YES After renaming modulo { 0->0, 2->1, 1->2, 3->3 }, it remains to prove termination of the 81-rule system { 0 0 0 0 0 1 2 0 3 3 3 1 1 3 2 1 2 3 -> 0 2 0 1 0 0 1 1 2 2 0 3 3 3 3 1 0 3 , 0 0 0 0 0 3 2 0 3 1 3 2 2 3 3 2 3 2 -> 0 2 3 3 1 0 2 0 0 2 0 2 3 0 3 3 3 2 , 0 0 0 0 3 0 1 1 3 1 2 0 0 3 0 1 3 1 -> 0 3 0 1 0 1 1 0 1 3 1 0 3 2 0 0 3 0 , 0 0 0 1 2 1 3 3 3 0 1 1 3 1 0 1 3 1 -> 0 1 3 0 1 0 3 0 0 1 3 2 3 1 1 3 1 1 , 0 0 0 3 1 3 2 0 2 3 0 1 1 0 1 3 3 1 -> 0 1 3 3 3 0 0 3 1 0 2 0 3 1 0 2 1 1 , 0 0 1 1 2 1 3 3 2 0 2 0 0 1 1 1 2 0 -> 0 1 0 1 2 1 2 2 3 2 0 1 0 1 1 0 3 0 , 0 0 3 0 0 2 3 1 2 1 1 3 3 1 2 0 3 1 -> 0 1 0 3 1 3 1 1 3 2 3 0 0 2 0 2 3 1 , 0 0 3 1 2 1 0 0 1 3 1 2 3 3 1 2 3 2 -> 0 1 3 0 2 3 2 2 1 2 1 0 1 3 0 3 1 3 , 0 0 3 1 1 2 0 0 0 3 2 1 2 3 0 0 3 2 -> 0 0 3 3 1 0 3 0 0 3 2 2 0 2 1 0 2 1 , 0 2 2 3 0 2 0 3 0 1 3 3 3 0 0 2 2 3 -> 0 1 2 2 0 3 0 3 3 0 2 3 3 0 0 3 2 2 , 0 2 3 0 1 2 3 2 0 1 1 2 3 2 2 2 3 3 -> 0 2 3 2 1 3 1 2 2 0 2 3 0 2 3 3 1 2 , 0 1 0 0 1 0 0 3 3 0 1 3 3 1 3 3 3 2 -> 0 0 0 1 0 3 3 3 3 1 3 1 2 1 0 3 0 3 , 0 1 2 2 2 3 1 1 2 0 0 3 2 3 2 0 2 3 -> 0 2 3 0 2 0 1 2 1 3 2 2 3 1 2 0 2 3 , 0 1 2 2 1 2 1 2 3 1 1 2 0 1 3 3 3 3 -> 0 1 2 2 3 1 2 1 0 1 2 1 2 3 3 1 3 3 , 0 1 1 0 1 2 3 2 3 0 1 3 1 3 0 3 1 3 -> 0 3 1 1 0 2 1 0 3 3 1 2 1 3 0 3 3 1 , 0 1 1 1 1 3 3 1 0 0 1 2 1 1 2 0 0 1 -> 0 1 1 2 3 0 0 3 1 2 1 0 1 1 1 1 0 1 , 0 1 3 0 0 3 2 0 2 3 3 2 3 0 0 1 0 3 -> 0 0 3 3 0 3 0 3 1 0 3 1 0 2 0 2 2 3 , 0 3 0 0 0 2 0 0 1 0 1 1 2 3 1 2 2 1 -> 0 0 3 1 0 1 0 2 2 0 3 1 2 1 0 0 2 1 , 0 3 2 0 1 0 3 1 2 1 3 0 1 2 0 0 3 1 -> 0 3 3 1 1 0 2 0 3 1 0 0 2 0 1 3 2 1 , 0 3 1 2 3 3 0 1 2 0 0 0 0 2 1 2 2 1 -> 0 2 2 1 1 0 0 0 2 1 3 0 0 2 3 3 2 1 , 0 3 3 3 2 0 0 2 1 3 2 2 1 2 0 2 2 0 -> 0 1 0 3 0 2 0 3 3 2 2 1 3 2 2 2 2 0 , 2 0 0 2 1 1 0 0 3 1 2 0 2 1 0 0 0 3 -> 2 0 0 0 2 0 3 0 2 1 0 0 1 2 1 1 0 3 , 2 0 0 3 2 2 1 2 3 1 3 0 0 3 1 2 3 1 -> 2 0 2 1 3 1 2 2 0 3 3 0 1 3 0 2 3 1 , 2 0 1 2 2 3 3 2 0 0 2 3 2 2 3 1 3 3 -> 2 0 3 3 2 2 3 3 2 2 0 1 1 3 2 0 3 2 , 2 2 2 2 1 0 0 0 0 2 0 0 1 2 1 2 2 2 -> 2 0 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1 3 2 2 0 3 3 2 2 2 3 0 3 0 3 3 , 2 3 3 1 1 2 3 2 0 0 2 2 0 1 2 3 3 3 -> 3 1 2 3 3 0 2 0 3 2 1 1 3 2 3 0 2 2 , 2 3 3 3 2 0 2 2 2 2 3 3 3 1 2 0 2 2 -> 2 3 2 3 0 2 2 2 3 2 3 3 1 3 0 2 2 2 , 1 0 0 0 0 0 1 2 0 3 3 1 0 1 0 2 2 1 -> 1 0 3 2 1 0 0 2 0 1 0 2 0 0 0 1 3 1 , 1 0 0 2 2 0 2 2 3 3 2 0 1 2 0 3 1 3 -> 1 0 2 1 0 1 0 2 3 2 2 0 3 2 3 2 0 3 , 1 0 2 1 3 0 0 1 0 2 3 1 3 1 0 1 1 2 -> 1 1 0 2 1 3 0 1 0 2 1 1 1 0 3 0 2 3 , 1 0 1 2 3 3 0 3 3 0 2 3 2 0 1 3 2 0 -> 0 3 0 3 0 3 3 1 3 2 1 0 2 2 2 3 1 0 , 1 0 1 1 0 1 2 0 0 1 3 0 1 2 0 1 0 1 -> 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 3 0 2 2 1 1 0 1 , 1 0 3 1 0 0 1 0 0 1 2 3 2 1 2 0 1 2 -> 0 0 1 2 2 1 0 1 1 1 0 3 3 0 2 1 0 2 , 1 2 0 0 0 0 1 2 3 1 1 3 2 0 0 2 1 3 -> 1 0 0 2 0 1 0 3 1 0 2 2 2 1 0 3 1 3 , 1 2 0 1 2 0 0 2 2 1 2 3 2 3 3 3 3 2 -> 1 2 1 3 1 3 2 2 0 0 2 2 2 0 3 3 3 2 , 1 2 2 2 2 1 3 0 2 1 2 3 2 1 0 1 1 2 -> 1 2 1 2 2 0 2 1 1 3 3 2 2 2 1 1 0 2 , 1 2 2 1 3 2 2 0 1 2 0 1 3 2 0 3 2 0 -> 1 2 1 3 0 3 2 1 2 3 2 0 2 1 0 2 2 0 , 1 2 2 3 3 1 0 1 0 1 3 2 3 1 3 3 0 0 -> 1 3 1 0 3 0 2 2 3 3 1 3 1 0 3 1 0 2 , 1 2 1 1 3 2 0 3 0 1 2 3 3 2 1 3 2 3 -> 1 2 0 3 3 3 1 2 3 2 1 2 3 1 0 2 1 3 , 1 1 0 0 1 1 3 3 1 1 1 1 1 1 3 2 2 1 -> 1 1 0 3 1 1 3 2 1 2 0 1 1 1 1 1 3 1 , 1 1 1 0 1 1 2 0 3 3 3 2 0 1 3 2 2 1 -> 1 0 2 1 1 3 1 1 0 1 3 0 3 2 2 2 3 1 , 1 1 1 1 1 2 3 1 1 3 1 1 1 3 3 1 0 1 -> 1 1 1 1 1 1 1 1 0 3 3 1 3 3 1 2 1 1 , 1 1 1 3 2 0 0 2 1 1 3 1 0 2 2 1 0 0 -> 1 1 0 2 2 2 0 1 0 3 1 1 2 1 0 3 1 0 , 1 1 3 0 3 1 0 1 1 0 0 3 3 2 1 2 2 2 -> 1 1 3 2 0 1 3 0 3 1 1 0 2 2 3 1 0 2 , 1 1 3 2 2 1 1 2 2 2 0 1 3 3 2 0 2 3 -> 1 1 3 3 1 1 2 0 3 0 2 3 2 2 2 1 2 2 , 1 3 2 0 1 3 1 3 2 1 2 2 3 1 3 0 1 2 -> 1 2 3 3 1 1 2 1 3 2 1 0 2 3 3 1 0 2 , 1 3 2 2 2 3 1 3 0 0 0 1 1 3 2 2 2 1 -> 1 2 2 2 0 3 0 1 1 2 0 3 2 1 2 3 3 1 , 1 3 2 3 3 3 2 2 3 1 3 2 2 3 1 2 0 1 -> 1 3 2 2 3 1 3 2 2 2 2 3 0 3 1 3 3 1 , 1 3 1 1 2 3 0 1 3 1 3 3 0 1 1 2 1 3 -> 1 1 1 3 0 3 1 3 3 1 2 3 1 0 2 1 1 3 , 1 3 1 1 3 0 0 0 2 2 3 3 2 2 1 1 1 3 -> 1 1 2 0 3 1 3 3 1 0 2 1 1 3 3 2 0 2 , 1 3 3 0 2 0 2 0 2 2 0 1 1 0 2 0 1 2 -> 1 0 3 0 2 2 2 1 1 0 2 2 1 0 0 2 0 3 , 3 0 0 0 0 0 2 1 0 3 1 1 2 3 1 2 3 3 -> 3 0 0 2 1 0 1 0 3 0 2 0 1 3 1 3 2 3 , 3 0 0 0 2 2 1 0 0 3 1 1 2 3 2 2 2 2 -> 2 3 1 0 2 3 2 3 1 0 2 0 0 2 1 0 2 2 , 3 0 0 1 2 0 2 0 3 2 1 0 2 2 3 3 3 3 -> 3 0 3 0 0 2 0 3 1 3 2 2 2 2 0 3 1 3 , 3 0 0 3 2 3 2 3 3 2 1 3 2 0 1 1 2 2 -> 3 2 1 3 1 3 1 0 3 0 3 0 2 3 2 2 2 2 , 3 0 1 0 1 1 2 3 3 1 0 0 1 1 3 3 1 2 -> 3 1 3 3 0 3 1 1 1 0 3 0 1 1 0 2 1 2 , 3 0 1 2 2 0 3 3 1 0 0 2 3 1 1 0 0 3 -> 2 3 0 2 3 1 0 3 1 0 2 3 0 1 0 1 0 3 , 3 0 1 1 0 3 3 0 3 3 3 3 3 1 2 0 3 3 -> 3 0 3 0 3 3 2 1 3 3 3 0 1 3 1 0 3 3 , 3 0 1 1 2 2 3 3 1 1 2 0 3 0 1 1 3 2 -> 3 0 1 1 1 1 1 3 0 3 0 3 3 2 1 2 2 2 , 3 0 1 3 1 3 1 0 0 0 0 1 1 3 3 2 0 0 -> 3 0 1 1 3 0 0 3 3 0 1 0 1 3 0 2 1 0 , 3 0 3 2 0 1 2 3 2 3 2 2 3 3 3 2 3 0 -> 2 3 3 3 0 3 2 2 2 2 3 1 2 3 0 3 3 0 , 3 2 3 3 3 1 1 0 2 3 0 0 2 3 0 2 3 1 -> 3 3 1 0 2 3 1 3 1 0 3 0 3 2 2 2 0 3 , 3 1 2 1 1 3 2 0 0 1 1 2 1 0 2 0 1 1 -> 2 0 2 0 3 2 1 3 1 1 0 1 1 0 1 2 1 1 , 3 1 3 2 3 0 1 2 1 3 2 1 0 1 2 2 3 2 -> 3 2 3 3 1 1 3 1 0 1 0 2 2 1 3 2 2 2 , 3 1 3 2 3 3 3 0 0 2 0 0 0 1 1 3 1 3 -> 3 1 3 0 0 3 3 1 3 1 2 2 0 3 0 1 0 3 , 3 3 1 1 2 2 3 1 1 0 1 2 2 1 1 0 0 0 -> 3 2 1 1 3 1 1 0 2 2 1 2 3 1 0 1 0 0 , 3 3 3 1 2 2 1 0 1 2 1 3 1 3 0 3 2 1 -> 3 3 2 2 0 3 2 1 2 0 3 1 1 1 1 3 3 1 , 0 2 1 3 ->= 0 2 1 3 } The system was reversed. After renaming modulo { 3->0, 2->1, 1->2, 0->3 }, it remains to prove termination of the 81-rule system { 0 1 2 1 0 2 2 0 0 0 3 1 2 3 3 3 3 3 -> 0 3 2 0 0 0 0 3 1 1 2 2 3 3 2 3 1 3 , 1 0 1 0 0 1 1 0 2 0 3 1 0 3 3 3 3 3 -> 1 0 0 0 3 0 1 3 1 3 3 1 3 2 0 0 1 3 , 2 0 2 3 0 3 3 1 2 0 2 2 3 0 3 3 3 3 -> 3 0 3 3 1 0 3 2 0 2 3 2 2 3 2 3 0 3 , 2 0 2 3 2 0 2 2 3 0 0 0 2 1 2 3 3 3 -> 2 2 0 2 2 0 1 0 2 3 3 0 3 2 3 0 2 3 , 2 0 0 2 3 2 2 3 0 1 3 1 0 2 0 3 3 3 -> 2 2 1 3 2 0 3 1 3 2 0 3 3 0 0 0 2 3 , 3 1 2 2 2 3 3 1 3 1 0 0 2 1 2 2 3 3 -> 3 0 3 2 2 3 2 3 1 0 1 1 2 1 2 3 2 3 , 2 0 3 1 2 0 0 2 2 1 2 0 1 3 3 0 3 3 -> 2 0 1 3 1 3 3 0 1 0 2 2 0 2 0 3 2 3 , 1 0 1 2 0 0 1 2 0 2 3 3 2 1 2 0 3 3 -> 0 2 0 3 0 2 3 2 1 2 1 1 0 1 3 0 2 3 , 1 0 3 3 0 1 2 1 0 3 3 3 1 2 2 0 3 3 -> 2 1 3 2 1 3 1 1 0 3 3 0 3 2 0 0 3 3 , 0 1 1 3 3 0 0 0 2 3 0 3 1 3 0 1 1 3 -> 1 1 0 3 3 0 0 1 3 0 0 3 0 3 1 1 2 3 , 0 0 1 1 1 0 1 2 2 3 1 0 1 2 3 0 1 3 -> 1 2 0 0 1 3 0 1 3 1 1 2 0 2 1 0 1 3 , 1 0 0 0 2 0 0 2 3 0 0 3 3 2 3 3 2 3 -> 0 3 0 3 2 1 2 0 2 0 0 0 0 3 2 3 3 3 , 0 1 3 1 0 1 0 3 3 1 2 2 0 1 1 1 2 3 -> 0 1 3 1 2 0 1 1 0 2 1 2 3 1 3 0 1 3 , 0 0 0 0 2 3 1 2 2 0 1 2 1 2 1 1 2 3 -> 0 0 2 0 0 1 2 1 2 3 2 1 2 0 1 1 2 3 , 0 2 0 3 0 2 0 2 3 0 1 0 1 2 3 2 2 3 -> 2 0 0 3 0 2 1 2 0 0 3 2 1 3 2 2 0 3 , 2 3 3 1 2 2 1 2 3 3 2 0 0 2 2 2 2 3 -> 2 3 2 2 2 2 3 2 1 2 0 3 3 0 1 2 2 3 , 0 3 2 3 3 0 1 0 0 1 3 1 0 3 3 0 2 3 -> 0 1 1 3 1 3 2 0 3 2 0 3 0 3 0 0 3 3 , 2 1 1 2 0 1 2 2 3 2 3 3 1 3 3 3 0 3 -> 2 1 3 3 2 1 2 0 3 1 1 3 2 3 2 0 3 3 , 2 0 3 3 1 2 3 0 2 1 2 0 3 2 3 1 0 3 -> 2 1 0 2 3 1 3 3 2 0 3 1 3 2 2 0 0 3 , 2 1 1 2 1 3 3 3 3 1 2 3 0 0 1 2 0 3 -> 2 1 0 0 1 3 3 0 2 1 3 3 3 2 2 1 1 3 , 3 1 1 3 1 2 1 1 0 2 1 3 3 1 0 0 0 3 -> 3 1 1 1 1 0 2 1 1 0 0 3 1 3 0 3 2 3 , 0 3 3 3 2 1 3 1 2 0 3 3 2 2 1 3 3 1 -> 0 3 2 2 1 2 3 3 2 1 3 0 3 1 3 3 3 1 , 2 0 1 2 0 3 3 0 2 0 1 2 1 1 0 3 3 1 -> 2 0 1 3 0 2 3 0 0 3 1 1 2 0 2 1 3 1 , 0 0 2 0 1 1 0 1 3 3 1 0 0 1 1 2 3 1 -> 1 0 3 1 0 2 2 3 1 1 0 0 1 1 0 0 3 1 , 1 1 1 2 1 2 3 3 1 3 3 3 3 2 1 1 1 1 -> 1 1 1 3 1 1 3 1 3 3 2 2 2 1 3 1 3 1 , 2 0 1 1 0 1 2 1 2 0 2 3 3 1 2 2 1 1 -> 2 1 2 2 0 0 2 3 2 1 3 0 1 1 1 2 1 1 , 1 3 1 2 2 0 1 2 3 0 2 0 0 0 1 0 1 1 -> 1 0 3 2 0 1 2 0 1 2 0 0 1 0 2 3 1 1 , 3 3 0 0 3 3 0 0 0 1 2 1 3 1 0 0 1 1 -> 3 3 0 1 3 0 2 3 0 3 0 1 0 1 0 1 0 1 , 2 2 3 1 2 0 3 2 0 2 0 1 3 1 2 3 2 1 -> 2 0 3 0 3 2 3 2 2 1 0 3 2 1 1 2 2 1 , 1 1 0 1 2 3 1 1 3 3 2 1 0 1 1 1 2 1 -> 1 3 2 3 1 1 1 1 1 1 2 3 0 1 0 1 2 1 , 0 0 2 3 3 1 3 1 2 3 0 2 2 0 3 3 0 1 -> 1 0 0 1 2 1 3 3 2 3 2 2 3 0 3 0 3 0 , 1 1 1 1 2 2 1 3 1 1 2 2 3 1 2 3 0 1 -> 1 1 3 2 1 1 3 1 2 2 2 3 2 1 0 1 1 1 , 1 3 3 1 1 2 3 1 3 3 1 0 0 3 1 1 0 1 -> 1 1 0 3 1 1 3 1 0 3 2 1 3 1 3 1 3 0 , 0 0 0 1 2 1 0 0 2 1 2 3 3 3 2 1 0 1 -> 1 1 0 3 2 0 3 1 2 0 2 1 1 2 0 3 0 0 , 0 1 0 0 1 2 1 1 0 0 3 1 3 3 1 2 0 1 -> 1 1 3 2 0 2 1 0 0 0 3 3 0 1 1 1 0 1 , 1 1 0 3 2 3 3 0 3 2 1 1 2 3 1 2 0 1 -> 0 2 2 2 3 0 1 3 1 1 1 3 2 1 3 3 0 1 , 0 2 1 0 1 2 2 2 2 3 1 0 0 2 1 2 0 1 -> 0 2 2 2 2 0 2 1 1 3 2 0 1 0 1 0 2 1 , 0 1 3 1 0 1 3 0 0 0 1 1 3 1 0 2 0 1 -> 0 0 3 0 3 0 1 1 1 0 0 3 1 1 0 2 1 1 , 0 0 0 1 2 3 1 1 3 3 1 0 1 2 2 0 0 1 -> 1 1 3 0 1 0 2 2 1 0 3 1 3 0 0 1 2 0 , 1 1 3 1 2 0 0 0 1 1 1 1 3 1 0 0 0 1 -> 1 1 1 3 0 2 0 0 1 0 1 1 1 3 0 1 0 1 , 2 1 1 3 2 3 2 0 0 3 1 2 3 3 3 3 3 2 -> 2 0 2 3 3 3 1 3 2 3 1 3 3 2 1 0 3 2 , 0 2 0 3 1 2 3 1 0 0 1 1 3 1 1 3 3 2 -> 0 3 1 0 1 0 3 1 1 0 1 3 2 3 2 1 3 2 , 1 2 2 3 2 0 2 0 1 3 2 3 3 0 2 1 3 2 -> 0 1 3 0 3 2 2 2 1 3 2 3 0 2 1 3 2 2 , 3 1 0 2 3 1 0 1 3 0 0 3 0 0 1 2 3 2 -> 3 2 0 1 1 1 3 2 1 0 2 0 0 3 0 3 0 3 , 2 3 2 3 1 2 3 0 2 3 3 1 2 3 2 2 3 2 -> 2 3 2 2 1 1 3 0 3 3 2 3 2 3 2 2 3 2 , 1 2 3 1 2 1 0 1 2 3 3 2 3 3 2 0 3 2 -> 1 3 2 1 3 0 0 3 2 2 2 3 2 1 1 2 3 3 , 0 2 1 3 3 1 0 2 2 0 1 2 3 3 3 3 1 2 -> 0 2 0 3 2 1 1 1 3 2 0 3 2 3 1 3 3 2 , 1 0 0 0 0 1 0 1 2 1 1 3 3 1 2 3 1 2 -> 1 0 0 0 3 1 1 1 3 3 1 1 0 2 0 2 1 2 , 1 2 2 3 2 1 0 1 2 1 3 0 2 1 1 1 1 2 -> 1 3 2 2 1 1 1 0 0 2 2 1 3 1 1 2 1 2 , 3 1 0 3 1 0 2 3 1 2 3 1 1 0 2 1 1 2 -> 3 1 1 3 2 1 3 1 0 1 2 1 0 3 0 2 1 2 , 3 3 0 0 2 0 1 0 2 3 2 3 2 0 0 1 1 2 -> 1 3 2 0 3 2 0 2 0 0 1 1 3 0 3 2 0 2 , 0 1 0 2 1 0 0 1 2 3 0 3 1 0 2 2 1 2 -> 0 2 1 3 2 0 1 2 1 0 1 2 0 0 0 3 1 2 , 2 1 1 0 2 2 2 2 2 2 0 0 2 2 3 3 2 2 -> 2 0 2 2 2 2 2 3 1 2 1 0 2 2 0 3 2 2 , 2 1 1 0 2 3 1 0 0 0 3 1 2 2 3 2 2 2 -> 2 0 1 1 1 0 3 0 2 3 2 2 0 2 2 1 3 2 , 2 3 2 0 0 2 2 2 0 2 2 0 1 2 2 2 2 2 -> 2 2 1 2 0 0 2 0 0 3 2 2 2 2 2 2 2 2 , 3 3 2 1 1 3 2 0 2 2 1 3 3 1 0 2 2 2 -> 3 2 0 3 2 1 2 2 0 3 2 3 1 1 1 3 2 2 , 1 1 1 2 1 0 0 3 3 2 2 3 2 0 3 0 2 2 -> 1 3 2 0 1 1 3 2 2 0 3 0 2 3 1 0 2 2 , 0 1 3 1 0 0 2 3 1 1 1 2 2 1 1 0 2 2 -> 1 1 2 1 1 1 0 1 3 0 3 1 2 2 0 0 2 2 , 1 2 3 0 2 0 1 1 2 1 0 2 0 2 3 1 0 2 -> 1 3 2 0 0 1 3 2 1 0 2 1 2 2 0 0 1 2 , 2 1 1 1 0 2 2 3 3 3 0 2 0 1 1 1 0 2 -> 2 0 0 1 2 1 0 3 1 2 2 3 0 3 1 1 1 2 , 2 3 1 2 0 1 1 0 2 0 1 1 0 0 0 1 0 2 -> 2 0 0 2 0 3 0 1 1 1 1 0 2 0 1 1 0 2 , 0 2 1 2 2 3 0 0 2 0 2 3 0 1 2 2 0 2 -> 0 2 2 1 3 2 0 1 2 0 0 2 0 3 0 2 2 2 , 0 2 2 2 1 1 0 0 1 1 3 3 3 0 2 2 0 2 -> 1 3 1 0 0 2 2 1 3 2 0 0 2 0 3 1 2 2 , 1 2 3 1 3 2 2 3 1 1 3 1 3 1 3 0 0 2 -> 0 3 1 3 3 2 1 1 3 2 2 1 1 1 3 0 3 2 , 0 0 1 2 0 1 2 2 0 3 2 1 3 3 3 3 3 0 -> 0 1 0 2 0 2 3 1 3 0 3 2 3 2 1 3 3 0 , 1 1 1 1 0 1 2 2 0 3 3 2 1 1 3 3 3 0 -> 1 1 3 2 1 3 3 1 3 2 0 1 0 1 3 2 0 1 , 0 0 0 0 1 1 3 2 1 0 3 1 3 1 2 3 3 0 -> 0 2 0 3 1 1 1 1 0 2 0 3 1 3 3 0 3 0 , 1 1 2 2 3 1 0 2 1 0 0 1 0 1 0 3 3 0 -> 1 1 1 1 0 1 3 0 3 0 3 2 0 2 0 2 1 0 , 1 2 0 0 2 2 3 3 2 0 0 1 2 2 3 2 3 0 -> 1 2 1 3 2 2 3 0 3 2 2 2 0 3 0 0 2 0 , 0 3 3 2 2 0 1 3 3 2 0 0 3 1 1 2 3 0 -> 0 3 2 3 2 3 0 1 3 2 0 3 2 0 1 3 0 1 , 0 0 3 1 2 0 0 0 0 0 3 0 0 3 2 2 3 0 -> 0 0 3 2 0 2 3 0 0 0 2 1 0 0 3 0 3 0 , 1 0 2 2 3 0 3 1 2 2 0 0 1 1 2 2 3 0 -> 1 1 1 2 1 0 0 3 0 3 0 2 2 2 2 2 3 0 , 3 3 1 0 0 2 2 3 3 3 3 2 0 2 0 2 3 0 -> 3 2 1 3 0 2 3 2 3 0 0 3 3 0 2 2 3 0 , 3 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 2 3 1 0 3 0 -> 3 0 0 3 0 1 2 0 1 1 1 1 0 3 0 0 0 1 , 2 0 1 3 0 1 3 3 0 1 3 2 2 0 0 0 1 0 -> 0 3 1 1 1 0 3 0 3 2 0 2 0 1 3 2 0 0 , 2 2 3 1 3 2 1 2 2 3 3 1 0 2 2 1 2 0 -> 2 2 1 2 3 2 2 3 2 2 0 2 1 0 3 1 3 1 , 1 0 1 1 2 3 2 1 0 2 1 2 3 0 1 0 2 0 -> 1 1 1 0 2 1 1 3 2 3 2 0 2 2 0 0 1 0 , 0 2 0 2 2 3 3 3 1 3 3 0 0 0 1 0 2 0 -> 0 3 2 3 0 3 1 1 2 0 2 0 0 3 3 0 2 0 , 3 3 3 2 2 1 1 2 3 2 2 0 1 1 2 2 0 0 -> 3 3 2 3 2 0 1 2 1 1 3 2 2 0 2 2 1 0 , 2 1 0 3 0 2 0 2 1 2 3 2 1 1 2 0 0 0 -> 2 0 0 2 2 2 2 0 3 1 2 1 0 3 1 1 0 0 , 0 2 1 3 ->= 0 2 1 3 } Applying context closure of depth 1 in the following form: System R over Sigma maps to { fold(xly) -> fold(xry) | l -> r in R, x,y in Sigma } over Sigma^2, where fold(a_1...a_n) = (a_1,a_2)...(a_{n-1},a_{n}) After renaming modulo { [0, 0]->0, [0, 1]->1, [1, 2]->2, [2, 1]->3, [1, 0]->4, [0, 2]->5, [2, 2]->6, [2, 0]->7, [0, 3]->8, [3, 1]->9, [2, 3]->10, [3, 3]->11, [3, 0]->12, [3, 2]->13, [1, 1]->14, [1, 3]->15 }, it remains to prove termination of the 1296-rule system { 0 1 2 3 4 5 6 7 0 0 8 9 2 10 11 11 11 11 12 -> 0 8 13 7 0 0 0 8 9 14 2 6 10 11 13 10 9 15 12 , 1 4 1 4 0 1 14 4 5 7 8 9 4 8 11 11 11 11 12 -> 1 4 0 0 8 12 1 15 9 15 11 9 15 13 7 0 1 15 12 , 5 7 5 10 12 8 11 9 2 7 5 6 10 12 8 11 11 11 12 -> 8 12 8 11 9 4 8 13 7 5 10 13 6 10 13 10 12 8 12 , 5 7 5 10 13 7 5 6 10 12 0 0 5 3 2 10 11 11 12 -> 5 6 7 5 6 7 1 4 5 10 11 12 8 13 10 12 5 10 12 , 5 7 0 5 10 13 6 10 12 1 15 9 4 5 7 8 11 11 12 -> 5 6 3 15 13 7 8 9 15 13 7 8 11 12 0 0 5 10 12 , 8 9 2 6 6 10 11 9 15 9 4 0 5 3 2 6 10 11 12 -> 8 12 8 13 6 10 13 10 9 4 1 14 2 3 2 10 13 10 12 , 5 7 8 9 2 7 0 5 6 3 2 7 1 15 11 12 8 11 12 -> 5 7 1 15 9 15 11 12 1 4 5 6 7 5 7 8 13 10 12 , 1 4 1 2 7 0 1 2 7 5 10 11 13 3 2 7 8 11 12 -> 0 5 7 8 12 5 10 13 3 2 3 14 4 1 15 12 5 10 12 , 1 4 8 11 12 1 2 3 4 8 11 11 9 2 6 7 8 11 12 -> 5 3 15 13 3 15 9 14 4 8 11 12 8 13 7 0 8 11 12 , 0 1 14 15 11 12 0 0 5 10 12 8 9 15 12 1 14 15 12 -> 1 14 4 8 11 12 0 1 15 12 0 8 12 8 9 14 2 10 12 , 0 0 1 14 14 4 1 2 6 10 9 4 1 2 10 12 1 15 12 -> 1 2 7 0 1 15 12 1 15 9 14 2 7 5 3 4 1 15 12 , 1 4 0 0 5 7 0 5 10 12 0 8 11 13 10 11 13 10 12 -> 0 8 12 8 13 3 2 7 5 7 0 0 0 8 13 10 11 11 12 , 0 1 15 9 4 1 4 8 11 9 2 6 7 1 14 14 2 10 12 -> 0 1 15 9 2 7 1 14 4 5 3 2 10 9 15 12 1 15 12 , 0 0 0 0 5 10 9 2 6 7 1 2 3 2 3 14 2 10 12 -> 0 0 5 7 0 1 2 3 2 10 13 3 2 7 1 14 2 10 12 , 0 5 7 8 12 5 7 5 10 12 1 4 1 2 10 13 6 10 12 -> 5 7 0 8 12 5 3 2 7 0 8 13 3 15 13 6 7 8 12 , 5 10 11 9 2 6 3 2 10 11 13 7 0 5 6 6 6 10 12 -> 5 10 13 6 6 6 10 13 3 2 7 8 11 12 1 2 6 10 12 , 0 8 13 10 11 12 1 4 0 1 15 9 4 8 11 12 5 10 12 -> 0 1 14 15 9 15 13 7 8 13 7 8 12 8 12 0 8 11 12 , 5 3 14 2 7 1 2 6 10 13 10 11 9 15 11 11 12 8 12 -> 5 3 15 11 13 3 2 7 8 9 14 15 13 10 13 7 8 11 12 , 5 7 8 11 9 2 10 12 5 3 2 7 8 13 10 9 4 8 12 -> 5 3 4 5 10 9 15 11 13 7 8 9 15 13 6 7 0 8 12 , 5 3 14 2 3 15 11 11 11 9 2 10 12 0 1 2 7 8 12 -> 5 3 4 0 1 15 11 12 5 3 15 11 11 13 6 3 14 15 12 , 8 9 14 15 9 2 3 14 4 5 3 15 11 9 4 0 0 8 12 -> 8 9 14 14 14 4 5 3 14 4 0 8 9 15 12 8 13 10 12 , 0 8 11 11 13 3 15 9 2 7 8 11 13 6 3 15 11 9 4 -> 0 8 13 6 3 2 10 11 13 3 15 12 8 9 15 11 11 9 4 , 5 7 1 2 7 8 11 12 5 7 1 2 3 14 4 8 11 9 4 -> 5 7 1 15 12 5 10 12 0 8 9 14 2 7 5 3 15 9 4 , 0 0 5 7 1 14 4 1 15 11 9 4 0 1 14 2 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0 0 0 0 8 12 0 8 13 6 10 12 8 -> 12 0 8 13 7 5 10 12 0 0 5 3 4 0 8 12 8 12 8 , 9 4 5 6 10 12 8 9 2 6 7 0 1 14 2 6 10 12 8 -> 9 14 14 2 3 4 0 8 12 8 12 5 6 6 6 6 10 12 8 , 11 11 9 4 0 5 6 10 11 11 11 13 7 5 7 5 10 12 8 -> 11 13 3 15 12 5 10 13 10 12 0 8 11 12 5 6 10 12 8 , 11 12 1 4 0 0 1 14 4 1 4 1 2 10 9 4 8 12 8 -> 11 12 0 8 12 1 2 7 1 14 14 14 4 8 12 0 0 1 15 , 13 7 1 15 12 1 15 11 12 1 15 13 6 7 0 0 1 4 8 -> 12 8 9 14 14 4 8 12 8 13 7 5 7 1 15 13 7 0 8 , 13 6 10 9 15 13 3 2 6 10 11 9 4 5 6 3 2 7 8 -> 13 6 3 2 10 13 6 10 13 6 7 5 3 4 8 9 15 9 15 , 9 4 1 14 2 10 13 3 4 5 3 2 10 12 1 4 5 7 8 -> 9 14 14 4 5 3 14 15 13 10 13 7 5 6 7 0 1 4 8 , 12 5 7 5 6 10 11 11 9 15 11 12 0 0 1 4 5 7 8 -> 12 8 13 10 12 8 9 14 2 7 5 7 0 8 11 12 5 7 8 , 11 11 11 13 6 3 14 2 10 13 6 7 1 14 2 6 7 0 8 -> 11 11 13 10 13 7 1 2 3 14 15 13 6 7 5 6 3 4 8 , 13 3 4 8 12 5 7 5 3 2 10 13 3 14 2 7 0 0 8 -> 13 7 0 5 6 6 6 7 8 9 2 3 4 8 9 14 4 0 8 , 12 5 3 15 11 ->= 12 5 3 15 11 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 2: 0 is interpreted by / \ | 1 4 | | 0 1 | \ / 1 is interpreted by / \ | 1 3 | | 0 1 | \ / 2 is interpreted by / \ | 1 2 | | 0 1 | \ / 3 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 4 is interpreted by / \ | 1 2 | | 0 1 | \ / 5 is interpreted by / \ | 1 2 | | 0 1 | \ / 6 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 7 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 8 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 9 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 10 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 11 is interpreted by / \ | 1 3 | | 0 1 | \ / 12 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 13 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 14 is interpreted by / \ | 1 2 | | 0 1 | \ / 15 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / After renaming modulo { 0->0, 5->1, 3->2, 15->3, 12->4, 9->5, 13->6, 11->7, 4->8, 7->9 }, it remains to prove termination of the 16-rule system { 0 1 2 3 4 ->= 0 1 2 3 4 , 0 1 2 3 5 ->= 0 1 2 3 5 , 0 1 2 3 6 ->= 0 1 2 3 6 , 0 1 2 3 7 ->= 0 1 2 3 7 , 8 1 2 3 4 ->= 8 1 2 3 4 , 8 1 2 3 5 ->= 8 1 2 3 5 , 8 1 2 3 6 ->= 8 1 2 3 6 , 8 1 2 3 7 ->= 8 1 2 3 7 , 9 1 2 3 4 ->= 9 1 2 3 4 , 9 1 2 3 5 ->= 9 1 2 3 5 , 9 1 2 3 6 ->= 9 1 2 3 6 , 9 1 2 3 7 ->= 9 1 2 3 7 , 4 1 2 3 4 ->= 4 1 2 3 4 , 4 1 2 3 5 ->= 4 1 2 3 5 , 4 1 2 3 6 ->= 4 1 2 3 6 , 4 1 2 3 7 ->= 4 1 2 3 7 } The system is trivially terminating.