YES After renaming modulo { 0->0, 1->1, 2->2, 3->3 }, it remains to prove termination of the 81-rule system { 0 0 0 1 0 0 2 3 3 0 2 3 2 3 2 0 0 2 -> 0 0 3 0 2 1 0 3 3 0 0 0 3 2 2 2 0 2 , 0 0 0 3 0 3 2 0 2 3 0 1 0 1 0 0 1 0 -> 0 2 0 0 2 0 0 0 3 3 0 0 1 1 3 0 1 0 , 0 0 0 3 1 2 2 3 0 0 2 2 2 2 0 0 3 0 -> 2 0 0 3 3 3 2 1 2 0 2 0 2 0 2 0 0 0 , 0 0 1 2 0 2 2 3 3 0 3 2 0 3 1 0 1 2 -> 0 0 1 2 2 1 0 3 1 0 0 2 2 0 3 3 3 2 , 0 0 2 0 2 1 3 2 1 3 0 2 0 2 0 1 2 3 -> 2 0 2 1 2 0 2 1 0 2 0 3 2 0 1 0 3 3 , 0 0 2 3 0 0 1 2 0 3 2 1 3 0 3 1 0 1 -> 0 3 2 0 2 0 1 1 0 0 0 3 3 2 3 1 0 1 , 0 0 3 0 0 3 0 2 1 3 2 1 2 3 0 2 1 3 -> 0 1 0 0 1 0 2 2 3 3 2 3 3 2 1 0 0 3 , 0 0 3 1 1 2 2 2 0 0 0 2 3 1 1 3 0 0 -> 0 1 1 2 2 0 2 0 0 1 3 2 0 3 3 1 0 0 , 0 0 3 1 2 1 2 0 1 0 0 2 2 3 3 0 2 2 -> 0 1 0 2 3 3 0 0 1 3 2 2 1 0 2 2 0 2 , 0 1 0 1 3 0 2 3 0 1 1 2 2 3 0 0 2 3 -> 0 2 2 1 2 3 3 0 0 1 1 3 0 1 0 0 2 3 , 0 1 0 2 1 3 2 0 1 0 0 2 3 3 2 3 0 0 -> 0 2 1 0 2 2 3 3 3 1 0 2 1 3 0 0 0 0 , 0 1 2 1 3 1 1 2 3 0 1 2 1 2 2 3 2 2 -> 1 3 1 2 2 1 3 3 2 1 0 2 2 2 0 1 1 2 , 0 1 2 2 2 0 2 0 0 1 0 1 2 0 0 0 0 2 -> 0 2 0 0 0 2 1 2 2 1 0 0 2 1 0 0 0 2 , 0 1 2 3 1 2 3 0 0 0 0 0 2 1 0 0 3 2 -> 0 2 2 1 3 3 1 0 0 0 0 3 2 1 0 0 0 2 , 0 1 3 0 3 0 3 0 1 1 3 2 3 3 1 0 1 3 -> 0 1 2 0 3 3 1 1 1 1 0 3 3 3 3 3 0 0 , 0 2 0 3 2 3 2 3 1 0 3 0 1 2 0 1 2 0 -> 0 0 2 3 0 2 0 1 3 3 1 3 2 2 1 0 2 0 , 0 2 3 1 2 1 2 3 3 3 1 2 0 0 2 0 1 3 -> 0 1 3 3 2 3 2 3 2 0 2 2 1 1 0 0 1 3 , 0 3 0 0 2 3 1 0 3 0 3 1 2 0 3 1 0 0 -> 1 1 3 3 3 0 3 0 0 0 2 0 3 0 1 2 0 0 , 0 3 0 3 2 3 0 1 0 1 3 2 2 2 0 3 3 2 -> 0 1 3 3 0 3 2 0 0 2 2 1 2 0 3 3 3 2 , 0 3 1 0 0 3 1 0 0 1 2 1 3 2 3 0 2 3 -> 2 0 0 0 0 3 2 3 3 3 3 2 1 1 1 1 0 0 , 0 3 1 2 0 2 3 2 2 1 3 1 2 0 1 3 2 3 -> 0 2 0 3 2 1 3 1 2 0 2 2 1 1 2 3 3 3 , 0 3 2 0 2 2 0 2 0 1 2 2 3 0 2 2 2 0 -> 2 2 3 2 2 0 1 0 2 0 0 3 2 2 0 2 2 0 , 0 3 2 1 3 2 1 2 0 1 2 2 3 0 1 1 2 2 -> 0 3 0 2 3 2 1 1 1 2 2 2 1 3 0 1 2 2 , 1 0 0 1 0 1 2 2 3 1 1 2 2 3 0 0 1 0 -> 1 2 1 1 0 0 2 1 2 3 0 1 0 3 0 2 1 0 , 1 0 0 1 0 2 3 1 3 0 3 0 0 3 1 3 1 3 -> 1 1 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2 2 3 2 1 1 1 3 0 2 0 3 0 0 2 3 , 2 0 3 1 1 3 3 0 3 0 1 0 3 0 1 3 3 3 -> 2 3 3 0 1 1 0 0 3 3 1 1 3 0 0 3 3 3 , 2 1 0 0 1 2 1 3 0 1 2 3 3 1 1 1 0 0 -> 0 2 2 0 1 1 1 2 3 1 3 3 0 1 1 1 0 0 , 2 1 0 1 2 1 0 1 0 2 0 2 2 3 1 0 0 0 -> 2 1 0 2 1 2 2 3 0 0 0 1 0 2 1 1 0 0 , 2 1 0 2 1 3 0 2 1 3 2 2 2 0 1 2 3 2 -> 2 3 2 3 2 2 1 1 1 2 0 2 2 1 0 3 0 2 , 2 1 1 1 3 3 1 2 0 3 1 2 0 0 1 0 2 3 -> 2 2 0 2 0 3 3 3 1 1 1 1 0 0 1 2 1 3 , 2 1 2 2 1 3 3 3 3 2 1 3 1 3 1 0 0 3 -> 2 1 1 3 2 3 2 1 1 0 3 1 3 2 0 3 3 3 , 2 1 2 3 2 0 0 3 1 3 1 1 2 2 3 2 3 2 -> 2 2 2 1 1 3 0 3 3 2 0 2 2 3 1 1 3 2 , 2 1 3 0 2 3 1 2 3 0 0 1 2 2 2 2 1 2 -> 0 2 0 0 1 1 1 2 2 2 2 2 1 2 3 3 3 2 , 2 1 3 1 2 2 2 0 3 1 3 0 0 2 0 3 3 3 -> 2 1 2 0 0 1 3 3 0 2 0 2 2 1 3 3 3 3 , 2 1 3 1 3 1 3 2 0 1 0 1 0 3 3 1 2 1 -> 0 3 0 2 1 1 0 3 2 3 3 1 1 1 1 3 2 1 , 2 2 0 2 2 1 2 3 2 2 3 1 0 0 0 0 3 1 -> 2 2 1 2 0 2 2 1 0 0 3 3 3 2 0 2 0 1 , 2 2 1 2 1 3 2 3 0 2 3 2 2 0 1 2 2 1 -> 2 0 3 2 2 3 3 2 2 1 2 1 2 2 1 0 2 1 , 2 2 2 0 1 2 0 1 2 2 0 2 0 0 0 1 2 2 -> 2 2 0 2 1 2 0 2 0 2 0 2 1 0 0 2 1 2 , 2 2 2 0 2 1 3 1 0 2 2 3 1 3 2 0 2 2 -> 2 1 2 0 3 2 1 3 2 0 2 2 1 3 0 2 2 2 , 2 2 2 0 3 1 1 2 1 3 1 1 2 2 0 1 3 1 -> 2 1 1 2 0 2 2 1 2 1 0 3 3 3 1 2 1 1 , 2 2 2 3 1 2 3 2 2 1 0 1 1 3 1 1 2 2 -> 2 2 2 1 2 3 2 2 1 1 1 2 3 1 3 0 2 1 , 2 2 2 3 1 3 0 0 1 3 0 0 2 3 2 3 2 2 -> 2 0 3 3 2 0 3 0 3 2 1 0 3 2 2 2 2 1 , 2 2 2 3 1 3 1 2 0 0 3 1 2 0 3 3 0 2 -> 2 1 0 2 0 3 3 3 1 2 2 1 0 0 3 2 3 2 , 2 2 2 3 2 1 0 3 2 0 1 2 0 1 3 1 2 3 -> 2 0 3 2 1 1 2 3 3 1 2 2 2 1 0 0 2 3 , 2 2 3 0 1 1 2 1 3 3 1 3 1 0 2 0 2 3 -> 2 1 2 1 1 2 1 0 3 3 2 3 2 3 1 0 0 3 , 2 2 3 0 3 1 3 2 0 2 2 3 2 3 0 1 2 1 -> 2 2 0 3 3 2 2 0 2 2 3 1 1 1 3 3 0 2 , 2 2 3 1 0 3 1 3 0 3 0 1 0 3 1 2 1 3 -> 0 0 2 1 1 0 2 1 1 3 2 3 0 3 1 3 3 3 , 2 2 3 1 0 3 2 3 1 1 2 3 0 2 0 2 3 3 -> 2 3 3 2 2 1 2 0 3 0 3 2 3 2 1 1 0 3 , 2 2 3 1 3 2 3 0 1 2 3 2 3 1 2 2 2 2 -> 2 3 2 2 1 2 2 3 3 3 2 0 2 1 3 1 2 2 , 2 3 0 0 0 0 1 2 2 3 2 3 3 2 3 1 3 3 -> 2 0 3 3 2 0 1 3 2 2 2 0 0 3 3 3 1 3 , 2 3 1 2 0 3 3 1 3 1 3 1 3 3 3 3 2 2 -> 2 3 3 3 2 1 1 0 1 2 3 3 3 1 3 3 3 2 , 2 3 1 2 3 0 1 0 2 0 0 0 2 1 2 0 2 0 -> 2 3 2 0 0 0 2 2 2 3 1 1 0 0 1 0 2 0 , 2 3 1 2 3 1 0 2 0 2 1 0 3 1 0 1 3 3 -> 2 2 0 1 0 1 3 0 3 1 1 1 3 2 3 2 0 3 , 2 3 2 3 3 2 1 1 2 1 3 0 3 3 1 3 1 2 -> 2 1 3 3 3 1 3 1 3 3 3 2 2 2 1 1 0 2 , 3 0 0 0 1 0 0 1 0 0 3 3 2 3 0 3 0 0 -> 3 2 1 0 0 0 0 0 1 0 3 0 3 0 0 3 3 0 , 3 0 1 3 1 3 1 0 0 1 2 1 2 0 2 3 1 3 -> 0 3 3 2 0 1 1 1 1 1 1 3 3 2 0 3 2 0 , 3 0 2 3 3 0 2 3 0 2 1 0 3 0 3 0 3 0 -> 3 0 2 0 0 3 3 3 3 0 3 2 0 0 2 1 3 0 , 3 0 3 0 0 3 0 2 1 2 0 1 3 1 3 0 3 2 -> 3 2 0 3 3 3 3 0 0 1 0 3 2 1 0 1 0 2 , 3 0 3 0 2 1 2 2 3 2 2 3 0 2 3 0 0 2 -> 3 0 3 3 2 2 0 0 2 2 2 0 2 3 1 0 3 2 , 3 0 3 0 3 2 1 3 1 3 1 2 0 3 3 2 3 1 -> 3 3 1 0 2 1 2 3 3 0 3 3 3 2 0 1 3 1 , 3 1 0 3 2 3 3 1 3 1 0 0 3 0 1 0 1 3 -> 3 1 0 0 2 3 0 3 0 3 3 1 3 1 1 0 1 3 , 3 1 2 3 3 3 1 2 1 3 1 3 3 1 1 2 1 3 -> 3 3 3 1 2 2 1 1 3 3 2 1 1 1 1 3 3 3 , 3 1 3 1 1 2 3 0 2 3 2 3 0 0 2 2 2 3 -> 3 3 0 1 3 2 3 2 0 1 3 2 2 0 1 2 2 3 , 3 1 3 2 2 0 1 3 0 2 3 1 2 2 3 2 1 3 -> 3 3 3 1 1 1 2 3 3 0 2 1 3 2 2 2 2 0 , 3 2 0 0 0 3 1 3 1 3 0 3 1 2 3 0 3 3 -> 3 3 3 2 2 0 0 0 3 0 1 3 3 1 1 0 3 3 , 3 2 0 1 3 3 1 1 3 2 3 3 0 0 3 2 3 3 -> 3 3 3 1 2 0 0 3 3 1 1 0 2 3 2 3 3 3 , 3 3 3 0 2 0 0 2 3 3 0 1 2 3 3 1 2 2 -> 3 3 2 0 3 3 2 3 1 1 0 3 2 2 0 0 3 2 , 0 1 2 3 ->= 0 1 2 3 } The system was reversed. After renaming modulo { 2->0, 0->1, 3->2, 1->3 }, it remains to prove termination of the 81-rule system { 0 1 1 0 2 0 2 0 1 2 2 0 1 1 3 1 1 1 -> 0 1 0 0 0 2 1 1 1 2 2 1 3 0 1 2 1 1 , 1 3 1 1 3 1 3 1 2 0 1 0 2 1 2 1 1 1 -> 1 3 1 2 3 3 1 1 2 2 1 1 1 0 1 1 0 1 , 1 2 1 1 0 0 0 0 1 1 2 0 0 3 2 1 1 1 -> 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 3 0 2 2 2 1 1 0 , 0 3 1 3 2 1 0 2 1 2 2 0 0 1 0 3 1 1 -> 0 2 2 2 1 0 0 1 1 3 2 1 3 0 0 3 1 1 , 2 0 3 1 0 1 0 1 2 3 0 2 3 0 1 0 1 1 -> 2 2 1 3 1 0 2 1 0 1 3 0 1 0 3 0 1 0 , 3 1 3 2 1 2 3 0 2 1 0 3 1 1 2 0 1 1 -> 3 1 3 2 0 2 2 1 1 1 3 3 1 0 1 0 2 1 , 2 3 0 1 2 0 3 0 2 3 0 1 2 1 1 2 1 1 -> 2 1 1 3 0 2 2 0 2 2 0 0 1 3 1 1 3 1 , 1 1 2 3 3 2 0 1 1 1 0 0 0 3 3 2 1 1 -> 1 1 3 2 2 1 0 2 3 1 1 0 1 0 0 3 3 1 , 0 0 1 2 2 0 0 1 1 3 1 0 3 0 3 2 1 1 -> 0 1 0 0 1 3 0 0 2 3 1 1 2 2 0 1 3 1 , 2 0 1 1 2 0 0 3 3 1 2 0 1 2 3 1 3 1 -> 2 0 1 1 3 1 2 3 3 1 1 2 2 0 3 0 0 1 , 1 1 2 0 2 2 0 1 1 3 1 0 2 3 0 1 3 1 -> 1 1 1 1 2 3 0 1 3 2 2 2 0 0 1 3 0 1 , 0 0 2 0 0 3 0 3 1 2 0 3 3 2 3 0 3 1 -> 0 3 3 1 0 0 0 1 3 0 2 2 3 0 0 3 2 3 , 0 1 1 1 1 0 3 1 3 1 1 0 1 0 0 0 3 1 -> 0 1 1 1 3 0 1 1 3 0 0 3 0 1 1 1 0 1 , 0 2 1 1 3 0 1 1 1 1 1 2 0 3 2 0 3 1 -> 0 1 1 1 3 0 2 1 1 1 1 3 2 2 3 0 0 1 , 2 3 1 3 2 2 0 2 3 3 1 2 1 2 1 2 3 1 -> 1 1 2 2 2 2 2 1 3 3 3 3 2 2 1 0 3 1 , 1 0 3 1 0 3 1 2 1 3 2 0 2 0 2 1 0 1 -> 1 0 1 3 0 0 2 3 2 2 3 1 0 1 2 0 1 1 , 2 3 1 0 1 1 0 3 2 2 2 0 3 0 3 2 0 1 -> 2 3 1 1 3 3 0 0 1 0 2 0 2 0 2 2 3 1 , 1 1 3 2 1 0 3 2 1 2 1 3 2 0 1 1 2 1 -> 1 1 0 3 1 2 1 0 1 1 1 2 1 2 2 2 3 3 , 0 2 2 1 0 0 0 2 3 1 3 1 2 0 2 1 2 1 -> 0 2 2 2 1 0 3 0 0 1 1 0 2 1 2 2 3 1 , 2 0 1 2 0 2 3 0 3 1 1 3 2 1 1 3 2 1 -> 1 1 3 3 3 3 0 2 2 2 2 0 2 1 1 1 1 0 , 2 0 2 3 1 0 3 2 3 0 0 2 0 1 0 3 2 1 -> 2 2 2 0 3 3 0 0 1 0 3 2 3 0 2 1 0 1 , 1 0 0 0 1 2 0 0 3 1 0 1 0 0 1 0 2 1 -> 1 0 0 1 0 0 2 1 1 0 1 3 1 0 0 2 0 0 , 0 0 3 3 1 2 0 0 3 1 0 3 0 2 3 0 2 1 -> 0 0 3 1 2 3 0 0 0 3 3 3 0 2 0 1 2 1 , 1 3 1 1 2 0 0 3 3 2 0 0 3 1 3 1 1 3 -> 1 3 0 1 2 1 3 1 2 0 3 0 1 1 3 3 0 3 , 2 3 2 3 2 1 1 2 1 2 3 2 0 1 3 1 1 3 -> 2 3 2 1 2 1 1 3 2 2 2 1 3 1 1 0 3 3 , 3 1 3 1 2 3 2 2 3 1 0 3 3 2 2 3 1 3 -> 3 3 3 3 3 3 2 2 0 1 3 3 2 2 2 1 1 1 , 3 0 2 3 2 0 0 3 1 1 2 3 1 3 0 0 1 3 -> 3 0 2 3 1 0 0 0 2 3 3 2 3 1 1 0 1 3 , 0 2 0 2 3 2 1 1 0 3 1 0 1 0 3 1 3 3 -> 0 2 2 1 0 1 3 0 0 2 3 1 3 1 3 0 1 3 , 3 3 2 1 3 1 3 3 1 3 1 2 0 0 3 1 3 3 -> 3 3 1 3 0 1 1 1 0 1 3 3 3 3 2 3 2 3 , 3 0 1 2 0 3 0 1 0 3 2 0 2 3 1 3 0 3 -> 0 2 2 1 0 0 3 0 3 3 0 3 2 1 1 3 0 3 , 0 0 3 2 3 3 0 0 0 3 2 3 1 3 3 0 0 3 -> 0 1 3 3 3 0 0 0 2 0 3 0 2 3 0 3 3 3 , 1 0 1 1 0 3 0 3 0 1 2 0 1 0 0 0 0 3 -> 1 0 1 0 1 3 0 0 2 3 0 1 0 1 0 0 0 3 , 3 2 1 2 1 2 1 3 1 2 3 2 1 1 2 0 2 3 -> 3 1 1 1 1 2 2 2 3 3 1 2 0 1 2 2 2 3 , 0 3 2 3 3 1 2 0 3 3 3 1 2 0 3 2 2 3 -> 3 3 3 0 0 2 3 3 3 1 2 0 2 3 1 2 2 3 , 1 3 3 2 1 2 0 1 3 0 3 1 0 3 3 1 1 0 -> 2 1 2 3 0 3 3 3 3 0 0 1 1 3 1 1 1 0 , 2 1 1 3 1 3 0 3 1 0 3 2 2 3 0 1 1 0 -> 2 1 2 1 0 1 3 3 2 1 1 3 0 0 3 1 3 0 , 2 3 2 0 2 1 1 2 3 2 3 1 1 2 0 1 1 0 -> 2 3 3 3 1 2 1 2 1 1 0 2 1 2 1 0 2 0 , 2 0 0 1 2 0 3 3 2 1 1 0 3 2 0 0 1 0 -> 2 0 1 1 2 1 0 1 2 3 3 3 0 2 0 0 0 0 , 2 2 2 3 1 2 1 3 1 2 1 2 2 3 3 2 1 0 -> 2 2 2 1 1 2 3 3 2 2 1 1 3 3 1 2 2 0 , 1 1 3 3 3 2 2 0 3 1 2 3 0 3 1 1 3 0 -> 1 1 3 3 3 1 2 2 3 2 0 3 3 3 1 0 0 1 , 1 1 1 3 2 0 0 1 0 1 3 1 3 0 3 1 3 0 -> 1 1 3 3 0 1 3 1 1 1 2 0 0 3 0 1 3 0 , 0 2 0 3 1 0 0 0 2 3 0 1 2 3 0 1 3 0 -> 0 1 2 1 3 0 0 1 0 3 3 3 0 0 2 0 2 0 , 2 0 1 3 1 1 0 3 2 1 0 3 2 2 3 3 3 0 -> 2 3 0 3 1 1 3 3 3 3 2 2 2 1 0 1 0 0 , 2 1 1 3 2 3 2 3 0 2 2 2 2 3 0 0 3 0 -> 2 2 2 1 0 2 3 2 1 3 3 0 2 0 2 3 3 0 , 0 2 0 2 0 0 3 3 2 3 2 1 1 0 2 0 3 0 -> 0 2 3 3 2 0 0 1 0 2 2 1 2 3 3 0 0 0 , 0 3 0 0 0 0 3 1 1 2 0 3 2 0 1 2 3 0 -> 0 2 2 2 0 3 0 0 0 0 0 3 3 3 1 1 0 1 , 2 2 2 1 0 1 1 2 3 2 1 0 0 0 3 2 3 0 -> 2 2 2 2 3 0 0 1 0 1 2 2 3 1 1 0 3 0 , 3 0 3 2 2 1 3 1 3 1 0 2 3 2 3 2 3 0 -> 3 0 2 3 3 3 3 2 2 0 2 1 3 3 0 1 2 1 , 3 2 1 1 1 1 3 2 0 0 2 0 3 0 0 1 0 0 -> 3 1 0 1 0 2 2 2 1 1 3 0 0 1 0 3 0 0 , 3 0 0 3 1 0 0 2 0 1 2 0 2 3 0 3 0 0 -> 3 0 1 3 0 0 3 0 3 0 0 2 2 0 0 2 1 0 , 0 0 3 1 1 1 0 1 0 0 3 1 0 3 1 0 0 0 -> 0 3 0 1 1 3 0 1 0 1 0 1 0 3 0 1 0 0 , 0 0 1 0 2 3 2 0 0 1 3 2 3 0 1 0 0 0 -> 0 0 0 1 2 3 0 0 1 0 2 3 0 2 1 0 3 0 , 3 2 3 1 0 0 3 3 2 3 0 3 3 2 1 0 0 0 -> 3 3 0 3 2 2 2 1 3 0 3 0 0 1 0 3 3 0 , 0 0 3 3 2 3 3 1 3 0 0 2 0 3 2 0 0 0 -> 3 0 1 2 3 2 0 3 3 3 0 0 2 0 3 0 0 0 , 0 0 2 0 2 0 1 1 2 3 1 1 2 3 2 0 0 0 -> 3 0 0 0 0 2 1 3 0 2 1 2 1 0 2 2 1 0 , 0 1 2 2 1 0 3 2 1 1 0 3 2 3 2 0 0 0 -> 0 2 0 2 1 1 3 0 0 3 2 2 2 1 0 1 3 0 , 2 0 3 2 3 1 0 3 1 0 2 1 3 0 2 0 0 0 -> 2 0 1 1 3 0 0 0 3 2 2 0 3 3 0 2 1 0 , 2 0 1 0 1 3 2 3 2 2 3 0 3 3 1 2 0 0 -> 2 1 1 3 2 0 2 0 2 2 1 3 0 3 3 0 3 0 , 3 0 3 1 2 0 2 0 0 1 0 2 3 2 1 2 0 0 -> 0 1 2 2 3 3 3 2 0 0 1 0 0 2 2 1 0 0 , 2 3 0 3 2 1 3 1 2 1 2 3 2 1 3 2 0 0 -> 2 2 2 3 2 1 2 0 2 3 3 0 1 3 3 0 1 1 , 2 2 0 1 0 1 2 0 3 3 2 0 2 1 3 2 0 0 -> 2 1 3 3 0 2 0 2 1 2 1 0 3 0 0 2 2 0 , 0 0 0 0 3 2 0 2 0 3 1 2 0 2 3 2 0 0 -> 0 0 3 2 3 0 1 0 2 2 2 0 0 3 0 0 2 0 , 2 2 3 2 0 2 2 0 2 0 0 3 1 1 1 1 2 0 -> 2 3 2 2 2 1 1 0 0 0 2 3 1 0 2 2 1 0 , 0 0 2 2 2 2 3 2 3 2 3 2 2 1 0 3 2 0 -> 0 2 2 2 3 2 2 2 0 3 1 3 3 0 2 2 2 0 , 1 0 1 0 3 0 1 1 1 0 1 3 1 2 0 3 2 0 -> 1 0 1 3 1 1 3 3 2 0 0 0 1 1 1 0 2 0 , 2 2 3 1 3 2 1 3 0 1 0 1 3 2 0 3 2 0 -> 2 1 0 2 0 2 3 3 3 2 1 2 3 1 3 1 0 0 , 0 3 2 3 2 2 1 2 3 0 3 3 0 2 2 0 2 0 -> 0 1 3 3 0 0 0 2 2 2 3 2 3 2 2 2 3 0 , 1 1 2 1 2 0 2 2 1 1 3 1 1 3 1 1 1 2 -> 1 2 2 1 1 2 1 2 1 3 1 1 1 1 1 3 0 2 , 2 3 2 0 1 0 3 0 3 1 1 3 2 3 2 3 1 2 -> 1 0 2 1 0 2 2 3 3 3 3 3 3 1 0 2 2 1 , 1 2 1 2 1 2 1 3 0 1 2 0 1 2 2 0 1 2 -> 1 2 3 0 1 1 0 2 1 2 2 2 2 1 1 0 1 2 , 0 2 1 2 3 2 3 1 0 3 0 1 2 1 1 2 1 2 -> 0 1 3 1 3 0 2 1 3 1 1 2 2 2 2 1 0 2 , 0 1 1 2 0 1 2 0 0 2 0 0 3 0 1 2 1 2 -> 0 2 1 3 2 0 1 0 0 0 1 1 0 0 2 2 1 2 , 3 2 0 2 2 1 0 3 2 3 2 3 0 2 1 2 1 2 -> 3 2 3 1 0 2 2 2 1 2 2 0 3 0 1 3 2 2 , 2 3 1 3 1 2 1 1 3 2 3 2 2 0 2 1 3 2 -> 2 3 1 3 3 2 3 2 2 1 2 1 2 0 1 1 3 2 , 2 3 0 3 3 2 2 3 2 3 0 3 2 2 2 0 3 2 -> 2 2 2 3 3 3 3 0 2 2 3 3 0 0 3 2 2 2 , 2 0 0 0 1 1 2 0 2 0 1 2 0 3 3 2 3 2 -> 2 0 0 3 1 0 0 2 3 1 0 2 0 2 3 1 2 2 , 2 3 0 2 0 0 3 2 0 1 2 3 1 0 0 2 3 2 -> 1 0 0 0 0 2 3 0 1 2 2 0 3 3 3 2 2 2 , 2 2 1 2 0 3 2 1 2 3 2 3 2 1 1 1 0 2 -> 2 2 1 3 3 2 2 3 1 2 1 1 1 0 0 2 2 2 , 2 2 0 2 1 1 2 2 0 2 3 3 2 2 3 1 0 2 -> 2 2 2 0 2 0 1 3 3 2 2 1 1 0 3 2 2 2 , 0 0 3 2 2 0 3 1 2 2 0 1 1 0 1 2 2 2 -> 0 2 1 1 0 0 2 1 3 3 2 0 2 2 1 0 2 2 , 2 0 3 1 ->= 2 0 3 1 } Applying context closure of depth 1 in the following form: System R over Sigma maps to { fold(xly) -> fold(xry) | l -> r in R, x,y in Sigma } over Sigma^2, where fold(a_1...a_n) = (a_1,a_2)...(a_{n-1},a_{n}) After renaming modulo { [0, 0]->0, [0, 1]->1, [1, 1]->2, [1, 0]->3, [0, 2]->4, [2, 0]->5, [1, 2]->6, [2, 2]->7, [1, 3]->8, [3, 1]->9, [2, 1]->10, [3, 0]->11, [2, 3]->12, [3, 3]->13, [0, 3]->14, [3, 2]->15 }, it remains to prove termination of the 1296-rule system { 0 1 2 3 4 5 4 5 1 6 7 5 1 2 8 9 2 2 3 -> 0 1 3 0 0 4 10 2 2 6 7 10 8 11 1 6 10 2 3 , 1 8 9 2 8 9 8 9 6 5 1 3 4 10 6 10 2 2 3 -> 1 8 9 6 12 13 9 2 6 7 10 2 2 3 1 2 3 1 3 , 1 6 10 2 3 0 0 0 1 2 6 5 0 14 15 10 2 2 3 -> 1 2 2 3 1 3 1 3 1 3 14 11 4 7 7 10 2 3 0 , 0 14 9 8 15 10 3 4 10 6 7 5 0 1 3 14 9 2 3 -> 0 4 7 7 10 3 0 1 2 8 15 10 8 11 0 14 9 2 3 , 4 5 14 9 3 1 3 1 6 12 11 4 12 11 1 3 1 2 3 -> 4 7 10 8 9 3 4 10 3 1 8 11 1 3 14 11 1 3 0 , 14 9 8 15 10 6 12 11 4 10 3 14 9 2 6 5 1 2 3 -> 14 9 8 15 5 4 7 10 2 2 8 13 9 3 1 3 4 10 3 , 4 12 11 1 6 5 14 11 4 12 11 1 6 10 2 6 10 2 3 -> 4 10 2 8 11 4 7 5 4 7 5 0 1 8 9 2 8 9 3 , 1 2 6 12 13 15 5 1 2 2 3 0 0 14 13 15 10 2 3 -> 1 2 8 15 7 10 3 4 12 9 2 3 1 3 0 14 13 9 3 , 0 0 1 6 7 5 0 1 2 8 9 3 14 11 14 15 10 2 3 -> 0 1 3 0 1 8 11 0 4 12 9 2 6 7 5 1 8 9 3 , 4 5 1 2 6 5 0 14 13 9 6 5 1 6 12 9 8 9 3 -> 4 5 1 2 8 9 6 12 13 9 2 6 7 5 14 11 0 1 3 , 1 2 6 5 4 7 5 1 2 8 9 3 4 12 11 1 8 9 3 -> 1 2 2 2 6 12 11 1 8 15 7 7 5 0 1 8 11 1 3 , 0 0 4 5 0 14 11 14 9 6 5 14 13 15 12 11 14 9 3 -> 0 14 13 9 3 0 0 1 8 11 4 7 12 11 0 14 15 12 11 , 0 1 2 2 2 3 14 9 8 9 2 3 1 3 0 0 14 9 3 -> 0 1 2 2 8 11 1 2 8 11 0 14 11 1 2 2 3 1 3 , 0 4 10 2 8 11 1 2 2 2 2 6 5 14 15 5 14 9 3 -> 0 1 2 2 8 11 4 10 2 2 2 8 15 7 12 11 0 1 3 , 4 12 9 8 15 7 5 4 12 13 9 6 10 6 10 6 12 9 3 -> 1 2 6 7 7 7 7 10 8 13 13 13 15 7 10 3 14 9 3 , 1 3 14 9 3 14 9 6 10 8 15 5 4 5 4 10 3 1 3 -> 1 3 1 8 11 0 4 12 15 7 12 9 3 1 6 5 1 2 3 , 4 12 9 3 1 2 3 14 15 7 7 5 14 11 14 15 5 1 3 -> 4 12 9 2 8 13 11 0 1 3 4 5 4 5 4 7 12 9 3 , 1 2 8 15 10 3 14 15 10 6 10 8 15 5 1 2 6 10 3 -> 1 2 3 14 9 6 10 3 1 2 2 6 10 6 7 7 12 13 11 , 0 4 7 10 3 0 0 4 12 9 8 9 6 5 4 10 6 10 3 -> 0 4 7 7 10 3 14 11 0 1 2 3 4 10 6 7 12 9 3 , 4 5 1 6 5 4 12 11 14 9 2 8 15 10 2 8 15 10 3 -> 1 2 8 13 13 13 11 4 7 7 7 5 4 10 2 2 2 3 0 , 4 5 4 12 9 3 14 15 12 11 0 4 5 1 3 14 15 10 3 -> 4 7 7 5 14 13 11 0 1 3 14 15 12 11 4 10 3 1 3 , 1 3 0 0 1 6 5 0 14 9 3 1 3 0 1 3 4 10 3 -> 1 3 0 1 3 0 4 10 2 3 1 8 9 3 0 4 5 0 0 , 0 0 14 13 9 6 5 0 14 9 3 14 11 4 12 11 4 10 3 -> 0 0 14 9 6 12 11 0 0 14 13 13 11 4 5 1 6 10 3 , 1 8 9 2 6 5 0 14 13 15 5 0 14 9 8 9 2 8 11 -> 1 8 11 1 6 10 8 9 6 5 14 11 1 2 8 13 11 14 11 , 4 12 15 12 15 10 2 6 10 6 12 15 5 1 8 9 2 8 11 -> 4 12 15 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14 15 7 5 14 9 6 7 5 1 2 3 1 6 7 7 12 -> 11 4 10 2 3 0 4 10 8 13 15 5 4 7 10 3 4 7 12 , 15 5 14 9 8 ->= 15 5 14 9 8 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 2: 0 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 1 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 2 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 3 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 4 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 5 is interpreted by / \ | 1 2 | | 0 1 | \ / 6 is interpreted by / \ | 1 2 | | 0 1 | \ / 7 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 8 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 9 is interpreted by / \ | 1 5 | | 0 1 | \ / 10 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 11 is interpreted by / \ | 1 3 | | 0 1 | \ / 12 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 13 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 14 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 15 is interpreted by / \ | 1 5 | | 0 1 | \ / After renaming modulo { 4->0, 5->1, 14->2, 9->3, 3->4, 2->5, 6->6, 8->7, 7->8, 15->9 }, it remains to prove termination of the 16-rule system { 0 1 2 3 4 ->= 0 1 2 3 4 , 0 1 2 3 5 ->= 0 1 2 3 5 , 0 1 2 3 6 ->= 0 1 2 3 6 , 0 1 2 3 7 ->= 0 1 2 3 7 , 6 1 2 3 4 ->= 6 1 2 3 4 , 6 1 2 3 5 ->= 6 1 2 3 5 , 6 1 2 3 6 ->= 6 1 2 3 6 , 6 1 2 3 7 ->= 6 1 2 3 7 , 8 1 2 3 4 ->= 8 1 2 3 4 , 8 1 2 3 5 ->= 8 1 2 3 5 , 8 1 2 3 6 ->= 8 1 2 3 6 , 8 1 2 3 7 ->= 8 1 2 3 7 , 9 1 2 3 4 ->= 9 1 2 3 4 , 9 1 2 3 5 ->= 9 1 2 3 5 , 9 1 2 3 6 ->= 9 1 2 3 6 , 9 1 2 3 7 ->= 9 1 2 3 7 } The system is trivially terminating.