YES After renaming modulo { 0->0, 3->1, 1->2, 2->3 }, it remains to prove termination of the 81-rule system { 0 0 0 0 1 0 1 2 1 2 3 3 2 1 2 0 0 3 -> 0 0 1 1 3 2 1 0 0 2 2 3 0 0 2 0 3 1 , 0 0 0 2 0 0 0 3 2 2 3 0 2 0 2 3 0 0 -> 0 2 0 2 2 0 0 3 2 2 0 0 3 0 3 0 0 0 , 0 0 0 1 0 1 0 2 3 2 0 0 0 2 3 1 1 1 -> 0 0 0 3 1 0 0 0 0 2 2 1 2 0 3 1 1 1 , 0 0 2 0 2 2 2 0 3 3 1 1 2 1 0 3 2 0 -> 0 0 2 2 2 1 1 1 3 2 2 0 0 2 3 0 3 0 , 0 0 2 2 2 1 3 3 3 2 1 3 1 0 0 0 0 0 -> 2 0 0 1 3 0 2 1 3 0 0 3 1 2 0 3 2 0 , 0 0 2 3 0 0 1 1 3 2 1 1 1 2 2 2 2 3 -> 0 0 1 1 2 0 3 1 3 2 2 1 2 2 2 1 3 0 , 0 0 2 3 0 2 0 2 2 0 2 3 3 1 1 2 3 3 -> 0 3 0 2 3 1 2 2 0 0 3 1 3 2 2 2 0 3 , 0 0 2 1 2 0 1 2 2 1 2 3 1 2 3 3 2 2 -> 0 1 0 3 2 0 1 3 2 2 3 2 1 2 1 2 2 2 , 0 0 2 1 3 2 0 0 1 3 1 2 1 0 0 3 0 0 -> 0 0 3 1 3 0 2 0 3 2 0 2 0 1 0 1 0 1 , 0 0 3 3 2 2 1 0 3 3 3 3 0 1 1 0 2 0 -> 0 3 3 2 2 0 3 1 0 0 3 0 3 2 1 3 1 0 , 0 0 3 1 1 1 0 0 2 2 3 3 0 1 3 1 1 0 -> 0 1 0 3 1 0 2 1 1 3 0 0 1 1 3 2 3 0 , 0 0 1 0 3 0 2 2 1 2 0 3 0 0 0 3 2 2 -> 0 1 2 0 1 3 0 2 0 2 0 0 3 0 2 3 0 2 , 0 0 1 0 1 2 3 0 1 0 1 2 0 0 2 0 2 1 -> 0 1 0 0 1 1 0 2 0 1 0 2 0 0 3 2 2 1 , 0 0 1 0 1 1 1 2 2 2 1 2 2 3 2 3 1 0 -> 0 1 1 2 3 2 1 0 1 1 3 0 2 2 0 2 2 1 , 0 0 1 3 2 1 2 1 1 0 2 3 0 0 0 3 0 3 -> 0 1 0 0 3 2 1 2 3 1 3 2 0 0 0 1 3 0 , 0 0 1 1 2 3 1 0 3 1 1 1 0 0 1 3 3 1 -> 1 0 1 1 3 0 3 1 3 0 1 2 1 1 3 0 0 1 , 0 2 3 1 0 3 2 3 1 0 0 1 0 2 0 2 1 0 -> 0 3 0 0 0 3 1 1 2 2 1 3 0 1 0 0 2 2 , 0 2 1 0 2 0 2 2 3 3 3 1 1 0 1 0 0 0 -> 0 3 2 0 0 1 3 0 0 1 1 1 2 2 0 2 3 0 , 0 3 3 1 3 1 3 3 3 3 3 1 1 0 0 0 0 1 -> 0 3 0 1 3 3 0 1 1 1 3 3 3 0 3 0 3 1 , 0 3 1 1 2 0 1 0 0 0 3 0 2 1 2 1 1 0 -> 0 1 0 1 1 3 1 3 1 0 0 0 0 2 2 2 1 0 , 0 1 0 1 3 3 0 1 1 2 0 0 1 0 1 0 2 0 -> 0 1 0 0 1 1 1 3 2 1 3 0 0 2 1 0 0 0 , 0 1 2 3 1 2 0 1 1 1 2 1 0 1 3 3 2 3 -> 2 0 1 2 0 1 1 1 1 3 1 3 1 3 0 3 2 2 , 0 1 1 1 2 3 0 0 1 3 0 2 3 2 1 0 3 0 -> 0 3 2 0 2 0 2 0 0 1 1 3 1 0 3 1 3 1 , 2 0 0 0 1 0 0 2 1 2 3 2 3 3 2 3 1 2 -> 2 1 0 0 0 1 3 2 3 2 0 0 2 1 3 3 2 2 , 2 0 3 1 2 1 3 3 1 2 3 0 2 0 1 0 0 0 -> 2 0 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1 3 2 1 1 0 3 0 1 1 2 2 1 3 0 2 , 2 1 0 0 2 3 1 1 3 1 2 2 1 2 0 1 2 3 -> 2 2 3 1 1 1 1 2 2 0 3 0 2 1 1 3 0 2 , 2 1 0 1 1 0 3 1 2 0 0 0 1 3 2 3 1 1 -> 2 1 0 3 0 0 1 2 0 3 2 0 3 1 1 1 1 1 , 2 1 2 2 2 3 0 3 2 3 0 1 1 2 3 3 1 2 -> 2 3 2 3 2 3 3 2 2 2 2 0 1 1 1 0 1 3 , 2 1 2 3 0 2 3 0 0 2 0 0 3 1 0 2 2 3 -> 2 1 3 3 0 3 2 0 2 0 0 2 3 0 2 2 1 0 , 2 1 2 3 3 3 0 1 1 3 2 0 1 1 0 0 1 0 -> 2 1 3 1 0 3 1 1 1 0 0 3 0 2 1 3 2 0 , 2 1 1 0 1 2 0 2 1 2 3 3 0 1 2 2 0 0 -> 2 1 3 0 1 0 0 0 1 3 2 1 2 2 2 2 1 0 , 3 0 0 0 0 1 2 3 3 0 1 0 3 0 1 2 1 3 -> 3 0 2 0 3 1 3 0 1 1 3 1 0 3 2 0 0 0 , 3 0 0 3 3 0 1 0 2 0 3 1 1 2 3 2 3 3 -> 3 0 2 3 3 1 0 1 1 3 0 2 3 3 2 0 3 0 , 3 0 0 1 0 1 2 2 3 3 3 3 1 3 0 0 1 0 -> 3 0 1 0 2 1 3 3 1 0 2 1 3 3 0 3 0 0 , 3 0 0 1 2 3 2 1 0 3 3 3 2 3 3 3 1 2 -> 3 2 0 1 3 3 2 3 1 3 3 0 1 3 3 0 2 2 , 3 0 2 2 3 2 2 3 3 2 2 3 2 3 3 0 0 3 -> 3 0 3 2 3 2 0 3 3 3 2 3 2 0 3 2 2 2 , 3 2 3 0 3 2 1 0 2 3 2 0 3 2 1 2 3 0 -> 3 2 3 1 2 0 2 0 0 3 2 2 1 3 0 3 2 3 , 3 3 0 2 3 1 1 0 1 3 3 3 0 1 1 2 2 1 -> 3 2 1 3 0 1 1 0 3 2 2 1 3 0 1 3 3 1 , 3 3 0 3 1 1 3 3 0 1 2 0 0 3 3 1 0 0 -> 3 3 0 0 1 1 3 1 3 1 3 0 3 0 0 0 2 3 , 3 3 2 2 1 0 0 1 3 1 2 3 2 0 0 3 2 3 -> 3 2 0 0 3 2 0 1 1 3 3 2 2 2 0 1 3 3 , 3 3 1 2 2 3 3 0 2 0 2 0 2 0 2 1 2 0 -> 3 0 2 0 2 2 0 1 3 2 2 0 3 3 1 2 2 0 , 3 3 1 2 3 3 3 2 3 0 2 1 3 3 1 1 0 0 -> 3 2 3 3 1 1 3 3 0 2 0 3 3 1 2 0 3 1 , 3 3 1 1 2 3 1 3 2 3 2 1 3 3 2 2 3 2 -> 3 2 2 2 3 3 1 3 1 1 1 3 2 3 2 3 3 2 , 3 3 1 1 1 1 1 2 3 0 2 2 2 3 1 2 3 2 -> 2 1 1 1 3 0 2 3 2 3 2 1 3 1 1 3 2 2 , 3 1 0 0 0 3 0 0 2 1 1 2 3 3 3 3 3 3 -> 3 2 3 3 1 0 0 1 0 1 3 0 0 3 3 2 3 3 , 3 1 0 0 1 0 0 1 0 3 3 3 3 1 3 0 1 0 -> 3 3 1 0 3 0 0 3 0 1 1 3 1 1 3 0 0 0 , 3 1 0 1 2 2 3 1 2 1 3 0 2 3 3 2 1 0 -> 3 2 2 0 2 3 2 1 1 1 3 3 0 3 2 1 1 0 , 3 1 2 2 3 0 3 0 1 3 3 1 2 3 3 1 0 0 -> 3 3 3 3 2 1 0 3 0 1 3 2 0 2 0 1 3 1 , 3 1 2 2 1 2 0 3 1 0 0 0 3 1 1 3 1 2 -> 3 1 1 3 0 3 2 0 1 1 0 1 2 0 2 3 1 2 , 3 1 3 1 0 0 0 1 1 3 3 3 3 1 3 3 0 3 -> 3 1 1 3 1 3 0 3 3 0 0 1 3 0 3 3 1 3 , 1 0 2 0 1 2 3 3 0 2 2 2 1 1 0 3 1 0 -> 0 1 1 3 2 0 0 3 1 1 2 2 0 2 2 1 3 0 , 1 0 2 3 3 1 0 2 3 2 1 2 1 1 1 2 2 1 -> 0 3 2 1 1 1 3 2 2 0 2 1 1 3 2 2 1 1 , 1 0 3 0 1 2 2 1 3 2 1 0 3 0 3 2 2 1 -> 2 1 1 3 0 0 0 2 1 1 3 0 2 2 3 2 3 1 , 1 0 3 0 1 1 0 0 3 3 0 2 0 1 1 2 1 2 -> 1 0 3 2 0 2 1 1 3 0 0 1 0 1 3 1 2 0 , 1 0 3 3 0 0 2 3 1 0 0 2 2 3 0 2 3 3 -> 3 1 0 3 1 2 2 0 3 0 3 2 2 0 0 3 0 3 , 1 2 3 0 2 3 0 1 2 3 2 0 0 3 0 1 0 3 -> 1 2 0 3 3 2 1 0 0 3 0 1 3 2 2 0 3 0 , 1 2 3 2 0 1 2 2 3 3 1 0 3 3 1 0 3 0 -> 1 2 2 2 3 3 3 0 1 3 0 1 3 1 3 0 0 2 , 1 2 1 0 1 0 1 3 3 1 0 3 1 2 3 2 0 3 -> 1 0 3 3 1 3 0 2 1 2 0 3 2 1 1 3 0 1 , 1 2 1 2 2 1 0 3 0 0 1 0 3 1 2 3 3 3 -> 1 2 1 2 0 1 1 3 2 3 2 3 0 3 1 3 0 0 , 1 2 1 2 2 1 1 1 3 2 3 1 0 3 2 3 1 0 -> 1 1 1 3 0 2 1 3 0 2 1 1 2 3 2 2 3 1 , 1 3 2 2 2 1 2 2 3 3 2 3 2 2 3 1 0 2 -> 1 3 2 2 2 2 2 0 1 3 3 3 2 3 1 2 2 2 , 1 3 3 1 0 0 1 0 0 3 1 0 2 2 2 2 1 0 -> 1 3 0 1 3 1 0 2 0 2 2 0 1 2 1 0 3 0 , 1 1 0 3 0 3 0 1 1 1 2 0 3 3 3 1 1 0 -> 1 3 3 2 0 1 3 0 0 3 1 1 3 1 1 0 0 1 , 1 1 0 3 2 3 3 0 0 2 1 3 0 0 2 3 1 0 -> 0 0 2 2 0 3 3 1 1 3 2 0 0 3 1 1 3 0 , 1 1 0 1 0 0 3 1 0 3 1 1 2 3 3 3 3 0 -> 1 1 0 0 1 3 1 3 0 0 0 3 1 3 2 3 1 3 , 1 1 2 2 1 2 0 2 1 2 3 1 1 1 2 2 1 0 -> 1 1 2 0 1 1 2 1 1 1 1 2 2 2 2 3 0 2 , 1 1 1 1 1 0 1 2 2 1 3 2 2 1 3 3 0 3 -> 1 1 2 0 2 3 1 3 0 2 2 1 1 1 1 3 1 3 , 0 2 3 1 ->= 0 2 3 1 } The system was reversed. After renaming modulo { 3->0, 0->1, 2->2, 1->3 }, it remains to prove termination of the 81-rule system { 0 1 1 2 3 2 0 0 2 3 2 3 1 3 1 1 1 1 -> 3 0 1 2 1 1 0 2 2 1 1 3 2 0 3 3 1 1 , 1 1 0 2 1 2 1 0 2 2 0 1 1 1 2 1 1 1 -> 1 1 1 0 1 0 1 1 2 2 0 1 1 2 2 1 2 1 , 3 3 3 0 2 1 1 1 2 0 2 1 3 1 3 1 1 1 -> 3 3 3 0 1 2 3 2 2 1 1 1 1 3 0 1 1 1 , 1 2 0 1 3 2 3 3 0 0 1 2 2 2 1 2 1 1 -> 1 0 1 0 2 1 1 2 2 0 3 3 3 2 2 2 1 1 , 1 1 1 1 1 3 0 3 2 0 0 0 3 2 2 2 1 1 -> 1 2 0 1 2 3 0 1 1 0 3 2 1 0 3 1 1 2 , 0 2 2 2 2 3 3 3 2 0 3 3 1 1 0 2 1 1 -> 1 0 3 2 2 2 3 2 2 0 3 0 1 2 3 3 1 1 , 0 0 2 3 3 0 0 2 1 2 2 1 2 1 0 2 1 1 -> 0 1 2 2 2 0 3 0 1 1 2 2 3 0 2 1 0 1 , 2 2 0 0 2 3 0 2 3 2 2 3 1 2 3 2 1 1 -> 2 2 2 3 2 3 2 0 2 2 0 3 1 2 0 1 3 1 , 1 1 0 1 1 3 2 3 0 3 1 1 2 0 3 2 1 1 -> 3 1 3 1 3 1 2 1 2 0 1 2 1 0 3 0 1 1 , 1 2 1 3 3 1 0 0 0 0 1 3 2 2 0 0 1 1 -> 1 3 0 3 2 0 1 0 1 1 3 0 1 2 2 0 0 1 , 1 3 3 0 3 1 0 0 2 2 1 1 3 3 3 0 1 1 -> 1 0 2 0 3 3 1 1 0 3 3 2 1 3 0 1 3 1 , 2 2 0 1 1 1 0 1 2 3 2 2 1 0 1 3 1 1 -> 2 1 0 2 1 0 1 1 2 1 2 1 0 3 1 2 3 1 , 3 2 1 2 1 1 2 3 1 3 1 0 2 3 1 3 1 1 -> 3 2 2 0 1 1 2 1 3 1 2 1 3 3 1 1 3 1 , 1 3 0 2 0 2 2 3 2 2 2 3 3 3 1 3 1 1 -> 3 2 2 1 2 2 1 0 3 3 1 3 2 0 2 3 3 1 , 0 1 0 1 1 1 0 2 1 3 3 2 3 2 0 3 1 1 -> 1 0 3 1 1 1 2 0 3 0 2 3 2 0 1 1 3 1 , 3 0 0 3 1 1 3 3 3 0 1 3 0 2 3 3 1 1 -> 3 1 1 0 3 3 2 3 1 0 3 0 1 0 3 3 1 3 , 1 3 2 1 2 1 3 1 1 3 0 2 0 1 3 0 2 1 -> 2 2 1 1 3 1 0 3 2 2 3 3 0 1 1 1 0 1 , 1 1 1 3 1 3 3 0 0 0 2 2 1 2 1 3 2 1 -> 1 0 2 1 2 2 3 3 3 1 1 0 3 1 1 2 0 1 , 3 1 1 1 1 3 3 0 0 0 0 0 3 0 3 0 0 1 -> 3 0 1 0 1 0 0 0 3 3 3 1 0 0 3 1 0 1 , 1 3 3 2 3 2 1 0 1 1 1 3 1 2 3 3 0 1 -> 1 3 2 2 2 1 1 1 1 3 0 3 0 3 3 1 3 1 , 1 2 1 3 1 3 1 1 2 3 3 1 0 0 3 1 3 1 -> 1 1 1 3 2 1 1 0 3 2 0 3 3 3 1 1 3 1 , 0 2 0 0 3 1 3 2 3 3 3 1 2 3 0 2 3 1 -> 2 2 0 1 0 3 0 3 0 3 3 3 3 1 2 3 1 2 , 1 0 1 3 2 0 2 1 0 3 1 1 0 2 3 3 3 1 -> 3 0 3 0 1 3 0 3 3 1 1 2 1 2 1 2 0 1 , 2 3 0 2 0 0 2 0 2 3 2 1 1 3 1 1 1 2 -> 2 2 0 0 3 2 1 1 2 0 2 0 3 1 1 1 3 2 , 1 1 1 3 1 2 1 0 2 3 0 0 3 2 3 0 1 2 -> 1 1 2 0 1 1 0 2 1 3 0 3 2 0 3 3 1 2 , 1 3 1 3 1 0 2 2 3 2 3 1 3 0 1 3 1 2 -> 3 2 0 1 2 3 3 1 3 1 3 1 3 0 1 2 1 2 , 2 3 2 3 3 1 2 2 0 1 3 0 1 3 3 3 1 2 -> 2 1 0 3 0 3 3 3 1 1 3 1 2 2 2 3 3 2 , 0 1 0 3 2 3 1 3 0 1 1 3 0 2 0 2 2 2 -> 0 2 2 3 3 1 0 3 0 1 0 1 0 1 3 2 2 2 , 3 3 1 0 0 2 1 3 1 1 2 0 1 3 2 0 2 2 -> 3 2 0 1 2 1 0 0 1 2 3 3 1 2 0 3 1 2 , 2 3 2 1 1 3 3 3 2 3 1 1 2 3 3 0 2 2 -> 2 1 2 2 1 3 3 3 1 2 2 3 3 3 0 1 3 2 , 2 3 3 1 1 0 2 2 1 0 2 1 2 2 1 1 0 2 -> 0 0 3 3 2 1 0 1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 , 1 0 1 3 0 0 2 3 2 3 3 1 3 2 1 2 0 2 -> 1 2 2 1 0 3 3 0 2 0 3 1 1 0 3 3 2 2 , 1 3 3 0 3 0 0 3 0 1 3 2 1 0 0 2 0 2 -> 1 2 0 3 3 0 0 0 3 3 2 0 0 1 3 1 0 2 , 0 2 2 1 0 3 0 1 0 0 1 3 1 3 0 2 0 2 -> 0 1 3 0 1 0 3 2 0 2 0 1 0 0 3 2 1 2 , 3 2 1 3 2 2 2 2 2 3 1 3 2 2 3 2 0 2 -> 3 2 2 2 2 0 3 2 2 3 3 2 3 1 2 2 1 2 , 3 3 3 1 3 2 3 3 2 3 1 3 2 0 3 0 0 2 -> 3 3 3 1 0 3 2 3 0 3 3 1 0 2 2 3 3 2 , 0 0 2 2 3 0 2 3 1 2 0 2 1 3 3 0 0 2 -> 1 2 2 2 0 0 0 2 1 0 0 2 3 3 0 3 3 2 , 1 3 0 3 1 0 2 3 2 3 2 2 1 3 2 3 0 2 -> 2 1 0 3 2 2 3 3 1 0 1 3 3 2 0 3 2 2 , 0 2 3 1 2 3 2 2 3 0 3 3 0 2 1 1 3 2 -> 2 1 0 3 3 2 1 0 1 2 2 3 3 3 3 0 2 2 , 3 3 0 2 0 3 1 1 1 2 3 0 1 3 3 1 3 2 -> 3 3 3 3 3 0 1 2 0 1 2 3 1 1 0 1 3 2 , 2 3 0 0 2 3 3 1 0 2 0 1 0 2 2 2 3 2 -> 0 3 1 3 3 3 1 2 2 2 2 0 0 2 0 2 0 2 , 0 2 2 1 3 0 1 1 2 1 1 0 2 1 0 2 3 2 -> 1 3 2 2 1 0 2 1 1 2 1 2 0 1 0 0 3 2 , 1 3 1 1 3 3 1 2 0 3 3 1 0 0 0 2 3 2 -> 1 2 0 3 2 1 0 1 1 3 3 3 0 1 3 0 3 2 , 1 1 2 2 3 1 0 0 2 3 2 1 2 3 1 3 3 2 -> 1 3 2 2 2 2 3 2 0 3 1 1 1 3 1 0 3 2 , 0 3 2 3 1 0 1 3 1 0 0 2 3 1 1 1 1 0 -> 1 1 1 2 0 1 3 0 3 3 1 0 3 0 1 2 1 0 , 0 0 2 0 2 3 3 0 1 2 1 3 1 0 0 1 1 0 -> 1 0 1 2 0 0 2 1 0 3 3 1 3 0 0 2 1 0 , 1 3 1 1 0 3 0 0 0 0 2 2 3 1 3 1 1 0 -> 1 1 0 1 0 0 3 2 1 3 0 0 3 2 1 3 1 0 , 2 3 0 0 0 2 0 0 0 1 3 2 0 2 3 1 1 0 -> 2 2 1 0 0 3 1 0 0 3 0 2 0 0 3 1 2 0 , 0 1 1 0 0 2 0 2 2 0 0 2 2 0 2 2 1 0 -> 2 2 2 0 1 2 0 2 0 0 0 1 2 0 2 0 1 0 , 1 0 2 3 2 0 1 2 0 2 1 3 2 0 1 0 2 0 -> 0 2 0 1 0 3 2 2 0 1 1 2 1 2 3 0 2 0 , 3 2 2 3 3 1 0 0 0 3 1 3 3 0 2 1 0 0 -> 3 0 0 3 1 0 3 2 2 0 1 3 3 1 0 3 2 0 , 1 1 3 0 0 1 1 2 3 1 0 0 3 3 0 1 0 0 -> 0 2 1 1 1 0 1 0 3 0 3 0 3 3 1 1 0 0 , 0 2 0 1 1 2 0 2 3 0 3 1 1 3 2 2 0 0 -> 0 0 3 1 2 2 2 0 0 3 3 1 2 0 1 1 2 0 , 1 2 3 2 1 2 1 2 1 2 1 0 0 2 2 3 0 0 -> 1 2 2 3 0 0 1 2 2 0 3 1 2 2 1 2 1 0 , 1 1 3 3 0 0 3 2 1 0 2 0 0 0 2 3 0 0 -> 3 0 1 2 3 0 0 1 2 1 0 0 3 3 0 0 2 0 , 2 0 2 2 0 0 3 2 0 2 0 3 0 2 3 3 0 0 -> 2 0 0 2 0 2 0 3 3 3 0 3 0 0 2 2 2 0 , 2 0 2 3 0 2 2 2 1 0 2 3 3 3 3 3 0 0 -> 2 2 0 3 3 0 3 2 0 2 0 2 1 0 3 3 3 2 , 0 0 0 0 0 0 2 3 3 2 1 1 0 1 1 1 3 0 -> 0 0 2 0 0 1 1 0 3 1 3 1 1 3 0 0 2 0 , 1 3 1 0 3 0 0 0 0 1 3 1 1 3 1 1 3 0 -> 1 1 1 0 3 3 0 3 3 1 0 1 1 0 1 3 0 0 , 1 3 2 0 0 2 1 0 3 2 3 0 2 2 3 1 3 0 -> 1 3 3 2 0 1 0 0 3 3 3 2 0 2 1 2 2 0 , 1 1 3 0 0 2 3 0 0 3 1 0 1 0 2 2 3 0 -> 3 0 3 1 2 1 2 0 3 1 0 1 3 2 0 0 0 0 , 2 3 0 3 3 0 1 1 1 3 0 1 2 3 2 2 3 0 -> 2 3 0 2 1 2 3 1 3 3 1 2 0 1 0 3 3 0 , 0 1 0 0 3 0 0 0 0 3 3 1 1 1 3 0 3 0 -> 0 3 0 0 1 0 3 1 1 0 0 1 0 3 0 3 3 0 , 1 3 0 1 3 3 2 2 2 1 0 0 2 3 1 2 1 3 -> 1 0 3 2 2 1 2 2 3 3 0 1 1 2 0 3 3 1 , 3 2 2 3 3 3 2 3 2 0 2 1 3 0 0 2 1 3 -> 3 3 2 2 0 3 3 2 1 2 2 0 3 3 3 2 0 1 , 3 2 2 0 1 0 1 3 2 0 3 2 2 3 1 0 1 3 -> 3 0 2 0 2 2 1 0 3 3 2 1 1 1 0 3 3 2 , 2 3 2 3 3 1 2 1 0 0 1 1 3 3 1 0 1 3 -> 1 2 3 0 3 1 3 1 1 0 3 3 2 1 2 0 1 3 , 0 0 2 1 0 2 2 1 1 3 0 2 1 1 0 0 1 3 -> 0 1 0 1 1 2 2 0 1 0 1 2 2 3 0 1 3 0 , 0 1 3 1 0 1 1 2 0 2 3 1 0 2 1 0 2 3 -> 1 0 1 2 2 0 3 1 0 1 1 3 2 0 0 1 2 3 , 1 0 1 3 0 0 1 3 0 0 2 2 3 1 2 0 2 3 -> 2 1 1 0 3 0 3 1 0 3 1 0 0 0 2 2 2 3 , 0 1 2 0 2 3 0 1 3 0 0 3 1 3 1 3 2 3 -> 3 1 0 3 3 2 0 1 2 3 2 1 0 3 0 0 1 3 , 0 0 0 2 3 0 1 3 1 1 0 1 3 2 2 3 2 3 -> 1 1 0 3 0 1 0 2 0 2 0 3 3 1 2 3 2 3 , 1 3 0 2 0 1 3 0 2 0 3 3 3 2 2 3 2 3 -> 3 0 2 2 0 2 3 3 2 1 0 3 2 1 0 3 3 3 , 2 1 3 0 2 2 0 2 0 0 2 2 3 2 2 2 0 3 -> 2 2 2 3 0 2 0 0 0 3 1 2 2 2 2 2 0 3 , 1 3 2 2 2 2 1 3 0 1 1 3 1 1 3 0 0 3 -> 1 0 1 3 2 3 1 2 2 1 2 1 3 0 3 1 0 3 , 1 3 3 0 0 0 1 2 3 3 3 1 0 1 0 1 3 3 -> 3 1 1 3 3 0 3 3 0 1 1 0 3 1 2 0 0 3 , 1 3 0 2 1 1 0 3 2 1 1 0 0 2 0 1 3 3 -> 1 0 3 3 0 1 1 2 0 3 3 0 0 1 2 2 1 1 , 1 0 0 0 0 2 3 3 0 1 3 0 1 1 3 1 3 3 -> 0 3 0 2 0 3 0 1 1 1 0 3 0 3 1 1 3 3 , 1 3 2 2 3 3 3 0 2 3 2 1 2 3 2 2 3 3 -> 2 1 0 2 2 2 2 3 3 3 3 2 3 3 1 2 3 3 , 0 1 0 0 3 2 2 0 3 2 2 3 1 3 3 3 3 3 -> 0 3 0 3 3 3 3 2 2 1 0 3 0 2 1 2 3 3 , 3 0 2 1 ->= 3 0 2 1 } Applying context closure of depth 1 in the following form: System R over Sigma maps to { fold(xly) -> fold(xry) | l -> r in R, x,y in Sigma } over Sigma^2, where fold(a_1...a_n) = (a_1,a_2)...(a_{n-1},a_{n}) After renaming modulo { [0, 0]->0, [0, 1]->1, [1, 1]->2, [1, 2]->3, [2, 3]->4, [3, 2]->5, [2, 0]->6, [0, 2]->7, [3, 1]->8, [1, 3]->9, [1, 0]->10, [0, 3]->11, [3, 0]->12, [2, 1]->13, [2, 2]->14, [3, 3]->15 }, it remains to prove termination of the 1296-rule system { 0 1 2 3 4 5 6 0 7 4 5 4 8 9 8 2 2 2 10 -> 11 12 1 3 13 2 10 7 14 13 2 9 5 6 11 15 8 2 10 , 1 2 10 7 13 3 13 10 7 14 6 1 2 2 3 13 2 2 10 -> 1 2 2 10 1 10 1 2 3 14 6 1 2 3 14 13 3 13 10 , 11 15 15 12 7 13 2 2 3 6 7 13 9 8 9 8 2 2 10 -> 11 15 15 12 1 3 4 5 14 13 2 2 2 9 12 1 2 2 10 , 1 3 6 1 9 5 4 15 12 0 1 3 14 14 13 3 13 2 10 -> 1 10 1 10 7 13 2 3 14 6 11 15 15 5 14 14 13 2 10 , 1 2 2 2 2 9 12 11 5 6 0 0 11 5 14 14 13 2 10 -> 1 3 6 1 3 4 12 1 2 10 11 5 13 10 11 8 2 3 6 , 0 7 14 14 14 4 15 15 5 6 11 15 8 2 10 7 13 2 10 -> 1 10 11 5 14 14 4 5 14 6 11 12 1 3 4 15 8 2 10 , 0 0 7 4 15 12 0 7 13 3 14 13 3 13 10 7 13 2 10 -> 0 1 3 14 14 6 11 12 1 2 3 14 4 12 7 13 10 1 10 , 7 14 6 0 7 4 12 7 4 5 14 4 8 3 4 5 13 2 10 -> 7 14 14 4 5 4 5 6 7 14 6 11 8 3 6 1 9 8 10 , 1 2 10 1 2 9 5 4 12 11 8 2 3 6 11 5 13 2 10 -> 11 8 9 8 9 8 3 13 3 6 1 3 13 10 11 12 1 2 10 , 1 3 13 9 15 8 10 0 0 0 1 9 5 14 6 0 1 2 10 -> 1 9 12 11 5 6 1 10 1 2 9 12 1 3 14 6 0 1 10 , 1 9 15 12 11 8 10 0 7 14 13 2 9 15 15 12 1 2 10 -> 1 10 7 6 11 15 8 2 10 11 15 5 13 9 12 1 9 8 10 , 7 14 6 1 2 2 10 1 3 4 5 14 13 10 1 9 8 2 10 -> 7 13 10 7 13 10 1 2 3 13 3 13 10 11 8 3 4 8 10 , 11 5 13 3 13 2 3 4 8 9 8 10 7 4 8 9 8 2 10 -> 11 5 14 6 1 2 3 13 9 8 3 13 9 15 8 2 9 8 10 , 1 9 12 7 6 7 14 4 5 14 14 4 15 15 8 9 8 2 10 -> 11 5 14 13 3 14 13 10 11 15 8 9 5 6 7 4 15 8 10 , 0 1 10 1 2 2 10 7 13 9 15 5 4 5 6 11 8 2 10 -> 1 10 11 8 2 2 3 6 11 12 7 4 5 6 1 2 9 8 10 , 11 12 0 11 8 2 9 15 15 12 1 9 12 7 4 15 8 2 10 -> 11 8 2 10 11 15 5 4 8 10 11 12 1 10 11 15 8 9 12 , 1 9 5 13 3 13 9 8 2 9 12 7 6 1 9 12 7 13 10 -> 7 14 13 2 9 8 10 11 5 14 4 15 12 1 2 2 10 1 10 , 1 2 2 9 8 9 15 12 0 0 7 14 13 3 13 9 5 13 10 -> 1 10 7 13 3 14 4 15 15 8 2 10 11 8 2 3 6 1 10 , 11 8 2 2 2 9 15 12 0 0 0 0 11 12 11 12 0 1 10 -> 11 12 1 10 1 10 0 0 11 15 15 8 10 0 11 8 10 1 10 , 1 9 15 5 4 5 13 10 1 2 2 9 8 3 4 15 12 1 10 -> 1 9 5 14 14 13 2 2 2 9 12 11 12 11 15 8 9 8 10 , 1 3 13 9 8 9 8 2 3 4 15 8 10 0 11 8 9 8 10 -> 1 2 2 9 5 13 2 10 11 5 6 11 15 15 8 2 9 8 10 , 0 7 6 0 11 8 9 5 4 15 15 8 3 4 12 7 4 8 10 -> 7 14 6 1 10 11 12 11 12 11 15 15 15 8 3 4 8 3 6 , 1 10 1 9 5 6 7 13 10 11 8 2 10 7 4 15 15 8 10 -> 11 12 11 12 1 9 12 11 15 8 2 3 13 3 13 3 6 1 10 , 7 4 12 7 6 0 7 6 7 4 5 13 2 9 8 2 2 3 6 -> 7 14 6 0 11 5 13 2 3 6 7 6 11 8 2 2 9 5 6 , 1 2 2 9 8 3 13 10 7 4 12 0 11 5 4 12 1 3 6 -> 1 2 3 6 1 2 10 7 13 9 12 11 5 6 11 15 8 3 6 , 1 9 8 9 8 10 7 14 4 5 4 8 9 12 1 9 8 3 6 -> 11 5 6 1 3 4 15 8 9 8 9 8 9 12 1 3 13 3 6 , 7 4 5 4 15 8 3 14 6 1 9 12 1 9 15 15 8 3 6 -> 7 13 10 11 12 11 15 15 8 2 9 8 3 14 14 4 15 5 6 , 0 1 10 11 5 4 8 9 12 1 2 9 12 7 6 7 14 14 6 -> 0 7 14 4 15 8 10 11 12 1 10 1 10 1 9 5 14 14 6 , 11 15 8 10 0 7 13 9 8 2 3 6 1 9 5 6 7 14 6 -> 11 5 6 1 3 13 10 0 1 3 4 15 8 3 6 11 8 3 6 , 7 4 5 13 2 9 15 15 5 4 8 2 3 4 15 12 7 14 6 -> 7 13 3 14 13 9 15 15 8 3 14 4 15 15 12 1 9 5 6 , 7 4 15 8 2 10 7 14 13 10 7 13 3 14 13 2 10 7 6 -> 0 0 11 15 5 13 10 1 2 3 13 3 13 3 13 3 14 14 6 , 1 10 1 9 12 0 7 4 5 4 15 8 9 5 13 3 6 7 6 -> 1 3 14 13 10 11 15 12 7 6 11 8 2 10 11 15 5 14 6 , 1 9 15 12 11 12 0 11 12 1 9 5 13 10 0 7 6 7 6 -> 1 3 6 11 15 12 0 0 11 15 5 6 0 1 9 8 10 7 6 , 0 7 14 13 10 11 12 1 10 0 1 9 8 9 12 7 6 7 6 -> 0 1 9 12 1 10 11 5 6 7 6 1 10 0 11 5 13 3 6 , 11 5 13 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5 6 11 5 14 4 8 10 1 9 15 -> 15 12 7 6 7 14 13 10 11 15 5 13 2 2 10 11 15 5 4 , 5 4 5 4 15 8 3 13 10 0 1 2 9 15 8 10 1 9 15 -> 8 3 4 12 11 8 9 8 2 10 11 15 5 13 3 6 1 9 15 , 12 0 7 13 10 7 14 13 2 9 12 7 13 2 10 0 1 9 15 -> 12 1 10 1 2 3 14 6 1 10 1 3 14 4 12 1 9 12 11 , 12 1 9 8 10 1 2 3 6 7 4 8 10 7 13 10 7 4 15 -> 8 10 1 3 14 6 11 8 10 1 2 9 5 6 0 1 3 4 15 , 8 10 1 9 12 0 1 9 12 0 7 14 4 8 3 6 7 4 15 -> 5 13 2 10 11 12 11 8 10 11 8 10 0 0 7 14 14 4 15 , 12 1 3 6 7 4 12 1 9 12 0 11 8 9 8 9 5 4 15 -> 15 8 10 11 15 5 6 1 3 4 5 13 10 11 12 0 1 9 15 , 12 0 0 7 4 12 1 9 8 2 10 1 9 5 14 4 5 4 15 -> 8 2 10 11 12 1 10 7 6 7 6 11 15 8 3 4 5 4 15 , 8 9 12 7 6 1 9 12 7 6 11 15 15 5 14 4 5 4 15 -> 15 12 7 14 6 7 4 15 5 13 10 11 5 13 10 11 15 15 15 , 5 13 9 12 7 14 6 7 6 0 7 14 4 5 14 14 6 11 15 -> 5 14 14 4 12 7 6 0 0 11 8 3 14 14 14 14 6 11 15 , 8 9 5 14 14 14 13 9 12 1 2 9 8 2 9 12 0 11 15 -> 8 10 1 9 5 4 8 3 14 13 3 13 9 12 11 8 10 11 15 , 8 9 15 12 0 0 1 3 4 15 15 8 10 1 10 1 9 15 15 -> 15 8 2 9 15 12 11 15 12 1 2 10 11 8 3 6 0 11 15 , 8 9 12 7 13 2 10 11 5 13 2 10 0 7 6 1 9 15 15 -> 8 10 11 15 12 1 2 3 6 11 15 12 0 1 3 14 13 2 9 , 8 10 0 0 0 7 4 15 12 1 9 12 1 2 9 8 9 15 15 -> 12 11 12 7 6 11 12 1 2 2 10 11 12 11 8 2 9 15 15 , 8 9 5 14 4 15 15 12 7 4 5 13 3 4 5 14 4 15 15 -> 5 13 10 7 14 14 14 4 15 15 15 5 4 15 8 3 4 15 15 , 12 1 10 0 11 5 14 6 11 5 14 4 8 9 15 15 15 15 15 -> 12 11 12 11 15 15 15 5 14 13 10 11 12 7 13 3 4 15 15 , 15 12 7 13 9 ->= 15 12 7 13 9 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 2: 0 is interpreted by / \ | 1 3 | | 0 1 | \ / 1 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 2 is interpreted by / \ | 1 2 | | 0 1 | \ / 3 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 4 is interpreted by / \ | 1 2 | | 0 1 | \ / 5 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 6 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 7 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 8 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 9 is interpreted by / \ | 1 3 | | 0 1 | \ / 10 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 11 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 12 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 13 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 14 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 15 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / After renaming modulo { 11->0, 12->1, 7->2, 13->3, 10->4, 2->5, 3->6, 9->7, 4->8, 15->9 }, it remains to prove termination of the 16-rule system { 0 1 2 3 4 ->= 0 1 2 3 4 , 0 1 2 3 5 ->= 0 1 2 3 5 , 0 1 2 3 6 ->= 0 1 2 3 6 , 0 1 2 3 7 ->= 0 1 2 3 7 , 7 1 2 3 4 ->= 7 1 2 3 4 , 7 1 2 3 5 ->= 7 1 2 3 5 , 7 1 2 3 6 ->= 7 1 2 3 6 , 7 1 2 3 7 ->= 7 1 2 3 7 , 8 1 2 3 4 ->= 8 1 2 3 4 , 8 1 2 3 5 ->= 8 1 2 3 5 , 8 1 2 3 6 ->= 8 1 2 3 6 , 8 1 2 3 7 ->= 8 1 2 3 7 , 9 1 2 3 4 ->= 9 1 2 3 4 , 9 1 2 3 5 ->= 9 1 2 3 5 , 9 1 2 3 6 ->= 9 1 2 3 6 , 9 1 2 3 7 ->= 9 1 2 3 7 } The system is trivially terminating.