YES After renaming modulo { 0->0, 1->1, 2->2, 3->3 }, it remains to prove termination of the 81-rule system { 0 0 0 0 1 2 1 2 1 1 3 0 1 1 0 2 1 3 -> 0 0 2 1 1 0 0 1 0 2 0 1 3 1 2 1 1 3 , 0 0 0 1 0 1 1 3 3 0 2 3 0 0 0 1 0 2 -> 0 0 0 3 1 3 1 1 0 3 0 1 0 2 0 2 0 0 , 0 0 1 2 2 3 3 3 3 0 0 0 3 1 1 2 3 2 -> 2 0 0 3 1 0 3 1 0 2 1 2 3 3 0 3 3 2 , 0 0 1 3 0 1 1 2 0 2 2 3 2 2 2 1 0 1 -> 0 0 0 2 1 2 3 2 0 2 2 0 3 1 1 1 2 1 , 0 0 1 3 1 3 0 0 0 3 0 0 2 3 1 3 1 0 -> 0 3 0 1 3 0 2 1 0 0 3 0 3 0 1 3 1 0 , 0 0 3 1 0 1 1 1 1 0 1 3 3 0 0 0 3 1 -> 0 0 3 1 1 1 0 0 0 1 3 1 0 3 1 0 3 1 , 0 0 3 2 0 0 2 2 3 0 0 1 3 1 3 3 3 1 -> 0 0 0 3 1 1 2 2 0 3 3 0 0 2 3 3 3 1 , 0 1 1 0 2 3 3 1 1 3 3 2 2 0 1 2 1 3 -> 1 1 1 3 2 0 3 1 2 3 1 0 2 1 0 3 3 2 , 0 1 1 2 1 2 0 0 3 3 0 1 3 2 0 1 3 3 -> 1 0 3 3 2 1 1 0 3 3 0 1 2 0 2 1 0 3 , 0 1 1 2 1 2 2 0 1 1 2 3 0 0 0 3 3 2 -> 0 1 0 3 3 2 2 3 0 1 1 0 1 1 0 2 2 2 , 0 1 1 2 2 1 0 1 3 2 1 3 3 2 3 2 1 3 -> 3 3 1 2 1 1 0 2 0 3 3 1 1 2 2 2 1 3 , 0 1 2 1 3 0 1 0 0 0 2 2 0 0 3 2 2 1 -> 0 1 3 0 2 1 0 2 2 0 1 0 3 1 0 0 2 2 , 0 1 3 0 2 3 0 2 2 2 2 3 0 1 0 3 3 3 -> 3 2 3 3 2 1 2 3 1 0 0 2 3 0 0 2 0 3 , 0 1 3 1 3 0 2 0 1 3 0 3 2 1 2 1 0 3 -> 3 2 0 1 1 0 3 2 1 1 3 1 0 0 3 2 0 3 , 0 1 3 3 3 0 1 1 0 3 2 2 2 0 3 0 2 2 -> 3 2 1 0 2 0 3 2 1 0 3 0 3 1 0 3 2 2 , 0 2 0 3 0 0 1 1 2 3 2 3 0 0 2 2 2 3 -> 0 2 2 2 0 0 3 3 2 0 0 3 1 2 3 1 0 2 , 0 2 3 0 1 0 0 0 3 2 0 0 0 2 1 0 1 2 -> 0 0 1 1 0 0 2 3 0 0 0 2 1 0 0 3 2 2 , 0 2 3 2 2 2 2 3 0 0 2 2 1 3 0 1 2 2 -> 0 2 2 1 1 2 0 0 2 3 2 2 2 0 2 3 3 2 , 0 2 3 3 0 0 1 0 0 1 1 1 3 2 0 2 1 3 -> 0 3 2 3 1 1 0 2 0 2 0 3 1 0 0 3 1 1 , 0 3 1 1 0 1 2 0 3 3 0 0 0 0 3 3 2 1 -> 0 0 0 3 3 1 0 3 1 1 0 0 3 3 2 0 2 1 , 0 3 3 1 2 1 1 2 1 0 0 0 1 0 3 2 2 3 -> 0 0 2 2 1 0 0 3 2 2 3 1 1 0 3 1 1 3 , 0 3 3 3 3 3 3 0 0 1 2 3 2 0 1 1 2 0 -> 0 0 3 3 1 2 3 1 3 2 3 3 1 2 0 3 0 0 , 1 0 0 2 2 2 1 2 1 1 2 3 3 3 3 1 2 2 -> 1 0 2 0 2 3 3 2 3 2 1 3 2 1 1 1 2 2 , 1 0 1 2 3 1 0 1 2 0 0 1 3 1 2 3 0 2 -> 3 2 1 2 0 3 1 1 3 2 0 0 1 1 0 1 0 2 , 1 0 1 3 3 1 0 0 0 0 1 2 3 0 3 0 2 3 -> 3 1 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0 2 1 0 1 1 2 3 2 3 1 1 0 0 2 2 , 2 0 1 2 0 0 1 2 3 1 2 1 2 2 1 1 3 3 -> 2 1 1 0 3 0 3 1 3 2 2 1 1 0 2 2 2 1 , 2 0 2 3 1 0 1 3 2 0 1 0 1 2 3 1 3 3 -> 2 3 1 0 2 1 1 1 3 0 2 3 1 3 0 0 3 2 , 2 0 2 3 3 0 1 2 0 0 1 2 0 0 3 2 3 2 -> 2 2 0 2 0 3 3 0 1 0 2 3 2 0 0 3 1 2 , 2 1 2 1 2 0 3 3 2 1 2 2 1 0 1 2 3 2 -> 2 1 1 1 3 2 2 1 0 2 2 2 0 1 3 2 3 2 , 2 1 3 0 1 1 0 1 2 3 0 1 3 0 0 0 1 2 -> 1 0 3 1 1 3 2 0 2 1 1 1 0 0 0 3 0 2 , 2 1 3 0 1 3 1 1 0 1 0 1 3 1 2 0 1 2 -> 2 1 3 1 0 1 1 1 0 1 3 1 1 0 2 3 0 2 , 2 2 1 0 1 3 0 2 3 2 3 3 0 1 1 2 0 1 -> 2 0 2 2 3 1 0 3 3 1 0 1 1 2 0 3 1 2 , 2 2 1 1 3 1 2 0 1 3 3 0 1 0 0 2 3 0 -> 2 2 3 3 3 2 1 3 1 0 0 2 0 0 1 1 1 0 , 2 2 1 3 0 1 0 1 2 0 3 3 2 2 0 2 2 3 -> 2 1 2 0 3 2 0 2 0 3 1 2 1 2 3 2 0 3 , 2 2 2 1 3 0 1 2 3 2 2 3 1 0 3 3 2 1 -> 2 1 1 2 3 0 3 2 3 2 0 2 2 1 3 3 2 1 , 2 2 2 1 3 0 2 0 0 2 0 0 1 0 2 0 0 0 -> 2 0 0 2 0 0 2 1 0 2 0 2 1 2 0 3 0 0 , 2 2 3 0 1 3 0 0 1 3 2 2 2 1 1 2 1 3 -> 2 3 1 0 2 0 2 1 2 1 1 2 2 0 3 3 1 3 , 2 2 3 1 1 0 1 3 3 1 0 3 2 0 0 0 1 0 -> 2 0 2 0 2 3 3 1 0 3 1 1 0 1 0 3 1 0 , 2 2 3 3 0 1 3 3 3 3 1 2 2 2 2 2 0 3 -> 2 2 3 3 3 1 3 2 0 2 3 3 2 1 2 2 0 3 , 2 2 3 3 3 1 3 1 2 2 1 2 3 1 3 0 0 1 -> 2 0 3 2 3 0 2 2 1 3 3 3 1 1 3 1 2 1 , 2 3 0 0 0 2 1 3 2 1 3 1 2 3 1 3 2 3 -> 2 3 2 3 2 2 1 1 1 0 3 0 3 2 0 3 1 3 , 2 3 0 1 2 3 2 0 1 3 0 1 2 0 3 1 1 3 -> 2 3 1 2 3 0 2 3 3 1 1 2 0 0 0 1 1 3 , 2 3 0 2 2 3 2 1 2 0 0 0 1 2 2 3 3 3 -> 2 3 2 3 2 0 0 0 2 2 1 0 1 3 2 2 3 3 , 2 3 3 2 1 2 0 1 1 2 2 0 1 3 1 0 1 2 -> 2 3 1 2 2 0 2 0 3 1 1 0 2 2 1 1 3 1 , 3 0 0 0 1 3 3 1 3 3 0 0 1 3 1 0 0 0 -> 3 3 0 3 0 3 0 0 1 1 3 0 3 1 0 0 1 0 , 3 0 1 0 3 3 0 3 0 1 2 2 3 3 0 0 3 2 -> 3 3 0 0 0 2 0 2 3 2 3 1 1 0 0 3 3 3 , 3 0 1 2 2 1 0 1 1 3 0 1 3 2 0 0 1 3 -> 3 1 1 0 0 0 3 1 0 1 1 3 2 0 3 2 2 1 , 3 0 1 2 2 1 1 0 2 3 3 3 3 1 3 3 1 3 -> 3 3 1 1 0 3 3 1 1 2 2 2 1 3 0 3 3 3 , 3 0 2 1 1 3 2 0 0 1 3 3 3 1 2 1 3 0 -> 3 1 0 2 1 1 3 3 3 2 2 1 0 0 3 3 1 0 , 3 0 3 3 1 2 2 2 2 0 1 2 2 3 3 0 0 2 -> 3 0 1 0 2 2 2 0 2 3 2 2 3 3 0 2 3 1 , 3 0 3 3 2 3 0 3 1 0 1 0 2 3 0 1 3 3 -> 3 3 1 1 0 0 3 0 3 3 1 3 2 0 2 3 0 3 , 3 1 3 1 3 0 1 3 2 0 0 3 3 0 3 2 1 2 -> 3 1 3 0 1 1 0 3 3 3 2 1 0 3 2 0 3 2 , 3 1 3 2 3 1 3 0 0 3 0 2 3 1 2 2 2 2 -> 3 3 2 3 0 3 1 3 2 1 1 0 2 2 3 2 0 2 , 3 1 3 3 0 0 1 1 0 1 1 3 2 1 3 3 1 2 -> 3 1 0 1 1 1 0 2 3 3 3 0 3 1 1 3 1 2 , 3 2 0 1 0 3 3 2 0 1 3 1 2 3 0 0 1 2 -> 3 2 3 0 3 2 0 3 1 1 3 2 1 0 0 1 0 2 , 3 2 2 0 1 3 3 3 0 1 3 3 1 1 0 2 3 0 -> 1 0 3 3 2 3 1 1 1 0 3 3 2 3 3 0 2 0 , 3 2 2 3 0 0 1 0 0 1 1 3 0 2 0 1 1 0 -> 1 2 2 0 3 0 0 1 1 0 3 0 3 1 1 0 2 0 , 3 2 3 0 2 3 3 0 0 1 2 2 0 0 1 3 0 3 -> 3 1 3 2 3 2 2 1 2 0 0 0 3 0 0 3 0 3 , 3 2 3 2 2 2 0 1 3 2 1 2 0 2 2 0 1 3 -> 3 2 2 1 3 1 2 0 2 2 0 3 1 2 2 0 3 2 , 3 3 2 0 1 3 2 3 0 1 3 1 2 3 0 3 2 3 -> 3 1 2 3 0 3 1 0 0 3 2 2 3 3 3 2 1 3 , 3 3 2 1 2 2 2 2 0 0 0 0 1 3 3 1 0 0 -> 3 1 0 3 1 2 3 2 0 0 0 0 2 3 2 1 2 0 , 3 3 2 1 3 3 0 1 3 2 2 0 3 3 1 2 2 3 -> 3 1 2 3 3 2 0 2 3 1 1 3 2 3 2 3 0 3 , 3 3 3 0 1 0 1 1 3 0 2 1 2 1 0 1 2 1 -> 1 1 0 2 3 3 1 1 1 0 3 2 0 1 3 0 2 1 , 3 3 3 0 1 2 2 0 1 2 1 0 0 1 0 1 3 0 -> 3 0 2 0 3 1 3 0 2 1 2 1 0 1 0 3 1 0 , 3 3 3 1 2 1 3 0 0 3 3 0 2 2 2 3 3 3 -> 3 0 3 3 3 3 3 0 2 2 1 2 3 2 1 0 3 3 , 3 3 3 2 2 0 3 3 3 2 0 0 0 0 1 2 2 2 -> 3 3 2 2 0 3 0 0 2 2 0 3 0 3 2 3 1 2 , 3 3 3 3 0 1 3 0 2 2 0 0 0 1 2 2 2 2 -> 3 3 3 3 0 1 3 0 0 2 1 0 2 2 2 0 2 2 , 0 1 2 3 ->= 0 1 2 3 } The system was reversed. After renaming modulo { 3->0, 1->1, 2->2, 0->3 }, it remains to prove termination of the 81-rule system { 0 1 2 3 1 1 3 0 1 1 2 1 2 1 3 3 3 3 -> 0 1 1 2 1 0 1 3 2 3 1 3 3 1 1 2 3 3 , 2 3 1 3 3 3 0 2 3 0 0 1 1 3 1 3 3 3 -> 3 3 2 3 2 3 1 3 0 3 1 1 0 1 0 3 3 3 , 2 0 2 1 1 0 3 3 3 0 0 0 0 2 2 1 3 3 -> 2 0 0 3 0 0 2 1 2 3 1 0 3 1 0 3 3 2 , 1 3 1 2 2 2 0 2 2 3 2 1 1 3 0 1 3 3 -> 1 2 1 1 1 0 3 2 2 3 2 0 2 1 2 3 3 3 , 3 1 0 1 0 2 3 3 0 3 3 3 0 1 0 1 3 3 -> 3 1 0 1 3 0 3 0 3 3 1 2 3 0 1 3 0 3 , 1 0 3 3 3 0 0 1 3 1 1 1 1 3 1 0 3 3 -> 1 0 3 1 0 3 1 0 1 3 3 3 1 1 1 0 3 3 , 1 0 0 0 1 0 1 3 3 0 2 2 3 3 2 0 3 3 -> 1 0 0 0 2 3 3 0 0 3 2 2 1 1 0 3 3 3 , 0 1 2 1 3 2 2 0 0 1 1 0 0 2 3 1 1 3 -> 2 0 0 3 1 2 3 1 0 2 1 0 3 2 0 1 1 1 , 0 0 1 3 2 0 1 3 0 0 3 3 2 1 2 1 1 3 -> 0 3 1 2 3 2 1 3 0 0 3 1 1 2 0 0 3 1 , 2 0 0 3 3 3 0 2 1 1 3 2 2 1 2 1 1 3 -> 2 2 2 3 1 1 3 1 1 3 0 2 2 0 0 3 1 3 , 0 1 2 0 2 0 0 1 2 0 1 3 1 2 2 1 1 3 -> 0 1 2 2 2 1 1 0 0 3 2 3 1 1 2 1 0 0 , 1 2 2 0 3 3 2 2 3 3 3 1 3 0 1 2 1 3 -> 2 2 3 3 1 0 3 1 3 2 2 3 1 2 3 0 1 3 , 0 0 0 3 1 3 0 2 2 2 2 3 0 2 3 0 1 3 -> 0 3 2 3 3 0 2 3 3 1 0 2 1 2 0 0 2 0 , 0 3 1 2 1 2 0 3 0 1 3 2 3 0 1 0 1 3 -> 0 3 2 0 3 3 1 0 1 1 2 0 3 1 1 3 2 0 , 2 2 3 0 3 2 2 2 0 3 1 1 3 0 0 0 1 3 -> 2 2 0 3 1 0 3 0 3 1 2 0 3 2 3 1 2 0 , 0 2 2 2 3 3 0 2 0 2 1 1 3 3 0 3 2 3 -> 2 3 1 0 2 1 0 3 3 2 0 0 3 3 2 2 2 3 , 2 1 3 1 2 3 3 3 2 0 3 3 3 1 3 0 2 3 -> 2 2 0 3 3 1 2 3 3 3 0 2 3 3 1 1 3 3 , 2 2 1 3 0 1 2 2 3 3 0 2 2 2 2 0 2 3 -> 2 0 0 2 3 2 2 2 0 2 3 3 2 1 1 2 2 3 , 0 1 2 3 2 0 1 1 1 3 3 1 3 3 0 0 2 3 -> 1 1 0 3 3 1 0 3 2 3 2 3 1 1 0 2 0 3 , 1 2 0 0 3 3 3 3 0 0 3 2 1 3 1 1 0 3 -> 1 2 3 2 0 0 3 3 1 1 0 3 1 0 0 3 3 3 , 0 2 2 0 3 1 3 3 3 1 2 1 1 2 1 0 0 3 -> 0 1 1 0 3 1 1 0 2 2 0 3 3 1 2 2 3 3 , 3 2 1 1 3 2 0 2 1 3 3 0 0 0 0 0 0 3 -> 3 3 0 3 2 1 0 0 2 0 1 0 2 1 0 0 3 3 , 2 2 1 0 0 0 0 2 1 1 2 1 2 2 2 3 3 1 -> 2 2 1 1 1 2 0 1 2 0 2 0 0 2 3 2 3 1 , 2 3 0 2 1 0 1 3 3 2 1 3 1 0 2 1 3 1 -> 2 3 1 3 1 1 3 3 2 0 1 1 0 3 2 1 2 0 , 0 2 3 0 3 0 2 1 3 3 3 3 1 0 0 1 3 1 -> 0 0 3 3 2 3 1 2 3 0 3 3 3 1 0 1 1 0 , 0 0 0 1 2 3 0 2 2 2 2 1 1 0 0 1 3 1 -> 0 3 2 0 0 2 2 1 1 3 1 0 0 2 2 0 1 1 , 0 1 0 2 2 1 0 1 0 1 3 3 3 1 2 0 3 1 -> 0 0 2 1 1 0 2 3 1 2 0 3 1 1 1 0 3 3 , 1 0 1 2 2 1 3 1 1 2 3 3 0 2 0 0 3 1 -> 1 2 3 3 2 0 1 0 3 2 0 1 0 1 2 3 1 1 , 0 2 3 1 0 0 1 3 0 0 1 1 2 1 2 0 1 1 -> 0 1 0 3 1 1 0 0 3 1 2 1 2 1 0 2 0 1 , 2 1 3 1 3 0 2 3 2 1 2 3 0 1 0 0 1 1 -> 2 2 2 2 3 3 0 1 1 1 0 3 3 1 0 0 1 1 , 2 1 1 3 3 2 2 1 3 1 2 2 2 3 2 3 2 1 -> 2 1 1 3 2 3 1 1 2 2 2 3 2 3 3 2 2 1 , 0 1 3 2 3 3 0 3 3 0 3 3 0 2 0 3 2 1 -> 0 3 2 3 0 0 3 3 3 2 2 0 3 3 0 3 1 1 , 2 2 0 2 1 3 3 0 1 0 2 0 0 3 1 2 2 1 -> 2 2 0 0 3 0 3 2 2 0 1 3 2 1 0 1 2 1 , 2 0 0 1 3 1 3 0 3 2 1 3 0 1 3 0 2 1 -> 2 3 3 1 0 3 1 2 1 0 2 1 1 0 3 3 0 0 , 2 0 3 3 3 3 0 0 2 3 2 0 2 2 1 3 0 1 -> 2 0 3 0 0 1 0 3 3 3 2 1 2 3 2 2 0 3 , 0 1 2 2 1 0 3 0 2 2 1 0 2 1 3 0 0 1 -> 0 1 2 2 1 0 0 2 3 2 1 0 0 1 2 3 0 1 , 2 1 1 0 1 2 1 1 1 3 3 3 0 2 2 0 0 1 -> 2 1 2 3 0 1 1 1 0 2 1 0 2 0 3 1 3 1 , 0 1 2 2 2 1 3 0 3 1 2 2 1 1 1 3 3 2 -> 2 2 3 3 1 1 0 2 0 2 1 1 3 1 2 3 1 2 , 0 0 1 1 2 2 1 2 1 0 2 1 3 3 2 1 3 2 -> 1 2 2 2 3 1 1 2 2 0 1 0 3 0 3 1 1 2 , 0 0 1 0 2 1 3 1 3 2 0 1 3 1 0 2 3 2 -> 2 0 3 3 0 1 0 2 3 0 1 1 1 2 3 1 0 2 , 2 0 2 0 3 3 2 1 3 3 2 1 3 0 0 2 3 2 -> 2 1 0 3 3 2 0 2 3 1 3 0 0 3 2 3 2 2 , 2 0 2 1 3 1 2 2 1 2 0 0 3 2 1 2 1 2 -> 2 0 2 0 1 3 2 2 2 3 1 2 2 0 1 1 1 2 , 2 1 3 3 3 0 1 3 0 2 1 3 1 1 3 0 1 2 -> 2 3 0 3 3 3 1 1 1 2 3 2 0 1 1 0 3 1 , 2 1 3 2 1 0 1 3 1 3 1 1 0 1 3 0 1 2 -> 2 3 0 2 3 1 1 0 1 3 1 1 1 3 1 0 1 2 , 1 3 2 1 1 3 0 0 2 0 2 3 0 1 3 1 2 2 -> 2 1 0 3 2 1 1 3 1 0 0 3 1 0 2 2 3 2 , 3 0 2 3 3 1 3 0 0 1 3 2 1 0 1 1 2 2 -> 3 1 1 1 3 3 2 3 3 1 0 1 2 0 0 0 2 2 , 0 2 2 3 2 2 0 0 3 2 1 3 1 3 0 1 2 2 -> 0 3 2 0 2 1 2 1 0 3 2 3 2 0 3 2 1 2 , 1 2 0 0 3 1 0 2 2 0 2 1 3 0 1 2 2 2 -> 1 2 0 0 1 2 2 3 2 0 2 0 3 0 2 1 1 2 , 3 3 3 2 3 1 3 3 2 3 3 2 3 0 1 2 2 2 -> 3 3 0 3 2 1 2 3 2 3 1 2 3 3 2 3 3 2 , 0 1 2 1 1 2 2 2 0 1 3 3 0 1 3 0 2 2 -> 0 1 0 0 3 2 2 1 1 2 1 2 3 2 3 1 0 2 , 3 1 3 3 3 2 0 3 1 0 0 1 3 1 1 0 2 2 -> 3 1 0 3 1 3 1 1 0 3 1 0 0 2 3 2 3 2 , 0 3 2 2 2 2 2 1 0 0 0 0 1 3 0 0 2 2 -> 0 3 2 2 1 2 0 0 2 3 2 0 1 0 0 0 2 2 , 1 3 3 0 1 0 2 1 2 2 1 0 1 0 0 0 2 2 -> 1 2 1 0 1 1 0 0 0 1 2 2 3 0 2 0 3 2 , 0 2 0 1 0 2 1 0 1 2 0 1 2 3 3 3 0 2 -> 0 1 0 3 2 0 3 0 3 1 1 1 2 2 0 2 0 2 , 0 1 1 0 3 2 1 3 0 1 3 2 0 2 1 3 0 2 -> 0 1 1 3 3 3 2 1 1 0 0 2 3 0 2 1 0 2 , 0 0 0 2 2 1 3 3 3 2 1 2 0 2 2 3 0 2 -> 0 0 2 2 0 1 3 1 2 2 3 3 3 2 0 2 0 2 , 2 1 3 1 0 1 3 2 2 1 1 3 2 1 2 0 0 2 -> 1 0 1 1 2 2 3 1 1 0 3 2 3 2 2 1 0 2 , 3 3 3 1 0 1 3 3 0 0 1 0 0 1 3 3 3 0 -> 3 1 3 3 1 0 3 0 1 1 3 3 0 3 0 3 0 0 , 2 0 3 3 0 0 2 2 1 3 0 3 0 0 3 1 3 0 -> 0 0 0 3 3 1 1 0 2 0 2 3 2 3 3 3 0 0 , 0 1 3 3 2 0 1 3 0 1 1 3 1 2 2 1 3 0 -> 1 2 2 0 3 2 0 1 1 3 1 0 3 3 3 1 1 0 , 0 1 0 0 1 0 0 0 0 2 3 1 1 2 2 1 3 0 -> 0 0 0 3 0 1 2 2 2 1 1 0 0 3 1 1 0 0 , 3 0 1 2 1 0 0 0 1 3 3 2 0 1 1 2 3 0 -> 3 1 0 0 3 3 1 2 2 0 0 0 1 1 2 3 1 0 , 2 3 3 0 0 2 2 1 3 2 2 2 2 1 0 0 3 0 -> 1 0 2 3 0 0 2 2 0 2 3 2 2 2 3 1 3 0 , 0 0 1 3 0 2 3 1 3 1 0 3 0 2 0 0 3 0 -> 0 3 0 2 3 2 0 1 0 0 3 0 3 3 1 1 0 0 , 2 1 2 0 3 0 0 3 3 2 0 1 3 0 1 0 1 0 -> 2 0 3 2 0 3 1 2 0 0 0 3 1 1 3 0 1 0 , 2 2 2 2 1 0 2 3 0 3 3 0 1 0 2 0 1 0 -> 2 3 2 0 2 2 3 1 1 2 0 1 0 3 0 2 0 0 , 2 1 0 0 1 2 0 1 1 3 1 1 3 3 0 0 1 0 -> 2 1 0 1 1 0 3 0 0 0 2 3 1 1 1 3 1 0 , 2 1 3 3 0 2 1 0 1 3 2 0 0 3 1 3 2 0 -> 2 3 1 3 3 1 2 0 1 1 0 3 2 0 3 0 2 0 , 3 0 2 3 1 1 0 0 1 3 0 0 0 1 3 2 2 0 -> 3 2 3 0 0 2 0 0 3 1 1 1 0 2 0 0 3 1 , 3 1 1 3 2 3 0 1 1 3 3 1 3 3 0 2 2 0 -> 3 2 3 1 1 0 3 0 3 1 1 3 3 0 3 2 2 1 , 0 3 0 1 3 3 2 2 1 3 3 0 0 2 3 0 2 0 -> 0 3 0 3 3 0 3 3 3 2 1 2 2 0 2 0 1 0 , 0 1 3 2 2 3 2 1 2 0 1 3 2 2 2 0 2 0 -> 2 0 3 2 2 1 0 3 2 2 3 2 1 0 1 2 2 0 , 0 2 0 3 0 2 1 0 1 3 0 2 0 1 3 2 0 0 -> 0 1 2 0 0 0 2 2 0 3 3 1 0 3 0 2 1 0 , 3 3 1 0 0 1 3 3 3 3 2 2 2 2 1 2 0 0 -> 3 2 1 2 0 2 3 3 3 3 2 0 2 1 0 3 1 0 , 0 2 2 1 0 0 3 2 2 0 1 3 0 0 1 2 0 0 -> 0 3 0 2 0 2 0 1 1 0 2 3 2 0 0 2 1 0 , 1 2 1 3 1 2 1 2 3 0 1 1 3 1 3 0 0 0 -> 1 2 3 0 1 3 2 0 3 1 1 1 0 0 2 3 1 1 , 3 0 1 3 1 3 3 1 2 1 3 2 2 1 3 0 0 0 -> 3 1 0 3 1 3 1 2 1 2 3 0 1 0 3 2 3 0 , 0 0 0 2 2 2 3 0 0 3 3 0 1 2 1 0 0 0 -> 0 0 3 1 2 0 2 1 2 2 3 0 0 0 0 0 3 0 , 2 2 2 1 3 3 3 3 2 0 0 0 3 2 2 0 0 0 -> 2 1 0 2 0 3 0 3 2 2 3 3 0 3 2 2 0 0 , 2 2 2 2 1 3 3 3 2 2 3 0 1 3 0 0 0 0 -> 2 2 3 2 2 2 3 1 2 3 3 0 1 3 0 0 0 0 , 0 2 1 3 ->= 0 2 1 3 } Applying context closure of depth 1 in the following form: System R over Sigma maps to { fold(xly) -> fold(xry) | l -> r in R, x,y in Sigma } over Sigma^2, where fold(a_1...a_n) = (a_1,a_2)...(a_{n-1},a_{n}) After renaming modulo { [0, 0]->0, [0, 1]->1, [1, 2]->2, [2, 3]->3, [3, 1]->4, [1, 1]->5, [1, 3]->6, [3, 0]->7, [2, 1]->8, [3, 3]->9, [1, 0]->10, [3, 2]->11, [0, 2]->12, [0, 3]->13, [2, 0]->14, [2, 2]->15 }, it remains to prove termination of the 1296-rule system { 0 1 2 3 4 5 6 7 1 5 2 8 2 8 6 9 9 9 7 -> 0 1 5 2 8 10 1 6 11 3 4 6 9 4 5 2 3 9 7 , 12 3 4 6 9 9 7 12 3 7 0 1 5 6 4 6 9 9 7 -> 13 9 11 3 11 3 4 6 7 13 4 5 10 1 10 13 9 9 7 , 12 14 12 8 5 10 13 9 9 7 0 0 0 12 15 8 6 9 7 -> 12 14 0 13 7 0 12 8 2 3 4 10 13 4 10 13 9 11 14 , 1 6 4 2 15 15 14 12 15 3 11 8 5 6 7 1 6 9 7 -> 1 2 8 5 5 10 13 11 15 3 11 14 12 8 2 3 9 9 7 , 13 4 10 1 10 12 3 9 7 13 9 9 7 1 10 1 6 9 7 -> 13 4 10 1 6 7 13 7 13 9 4 2 3 7 1 6 7 13 7 , 1 10 13 9 9 7 0 1 6 4 5 5 5 6 4 10 13 9 7 -> 1 10 13 4 10 13 4 10 1 6 9 9 4 5 5 10 13 9 7 , 1 10 0 0 1 10 1 6 9 7 12 15 3 9 11 14 13 9 7 -> 1 10 0 0 12 3 9 7 0 13 11 15 8 5 10 13 9 9 7 , 0 1 2 8 6 11 15 14 0 1 5 10 0 12 3 4 5 6 7 -> 12 14 0 13 4 2 3 4 10 12 8 10 13 11 14 1 5 5 10 , 0 0 1 6 11 14 1 6 7 0 13 9 11 8 2 8 5 6 7 -> 0 13 4 2 3 11 8 6 7 0 13 4 5 2 14 0 13 4 10 , 12 14 0 13 9 9 7 12 8 5 6 11 15 8 2 8 5 6 7 -> 12 15 15 3 4 5 6 4 5 6 7 12 15 14 0 13 4 6 7 , 0 1 2 14 12 14 0 1 2 14 1 6 4 2 15 8 5 6 7 -> 0 1 2 15 15 8 5 10 0 13 11 3 4 5 2 8 10 0 0 , 1 2 15 14 13 9 11 15 3 9 9 4 6 7 1 2 8 6 7 -> 12 15 3 9 4 10 13 4 6 11 15 3 4 2 3 7 1 6 7 , 0 0 0 13 4 6 7 12 15 15 15 3 7 12 3 7 1 6 7 -> 0 13 11 3 9 7 12 3 9 4 10 12 8 2 14 0 12 14 0 , 0 13 4 2 8 2 14 13 7 1 6 11 3 7 1 10 1 6 7 -> 0 13 11 14 13 9 4 10 1 5 2 14 13 4 5 6 11 14 0 , 12 15 3 7 13 11 15 15 14 13 4 5 6 7 0 0 1 6 7 -> 12 15 14 13 4 10 13 7 13 4 2 14 13 11 3 4 2 14 0 , 0 12 15 15 3 9 7 12 14 12 8 5 6 9 7 13 11 3 7 -> 12 3 4 10 12 8 10 13 9 11 14 0 13 9 11 15 15 3 7 , 12 8 6 4 2 3 9 9 11 14 13 9 9 4 6 7 12 3 7 -> 12 15 14 13 9 4 2 3 9 9 7 12 3 9 4 5 6 9 7 , 12 15 8 6 7 1 2 15 3 9 7 12 15 15 15 14 12 3 7 -> 12 14 0 12 3 11 15 15 14 12 3 9 11 8 5 2 15 3 7 , 0 1 2 3 11 14 1 5 5 6 9 4 6 9 7 0 12 3 7 -> 1 5 10 13 9 4 10 13 11 3 11 3 4 5 10 12 14 13 7 , 1 2 14 0 13 9 9 9 7 0 13 11 8 6 4 5 10 13 7 -> 1 2 3 11 14 0 13 9 4 5 10 13 4 10 0 13 9 9 7 , 0 12 15 14 13 4 6 9 9 4 2 8 5 2 8 10 0 13 7 -> 0 1 5 10 13 4 5 10 12 15 14 13 9 4 2 15 3 9 7 , 13 11 8 5 6 11 14 12 8 6 9 7 0 0 0 0 0 13 7 -> 13 9 7 13 11 8 10 0 12 14 1 10 12 8 10 0 13 9 7 , 12 15 8 10 0 0 0 12 8 5 2 8 2 15 15 3 9 4 10 -> 12 15 8 5 5 2 14 1 2 14 12 14 0 12 3 11 3 4 10 , 12 3 7 12 8 10 1 6 9 11 8 6 4 10 12 8 6 4 10 -> 12 3 4 6 4 5 6 9 11 14 1 5 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11 8 10 0 1 2 14 1 5 6 4 5 6 9 7 0 1 10 13 -> 11 8 10 1 5 10 13 7 0 0 12 3 4 5 5 6 4 10 13 , 11 8 6 9 7 12 8 10 1 6 11 14 0 13 4 6 11 14 13 -> 11 3 4 6 9 4 2 14 1 5 10 13 11 14 13 7 12 14 13 , 9 7 12 3 4 5 10 0 1 6 7 0 0 1 6 11 15 14 13 -> 9 11 3 7 0 12 14 0 13 4 5 5 10 12 14 0 13 4 6 , 9 4 5 6 11 3 7 1 5 6 9 4 6 9 7 12 15 14 13 -> 9 11 3 4 5 10 13 7 13 4 5 6 9 7 13 11 15 8 6 , 7 13 7 1 6 9 11 15 8 6 9 7 0 12 3 7 12 14 13 -> 7 13 7 13 9 7 13 9 9 11 8 2 15 14 12 14 1 10 13 , 7 1 6 11 15 3 11 8 2 14 1 6 11 15 15 14 12 14 13 -> 11 14 13 11 15 8 10 13 11 15 3 11 8 10 1 2 15 14 13 , 7 12 14 13 7 12 8 10 1 6 7 12 14 1 6 11 14 0 13 -> 7 1 2 14 0 0 12 15 14 13 9 4 10 13 7 12 8 10 13 , 9 9 4 10 0 1 6 9 9 9 11 15 15 15 8 2 14 0 13 -> 9 11 8 2 14 12 3 9 9 9 11 14 12 8 10 13 4 10 13 , 7 12 15 8 10 0 13 11 15 14 1 6 7 0 1 2 14 0 13 -> 7 13 7 12 14 12 14 1 5 10 12 3 11 14 0 12 8 10 13 , 4 2 8 6 4 2 8 2 3 7 1 5 6 4 6 7 0 0 13 -> 4 2 3 7 1 6 11 14 13 4 5 5 10 0 12 3 4 5 6 , 9 7 1 6 4 6 9 4 2 8 6 11 15 8 6 7 0 0 13 -> 9 4 10 13 4 6 4 2 8 2 3 7 1 10 13 11 3 7 13 , 7 0 0 12 15 15 3 7 0 13 9 7 1 2 8 10 0 0 13 -> 7 0 13 4 2 14 12 8 2 15 3 7 0 0 0 0 13 7 13 , 11 15 15 8 6 9 9 9 11 14 0 0 13 11 15 14 0 0 13 -> 11 8 10 12 14 13 7 13 11 15 3 9 7 13 11 15 14 0 13 , 11 15 15 15 8 6 9 9 11 15 3 7 1 6 7 0 0 0 13 -> 11 15 3 11 15 15 3 4 2 3 9 7 1 6 7 0 0 0 13 , 7 12 8 6 9 ->= 7 12 8 6 9 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 2: 0 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 1 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 2 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 3 is interpreted by / \ | 1 999 | | 0 1 | \ / 4 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 5 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 6 is interpreted by / \ | 1 4 | | 0 1 | \ / 7 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 8 is interpreted by / \ | 1 1000 | | 0 1 | \ / 9 is interpreted by / \ | 1 2 | | 0 1 | \ / 10 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 11 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 12 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 13 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 14 is interpreted by / \ | 1 1000 | | 0 1 | \ / 15 is interpreted by / \ | 1 1000 | | 0 1 | \ / After renaming modulo { 0->0, 12->1, 8->2, 6->3, 7->4, 4->5, 11->6, 9->7, 10->8, 14->9 }, it remains to prove termination of the 16-rule system { 0 1 2 3 4 ->= 0 1 2 3 4 , 0 1 2 3 5 ->= 0 1 2 3 5 , 0 1 2 3 6 ->= 0 1 2 3 6 , 0 1 2 3 7 ->= 0 1 2 3 7 , 8 1 2 3 4 ->= 8 1 2 3 4 , 8 1 2 3 5 ->= 8 1 2 3 5 , 8 1 2 3 6 ->= 8 1 2 3 6 , 8 1 2 3 7 ->= 8 1 2 3 7 , 9 1 2 3 4 ->= 9 1 2 3 4 , 9 1 2 3 5 ->= 9 1 2 3 5 , 9 1 2 3 6 ->= 9 1 2 3 6 , 9 1 2 3 7 ->= 9 1 2 3 7 , 4 1 2 3 4 ->= 4 1 2 3 4 , 4 1 2 3 5 ->= 4 1 2 3 5 , 4 1 2 3 6 ->= 4 1 2 3 6 , 4 1 2 3 7 ->= 4 1 2 3 7 } The system is trivially terminating.