YES After renaming modulo { 0->0, 1->1, 2->2, 3->3 }, it remains to prove termination of the 81-rule system { 0 0 0 0 1 0 1 2 2 2 0 3 2 0 2 3 0 3 -> 0 0 0 2 2 1 2 0 0 2 3 2 1 3 0 0 0 3 , 0 0 0 0 3 2 0 3 2 3 2 2 1 0 0 0 1 3 -> 0 0 3 2 1 0 3 0 0 0 2 3 2 2 0 0 1 3 , 0 0 0 1 2 0 1 3 2 1 2 2 0 0 3 2 1 1 -> 0 0 1 0 1 3 0 2 0 2 1 3 1 2 0 2 2 1 , 0 0 0 3 0 1 3 2 3 2 3 0 2 2 0 0 0 0 -> 0 3 0 2 0 0 3 0 2 3 0 0 2 3 0 2 1 0 , 0 0 1 1 3 0 0 0 0 3 3 0 0 2 3 2 0 3 -> 0 0 0 0 2 2 0 3 3 1 3 1 0 3 0 0 0 3 , 0 0 1 2 0 3 3 0 1 2 1 1 2 3 3 3 1 2 -> 0 1 0 2 3 1 3 1 3 2 1 1 3 0 2 3 0 2 , 0 0 3 2 1 2 0 3 2 0 2 0 3 3 2 2 1 0 -> 0 0 0 2 2 2 3 2 3 3 2 0 1 3 0 2 1 0 , 0 0 3 2 3 3 0 0 0 0 2 1 2 2 2 0 1 0 -> 0 0 2 0 2 2 2 1 0 3 0 3 2 0 3 0 1 0 , 0 1 0 2 3 1 3 0 2 0 1 2 2 3 3 3 3 3 -> 3 2 0 3 1 1 0 3 1 2 3 0 2 2 0 3 3 3 , 0 1 0 3 0 1 2 2 2 1 2 0 1 0 0 2 2 2 -> 0 2 2 2 1 0 0 1 2 1 0 2 0 0 2 2 3 1 , 0 1 0 3 2 0 1 1 2 2 1 1 2 3 3 1 0 3 -> 3 2 1 1 1 0 2 0 3 0 2 1 3 1 1 2 0 3 , 0 1 1 0 0 2 0 1 2 1 2 0 2 2 3 3 1 3 -> 0 1 0 2 3 1 0 2 1 2 0 0 2 3 2 1 1 3 , 0 1 1 1 3 3 0 1 2 0 2 1 2 1 2 3 0 0 -> 3 1 1 0 2 0 1 2 2 1 0 3 1 3 1 0 2 0 , 0 1 1 3 0 1 2 1 0 1 2 0 3 0 1 1 2 1 -> 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 2 1 2 3 0 3 2 1 , 0 1 2 0 1 0 1 0 1 2 1 3 2 0 2 1 3 2 -> 0 1 2 1 2 3 2 0 3 0 1 1 1 0 2 0 2 1 , 0 1 2 1 3 1 3 3 2 1 1 1 2 2 3 2 1 1 -> 0 2 3 3 1 1 2 2 1 2 1 1 3 2 1 3 1 1 , 0 1 3 0 0 3 2 2 3 2 0 3 1 0 0 0 0 0 -> 0 2 0 3 1 0 2 1 3 3 0 3 0 0 2 0 0 0 , 0 2 2 3 1 0 1 2 3 3 3 1 1 1 0 3 2 0 -> 3 1 2 0 0 3 1 0 3 2 2 3 1 3 1 1 2 0 , 0 2 3 0 0 0 1 3 0 0 0 1 1 2 3 3 2 1 -> 3 2 3 0 0 3 0 2 1 0 0 3 1 2 1 0 0 1 , 0 3 0 2 1 0 1 2 0 1 2 3 1 3 1 2 0 1 -> 0 0 1 0 3 1 3 2 1 3 0 1 1 2 2 0 2 1 , 0 3 1 0 1 3 0 1 2 3 2 0 0 3 0 0 0 2 -> 0 3 3 0 0 1 0 0 2 0 3 1 2 0 0 3 1 2 , 0 3 2 0 1 3 0 3 2 0 1 2 1 0 2 1 0 2 -> 0 0 2 0 1 2 3 2 3 2 0 0 1 1 3 1 0 2 , 0 3 2 0 3 0 2 1 0 2 2 0 3 0 2 2 2 0 -> 0 3 0 2 2 2 0 2 0 0 2 2 2 3 0 3 1 0 , 0 3 3 1 2 3 2 2 0 3 3 1 1 0 1 2 3 0 -> 0 3 2 0 3 1 3 1 0 1 1 2 2 2 3 3 3 0 , 1 0 0 0 0 3 3 3 3 0 3 3 0 0 1 0 1 1 -> 1 0 0 0 0 3 0 0 3 0 3 3 3 1 0 1 3 1 , 1 0 0 1 0 1 0 0 2 3 2 3 1 0 3 2 2 0 -> 1 0 0 0 2 2 2 2 3 1 0 1 3 0 0 3 1 0 , 1 0 1 0 1 1 1 3 3 1 2 3 3 1 3 0 1 1 -> 1 1 1 1 0 1 3 0 2 3 1 3 3 0 3 1 1 1 , 1 0 2 1 2 0 1 1 0 1 1 3 0 1 2 1 3 1 -> 1 1 0 2 3 1 1 0 2 1 0 1 2 1 0 3 1 1 , 1 1 0 1 2 1 0 1 1 3 1 3 3 0 1 3 1 1 -> 1 3 1 2 3 0 1 1 1 0 3 0 3 1 1 1 1 1 , 1 1 0 1 2 2 3 1 2 1 3 3 3 0 0 1 3 0 -> 1 0 0 3 2 2 3 3 3 1 3 1 1 1 0 2 1 0 , 1 1 1 1 2 3 2 2 0 2 2 0 1 1 3 0 1 1 -> 1 1 1 1 2 1 0 3 2 3 1 2 0 2 1 0 2 1 , 1 1 1 2 2 3 1 3 0 1 3 0 1 3 1 3 1 2 -> 1 1 1 1 3 1 1 0 0 3 2 3 3 1 2 3 1 2 , 1 1 2 3 2 1 3 1 2 1 2 0 3 0 0 1 2 2 -> 1 1 0 2 2 2 0 1 0 3 2 3 1 2 2 1 3 1 , 1 2 1 2 1 2 0 1 2 0 1 3 2 0 0 1 2 0 -> 1 2 1 1 0 0 0 3 2 1 2 2 2 1 0 1 2 0 , 1 2 1 2 2 0 1 3 2 2 1 1 3 1 3 0 1 2 -> 1 3 1 1 0 2 3 1 2 1 2 2 3 2 1 0 2 1 , 1 2 1 2 2 3 1 0 3 0 1 3 2 0 3 0 0 2 -> 1 2 1 0 3 0 3 2 1 0 3 2 1 2 3 0 0 2 , 1 2 3 3 1 2 3 1 3 3 2 0 1 0 0 0 3 2 -> 1 2 3 1 1 3 2 0 3 0 3 2 0 2 3 0 3 1 , 1 3 0 0 2 0 0 2 1 3 2 1 1 3 1 2 0 2 -> 1 3 1 1 0 3 2 2 3 1 0 0 2 0 2 1 0 2 , 1 3 0 2 1 1 0 0 1 3 0 3 2 3 2 3 0 1 -> 1 3 1 1 0 3 1 3 3 0 3 2 2 0 0 0 2 1 , 1 3 1 2 1 2 0 1 2 1 1 2 3 0 1 0 1 1 -> 1 2 3 0 2 2 0 1 1 1 1 0 1 2 1 1 3 1 , 2 0 2 1 3 1 1 3 0 0 1 0 2 2 0 1 3 3 -> 2 0 0 2 2 1 3 3 2 1 1 0 3 1 0 0 1 3 , 2 1 0 1 2 2 1 3 3 3 2 0 2 1 2 1 2 3 -> 2 1 2 2 1 1 0 0 3 1 3 3 2 2 1 2 2 3 , 2 1 1 2 3 2 2 0 1 0 3 3 3 2 3 3 1 2 -> 2 1 1 0 3 2 2 2 2 2 3 3 1 3 0 3 3 1 , 2 1 1 3 2 2 0 2 2 2 3 0 1 2 1 2 3 2 -> 2 0 2 3 2 3 2 2 1 1 1 0 2 2 2 3 1 2 , 2 1 2 0 0 1 3 0 2 0 1 3 3 3 1 0 2 2 -> 2 1 1 0 2 2 3 1 3 3 0 2 0 0 1 0 3 2 , 2 1 2 0 2 1 2 2 3 0 3 3 2 2 2 2 2 2 -> 2 1 0 2 3 0 2 3 1 2 2 3 2 2 2 2 2 2 , 2 1 2 1 0 1 3 1 2 0 0 2 2 0 1 1 2 2 -> 2 1 1 3 0 2 1 1 1 2 2 0 0 1 2 2 0 2 , 2 1 3 2 1 2 0 1 2 1 3 1 2 0 1 0 3 2 -> 2 3 0 2 2 3 2 1 0 2 1 1 1 3 1 0 2 1 , 2 1 3 2 3 0 1 0 1 1 3 3 2 2 1 2 1 2 -> 2 0 1 1 1 2 3 2 3 1 3 1 1 2 0 2 3 2 , 2 2 1 3 0 2 2 0 3 2 0 1 3 1 2 2 2 3 -> 2 2 2 0 2 2 2 1 0 3 2 3 1 2 0 3 1 3 , 2 3 3 2 1 2 3 1 0 0 0 2 1 0 3 2 0 1 -> 2 3 0 0 2 2 3 3 1 0 0 3 1 0 2 2 1 1 , 3 0 0 0 3 3 0 0 3 2 0 0 1 3 3 3 3 1 -> 3 0 0 3 1 0 0 0 3 2 1 3 3 0 3 0 3 3 , 3 0 1 0 1 3 2 1 2 1 3 3 1 1 1 3 2 1 -> 3 1 1 1 1 2 3 2 2 1 0 3 1 3 1 0 1 3 , 3 0 1 0 2 3 0 3 0 0 1 3 3 1 1 2 3 3 -> 3 1 3 3 1 0 0 1 0 3 0 3 0 2 3 1 2 3 , 3 0 1 1 3 0 0 0 2 2 1 2 3 3 2 1 2 0 -> 0 3 2 2 1 3 0 2 0 3 3 1 2 2 1 1 0 0 , 3 0 1 2 0 1 3 0 2 1 2 0 1 2 0 2 3 3 -> 3 0 2 3 0 2 1 1 3 2 0 1 2 1 0 3 0 2 , 3 0 1 2 3 2 2 0 0 2 0 1 3 0 3 0 3 2 -> 0 3 1 0 3 0 0 2 0 0 3 2 3 1 2 3 2 2 , 3 0 1 3 3 3 0 1 1 2 3 3 3 1 1 3 2 2 -> 3 0 3 1 3 1 2 2 0 3 2 3 3 1 1 1 3 3 , 3 0 3 0 1 1 0 2 3 3 0 1 2 1 3 2 0 1 -> 3 0 3 1 2 3 3 1 1 0 0 2 1 2 0 0 3 1 , 3 0 3 3 0 0 3 0 1 1 1 3 2 3 1 0 3 1 -> 3 0 3 1 1 3 2 1 0 0 0 1 3 3 3 0 3 1 , 3 1 3 1 3 2 0 0 3 2 3 0 1 0 1 3 1 1 -> 3 1 2 1 0 0 0 3 3 1 3 1 1 0 3 1 2 3 , 3 2 0 1 0 2 3 3 2 0 2 0 1 2 3 2 3 2 -> 3 2 2 1 2 0 2 1 3 3 3 3 0 0 2 0 2 2 , 3 2 0 1 2 3 0 0 1 3 0 1 2 1 1 3 2 3 -> 0 0 2 0 3 1 2 1 2 3 0 3 2 3 1 1 1 3 , 3 2 0 3 1 3 3 2 1 2 2 2 3 0 1 2 0 2 -> 3 2 1 3 2 0 2 2 2 0 2 3 1 2 3 0 3 1 , 3 2 1 2 3 0 2 1 3 2 0 1 2 3 3 3 2 3 -> 3 0 2 3 1 3 1 3 2 1 3 2 2 2 0 2 3 3 , 3 2 2 2 0 1 3 2 0 2 0 2 3 0 1 2 1 2 -> 3 2 2 2 0 2 2 3 0 2 1 2 2 0 3 1 1 0 , 3 2 3 0 1 0 3 0 2 3 2 0 1 1 0 3 3 2 -> 0 2 3 2 3 0 3 1 3 1 0 0 2 0 2 3 3 1 , 3 2 3 1 0 2 0 1 2 1 0 1 2 3 1 1 3 0 -> 3 1 1 3 1 1 3 1 3 2 0 2 0 2 1 0 2 0 , 3 3 0 1 1 2 0 1 0 0 3 0 3 3 2 2 3 0 -> 3 1 1 3 3 0 0 3 2 3 3 1 0 2 0 0 2 0 , 3 3 0 1 2 0 1 2 3 0 0 0 0 2 3 3 3 2 -> 0 2 0 0 3 3 0 2 3 3 3 1 2 0 0 2 3 1 , 3 3 0 1 3 1 1 0 1 3 2 1 3 0 3 3 2 0 -> 3 0 2 2 3 1 1 3 3 0 1 0 3 1 3 3 1 0 , 3 3 0 2 2 3 0 2 1 2 3 2 1 0 1 2 1 2 -> 3 0 2 2 2 2 1 1 2 3 1 2 0 3 3 1 0 2 , 3 3 0 3 2 0 3 3 1 3 1 1 0 3 3 0 0 1 -> 3 1 0 3 1 3 1 1 0 3 3 3 0 2 0 3 0 3 , 3 3 1 0 0 1 2 3 3 0 1 2 1 1 2 1 1 1 -> 1 1 1 1 3 0 3 1 0 2 3 1 2 3 2 0 1 1 , 3 3 1 1 1 0 1 0 3 3 1 3 1 3 2 0 3 2 -> 3 3 1 0 3 2 1 1 1 3 3 3 0 2 1 0 3 1 , 3 3 1 2 2 3 0 3 0 1 2 1 0 1 2 0 0 2 -> 0 2 0 2 1 0 0 3 3 1 2 3 2 1 0 2 1 3 , 3 3 1 2 3 3 0 2 1 0 1 0 0 1 0 1 3 2 -> 0 1 0 2 0 3 0 3 1 3 1 2 1 2 0 3 1 3 , 3 3 2 0 0 0 1 1 2 3 1 0 3 2 3 2 2 2 -> 3 1 1 1 0 2 0 2 3 3 0 2 3 0 3 2 2 2 , 3 3 3 0 1 1 0 1 3 2 1 1 3 0 0 3 3 3 -> 3 1 3 0 1 3 1 2 3 0 1 0 0 3 1 3 3 3 , 3 3 3 0 1 3 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 -> 3 3 1 1 1 0 0 0 1 0 0 3 1 1 0 1 0 3 , 0 1 2 3 ->= 0 1 2 3 } Applying context closure of depth 1 in the following form: System R over Sigma maps to { fold(xly) -> fold(xry) | l -> r in R, x,y in Sigma } over Sigma^2, where fold(a_1...a_n) = (a_1,a_2)...(a_{n-1},a_{n}) After renaming modulo { [0, 0]->0, [0, 1]->1, [1, 0]->2, [1, 2]->3, [2, 2]->4, [2, 0]->5, [0, 3]->6, [3, 2]->7, [0, 2]->8, [2, 3]->9, [3, 0]->10, [2, 1]->11, [1, 3]->12, [1, 1]->13, [3, 1]->14, [3, 3]->15 }, it remains to prove termination of the 1296-rule system { 0 0 0 0 1 2 1 3 4 4 5 6 7 5 8 9 10 6 10 -> 0 0 0 8 4 11 3 5 0 8 9 7 11 12 10 0 0 6 10 , 0 0 0 0 6 7 5 6 7 9 7 4 11 2 0 0 1 12 10 -> 0 0 6 7 11 2 6 10 0 0 8 9 7 4 5 0 1 12 10 , 0 0 0 1 3 5 1 12 7 11 3 4 5 0 6 7 11 13 2 -> 0 0 1 2 1 12 10 8 5 8 11 12 14 3 5 8 4 11 2 , 0 0 0 6 10 1 12 7 9 7 9 10 8 4 5 0 0 0 0 -> 0 6 10 8 5 0 6 10 8 9 10 0 8 9 10 8 11 2 0 , 0 0 1 13 12 10 0 0 0 6 15 10 0 8 9 7 5 6 10 -> 0 0 0 0 8 4 5 6 15 14 12 14 2 6 10 0 0 6 10 , 0 0 1 3 5 6 15 10 1 3 11 13 3 9 15 15 14 3 5 -> 0 1 2 8 9 14 12 14 12 7 11 13 12 10 8 9 10 8 5 , 0 0 6 7 11 3 5 6 7 5 8 5 6 15 7 4 11 2 0 -> 0 0 0 8 4 4 9 7 9 15 7 5 1 12 10 8 11 2 0 , 0 0 6 7 9 15 10 0 0 0 8 11 3 4 4 5 1 2 0 -> 0 0 8 5 8 4 4 11 2 6 10 6 7 5 6 10 1 2 0 , 0 1 2 8 9 14 12 10 8 5 1 3 4 9 15 15 15 15 10 -> 6 7 5 6 14 13 2 6 14 3 9 10 8 4 5 6 15 15 10 , 0 1 2 6 10 1 3 4 4 11 3 5 1 2 0 8 4 4 5 -> 0 8 4 4 11 2 0 1 3 11 2 8 5 0 8 4 9 14 2 , 0 1 2 6 7 5 1 13 3 4 11 13 3 9 15 14 2 6 10 -> 6 7 11 13 13 2 8 5 6 10 8 11 12 14 13 3 5 6 10 , 0 1 13 2 0 8 5 1 3 11 3 5 8 4 9 15 14 12 10 -> 0 1 2 8 9 14 2 8 11 3 5 0 8 9 7 11 13 12 10 , 0 1 13 13 12 15 10 1 3 5 8 11 3 11 3 9 10 0 0 -> 6 14 13 2 8 5 1 3 4 11 2 6 14 12 14 2 8 5 0 , 0 1 13 12 10 1 3 11 2 1 3 5 6 10 1 13 3 11 2 -> 0 1 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12 10 6 15 7 5 6 -> 15 10 8 4 9 14 13 12 15 10 1 2 6 14 12 15 14 2 6 , 15 15 10 8 4 9 10 8 11 3 9 7 11 2 1 3 11 3 9 -> 15 10 8 4 4 4 11 13 3 9 14 3 5 6 15 14 2 8 9 , 15 15 10 6 7 5 6 15 14 12 14 13 2 6 15 10 0 1 12 -> 15 14 2 6 14 12 14 13 2 6 15 15 10 8 5 6 10 6 15 , 15 15 14 2 0 1 3 9 15 10 1 3 11 13 3 11 13 13 12 -> 14 13 13 13 12 10 6 14 2 8 9 14 3 9 7 5 1 13 12 , 15 15 14 13 13 2 1 2 6 15 14 12 14 12 7 5 6 7 9 -> 15 15 14 2 6 7 11 13 13 12 15 15 10 8 11 2 6 14 12 , 15 15 14 3 4 9 10 6 10 1 3 11 2 1 3 5 0 8 9 -> 10 8 5 8 11 2 0 6 15 14 3 9 7 11 2 8 11 12 15 , 15 15 14 3 9 15 10 8 11 2 1 2 0 1 2 1 12 7 9 -> 10 1 2 8 5 6 10 6 14 12 14 3 11 3 5 6 14 12 15 , 15 15 7 5 0 0 1 13 3 9 14 2 6 7 9 7 4 4 9 -> 15 14 13 13 2 8 5 8 9 15 10 8 9 10 6 7 4 4 9 , 15 15 15 10 1 13 2 1 12 7 11 13 12 10 0 6 15 15 15 -> 15 14 12 10 1 12 14 3 9 10 1 2 0 6 14 12 15 15 15 , 15 15 15 10 1 12 10 1 13 2 0 1 2 1 2 1 2 1 12 -> 15 15 14 13 13 2 0 0 1 2 0 6 14 13 2 1 2 6 15 , 10 1 3 9 15 ->= 10 1 3 9 15 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 2: 0 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 1 is interpreted by / \ | 1 16 | | 0 1 | \ / 2 is interpreted by / \ | 1 2 | | 0 1 | \ / 3 is interpreted by / \ | 1 10 | | 0 1 | \ / 4 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 5 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 6 is interpreted by / \ | 1 2 | | 0 1 | \ / 7 is interpreted by / \ | 1 9 | | 0 1 | \ / 8 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 9 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 10 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 11 is interpreted by / \ | 1 2 | | 0 1 | \ / 12 is interpreted by / \ | 1 5 | | 0 1 | \ / 13 is interpreted by / \ | 1 6 | | 0 1 | \ / 14 is interpreted by / \ | 1 2 | | 0 1 | \ / 15 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / After renaming modulo { 0->0, 1->1, 3->2, 9->3, 10->4, 14->5, 7->6, 15->7, 2->8, 5->9 }, it remains to prove termination of the 16-rule system { 0 1 2 3 4 ->= 0 1 2 3 4 , 0 1 2 3 5 ->= 0 1 2 3 5 , 0 1 2 3 6 ->= 0 1 2 3 6 , 0 1 2 3 7 ->= 0 1 2 3 7 , 8 1 2 3 4 ->= 8 1 2 3 4 , 8 1 2 3 5 ->= 8 1 2 3 5 , 8 1 2 3 6 ->= 8 1 2 3 6 , 8 1 2 3 7 ->= 8 1 2 3 7 , 9 1 2 3 4 ->= 9 1 2 3 4 , 9 1 2 3 5 ->= 9 1 2 3 5 , 9 1 2 3 6 ->= 9 1 2 3 6 , 9 1 2 3 7 ->= 9 1 2 3 7 , 4 1 2 3 4 ->= 4 1 2 3 4 , 4 1 2 3 5 ->= 4 1 2 3 5 , 4 1 2 3 6 ->= 4 1 2 3 6 , 4 1 2 3 7 ->= 4 1 2 3 7 } The system is trivially terminating.