YES After renaming modulo { 0->0, 1->1, 3->2, 2->3 }, it remains to prove termination of the 81-rule system { 0 0 0 0 0 1 2 3 0 2 2 3 2 3 3 3 1 1 -> 0 0 2 2 3 0 3 0 3 2 1 0 2 1 3 1 3 0 , 0 0 0 0 3 1 2 3 3 3 2 2 3 0 2 0 0 3 -> 0 2 3 2 1 0 0 3 2 0 3 2 0 0 3 0 3 3 , 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 3 3 1 0 0 1 2 1 -> 0 0 0 1 3 1 2 0 1 0 1 0 3 0 1 1 1 1 , 0 0 1 3 3 2 3 2 1 0 0 1 2 3 1 1 1 0 -> 0 0 1 1 0 1 0 3 2 3 2 1 1 1 2 3 3 0 , 0 0 1 2 2 3 2 3 3 2 0 0 3 2 3 3 2 0 -> 0 1 3 2 2 3 2 3 2 0 3 3 0 3 0 2 2 0 , 0 0 3 2 1 1 3 3 0 1 3 2 1 3 2 3 3 2 -> 2 1 1 3 2 0 3 3 3 1 3 2 0 3 2 0 3 1 , 0 0 2 1 0 3 0 2 3 1 2 2 2 2 3 0 0 1 -> 0 0 3 0 2 0 0 2 2 0 3 1 1 3 2 2 1 2 , 0 0 2 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 3 3 2 3 3 -> 2 2 1 3 1 0 0 1 1 0 1 0 3 0 3 1 0 3 , 0 0 2 1 2 0 0 2 3 3 0 0 2 1 2 2 3 2 -> 0 2 0 0 2 3 0 1 1 2 2 0 0 3 2 2 3 2 , 0 0 2 2 0 2 2 1 3 3 2 2 0 1 0 2 0 1 -> 0 1 0 0 1 2 0 1 2 2 3 0 3 2 2 2 0 2 , 0 1 1 0 2 0 3 2 3 1 1 3 3 0 1 1 2 3 -> 0 1 1 2 0 3 2 3 1 2 0 3 0 3 1 3 1 1 , 0 1 1 1 2 2 2 2 2 0 2 3 0 0 0 0 0 1 -> 0 1 2 1 0 2 1 2 0 2 0 2 0 2 0 3 0 1 , 0 1 3 0 2 2 2 3 0 2 0 0 0 2 0 0 2 2 -> 0 0 3 0 2 3 1 0 0 0 0 2 2 2 0 2 2 2 , 0 1 2 0 1 1 0 2 3 2 0 2 3 0 1 2 3 1 -> 0 1 2 2 0 3 3 1 1 0 1 0 3 2 0 2 2 1 , 0 3 0 2 0 2 2 3 3 0 3 1 1 3 0 2 3 1 -> 0 3 3 0 3 2 0 3 2 2 2 1 0 3 3 1 0 1 , 0 2 0 0 0 2 2 2 1 0 2 0 0 2 1 3 3 1 -> 0 2 1 1 2 0 2 0 0 3 1 0 0 3 2 2 2 0 , 0 2 1 3 3 0 1 3 0 1 2 1 2 0 1 2 1 2 -> 0 1 1 1 3 0 1 0 2 1 3 1 2 0 3 2 2 2 , 1 0 0 0 3 0 3 1 0 3 3 1 1 2 0 0 2 2 -> 1 1 0 3 0 3 3 2 0 1 1 0 0 0 0 3 2 2 , 1 0 0 1 3 3 1 0 1 2 3 0 3 0 2 0 0 0 -> 1 2 0 0 1 0 2 0 3 0 0 3 1 3 3 0 1 0 , 1 0 1 0 1 0 2 2 0 2 1 3 3 1 2 1 2 1 -> 1 0 2 1 0 2 3 2 0 1 2 1 1 0 1 3 2 1 , 1 1 0 0 1 3 1 3 3 0 3 2 3 2 0 3 3 0 -> 1 0 3 0 2 3 1 3 1 0 3 3 2 3 1 0 3 0 , 1 1 0 0 1 2 3 2 3 0 1 3 2 1 1 3 3 1 -> 1 1 3 3 2 1 1 1 3 3 1 2 0 0 3 1 2 0 , 1 1 0 1 0 1 1 3 3 1 1 1 1 2 2 1 2 0 -> 1 1 0 0 1 1 1 2 2 1 3 1 3 1 2 1 1 0 , 1 1 0 3 2 2 0 0 2 0 0 2 2 1 1 2 2 2 -> 1 1 0 3 2 2 2 0 1 0 2 0 1 2 2 0 2 2 , 1 1 1 1 2 3 1 0 0 2 2 0 0 2 3 1 2 2 -> 1 1 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2 2 3 1 2 3 1 1 2 1 2 2 0 3 2 2 , 1 2 2 3 3 0 2 1 2 0 1 3 1 3 0 2 3 1 -> 1 2 3 0 1 0 1 2 3 3 0 3 2 2 2 1 3 1 , 3 0 0 0 3 0 2 3 3 0 2 2 1 2 2 2 1 3 -> 3 2 2 3 2 1 2 3 0 0 2 2 0 1 3 0 0 3 , 3 0 0 1 2 1 0 3 3 3 3 2 3 2 3 3 3 0 -> 2 1 0 3 1 3 3 2 0 3 2 0 3 3 3 3 3 0 , 3 0 1 3 1 2 0 2 2 1 0 3 0 3 3 1 3 3 -> 3 3 3 1 0 3 1 1 0 2 2 3 2 0 1 0 3 3 , 3 0 3 3 1 0 1 0 1 3 3 0 0 2 1 1 1 1 -> 3 1 0 1 1 0 0 1 3 2 3 0 1 1 3 0 3 1 , 3 0 2 2 2 1 1 2 3 2 3 0 0 3 2 3 3 0 -> 3 0 1 0 1 2 3 3 2 3 2 2 2 3 2 0 3 0 , 3 1 0 0 2 3 1 1 3 0 1 1 3 3 3 0 3 1 -> 3 0 1 1 3 1 2 0 3 3 3 1 0 3 3 0 1 1 , 3 1 3 0 0 2 0 2 1 3 0 2 1 1 3 3 1 1 -> 3 2 2 3 2 3 0 3 0 3 0 1 0 1 1 1 1 1 , 3 1 3 3 0 1 3 0 3 1 3 3 2 0 3 3 0 0 -> 3 2 0 1 0 3 1 0 3 0 3 3 3 1 3 3 3 0 , 3 1 2 0 0 0 0 3 3 3 3 1 2 3 3 2 3 3 -> 3 0 3 2 3 1 3 0 3 1 0 3 0 3 2 3 2 3 , 3 3 0 0 0 0 0 0 3 3 1 1 2 0 3 1 1 1 -> 3 1 0 3 2 0 3 1 0 0 0 3 3 1 0 1 0 1 , 3 3 0 0 1 0 0 3 1 2 1 1 0 3 3 3 0 2 -> 3 3 0 0 3 3 0 3 0 1 1 1 1 3 2 0 0 2 , 3 3 0 1 3 2 1 1 3 1 1 3 2 3 0 1 3 2 -> 3 3 1 3 2 1 3 1 2 3 1 0 3 1 2 0 3 1 , 3 3 1 0 0 3 1 1 1 3 0 3 3 3 0 2 3 2 -> 3 3 1 0 3 3 0 1 1 3 3 1 0 3 2 0 3 2 , 3 3 1 3 0 0 0 0 3 3 0 1 3 3 0 0 1 3 -> 3 3 0 3 0 0 0 0 1 3 3 1 3 0 0 3 1 3 , 3 3 3 0 0 2 3 3 2 3 0 0 2 2 0 0 1 1 -> 2 1 3 0 0 0 3 0 3 2 0 1 3 3 2 3 2 0 , 3 3 2 2 1 1 2 0 0 0 1 0 1 3 2 3 0 0 -> 2 0 3 2 0 3 0 1 1 0 3 3 2 1 0 2 1 0 , 3 3 2 2 2 2 3 0 0 2 3 2 3 0 2 0 3 3 -> 3 3 3 2 0 3 2 3 2 2 0 2 0 3 2 0 3 2 , 3 2 1 3 0 1 2 3 1 3 2 3 3 2 3 0 2 2 -> 3 1 3 3 3 2 2 3 2 3 2 0 1 1 3 2 0 2 , 3 2 1 2 1 2 3 0 0 2 1 3 3 0 3 3 3 1 -> 3 1 3 1 1 0 3 2 2 2 2 3 1 0 3 0 3 3 , 3 2 1 2 3 0 0 2 1 1 0 2 2 3 3 0 1 2 -> 3 1 3 2 2 1 1 0 0 3 2 2 1 3 2 2 0 0 , 3 2 3 1 0 2 2 3 0 1 1 2 2 1 0 3 1 0 -> 3 0 3 2 2 1 1 1 1 0 3 1 2 2 3 0 2 0 , 3 2 3 1 2 0 2 3 1 2 1 3 2 2 3 0 0 1 -> 3 0 3 1 3 2 3 2 0 1 1 3 2 1 2 2 0 2 , 3 2 3 3 0 0 1 2 1 1 3 3 0 0 0 1 2 2 -> 3 0 3 1 2 0 0 3 2 2 0 3 0 1 1 2 3 1 , 3 2 3 2 1 0 0 3 1 2 1 3 3 1 2 3 3 3 -> 3 0 3 0 1 1 3 2 1 3 2 2 2 1 3 3 3 3 , 3 2 2 1 1 1 1 2 1 1 1 3 3 0 2 3 3 2 -> 3 1 1 2 3 2 1 3 2 1 1 1 2 0 3 3 1 2 , 2 0 0 0 0 2 3 3 3 0 0 2 2 3 3 2 0 1 -> 2 0 2 0 0 0 1 2 3 0 3 3 3 2 2 0 3 0 , 2 0 0 0 3 3 0 2 3 3 2 2 2 0 0 1 0 2 -> 2 2 0 2 0 3 0 3 2 2 0 0 0 3 2 3 0 1 , 2 0 1 2 0 1 0 0 2 2 3 3 3 2 1 1 1 2 -> 2 0 0 2 3 1 2 0 2 0 3 3 1 1 2 1 1 2 , 2 0 2 0 1 2 3 3 3 2 0 0 0 2 1 2 1 1 -> 2 0 1 1 2 2 0 3 0 3 0 2 2 1 3 1 2 0 , 2 0 2 0 2 3 0 2 1 1 2 0 2 2 2 2 1 2 -> 2 0 2 2 2 0 2 3 1 2 0 1 2 2 0 2 1 2 , 2 1 1 2 2 3 3 1 3 3 3 1 2 3 3 2 3 3 -> 2 3 2 2 3 1 1 3 1 3 2 3 1 2 3 3 3 3 , 2 1 1 2 2 3 3 3 1 1 1 0 0 2 0 1 2 0 -> 0 1 2 2 0 3 1 2 2 3 1 1 2 0 3 1 1 0 , 2 1 3 0 2 1 0 0 2 1 1 3 0 1 3 1 1 1 -> 2 1 1 0 3 1 1 3 0 1 2 1 0 2 1 0 3 1 , 2 1 2 2 3 3 0 2 1 1 3 2 3 3 2 2 3 0 -> 2 3 3 1 3 2 1 1 2 2 0 3 3 2 3 2 2 0 , 2 1 2 2 2 3 3 2 3 2 3 2 3 0 2 1 2 0 -> 2 3 2 1 3 1 3 2 2 3 2 2 2 2 3 0 2 0 , 2 3 0 0 0 0 0 3 3 1 3 2 1 3 2 0 3 1 -> 2 3 0 0 3 3 0 1 2 2 1 0 3 0 3 0 3 1 , 2 3 3 0 3 3 2 3 2 3 0 0 2 3 0 2 3 1 -> 0 0 3 2 2 2 0 3 3 3 2 2 3 3 0 3 3 1 , 2 3 3 0 2 0 2 1 3 3 1 3 1 0 0 1 3 2 -> 2 3 1 0 3 3 1 2 1 3 2 3 2 0 0 3 0 1 , 2 3 3 2 3 3 0 3 0 2 2 0 2 1 3 1 3 3 -> 2 2 0 3 1 0 3 3 2 3 2 2 3 0 3 3 1 3 , 2 3 3 2 3 2 2 2 1 0 1 3 3 0 1 0 2 1 -> 2 3 1 0 3 0 0 1 1 2 2 3 3 3 2 2 2 1 , 2 2 3 3 1 0 1 2 1 2 0 2 3 2 2 0 1 3 -> 2 2 0 1 3 2 2 2 0 3 1 1 2 0 3 2 1 3 , 0 1 3 2 ->= 0 1 3 2 } The system was reversed. After renaming modulo { 1->0, 3->1, 2->2, 0->3 }, it remains to prove termination of the 81-rule system { 0 0 1 1 1 2 1 2 2 3 1 2 0 3 3 3 3 3 -> 3 1 0 1 0 2 3 0 2 1 3 1 3 1 2 2 3 3 , 1 3 3 2 3 1 2 2 1 1 1 2 0 1 3 3 3 3 -> 1 1 3 1 3 3 2 1 3 2 1 3 3 0 2 1 2 3 , 0 2 0 3 3 0 1 1 3 3 0 0 0 0 0 3 3 3 -> 0 0 0 0 3 1 3 0 3 0 3 2 0 1 0 3 3 3 , 3 0 0 0 1 2 0 3 3 0 2 1 2 1 1 0 3 3 -> 3 1 1 2 0 0 0 2 1 2 1 3 0 3 0 0 3 3 , 3 2 1 1 2 1 3 3 2 1 1 2 1 2 2 0 3 3 -> 3 2 2 3 1 3 1 1 3 2 1 2 1 2 2 1 0 3 , 2 1 1 2 1 0 2 1 0 3 1 1 0 0 2 1 3 3 -> 0 1 3 2 1 3 2 1 0 1 1 1 3 2 1 0 0 2 , 0 3 3 1 2 2 2 2 0 1 2 3 1 3 0 2 3 3 -> 2 0 2 2 1 0 0 1 3 2 2 3 3 2 3 1 3 3 , 1 1 2 1 1 3 0 3 0 3 0 3 0 0 0 2 3 3 -> 1 3 0 1 3 1 3 0 3 0 0 3 3 0 1 0 2 2 , 2 1 2 2 0 2 3 3 1 1 2 3 3 2 0 2 3 3 -> 2 1 2 2 1 3 3 2 2 0 0 3 1 2 3 3 2 3 , 0 3 2 3 0 3 2 2 1 1 0 2 2 3 2 2 3 3 -> 2 3 2 2 2 1 3 1 2 2 0 3 2 0 3 3 0 3 , 1 2 0 0 3 1 1 0 0 1 2 1 3 2 3 0 0 3 -> 0 0 1 0 1 3 1 3 2 0 1 2 1 3 2 0 0 3 , 0 3 3 3 3 3 1 2 3 2 2 2 2 2 0 0 0 3 -> 0 3 1 3 2 3 2 3 2 3 2 0 2 3 0 2 0 3 , 2 2 3 3 2 3 3 3 2 3 1 2 2 2 3 1 0 3 -> 2 2 2 3 2 2 2 3 3 3 3 0 1 2 3 1 3 3 , 0 1 2 0 3 1 2 3 2 1 2 3 0 0 3 2 0 3 -> 0 2 2 3 2 1 3 0 3 0 0 1 1 3 2 2 0 3 , 0 1 2 3 1 0 0 1 3 1 1 2 2 3 2 3 1 3 -> 0 3 0 1 1 3 0 2 2 2 1 3 2 1 3 1 1 3 , 0 1 1 0 2 3 3 2 3 0 2 2 2 3 3 3 2 3 -> 3 2 2 2 1 3 3 0 1 3 3 2 3 2 0 0 2 3 , 2 0 2 0 3 2 0 2 0 3 1 0 3 1 1 0 2 3 -> 2 2 2 1 3 2 0 1 0 2 3 0 3 1 0 0 0 3 , 2 2 3 3 2 0 0 1 1 3 0 1 3 1 3 3 3 0 -> 2 2 1 3 3 3 3 0 0 3 2 1 1 3 1 3 0 0 , 3 3 3 2 3 1 3 1 2 0 3 0 1 1 0 3 3 0 -> 3 0 3 1 1 0 1 3 3 1 3 2 3 0 3 3 2 0 , 0 2 0 2 0 1 1 0 2 3 2 2 3 0 3 0 3 0 -> 0 2 1 0 3 0 0 2 0 3 2 1 2 3 0 2 3 0 , 3 1 1 3 2 1 2 1 3 1 1 0 1 0 3 3 0 0 -> 3 1 3 0 1 2 1 1 3 0 1 0 1 2 3 1 3 0 , 0 1 1 0 0 2 1 0 3 1 2 1 2 0 3 3 0 0 -> 3 2 0 1 3 3 2 0 1 1 0 0 0 2 1 1 0 0 , 3 2 0 2 2 0 0 0 0 1 1 0 0 3 0 3 0 0 -> 3 0 0 2 0 1 0 1 0 2 2 0 0 0 3 3 0 0 , 2 2 2 0 0 2 2 3 3 2 3 3 2 2 1 3 0 0 -> 2 2 3 2 2 0 3 2 3 0 3 2 2 2 1 3 0 0 , 2 2 0 1 2 3 3 2 2 3 3 0 1 2 0 0 0 0 -> 2 1 3 3 0 0 2 0 3 2 3 2 1 2 2 0 0 0 , 3 1 0 3 0 1 2 3 0 2 2 3 0 3 3 1 0 0 -> 3 3 0 1 3 3 0 1 3 2 0 0 2 1 2 0 3 0 , 2 0 1 3 3 0 2 1 2 1 0 3 2 2 3 1 0 0 -> 2 2 1 3 2 1 3 0 1 3 0 2 0 2 3 0 1 0 , 0 2 3 0 2 1 2 1 1 1 0 2 0 0 0 1 0 0 -> 0 0 1 0 1 0 1 0 1 3 2 2 2 1 0 2 0 0 , 2 3 2 1 2 0 1 2 2 3 2 3 3 2 1 1 0 0 -> 2 1 2 3 2 1 3 1 2 0 3 2 1 2 2 3 0 0 , 1 0 0 3 2 0 3 0 2 3 3 0 3 3 1 2 0 0 -> 1 3 2 3 0 0 2 3 3 0 0 1 3 3 0 2 0 0 , 3 0 3 1 2 3 3 3 2 3 1 0 2 1 0 3 1 0 -> 3 3 1 1 3 1 2 3 0 2 3 1 3 2 0 0 3 0 , 0 3 3 3 3 0 1 1 2 3 0 1 1 0 2 1 1 0 -> 0 1 3 3 1 3 0 0 2 1 3 3 2 1 1 1 0 0 , 0 2 2 3 2 3 1 1 2 1 0 3 1 1 0 2 1 0 -> 0 1 2 1 0 2 1 0 0 1 3 2 1 3 2 3 2 1 , 0 2 2 1 1 2 0 2 3 1 0 3 0 0 1 2 1 0 -> 0 0 2 3 2 1 3 2 1 2 0 1 1 0 0 2 1 0 , 2 0 0 2 0 2 1 3 3 3 0 1 1 2 3 3 2 0 -> 0 1 3 2 3 2 2 2 0 3 0 1 0 1 2 3 3 0 , 2 2 0 1 1 0 3 2 1 1 1 1 1 1 3 0 2 0 -> 2 2 1 1 0 1 3 1 0 2 0 1 1 1 1 3 2 0 , 3 0 1 2 3 3 3 0 0 3 0 3 0 1 2 1 2 0 -> 3 1 0 1 3 3 3 3 0 2 0 0 0 3 2 1 2 0 , 1 2 2 0 2 2 3 1 2 1 2 0 0 2 0 2 2 0 -> 2 2 1 3 2 2 0 2 0 0 1 2 0 1 2 2 2 0 , 0 1 2 3 1 0 1 0 3 2 0 2 3 1 1 2 2 0 -> 0 1 0 2 2 2 1 3 1 1 2 0 3 0 3 1 2 0 , 1 0 2 2 2 0 2 2 3 1 1 2 3 1 3 3 3 1 -> 1 3 3 1 0 3 2 2 3 3 1 2 0 2 1 2 2 1 , 3 1 1 1 2 1 2 1 1 1 1 3 0 2 0 3 3 1 -> 3 1 1 1 1 1 3 2 1 3 2 1 1 0 1 3 0 2 , 1 1 0 1 1 3 1 3 0 2 2 3 2 0 1 0 3 1 -> 1 1 3 0 3 2 1 2 2 3 0 0 1 3 0 1 1 1 , 0 0 0 0 2 3 3 1 1 0 3 0 3 0 1 1 3 1 -> 0 1 3 1 0 0 3 1 2 1 0 3 3 0 0 3 0 1 , 3 1 1 2 1 3 3 1 2 1 2 0 0 2 2 2 3 1 -> 3 1 3 2 1 2 2 2 1 2 1 1 2 0 3 0 3 1 , 0 1 3 1 1 1 0 0 3 1 0 0 1 2 3 3 0 1 -> 0 0 3 1 1 3 0 1 1 1 3 2 0 1 0 0 3 1 , 0 0 1 1 0 0 2 3 1 0 2 3 2 3 3 1 0 1 -> 0 0 0 0 0 3 0 3 1 3 1 3 1 2 1 2 2 1 , 3 3 1 1 3 2 1 1 0 1 3 1 0 3 1 1 0 1 -> 3 1 1 1 0 1 1 1 3 1 3 0 1 3 0 3 2 1 , 1 1 2 1 1 2 0 1 1 1 1 3 3 3 3 2 0 1 -> 1 2 1 2 1 3 1 3 0 1 3 1 0 1 2 1 3 1 , 0 0 0 1 3 2 0 0 1 1 3 3 3 3 3 3 1 1 -> 0 3 0 3 0 1 1 3 3 3 0 1 3 2 1 3 0 1 , 2 3 1 1 1 3 0 0 2 0 1 3 3 0 3 3 1 1 -> 2 3 3 2 1 0 0 0 0 3 1 3 1 1 3 3 1 1 , 2 1 0 3 1 2 1 0 0 1 0 0 2 1 0 3 1 1 -> 0 1 3 2 0 1 3 0 1 2 0 1 0 2 1 0 1 1 , 2 1 2 3 1 1 1 3 1 0 0 0 1 3 3 0 1 1 -> 2 1 3 2 1 3 0 1 1 0 0 3 1 1 3 0 1 1 , 1 0 3 3 1 1 0 3 1 1 3 3 3 3 1 0 1 1 -> 1 0 1 3 3 1 0 1 1 0 3 3 3 3 1 3 1 1 , 0 0 3 3 2 2 3 3 1 2 1 1 2 3 3 1 1 1 -> 3 2 1 2 1 1 0 3 2 1 3 1 3 3 3 1 0 2 , 3 3 1 2 1 0 3 0 3 3 3 2 0 0 2 2 1 1 -> 3 0 2 3 0 2 1 1 3 0 0 3 1 3 2 1 3 2 , 1 1 3 2 3 1 2 1 2 3 3 1 2 2 2 2 1 1 -> 2 1 3 2 1 3 2 3 2 2 1 2 1 3 2 1 1 1 , 2 2 3 1 2 1 1 2 1 0 1 2 0 3 1 0 2 1 -> 2 3 2 1 0 0 3 2 1 2 1 2 2 1 1 1 0 1 , 0 1 1 1 3 1 1 0 2 3 3 1 2 0 2 0 2 1 -> 1 1 3 1 3 0 1 2 2 2 2 1 3 0 0 1 0 1 , 2 0 3 1 1 2 2 3 0 0 2 3 3 1 2 0 2 1 -> 3 3 2 2 1 0 2 2 1 3 3 0 0 2 2 1 0 1 , 3 0 1 3 0 2 2 0 0 3 1 2 2 3 0 1 2 1 -> 3 2 3 1 2 2 0 1 3 0 0 0 0 2 2 1 3 1 , 0 3 3 1 2 2 1 0 2 0 1 2 3 2 0 1 2 1 -> 2 3 2 2 0 2 1 0 0 3 2 1 2 1 0 1 3 1 , 2 2 0 3 3 3 1 1 0 0 2 0 3 3 1 1 2 1 -> 0 1 2 0 0 3 1 3 2 2 1 3 3 2 0 1 3 1 , 1 1 1 2 0 1 1 0 2 0 1 3 3 0 2 1 2 1 -> 1 1 1 1 0 2 2 2 1 0 2 1 0 0 3 1 3 1 , 2 1 1 2 3 1 1 0 0 0 2 0 0 0 0 2 2 1 -> 2 0 1 1 3 2 0 0 0 2 1 0 2 1 2 0 0 1 , 0 3 2 1 1 2 2 3 3 1 1 1 2 3 3 3 3 2 -> 3 1 3 2 2 1 1 1 3 1 2 0 3 3 3 2 3 2 , 2 3 0 3 3 2 2 2 1 1 2 3 1 1 3 3 3 2 -> 0 3 1 2 1 3 3 3 2 2 1 3 1 3 2 3 2 2 , 2 0 0 0 2 1 1 1 2 2 3 3 0 3 2 0 3 2 -> 2 0 0 2 0 0 1 1 3 2 3 2 0 1 2 3 3 2 , 0 0 2 0 2 3 3 3 2 1 1 1 2 0 3 2 3 2 -> 3 2 0 1 0 2 2 3 1 3 1 3 2 2 0 0 3 2 , 2 0 2 2 2 2 3 2 0 0 2 3 1 2 3 2 3 2 -> 2 0 2 3 2 2 0 3 2 0 1 2 3 2 2 2 3 2 , 1 1 2 1 1 2 0 1 1 1 0 1 1 2 2 0 0 2 -> 1 1 1 1 2 0 1 2 1 0 1 0 0 1 2 2 1 2 , 3 2 0 3 2 3 3 0 0 0 1 1 1 2 2 0 0 2 -> 3 0 0 1 3 2 0 0 1 2 2 0 1 3 2 2 0 3 , 0 0 0 1 0 3 1 0 0 2 3 3 0 2 3 1 0 2 -> 0 1 3 0 2 3 0 2 0 3 1 0 0 1 3 0 0 2 , 3 1 2 2 1 1 2 1 0 0 2 3 1 1 2 2 0 2 -> 3 2 2 1 2 1 1 3 2 2 0 0 2 1 0 1 1 2 , 3 2 0 2 3 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2 0 2 -> 3 2 3 1 2 2 2 2 1 2 2 1 0 1 0 2 1 2 , 0 1 3 2 1 0 2 1 0 1 1 3 3 3 3 3 1 2 -> 0 1 3 1 3 1 3 0 2 2 0 3 1 1 3 3 1 2 , 0 1 2 3 1 2 3 3 1 2 1 2 1 1 3 1 1 2 -> 0 1 1 3 1 1 2 2 1 1 1 3 2 2 2 1 3 3 , 2 1 0 3 3 0 1 0 1 1 0 2 3 2 3 1 1 2 -> 0 3 1 3 3 2 1 2 1 0 2 0 1 1 3 0 1 2 , 1 1 0 1 0 2 3 2 2 3 1 3 1 1 2 1 1 2 -> 1 0 1 1 3 1 2 2 1 2 1 1 3 0 1 3 2 2 , 0 2 3 0 3 1 1 0 3 0 2 2 2 1 2 1 1 2 -> 0 2 2 2 1 1 1 2 2 0 0 3 3 1 3 0 1 2 , 1 0 3 2 2 1 2 3 2 0 2 0 3 0 1 1 2 2 -> 1 0 2 1 3 2 0 0 1 3 2 2 2 1 0 3 2 2 , 2 1 0 3 ->= 2 1 0 3 } Applying context closure of depth 1 in the following form: System R over Sigma maps to { fold(xly) -> fold(xry) | l -> r in R, x,y in Sigma } over Sigma^2, where fold(a_1...a_n) = (a_1,a_2)...(a_{n-1},a_{n}) After renaming modulo { [0, 0]->0, [0, 1]->1, [1, 1]->2, [1, 2]->3, [2, 1]->4, [2, 2]->5, [2, 3]->6, [3, 1]->7, [2, 0]->8, [0, 3]->9, [3, 3]->10, [3, 0]->11, [1, 0]->12, [0, 2]->13, [1, 3]->14, [3, 2]->15 }, it remains to prove termination of the 1296-rule system { 0 0 1 2 2 3 4 3 5 6 7 3 8 9 10 10 10 10 11 -> 9 7 12 1 12 13 6 11 13 4 14 7 14 7 3 5 6 10 11 , 1 14 10 15 6 7 3 5 4 2 2 3 8 1 14 10 10 10 11 -> 1 2 14 7 14 10 15 4 14 15 4 14 10 11 13 4 3 6 11 , 0 13 8 9 10 11 1 2 14 10 11 0 0 0 0 9 10 10 11 -> 0 0 0 0 9 7 14 11 9 11 9 15 8 1 12 9 10 10 11 , 9 11 0 0 1 3 8 9 10 11 13 4 3 4 2 12 9 10 11 -> 9 7 2 3 8 0 0 13 4 3 4 14 11 9 11 0 9 10 11 , 9 15 4 2 3 4 14 10 15 4 2 3 4 3 5 8 9 10 11 -> 9 15 5 6 7 14 7 2 14 15 4 3 4 3 5 4 12 9 11 , 13 4 2 3 4 12 13 4 12 9 7 2 12 0 13 4 14 10 11 -> 0 1 14 15 4 14 15 4 12 1 2 2 14 15 4 12 0 13 8 , 0 9 10 7 3 5 5 5 8 1 3 6 7 14 11 13 6 10 11 -> 13 8 13 5 4 12 0 1 14 15 5 6 10 15 6 7 14 10 11 , 1 2 3 4 2 14 11 9 11 9 11 9 11 0 0 13 6 10 11 -> 1 14 11 1 14 7 14 11 9 11 0 9 10 11 1 12 13 5 8 , 13 4 3 5 8 13 6 10 7 2 3 6 10 15 8 13 6 10 11 -> 13 4 3 5 4 14 10 15 5 8 0 9 7 3 6 10 15 6 11 , 0 9 15 6 11 9 15 5 4 2 12 13 5 6 15 5 6 10 11 -> 13 6 15 5 5 4 14 7 3 5 8 9 15 8 9 10 11 9 11 , 1 3 8 0 9 7 2 12 0 1 3 4 14 15 6 11 0 9 11 -> 0 0 1 12 1 14 7 14 15 8 1 3 4 14 15 8 0 9 11 , 0 9 10 10 10 10 7 3 6 15 5 5 5 5 8 0 0 9 11 -> 0 9 7 14 15 6 15 6 15 6 15 8 13 6 11 13 8 9 11 , 13 5 6 10 15 6 10 10 15 6 7 3 5 5 6 7 12 9 11 -> 13 5 5 6 15 5 5 6 10 10 10 11 1 3 6 7 14 10 11 , 0 1 3 8 9 7 3 6 15 4 3 6 11 0 9 15 8 9 11 -> 0 13 5 6 15 4 14 11 9 11 0 1 2 14 15 5 8 9 11 , 0 1 3 6 7 12 0 1 14 7 2 3 5 6 15 6 7 14 11 -> 0 9 11 1 2 14 11 13 5 5 4 14 15 4 14 7 2 14 11 , 0 1 2 12 13 6 10 15 6 11 13 5 5 6 10 10 15 6 11 -> 9 15 5 5 4 14 10 11 1 14 10 15 6 15 8 0 13 6 11 , 13 8 13 8 9 15 8 13 8 9 7 12 9 7 2 12 13 6 11 -> 13 5 5 4 14 15 8 1 12 13 6 11 9 7 12 0 0 9 11 , 13 5 6 10 15 8 0 1 2 14 11 1 14 7 14 10 10 11 0 -> 13 5 4 14 10 10 10 11 0 9 15 4 2 14 7 14 11 0 0 , 9 10 10 15 6 7 14 7 3 8 9 11 1 2 12 9 10 11 0 -> 9 11 9 7 2 12 1 14 10 7 14 15 6 11 9 10 15 8 0 , 0 13 8 13 8 1 2 12 13 6 15 5 6 11 9 11 9 11 0 -> 0 13 4 12 9 11 0 13 8 9 15 4 3 6 11 13 6 11 0 , 9 7 2 14 15 4 3 4 14 7 2 12 1 12 9 10 11 0 0 -> 9 7 14 11 1 3 4 2 14 11 1 12 1 3 6 7 14 11 0 , 0 1 2 12 0 13 4 12 9 7 3 4 3 8 9 10 11 0 0 -> 9 15 8 1 14 10 15 8 1 2 12 0 0 13 4 2 12 0 0 , 9 15 8 13 5 8 0 0 0 1 2 12 0 9 11 9 11 0 0 -> 9 11 0 13 8 1 12 1 12 13 5 8 0 0 9 10 11 0 0 , 13 5 5 8 0 13 5 6 10 15 6 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11 13 6 11 13 8 9 7 12 0 1 14 11 0 13 6 , 10 7 3 5 4 2 3 4 12 0 13 6 7 2 3 5 8 13 6 -> 10 15 5 4 3 4 2 14 15 5 8 0 13 4 12 1 2 3 6 , 10 15 8 13 6 7 3 4 3 4 3 4 2 3 5 5 8 13 6 -> 10 15 6 7 3 5 5 5 4 3 5 4 12 1 12 13 4 3 6 , 11 1 14 15 4 12 13 4 12 1 2 14 10 10 10 10 7 3 6 -> 11 1 14 7 14 7 14 11 13 5 8 9 7 2 14 10 7 3 6 , 11 1 3 6 7 3 6 10 7 3 4 3 4 2 14 7 2 3 6 -> 11 1 2 14 7 2 3 5 4 2 2 14 15 5 5 4 14 10 10 , 15 4 12 9 10 11 1 12 1 2 12 13 6 15 6 7 2 3 6 -> 11 9 7 14 10 15 4 3 4 12 13 8 1 2 14 11 1 3 6 , 7 2 12 1 12 13 6 15 5 6 7 14 7 2 3 4 2 3 6 -> 7 12 1 2 14 7 3 5 4 3 4 2 14 11 1 14 15 5 6 , 11 13 6 11 9 7 2 12 9 11 13 5 5 4 3 4 2 3 6 -> 11 13 5 5 4 2 2 3 5 8 0 9 10 7 14 11 1 3 6 , 7 12 9 15 5 4 3 6 15 8 13 8 9 11 1 2 3 5 6 -> 7 12 13 4 14 15 8 0 1 14 15 5 5 4 12 9 15 5 6 , 15 4 12 9 10 ->= 15 4 12 9 10 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 2: 0 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 1 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 2 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 3 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 4 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 5 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 6 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 7 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 8 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 9 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 10 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 11 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 12 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 13 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 14 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 15 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / After renaming modulo { 0->0, 13->1, 8->2, 9->3, 10->4, 11->5, 1->6, 2->7, 14->8, 7->9, 15->10, 12->11, 5->12, 6->13, 4->14, 3->15 }, it remains to prove termination of the 272-rule system { 0 1 2 3 4 5 6 7 8 4 5 0 0 0 0 3 4 4 5 -> 0 0 0 0 3 9 8 5 3 5 3 10 2 6 11 3 4 4 5 , 1 12 13 4 10 2 0 6 7 8 5 6 8 9 8 4 4 5 0 -> 1 12 14 8 4 4 4 5 0 3 10 14 7 8 9 8 5 0 0 , 0 1 2 1 2 6 7 11 1 13 10 12 13 5 3 5 3 5 0 -> 0 1 14 11 3 5 0 1 2 3 10 14 15 13 5 1 13 5 0 , 3 10 2 1 12 2 0 0 0 6 7 11 0 3 5 3 5 0 0 -> 3 5 0 1 2 6 11 6 11 1 12 2 0 0 3 4 5 0 0 , 1 12 12 2 0 1 12 13 4 10 13 4 10 12 14 8 5 0 0 -> 1 12 13 10 12 2 3 10 13 5 3 10 12 12 14 8 5 0 0 , 1 2 0 1 2 1 14 8 4 4 5 6 7 15 13 4 10 2 0 -> 0 6 8 10 13 10 12 12 2 3 5 6 11 6 15 13 4 5 0 , 6 11 1 12 12 2 1 12 13 9 7 15 13 9 8 4 4 9 11 -> 6 8 4 9 11 3 10 12 13 4 9 15 2 1 14 15 12 14 11 , 6 7 11 6 7 8 9 8 5 1 12 13 10 2 6 11 3 9 11 -> 6 7 8 5 3 10 14 15 12 13 5 0 6 8 5 6 7 7 11 , 0 0 0 0 1 13 4 9 7 11 3 5 3 5 6 7 8 9 11 -> 0 6 8 9 11 0 3 9 15 14 11 3 4 5 0 3 5 6 11 , 3 9 7 15 14 8 4 9 15 14 15 2 0 1 12 12 13 9 11 -> 3 9 8 10 14 15 12 12 14 15 14 7 15 2 3 5 3 9 11 , 1 13 9 7 7 8 5 0 1 2 6 8 4 5 3 4 9 7 11 -> 1 13 4 10 14 11 0 0 0 3 9 8 9 7 8 4 9 7 11 , 1 12 13 9 15 14 7 15 14 11 6 15 2 3 9 11 1 14 11 -> 1 13 10 14 11 0 3 10 14 15 14 15 12 14 7 7 11 6 11 , 6 7 7 15 2 6 7 11 1 2 6 8 4 5 1 14 15 14 11 -> 6 7 7 7 11 1 12 12 14 11 1 14 11 0 3 9 8 9 11 , 1 2 1 12 12 12 13 10 2 0 1 13 9 15 13 10 13 10 2 -> 1 2 1 13 10 12 2 3 10 2 6 15 13 10 12 12 13 10 2 , 6 7 15 14 7 15 2 6 7 7 11 6 7 15 12 2 0 1 2 -> 6 7 7 7 15 2 6 15 14 11 6 11 0 6 15 12 14 15 2 , 3 10 2 1 13 9 15 14 15 14 15 14 7 15 12 12 2 1 2 -> 3 10 13 9 15 12 12 12 14 15 12 14 11 6 11 1 14 15 2 , 1 14 11 3 5 ->= 1 14 11 3 5 , 0 1 2 3 4 5 6 7 8 4 5 0 0 0 0 3 4 4 9 -> 0 0 0 0 3 9 8 5 3 5 3 10 2 6 11 3 4 4 9 , 1 12 13 4 10 2 0 6 7 8 5 6 8 9 8 4 4 5 6 -> 1 12 14 8 4 4 4 5 0 3 10 14 7 8 9 8 5 0 6 , 0 1 2 1 2 6 7 11 1 13 10 12 13 5 3 5 3 5 6 -> 0 1 14 11 3 5 0 1 2 3 10 14 15 13 5 1 13 5 6 , 3 10 2 1 12 2 0 0 0 6 7 11 0 3 5 3 5 0 6 -> 3 5 0 1 2 6 11 6 11 1 12 2 0 0 3 4 5 0 6 , 1 12 12 2 0 1 12 13 4 10 13 4 10 12 14 8 5 0 6 -> 1 12 13 10 12 2 3 10 13 5 3 10 12 12 14 8 5 0 6 , 1 2 0 1 2 1 14 8 4 4 5 6 7 15 13 4 10 2 6 -> 0 6 8 10 13 10 12 12 2 3 5 6 11 6 15 13 4 5 6 , 6 11 1 12 12 2 1 12 13 9 7 15 13 9 8 4 4 9 7 -> 6 8 4 9 11 3 10 12 13 4 9 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-> 4 5 0 1 2 6 11 6 11 1 12 2 0 0 3 4 5 0 1 , 10 12 12 2 0 1 12 13 4 10 13 4 10 12 14 8 5 0 1 -> 10 12 13 10 12 2 3 10 13 5 3 10 12 12 14 8 5 0 1 , 10 2 0 1 2 1 14 8 4 4 5 6 7 15 13 4 10 2 1 -> 5 6 8 10 13 10 12 12 2 3 5 6 11 6 15 13 4 5 1 , 9 11 1 12 12 2 1 12 13 9 7 15 13 9 8 4 4 9 15 -> 9 8 4 9 11 3 10 12 13 4 9 15 2 1 14 15 12 14 15 , 9 7 11 6 7 8 9 8 5 1 12 13 10 2 6 11 3 9 15 -> 9 7 8 5 3 10 14 15 12 13 5 0 6 8 5 6 7 7 15 , 5 0 0 0 1 13 4 9 7 11 3 5 3 5 6 7 8 9 15 -> 5 6 8 9 11 0 3 9 15 14 11 3 4 5 0 3 5 6 15 , 4 9 7 15 14 8 4 9 15 14 15 2 0 1 12 12 13 9 15 -> 4 9 8 10 14 15 12 12 14 15 14 7 15 2 3 5 3 9 15 , 10 13 9 7 7 8 5 0 1 2 6 8 4 5 3 4 9 7 15 -> 10 13 4 10 14 11 0 0 0 3 9 8 9 7 8 4 9 7 15 , 10 12 13 9 15 14 7 15 14 11 6 15 2 3 9 11 1 14 15 -> 10 13 10 14 11 0 3 10 14 15 14 15 12 14 7 7 11 6 15 , 9 7 7 15 2 6 7 11 1 2 6 8 4 5 1 14 15 14 15 -> 9 7 7 7 11 1 12 12 14 11 1 14 11 0 3 9 8 9 15 , 10 2 1 12 12 12 13 10 2 0 1 13 9 15 13 10 13 10 12 -> 10 2 1 13 10 12 2 3 10 2 6 15 13 10 12 12 13 10 12 , 9 7 15 14 7 15 2 6 7 7 11 6 7 15 12 2 0 1 12 -> 9 7 7 7 15 2 6 15 14 11 6 11 0 6 15 12 14 15 12 , 4 10 2 1 13 9 15 14 15 14 15 14 7 15 12 12 2 1 12 -> 4 10 13 9 15 12 12 12 14 15 12 14 11 6 11 1 14 15 12 , 10 14 11 3 10 ->= 10 14 11 3 10 , 5 1 2 3 4 5 6 7 8 4 5 0 0 0 0 3 4 4 4 -> 5 0 0 0 3 9 8 5 3 5 3 10 2 6 11 3 4 4 4 , 10 12 13 4 10 2 0 6 7 8 5 6 8 9 8 4 4 5 3 -> 10 12 14 8 4 4 4 5 0 3 10 14 7 8 9 8 5 0 3 , 5 1 2 1 2 6 7 11 1 13 10 12 13 5 3 5 3 5 3 -> 5 1 14 11 3 5 0 1 2 3 10 14 15 13 5 1 13 5 3 , 4 10 2 1 12 2 0 0 0 6 7 11 0 3 5 3 5 0 3 -> 4 5 0 1 2 6 11 6 11 1 12 2 0 0 3 4 5 0 3 , 10 12 12 2 0 1 12 13 4 10 13 4 10 12 14 8 5 0 3 -> 10 12 13 10 12 2 3 10 13 5 3 10 12 12 14 8 5 0 3 , 10 2 0 1 2 1 14 8 4 4 5 6 7 15 13 4 10 2 3 -> 5 6 8 10 13 10 12 12 2 3 5 6 11 6 15 13 4 5 3 , 9 11 1 12 12 2 1 12 13 9 7 15 13 9 8 4 4 9 8 -> 9 8 4 9 11 3 10 12 13 4 9 15 2 1 14 15 12 14 8 , 9 7 11 6 7 8 9 8 5 1 12 13 10 2 6 11 3 9 8 -> 9 7 8 5 3 10 14 15 12 13 5 0 6 8 5 6 7 7 8 , 5 0 0 0 1 13 4 9 7 11 3 5 3 5 6 7 8 9 8 -> 5 6 8 9 11 0 3 9 15 14 11 3 4 5 0 3 5 6 8 , 4 9 7 15 14 8 4 9 15 14 15 2 0 1 12 12 13 9 8 -> 4 9 8 10 14 15 12 12 14 15 14 7 15 2 3 5 3 9 8 , 10 13 9 7 7 8 5 0 1 2 6 8 4 5 3 4 9 7 8 -> 10 13 4 10 14 11 0 0 0 3 9 8 9 7 8 4 9 7 8 , 10 12 13 9 15 14 7 15 14 11 6 15 2 3 9 11 1 14 8 -> 10 13 10 14 11 0 3 10 14 15 14 15 12 14 7 7 11 6 8 , 9 7 7 15 2 6 7 11 1 2 6 8 4 5 1 14 15 14 8 -> 9 7 7 7 11 1 12 12 14 11 1 14 11 0 3 9 8 9 8 , 10 2 1 12 12 12 13 10 2 0 1 13 9 15 13 10 13 10 13 -> 10 2 1 13 10 12 2 3 10 2 6 15 13 10 12 12 13 10 13 , 9 7 15 14 7 15 2 6 7 7 11 6 7 15 12 2 0 1 13 -> 9 7 7 7 15 2 6 15 14 11 6 11 0 6 15 12 14 15 13 , 4 10 2 1 13 9 15 14 15 14 15 14 7 15 12 12 2 1 13 -> 4 10 13 9 15 12 12 12 14 15 12 14 11 6 11 1 14 15 13 , 10 14 11 3 4 ->= 10 14 11 3 4 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 2: 0 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 1 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 2 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 3 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 4 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 5 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 6 is interpreted by / \ | 1 3 | | 0 1 | \ / 7 is interpreted by / \ | 1 4 | | 0 1 | \ / 8 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 9 is interpreted by / \ | 1 3 | | 0 1 | \ / 10 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 11 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 12 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 13 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 14 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 15 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / After renaming modulo { 1->0, 14->1, 11->2, 3->3, 5->4, 9->5, 10->6, 4->7, 15->8, 12->9 }, it remains to prove termination of the 16-rule system { 0 1 2 3 4 ->= 0 1 2 3 4 , 0 1 2 3 5 ->= 0 1 2 3 5 , 0 1 2 3 6 ->= 0 1 2 3 6 , 0 1 2 3 7 ->= 0 1 2 3 7 , 8 1 2 3 4 ->= 8 1 2 3 4 , 8 1 2 3 5 ->= 8 1 2 3 5 , 8 1 2 3 6 ->= 8 1 2 3 6 , 8 1 2 3 7 ->= 8 1 2 3 7 , 9 1 2 3 4 ->= 9 1 2 3 4 , 9 1 2 3 5 ->= 9 1 2 3 5 , 9 1 2 3 6 ->= 9 1 2 3 6 , 9 1 2 3 7 ->= 9 1 2 3 7 , 6 1 2 3 4 ->= 6 1 2 3 4 , 6 1 2 3 5 ->= 6 1 2 3 5 , 6 1 2 3 6 ->= 6 1 2 3 6 , 6 1 2 3 7 ->= 6 1 2 3 7 } The system is trivially terminating.