YES After renaming modulo { 0->0, 1->1, 3->2, 2->3 }, it remains to prove termination of the 81-rule system { 0 0 0 1 2 3 3 2 0 3 3 0 1 0 0 0 1 3 -> 0 2 0 0 2 0 3 1 3 1 0 0 1 3 0 3 0 3 , 0 0 1 1 2 3 2 3 2 3 0 0 3 2 3 2 1 0 -> 3 2 0 3 1 3 2 1 3 2 0 2 2 1 0 3 0 0 , 0 0 1 2 3 1 0 1 3 3 1 1 1 1 3 2 3 3 -> 0 1 1 1 3 1 3 1 2 3 2 0 1 3 0 1 3 3 , 0 0 3 0 0 0 1 1 0 3 3 2 2 0 0 2 0 3 -> 0 3 0 0 2 1 1 3 2 0 3 0 0 2 0 0 0 3 , 0 0 3 0 1 1 3 0 1 0 1 0 1 0 3 2 3 0 -> 0 0 0 3 3 3 0 2 0 1 1 1 1 1 0 0 3 0 , 0 0 3 0 2 3 3 2 2 1 2 3 1 1 2 0 0 1 -> 0 0 2 1 1 0 2 3 3 0 3 2 2 1 3 2 0 1 , 0 0 3 1 0 0 1 0 1 0 2 1 2 2 3 0 1 1 -> 2 0 0 3 0 1 1 0 3 0 2 1 0 1 0 2 1 1 , 0 0 2 1 0 0 3 3 0 0 0 3 3 2 3 3 3 0 -> 0 0 3 0 3 0 0 3 3 0 3 2 1 2 0 3 3 0 , 0 0 2 3 0 0 1 0 1 2 3 2 3 3 3 0 1 1 -> 3 0 0 1 2 1 3 1 3 0 2 3 0 0 2 0 1 3 , 0 0 2 2 1 2 2 0 1 2 3 2 2 2 0 2 2 2 -> 0 2 0 2 2 1 2 0 2 2 2 1 2 0 2 3 2 2 , 0 1 0 1 0 2 0 1 2 1 2 0 1 0 1 2 3 1 -> 0 1 3 0 2 1 0 0 1 1 0 1 2 1 0 2 2 1 , 0 1 0 2 3 3 2 3 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 -> 1 3 2 1 1 0 0 1 1 2 0 0 3 0 3 1 1 1 , 0 1 1 0 0 3 3 0 2 3 1 0 2 1 1 0 3 3 -> 0 0 0 3 1 3 0 1 1 3 1 0 2 2 1 0 3 3 , 0 3 0 3 3 1 1 0 3 0 0 0 1 0 2 0 3 0 -> 0 3 1 1 1 0 3 0 3 0 0 0 0 2 3 0 3 0 , 0 3 3 0 2 1 2 1 2 2 1 3 1 0 0 3 0 1 -> 0 3 0 1 1 3 2 2 1 1 2 0 3 0 3 0 2 1 , 0 3 3 1 2 0 0 1 2 0 1 0 2 2 3 0 1 2 -> 2 0 1 2 2 0 0 0 0 3 1 3 0 2 1 3 1 2 , 0 3 3 3 3 3 1 2 1 0 1 3 2 3 0 1 1 3 -> 3 1 3 1 3 2 3 1 3 1 3 0 0 3 0 1 2 3 , 0 3 3 3 2 2 0 1 2 1 1 1 0 1 2 3 0 3 -> 3 1 1 0 2 2 0 1 2 1 3 2 3 0 1 3 0 3 , 0 3 2 1 2 3 2 1 1 0 3 2 3 1 0 0 1 3 -> 0 3 2 2 3 2 3 0 1 3 0 1 1 1 0 2 1 3 , 0 3 2 1 2 2 1 2 3 2 3 3 1 0 1 1 1 1 -> 1 0 2 2 2 2 1 1 3 3 2 1 3 1 3 0 1 1 , 0 3 2 3 1 1 2 2 1 2 0 1 0 1 1 2 3 1 -> 0 3 2 1 3 1 1 1 3 0 2 2 2 2 0 1 1 1 , 0 3 2 2 3 1 2 0 1 2 1 2 2 0 3 1 0 1 -> 0 3 2 2 0 2 1 0 3 2 1 0 2 2 3 1 1 1 , 0 2 0 1 2 1 2 3 0 1 0 1 0 0 2 1 1 2 -> 0 2 3 0 2 1 2 1 1 0 2 0 0 1 0 1 1 2 , 0 2 1 0 0 2 0 0 1 0 2 3 1 2 0 0 1 3 -> 0 0 2 1 1 2 1 0 0 3 1 0 2 0 0 0 2 3 , 0 2 1 0 3 3 1 0 1 1 0 0 2 1 3 3 2 0 -> 0 2 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3 1 1 3 0 2 1 0 2 1 0 3 3 2 0 3 , 1 1 2 2 1 0 3 2 3 1 2 3 0 1 1 1 1 1 -> 1 2 1 1 1 1 1 3 1 1 2 0 2 2 0 3 3 1 , 1 1 2 2 3 1 1 1 2 2 1 1 0 3 0 3 1 3 -> 1 1 3 2 1 2 0 1 1 1 3 2 0 3 2 1 1 3 , 1 3 3 1 3 3 1 0 1 3 1 1 0 3 2 3 3 0 -> 1 3 1 3 3 1 3 1 0 1 3 3 0 3 2 1 3 0 , 1 2 0 1 2 3 3 3 3 1 0 0 1 3 3 0 0 1 -> 1 3 3 1 1 3 1 3 0 0 2 1 3 0 0 0 2 3 , 1 2 1 3 3 3 1 2 2 0 1 1 0 0 3 3 2 3 -> 1 3 3 2 0 3 2 0 2 3 2 1 1 0 1 3 1 3 , 1 2 1 2 3 3 0 0 0 0 1 2 3 0 1 2 2 0 -> 1 3 0 0 0 0 0 2 1 2 2 2 3 1 3 2 1 0 , 1 2 3 2 0 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 3 3 0 -> 1 2 2 2 1 1 0 3 2 2 2 2 2 3 0 2 3 2 , 1 2 2 1 1 2 0 3 0 1 2 1 2 0 2 3 3 1 -> 1 2 2 2 0 1 1 3 0 2 1 1 3 2 2 0 3 1 , 3 0 3 0 0 1 1 1 2 1 1 2 3 2 1 2 3 2 -> 3 0 1 1 1 0 2 1 3 1 0 1 3 2 2 2 3 2 , 3 0 3 3 2 3 0 3 0 1 1 2 1 2 2 2 3 0 -> 3 2 1 3 1 3 0 3 3 1 0 0 2 2 3 0 2 2 , 3 1 0 0 3 3 3 0 1 2 1 2 3 2 3 1 1 3 -> 3 3 0 0 2 0 3 3 1 3 2 1 3 2 1 1 1 3 , 3 1 0 3 1 0 0 1 1 3 3 3 3 3 3 3 3 1 -> 3 0 0 1 3 3 3 1 3 3 3 0 1 3 1 3 3 1 , 3 1 1 2 3 0 0 0 3 1 0 3 3 2 3 2 3 0 -> 3 0 0 3 0 3 3 1 3 1 3 2 0 2 3 2 1 0 , 3 1 2 2 3 1 3 2 1 2 2 1 3 1 3 3 0 2 -> 3 3 1 1 1 3 3 3 1 3 1 0 2 2 2 2 2 2 , 3 3 2 1 0 2 3 3 3 3 2 1 2 2 0 3 2 3 -> 3 3 2 0 2 1 3 2 2 2 0 3 1 3 3 2 3 3 , 3 2 0 1 0 0 2 1 0 2 3 2 3 3 3 2 2 3 -> 3 2 3 2 0 0 3 3 3 1 1 0 2 3 0 2 2 2 , 3 2 1 0 0 2 1 0 1 2 0 1 3 3 3 3 0 3 -> 3 0 3 0 0 1 1 3 2 1 1 0 3 2 3 2 0 3 , 2 0 0 1 2 1 0 3 2 2 1 2 2 2 2 3 1 0 -> 2 0 2 1 1 3 3 1 2 0 2 2 0 2 2 2 1 0 , 2 0 0 1 2 3 3 1 2 2 0 1 3 1 0 2 1 3 -> 2 0 1 1 2 2 0 3 2 1 3 1 2 0 3 0 1 3 , 2 0 1 0 0 0 0 2 2 3 0 0 1 0 0 3 3 3 -> 0 3 0 2 0 0 3 0 2 2 0 0 0 3 1 0 1 3 , 2 0 1 0 0 3 1 0 1 2 3 1 1 2 2 0 1 1 -> 2 0 0 3 2 1 1 1 0 1 2 0 1 0 2 3 1 1 , 2 0 1 0 3 1 0 0 0 0 1 1 2 3 3 2 0 1 -> 2 0 0 2 0 2 3 1 1 0 0 0 3 1 1 1 0 3 , 2 0 1 0 3 2 3 0 1 0 1 3 2 1 3 0 1 3 -> 2 0 1 1 1 1 3 3 2 0 1 3 0 2 0 3 0 3 , 2 0 2 0 2 3 3 2 3 1 0 3 2 1 3 2 2 0 -> 2 1 3 1 3 2 3 0 3 2 3 0 0 2 2 2 2 0 , 2 1 0 3 1 0 1 0 1 0 3 3 0 3 2 2 3 3 -> 0 2 0 0 0 3 2 3 1 2 0 3 3 1 1 1 3 3 , 2 1 0 2 3 1 0 2 0 3 2 3 2 0 1 2 2 3 -> 2 1 0 2 1 2 2 2 0 3 2 0 2 3 3 0 1 3 , 2 1 1 0 1 0 2 1 1 3 1 2 0 2 2 1 0 2 -> 2 1 1 1 2 1 1 1 0 2 0 0 1 3 2 2 0 2 , 2 1 3 3 2 1 0 1 1 1 1 2 3 1 1 1 2 1 -> 2 1 1 3 3 2 1 1 0 1 3 1 1 2 1 1 2 1 , 2 3 0 1 3 2 3 3 1 2 0 2 2 1 2 2 3 3 -> 2 3 0 1 3 0 1 2 2 3 2 2 2 2 1 3 3 3 , 2 3 0 2 0 1 1 0 3 2 0 2 0 0 1 0 3 0 -> 2 3 0 0 1 1 1 0 0 2 2 3 2 0 0 0 3 0 , 2 3 1 0 1 0 1 2 0 1 3 2 0 0 1 2 0 1 -> 2 0 0 2 0 2 2 0 0 1 1 0 1 3 1 3 1 1 , 2 3 3 0 3 2 0 1 0 2 1 2 2 1 2 1 3 2 -> 2 3 0 2 1 3 0 2 2 1 1 1 0 3 2 3 2 2 , 2 3 3 1 2 1 3 3 2 2 0 3 1 0 1 2 3 1 -> 2 3 2 1 1 3 2 0 3 1 2 1 1 3 2 0 3 3 , 2 3 3 3 3 3 1 0 0 1 2 3 2 1 2 2 3 1 -> 2 3 2 1 0 3 3 3 1 2 2 3 1 0 3 3 2 1 , 2 3 3 3 3 2 2 1 2 1 1 2 2 1 3 3 2 3 -> 2 3 2 3 2 1 3 2 1 3 2 2 3 2 3 1 1 3 , 2 3 2 3 3 3 0 3 2 0 1 3 2 0 1 1 0 3 -> 2 3 3 2 2 0 2 1 3 3 0 1 0 0 3 3 1 3 , 2 2 0 1 0 2 3 0 1 1 1 1 3 0 2 3 1 0 -> 2 2 1 0 0 3 1 1 1 3 2 1 1 3 0 0 2 0 , 2 2 0 3 0 1 2 1 0 3 3 3 3 0 2 2 1 0 -> 2 2 3 0 2 1 0 3 1 3 2 0 1 0 3 2 3 0 , 2 2 1 3 1 2 3 3 1 3 1 3 3 0 2 3 1 0 -> 2 0 3 1 3 1 3 3 2 1 3 0 3 1 1 3 2 2 , 2 2 1 2 0 3 2 2 2 1 0 0 3 3 0 3 0 1 -> 2 0 0 3 0 0 2 0 2 2 3 1 3 1 3 2 2 1 , 2 2 1 2 2 3 1 2 3 2 2 3 2 1 2 3 2 1 -> 2 1 2 1 3 3 2 2 2 2 2 2 2 3 3 1 2 1 , 2 2 3 3 2 0 1 2 2 2 0 0 0 3 0 3 2 0 -> 2 2 2 0 2 3 0 3 2 0 3 3 0 1 2 0 2 0 , 0 1 3 2 ->= 0 1 3 2 } The system was reversed. After renaming modulo { 3->0, 1->1, 0->2, 2->3 }, it remains to prove termination of the 81-rule system { 0 1 2 2 2 1 2 0 0 2 3 0 0 3 1 2 2 2 -> 0 2 0 2 0 1 2 2 1 0 1 0 2 3 2 2 3 2 , 2 1 3 0 3 0 2 2 0 3 0 3 0 3 1 1 2 2 -> 2 2 0 2 1 3 3 2 3 0 1 3 0 1 0 2 3 0 , 0 0 3 0 1 1 1 1 0 0 1 2 1 0 3 1 2 2 -> 0 0 1 2 0 1 2 3 0 3 1 0 1 0 1 1 1 2 , 0 2 3 2 2 3 3 0 0 2 1 1 2 2 2 0 2 2 -> 0 2 2 2 3 2 2 0 2 3 0 1 1 3 2 2 0 2 , 2 0 3 0 2 1 2 1 2 1 2 0 1 1 2 0 2 2 -> 2 0 2 2 1 1 1 1 1 2 3 2 0 0 0 2 2 2 , 1 2 2 3 1 1 0 3 1 3 3 0 0 3 2 0 2 2 -> 1 2 3 0 1 3 3 0 2 0 0 3 2 1 1 3 2 2 , 1 1 2 0 3 3 1 3 2 1 2 1 2 2 1 0 2 2 -> 1 1 3 2 1 2 1 3 2 0 2 1 1 2 0 2 2 3 , 2 0 0 0 3 0 0 2 2 2 0 0 2 2 1 3 2 2 -> 2 0 0 2 3 1 3 0 2 0 0 2 2 0 2 0 2 2 , 1 1 2 0 0 0 3 0 3 1 2 1 2 2 0 3 2 2 -> 0 1 2 3 2 2 0 3 2 0 1 0 1 3 1 2 2 0 , 3 3 3 2 3 3 3 0 3 1 2 3 3 1 3 3 2 2 -> 3 3 0 3 2 3 1 3 3 3 2 3 1 3 3 2 3 2 , 1 0 3 1 2 1 2 3 1 3 1 2 3 2 1 2 1 2 -> 1 3 3 2 1 3 1 2 1 1 2 2 1 3 2 0 1 2 , 1 1 2 1 2 1 1 1 1 2 0 3 0 0 3 2 1 2 -> 1 1 1 0 2 0 2 2 3 1 1 2 2 1 1 3 0 1 , 0 0 2 1 1 3 2 1 0 3 2 0 0 2 2 1 1 2 -> 0 0 2 1 3 3 2 1 0 1 1 2 0 1 0 2 2 2 , 2 0 2 3 2 1 2 2 2 0 2 1 1 0 0 2 0 2 -> 2 0 2 0 3 2 2 2 2 0 2 0 2 1 1 1 0 2 , 1 2 0 2 2 1 0 1 3 3 1 3 1 3 2 0 0 2 -> 1 3 2 0 2 0 2 3 1 1 3 3 0 1 1 2 0 2 , 3 1 2 0 3 3 2 1 2 3 1 2 2 3 1 0 0 2 -> 3 1 0 1 3 2 0 1 0 2 2 2 2 3 3 1 2 3 , 0 1 1 2 0 3 0 1 2 1 3 1 0 0 0 0 0 2 -> 0 3 1 2 0 2 2 0 1 0 1 0 3 0 1 0 1 0 , 0 2 0 3 1 2 1 1 1 3 1 2 3 3 0 0 0 2 -> 0 2 0 1 2 0 3 0 1 3 1 2 3 3 2 1 1 0 , 0 1 2 2 1 0 3 0 2 1 1 3 0 3 1 3 0 2 -> 0 1 3 2 1 1 1 2 0 1 2 0 3 0 3 3 0 2 , 1 1 1 1 2 1 0 0 3 0 3 1 3 3 1 3 0 2 -> 1 1 2 0 1 0 1 3 0 0 1 1 3 3 3 3 2 1 , 1 0 3 1 1 2 1 2 3 1 3 3 1 1 0 3 0 2 -> 1 1 1 2 3 3 3 3 2 0 1 1 1 0 1 3 0 2 , 1 2 1 0 2 3 3 1 3 1 2 3 1 0 3 3 0 2 -> 1 1 1 0 3 3 2 1 3 0 2 1 3 2 3 3 0 2 , 3 1 1 3 2 2 1 2 1 2 0 3 1 3 1 2 3 2 -> 3 1 1 2 1 2 2 3 2 1 1 3 1 3 2 0 3 2 , 0 1 2 2 3 1 0 3 2 1 2 2 3 2 2 1 3 2 -> 0 3 2 2 2 3 2 1 0 2 2 1 3 1 1 3 2 2 , 2 3 0 0 1 3 2 2 1 1 2 1 0 0 2 1 3 2 -> 2 2 1 1 3 2 0 0 1 0 2 0 3 2 1 1 3 2 , 1 1 1 1 3 1 3 0 0 0 0 0 3 1 2 2 2 1 -> 1 3 0 1 3 0 2 1 0 2 1 2 0 3 1 1 0 1 , 3 0 0 0 0 1 1 3 0 1 3 0 2 3 2 2 2 1 -> 3 0 3 3 1 0 0 2 2 0 1 2 0 1 0 2 3 1 , 3 1 2 1 0 3 3 1 2 3 0 2 3 1 2 1 2 1 -> 3 1 2 1 2 2 2 3 1 3 1 2 0 1 0 3 3 1 , 2 1 2 2 2 3 1 2 2 2 1 1 0 3 1 1 2 1 -> 2 0 2 2 1 1 2 2 2 2 3 1 2 1 1 1 3 1 , 0 1 2 0 0 3 1 0 3 3 1 0 2 0 3 1 2 1 -> 0 0 0 0 3 1 0 2 2 2 1 3 3 1 0 1 3 1 , 1 3 0 0 0 1 3 2 1 2 0 2 1 2 3 0 2 1 -> 1 0 1 0 1 2 0 1 3 3 0 0 2 2 2 3 2 1 , 3 2 0 3 1 2 3 0 1 1 2 3 2 0 2 3 2 1 -> 3 3 2 2 0 1 3 3 3 2 0 2 1 2 1 0 2 1 , 3 3 0 3 2 1 1 0 0 3 2 0 0 3 0 3 2 1 -> 3 3 2 0 1 3 1 0 3 0 2 3 0 0 2 3 0 1 , 2 2 1 2 2 0 0 3 2 0 0 0 0 3 2 2 1 1 -> 2 2 0 2 1 0 2 0 0 0 1 2 0 2 2 3 3 1 , 1 1 1 3 0 1 0 0 1 0 2 0 3 1 1 2 1 1 -> 1 1 1 1 1 0 0 2 0 1 0 1 3 0 3 2 1 1 , 3 2 3 3 1 1 1 2 1 0 0 0 1 1 2 1 1 1 -> 3 2 3 1 1 1 0 1 0 1 2 1 1 1 3 2 0 1 , 1 0 0 0 3 3 3 2 2 3 0 3 1 1 2 1 1 1 -> 0 1 3 0 1 1 0 1 3 0 1 3 3 2 2 3 2 1 , 0 2 3 1 2 2 1 3 0 3 0 1 0 0 2 0 1 1 -> 0 2 3 0 0 2 1 3 2 1 3 2 0 1 1 0 0 1 , 1 1 1 1 1 2 0 3 1 0 3 0 2 1 3 3 1 1 -> 1 0 0 2 3 3 2 3 1 1 0 1 1 1 1 1 3 1 , 0 1 0 2 0 2 1 1 3 3 1 1 1 0 3 3 1 1 -> 0 1 1 3 0 2 3 0 1 1 1 2 3 1 3 0 1 1 , 2 0 0 3 0 2 1 1 0 1 2 1 0 0 1 0 0 1 -> 2 0 1 3 0 2 0 0 1 2 1 0 1 0 0 1 0 1 , 1 2 2 0 0 1 2 2 1 0 0 0 0 3 1 2 3 1 -> 0 3 2 2 2 0 1 3 2 2 0 1 0 1 1 0 0 1 , 0 3 0 0 2 2 1 1 2 3 3 1 0 0 0 1 3 1 -> 0 1 0 1 2 1 1 3 0 3 2 3 0 2 3 0 0 1 , 2 3 3 1 2 0 3 1 2 2 2 2 0 0 3 1 3 1 -> 2 1 3 0 1 0 3 3 3 1 3 2 2 2 2 2 0 1 , 2 0 0 3 3 3 1 3 3 1 3 3 3 2 3 0 3 1 -> 3 0 3 2 0 3 3 3 3 3 0 2 1 1 3 3 3 1 , 1 0 0 3 2 3 1 3 1 2 0 2 3 1 1 3 3 1 -> 1 0 2 3 3 0 1 1 3 2 0 1 1 2 3 3 3 1 , 3 0 3 1 3 0 3 1 1 3 1 1 1 2 2 0 2 0 -> 3 0 3 3 3 0 1 2 1 0 1 3 2 1 1 1 2 0 , 2 0 3 3 3 1 3 1 1 2 0 2 0 3 0 0 2 0 -> 3 3 2 0 3 3 2 2 1 0 0 2 0 1 0 1 3 0 , 0 1 1 0 3 0 3 1 3 1 2 0 0 0 2 2 1 0 -> 0 1 1 1 3 0 1 3 0 1 0 0 2 3 2 2 0 0 , 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 2 2 1 0 2 1 0 -> 1 0 0 1 0 1 2 0 0 0 1 0 0 0 1 2 2 0 , 2 0 3 0 3 0 0 2 1 0 2 2 2 0 3 1 1 0 -> 2 1 3 0 3 2 3 0 1 0 1 0 0 2 0 2 2 0 , 3 2 0 0 1 0 1 3 3 1 3 0 1 0 3 3 1 0 -> 3 3 3 3 3 3 2 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 , 0 3 0 2 3 3 1 3 0 0 0 0 3 2 1 3 0 0 -> 0 0 3 0 0 1 0 2 3 3 3 0 1 3 2 3 0 0 , 0 3 3 0 0 0 3 0 3 2 1 3 2 2 1 2 3 0 -> 3 3 3 2 0 3 2 1 1 0 0 0 2 2 3 0 3 0 , 0 2 0 0 0 0 1 2 3 1 2 1 3 2 2 1 3 0 -> 0 2 3 0 3 0 2 1 1 3 0 1 1 2 2 0 2 0 , 2 1 0 3 3 3 3 1 3 3 0 2 1 3 1 2 2 3 -> 2 1 3 3 3 2 3 3 2 3 1 0 0 1 1 3 2 3 , 0 1 3 2 1 0 1 2 3 3 1 0 0 3 1 2 2 3 -> 0 1 2 0 2 3 1 0 1 3 0 2 3 3 1 1 2 3 , 0 0 0 2 2 1 2 2 0 3 3 2 2 2 2 1 2 3 -> 0 1 2 1 0 2 2 2 3 3 2 0 2 2 3 2 0 2 , 1 1 2 3 3 1 1 0 3 1 2 1 0 2 2 1 2 3 -> 1 1 0 3 2 1 2 3 1 2 1 1 1 3 0 2 2 3 , 1 2 3 0 0 3 1 1 2 2 2 2 1 0 2 1 2 3 -> 0 2 1 1 1 0 2 2 2 1 1 0 3 2 3 2 2 3 , 0 1 2 0 1 3 0 1 2 1 2 0 3 0 2 1 2 3 -> 0 2 0 2 3 2 0 1 2 3 0 0 1 1 1 1 2 3 , 2 3 3 0 1 3 0 2 1 0 3 0 0 3 2 3 2 3 -> 2 3 3 3 3 2 2 0 3 0 2 0 3 0 1 0 1 3 , 0 0 3 3 0 2 0 0 2 1 2 1 2 1 0 2 1 3 -> 0 0 1 1 1 0 0 2 3 1 0 3 0 2 2 2 3 2 , 0 3 3 1 2 3 0 3 0 2 3 2 1 0 3 2 1 3 -> 0 1 2 0 0 3 2 3 0 2 3 3 3 1 3 2 1 3 , 3 2 1 3 3 2 3 1 0 1 1 3 2 1 2 1 1 3 -> 3 2 3 3 0 1 2 2 3 2 1 1 1 3 1 1 1 3 , 1 3 1 1 1 0 3 1 1 1 1 2 1 3 0 0 1 3 -> 1 3 1 1 3 1 1 0 1 2 1 1 3 0 0 1 1 3 , 0 0 3 3 1 3 3 2 3 1 0 0 3 0 1 2 0 3 -> 0 0 0 1 3 3 3 3 0 3 3 1 2 0 1 2 0 3 , 2 0 2 1 2 2 3 2 3 0 2 1 1 2 3 2 0 3 -> 2 0 2 2 2 3 0 3 3 2 2 1 1 1 2 2 0 3 , 1 2 3 1 2 2 3 0 1 2 3 1 2 1 2 1 0 3 -> 1 1 0 1 0 1 2 1 1 2 2 3 3 2 3 2 2 3 , 3 0 1 3 1 3 3 1 3 2 1 2 3 0 2 0 0 3 -> 3 3 0 3 0 2 1 1 1 3 3 2 0 1 3 2 0 3 , 1 0 3 1 2 1 0 2 3 3 0 0 1 3 1 0 0 3 -> 0 0 2 3 0 1 1 3 1 0 2 3 0 1 1 3 0 3 , 1 0 3 3 1 3 0 3 1 2 2 1 0 0 0 0 0 3 -> 1 3 0 0 2 1 0 3 3 1 0 0 0 2 1 3 0 3 , 0 3 0 0 1 3 3 1 1 3 1 3 3 0 0 0 0 3 -> 0 1 1 0 3 0 3 3 0 1 3 0 1 3 0 3 0 3 , 0 2 1 1 2 3 0 1 2 3 0 2 0 0 0 3 0 3 -> 0 1 0 0 2 2 1 2 0 0 1 3 2 3 3 0 0 3 , 2 1 0 3 2 0 1 1 1 1 2 0 3 2 1 2 3 3 -> 2 3 2 2 0 1 1 3 0 1 1 1 0 2 2 1 3 3 , 2 1 3 3 2 0 0 0 0 2 1 3 1 2 0 2 3 3 -> 2 0 3 0 2 1 2 3 0 1 0 2 1 3 2 0 3 3 , 2 1 0 3 2 0 0 1 0 1 0 0 3 1 0 1 3 3 -> 3 3 0 1 1 0 2 0 1 3 0 0 1 0 1 0 2 3 , 1 2 0 2 0 0 2 2 1 3 3 3 0 2 3 1 3 3 -> 1 3 3 0 1 0 1 0 3 3 2 3 2 2 0 2 2 3 , 1 3 0 3 1 3 0 3 3 0 3 1 0 3 3 1 3 3 -> 1 3 1 0 0 3 3 3 3 3 3 3 0 0 1 3 1 3 , 2 3 0 2 0 2 2 2 3 3 3 1 2 3 0 0 3 3 -> 2 3 2 3 1 2 0 0 2 3 0 2 0 3 2 3 3 3 , 3 0 1 2 ->= 3 0 1 2 } Applying context closure of depth 1 in the following form: System R over Sigma maps to { fold(xly) -> fold(xry) | l -> r in R, x,y in Sigma } over Sigma^2, where fold(a_1...a_n) = (a_1,a_2)...(a_{n-1},a_{n}) After renaming modulo { [0, 0]->0, [0, 1]->1, [1, 2]->2, [2, 2]->3, [2, 1]->4, [2, 0]->5, [0, 2]->6, [2, 3]->7, [3, 0]->8, [0, 3]->9, [3, 1]->10, [1, 0]->11, [3, 2]->12, [1, 3]->13, [1, 1]->14, [3, 3]->15 }, it remains to prove termination of the 1296-rule system { 0 1 2 3 3 4 2 5 0 6 7 8 0 9 10 2 3 3 5 -> 0 6 5 6 5 1 2 3 4 11 1 11 6 7 12 3 7 12 5 , 6 4 13 8 9 8 6 3 5 9 8 9 8 9 10 14 2 3 5 -> 6 3 5 6 4 13 15 12 7 8 1 13 8 1 11 6 7 8 0 , 0 0 9 8 1 14 14 14 11 0 1 2 4 11 9 10 2 3 5 -> 0 0 1 2 5 1 2 7 8 9 10 11 1 11 1 14 14 2 5 , 0 6 7 12 3 7 15 8 0 6 4 14 2 3 3 5 6 3 5 -> 0 6 3 3 7 12 3 5 6 7 8 1 14 13 12 3 5 6 5 , 6 5 9 8 6 4 2 4 2 4 2 5 1 14 2 5 6 3 5 -> 6 5 6 3 4 14 14 14 14 2 7 12 5 0 0 6 3 3 5 , 1 2 3 7 10 14 11 9 10 13 15 8 0 9 12 5 6 3 5 -> 1 2 7 8 1 13 15 8 6 5 0 9 12 4 14 13 12 3 5 , 1 14 2 5 9 15 10 13 12 4 2 4 2 3 4 11 6 3 5 -> 1 14 13 12 4 2 4 13 12 5 6 4 14 2 5 6 3 7 8 , 6 5 0 0 9 8 0 6 3 3 5 0 6 3 4 13 12 3 5 -> 6 5 0 6 7 10 13 8 6 5 0 6 3 5 6 5 6 3 5 , 1 14 2 5 0 0 9 8 9 10 2 4 2 3 5 9 12 3 5 -> 0 1 2 7 12 3 5 9 12 5 1 11 1 13 10 2 3 5 0 , 9 15 15 12 7 15 15 8 9 10 2 7 15 10 13 15 12 3 5 -> 9 15 8 9 12 7 10 13 15 15 12 7 10 13 15 12 7 12 5 , 1 11 9 10 2 4 2 7 10 13 10 2 7 12 4 2 4 2 5 -> 1 13 15 12 4 13 10 2 4 14 2 3 4 13 12 5 1 2 5 , 1 14 2 4 2 4 14 14 14 2 5 9 8 0 9 12 4 2 5 -> 1 14 14 11 6 5 6 3 7 10 14 2 3 4 14 13 8 1 11 , 0 0 6 4 14 13 12 4 11 9 12 5 0 6 3 4 14 2 5 -> 0 0 6 4 13 15 12 4 11 1 14 2 5 1 11 6 3 3 5 , 6 5 6 7 12 4 2 3 3 5 6 4 14 11 0 6 5 6 5 -> 6 5 6 5 9 12 3 3 3 5 6 5 6 4 14 14 11 6 5 , 1 2 5 6 3 4 11 1 13 15 10 13 10 13 12 5 0 6 5 -> 1 13 12 5 6 5 6 7 10 14 13 15 8 1 14 2 5 6 5 , 9 10 2 5 9 15 12 4 2 7 10 2 3 7 10 11 0 6 5 -> 9 10 11 1 13 12 5 1 11 6 3 3 3 7 15 10 2 7 8 , 0 1 14 2 5 9 8 1 2 4 13 10 11 0 0 0 0 6 5 -> 0 9 10 2 5 6 3 5 1 11 1 11 9 8 1 11 1 11 0 , 0 6 5 9 10 2 4 14 14 13 10 2 7 15 8 0 0 6 5 -> 0 6 5 1 2 5 9 8 1 13 10 2 7 15 12 4 14 11 0 , 0 1 2 3 4 11 9 8 6 4 14 13 8 9 10 13 8 6 5 -> 0 1 13 12 4 14 14 2 5 1 2 5 9 8 9 15 8 6 5 , 1 14 14 14 2 4 11 0 9 8 9 10 13 15 10 13 8 6 5 -> 1 14 2 5 1 11 1 13 8 0 1 14 13 15 15 15 12 4 11 , 1 11 9 10 14 2 4 2 7 10 13 15 10 14 11 9 8 6 5 -> 1 14 14 2 7 15 15 15 12 5 1 14 14 11 1 13 8 6 5 , 1 2 4 11 6 7 15 10 13 10 2 7 10 11 9 15 8 6 5 -> 1 14 14 11 9 15 12 4 13 8 6 4 13 12 7 15 8 6 5 , 9 10 14 13 12 3 4 2 4 2 5 9 10 13 10 2 7 12 5 -> 9 10 14 2 4 2 3 7 12 4 14 13 10 13 12 5 9 12 5 , 0 1 2 3 7 10 11 9 12 4 2 3 7 12 3 4 13 12 5 -> 0 9 12 3 3 7 12 4 11 6 3 4 13 10 14 13 12 3 5 , 6 7 8 0 1 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9 15 10 11 0 0 6 4 13 8 9 15 , 8 9 8 0 1 13 15 10 14 13 10 13 15 8 0 0 0 9 15 -> 8 1 14 11 9 8 9 15 8 1 13 8 1 13 8 9 8 9 15 , 8 6 4 14 2 7 8 1 2 7 8 6 5 0 0 9 8 9 15 -> 8 1 11 0 6 3 4 2 5 0 1 13 12 7 15 8 0 9 15 , 12 4 11 9 12 5 1 14 14 14 2 5 9 12 4 2 7 15 15 -> 12 7 12 3 5 1 14 13 8 1 14 14 11 6 3 4 13 15 15 , 12 4 13 15 12 5 0 0 0 6 4 13 10 2 5 6 7 15 15 -> 12 5 9 8 6 4 2 7 8 1 11 6 4 13 12 5 9 15 15 , 12 4 11 9 12 5 0 1 11 1 11 0 9 10 11 1 13 15 15 -> 15 15 8 1 14 11 6 5 1 13 8 0 1 11 1 11 6 7 15 , 10 2 5 6 5 0 6 3 4 13 15 15 8 6 7 10 13 15 15 -> 10 13 15 8 1 11 1 11 9 15 12 7 12 3 5 6 3 7 15 , 10 13 8 9 10 13 8 9 15 8 9 10 11 9 15 10 13 15 15 -> 10 13 10 11 0 9 15 15 15 15 15 15 8 0 1 13 10 13 15 , 12 7 8 6 5 6 3 3 7 15 15 10 2 7 8 0 9 15 15 -> 12 7 12 7 10 2 5 0 6 7 8 6 5 9 12 7 15 15 15 , 15 8 1 2 7 ->= 15 8 1 2 7 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 2: 0 is interpreted by / \ | 1 2 | | 0 1 | \ / 1 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 2 is interpreted by / \ | 1 3 | | 0 1 | \ / 3 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 4 is interpreted by / \ | 1 2 | | 0 1 | \ / 5 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 6 is interpreted by / \ | 1 2 | | 0 1 | \ / 7 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 8 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 9 is interpreted by / \ | 1 3 | | 0 1 | \ / 10 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 11 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 12 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 13 is interpreted by / \ | 1 2 | | 0 1 | \ / 14 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 15 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / After renaming modulo { 9->0, 8->1, 1->2, 2->3, 5->4, 4->5, 3->6, 7->7, 13->8, 15->9 }, it remains to prove termination of the 16-rule system { 0 1 2 3 4 ->= 0 1 2 3 4 , 0 1 2 3 5 ->= 0 1 2 3 5 , 0 1 2 3 6 ->= 0 1 2 3 6 , 0 1 2 3 7 ->= 0 1 2 3 7 , 8 1 2 3 4 ->= 8 1 2 3 4 , 8 1 2 3 5 ->= 8 1 2 3 5 , 8 1 2 3 6 ->= 8 1 2 3 6 , 8 1 2 3 7 ->= 8 1 2 3 7 , 7 1 2 3 4 ->= 7 1 2 3 4 , 7 1 2 3 5 ->= 7 1 2 3 5 , 7 1 2 3 6 ->= 7 1 2 3 6 , 7 1 2 3 7 ->= 7 1 2 3 7 , 9 1 2 3 4 ->= 9 1 2 3 4 , 9 1 2 3 5 ->= 9 1 2 3 5 , 9 1 2 3 6 ->= 9 1 2 3 6 , 9 1 2 3 7 ->= 9 1 2 3 7 } The system is trivially terminating.