 2 , 2 3 1 3 2 0 1 0 2 0 1 1 3 3 3 1 3 1 -> 1 2 3 3 2 3 3 0 1 1 1 0 1 1 3 0 3 2 , 2 2 0 0 1 3 1 1 2 1 3 0 3 2 2 2 3 1 -> 2 0 2 3 2 2 3 3 0 1 1 1 0 2 3 2 1 1 , 2 2 2 2 2 3 3 1 3 1 3 0 1 2 1 0 3 1 -> 2 3 0 3 3 1 1 2 3 2 2 2 1 0 1 1 3 2 , 3 1 2 0 3 3 3 2 3 1 1 1 2 0 1 0 3 1 -> 3 0 1 1 3 1 1 2 3 3 2 1 2 3 0 3 0 1 , 1 2 0 2 2 0 0 2 0 2 3 3 0 0 1 0 3 1 -> 1 2 1 0 1 2 0 3 0 2 0 0 3 0 0 2 3 2 , 0 0 1 1 0 3 1 3 3 0 1 2 2 1 2 3 3 1 -> 0 0 2 3 1 0 1 3 3 0 2 3 3 2 1 1 1 1 , 3 1 3 3 1 2 2 0 1 2 1 2 3 2 2 3 3 1 -> 3 1 1 2 2 3 0 1 2 3 2 3 3 3 1 1 2 2 , 2 1 3 2 2 0 3 3 1 2 2 3 0 0 2 1 1 2 -> 2 2 1 2 1 2 2 3 0 1 3 3 3 0 0 2 1 2 , 0 0 0 1 3 0 2 3 3 1 0 0 2 0 1 2 1 2 -> 0 1 2 3 0 1 0 2 3 0 1 0 0 1 2 0 3 2 , 2 3 2 2 3 1 1 3 1 3 3 3 2 0 0 2 1 2 -> 2 3 2 3 2 1 2 3 2 1 2 1 0 3 1 3 3 0 , 3 2 0 2 3 3 3 1 3 0 1 1 0 3 1 3 1 2 -> 3 0 1 2 3 2 3 1 3 0 3 0 3 3 1 2 1 1 , 1 0 3 1 3 2 2 2 1 1 0 3 1 3 2 3 1 2 -> 1 3 1 0 3 1 1 2 1 3 0 2 3 3 2 2 1 2 , 2 3 2 2 1 2 0 2 2 3 1 0 3 1 0 3 1 2 -> 2 0 3 2 1 2 1 0 2 1 3 1 0 3 3 2 2 2 , 0 3 1 1 3 3 0 1 2 3 1 2 0 1 3 3 1 2 -> 0 3 1 1 1 3 2 1 3 0 3 3 1 0 2 3 1 2 , 0 3 3 1 0 3 1 2 0 3 0 2 3 3 3 1 2 2 -> 0 3 2 1 2 3 3 2 1 3 1 2 3 3 0 3 0 0 , 1 3 3 0 0 1 2 0 0 3 1 3 3 3 3 1 2 2 -> 2 3 3 1 3 0 1 3 3 0 3 0 3 1 2 1 0 2 , 1 1 2 0 1 0 0 3 3 0 0 2 0 3 2 2 2 2 -> 2 3 0 0 0 3 2 1 0 1 2 0 1 0 2 2 3 2 , 2 2 3 1 2 2 2 3 0 1 3 3 2 1 2 0 2 2 -> 2 0 1 1 2 3 3 2 2 1 0 2 3 2 3 2 2 2 , 2 1 3 0 1 2 0 0 0 2 2 3 1 0 3 0 2 2 -> 2 0 0 2 3 2 0 1 2 1 2 3 0 0 3 1 0 2 , 1 3 2 1 2 2 2 0 0 0 1 3 2 2 1 1 0 2 -> 1 2 2 0 2 0 0 3 0 1 2 1 2 1 1 2 3 2 , 2 2 0 2 2 0 3 2 0 2 3 3 1 1 2 0 0 2 -> 2 1 3 0 0 3 0 2 2 3 0 1 2 0 2 2 2 2 , 2 0 1 2 1 3 1 3 1 3 2 3 3 2 0 0 0 2 -> 2 2 1 0 1 1 3 2 1 3 0 0 3 3 2 0 3 2 , 1 3 2 2 3 1 0 3 1 3 3 3 2 2 0 1 3 2 -> 1 3 2 1 2 3 1 3 0 0 3 3 3 2 3 2 1 2 , 2 2 2 1 0 1 2 1 1 1 3 3 3 1 2 0 3 2 -> 2 3 2 1 3 1 3 0 3 2 1 1 2 1 0 2 1 2 , 0 3 3 3 0 0 2 0 1 3 1 3 0 0 3 3 3 2 -> 0 3 0 3 3 1 3 0 0 0 3 3 0 3 3 1 2 2 , 1 0 2 2 2 1 1 1 2 0 2 3 0 0 2 3 1 0 -> 1 0 2 1 0 1 1 0 2 3 3 2 1 2 2 0 2 0 , 1 3 3 1 3 2 0 0 3 0 2 3 1 0 3 1 2 0 -> 1 0 0 3 3 3 0 1 2 3 2 3 0 1 3 0 1 2 , 0 0 0 2 3 1 2 0 1 0 1 2 2 3 1 2 2 0 -> 0 1 0 2 2 2 1 2 1 0 0 2 3 3 0 2 1 0 , 2 2 0 1 0 0 3 3 2 2 3 1 3 1 2 2 2 0 -> 2 2 3 2 0 1 0 3 2 1 0 2 1 2 0 3 3 2 , 0 2 0 0 3 2 2 1 3 3 2 2 2 3 0 3 2 0 -> 2 3 3 0 3 2 0 3 2 1 0 2 3 0 2 2 2 0 , 2 1 0 0 1 3 2 1 0 0 0 3 3 1 3 1 0 0 -> 1 1 3 0 3 3 1 0 0 3 0 2 0 1 2 1 0 0 , 0 3 1 1 3 0 1 3 3 1 0 0 0 2 2 2 0 0 -> 0 3 3 0 3 1 1 0 2 0 1 0 2 1 2 0 0 3 , 1 1 0 0 3 3 0 0 0 1 0 1 0 2 0 2 0 0 -> 1 1 0 3 0 1 0 0 0 3 0 0 2 1 0 2 0 0 , 1 0 1 0 1 3 3 2 2 1 1 0 3 0 2 0 0 0 -> 1 0 0 0 1 3 0 1 0 1 3 2 1 0 2 2 3 0 , 0 0 2 0 0 1 0 0 1 1 3 0 1 3 3 0 0 0 -> 0 1 0 1 0 0 3 1 0 0 3 2 1 3 0 0 0 0 , 3 3 3 1 3 3 2 2 0 3 0 0 3 2 3 3 0 0 -> 3 3 3 2 3 3 0 2 2 0 3 0 3 1 0 3 3 0 , 2 0 3 2 2 0 0 0 2 3 3 2 3 3 2 0 3 0 -> 2 0 3 3 2 3 2 0 2 0 3 2 3 2 0 0 3 0 , 0 0 0 2 1 2 1 2 0 0 3 1 1 3 3 1 1 3 -> 0 1 1 2 1 1 1 0 0 3 1 2 3 3 0 2 0 3 , 2 3 3 1 1 0 1 1 0 2 1 2 3 1 2 0 1 3 -> 2 3 0 0 2 1 1 1 2 3 0 1 2 1 3 1 1 3 , 1 1 2 0 3 1 3 3 2 2 1 1 3 0 0 0 1 3 -> 1 1 0 3 0 0 3 1 0 1 2 3 2 1 2 1 3 3 , 2 3 1 3 1 0 2 2 3 2 1 2 2 0 0 3 1 3 -> 1 2 2 1 0 2 1 3 2 3 0 1 3 2 3 2 0 3 , 2 0 0 0 3 3 2 0 0 3 2 2 0 1 3 3 1 3 -> 0 1 0 2 2 3 0 3 0 3 3 0 3 0 3 2 2 1 , 1 3 2 2 1 1 3 3 0 1 3 3 0 2 1 1 2 3 -> 1 3 1 1 1 2 1 3 3 2 2 1 2 3 0 3 0 3 , 1 3 0 3 2 0 0 1 1 2 1 3 1 3 1 2 2 3 -> 1 2 1 1 2 3 1 3 3 0 1 2 1 3 0 2 0 3 , 3 3 1 3 3 3 0 2 3 0 2 0 1 3 3 0 2 3 -> 3 3 2 3 3 1 2 0 0 0 3 2 3 1 3 3 0 3 , 0 1 0 0 0 2 3 3 1 3 1 3 3 3 3 0 2 3 -> 0 0 2 1 0 1 3 0 3 3 3 3 2 0 3 3 1 3 , 3 3 3 3 1 2 1 3 2 3 3 1 0 3 1 2 0 3 -> 3 3 0 3 3 3 0 1 2 3 1 3 3 1 1 2 2 3 , 1 3 2 0 0 2 0 0 3 3 1 0 3 3 1 2 0 3 -> 0 3 3 2 1 3 1 2 1 0 3 0 3 0 0 2 0 3 , 2 2 3 1 2 3 3 1 2 3 2 2 1 0 0 2 0 3 -> 2 2 3 1 1 2 2 2 3 1 2 0 3 0 0 3 2 3 , 1 0 3 1 0 3 1 0 3 2 3 1 2 0 1 0 0 3 -> 1 0 1 0 3 0 3 3 0 2 3 0 0 2 1 1 1 3 , 3 3 2 1 1 0 3 1 3 1 2 0 1 3 1 0 0 3 -> 3 1 1 1 0 2 3 2 3 1 1 3 0 1 0 3 0 3 , 3 3 3 3 3 0 0 2 2 3 3 0 1 1 3 0 0 3 -> 3 1 3 2 3 3 1 2 3 3 0 0 0 3 0 3 0 3 , 3 1 2 0 3 3 0 2 0 0 2 2 0 3 1 3 0 3 -> 2 1 3 0 2 3 0 3 0 0 2 3 2 1 0 3 0 3 , 2 0 0 2 3 3 1 1 1 2 0 0 0 0 1 1 3 3 -> 2 0 2 0 2 3 1 1 0 3 0 3 1 1 1 0 0 3 , 2 0 0 2 0 2 3 1 0 0 3 3 3 0 1 1 3 3 -> 1 0 1 3 2 3 0 3 0 3 2 3 0 3 2 1 0 0 , 2 0 0 0 2 2 0 3 3 1 2 0 2 0 0 1 3 3 -> 1 0 2 0 3 2 2 3 0 1 2 2 0 3 0 0 0 3 , 3 3 3 1 3 0 3 0 0 1 1 3 2 2 3 1 3 3 -> 3 3 0 3 1 3 0 3 2 0 1 1 2 3 1 3 3 3 , 2 0 0 1 2 1 0 1 3 1 3 1 3 1 3 2 3 3 -> 1 1 2 1 1 1 1 3 3 0 3 2 2 0 3 0 3 3 , 0 0 0 3 2 0 3 1 0 3 0 2 3 1 0 0 3 3 -> 0 0 1 3 2 3 1 0 0 3 0 0 0 3 2 3 0 3 , 3 2 2 3 1 0 2 2 0 1 1 3 2 2 0 0 3 3 -> 3 2 0 0 2 0 1 2 3 1 1 0 2 3 2 3 2 3 , 0 0 1 1 0 3 1 0 2 2 2 3 2 0 1 3 3 3 -> 0 1 1 0 1 1 0 2 3 0 3 0 2 2 2 3 3 3 , 3 2 3 1 3 1 2 3 3 1 3 1 1 3 1 3 3 3 -> 3 1 3 3 3 2 3 3 1 3 2 1 1 1 1 3 3 3 , 2 0 0 2 0 1 2 3 2 0 0 1 3 3 1 3 3 3 -> 2 3 0 3 1 0 1 2 0 1 0 3 2 3 2 3 0 3 , 2 1 3 0 3 2 2 0 1 3 2 0 3 3 2 3 3 3 -> 2 1 0 2 3 2 3 0 3 3 2 3 0 2 3 3 1 3 , 1 2 1 0 0 0 1 0 3 3 1 1 3 1 0 3 3 3 -> 1 1 1 0 3 0 2 1 1 3 0 3 0 3 0 3 1 3 , 2 3 0 2 3 3 3 3 0 0 2 3 2 2 0 3 3 3 -> 0 2 2 3 3 0 3 3 0 3 0 3 2 2 3 2 3 3 , 3 0 2 1 ->= 3 0 2 1 } Applying context closure of depth 1 in the following form: System R over Sigma maps to { fold(xly) -> fold(xry) | l -> r in R, x,y in Sigma } over Sigma^2, where fold(a_1...a_n) = (a_1,a_2)...(a_{n-1},a_{n}) After renaming modulo { [0, 0]->0, [0, 1]->1, [1, 1]->2, [1, 0]->3, [0, 2]->4, [2, 1]->5, [1, 3]->6, [3, 1]->7, [0, 3]->8, [3, 2]->9, [2, 0]->10, [2, 3]->11, [1, 2]->12, [2, 2]->13, [3, 0]->14, [3, 3]->15 }, it remains to prove termination of the 1296-rule system { 0 0 0 1 2 3 4 5 2 6 7 3 0 4 5 2 2 2 3 -> 0 0 1 2 2 3 0 8 9 5 2 3 4 10 1 2 2 2 3 , 4 10 4 11 9 10 0 1 12 11 7 12 13 5 3 0 1 2 3 -> 4 10 4 13 13 11 14 4 11 7 2 3 1 3 0 4 5 2 3 , 1 2 12 11 9 13 11 9 10 1 3 1 2 3 4 11 7 2 3 -> 1 2 12 11 9 5 12 13 5 3 1 3 8 14 1 6 9 5 3 , 4 13 10 1 2 6 14 4 10 4 10 0 4 5 3 8 7 2 3 -> 4 13 10 1 6 9 5 12 10 0 1 3 8 14 0 1 12 5 3 , 1 2 2 12 10 8 7 12 10 4 10 4 5 12 10 8 7 2 3 -> 0 4 5 12 13 11 14 8 14 1 12 5 2 2 2 2 3 4 10 , 0 0 0 8 7 6 7 12 10 1 6 9 10 4 10 8 7 2 3 -> 0 0 8 14 0 1 6 15 7 12 10 4 5 12 11 14 1 2 3 , 4 13 11 7 6 7 6 7 2 6 15 7 12 11 14 8 7 2 3 -> 1 6 7 2 2 12 11 15 14 4 11 15 9 11 15 7 2 2 3 , 8 15 7 6 7 6 7 3 0 1 6 9 13 13 13 5 12 5 3 -> 8 7 3 1 6 7 12 13 13 11 9 11 14 8 7 2 12 5 3 , 1 12 13 13 5 2 12 5 2 2 2 12 13 10 0 0 4 5 3 -> 1 2 3 4 13 5 12 5 3 1 2 12 5 3 4 13 13 5 3 , 8 9 11 7 12 11 7 3 0 8 15 9 13 11 7 12 10 1 3 -> 8 9 11 14 8 14 0 8 7 2 12 11 9 13 11 7 12 5 3 , 0 0 0 0 0 8 7 3 0 0 4 11 7 3 4 13 10 1 3 -> 0 4 11 14 8 14 0 4 10 1 3 0 0 1 12 10 0 1 3 , 1 2 3 8 7 3 0 0 0 0 1 2 6 7 3 8 14 1 3 -> 0 1 2 3 1 3 8 14 8 7 6 14 1 3 0 1 3 1 3 , 1 2 3 0 4 13 11 9 13 10 1 3 0 0 4 5 6 7 3 -> 4 13 5 3 0 8 14 4 5 12 5 3 0 4 11 14 1 2 3 , 4 5 12 13 13 13 10 8 7 6 14 0 4 10 0 1 6 7 3 -> 4 5 12 13 10 1 3 4 13 11 14 1 6 15 7 3 0 4 10 , 4 11 7 6 9 10 1 3 4 10 1 2 6 15 15 7 6 7 3 -> 1 12 11 15 9 11 15 14 1 2 2 3 1 2 6 14 8 9 10 , 4 13 10 0 1 6 7 2 12 5 6 14 8 9 13 13 11 7 3 -> 4 10 4 11 9 13 11 15 14 1 2 2 3 4 11 9 5 2 3 , 4 13 13 13 13 11 15 7 6 7 6 14 1 12 5 3 8 7 3 -> 4 11 14 8 15 7 2 12 11 9 13 13 5 3 1 2 6 9 10 , 8 7 12 10 8 15 15 9 11 7 2 2 12 10 1 3 8 7 3 -> 8 14 1 2 6 7 2 12 11 15 9 5 12 11 14 8 14 1 3 , 1 12 10 4 13 10 0 4 10 4 11 15 14 0 1 3 8 7 3 -> 1 12 5 3 1 12 10 8 14 4 10 0 8 14 0 4 11 9 10 , 0 0 1 2 3 8 7 6 15 14 1 12 13 5 12 11 15 7 3 -> 0 0 4 11 7 3 1 6 15 14 4 11 15 9 5 2 2 2 3 , 8 7 6 15 7 12 13 10 1 12 5 12 11 9 13 11 15 7 3 -> 8 7 2 12 13 11 14 1 12 11 9 11 15 15 7 2 12 13 10 , 4 5 6 9 13 10 8 15 7 12 13 11 14 0 4 5 2 12 10 -> 4 13 5 12 5 12 13 11 14 1 6 15 15 14 0 4 5 12 10 , 0 0 0 1 6 14 4 11 15 7 3 0 4 10 1 12 5 12 10 -> 0 1 12 11 14 1 3 4 11 14 1 3 0 1 12 10 8 9 10 , 4 11 9 13 11 7 2 6 7 6 15 15 9 10 0 4 5 12 10 -> 4 11 9 11 9 5 12 11 9 5 12 5 3 8 7 6 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15 9 5 2 3 8 7 6 7 12 10 1 6 7 3 0 8 15 -> 15 7 2 2 3 4 11 9 11 7 2 6 14 1 3 8 14 8 15 , 15 15 15 15 15 14 0 4 13 11 15 14 1 2 6 14 0 8 15 -> 15 7 6 9 11 15 7 12 11 15 14 0 0 8 14 8 14 8 15 , 15 7 12 10 8 15 14 4 10 0 4 13 10 8 7 6 14 8 15 -> 9 5 6 14 4 11 14 8 14 0 4 11 9 5 3 8 14 8 15 , 9 10 0 4 11 15 7 2 2 12 10 0 0 0 1 2 6 15 15 -> 9 10 4 10 4 11 7 2 3 8 14 8 7 2 2 3 0 8 15 , 9 10 0 4 10 4 11 7 3 0 8 15 15 14 1 2 6 15 15 -> 7 3 1 6 9 11 14 8 14 8 9 11 14 8 9 5 3 0 8 , 9 10 0 0 4 13 10 8 15 7 12 10 4 10 0 1 6 15 15 -> 7 3 4 10 8 9 13 11 14 1 12 13 10 8 14 0 0 8 15 , 15 15 15 7 6 14 8 14 0 1 2 6 9 13 11 7 6 15 15 -> 15 15 14 8 7 6 14 8 9 10 1 2 12 11 7 6 15 15 15 , 9 10 0 1 12 5 3 1 6 7 6 7 6 7 6 9 11 15 15 -> 7 2 12 5 2 2 2 6 15 14 8 9 13 10 8 14 8 15 15 , 14 0 0 8 9 10 8 7 3 8 14 4 11 7 3 0 8 15 15 -> 14 0 1 6 9 11 7 3 0 8 14 0 0 8 9 11 14 8 15 , 15 9 13 11 7 3 4 13 10 1 2 6 9 13 10 0 8 15 15 -> 15 9 10 0 4 10 1 12 11 7 2 3 4 11 9 11 9 11 15 , 14 0 1 2 3 8 7 3 4 13 13 11 9 10 1 6 15 15 15 -> 14 1 2 3 1 2 3 4 11 14 8 14 4 13 13 11 15 15 15 , 15 9 11 7 6 7 12 11 15 7 6 7 2 6 7 6 15 15 15 -> 15 7 6 15 15 9 11 15 7 6 9 5 2 2 2 6 15 15 15 , 9 10 0 4 10 1 12 11 9 10 0 1 6 15 7 6 15 15 15 -> 9 11 14 8 7 3 1 12 10 1 3 8 9 11 9 11 14 8 15 , 9 5 6 14 8 9 13 10 1 6 9 10 8 15 9 11 15 15 15 -> 9 5 3 4 11 9 11 14 8 15 9 11 14 4 11 15 7 6 15 , 7 12 5 3 0 0 1 3 8 15 7 2 6 7 3 8 15 15 15 -> 7 2 2 3 8 14 4 5 2 6 14 8 14 8 14 8 7 6 15 , 9 11 14 4 11 15 15 15 14 0 4 11 9 13 10 8 15 15 15 -> 14 4 13 11 15 14 8 15 14 8 14 8 9 13 11 9 11 15 15 , 15 14 4 5 6 ->= 15 14 4 5 6 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 2: 0 is interpreted by / \ | 1 3 | | 0 1 | \ / 1 is interpreted by / \ | 1 3 | | 0 1 | \ / 2 is interpreted by / \ | 1 2 | | 0 1 | \ / 3 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 4 is interpreted by / \ | 1 3 | | 0 1 | \ / 5 is interpreted by / \ | 1 2 | | 0 1 | \ / 6 is interpreted by / \ | 1 3 | | 0 1 | \ / 7 is interpreted by / \ | 1 4 | | 0 1 | \ / 8 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 9 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 10 is interpreted by / \ | 1 5 | | 0 1 | \ / 11 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 12 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 13 is interpreted by / \ | 1 3 | | 0 1 | \ / 14 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 15 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / After renaming modulo { 8->0, 14->1, 4->2, 5->3, 3->4, 2->5, 12->6, 6->7, 11->8, 15->9 }, it remains to prove termination of the 16-rule system { 0 1 2 3 4 ->= 0 1 2 3 4 , 0 1 2 3 5 ->= 0 1 2 3 5 , 0 1 2 3 6 ->= 0 1 2 3 6 , 0 1 2 3 7 ->= 0 1 2 3 7 , 7 1 2 3 4 ->= 7 1 2 3 4 , 7 1 2 3 5 ->= 7 1 2 3 5 , 7 1 2 3 6 ->= 7 1 2 3 6 , 7 1 2 3 7 ->= 7 1 2 3 7 , 8 1 2 3 4 ->= 8 1 2 3 4 , 8 1 2 3 5 ->= 8 1 2 3 5 , 8 1 2 3 6 ->= 8 1 2 3 6 , 8 1 2 3 7 ->= 8 1 2 3 7 , 9 1 2 3 4 ->= 9 1 2 3 4 , 9 1 2 3 5 ->= 9 1 2 3 5 , 9 1 2 3 6 ->= 9 1 2 3 6 , 9 1 2 3 7 ->= 9 1 2 3 7 } The system is trivially terminating.