YES After renaming modulo { 0->0, 1->1, 2->2, 3->3 }, it remains to prove termination of the 81-rule system { 0 0 1 1 2 2 3 2 2 0 1 1 2 0 3 2 2 0 -> 0 0 2 0 0 2 2 2 3 1 2 1 2 1 3 2 1 0 , 0 0 1 1 2 3 0 3 2 0 3 3 3 2 0 3 0 2 -> 0 0 2 0 1 3 3 2 3 2 3 0 1 3 2 3 0 0 , 0 0 2 1 0 1 1 2 3 0 3 2 0 0 1 2 1 1 -> 0 0 0 3 3 2 2 1 0 1 1 2 1 0 0 2 1 1 , 0 0 3 0 1 0 1 1 0 2 1 0 1 3 1 0 1 3 -> 0 0 1 1 0 2 0 0 0 1 1 3 1 0 1 3 1 3 , 0 0 3 3 0 2 0 3 0 2 3 0 2 0 3 0 2 2 -> 0 0 3 2 0 0 0 0 3 0 2 3 0 3 2 2 3 2 , 0 0 3 3 1 0 3 3 1 3 0 2 3 0 3 1 3 0 -> 0 0 3 3 1 3 1 1 0 3 3 0 0 3 3 3 2 0 , 0 1 1 2 0 2 2 1 0 2 3 3 3 2 2 0 3 3 -> 0 0 3 0 2 1 3 3 3 2 2 1 2 1 3 2 0 2 , 0 1 2 2 1 1 1 0 3 2 3 3 3 1 2 1 1 3 -> 0 2 3 3 1 0 1 1 3 2 1 3 2 1 3 1 1 2 , 0 1 3 0 3 3 0 3 1 3 1 0 3 3 3 0 2 3 -> 0 3 0 0 3 1 3 3 0 1 3 2 3 0 3 1 3 3 , 0 1 3 1 1 2 3 3 3 3 0 1 2 2 1 2 3 2 -> 0 2 3 1 3 3 3 3 1 1 2 2 1 1 2 0 3 2 , 0 2 0 1 0 3 2 1 0 2 0 2 0 3 3 3 2 2 -> 0 3 0 2 0 0 3 3 1 2 0 2 3 1 2 0 2 2 , 0 2 2 1 0 3 1 2 0 3 0 3 1 0 0 2 0 2 -> 0 3 1 0 2 0 1 0 0 3 2 2 1 3 2 0 2 0 , 0 2 3 3 1 3 2 3 1 2 0 3 2 0 3 0 3 2 -> 0 2 3 3 3 2 2 1 2 0 3 2 0 0 3 1 3 3 , 0 3 3 2 2 0 3 3 0 0 2 0 1 2 3 0 1 1 -> 0 3 3 3 3 0 2 0 0 0 2 2 3 0 2 1 1 1 , 1 0 0 2 1 0 3 0 3 2 0 3 0 0 1 1 2 1 -> 1 3 0 0 2 2 3 1 3 2 0 0 0 1 1 0 0 1 , 1 0 1 2 2 1 3 0 3 0 2 0 1 1 0 2 3 3 -> 1 1 1 3 3 2 2 1 0 0 0 1 2 0 0 3 2 3 , 1 0 1 2 2 2 1 1 1 3 0 2 2 3 0 3 3 2 -> 1 0 2 2 2 1 1 0 3 0 2 3 2 2 3 1 1 3 , 1 0 3 0 1 1 1 0 1 0 2 1 2 1 1 1 2 1 -> 1 0 1 1 0 1 1 2 0 0 1 1 2 1 1 2 3 1 , 1 1 0 2 0 2 0 1 0 3 2 2 0 3 3 2 1 2 -> 1 0 2 2 1 0 0 2 2 2 3 1 3 3 0 0 1 2 , 1 1 1 0 3 2 0 0 2 1 1 1 2 1 3 0 2 2 -> 1 0 0 0 0 2 3 2 2 1 1 1 1 1 3 2 1 2 , 1 1 1 1 0 2 0 3 2 2 0 1 1 3 1 1 2 3 -> 1 2 1 1 3 3 1 2 0 1 0 2 2 1 1 0 1 3 , 1 1 1 2 2 3 2 3 0 0 3 1 2 0 1 1 0 1 -> 2 1 2 1 1 0 0 0 1 3 1 3 1 2 0 2 3 1 , 1 1 1 2 3 2 2 1 1 0 1 1 1 3 2 2 0 1 -> 1 1 2 2 1 3 2 1 1 1 0 1 1 0 2 3 2 1 , 1 1 1 3 2 3 0 3 2 2 0 2 0 1 1 1 1 2 -> 2 1 2 1 1 2 1 0 1 3 3 1 3 1 2 0 0 2 , 1 1 2 2 3 2 3 0 1 1 1 3 0 0 3 1 0 3 -> 1 1 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0 3 2 3 0 2 1 0 1 2 1 0 2 1 0 0 , 2 0 1 1 2 3 3 0 0 2 0 1 0 1 2 1 2 0 -> 2 0 2 3 3 2 1 0 0 1 2 0 2 1 1 1 0 0 , 2 0 1 2 2 2 2 2 3 0 0 3 3 1 0 1 1 1 -> 1 2 1 3 3 1 0 0 0 2 3 0 2 2 2 1 2 1 , 2 0 1 2 3 2 0 3 1 0 0 1 1 1 2 3 1 0 -> 1 1 1 0 0 0 3 3 2 1 2 0 3 2 1 2 1 0 , 2 0 2 0 3 0 2 1 1 3 3 1 2 2 3 1 3 3 -> 1 2 2 3 0 2 3 1 3 3 3 2 2 1 0 0 1 3 , 2 0 2 3 3 3 0 3 3 1 2 0 3 1 0 3 2 0 -> 1 1 3 0 3 2 3 2 3 3 2 0 0 3 2 3 0 0 , 2 0 3 0 2 0 2 1 1 1 3 0 2 3 3 3 0 2 -> 3 0 0 2 0 1 3 2 2 2 2 0 0 3 3 1 1 3 , 2 0 3 2 3 0 1 3 2 3 2 3 3 0 2 1 2 1 -> 1 2 0 2 1 3 3 0 0 2 2 3 1 3 3 2 3 2 , 2 0 3 3 1 2 0 1 0 1 0 3 2 1 0 3 1 1 -> 1 0 0 0 1 3 1 2 1 1 3 3 2 1 0 3 0 2 , 2 1 0 3 2 2 0 3 0 2 1 1 0 2 0 2 0 3 -> 3 3 2 2 0 0 0 0 2 2 1 0 0 1 1 3 2 2 , 2 1 1 2 1 2 2 1 2 3 0 0 3 3 0 0 2 2 -> 1 0 0 1 3 2 2 1 2 3 2 2 1 3 2 0 0 2 , 2 1 1 2 2 0 0 0 3 1 3 0 2 2 2 0 1 2 -> 1 2 3 2 1 3 2 0 0 0 0 0 2 2 2 1 1 2 , 2 1 1 2 3 2 3 1 2 3 1 3 1 1 2 0 0 1 -> 2 1 3 1 2 1 3 1 0 2 1 3 1 0 2 3 2 1 , 2 1 1 3 2 2 2 1 1 2 3 0 3 2 3 1 2 3 -> 2 2 2 2 2 1 3 2 3 3 3 2 1 1 1 1 0 3 , 2 1 2 1 1 2 1 0 3 1 2 3 0 2 3 3 0 2 -> 1 3 1 2 0 1 3 2 3 1 0 2 2 0 1 2 3 2 , 2 1 2 2 0 3 2 3 3 3 2 1 1 3 0 2 3 0 -> 1 3 0 3 2 0 2 3 2 2 3 3 2 2 3 1 1 0 , 2 1 2 2 2 1 3 0 0 3 1 2 2 3 1 0 1 1 -> 2 1 3 3 2 1 3 2 1 2 1 2 0 2 0 0 1 1 , 2 1 2 3 3 1 1 2 3 0 1 0 3 0 1 0 0 3 -> 1 0 0 2 3 3 2 1 2 3 0 0 1 3 3 1 1 0 , 2 1 3 0 3 2 1 2 3 2 3 0 3 3 0 2 1 3 -> 3 3 1 0 0 2 3 2 3 2 3 2 0 1 3 3 2 1 , 2 2 0 1 1 2 3 2 1 0 2 2 0 1 2 3 3 1 -> 2 2 2 2 1 3 1 0 2 0 0 2 1 1 3 3 2 1 , 2 2 0 2 3 3 1 0 3 0 2 1 1 0 3 3 2 0 -> 1 1 2 0 2 3 2 3 2 1 0 0 2 3 3 3 0 0 , 2 2 1 0 2 2 2 3 2 0 1 3 0 3 0 3 0 3 -> 2 3 3 2 3 1 0 2 0 0 0 0 2 3 1 2 2 3 , 2 2 3 1 0 3 1 1 3 0 3 0 1 0 3 3 0 2 -> 3 2 3 0 0 2 2 1 1 3 0 0 3 0 1 3 1 3 , 2 3 0 3 2 0 1 2 1 2 3 0 1 3 1 1 1 1 -> 2 1 1 0 1 3 2 2 1 0 0 1 1 3 3 3 2 1 , 2 3 0 3 2 3 0 0 1 3 0 3 2 1 1 2 1 1 -> 2 3 1 3 2 2 0 0 0 2 0 3 1 3 1 1 3 1 , 2 3 0 3 2 3 3 2 1 1 2 0 2 0 3 0 1 2 -> 2 1 3 2 2 0 3 0 1 1 0 0 2 3 3 2 2 3 , 2 3 2 0 3 3 2 1 1 2 2 2 2 3 3 0 3 2 -> 2 1 3 3 2 3 2 2 3 2 2 3 2 3 1 0 2 0 , 3 0 2 0 1 0 1 1 0 2 2 3 0 3 3 0 3 2 -> 2 0 3 0 1 2 0 0 1 3 0 0 1 3 3 2 2 3 , 3 0 3 1 1 2 0 3 1 2 2 3 1 0 3 1 2 0 -> 3 2 1 1 2 1 3 0 0 2 3 3 2 1 0 1 3 0 , 3 0 3 2 0 1 1 2 3 1 1 0 3 0 3 1 0 0 -> 3 0 0 1 1 3 3 0 1 3 1 2 1 3 0 2 0 0 , 3 0 3 2 2 1 3 0 1 3 0 1 2 1 2 1 0 2 -> 2 1 0 0 1 2 1 0 1 3 0 2 3 1 3 2 3 2 , 3 0 3 2 2 2 0 3 3 2 2 3 1 0 1 2 1 3 -> 2 0 0 3 3 2 3 3 2 2 0 2 1 3 2 1 1 3 , 3 1 0 3 1 2 1 1 1 0 3 2 2 0 2 3 3 2 -> 3 2 1 0 2 0 2 0 3 1 3 1 3 1 1 2 3 2 , 3 1 1 1 1 2 1 2 1 2 3 3 1 0 1 1 1 1 -> 3 1 1 1 0 1 1 1 1 3 1 3 2 2 1 2 1 1 , 3 1 1 1 2 0 2 1 3 3 1 0 0 0 0 3 0 0 -> 3 2 3 1 1 1 1 0 0 0 3 1 0 0 2 3 0 0 , 3 2 0 3 0 2 0 0 3 0 1 0 1 0 2 0 1 1 -> 3 2 0 0 0 2 1 0 2 0 0 1 0 0 1 3 1 3 , 3 2 1 0 2 0 1 2 2 0 2 2 0 3 3 2 3 0 -> 3 3 0 0 2 1 2 3 2 2 0 2 0 3 2 2 1 0 , 3 2 1 0 3 2 2 2 3 3 3 0 3 0 3 3 3 1 -> 3 3 3 3 3 1 2 0 0 2 2 3 2 3 3 3 0 1 , 3 2 2 0 3 3 3 3 1 0 3 2 0 1 3 0 3 2 -> 3 1 3 3 1 0 0 3 3 2 0 3 2 0 3 3 2 2 , 3 2 3 1 2 1 3 3 0 3 3 0 2 3 2 2 3 2 -> 3 2 2 1 3 3 2 3 3 3 2 1 0 0 3 2 3 2 , 3 2 3 3 3 0 1 0 3 2 1 3 0 3 3 0 3 1 -> 3 3 2 3 3 0 3 3 3 3 1 3 1 0 2 0 0 1 , 3 3 2 2 3 0 3 0 1 3 3 2 3 3 0 3 2 2 -> 3 3 3 3 3 3 2 2 2 3 3 0 1 2 3 0 0 2 , 3 3 2 3 1 0 3 3 3 0 0 1 3 1 2 0 2 0 -> 3 3 3 2 0 1 3 2 1 3 0 0 1 2 0 3 3 0 , 0 1 2 3 ->= 0 1 2 3 } The system was reversed. After renaming modulo { 0->0, 2->1, 3->2, 1->3 }, it remains to prove termination of the 81-rule system { 0 1 1 2 0 1 3 3 0 1 1 2 1 1 3 3 0 0 -> 0 3 1 2 3 1 3 1 3 2 1 1 1 0 0 1 0 0 , 1 0 2 0 1 2 2 2 0 1 2 0 2 1 3 3 0 0 -> 0 0 2 1 2 3 0 2 1 2 1 2 2 3 0 1 0 0 , 3 3 1 3 0 0 1 2 0 2 1 3 3 0 3 1 0 0 -> 3 3 1 0 0 3 1 3 3 0 3 1 1 2 2 0 0 0 , 2 3 0 3 2 3 0 3 1 0 3 3 0 3 0 2 0 0 -> 2 3 2 3 0 3 2 3 3 0 0 0 1 0 3 3 0 0 , 1 1 0 2 0 1 0 2 1 0 2 0 1 0 2 2 0 0 -> 1 2 1 1 2 0 2 1 0 2 0 0 0 0 1 2 0 0 , 0 2 3 2 0 2 1 0 2 3 2 2 0 3 2 2 0 0 -> 0 1 2 2 2 0 0 2 2 0 3 3 2 3 2 2 0 0 , 2 2 0 1 1 2 2 2 1 0 3 1 1 0 1 3 3 0 -> 1 0 1 2 3 1 3 1 1 2 2 2 3 1 0 2 0 0 , 2 3 3 1 3 2 2 2 1 2 0 3 3 3 1 1 3 0 -> 1 3 3 2 3 1 2 3 1 2 3 3 0 3 2 2 1 0 , 2 1 0 2 2 2 0 3 2 3 2 0 2 2 0 2 3 0 -> 2 2 3 2 0 2 1 2 3 0 2 2 3 2 0 0 2 0 , 1 2 1 3 1 1 3 0 2 2 2 2 1 3 3 2 3 0 -> 1 2 0 1 3 3 1 1 3 3 2 2 2 2 3 2 1 0 , 1 1 2 2 2 0 1 0 1 0 3 1 2 0 3 0 1 0 -> 1 1 0 1 3 2 1 0 1 3 2 2 0 0 1 0 2 0 , 1 0 1 0 0 3 2 0 2 0 1 3 2 0 3 1 1 0 -> 0 1 0 1 2 3 1 1 2 0 0 3 0 1 0 3 2 0 , 1 2 0 2 0 1 2 0 1 3 2 1 2 3 2 2 1 0 -> 2 2 3 2 0 0 1 2 0 1 3 1 1 2 2 2 1 0 , 3 3 0 2 1 3 0 1 0 0 2 2 0 1 1 2 2 0 -> 3 3 3 1 0 2 1 1 0 0 0 1 0 2 2 2 2 0 , 3 1 3 3 0 0 2 0 1 2 0 2 0 3 1 0 0 3 -> 3 0 0 3 3 0 0 0 1 2 3 2 1 1 0 0 2 3 , 2 2 1 0 3 3 0 1 0 2 0 2 3 1 1 3 0 3 -> 2 1 2 0 0 1 3 0 0 0 3 1 1 2 2 3 3 3 , 1 2 2 0 2 1 1 0 2 3 3 3 1 1 1 3 0 3 -> 2 3 3 2 1 1 2 1 0 2 0 3 3 1 1 1 0 3 , 3 1 3 3 3 1 3 1 0 3 0 3 3 3 0 2 0 3 -> 3 2 1 3 3 1 3 3 0 0 1 3 3 0 3 3 0 3 , 1 3 1 2 2 0 1 1 2 0 3 0 1 0 1 0 3 3 -> 1 3 0 0 2 2 3 2 1 1 1 0 0 3 1 1 0 3 , 1 1 0 2 3 1 3 3 3 1 0 0 1 2 0 3 3 3 -> 1 3 1 2 3 3 3 3 3 1 1 2 1 0 0 0 0 3 , 2 1 3 3 2 3 3 0 1 1 2 0 1 0 3 3 3 3 -> 2 3 0 3 3 1 1 0 3 0 1 3 2 2 3 3 1 3 , 3 0 3 3 0 1 3 2 0 0 2 1 2 1 1 3 3 3 -> 3 2 1 0 1 3 2 3 2 3 0 0 0 3 3 1 3 1 , 3 0 1 1 2 3 3 3 0 3 3 1 1 2 1 3 3 3 -> 3 1 2 1 0 3 3 0 3 3 3 1 2 3 1 1 3 3 , 1 3 3 3 3 0 1 0 1 1 2 0 2 1 2 3 3 3 -> 1 0 0 1 3 2 3 2 2 3 0 3 1 3 3 1 3 1 , 2 0 3 2 0 0 2 3 3 3 0 2 1 2 1 1 3 3 -> 2 0 2 1 2 0 3 1 2 2 3 3 3 1 0 0 3 3 , 2 0 2 2 0 3 1 3 3 1 0 3 1 0 2 1 3 3 -> 0 2 3 1 2 0 0 1 3 3 1 3 3 2 2 1 0 3 , 2 1 0 2 2 3 2 2 1 3 3 0 2 3 2 1 3 3 -> 2 2 2 3 2 0 1 3 2 0 1 2 3 3 2 3 1 3 , 2 1 2 0 0 0 2 2 2 0 3 2 0 2 2 1 3 3 -> 2 0 0 3 2 1 2 0 2 1 2 3 2 0 0 3 2 2 , 0 2 3 2 1 3 0 3 2 1 3 0 1 2 0 2 3 3 -> 0 3 3 1 2 3 0 0 2 3 1 3 2 1 2 0 2 3 , 0 1 2 0 1 0 1 3 2 1 1 0 2 0 0 0 1 3 -> 0 0 1 2 1 1 0 0 0 1 0 1 0 2 3 2 3 1 , 1 2 3 1 0 1 3 3 3 3 2 1 0 2 1 0 1 3 -> 1 1 2 1 3 0 3 2 3 0 2 3 1 1 1 0 3 3 , 0 2 3 1 2 2 2 2 0 3 3 1 2 0 2 0 1 3 -> 0 1 2 2 2 3 2 3 0 2 1 0 3 1 0 2 2 3 , 3 2 0 3 3 3 2 0 1 2 2 2 2 2 0 3 1 3 -> 2 3 2 0 3 2 2 3 2 3 2 1 1 3 0 0 2 3 , 3 3 1 0 1 3 3 2 2 0 2 3 3 2 2 2 1 3 -> 1 2 3 3 3 3 3 2 1 0 0 2 3 2 2 2 1 3 , 2 2 1 2 2 2 3 3 0 3 0 2 2 1 3 0 2 3 -> 2 3 2 2 2 0 0 1 2 3 3 1 2 0 2 3 2 3 , 1 2 0 0 1 0 2 3 3 3 2 0 1 0 2 0 2 3 -> 2 2 3 0 2 3 0 0 0 2 3 1 0 0 1 2 1 3 , 2 0 3 1 3 0 1 2 0 1 1 3 3 1 0 3 0 1 -> 1 0 2 1 3 0 3 3 1 1 1 2 1 0 3 0 0 3 , 0 1 1 0 2 1 1 0 3 3 0 3 0 2 0 3 0 1 -> 0 0 3 1 0 3 1 3 0 3 1 0 2 1 2 0 0 1 , 0 1 3 1 3 0 3 0 1 0 0 2 2 1 3 3 0 1 -> 0 0 3 3 3 1 0 1 3 0 0 3 1 2 2 1 0 1 , 3 3 3 0 3 2 2 0 0 2 1 1 1 1 1 3 0 1 -> 3 1 3 1 1 1 0 2 1 0 0 0 3 2 2 3 1 3 , 0 3 2 1 3 3 3 0 0 3 2 0 1 2 1 3 0 1 -> 0 3 1 3 1 2 0 1 3 1 2 2 0 0 0 3 3 3 , 2 2 3 2 1 1 3 2 2 3 3 1 0 2 0 1 0 1 -> 2 3 0 0 3 1 1 2 2 2 3 2 1 0 2 1 1 3 , 0 1 2 0 3 2 0 1 3 2 2 0 2 2 2 1 0 1 -> 0 0 2 1 2 0 0 1 2 2 1 2 1 2 0 2 3 3 , 1 0 2 2 2 1 0 2 3 3 3 1 0 1 0 2 0 1 -> 2 3 3 2 2 0 0 1 1 1 1 2 3 0 1 0 0 2 , 3 1 3 1 0 2 2 1 2 1 2 3 0 2 1 2 0 1 -> 1 2 1 2 2 3 2 1 1 0 0 2 2 3 1 0 1 3 , 3 3 2 0 3 1 2 0 3 0 3 0 1 3 2 2 0 1 -> 1 0 2 0 3 1 2 2 3 3 1 3 2 3 0 0 0 3 , 2 0 1 0 1 0 3 3 1 0 2 0 1 1 2 0 3 1 -> 1 1 2 3 3 0 0 3 1 1 0 0 0 0 1 1 2 2 , 1 1 0 0 2 2 0 0 2 1 3 1 1 3 1 3 3 1 -> 1 0 0 1 2 3 1 1 2 1 3 1 1 2 3 0 0 3 , 1 3 0 1 1 1 0 2 3 2 0 0 0 1 1 3 3 1 -> 1 3 3 1 1 1 0 0 0 0 0 1 2 3 1 2 1 3 , 3 0 0 1 3 3 2 3 2 1 3 2 1 2 1 3 3 1 -> 3 1 2 1 0 3 2 3 1 0 3 2 3 1 3 2 3 1 , 2 1 3 2 1 2 0 2 1 3 3 1 1 1 2 3 3 1 -> 2 0 3 3 3 3 1 2 2 2 1 2 3 1 1 1 1 1 , 1 0 2 2 1 0 2 1 3 2 0 3 1 3 3 1 3 1 -> 1 2 1 3 0 1 1 0 3 2 1 2 3 0 1 3 2 3 , 0 2 1 0 2 3 3 1 2 2 2 1 2 0 1 1 3 1 -> 0 3 3 2 1 1 2 2 1 1 2 1 0 1 2 0 2 3 , 3 3 0 3 2 1 1 3 2 0 0 2 3 1 1 1 3 1 -> 3 3 0 0 1 0 1 3 1 3 1 2 3 1 2 2 3 1 , 2 0 0 3 0 2 0 3 0 2 1 3 3 2 2 1 3 1 -> 0 3 3 2 2 3 0 0 2 1 3 1 2 2 1 0 0 3 , 2 3 1 0 2 2 0 2 1 2 1 3 1 2 0 2 3 1 -> 3 1 2 2 3 0 1 2 1 2 1 2 1 0 0 3 2 2 , 3 2 2 1 3 0 1 1 0 3 1 2 1 3 3 0 1 1 -> 3 1 2 2 3 3 1 0 0 1 0 3 2 3 1 1 1 1 , 0 1 2 2 0 3 3 1 0 2 0 3 2 2 1 0 1 1 -> 0 0 2 2 2 1 0 0 3 1 2 1 2 1 0 1 3 3 , 2 0 2 0 2 0 2 3 0 1 2 1 1 1 0 3 1 1 -> 2 1 1 3 2 1 0 0 0 0 1 0 3 2 1 2 2 1 , 1 0 2 2 0 3 0 2 0 2 3 3 2 0 3 2 1 1 -> 2 3 2 3 0 2 0 0 2 3 3 1 1 0 0 2 1 2 , 3 3 3 3 2 3 0 2 1 3 1 3 0 1 2 0 2 1 -> 3 1 2 2 2 3 3 0 0 3 1 1 2 3 0 3 3 1 , 3 3 1 3 3 1 2 0 2 3 0 0 2 1 2 0 2 1 -> 3 2 3 3 2 3 2 0 1 0 0 0 1 1 2 3 2 1 , 1 3 0 2 0 1 0 1 3 3 1 2 2 1 2 0 2 1 -> 2 1 1 2 2 1 0 0 3 3 0 2 0 1 1 2 3 1 , 1 2 0 2 2 1 1 1 1 3 3 1 2 2 0 1 2 1 -> 0 1 0 3 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 2 2 3 1 , 1 2 0 2 2 0 2 1 1 0 3 3 0 3 0 1 0 2 -> 2 1 1 2 2 3 0 0 2 3 0 0 1 3 0 2 0 1 , 0 1 3 2 0 3 2 1 1 3 2 0 1 3 3 2 0 2 -> 0 2 3 0 3 1 2 2 1 0 0 2 3 1 3 3 1 2 , 0 0 3 2 0 2 0 3 3 2 1 3 3 0 1 2 0 2 -> 0 0 1 0 2 3 1 3 2 3 0 2 2 3 3 0 0 2 , 1 0 3 1 3 1 3 0 2 3 0 2 3 1 1 2 0 2 -> 1 2 1 2 3 2 1 0 2 3 0 3 1 3 0 0 3 1 , 2 3 1 3 0 3 2 1 1 2 2 0 1 1 1 2 0 2 -> 2 3 3 1 2 3 1 0 1 1 2 2 1 2 2 0 0 1 , 1 2 2 1 0 1 1 2 0 3 3 3 1 3 2 0 3 2 -> 1 2 1 3 3 2 3 2 3 2 0 1 0 1 0 3 1 2 , 3 3 3 3 0 3 2 2 1 3 1 3 1 3 3 3 3 2 -> 3 3 1 3 1 1 2 3 2 3 3 3 3 0 3 3 3 2 , 0 0 2 0 0 0 0 3 2 2 3 1 0 1 3 3 3 2 -> 0 0 2 1 0 0 3 2 0 0 0 3 3 3 3 2 1 2 , 3 3 0 1 0 3 0 3 0 2 0 0 1 0 2 0 1 2 -> 2 3 2 3 0 0 3 0 0 1 0 3 1 0 0 0 1 2 , 0 2 1 2 2 0 1 1 0 1 1 3 0 1 0 3 1 2 -> 0 3 1 1 2 0 1 0 1 1 2 1 3 1 0 0 2 2 , 3 2 2 2 0 2 0 2 2 2 1 1 1 2 0 3 1 2 -> 3 0 2 2 2 1 2 1 1 0 0 1 3 2 2 2 2 2 , 1 2 0 2 3 0 1 2 0 3 2 2 2 2 0 1 1 2 -> 1 1 2 2 0 1 2 0 1 2 2 0 0 3 2 2 3 2 , 1 2 1 1 2 1 0 2 2 0 2 2 3 1 3 2 1 2 -> 1 2 1 2 0 0 3 1 2 2 2 1 2 2 3 1 1 2 , 3 2 0 2 2 0 2 3 1 2 0 3 0 2 2 2 1 2 -> 3 0 0 1 0 3 2 3 2 2 2 2 0 2 2 1 2 2 , 1 1 2 0 2 2 1 2 2 3 0 2 0 2 1 1 2 2 -> 1 0 0 2 1 3 0 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 , 0 1 0 1 3 2 3 0 0 2 2 2 0 3 2 1 2 2 -> 0 2 2 0 1 3 0 0 2 3 1 2 3 0 1 2 2 2 , 2 1 3 0 ->= 2 1 3 0 } Applying context closure of depth 1 in the following form: System R over Sigma maps to { fold(xly) -> fold(xry) | l -> r in R, x,y in Sigma } over Sigma^2, where fold(a_1...a_n) = (a_1,a_2)...(a_{n-1},a_{n}) After renaming modulo { [0, 0]->0, [0, 1]->1, [1, 1]->2, [1, 2]->3, [2, 0]->4, [1, 3]->5, [3, 3]->6, [3, 0]->7, [2, 1]->8, [0, 3]->9, [3, 1]->10, [2, 3]->11, [3, 2]->12, [1, 0]->13, [0, 2]->14, [2, 2]->15 }, it remains to prove termination of the 1296-rule system { 0 1 2 3 4 1 5 6 7 1 2 3 8 2 5 6 7 0 0 -> 0 9 10 3 11 10 5 10 5 12 8 2 2 13 0 1 13 0 0 , 1 13 14 4 1 3 15 15 4 1 3 4 14 8 5 6 7 0 0 -> 0 0 14 8 3 11 7 14 8 3 8 3 15 11 7 1 13 0 0 , 9 6 10 5 7 0 1 3 4 14 8 5 6 7 9 10 13 0 0 -> 9 6 10 13 0 9 10 5 6 7 9 10 2 3 15 4 0 0 0 , 14 11 7 9 12 11 7 9 10 13 9 6 7 9 7 14 4 0 0 -> 14 11 12 11 7 9 12 11 6 7 0 0 1 13 9 6 7 0 0 , 1 2 13 14 4 1 13 14 8 13 14 4 1 13 14 15 4 0 0 -> 1 3 8 2 3 4 14 8 13 14 4 0 0 0 1 3 4 0 0 , 0 14 11 12 4 14 8 13 14 11 12 15 4 9 12 15 4 0 0 -> 0 1 3 15 15 4 0 14 15 4 9 6 12 11 12 15 4 0 0 , 14 15 4 1 2 3 15 15 8 13 9 10 2 13 1 5 6 7 0 -> 1 13 1 3 11 10 5 10 2 3 15 15 11 10 13 14 4 0 0 , 14 11 6 10 5 12 15 15 8 3 4 9 6 6 10 2 5 7 0 -> 1 5 6 12 11 10 3 11 10 3 11 6 7 9 12 15 8 13 0 , 14 8 13 14 15 15 4 9 12 11 12 4 14 15 4 14 11 7 0 -> 14 15 11 12 4 14 8 3 11 7 14 15 11 12 4 0 14 4 0 , 1 3 8 5 10 2 5 7 14 15 15 15 8 5 6 12 11 7 0 -> 1 3 4 1 5 6 10 2 5 6 12 15 15 15 11 12 8 13 0 , 1 2 3 15 15 4 1 13 1 13 9 10 3 4 9 7 1 13 0 -> 1 2 13 1 5 12 8 13 1 5 12 15 4 0 1 13 14 4 0 , 1 13 1 13 0 9 12 4 14 4 1 5 12 4 9 10 2 13 0 -> 0 1 13 1 3 11 10 2 3 4 0 9 7 1 13 9 12 4 0 , 1 3 4 14 4 1 3 4 1 5 12 8 3 11 12 15 8 13 0 -> 14 15 11 12 4 0 1 3 4 1 5 10 2 3 15 15 8 13 0 , 9 6 7 14 8 5 7 1 13 0 14 15 4 1 2 3 15 4 0 -> 9 6 6 10 13 14 8 2 13 0 0 1 13 14 15 15 15 4 0 , 9 10 5 6 7 0 14 4 1 3 4 14 4 9 10 13 0 9 7 -> 9 7 0 9 6 7 0 0 1 3 11 12 8 2 13 0 14 11 7 , 14 15 8 13 9 6 7 1 13 14 4 14 11 10 2 5 7 9 7 -> 14 8 3 4 0 1 5 7 0 0 9 10 2 3 15 11 6 6 7 , 1 3 15 4 14 8 2 13 14 11 6 6 10 2 2 5 7 9 7 -> 14 11 6 12 8 2 3 8 13 14 4 9 6 10 2 2 13 9 7 , 9 10 5 6 6 10 5 10 13 9 7 9 6 6 7 14 4 9 7 -> 9 12 8 5 6 10 5 6 7 0 1 5 6 7 9 6 7 9 7 , 1 5 10 3 15 4 1 2 3 4 9 7 1 13 1 13 9 6 7 -> 1 5 7 0 14 15 11 12 8 2 2 13 0 9 10 2 13 9 7 , 1 2 13 14 11 10 5 6 6 10 13 0 1 3 4 9 6 6 7 -> 1 5 10 3 11 6 6 6 6 10 2 3 8 13 0 0 0 9 7 , 14 8 5 6 12 11 6 7 1 2 3 4 1 13 9 6 6 6 7 -> 14 11 7 9 6 10 2 13 9 7 1 5 12 15 11 6 10 5 7 , 9 7 9 6 7 1 5 12 4 0 14 8 3 8 2 5 6 6 7 -> 9 12 8 13 1 5 12 11 12 11 7 0 0 9 6 10 5 10 13 , 9 7 1 2 3 11 6 6 7 9 6 10 2 3 8 5 6 6 7 -> 9 10 3 8 13 9 6 7 9 6 6 10 3 11 10 2 5 6 7 , 1 5 6 6 6 7 1 13 1 2 3 4 14 8 3 11 6 6 7 -> 1 13 0 1 5 12 11 12 15 11 7 9 10 5 6 10 5 10 13 , 14 4 9 12 4 0 14 11 6 6 7 14 8 3 8 2 5 6 7 -> 14 4 14 8 3 4 9 10 3 15 11 6 6 10 13 0 9 6 7 , 14 4 14 15 4 9 10 5 6 10 13 9 10 13 14 8 5 6 7 -> 0 14 11 10 3 4 0 1 5 6 10 5 6 12 15 8 13 9 7 , 14 8 13 14 15 11 12 15 8 5 6 7 14 11 12 8 5 6 7 -> 14 15 15 11 12 4 1 5 12 4 1 3 11 6 12 11 10 5 7 , 14 8 3 4 0 0 14 15 15 4 9 12 4 14 15 8 5 6 7 -> 14 4 0 9 12 8 3 4 14 8 3 11 12 4 0 9 12 15 4 , 0 14 11 12 8 5 7 9 12 8 5 7 1 3 4 14 11 6 7 -> 0 9 6 10 3 11 7 0 14 11 10 5 12 8 3 4 14 11 7 , 0 1 3 4 1 13 1 5 12 8 2 13 14 4 0 0 1 5 7 -> 0 0 1 3 8 2 13 0 0 1 13 1 13 14 11 12 11 10 13 , 1 3 11 10 13 1 5 6 6 6 12 8 13 14 8 13 1 5 7 -> 1 2 3 8 5 7 9 12 11 7 14 11 10 2 2 13 9 6 7 , 0 14 11 10 3 15 15 15 4 9 6 10 3 4 14 4 1 5 7 -> 0 1 3 15 15 11 12 11 7 14 8 13 9 10 13 14 15 11 7 , 9 12 4 9 6 6 12 4 1 3 15 15 15 15 4 9 10 5 7 -> 14 11 12 4 9 12 15 11 12 11 12 8 2 5 7 0 14 11 7 , 9 6 10 13 1 5 6 12 15 4 14 11 6 12 15 15 8 5 7 -> 1 3 11 6 6 6 6 12 8 13 0 14 11 12 15 15 8 5 7 , 14 15 8 3 15 15 11 6 7 9 7 14 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13 9 10 5 10 5 7 14 11 7 14 11 10 2 3 4 14 11 -> 10 3 8 3 11 12 8 13 14 11 7 9 10 5 7 0 9 10 5 , 12 11 10 5 7 9 12 8 2 3 15 4 1 2 2 3 4 14 11 -> 12 11 6 10 3 11 10 13 1 2 3 15 8 3 15 4 0 1 5 , 10 3 15 8 13 1 2 3 4 9 6 6 10 5 12 4 9 12 11 -> 10 3 8 5 6 12 11 12 11 12 4 1 13 1 13 9 10 3 11 , 6 6 6 6 7 9 12 15 8 5 10 5 10 5 6 6 6 12 11 -> 6 6 10 5 10 2 3 11 12 11 6 6 6 7 9 6 6 12 11 , 7 0 14 4 0 0 0 9 12 15 11 10 13 1 5 6 6 12 11 -> 7 0 14 8 13 0 9 12 4 0 0 9 6 6 6 12 8 3 11 , 6 6 7 1 13 9 7 9 7 14 4 0 1 13 14 4 1 3 11 -> 12 11 12 11 7 0 9 7 0 1 13 9 10 13 0 0 1 3 11 , 7 14 8 3 15 4 1 2 13 1 2 5 7 1 13 9 10 3 11 -> 7 9 10 2 3 4 1 13 1 2 3 8 5 10 13 0 14 15 11 , 6 12 15 15 4 14 4 14 15 15 8 2 2 3 4 9 10 3 11 -> 6 7 14 15 15 8 3 8 2 13 0 1 5 12 15 15 15 15 11 , 10 3 4 14 11 7 1 3 4 9 12 15 15 15 4 1 2 3 11 -> 10 2 3 15 4 1 3 4 1 3 15 4 0 9 12 15 11 12 11 , 10 3 8 2 3 8 13 14 15 4 14 15 11 10 5 12 8 3 11 -> 10 3 8 3 4 0 9 10 3 15 15 8 3 15 11 10 2 3 11 , 6 12 4 14 15 4 14 11 10 3 4 9 7 14 15 15 8 3 11 -> 6 7 0 1 13 9 12 11 12 15 15 15 4 14 15 8 3 15 11 , 10 2 3 4 14 15 8 3 15 11 7 14 4 14 8 2 3 15 11 -> 10 13 0 14 8 5 7 14 15 8 2 2 3 15 15 15 15 15 11 , 7 1 13 1 5 12 11 7 0 14 15 15 4 9 12 8 3 15 11 -> 7 14 15 4 1 5 7 0 14 11 10 3 11 7 1 3 15 15 11 , 12 8 5 7 9 ->= 12 8 5 7 9 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 2: 0 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 1 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 2 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 3 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 4 is interpreted by / \ | 1 12 | | 0 1 | \ / 5 is interpreted by / \ | 1 3 | | 0 1 | \ / 6 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 7 is interpreted by / \ | 1 9 | | 0 1 | \ / 8 is interpreted by / \ | 1 3 | | 0 1 | \ / 9 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 10 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 11 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 12 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 13 is interpreted by / \ | 1 9 | | 0 1 | \ / 14 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 15 is interpreted by / \ | 1 3 | | 0 1 | \ / After renaming modulo { 14->0, 8->1, 5->2, 7->3, 0->4, 1->5, 9->6, 3->7, 15->8, 12->9 }, it remains to prove termination of the 16-rule system { 0 1 2 3 4 ->= 0 1 2 3 4 , 0 1 2 3 5 ->= 0 1 2 3 5 , 0 1 2 3 0 ->= 0 1 2 3 0 , 0 1 2 3 6 ->= 0 1 2 3 6 , 7 1 2 3 4 ->= 7 1 2 3 4 , 7 1 2 3 5 ->= 7 1 2 3 5 , 7 1 2 3 0 ->= 7 1 2 3 0 , 7 1 2 3 6 ->= 7 1 2 3 6 , 8 1 2 3 4 ->= 8 1 2 3 4 , 8 1 2 3 5 ->= 8 1 2 3 5 , 8 1 2 3 0 ->= 8 1 2 3 0 , 8 1 2 3 6 ->= 8 1 2 3 6 , 9 1 2 3 4 ->= 9 1 2 3 4 , 9 1 2 3 5 ->= 9 1 2 3 5 , 9 1 2 3 0 ->= 9 1 2 3 0 , 9 1 2 3 6 ->= 9 1 2 3 6 } The system is trivially terminating.