YES After renaming modulo { 0->0, 1->1, 2->2, 3->3 }, it remains to prove termination of the 81-rule system { 0 0 0 1 2 2 0 1 1 3 1 3 0 0 0 0 3 2 -> 0 0 0 3 0 1 1 0 3 2 2 3 0 1 1 0 0 2 , 0 0 0 2 0 1 2 3 0 2 3 0 0 1 2 3 0 1 -> 0 2 3 0 0 3 2 1 2 0 0 0 2 3 0 1 0 1 , 0 0 1 2 3 3 1 0 2 2 0 2 3 2 1 3 1 3 -> 0 3 0 1 3 3 1 2 2 2 2 1 0 2 0 1 3 3 , 0 0 1 3 0 2 0 0 0 1 2 3 2 0 0 0 0 0 -> 0 0 0 0 2 0 0 0 3 1 2 1 0 2 3 0 0 0 , 0 0 2 3 1 3 3 0 1 3 0 1 3 3 0 3 2 0 -> 0 3 0 2 1 3 0 1 3 3 0 3 0 3 3 1 2 0 , 0 0 3 0 2 1 0 0 3 1 1 1 1 3 0 0 0 0 -> 0 0 0 1 2 3 1 3 1 0 1 0 1 0 3 0 0 0 , 0 0 3 2 3 3 0 0 0 3 0 0 0 0 3 3 3 0 -> 0 2 3 0 0 3 3 0 3 0 0 0 3 3 0 0 3 0 , 0 1 0 2 0 0 0 2 1 0 0 2 2 2 1 1 0 0 -> 0 1 1 0 2 0 2 2 0 0 2 2 0 1 0 1 0 0 , 0 1 1 0 0 3 1 3 0 1 0 0 1 2 2 1 3 1 -> 0 1 2 3 3 0 2 0 1 1 0 3 1 0 1 1 0 1 , 0 1 1 1 3 0 3 0 0 0 0 2 3 0 1 3 1 1 -> 0 1 3 1 3 0 0 1 0 3 0 3 0 2 0 1 1 1 , 0 1 2 1 0 0 1 0 1 3 2 1 3 0 0 0 0 2 -> 0 1 0 0 1 0 3 2 1 1 0 0 2 0 1 0 3 2 , 0 1 2 1 3 1 3 2 1 3 1 1 1 2 0 0 0 0 -> 0 1 1 1 0 3 3 1 0 1 0 3 1 2 2 2 1 0 , 0 2 2 1 1 3 0 1 0 2 0 0 0 2 2 1 2 1 -> 0 2 0 2 0 2 0 1 2 1 0 2 0 2 3 1 1 1 , 0 2 2 3 1 0 1 3 0 1 1 0 1 0 2 3 0 0 -> 0 2 3 0 2 0 2 1 0 3 0 1 1 3 1 0 1 0 , 0 3 2 1 2 3 1 1 2 3 2 3 3 1 3 2 3 0 -> 0 1 3 1 2 3 3 3 1 2 1 2 2 2 3 3 3 0 , 0 3 3 2 3 2 1 3 3 3 0 2 1 3 0 0 0 3 -> 0 3 3 0 3 2 0 3 3 2 1 0 0 3 1 2 3 3 , 1 0 2 0 0 0 2 3 1 3 1 1 2 3 2 0 2 3 -> 1 0 3 1 0 2 0 3 2 1 3 2 2 0 1 2 3 0 , 1 0 2 0 0 0 3 2 2 3 2 0 0 1 0 1 0 1 -> 1 0 2 2 0 1 0 2 0 3 2 0 0 1 0 3 0 1 , 1 1 0 1 1 2 2 2 3 0 1 3 3 0 2 1 2 3 -> 1 1 1 0 0 2 3 1 1 2 3 2 2 2 3 1 0 3 , 1 1 1 3 1 2 2 3 0 0 2 1 2 2 1 1 0 1 -> 1 0 1 1 2 2 3 1 0 1 1 0 2 2 1 2 3 1 , 1 1 2 2 2 1 1 2 3 1 3 1 3 2 3 2 2 1 -> 1 1 1 2 3 2 2 2 1 3 3 2 2 1 3 1 2 1 , 1 1 3 0 2 1 2 0 0 0 1 3 1 0 0 3 0 2 -> 1 0 2 0 3 1 1 0 1 0 3 3 0 2 1 0 0 2 , 1 2 1 2 0 2 3 2 2 3 0 2 0 1 1 1 0 0 -> 1 2 1 2 2 0 0 2 3 1 0 1 2 2 0 3 1 0 , 1 2 1 3 2 0 1 2 0 0 1 0 0 1 1 2 0 0 -> 1 0 1 1 2 0 1 0 2 1 0 1 0 2 0 3 2 0 , 1 2 2 0 0 0 0 1 3 2 1 3 1 1 3 1 1 1 -> 1 2 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0 2 0 3 1 2 0 0 2 0 3 0 3 1 0 0 , 2 0 1 2 1 2 3 1 1 1 1 1 3 0 0 1 1 1 -> 3 0 0 3 2 1 2 1 1 1 1 1 2 1 0 1 1 1 , 2 0 1 2 3 2 2 0 0 3 0 2 2 3 2 3 3 2 -> 3 2 2 0 3 2 0 1 2 0 3 2 2 0 3 2 3 2 , 2 0 1 3 0 1 2 0 3 2 2 3 1 3 0 1 1 3 -> 2 1 1 3 1 0 3 3 0 2 3 0 3 2 1 2 1 0 , 2 0 2 0 3 3 1 3 3 0 0 1 3 2 3 1 0 2 -> 2 0 3 1 1 3 0 2 1 0 3 3 2 3 0 3 0 2 , 2 0 2 1 0 0 3 0 1 3 0 3 3 2 1 1 2 0 -> 3 1 0 3 3 2 0 2 0 3 1 1 0 0 2 2 1 0 , 2 0 2 3 2 1 3 2 0 2 3 1 0 1 3 0 1 1 -> 3 2 1 1 1 0 1 0 3 2 3 2 0 2 2 0 3 1 , 2 1 0 0 2 1 0 2 2 1 1 3 0 0 2 0 1 3 -> 2 1 1 0 2 2 0 0 1 1 0 2 0 3 0 1 2 3 , 2 1 0 0 2 2 3 2 1 2 1 3 3 3 0 3 2 3 -> 2 3 0 3 1 3 3 2 0 3 2 1 2 2 2 1 0 3 , 2 1 1 0 3 2 3 2 0 0 2 1 1 2 1 3 2 3 -> 2 1 3 3 2 1 1 1 1 2 0 2 3 2 0 2 0 3 , 2 1 1 3 1 0 2 3 2 1 1 3 3 3 1 0 2 3 -> 2 1 1 2 1 2 1 3 0 3 3 3 1 0 1 2 3 3 , 2 1 2 1 1 1 1 3 0 0 0 0 3 1 3 3 3 2 -> 3 1 1 0 1 0 2 0 1 1 3 3 3 1 0 3 2 2 , 2 1 2 1 1 3 3 3 0 2 1 0 0 1 3 3 3 3 -> 1 2 0 3 2 1 0 2 0 3 3 3 1 1 1 3 3 3 , 2 1 3 3 3 2 3 0 0 2 2 2 1 0 0 0 0 1 -> 0 2 0 3 2 2 0 0 1 2 2 1 0 3 3 0 3 1 , 2 2 1 3 2 1 1 2 1 1 3 0 1 2 3 2 1 1 -> 2 0 1 1 3 3 2 1 2 1 2 2 1 1 3 1 2 1 , 2 2 3 0 0 2 0 0 3 2 0 1 0 0 0 2 3 0 -> 0 0 2 0 2 3 0 3 2 0 2 0 2 0 0 3 1 0 , 2 2 3 0 2 2 0 0 1 3 3 2 2 3 2 0 2 0 -> 2 3 0 2 3 0 1 0 2 2 2 3 2 2 0 3 2 0 , 2 2 3 3 3 1 1 3 3 0 3 1 1 0 0 0 0 3 -> 0 2 3 3 3 3 0 3 0 3 1 0 1 1 2 1 0 3 , 2 3 0 0 3 2 0 2 3 3 2 0 0 2 1 2 3 2 -> 2 2 1 3 2 0 2 2 3 3 0 3 2 0 3 0 0 2 , 2 3 2 1 3 3 3 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 -> 0 3 0 1 0 1 1 1 2 1 3 0 2 0 3 3 1 0 , 2 3 3 1 1 3 2 0 1 3 3 2 0 2 0 2 1 1 -> 2 3 3 2 1 2 2 1 0 3 3 2 1 0 3 1 0 1 , 2 3 3 3 3 0 0 0 2 1 3 0 2 3 0 0 2 3 -> 0 0 2 1 2 2 0 2 3 0 3 0 0 3 3 3 3 3 , 3 0 0 0 1 1 3 3 1 2 2 3 2 3 0 2 1 3 -> 3 1 2 3 3 0 0 1 2 0 2 2 3 0 3 1 1 3 , 3 0 0 0 3 0 3 2 3 3 0 2 1 2 3 2 1 3 -> 2 0 3 3 3 0 1 2 2 3 1 0 3 2 0 0 3 3 , 3 0 0 1 1 2 2 3 1 1 1 2 0 1 2 0 1 1 -> 3 1 3 2 0 2 1 1 1 0 1 1 2 2 1 0 0 1 , 3 0 0 1 1 2 3 3 0 0 1 1 3 0 2 2 0 0 -> 3 1 1 0 0 0 0 3 2 3 0 2 2 3 1 0 1 0 , 3 0 0 1 2 0 0 0 2 3 0 0 2 0 1 3 1 3 -> 3 0 0 0 0 0 0 1 0 0 2 1 2 1 3 2 3 3 , 3 0 1 3 1 3 0 1 3 0 0 1 2 1 3 3 3 3 -> 1 3 3 3 2 3 1 0 1 0 3 3 0 3 1 1 0 3 , 3 0 2 0 0 3 0 3 3 2 2 1 1 1 1 3 3 3 -> 0 3 3 3 1 2 2 1 2 0 3 3 0 1 1 0 3 3 , 3 0 2 1 1 3 2 2 3 0 3 1 2 3 2 1 3 1 -> 3 1 3 3 3 3 2 0 2 3 2 1 0 2 2 1 1 1 , 3 0 2 3 0 0 2 3 2 3 1 1 2 3 2 3 1 3 -> 3 2 2 0 3 2 0 0 3 1 3 2 2 3 1 1 3 3 , 3 1 1 2 0 2 0 2 3 1 3 3 0 0 1 3 0 0 -> 3 0 3 3 2 1 0 0 3 2 1 0 0 2 1 1 3 0 , 3 1 2 0 0 1 3 1 1 2 2 2 3 0 0 3 0 1 -> 1 2 0 0 2 3 2 1 0 3 1 0 2 0 3 1 3 1 , 3 1 2 3 3 0 1 3 0 0 3 3 0 3 0 2 1 3 -> 3 3 0 0 1 1 0 3 3 0 2 0 3 2 1 3 3 3 , 3 1 3 1 3 3 2 2 0 2 3 1 3 2 2 0 0 3 -> 3 2 2 0 1 0 3 3 3 3 1 2 0 2 1 2 3 3 , 3 1 3 2 1 1 3 2 3 2 1 3 0 0 2 3 0 3 -> 3 3 3 3 0 2 1 2 0 1 2 2 3 0 1 1 3 3 , 3 1 3 3 1 3 0 0 0 0 0 2 1 2 2 3 1 0 -> 1 1 3 2 1 0 3 0 2 3 0 2 0 3 3 0 1 0 , 3 2 0 1 0 2 0 0 3 1 1 2 1 3 3 2 3 3 -> 3 0 2 1 0 3 0 1 1 2 3 3 2 1 2 0 3 3 , 3 2 1 1 3 0 3 0 2 3 0 0 1 1 1 3 3 0 -> 3 1 0 2 3 1 0 2 1 1 0 0 3 3 3 3 1 0 , 3 2 2 3 2 1 3 2 3 1 2 0 0 3 0 0 3 2 -> 3 0 3 3 0 2 2 2 0 3 2 1 3 3 0 2 1 2 , 3 2 3 0 0 3 1 0 1 1 3 0 0 3 3 2 1 1 -> 3 1 1 0 1 0 3 0 3 3 1 2 3 2 0 3 0 1 , 3 2 3 3 3 3 0 1 3 2 1 0 2 3 2 3 3 3 -> 3 3 3 3 3 3 3 1 0 3 2 3 2 0 1 2 2 3 , 3 3 2 2 2 3 0 2 2 3 2 3 1 3 0 2 1 3 -> 2 2 2 2 3 2 1 3 3 1 0 3 0 2 2 3 3 3 , 0 1 2 3 ->= 0 1 2 3 } The system was reversed. After renaming modulo { 2->0, 3->1, 0->2, 1->3 }, it remains to prove termination of the 81-rule system { 0 1 2 2 2 2 1 3 1 3 3 2 0 0 3 2 2 2 -> 0 2 2 3 3 2 1 0 0 1 2 3 3 2 1 2 2 2 , 3 2 1 0 3 2 2 1 0 2 1 0 3 2 0 2 2 2 -> 3 2 3 2 1 0 2 2 2 0 3 0 1 2 2 1 0 2 , 1 3 1 3 0 1 0 2 0 0 2 3 1 1 0 3 2 2 -> 1 1 3 2 0 2 3 0 0 0 0 3 1 1 3 2 1 2 , 2 2 2 2 2 0 1 0 3 2 2 2 0 2 1 3 2 2 -> 2 2 2 1 0 2 3 0 3 1 2 2 2 0 2 2 2 2 , 2 0 1 2 1 1 3 2 1 3 2 1 1 3 1 0 2 2 -> 2 0 3 1 1 2 1 2 1 1 3 2 1 3 0 2 1 2 , 2 2 2 2 1 3 3 3 3 1 2 2 3 0 2 1 2 2 -> 2 2 2 1 2 3 2 3 2 3 1 3 1 0 3 2 2 2 , 2 1 1 1 2 2 2 2 1 2 2 2 1 1 0 1 2 2 -> 2 1 2 2 1 1 2 2 2 1 2 1 1 2 2 1 0 2 , 2 2 3 3 0 0 0 2 2 3 0 2 2 2 0 2 3 2 -> 2 2 3 2 3 2 0 0 2 2 0 0 2 0 2 3 3 2 , 3 1 3 0 0 3 2 2 3 2 1 3 1 2 2 3 3 2 -> 3 2 3 3 2 3 1 2 3 3 2 0 2 1 1 0 3 2 , 3 3 1 3 2 1 0 2 2 2 2 1 2 1 3 3 3 2 -> 3 3 3 2 0 2 1 2 1 2 3 2 2 1 3 1 3 2 , 0 2 2 2 2 1 3 0 1 3 2 3 2 2 3 0 3 2 -> 0 1 2 3 2 0 2 2 3 3 0 1 2 3 2 2 3 2 , 2 2 2 2 0 3 3 3 1 3 0 1 3 1 3 0 3 2 -> 2 3 0 0 0 3 1 2 3 2 3 1 1 2 3 3 3 2 , 3 0 3 0 0 2 2 2 0 2 3 2 1 3 3 0 0 2 -> 3 3 3 1 0 2 0 2 3 0 3 2 0 2 0 2 0 2 , 2 2 1 0 2 3 2 3 3 2 1 3 2 3 1 0 0 2 -> 2 3 2 3 1 3 3 2 1 2 3 0 2 0 2 1 0 2 , 2 1 0 1 3 1 1 0 1 0 3 3 1 0 3 0 1 2 -> 2 1 1 1 0 0 0 3 0 3 1 1 1 0 3 1 3 2 , 1 2 2 2 1 3 0 2 1 1 1 3 0 1 0 1 1 2 -> 1 1 0 3 1 2 2 3 0 1 1 2 0 1 2 1 1 2 , 1 0 2 0 1 0 3 3 1 3 1 0 2 2 2 0 2 3 -> 2 1 0 3 2 0 0 1 3 0 1 2 0 2 3 1 2 3 , 3 2 3 2 3 2 2 0 1 0 0 1 2 2 2 0 2 3 -> 3 2 1 2 3 2 2 0 1 2 0 2 3 2 0 0 2 3 , 1 0 3 0 2 1 1 3 2 1 0 0 0 3 3 2 3 3 -> 1 2 3 1 0 0 0 1 0 3 3 1 0 2 2 3 3 3 , 3 2 3 3 0 0 3 0 2 2 1 0 0 3 1 3 3 3 -> 3 1 0 3 0 0 2 3 3 2 3 1 0 0 3 3 2 3 , 3 0 0 1 0 1 3 1 3 1 0 3 3 0 0 0 3 3 -> 3 0 3 1 3 0 0 1 1 3 0 0 0 1 0 3 3 3 , 0 2 1 2 2 3 1 3 2 2 2 0 3 0 2 1 3 3 -> 0 2 2 3 0 2 1 1 2 3 2 3 3 1 2 0 2 3 , 2 2 3 3 3 2 0 2 1 0 0 1 0 2 0 3 0 3 -> 2 3 1 2 0 0 3 2 3 1 0 2 2 0 0 3 0 3 , 2 2 0 3 3 2 2 3 2 2 0 3 2 0 1 3 0 3 -> 2 0 1 2 0 2 3 2 3 0 2 3 2 0 3 3 2 3 , 3 3 3 1 3 3 1 3 0 1 3 2 2 2 2 0 0 3 -> 3 2 3 1 3 3 0 2 2 0 1 3 3 3 1 2 0 3 , 2 2 0 2 0 2 0 0 0 3 3 2 0 2 2 0 0 3 -> 2 0 0 3 2 0 2 0 3 2 0 0 2 0 2 0 2 3 , 0 1 0 1 3 1 0 0 2 2 3 0 3 2 2 1 0 3 -> 0 0 2 1 3 0 1 2 2 3 0 3 1 2 1 0 0 3 , 1 0 3 0 3 1 3 2 1 1 2 2 1 3 2 1 0 3 -> 1 3 0 3 1 2 1 2 3 1 3 0 2 1 0 1 2 3 , 3 3 1 3 3 3 2 3 0 1 2 1 2 1 0 1 0 3 -> 3 3 2 3 0 0 1 2 1 2 0 1 1 1 3 3 3 3 , 1 1 3 3 0 0 2 0 1 0 2 1 3 1 1 1 0 3 -> 1 1 0 0 1 1 3 1 2 3 2 0 0 1 1 3 0 3 , 3 2 3 2 0 3 1 3 2 3 3 1 1 3 3 2 1 3 -> 3 3 3 0 1 2 3 1 2 3 3 1 2 3 2 3 1 3 , 1 2 2 1 3 3 0 1 0 0 3 2 2 2 1 2 1 3 -> 1 2 2 0 3 1 2 0 1 2 2 0 1 1 3 3 2 3 , 0 3 2 3 0 2 1 2 2 0 1 3 1 0 1 2 1 3 -> 0 3 3 0 1 3 1 0 1 2 1 2 0 1 2 2 2 3 , 2 2 3 0 2 1 3 3 2 2 3 3 0 0 2 3 1 3 -> 2 3 1 0 1 2 3 0 3 0 2 2 3 3 2 3 2 3 , 2 1 0 3 0 2 0 2 0 2 2 0 3 0 3 3 1 3 -> 2 3 3 1 2 2 1 2 0 0 3 0 2 0 3 0 0 3 , 1 3 3 0 0 2 0 0 2 1 3 1 1 1 1 0 1 3 -> 1 1 1 3 0 0 0 0 0 2 1 1 1 3 3 1 2 3 , 1 0 1 0 1 1 0 0 2 2 1 2 1 2 3 2 2 0 -> 1 2 0 2 1 2 1 1 2 2 1 2 0 1 3 0 0 0 , 2 2 1 2 0 0 2 2 0 1 3 2 1 0 3 2 2 0 -> 2 2 3 1 2 1 2 0 2 2 0 3 1 2 0 2 0 0 , 3 3 3 2 2 1 3 3 3 3 3 1 0 3 0 3 2 0 -> 3 3 3 2 3 0 3 3 3 3 3 0 3 0 1 2 2 1 , 0 1 1 0 1 0 0 2 1 2 2 0 0 1 0 3 2 0 -> 0 1 0 1 2 0 0 1 2 0 3 2 0 1 2 0 0 1 , 1 3 3 2 1 3 1 0 0 1 2 0 3 2 1 3 2 0 -> 2 3 0 3 0 1 2 1 0 2 1 1 2 3 1 3 3 0 , 0 2 3 1 0 1 3 2 2 1 1 3 1 1 2 0 2 0 -> 0 2 1 2 1 0 1 1 2 3 0 2 1 3 3 1 2 0 , 2 0 3 3 0 1 1 2 1 3 2 1 2 2 3 0 2 0 -> 2 3 0 0 2 2 3 3 1 2 0 2 0 1 1 2 3 1 , 3 3 2 1 3 2 3 1 0 2 0 1 3 0 1 0 2 0 -> 3 1 2 0 0 2 0 1 0 1 2 3 2 3 3 3 0 1 , 1 3 2 0 2 2 1 3 3 0 0 2 3 0 2 2 3 0 -> 1 0 3 2 1 2 0 2 3 3 2 2 0 0 2 3 3 0 , 1 0 1 2 1 1 1 3 0 3 0 1 0 0 2 2 3 0 -> 1 2 3 0 0 0 3 0 1 2 0 1 1 3 1 2 1 0 , 1 0 1 3 0 3 3 0 2 2 0 1 0 1 2 3 3 0 -> 1 2 0 2 0 1 0 2 0 3 3 3 3 0 1 1 3 0 , 1 0 2 3 1 1 1 3 3 0 1 0 2 3 1 3 3 0 -> 1 1 0 3 2 3 1 1 1 2 1 3 0 3 0 3 3 0 , 0 1 1 1 3 1 2 2 2 2 1 3 3 3 3 0 3 0 -> 0 0 1 2 3 1 1 1 3 3 2 0 2 3 2 3 3 1 , 1 1 1 1 3 2 2 3 0 2 1 1 1 3 3 0 3 0 -> 1 1 1 3 3 3 1 1 1 2 0 2 3 0 1 2 0 3 , 3 2 2 2 2 3 0 0 0 2 2 1 0 1 1 1 3 0 -> 3 1 2 1 1 2 3 0 0 3 2 2 0 0 1 2 0 2 , 3 3 0 1 0 3 2 1 3 3 0 3 3 0 1 3 0 0 -> 3 0 3 1 3 3 0 0 3 0 3 0 1 1 3 3 2 0 , 2 1 0 2 2 2 3 2 0 1 2 2 0 2 2 1 0 0 -> 2 3 1 2 2 0 2 0 2 0 1 2 1 0 2 0 2 2 , 2 0 2 0 1 0 0 1 1 3 2 2 0 0 2 1 0 0 -> 2 0 1 2 0 0 1 0 0 0 2 3 2 1 0 2 1 0 , 1 2 2 2 2 3 3 1 2 1 1 3 3 1 1 1 0 0 -> 1 2 3 0 3 3 2 3 1 2 1 2 1 1 1 1 0 2 , 0 1 0 3 0 2 2 0 1 1 0 2 0 1 2 2 1 0 -> 0 2 2 1 2 0 1 2 1 1 0 0 2 0 1 3 0 0 , 2 3 2 2 2 2 3 3 3 3 2 1 1 1 3 0 1 0 -> 2 3 1 1 2 0 2 1 3 0 3 3 3 2 3 2 1 2 , 3 3 0 2 0 2 0 1 1 3 2 0 1 3 3 1 1 0 -> 3 2 3 1 2 3 0 1 1 2 3 0 0 3 0 1 1 0 , 1 0 2 2 1 0 2 1 3 0 2 2 2 1 1 1 1 0 -> 1 1 1 1 1 2 2 1 2 1 0 2 0 0 3 0 2 2 , 1 3 0 2 1 0 1 0 0 3 1 1 3 3 2 2 2 1 -> 1 3 3 1 2 1 0 0 2 0 3 2 2 1 1 0 3 1 , 1 3 0 1 0 3 0 2 1 1 0 1 2 1 2 2 2 1 -> 1 1 2 2 0 1 2 3 1 0 0 3 2 1 1 1 2 0 , 3 3 2 0 3 2 0 3 3 3 1 0 0 3 3 2 2 1 -> 3 2 2 3 0 0 3 3 2 3 3 3 0 2 0 1 3 1 , 2 2 0 0 2 1 3 3 2 2 1 1 0 3 3 2 2 1 -> 2 3 2 3 1 0 0 2 1 0 1 2 2 2 2 3 3 1 , 1 3 1 3 2 0 2 2 1 0 2 2 2 0 3 2 2 1 -> 1 1 0 1 3 0 3 0 2 2 3 2 2 2 2 2 2 1 , 1 1 1 1 3 0 3 2 2 1 3 2 1 3 1 3 2 1 -> 1 2 3 3 1 2 1 1 2 3 2 3 1 0 1 1 1 3 , 1 1 1 3 3 3 3 0 0 1 1 2 1 2 2 0 2 1 -> 1 1 2 3 3 2 1 1 2 0 3 0 0 3 1 1 1 2 , 3 1 3 0 1 0 3 1 2 1 0 0 1 3 3 0 2 1 -> 3 3 3 0 0 2 3 0 1 0 2 0 1 1 1 1 3 1 , 1 3 1 0 1 0 3 3 1 0 1 0 2 2 1 0 2 1 -> 1 1 3 3 1 0 0 1 3 1 2 2 0 1 2 0 0 1 , 2 2 1 3 2 2 1 1 3 1 0 2 0 2 0 3 3 1 -> 2 1 3 3 0 2 2 3 0 1 2 2 3 0 1 1 2 1 , 3 2 1 2 2 1 0 0 0 3 3 1 3 2 2 0 3 1 -> 3 1 3 1 2 0 2 3 1 2 3 0 1 0 2 2 0 3 , 1 3 0 2 1 2 1 1 2 2 1 3 2 1 1 0 3 1 -> 1 1 1 3 0 1 2 0 2 1 1 2 3 3 2 2 1 1 , 1 2 2 0 0 1 3 1 0 2 0 0 1 1 3 1 3 1 -> 1 1 0 3 0 2 0 3 1 1 1 1 2 3 2 0 0 1 , 1 2 1 0 2 2 1 3 0 1 0 1 3 3 0 1 3 1 -> 1 1 3 3 2 1 0 0 3 2 0 3 0 2 1 1 1 1 , 2 3 1 0 0 3 0 2 2 2 2 2 1 3 1 1 3 1 -> 2 3 2 1 1 2 0 2 1 0 2 1 2 3 0 1 3 3 , 1 1 0 1 1 3 0 3 3 1 2 2 0 2 3 2 0 1 -> 1 1 2 0 3 0 1 1 0 3 3 2 1 2 3 0 2 1 , 2 1 1 3 3 3 2 2 1 0 2 1 2 1 3 3 0 1 -> 2 3 1 1 1 1 2 2 3 3 0 2 3 1 0 2 3 1 , 0 1 2 2 1 2 2 0 3 1 0 1 3 0 1 0 0 1 -> 0 3 0 2 1 1 3 0 1 2 0 0 0 2 1 1 2 1 , 3 3 0 1 1 2 2 1 3 3 2 3 1 2 2 1 0 1 -> 3 2 1 2 0 1 0 3 1 1 2 1 2 3 2 3 3 1 , 1 1 1 0 1 0 2 3 0 1 3 2 1 1 1 1 0 1 -> 1 0 0 3 2 0 1 0 1 2 3 1 1 1 1 1 1 1 , 1 3 0 2 1 3 1 0 1 0 0 2 1 0 0 0 1 1 -> 1 1 1 0 0 2 1 2 3 1 1 3 0 1 0 0 0 0 , 1 0 3 2 ->= 1 0 3 2 } Applying context closure of depth 1 in the following form: System R over Sigma maps to { fold(xly) -> fold(xry) | l -> r in R, x,y in Sigma } over Sigma^2, where fold(a_1...a_n) = (a_1,a_2)...(a_{n-1},a_{n}) After renaming modulo { [0, 0]->0, [0, 1]->1, [1, 2]->2, [2, 2]->3, [2, 1]->4, [1, 3]->5, [3, 1]->6, [3, 3]->7, [3, 2]->8, [2, 0]->9, [0, 3]->10, [0, 2]->11, [2, 3]->12, [1, 0]->13, [3, 0]->14, [1, 1]->15 }, it remains to prove termination of the 1296-rule system { 0 1 2 3 3 3 4 5 6 5 7 8 9 0 10 8 3 3 9 -> 0 11 3 12 7 8 4 13 0 1 2 12 7 8 4 2 3 3 9 , 10 8 4 13 10 8 3 4 13 11 4 13 10 8 9 11 3 3 9 -> 10 8 12 8 4 13 11 3 3 9 10 14 1 2 3 4 13 11 9 , 1 5 6 5 14 1 13 11 9 0 11 12 6 15 13 10 8 3 9 -> 1 15 5 8 9 11 12 14 0 0 0 10 6 15 5 8 4 2 9 , 11 3 3 3 3 9 1 13 10 8 3 3 9 11 4 5 8 3 9 -> 11 3 3 4 13 11 12 14 10 6 2 3 3 9 11 3 3 3 9 , 11 9 1 2 4 15 5 8 4 5 8 4 15 5 6 13 11 3 9 -> 11 9 10 6 15 2 4 2 4 15 5 8 4 5 14 11 4 2 9 , 11 3 3 3 4 5 7 7 7 6 2 3 12 14 11 4 2 3 9 -> 11 3 3 4 2 12 8 12 8 12 6 5 6 13 10 8 3 3 9 , 11 4 15 15 2 3 3 3 4 2 3 3 4 15 13 1 2 3 9 -> 11 4 2 3 4 15 2 3 3 4 2 4 15 2 3 4 13 11 9 , 11 3 12 7 14 0 0 11 3 12 14 11 3 3 9 11 12 8 9 -> 11 3 12 8 12 8 9 0 11 3 9 0 11 9 11 12 7 8 9 , 10 6 5 14 0 10 8 3 12 8 4 5 6 2 3 12 7 8 9 -> 10 8 12 7 8 12 6 2 12 7 8 9 11 4 15 13 10 8 9 , 10 7 6 5 8 4 13 11 3 3 3 4 2 4 5 7 7 8 9 -> 10 7 7 8 9 11 4 2 4 2 12 8 3 4 5 6 5 8 9 , 0 11 3 3 3 4 5 14 1 5 8 12 8 3 12 14 10 8 9 -> 0 1 2 12 8 9 11 3 12 7 14 1 2 12 8 3 12 8 9 , 11 3 3 3 9 10 7 7 6 5 14 1 5 6 5 14 10 8 9 -> 11 12 14 0 0 10 6 2 12 8 12 6 15 2 12 7 7 8 9 , 10 14 10 14 0 11 3 3 9 11 12 8 4 5 7 14 0 11 9 -> 10 7 7 6 13 11 9 11 12 14 10 8 9 11 9 11 9 11 9 , 11 3 4 13 11 12 8 12 7 8 4 5 8 12 6 13 0 11 9 -> 11 12 8 12 6 5 7 8 4 2 12 14 11 9 11 4 13 11 9 , 11 4 13 1 5 6 15 13 1 13 10 7 6 13 10 14 1 2 9 -> 11 4 15 15 13 0 0 10 14 10 6 15 15 13 10 6 5 8 9 , 1 2 3 3 4 5 14 11 4 15 15 5 14 1 13 1 15 2 9 -> 1 15 13 10 6 2 3 12 14 1 15 2 9 1 2 4 15 2 9 , 1 13 11 9 1 13 10 7 6 5 6 13 11 3 3 9 11 12 14 -> 11 4 13 10 8 9 0 1 5 14 1 2 9 11 12 6 2 12 14 , 10 8 12 8 12 8 3 9 1 13 0 1 2 3 3 9 11 12 14 -> 10 8 4 2 12 8 3 9 1 2 9 11 12 8 9 0 11 12 14 , 1 13 10 14 11 4 15 5 8 4 13 0 0 10 7 8 12 7 14 -> 1 2 12 6 13 0 0 1 13 10 7 6 13 11 3 12 7 7 14 , 10 8 12 7 14 0 10 14 11 3 4 13 0 10 6 5 7 7 14 -> 10 6 13 10 14 0 11 12 7 8 12 6 13 0 10 7 8 12 14 , 10 14 0 1 13 1 5 6 5 6 13 10 7 14 0 0 10 7 14 -> 10 14 10 6 5 14 0 1 15 5 14 0 0 1 13 10 7 7 14 , 0 11 4 2 3 12 6 5 8 3 3 9 10 14 11 4 5 7 14 -> 0 11 3 12 14 11 4 15 2 12 8 12 7 6 2 9 11 12 14 , 11 3 12 7 7 8 9 11 4 13 0 1 13 11 9 10 14 10 14 -> 11 12 6 2 9 0 10 8 12 6 13 11 3 9 0 10 14 10 14 , 11 3 9 10 7 8 3 12 8 3 9 10 8 9 1 5 14 10 14 -> 11 9 1 2 9 11 12 8 12 14 11 12 8 9 10 7 8 12 14 , 10 7 7 6 5 7 6 5 14 1 5 8 3 3 3 9 0 10 14 -> 10 8 12 6 5 7 14 11 3 9 1 5 7 7 6 2 9 10 14 , 11 3 9 11 9 11 9 0 0 10 7 8 9 11 3 9 0 10 14 -> 11 9 0 10 8 9 11 9 10 8 9 0 11 9 11 9 11 12 14 , 0 1 13 1 5 6 13 0 11 3 12 14 10 8 3 4 13 10 14 -> 0 0 11 4 5 14 1 2 3 12 14 10 6 2 4 13 0 10 14 , 1 13 10 14 10 6 5 8 4 15 2 3 4 5 8 4 13 10 14 -> 1 5 14 10 6 2 4 2 12 6 5 14 11 4 13 1 2 12 14 , 10 7 6 5 7 7 8 12 14 1 2 4 2 4 13 1 13 10 14 -> 10 7 8 12 14 0 1 2 4 2 9 1 15 15 5 7 7 7 14 , 1 15 5 7 14 0 11 9 1 13 11 4 5 6 15 15 13 10 14 -> 1 15 13 0 1 15 5 6 2 12 8 9 0 1 15 5 14 10 14 , 10 8 12 8 9 10 6 5 8 12 7 6 15 5 7 8 4 5 14 -> 10 7 7 14 1 2 12 6 2 12 7 6 2 12 8 12 6 5 14 , 1 2 3 4 5 7 14 1 13 0 10 8 3 3 4 2 4 5 14 -> 1 2 3 9 10 6 2 9 1 2 3 9 1 15 5 7 8 12 14 , 0 10 8 12 14 11 4 2 3 9 1 5 6 13 1 2 4 5 14 -> 0 10 7 14 1 5 6 13 1 2 4 2 9 1 2 3 3 12 14 , 11 3 12 14 11 4 5 7 8 3 12 7 14 0 11 12 6 5 14 -> 11 12 6 13 1 2 12 14 10 14 11 3 12 7 8 12 8 12 14 , 11 4 13 10 14 11 9 11 9 11 3 9 10 14 10 7 6 5 14 -> 11 12 7 6 2 3 4 2 9 0 10 14 11 9 10 14 0 10 14 , 1 5 7 14 0 11 9 0 11 4 5 6 15 15 15 13 1 5 14 -> 1 15 15 5 14 0 0 0 0 11 4 15 15 5 7 6 2 12 14 , 1 13 1 13 1 15 13 0 11 3 4 2 4 2 12 8 3 9 0 -> 1 2 9 11 4 2 4 15 2 3 4 2 9 1 5 14 0 0 0 , 11 3 4 2 9 0 11 3 9 1 5 8 4 13 10 8 3 9 0 -> 11 3 12 6 2 4 2 9 11 3 9 10 6 2 9 11 9 0 0 , 10 7 7 8 3 4 5 7 7 7 7 6 13 10 14 10 8 9 0 -> 10 7 7 8 12 14 10 7 7 7 7 14 10 14 1 2 3 4 13 , 0 1 15 13 1 13 0 11 4 2 3 9 0 1 13 10 8 9 0 -> 0 1 13 1 2 9 0 1 2 9 10 8 9 1 2 9 0 1 13 , 1 5 7 8 4 5 6 13 0 1 2 9 10 8 4 5 8 9 0 -> 11 12 14 10 14 1 2 4 13 11 4 15 2 12 6 5 7 14 0 , 0 11 12 6 13 1 5 8 3 4 15 5 6 15 2 9 11 9 0 -> 0 11 4 2 4 13 1 15 2 12 14 11 4 5 7 6 2 9 0 , 11 9 10 7 14 1 15 2 4 5 8 4 2 3 12 14 11 9 0 -> 11 12 14 0 11 3 12 7 6 2 9 11 9 1 15 2 12 6 13 , 10 7 8 4 5 8 12 6 13 11 9 1 5 14 1 13 11 9 0 -> 10 6 2 9 0 11 9 1 13 1 2 12 8 12 7 7 14 1 13 , 1 5 8 9 11 3 4 5 7 14 0 11 12 14 11 3 12 14 0 -> 1 13 10 8 4 2 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10 6 15 15 15 2 12 8 9 0 1 5 , 6 2 4 13 11 3 4 5 14 1 13 1 5 7 14 1 5 6 5 -> 6 15 5 7 8 4 13 0 10 8 9 10 14 11 4 15 15 15 5 , 8 12 6 13 0 10 14 11 3 3 3 3 4 5 6 15 5 6 5 -> 8 12 8 4 15 2 9 11 4 13 11 4 2 12 14 1 5 7 7 , 6 15 13 1 15 5 14 10 7 6 2 3 9 11 12 8 9 1 5 -> 6 15 2 9 10 14 1 15 13 10 7 8 4 2 12 14 11 4 5 , 8 4 15 5 7 7 8 3 4 13 11 4 2 4 5 7 14 1 5 -> 8 12 6 15 15 15 2 3 12 7 14 11 12 6 13 11 12 6 5 , 14 1 2 3 4 2 3 9 10 6 13 1 5 14 1 13 0 1 5 -> 14 10 14 11 4 15 5 14 1 2 9 0 0 11 4 15 2 4 5 , 7 7 14 1 15 2 3 4 5 7 8 12 6 2 3 4 13 1 5 -> 7 8 4 2 9 1 13 10 6 15 2 4 2 12 8 12 7 6 5 , 6 15 15 13 1 13 11 12 14 1 5 8 4 15 15 15 13 1 5 -> 6 13 0 10 8 9 1 13 1 2 12 6 15 15 15 15 15 15 5 , 6 5 14 11 4 5 6 13 1 13 0 11 4 13 0 0 1 15 5 -> 6 15 15 13 0 11 4 2 12 6 15 5 14 1 13 0 0 0 10 , 6 13 10 8 12 ->= 6 13 10 8 12 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 2: 0 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 1 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 2 is interpreted by / \ | 1 2 | | 0 1 | \ / 3 is interpreted by / \ | 1 4 | | 0 1 | \ / 4 is interpreted by / \ | 1 3 | | 0 1 | \ / 5 is interpreted by / \ | 1 3 | | 0 1 | \ / 6 is interpreted by / \ | 1 3 | | 0 1 | \ / 7 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 8 is interpreted by / \ | 1 3 | | 0 1 | \ / 9 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 10 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 11 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 12 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 13 is interpreted by / \ | 1 2 | | 0 1 | \ / 14 is interpreted by / \ | 1 2 | | 0 1 | \ / 15 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / After renaming modulo { 1->0, 13->1, 10->2, 8->3, 9->4, 4->5, 3->6, 12->7, 15->8, 6->9 }, it remains to prove termination of the 16-rule system { 0 1 2 3 4 ->= 0 1 2 3 4 , 0 1 2 3 5 ->= 0 1 2 3 5 , 0 1 2 3 6 ->= 0 1 2 3 6 , 0 1 2 3 7 ->= 0 1 2 3 7 , 8 1 2 3 4 ->= 8 1 2 3 4 , 8 1 2 3 5 ->= 8 1 2 3 5 , 8 1 2 3 6 ->= 8 1 2 3 6 , 8 1 2 3 7 ->= 8 1 2 3 7 , 5 1 2 3 4 ->= 5 1 2 3 4 , 5 1 2 3 5 ->= 5 1 2 3 5 , 5 1 2 3 6 ->= 5 1 2 3 6 , 5 1 2 3 7 ->= 5 1 2 3 7 , 9 1 2 3 4 ->= 9 1 2 3 4 , 9 1 2 3 5 ->= 9 1 2 3 5 , 9 1 2 3 6 ->= 9 1 2 3 6 , 9 1 2 3 7 ->= 9 1 2 3 7 } The system is trivially terminating.