YES After renaming modulo { 0->0, 1->1, 3->2, 2->3 }, it remains to prove termination of the 81-rule system { 0 0 0 1 1 0 2 2 3 0 2 2 2 1 1 2 3 1 -> 0 0 2 3 1 1 1 1 0 0 3 2 2 2 0 1 2 2 , 0 0 3 3 0 0 3 0 0 0 0 2 1 2 2 0 0 2 -> 0 3 0 0 0 3 1 0 0 2 0 0 0 3 2 0 2 2 , 0 0 2 0 1 2 2 1 0 0 2 0 3 3 0 1 3 0 -> 0 3 2 0 1 2 0 0 2 3 1 0 0 3 0 2 1 0 , 0 1 0 2 0 2 3 0 2 2 1 2 3 2 1 0 0 0 -> 0 1 0 0 0 1 2 2 2 0 0 2 2 1 3 3 2 0 , 0 1 1 0 1 1 3 2 2 3 3 1 3 0 2 3 2 3 -> 0 3 3 2 3 0 0 2 1 3 3 2 1 1 1 1 2 3 , 0 1 3 3 2 1 3 0 3 1 3 0 2 3 2 1 0 3 -> 0 2 1 1 3 0 1 3 1 0 0 3 3 2 3 3 2 3 , 0 1 3 2 3 3 2 1 2 2 2 3 0 1 2 1 2 1 -> 0 3 2 3 1 1 2 1 2 1 2 0 3 3 2 2 2 1 , 0 1 2 1 3 0 3 1 3 3 0 2 3 2 3 2 1 3 -> 0 0 3 2 3 1 3 0 1 2 3 3 2 3 2 1 1 3 , 0 3 0 2 1 2 1 2 0 0 2 1 0 1 1 3 2 0 -> 0 3 3 2 1 2 0 2 0 2 1 0 1 1 0 1 2 0 , 0 3 0 2 2 2 3 3 2 3 3 1 0 3 1 3 0 3 -> 0 3 3 3 2 0 1 2 3 3 2 0 3 0 1 2 3 3 , 0 3 3 3 1 2 1 0 1 2 1 3 0 3 0 2 3 2 -> 0 2 1 3 2 3 2 3 1 1 1 0 0 0 3 2 3 3 , 0 3 2 3 1 3 0 2 0 3 0 3 1 0 3 0 1 3 -> 2 3 3 3 1 0 3 0 0 0 0 0 2 3 3 1 1 3 , 0 2 0 3 0 0 0 1 3 0 1 2 1 3 2 2 1 2 -> 0 0 1 0 0 3 0 3 2 3 1 1 2 1 2 2 0 2 , 0 2 0 2 2 1 0 0 0 2 0 1 0 2 0 3 0 2 -> 0 0 0 3 1 2 2 0 2 0 0 0 0 2 2 1 0 2 , 0 2 1 1 0 1 2 3 2 1 0 0 1 3 0 2 0 2 -> 0 3 1 0 2 2 3 1 1 0 0 0 1 1 2 2 0 2 , 1 0 0 1 2 1 2 3 2 1 1 2 1 0 2 3 3 0 -> 1 2 3 1 1 1 2 3 1 2 2 3 0 0 1 0 0 2 , 1 0 1 0 1 3 0 2 3 2 1 2 1 0 0 1 1 1 -> 3 1 0 1 1 2 2 3 1 0 1 0 2 0 0 1 1 1 , 1 0 1 3 2 3 2 2 2 2 1 0 0 2 3 2 3 0 -> 2 3 0 3 1 3 3 2 0 2 2 1 1 2 2 2 0 0 , 1 0 3 1 0 2 1 1 0 1 2 3 1 3 0 0 3 0 -> 1 0 0 1 1 1 0 1 2 3 3 3 3 0 0 0 1 2 , 1 0 2 1 1 0 2 3 0 1 2 2 3 0 2 2 0 2 -> 3 1 2 0 0 1 0 1 0 2 2 2 0 3 1 2 2 2 , 1 1 0 2 0 2 2 2 1 0 1 3 3 2 2 1 1 2 -> 1 2 2 2 2 3 2 0 0 1 1 3 2 1 1 0 1 2 , 1 1 2 3 1 2 3 2 2 1 1 3 2 1 0 3 0 1 -> 2 3 3 2 2 0 3 3 2 2 0 1 1 1 1 1 1 1 , 1 3 0 0 1 3 2 2 1 2 0 1 1 0 2 3 2 1 -> 1 1 2 0 0 1 3 3 1 0 2 1 3 1 2 0 2 2 , 1 3 0 2 0 3 0 0 2 1 2 3 2 2 2 0 2 1 -> 2 2 1 0 2 3 0 0 3 2 2 3 2 2 1 0 0 1 , 1 3 0 2 2 3 3 2 2 1 1 2 0 1 2 1 3 0 -> 1 1 1 2 1 2 2 0 0 3 3 3 2 2 2 0 3 1 , 1 3 3 0 2 3 1 2 3 0 3 3 1 3 0 3 0 3 -> 1 3 3 3 3 0 1 3 2 3 0 3 1 0 3 2 0 3 , 1 3 3 1 3 0 2 1 3 0 1 2 0 2 3 1 2 1 -> 3 1 1 3 3 3 0 2 1 2 0 3 1 0 1 1 2 2 , 1 3 3 3 0 0 1 0 2 0 1 0 2 1 0 2 3 0 -> 1 1 1 2 0 0 0 0 2 3 3 3 1 0 0 0 3 2 , 1 3 2 2 3 3 0 1 3 3 2 2 3 1 0 2 2 1 -> 1 3 3 2 0 3 1 0 3 2 2 3 2 2 3 1 2 1 , 1 3 2 2 2 3 0 3 1 0 0 2 2 1 2 1 2 2 -> 1 2 2 1 2 2 0 0 3 3 2 2 0 1 3 2 1 2 , 1 2 0 1 3 2 3 2 1 1 3 1 2 3 0 3 0 1 -> 1 1 2 1 2 1 2 3 1 3 3 0 2 0 0 3 3 1 , 1 2 0 2 1 3 0 1 2 1 3 1 3 1 0 0 0 2 -> 1 0 0 2 0 3 2 3 0 1 0 3 1 1 1 1 2 2 , 1 2 1 3 0 2 2 1 3 3 3 3 0 3 3 2 2 0 -> 1 3 3 2 1 2 3 2 1 3 0 3 2 0 3 3 2 0 , 1 2 3 3 2 0 2 2 0 2 1 2 1 1 0 2 0 1 -> 1 1 1 1 1 0 2 0 0 2 3 2 2 0 2 3 2 2 , 3 0 0 1 0 3 0 0 3 0 1 1 1 0 3 1 1 0 -> 0 0 0 0 0 0 3 3 1 1 3 1 1 0 1 3 1 0 , 3 0 0 1 2 3 0 2 3 1 1 1 0 2 3 0 2 2 -> 3 0 1 2 2 0 1 1 3 3 1 0 2 0 2 0 3 2 , 3 0 0 1 2 2 1 0 0 2 1 2 0 0 1 3 3 0 -> 3 2 0 0 3 2 2 2 0 0 1 1 0 3 1 0 1 0 , 3 0 0 2 3 1 2 1 2 3 0 2 2 2 3 0 2 2 -> 3 2 2 0 3 3 1 2 2 0 2 2 3 2 2 0 0 1 , 3 0 1 2 0 2 1 2 1 1 2 2 3 1 1 0 0 2 -> 1 2 2 2 1 1 1 1 2 0 0 0 3 3 1 0 2 2 , 3 0 3 1 3 3 1 3 2 2 2 1 2 2 2 1 3 3 -> 3 3 0 3 1 3 1 1 2 2 1 2 2 2 2 3 3 3 , 3 0 3 3 3 0 1 0 3 0 1 3 1 0 3 0 0 0 -> 3 1 3 3 0 0 0 0 3 3 0 0 0 3 3 1 1 0 , 3 0 2 0 3 0 2 2 3 0 1 1 3 0 1 1 0 1 -> 1 1 2 0 2 0 3 3 2 3 0 1 0 3 0 0 1 1 , 3 0 2 1 1 0 2 0 2 2 3 0 3 3 0 0 3 2 -> 3 3 3 2 0 3 0 2 2 0 3 1 1 2 0 0 0 2 , 3 0 2 3 1 2 3 1 3 0 2 3 3 2 1 1 3 2 -> 2 3 3 3 2 3 3 1 2 3 1 1 2 0 1 0 3 2 , 3 0 2 3 3 3 2 2 1 3 2 1 3 2 0 0 2 3 -> 3 3 3 1 2 2 0 2 0 0 3 3 1 2 3 2 2 3 , 3 0 2 3 3 2 0 1 1 3 0 1 1 2 3 0 3 3 -> 0 2 3 0 3 1 2 1 3 1 1 2 0 0 3 3 3 3 , 3 1 0 3 2 0 1 2 1 3 2 1 3 0 1 2 2 0 -> 3 2 2 0 1 1 3 3 3 2 1 1 0 2 1 0 2 0 , 3 1 3 2 0 3 3 0 1 2 1 3 0 0 0 2 1 2 -> 3 0 0 0 0 2 3 3 1 1 0 2 3 3 2 1 1 2 , 3 1 2 0 1 3 0 3 0 1 0 1 3 2 3 1 2 3 -> 3 1 1 2 3 0 3 1 1 1 0 0 2 3 0 3 2 3 , 3 1 2 2 1 3 0 3 2 3 1 2 1 2 0 2 1 3 -> 3 1 1 2 2 1 3 2 3 2 0 2 0 3 2 1 1 3 , 3 3 0 3 3 0 3 3 2 2 2 2 3 3 2 0 2 3 -> 3 3 3 0 2 3 2 2 3 2 3 3 2 0 0 3 2 3 , 3 3 0 2 2 1 3 2 3 2 3 3 0 1 1 3 2 1 -> 2 3 2 2 1 3 3 3 1 0 3 3 1 2 0 2 3 1 , 3 2 1 3 2 0 2 2 3 3 2 3 2 3 1 3 3 0 -> 3 2 2 3 0 3 3 1 2 0 3 2 2 3 3 3 1 2 , 2 0 0 0 1 3 1 3 1 0 2 1 0 0 3 3 0 3 -> 2 0 0 0 3 0 0 3 1 0 1 3 3 2 0 3 1 1 , 2 0 0 1 3 3 0 2 2 0 2 0 3 1 2 0 2 2 -> 2 1 3 2 0 3 2 0 0 0 3 2 0 1 2 2 0 2 , 2 0 0 1 2 3 1 0 1 2 2 3 2 1 1 0 2 2 -> 2 0 1 1 2 1 2 0 0 3 2 0 1 3 2 2 1 2 , 2 0 1 0 2 2 2 3 0 3 2 1 3 0 3 3 0 3 -> 2 0 2 2 0 3 3 3 0 1 1 0 0 2 3 2 3 3 , 2 0 3 3 0 0 2 3 3 0 2 3 1 3 1 2 2 3 -> 2 0 2 2 0 3 1 2 3 0 0 3 2 3 3 1 3 3 , 2 0 3 3 2 3 3 0 3 0 1 0 1 0 3 0 2 1 -> 1 3 3 3 1 2 0 3 3 0 0 0 3 0 0 2 1 2 , 2 0 3 2 1 0 0 2 3 3 0 1 2 3 1 3 1 0 -> 2 0 0 0 0 3 1 3 2 1 3 3 1 2 0 3 2 1 , 2 1 0 1 1 3 0 3 0 1 0 3 3 2 1 3 0 1 -> 2 0 1 0 3 1 3 1 1 0 0 3 1 0 3 2 1 3 , 2 1 0 1 3 3 0 1 3 0 1 1 2 0 2 3 2 1 -> 2 0 3 2 0 1 0 2 3 1 1 1 1 2 1 3 0 3 , 2 1 0 1 2 3 3 0 2 0 2 2 0 0 2 1 0 1 -> 2 1 3 3 0 0 2 1 2 2 0 1 2 0 0 0 2 1 , 2 1 1 2 2 2 2 1 1 0 1 2 1 2 1 3 2 2 -> 2 1 1 2 1 2 1 2 3 1 2 1 0 1 2 2 2 2 , 2 1 3 1 2 3 0 1 2 0 2 0 0 2 0 0 3 0 -> 2 0 0 0 0 3 0 3 2 2 1 2 1 3 1 2 0 0 , 2 1 3 2 1 0 2 1 2 3 1 0 2 3 2 3 0 3 -> 2 1 0 1 1 2 3 3 2 3 1 0 0 2 3 2 2 3 , 2 3 0 0 3 1 2 1 0 0 2 2 1 2 1 0 2 2 -> 2 2 1 0 0 0 0 3 2 0 2 2 1 3 1 2 1 2 , 2 3 0 1 0 1 3 0 2 3 3 2 2 1 3 2 2 2 -> 2 2 2 0 0 3 3 1 3 2 0 2 2 3 1 2 1 3 , 2 3 0 1 3 0 1 2 2 2 0 2 1 1 3 1 1 0 -> 1 2 0 3 1 0 2 3 2 3 1 1 1 1 2 2 0 0 , 2 3 0 3 0 3 0 0 3 3 1 3 0 2 3 0 2 2 -> 3 3 1 3 3 2 2 0 2 0 3 0 3 0 0 3 2 0 , 2 3 0 3 3 0 0 0 0 2 1 3 1 0 3 2 2 0 -> 1 3 2 0 3 3 3 3 0 1 2 0 2 2 0 0 0 0 , 2 3 0 2 2 1 1 1 0 3 1 2 2 2 2 0 0 2 -> 2 1 1 0 0 1 2 3 0 0 3 1 2 2 2 2 2 2 , 2 3 1 0 1 3 3 2 1 3 0 3 0 2 0 0 3 0 -> 2 3 2 3 0 0 0 3 2 3 3 0 3 1 0 1 1 0 , 2 3 3 0 2 2 1 2 0 2 3 0 1 1 0 1 2 1 -> 2 2 2 0 1 1 2 1 2 3 3 2 0 3 0 1 0 1 , 2 3 3 2 1 1 1 3 0 1 0 1 2 1 0 0 1 2 -> 1 1 1 1 3 1 1 2 0 0 0 3 3 2 1 0 2 2 , 2 3 2 1 0 3 1 3 2 1 3 3 0 2 0 2 2 2 -> 2 2 1 0 0 0 2 3 3 1 2 3 2 1 3 3 2 2 , 2 3 2 3 2 0 2 0 2 1 0 1 0 3 0 3 0 3 -> 1 1 2 2 0 2 3 2 0 3 2 0 0 3 3 0 0 3 , 2 3 2 2 0 0 1 2 3 2 0 3 3 0 2 0 3 0 -> 2 0 0 1 3 2 2 0 0 3 2 3 3 2 3 2 0 0 , 2 2 3 0 3 0 0 1 2 1 2 3 0 2 3 1 0 2 -> 1 2 2 0 1 3 3 2 0 0 3 3 0 0 2 1 2 2 , 2 2 2 3 0 3 0 3 2 0 2 3 2 1 1 0 3 0 -> 2 0 0 3 2 3 3 3 3 0 2 2 0 1 1 2 2 0 , 0 1 3 2 ->= 0 1 3 2 } Applying context closure of depth 1 in the following form: System R over Sigma maps to { fold(xly) -> fold(xry) | l -> r in R, x,y in Sigma } over Sigma^2, where fold(a_1...a_n) = (a_1,a_2)...(a_{n-1},a_{n}) After renaming modulo { [0, 0]->0, [0, 1]->1, [1, 1]->2, [1, 0]->3, [0, 2]->4, [2, 2]->5, [2, 3]->6, [3, 0]->7, [2, 1]->8, [1, 2]->9, [3, 1]->10, [0, 3]->11, [3, 2]->12, [2, 0]->13, [3, 3]->14, [1, 3]->15 }, it remains to prove termination of the 1296-rule system { 0 0 0 1 2 3 4 5 6 7 4 5 5 8 2 9 6 10 3 -> 0 0 4 6 10 2 2 2 3 0 11 12 5 5 13 1 9 5 13 , 0 0 11 14 7 0 11 7 0 0 0 4 8 9 5 13 0 4 13 -> 0 11 7 0 0 11 10 3 0 4 13 0 0 11 12 13 4 5 13 , 0 0 4 13 1 9 5 8 3 0 4 13 11 14 7 1 15 7 0 -> 0 11 12 13 1 9 13 0 4 6 10 3 0 11 7 4 8 3 0 , 0 1 3 4 13 4 6 7 4 5 8 9 6 12 8 3 0 0 0 -> 0 1 3 0 0 1 9 5 5 13 0 4 5 8 15 14 12 13 0 , 0 1 2 3 1 2 15 12 5 6 14 10 15 7 4 6 12 6 7 -> 0 11 14 12 6 7 0 4 8 15 14 12 8 2 2 2 9 6 7 , 0 1 15 14 12 8 15 7 11 10 15 7 4 6 12 8 3 11 7 -> 0 4 8 2 15 7 1 15 10 3 0 11 14 12 6 14 12 6 7 , 0 1 15 12 6 14 12 8 9 5 5 6 7 1 9 8 9 8 3 -> 0 11 12 6 10 2 9 8 9 8 9 13 11 14 12 5 5 8 3 , 0 1 9 8 15 7 11 10 15 14 7 4 6 12 6 12 8 15 7 -> 0 0 11 12 6 10 15 7 1 9 6 14 12 6 12 8 2 15 7 , 0 11 7 4 8 9 8 9 13 0 4 8 3 1 2 15 12 13 0 -> 0 11 14 12 8 9 13 4 13 4 8 3 1 2 3 1 9 13 0 , 0 11 7 4 5 5 6 14 12 6 14 10 3 11 10 15 7 11 7 -> 0 11 14 14 12 13 1 9 6 14 12 13 11 7 1 9 6 14 7 , 0 11 14 14 10 9 8 3 1 9 8 15 7 11 7 4 6 12 13 -> 0 4 8 15 12 6 12 6 10 2 2 3 0 0 11 12 6 14 7 , 0 11 12 6 10 15 7 4 13 11 7 11 10 3 11 7 1 15 7 -> 4 6 14 14 10 3 11 7 0 0 0 0 4 6 14 10 2 15 7 , 0 4 13 11 7 0 0 1 15 7 1 9 8 15 12 5 8 9 13 -> 0 0 1 3 0 11 7 11 12 6 10 2 9 8 9 5 13 4 13 , 0 4 13 4 5 8 3 0 0 4 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10 2 2 2 15 10 2 9 13 0 0 11 14 12 8 3 4 5 6 , 12 6 12 8 3 11 10 15 12 8 15 14 7 4 13 4 5 5 6 -> 12 5 8 3 0 0 4 6 14 10 9 6 12 8 15 14 12 5 6 , 12 6 12 6 12 13 4 13 4 8 3 1 3 11 7 11 7 11 14 -> 10 2 9 5 13 4 6 12 13 11 12 13 0 11 14 7 0 11 14 , 12 6 12 5 13 0 1 9 6 12 13 11 14 7 4 13 11 7 11 -> 12 13 0 1 15 12 5 13 0 11 12 6 14 12 6 12 13 0 11 , 12 5 6 7 11 7 0 1 9 8 9 6 7 4 6 10 3 4 6 -> 10 9 5 13 1 15 14 12 13 0 11 14 7 0 4 8 9 5 6 , 12 5 5 6 7 11 7 11 12 13 4 6 12 8 2 3 11 7 11 -> 12 13 0 11 12 6 14 14 14 7 4 5 13 1 2 9 5 13 11 , 7 1 15 12 6 ->= 7 1 15 12 6 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 2: 0 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 1 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 2 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 3 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 4 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 5 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 6 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 7 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 8 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 9 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 10 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 11 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 12 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 13 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 14 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 15 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / After renaming modulo { 0->0, 1->1, 2->2, 3->3, 15->4, 12->5, 5->6, 6->7, 14->8, 10->9, 7->10, 4->11, 11->12, 8->13, 9->14, 13->15 }, it remains to prove termination of the 240-rule system { 0 1 2 3 1 2 4 5 6 7 8 9 4 10 11 7 5 7 10 -> 0 12 8 5 7 10 0 11 13 4 8 5 13 2 2 2 14 7 10 , 1 3 0 1 14 13 14 7 5 13 2 14 13 3 11 7 8 10 0 -> 1 14 7 9 2 2 14 7 9 14 6 7 10 0 1 3 0 11 15 , 1 3 1 4 5 7 5 6 6 6 13 3 0 11 7 5 7 10 0 -> 11 7 10 12 9 4 8 5 15 11 6 13 2 14 6 6 15 0 0 , 1 2 3 11 15 11 6 6 13 3 1 4 8 5 6 13 2 14 15 -> 1 14 6 6 6 7 5 15 0 1 2 4 5 13 2 3 1 14 15 , 1 14 15 11 13 4 10 1 14 13 4 9 4 9 3 0 0 11 15 -> 1 3 0 11 15 12 5 7 10 1 3 12 9 2 2 2 14 6 15 , 1 14 7 8 5 15 11 6 15 11 13 14 13 2 3 11 15 1 3 -> 1 2 2 2 2 3 11 15 0 11 7 5 6 15 11 7 5 6 15 , 12 10 12 9 4 8 9 4 5 6 6 13 14 6 6 13 4 8 10 -> 12 8 10 12 9 4 9 2 14 6 13 14 6 6 6 7 8 8 10 , 12 9 14 15 1 4 10 12 10 1 3 1 4 5 7 9 14 7 10 -> 12 9 2 14 7 10 12 9 2 2 3 0 11 7 10 12 5 7 10 , 12 5 13 4 5 15 11 6 7 8 5 7 5 7 9 4 8 10 0 -> 12 5 6 7 10 12 8 9 14 15 12 5 6 7 8 8 9 14 15 , 11 15 0 1 14 7 9 3 1 14 6 7 5 13 2 3 11 6 15 -> 11 15 1 2 14 13 14 15 0 12 5 15 1 4 5 6 13 14 15 , 11 13 3 1 4 8 10 1 4 10 1 2 14 15 11 7 5 13 3 -> 11 15 12 5 15 1 3 11 7 9 2 2 2 14 13 4 10 12 10 , 11 13 3 1 14 7 8 10 11 15 11 6 15 0 11 13 3 1 3 -> 11 13 4 8 10 0 11 13 14 6 15 1 14 15 0 0 11 13 3 , 11 13 2 14 6 6 6 13 2 3 1 14 13 14 13 4 5 6 15 -> 11 13 2 14 13 14 13 14 7 9 14 13 3 1 14 6 6 6 15 , 11 7 10 11 6 13 2 2 3 12 9 14 6 6 6 15 0 11 15 -> 11 13 2 3 0 1 14 7 10 0 12 9 14 6 6 6 6 6 15 , 0 1 4 5 15 ->= 0 1 4 5 15 , 0 1 2 3 1 2 4 5 6 7 8 9 4 10 11 7 5 7 9 -> 0 12 8 5 7 10 0 11 13 4 8 5 13 2 2 2 14 7 9 , 1 3 0 1 14 13 14 7 5 13 2 14 13 3 11 7 8 10 1 -> 1 14 7 9 2 2 14 7 9 14 6 7 10 0 1 3 0 11 13 , 1 3 1 4 5 7 5 6 6 6 13 3 0 11 7 5 7 10 1 -> 11 7 10 12 9 4 8 5 15 11 6 13 2 14 6 6 15 0 1 , 1 2 3 11 15 11 6 6 13 3 1 4 8 5 6 13 2 14 13 -> 1 14 6 6 6 7 5 15 0 1 2 4 5 13 2 3 1 14 13 , 1 14 15 11 13 4 10 1 14 13 4 9 4 9 3 0 0 11 13 -> 1 3 0 11 15 12 5 7 10 1 3 12 9 2 2 2 14 6 13 , 1 14 7 8 5 15 11 6 15 11 13 14 13 2 3 11 15 1 2 -> 1 2 2 2 2 3 11 15 0 11 7 5 6 15 11 7 5 6 13 , 12 10 12 9 4 8 9 4 5 6 6 13 14 6 6 13 4 8 9 -> 12 8 10 12 9 4 9 2 14 6 13 14 6 6 6 7 8 8 9 , 12 9 14 15 1 4 10 12 10 1 3 1 4 5 7 9 14 7 9 -> 12 9 2 14 7 10 12 9 2 2 3 0 11 7 10 12 5 7 9 , 12 5 13 4 5 15 11 6 7 8 5 7 5 7 9 4 8 10 1 -> 12 5 6 7 10 12 8 9 14 15 12 5 6 7 8 8 9 14 13 , 11 15 0 0 1 4 9 4 9 3 11 13 3 0 12 8 10 12 9 -> 11 15 0 0 12 10 0 12 9 3 1 4 8 5 15 12 9 2 2 , 11 15 0 1 14 7 9 3 1 14 6 7 5 13 2 3 11 6 13 -> 11 15 1 2 14 13 14 15 0 12 5 15 1 4 5 6 13 14 13 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11 13 3 1 3 -> 5 13 4 8 10 0 11 13 14 6 15 1 14 15 0 0 11 13 3 , 5 13 2 14 6 6 6 13 2 3 1 14 13 14 13 4 5 6 15 -> 5 13 2 14 13 14 13 14 7 9 14 13 3 1 14 6 6 6 15 , 5 7 10 11 6 13 2 2 3 12 9 14 6 6 6 15 0 11 15 -> 5 13 2 3 0 1 14 7 10 0 12 9 14 6 6 6 6 6 15 , 10 1 4 5 15 ->= 10 1 4 5 15 , 10 1 2 3 1 2 4 5 6 7 8 9 4 10 11 7 5 7 9 -> 10 12 8 5 7 10 0 11 13 4 8 5 13 2 2 2 14 7 9 , 9 3 0 1 14 13 14 7 5 13 2 14 13 3 11 7 8 10 1 -> 9 14 7 9 2 2 14 7 9 14 6 7 10 0 1 3 0 11 13 , 9 3 1 4 5 7 5 6 6 6 13 3 0 11 7 5 7 10 1 -> 5 7 10 12 9 4 8 5 15 11 6 13 2 14 6 6 15 0 1 , 9 2 3 11 15 11 6 6 13 3 1 4 8 5 6 13 2 14 13 -> 9 14 6 6 6 7 5 15 0 1 2 4 5 13 2 3 1 14 13 , 9 14 15 11 13 4 10 1 14 13 4 9 4 9 3 0 0 11 13 -> 9 3 0 11 15 12 5 7 10 1 3 12 9 2 2 2 14 6 13 , 9 14 7 8 5 15 11 6 15 11 13 14 13 2 3 11 15 1 2 -> 9 2 2 2 2 3 11 15 0 11 7 5 6 15 11 7 5 6 13 , 8 10 12 9 4 8 9 4 5 6 6 13 14 6 6 13 4 8 9 -> 8 8 10 12 9 4 9 2 14 6 13 14 6 6 6 7 8 8 9 , 8 9 14 15 1 4 10 12 10 1 3 1 4 5 7 9 14 7 9 -> 8 9 2 14 7 10 12 9 2 2 3 0 11 7 10 12 5 7 9 , 8 5 13 4 5 15 11 6 7 8 5 7 5 7 9 4 8 10 1 -> 8 5 6 7 10 12 8 9 14 15 12 5 6 7 8 8 9 14 13 , 5 15 0 0 1 4 9 4 9 3 11 13 3 0 12 8 10 12 9 -> 5 15 0 0 12 10 0 12 9 3 1 4 8 5 15 12 9 2 2 , 5 15 0 1 14 7 9 3 1 14 6 7 5 13 2 3 11 6 13 -> 5 15 1 2 14 13 14 15 0 12 5 15 1 4 5 6 13 14 13 , 5 13 3 1 14 7 8 10 11 15 11 6 15 0 11 13 3 1 2 -> 5 13 4 8 10 0 11 13 14 6 15 1 14 15 0 0 11 13 2 , 5 13 2 14 6 6 6 13 2 3 1 14 13 14 13 4 5 6 13 -> 5 13 2 14 13 14 13 14 7 9 14 13 3 1 14 6 6 6 13 , 5 7 10 11 6 13 2 2 3 12 9 14 6 6 6 15 0 11 13 -> 5 13 2 3 0 1 14 7 10 0 12 9 14 6 6 6 6 6 13 , 10 1 4 5 13 ->= 10 1 4 5 13 , 10 1 2 3 1 2 4 5 6 7 8 9 4 10 11 7 5 7 5 -> 10 12 8 5 7 10 0 11 13 4 8 5 13 2 2 2 14 7 5 , 9 3 0 1 14 13 14 7 5 13 2 14 13 3 11 7 8 10 11 -> 9 14 7 9 2 2 14 7 9 14 6 7 10 0 1 3 0 11 6 , 9 3 1 4 5 7 5 6 6 6 13 3 0 11 7 5 7 10 11 -> 5 7 10 12 9 4 8 5 15 11 6 13 2 14 6 6 15 0 11 , 9 2 3 11 15 11 6 6 13 3 1 4 8 5 6 13 2 14 6 -> 9 14 6 6 6 7 5 15 0 1 2 4 5 13 2 3 1 14 6 , 9 14 15 11 13 4 10 1 14 13 4 9 4 9 3 0 0 11 6 -> 9 3 0 11 15 12 5 7 10 1 3 12 9 2 2 2 14 6 6 , 9 14 7 8 5 15 11 6 15 11 13 14 13 2 3 11 15 1 14 -> 9 2 2 2 2 3 11 15 0 11 7 5 6 15 11 7 5 6 6 , 8 10 12 9 4 8 9 4 5 6 6 13 14 6 6 13 4 8 5 -> 8 8 10 12 9 4 9 2 14 6 13 14 6 6 6 7 8 8 5 , 8 9 14 15 1 4 10 12 10 1 3 1 4 5 7 9 14 7 5 -> 8 9 2 14 7 10 12 9 2 2 3 0 11 7 10 12 5 7 5 , 8 5 13 4 5 15 11 6 7 8 5 7 5 7 9 4 8 10 11 -> 8 5 6 7 10 12 8 9 14 15 12 5 6 7 8 8 9 14 6 , 5 15 0 0 1 4 9 4 9 3 11 13 3 0 12 8 10 12 5 -> 5 15 0 0 12 10 0 12 9 3 1 4 8 5 15 12 9 2 14 , 5 15 0 1 14 7 9 3 1 14 6 7 5 13 2 3 11 6 6 -> 5 15 1 2 14 13 14 15 0 12 5 15 1 4 5 6 13 14 6 , 5 13 3 1 14 7 8 10 11 15 11 6 15 0 11 13 3 1 14 -> 5 13 4 8 10 0 11 13 14 6 15 1 14 15 0 0 11 13 14 , 5 13 2 14 6 6 6 13 2 3 1 14 13 14 13 4 5 6 6 -> 5 13 2 14 13 14 13 14 7 9 14 13 3 1 14 6 6 6 6 , 5 7 10 11 6 13 2 2 3 12 9 14 6 6 6 15 0 11 6 -> 5 13 2 3 0 1 14 7 10 0 12 9 14 6 6 6 6 6 6 , 10 1 4 5 6 ->= 10 1 4 5 6 , 10 1 2 3 1 2 4 5 6 7 8 9 4 10 11 7 5 7 8 -> 10 12 8 5 7 10 0 11 13 4 8 5 13 2 2 2 14 7 8 , 9 3 0 1 14 13 14 7 5 13 2 14 13 3 11 7 8 10 12 -> 9 14 7 9 2 2 14 7 9 14 6 7 10 0 1 3 0 11 7 , 9 3 1 4 5 7 5 6 6 6 13 3 0 11 7 5 7 10 12 -> 5 7 10 12 9 4 8 5 15 11 6 13 2 14 6 6 15 0 12 , 9 2 3 11 15 11 6 6 13 3 1 4 8 5 6 13 2 14 7 -> 9 14 6 6 6 7 5 15 0 1 2 4 5 13 2 3 1 14 7 , 9 14 15 11 13 4 10 1 14 13 4 9 4 9 3 0 0 11 7 -> 9 3 0 11 15 12 5 7 10 1 3 12 9 2 2 2 14 6 7 , 9 14 7 8 5 15 11 6 15 11 13 14 13 2 3 11 15 1 4 -> 9 2 2 2 2 3 11 15 0 11 7 5 6 15 11 7 5 6 7 , 8 10 12 9 4 8 9 4 5 6 6 13 14 6 6 13 4 8 8 -> 8 8 10 12 9 4 9 2 14 6 13 14 6 6 6 7 8 8 8 , 8 9 14 15 1 4 10 12 10 1 3 1 4 5 7 9 14 7 8 -> 8 9 2 14 7 10 12 9 2 2 3 0 11 7 10 12 5 7 8 , 8 5 13 4 5 15 11 6 7 8 5 7 5 7 9 4 8 10 12 -> 8 5 6 7 10 12 8 9 14 15 12 5 6 7 8 8 9 14 7 , 5 15 0 0 1 4 9 4 9 3 11 13 3 0 12 8 10 12 8 -> 5 15 0 0 12 10 0 12 9 3 1 4 8 5 15 12 9 2 4 , 5 15 0 1 14 7 9 3 1 14 6 7 5 13 2 3 11 6 7 -> 5 15 1 2 14 13 14 15 0 12 5 15 1 4 5 6 13 14 7 , 5 13 3 1 14 7 8 10 11 15 11 6 15 0 11 13 3 1 4 -> 5 13 4 8 10 0 11 13 14 6 15 1 14 15 0 0 11 13 4 , 5 13 2 14 6 6 6 13 2 3 1 14 13 14 13 4 5 6 7 -> 5 13 2 14 13 14 13 14 7 9 14 13 3 1 14 6 6 6 7 , 5 7 10 11 6 13 2 2 3 12 9 14 6 6 6 15 0 11 7 -> 5 13 2 3 0 1 14 7 10 0 12 9 14 6 6 6 6 6 7 , 10 1 4 5 7 ->= 10 1 4 5 7 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 2: 0 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 1 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 2 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 3 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 4 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 5 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 6 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 7 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 8 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 9 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 10 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 11 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 12 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 13 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 14 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 15 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / After renaming modulo { 0->0, 1->1, 4->2, 5->3, 15->4, 13->5, 6->6, 7->7, 3->8, 10->9 }, it remains to prove termination of the 16-rule system { 0 1 2 3 4 ->= 0 1 2 3 4 , 0 1 2 3 5 ->= 0 1 2 3 5 , 0 1 2 3 6 ->= 0 1 2 3 6 , 0 1 2 3 7 ->= 0 1 2 3 7 , 8 1 2 3 4 ->= 8 1 2 3 4 , 8 1 2 3 5 ->= 8 1 2 3 5 , 8 1 2 3 6 ->= 8 1 2 3 6 , 8 1 2 3 7 ->= 8 1 2 3 7 , 4 1 2 3 4 ->= 4 1 2 3 4 , 4 1 2 3 5 ->= 4 1 2 3 5 , 4 1 2 3 6 ->= 4 1 2 3 6 , 4 1 2 3 7 ->= 4 1 2 3 7 , 9 1 2 3 4 ->= 9 1 2 3 4 , 9 1 2 3 5 ->= 9 1 2 3 5 , 9 1 2 3 6 ->= 9 1 2 3 6 , 9 1 2 3 7 ->= 9 1 2 3 7 } The system is trivially terminating.