YES After renaming modulo { 0->0, 1->1, 2->2, 3->3 }, it remains to prove termination of the 81-rule system { 0 0 1 2 0 0 1 2 1 0 2 0 0 2 0 2 1 2 -> 0 0 0 1 2 2 0 0 1 0 1 0 2 2 2 1 0 2 , 0 1 0 1 0 1 3 0 3 0 3 1 0 2 0 0 1 0 -> 0 0 3 0 1 0 2 0 3 0 1 0 3 1 1 0 1 0 , 0 1 0 2 0 0 1 1 0 1 3 3 2 1 0 2 1 1 -> 0 2 2 1 3 0 0 3 0 1 1 1 1 0 0 2 1 1 , 0 1 2 0 0 0 2 1 3 0 0 3 1 1 3 3 1 3 -> 0 0 0 0 0 2 0 1 3 2 3 1 3 1 1 3 1 3 , 0 1 3 1 3 1 0 3 3 0 1 0 3 0 0 1 2 2 -> 0 3 0 1 1 3 0 0 1 1 0 2 0 3 3 1 3 2 , 0 1 3 2 1 0 1 3 2 2 0 1 0 2 1 3 2 3 -> 0 3 0 2 1 2 3 2 1 2 0 0 2 1 1 3 1 3 , 0 2 0 3 3 0 0 0 2 0 2 0 0 3 0 3 0 0 -> 0 0 0 3 2 0 0 0 2 3 2 0 0 0 0 3 3 0 , 0 2 1 0 1 1 3 0 1 2 0 2 0 1 0 1 3 2 -> 2 2 1 1 1 3 0 0 0 0 0 2 2 3 0 1 1 1 , 0 2 2 2 0 3 3 1 2 0 3 0 0 3 0 1 3 1 -> 0 2 3 0 0 0 3 2 2 1 1 1 3 0 3 0 3 2 , 0 2 3 0 0 3 2 0 1 0 0 1 1 0 3 0 0 1 -> 0 0 3 3 0 0 0 0 2 1 2 1 1 0 0 3 0 1 , 0 2 3 1 3 1 3 1 2 1 2 3 1 0 2 3 3 1 -> 0 1 3 2 1 1 3 3 0 2 2 1 1 3 3 3 2 1 , 0 3 0 3 0 1 3 0 3 0 3 0 1 3 0 3 1 2 -> 0 0 3 3 3 1 1 0 3 0 3 0 0 3 0 3 1 2 , 0 3 1 3 2 2 3 1 2 1 3 1 2 3 1 3 3 3 -> 2 3 1 3 3 3 2 1 3 1 2 3 0 1 1 2 3 3 , 0 3 2 0 2 3 1 2 0 0 3 3 1 2 0 2 3 3 -> 0 3 2 0 2 1 3 3 2 0 2 0 2 1 0 3 3 3 , 0 3 3 1 0 0 1 3 3 1 2 1 0 2 0 3 2 3 -> 0 0 0 1 1 0 3 3 3 3 2 3 2 0 1 3 1 2 , 0 3 3 1 3 3 0 2 0 0 0 2 0 3 0 3 0 1 -> 0 0 0 0 2 3 3 3 0 3 1 2 0 0 3 3 0 1 , 1 0 1 1 1 2 1 0 2 3 0 0 1 1 2 1 1 3 -> 1 0 1 2 2 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 2 3 3 , 1 0 3 1 1 0 2 3 3 0 0 3 2 3 2 0 3 1 -> 1 1 2 3 0 2 2 3 0 0 0 1 0 3 3 3 3 1 , 1 1 2 0 1 1 3 1 1 2 1 1 0 1 3 3 3 1 -> 1 1 1 3 1 1 3 1 1 1 0 3 3 0 2 2 1 1 , 1 1 2 3 1 2 1 3 2 1 1 2 1 2 0 0 3 1 -> 1 1 1 3 1 0 1 0 1 2 3 3 1 2 2 2 2 1 , 1 1 3 0 3 1 0 0 1 3 3 0 1 3 0 1 1 2 -> 1 1 1 3 0 0 0 1 1 1 1 0 3 3 2 3 0 3 , 1 2 0 1 2 1 2 1 1 3 3 1 0 0 2 1 0 3 -> 0 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 0 2 2 2 0 0 3 , 1 2 0 2 1 1 3 1 3 3 3 3 2 3 2 2 1 0 -> 1 2 3 2 2 1 3 2 3 0 1 1 2 3 3 3 1 0 , 1 2 1 3 1 0 2 1 0 0 2 3 2 2 1 2 2 0 -> 1 2 2 1 1 1 0 0 3 3 2 2 2 2 2 1 0 0 , 1 3 1 0 2 1 0 1 0 0 1 3 2 0 1 3 1 2 -> 1 0 1 1 1 2 0 2 1 1 0 0 3 1 0 2 3 3 , 1 3 1 2 2 0 1 2 1 2 0 2 1 1 2 1 2 1 -> 1 2 1 1 1 2 2 2 1 0 3 1 2 2 0 2 1 1 , 2 0 0 2 0 3 1 2 1 0 1 3 1 0 0 2 3 2 -> 2 0 1 1 0 0 1 3 2 1 2 3 0 2 2 0 0 3 , 2 0 1 0 3 2 1 1 1 3 3 1 2 0 1 3 1 1 -> 3 0 3 1 1 1 1 0 2 1 1 3 3 2 2 0 1 1 , 2 0 1 3 2 3 2 2 3 1 3 2 3 1 3 0 1 3 -> 2 1 1 2 3 0 3 0 2 1 3 1 2 3 3 3 2 3 , 2 0 2 0 2 3 2 3 3 2 0 3 1 2 1 3 1 2 -> 3 3 2 3 0 2 0 0 2 1 1 2 2 1 2 3 3 2 , 2 0 2 0 3 1 2 0 3 0 1 3 1 3 0 0 3 1 -> 3 3 3 0 2 3 2 0 2 0 1 0 0 1 3 1 0 1 , 2 0 3 0 3 3 0 1 0 2 0 1 3 0 2 3 2 0 -> 3 2 1 2 3 0 2 2 1 3 0 0 0 3 0 0 3 0 , 2 0 3 2 2 3 1 3 1 1 2 3 1 0 0 3 1 2 -> 2 0 1 0 1 1 1 2 3 2 3 3 1 3 2 3 0 2 , 2 1 0 1 1 3 1 2 1 2 2 1 1 2 1 1 1 1 -> 2 2 1 3 0 1 1 1 1 1 2 1 1 2 2 1 1 1 , 2 1 2 0 0 1 2 3 2 3 2 2 0 1 0 3 1 0 -> 2 2 2 1 1 3 2 2 3 0 1 2 3 0 0 0 1 0 , 2 1 3 1 2 1 2 1 0 3 1 3 0 0 2 2 0 3 -> 3 0 0 2 3 3 1 0 1 2 2 0 2 1 1 1 2 3 , 2 1 3 1 3 1 3 3 1 2 3 2 3 1 2 3 3 2 -> 2 1 3 2 3 2 3 2 1 2 3 1 3 3 1 1 3 3 , 2 1 3 2 2 1 2 1 1 0 0 1 1 3 1 0 2 3 -> 3 3 1 1 2 1 2 2 2 1 2 0 0 0 1 1 1 3 , 2 1 3 3 1 2 3 0 2 0 2 2 0 0 2 3 2 3 -> 2 2 3 2 0 0 3 0 2 1 1 2 2 0 3 2 3 3 , 2 2 0 2 3 1 0 3 2 2 0 0 1 3 3 2 2 1 -> 3 0 2 2 1 2 2 2 2 1 3 0 0 0 3 2 3 1 , 2 2 0 3 0 1 2 2 2 2 2 1 0 3 1 1 3 1 -> 2 3 0 2 3 0 0 1 1 1 2 2 2 1 3 2 2 1 , 2 2 1 0 2 0 2 2 0 2 3 2 3 3 1 2 0 2 -> 2 2 3 0 1 3 3 2 0 2 1 2 2 0 2 2 0 2 , 2 2 1 1 2 0 2 2 0 2 1 0 3 3 0 3 0 2 -> 2 2 1 3 0 0 2 2 2 0 1 1 2 0 3 3 0 2 , 2 2 1 2 2 3 1 0 3 0 0 3 0 3 2 3 3 1 -> 2 2 2 3 3 3 0 2 1 3 3 1 0 3 0 0 2 1 , 2 3 1 2 1 1 2 1 0 0 0 2 2 3 0 3 1 3 -> 2 2 0 0 2 0 1 1 2 3 1 0 2 1 3 3 1 3 , 2 3 1 3 1 1 3 0 2 3 1 0 3 2 1 3 2 3 -> 2 3 0 3 3 2 0 3 1 1 2 2 3 3 1 1 1 3 , 2 3 1 3 1 2 0 1 1 2 1 1 3 0 0 1 2 2 -> 3 2 1 1 2 2 3 0 0 1 1 1 1 0 2 2 1 3 , 2 3 2 3 3 2 3 0 2 2 0 3 3 0 2 3 2 3 -> 2 2 3 3 2 3 2 3 2 2 3 3 0 3 0 0 2 3 , 2 3 3 0 2 3 2 0 3 0 3 0 1 3 2 1 0 3 -> 2 3 3 2 3 0 1 0 0 0 3 3 0 2 2 1 3 3 , 3 0 0 1 3 1 1 3 3 0 2 1 3 0 1 0 2 2 -> 3 1 1 3 0 2 3 0 0 1 1 1 0 3 0 2 3 2 , 3 0 0 2 0 1 2 0 1 3 2 2 1 0 1 3 1 2 -> 3 1 0 0 2 2 3 0 2 1 3 2 1 0 0 1 1 2 , 3 0 0 3 2 0 2 1 2 2 2 2 0 3 1 2 0 2 -> 3 0 2 1 2 1 2 2 3 2 2 2 0 0 0 0 3 2 , 3 0 1 3 0 3 3 3 2 1 2 0 1 2 2 0 2 0 -> 2 3 3 2 1 1 3 0 0 3 0 2 2 2 1 3 0 0 , 3 0 2 1 1 0 1 2 0 2 2 3 1 0 3 1 0 1 -> 2 2 3 2 0 3 3 1 1 2 0 1 0 1 1 0 0 1 , 3 0 2 1 2 3 3 1 0 1 3 3 1 2 0 0 3 1 -> 3 0 3 3 2 3 1 1 0 2 3 1 1 0 2 3 0 1 , 3 0 2 2 3 0 0 1 3 0 0 2 0 1 2 2 2 2 -> 3 2 3 3 2 0 0 0 0 0 2 2 1 2 1 0 2 2 , 3 0 2 2 3 1 1 3 3 0 1 3 0 1 2 1 1 3 -> 2 0 1 1 2 1 1 3 3 0 0 1 1 3 3 3 3 2 , 3 0 3 2 0 1 2 1 3 3 1 2 1 2 1 3 2 2 -> 3 2 2 1 2 0 1 3 0 3 1 1 2 3 1 3 2 2 , 3 0 3 3 2 2 3 2 1 3 1 3 2 0 3 1 3 2 -> 3 2 1 2 3 1 0 2 3 3 2 1 3 3 3 0 2 3 , 3 1 0 2 1 1 2 0 0 0 1 3 3 1 0 3 1 0 -> 3 1 0 2 3 2 3 1 3 0 0 1 1 0 0 0 1 1 , 3 1 1 1 2 0 2 2 0 0 3 1 1 3 3 1 1 2 -> 3 2 0 1 1 1 1 3 1 1 2 3 0 3 1 0 2 2 , 3 1 1 1 2 2 0 3 1 3 1 2 0 1 0 3 3 2 -> 3 0 1 3 1 3 3 2 1 1 1 2 2 1 0 0 3 2 , 3 1 1 1 3 1 2 1 2 1 3 1 2 2 0 3 3 1 -> 3 1 1 0 1 2 1 1 2 3 3 2 1 1 1 2 3 3 , 3 1 1 3 1 3 0 2 2 3 0 0 2 0 3 0 3 2 -> 2 0 1 1 3 2 2 0 0 0 1 0 3 3 2 3 3 3 , 3 1 2 0 3 0 2 1 2 3 0 3 1 0 3 0 1 3 -> 2 0 1 3 0 3 3 2 1 0 0 3 0 2 1 3 1 3 , 3 1 2 2 3 0 2 2 2 0 2 2 2 0 3 1 3 3 -> 3 2 2 1 1 0 3 0 2 2 3 2 2 0 3 2 2 3 , 3 1 3 2 3 2 3 1 0 2 2 1 3 0 3 3 3 3 -> 3 2 3 1 0 3 3 3 3 0 1 1 2 3 2 3 2 3 , 3 2 0 0 3 1 3 0 3 3 2 3 3 0 1 0 1 3 -> 3 0 2 0 2 3 3 1 3 3 3 0 3 0 0 1 1 3 , 3 2 1 2 0 1 0 3 1 3 1 2 1 1 3 1 2 1 -> 1 2 0 0 2 3 3 1 2 2 1 3 1 3 1 1 1 1 , 3 2 1 2 1 3 1 0 0 0 1 3 0 2 0 1 0 3 -> 3 3 2 1 0 1 2 0 0 0 0 3 1 1 2 1 0 3 , 3 2 1 2 2 0 1 0 3 1 2 3 1 2 0 3 1 3 -> 2 2 1 1 1 3 3 0 0 1 2 3 3 1 2 2 0 3 , 3 2 1 2 3 1 2 2 2 1 2 1 0 3 0 0 3 1 -> 2 1 2 1 2 3 3 2 0 1 2 2 3 0 3 0 1 1 , 3 2 2 0 1 3 1 3 3 1 3 1 3 1 3 1 3 2 -> 3 3 1 3 1 1 3 2 2 3 1 2 0 3 1 1 3 3 , 3 2 2 1 2 1 2 1 2 2 3 1 3 2 1 2 1 2 -> 2 3 2 1 2 2 2 2 3 2 1 1 2 1 3 1 1 2 , 3 2 3 1 0 1 2 2 2 0 1 3 0 0 1 3 0 2 -> 3 2 0 0 0 0 3 3 2 1 2 1 3 1 2 0 2 1 , 3 2 3 3 2 1 0 2 2 2 1 0 1 2 3 1 2 2 -> 3 0 1 1 2 3 0 2 1 3 2 2 3 2 1 2 2 2 , 3 3 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 3 2 2 0 -> 2 2 0 0 1 0 0 2 3 2 3 1 2 2 1 1 3 0 , 3 3 1 1 3 3 1 3 0 2 0 0 1 2 0 0 2 3 -> 2 1 1 0 0 0 2 3 3 3 2 1 0 3 0 1 3 3 , 3 3 1 2 0 1 3 1 3 2 3 3 1 1 0 2 1 3 -> 2 2 3 3 3 3 1 1 0 3 0 1 1 1 1 3 2 3 , 3 3 3 3 1 0 2 0 1 3 0 1 3 2 3 0 3 1 -> 3 3 0 1 0 1 0 3 3 3 1 0 3 3 2 2 3 1 , 0 1 2 3 ->= 0 1 2 3 } The system was reversed. After renaming modulo { 2->0, 1->1, 0->2, 3->3 }, it remains to prove termination of the 81-rule system { 0 1 0 2 0 2 2 0 2 1 0 1 2 2 0 1 2 2 -> 0 2 1 0 0 0 2 1 2 1 2 2 0 0 1 2 2 2 , 2 1 2 2 0 2 1 3 2 3 2 3 1 2 1 2 1 2 -> 2 1 2 1 1 3 2 1 2 3 2 0 2 1 2 3 2 2 , 1 1 0 2 1 0 3 3 1 2 1 1 2 2 0 2 1 2 -> 1 1 0 2 2 1 1 1 1 2 3 2 2 3 1 0 0 2 , 3 1 3 3 1 1 3 2 2 3 1 0 2 2 2 0 1 2 -> 3 1 3 1 1 3 1 3 0 3 1 2 0 2 2 2 2 2 , 0 0 1 2 2 3 2 1 2 3 3 2 1 3 1 3 1 2 -> 0 3 1 3 3 2 0 2 1 1 2 2 3 1 1 2 3 2 , 3 0 3 1 0 2 1 2 0 0 3 1 2 1 0 3 1 2 -> 3 1 3 1 1 0 2 2 0 1 0 3 0 1 0 2 3 2 , 2 2 3 2 3 2 2 0 2 0 2 2 2 3 3 2 0 2 -> 2 3 3 2 2 2 2 0 3 0 2 2 2 0 3 2 2 2 , 0 3 1 2 1 2 0 2 0 1 2 3 1 1 2 1 0 2 -> 1 1 1 2 3 0 0 2 2 2 2 2 3 1 1 1 0 0 , 1 3 1 2 3 2 2 3 2 0 1 3 3 2 0 0 0 2 -> 0 3 2 3 2 3 1 1 1 0 0 3 2 2 2 3 0 2 , 1 2 2 3 2 1 1 2 2 1 2 0 3 2 2 3 0 2 -> 1 2 3 2 2 1 1 0 1 0 2 2 2 2 3 3 2 2 , 1 3 3 0 2 1 3 0 1 0 1 3 1 3 1 3 0 2 -> 1 0 3 3 3 1 1 0 0 2 3 3 1 1 0 3 1 2 , 0 1 3 2 3 1 2 3 2 3 2 3 1 2 3 2 3 2 -> 0 1 3 2 3 2 2 3 2 3 2 1 1 3 3 3 2 2 , 3 3 3 1 3 0 1 3 1 0 1 3 0 0 3 1 3 2 -> 3 3 0 1 1 2 3 0 1 3 1 0 3 3 3 1 3 0 , 3 3 0 2 0 1 3 3 2 2 0 1 3 0 2 0 3 2 -> 3 3 3 2 1 0 2 0 2 0 3 3 1 0 2 0 3 2 , 3 0 3 2 0 2 1 0 1 3 3 1 2 2 1 3 3 2 -> 0 1 3 1 2 0 3 0 3 3 3 3 2 1 1 2 2 2 , 1 2 3 2 3 2 0 2 2 2 0 2 3 3 1 3 3 2 -> 1 2 3 3 2 2 0 1 3 2 3 3 3 0 2 2 2 2 , 3 1 1 0 1 1 2 2 3 0 2 1 0 1 1 1 2 1 -> 3 3 0 1 1 2 1 1 1 1 2 2 1 0 0 1 2 1 , 1 3 2 0 3 0 3 2 2 3 3 0 2 1 1 3 2 1 -> 1 3 3 3 3 2 1 2 2 2 3 0 0 2 3 0 1 1 , 1 3 3 3 1 2 1 1 0 1 1 3 1 1 2 0 1 1 -> 1 1 0 0 2 3 3 2 1 1 1 3 1 1 3 1 1 1 , 1 3 2 2 0 1 0 1 1 0 3 1 0 1 3 0 1 1 -> 1 0 0 0 0 1 3 3 0 1 2 1 2 1 3 1 1 1 , 0 1 1 2 3 1 2 3 3 1 2 2 1 3 2 3 1 1 -> 3 2 3 0 3 3 2 1 1 1 1 2 2 2 3 1 1 1 , 3 2 1 0 2 2 1 3 3 1 1 0 1 0 1 2 0 1 -> 3 2 2 0 0 0 2 1 3 3 1 1 0 1 1 1 1 2 , 2 1 0 0 3 0 3 3 3 3 1 3 1 1 0 2 0 1 -> 2 1 3 3 3 0 1 1 2 3 0 3 1 0 0 3 0 1 , 2 0 0 1 0 0 3 0 2 2 1 0 2 1 3 1 0 1 -> 2 2 1 0 0 0 0 0 3 3 2 2 1 1 1 0 0 1 , 0 1 3 1 2 0 3 1 2 2 1 2 1 0 2 1 3 1 -> 3 3 0 2 1 3 2 2 1 1 0 2 0 1 1 1 2 1 , 1 0 1 0 1 1 0 2 0 1 0 1 2 0 0 1 3 1 -> 1 1 0 2 0 0 1 3 2 1 0 0 0 1 1 1 0 1 , 0 3 0 2 2 1 3 1 2 1 0 1 3 2 0 2 2 0 -> 3 2 2 0 0 2 3 0 1 0 3 1 2 2 1 1 2 0 , 1 1 3 1 2 0 1 3 3 1 1 1 0 3 2 1 2 0 -> 1 1 2 0 0 3 3 1 1 0 2 1 1 1 1 3 2 3 , 3 1 2 3 1 3 0 3 1 3 0 0 3 0 3 1 2 0 -> 3 0 3 3 3 0 1 3 1 0 2 3 2 3 0 1 1 0 , 0 1 3 1 0 1 3 2 0 3 3 0 3 0 2 0 2 0 -> 0 3 3 0 1 0 0 1 1 0 2 2 0 2 3 0 3 3 , 1 3 2 2 3 1 3 1 2 3 2 0 1 3 2 0 2 0 -> 1 2 1 3 1 2 2 1 2 0 2 0 3 0 2 3 3 3 , 2 0 3 0 2 3 1 2 0 2 1 2 3 3 2 3 2 0 -> 2 3 2 2 3 2 2 2 3 1 0 0 2 3 0 1 0 3 , 0 1 3 2 2 1 3 0 1 1 3 1 3 0 0 3 2 0 -> 0 2 3 0 3 1 3 3 0 3 0 1 1 1 2 1 2 0 , 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 3 1 1 2 1 0 -> 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 2 3 1 0 0 , 2 1 3 2 1 2 0 0 3 0 3 0 1 2 2 0 1 0 -> 2 1 2 2 2 3 0 1 2 3 0 0 3 1 1 0 0 0 , 3 2 0 0 2 2 3 1 3 2 1 0 1 0 1 3 1 0 -> 3 0 1 1 1 0 2 0 0 1 2 1 3 3 0 2 2 3 , 0 3 3 0 1 3 0 3 0 1 3 3 1 3 1 3 1 0 -> 3 3 1 1 3 3 1 3 0 1 0 3 0 3 0 3 1 0 , 3 0 2 1 3 1 1 2 2 1 1 0 1 0 0 3 1 0 -> 3 1 1 1 2 2 2 0 1 0 0 0 1 0 1 1 3 3 , 3 0 3 0 2 2 0 0 2 0 2 3 0 1 3 3 1 0 -> 3 3 0 3 2 0 0 1 1 0 2 3 2 2 0 3 0 0 , 1 0 0 3 3 1 2 2 0 0 3 2 1 3 0 2 0 0 -> 1 3 0 3 2 2 2 3 1 0 0 0 0 1 0 0 2 3 , 1 3 1 1 3 2 1 0 0 0 0 0 1 2 3 2 0 0 -> 1 0 0 3 1 0 0 0 1 1 1 2 2 3 0 2 3 0 , 0 2 0 1 3 3 0 3 0 2 0 0 2 0 2 1 0 0 -> 0 2 0 0 2 0 0 1 0 2 0 3 3 1 2 3 0 0 , 0 2 3 2 3 3 2 1 0 2 0 0 2 0 1 1 0 0 -> 0 2 3 3 2 0 1 1 2 0 0 0 2 2 3 1 0 0 , 1 3 3 0 3 2 3 2 2 3 2 1 3 0 0 1 0 0 -> 1 0 2 2 3 2 1 3 3 1 0 2 3 3 3 0 0 0 , 3 1 3 2 3 0 0 2 2 2 1 0 1 1 0 1 3 0 -> 3 1 3 3 1 0 2 1 3 0 1 1 2 0 2 2 0 0 , 3 0 3 1 0 3 2 1 3 0 2 3 1 1 3 1 3 0 -> 3 1 1 1 3 3 0 0 1 1 3 2 0 3 3 2 3 0 , 0 0 1 2 2 3 1 1 0 1 1 2 0 1 3 1 3 0 -> 3 1 0 0 2 1 1 1 1 2 2 3 0 0 1 1 0 3 , 3 0 3 0 2 3 3 2 0 0 2 3 0 3 3 0 3 0 -> 3 0 2 2 3 2 3 3 0 0 3 0 3 0 3 3 0 0 , 3 2 1 0 3 1 2 3 2 3 2 0 3 0 2 3 3 0 -> 3 3 1 0 0 2 3 3 2 2 2 1 2 3 0 3 3 0 , 0 0 2 1 2 3 1 0 2 3 3 1 1 3 1 2 2 3 -> 0 3 0 2 3 2 1 1 1 2 2 3 0 2 3 1 1 3 , 0 1 3 1 2 1 0 0 3 1 2 0 1 2 0 2 2 3 -> 0 1 1 2 2 1 0 3 1 0 2 3 0 0 2 2 1 3 , 0 2 0 1 3 2 0 0 0 0 1 0 2 0 3 2 2 3 -> 0 3 2 2 2 2 0 0 0 3 0 0 1 0 1 0 2 3 , 2 0 2 0 0 1 2 0 1 0 3 3 3 2 3 1 2 3 -> 2 2 3 1 0 0 0 2 3 2 2 3 1 1 0 3 3 0 , 1 2 1 3 2 1 3 0 0 2 0 1 2 1 1 0 2 3 -> 1 2 2 1 1 2 1 2 0 1 1 3 3 2 0 3 0 0 , 1 3 2 2 0 1 3 3 1 2 1 3 3 0 1 0 2 3 -> 1 2 3 0 2 1 1 3 0 2 1 1 3 0 3 3 2 3 , 0 0 0 0 1 2 0 2 2 3 1 2 2 3 0 0 2 3 -> 0 0 2 1 0 1 0 0 2 2 2 2 2 0 3 3 0 3 , 3 1 1 0 1 2 3 1 2 3 3 1 1 3 0 0 2 3 -> 0 3 3 3 3 1 1 2 2 3 3 1 1 0 1 1 2 0 , 0 0 3 1 0 1 0 1 3 3 1 0 1 2 0 3 2 3 -> 0 0 3 1 3 0 1 1 3 2 3 1 2 0 1 0 0 3 , 0 3 1 3 2 0 3 1 3 1 0 3 0 0 3 3 2 3 -> 3 0 2 3 3 3 1 0 3 3 0 2 1 3 0 1 0 3 , 2 1 3 2 1 3 3 1 2 2 2 0 1 1 0 2 1 3 -> 1 1 2 2 2 1 1 2 2 3 1 3 0 3 0 2 1 3 , 0 1 1 3 3 1 1 3 2 2 0 0 2 0 1 1 1 3 -> 0 0 2 1 3 2 3 0 1 1 3 1 1 1 1 2 0 3 , 0 3 3 2 1 2 0 1 3 1 3 2 0 0 1 1 1 3 -> 0 3 2 2 1 0 0 1 1 1 0 3 3 1 3 1 2 3 , 1 3 3 2 0 0 1 3 1 0 1 0 1 3 1 1 1 3 -> 3 3 0 1 1 1 0 3 3 0 1 1 0 1 2 1 1 3 , 0 3 2 3 2 0 2 2 3 0 0 2 3 1 3 1 1 3 -> 3 3 3 0 3 3 2 1 2 2 2 0 0 3 1 1 2 0 , 3 1 2 3 2 1 3 2 3 0 1 0 2 3 2 0 1 3 -> 3 1 3 1 0 2 3 2 2 1 0 3 3 2 3 1 2 0 , 3 3 1 3 2 0 0 0 2 0 0 0 2 3 0 0 1 3 -> 3 0 0 3 2 0 0 3 0 0 2 3 2 1 1 0 0 3 , 3 3 3 3 2 3 1 0 0 2 1 3 0 3 0 3 1 3 -> 3 0 3 0 3 0 1 1 2 3 3 3 3 2 1 3 0 3 , 3 1 2 1 2 3 3 0 3 3 2 3 1 3 2 2 0 3 -> 3 1 1 2 2 3 2 3 3 3 1 3 3 0 2 0 2 3 , 1 0 1 3 1 1 0 1 3 1 3 2 1 2 0 1 0 3 -> 1 1 1 1 3 1 3 1 0 0 1 3 3 0 2 2 0 1 , 3 2 1 2 0 2 3 1 2 2 2 1 3 1 0 1 0 3 -> 3 2 1 0 1 1 3 2 2 2 2 0 1 2 1 0 3 3 , 3 1 3 2 0 1 3 0 1 3 2 1 2 0 0 1 0 3 -> 3 2 0 0 1 3 3 0 1 2 2 3 3 1 1 1 0 0 , 1 3 2 2 3 2 1 0 1 0 0 0 1 3 0 1 0 3 -> 1 1 2 3 2 3 0 0 1 2 0 3 3 0 1 0 1 0 , 0 3 1 3 1 3 1 3 1 3 3 1 3 1 2 0 0 3 -> 3 3 1 1 3 2 0 1 3 0 0 3 1 1 3 1 3 3 , 0 1 0 1 0 3 1 3 0 0 1 0 1 0 1 0 0 3 -> 0 1 1 3 1 0 1 1 0 3 0 0 0 0 1 0 3 0 , 0 2 3 1 2 2 3 1 2 0 0 0 1 2 1 3 0 3 -> 1 0 2 0 1 3 1 0 1 0 3 3 2 2 2 2 0 3 , 0 0 1 3 0 1 2 1 0 0 0 2 1 0 3 3 0 3 -> 0 0 0 1 0 3 0 0 3 1 0 2 3 0 1 1 2 3 , 2 0 0 3 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 3 3 -> 2 3 1 1 0 0 1 3 0 3 0 2 2 1 2 2 0 0 , 3 0 2 2 0 1 2 2 0 2 3 1 3 3 1 1 3 3 -> 3 3 1 2 3 2 1 0 3 3 3 0 2 2 2 1 1 0 , 3 1 0 2 1 1 3 3 0 3 1 3 1 2 0 1 3 3 -> 3 0 3 1 1 1 1 2 3 2 1 1 3 3 3 3 0 0 , 1 3 2 3 0 3 1 2 3 1 2 0 2 1 3 3 3 3 -> 1 3 0 0 3 3 2 1 3 3 3 2 1 2 1 2 3 3 , 3 0 1 2 ->= 3 0 1 2 } Applying context closure of depth 1 in the following form: System R over Sigma maps to { fold(xly) -> fold(xry) | l -> r in R, x,y in Sigma } over Sigma^2, where fold(a_1...a_n) = (a_1,a_2)...(a_{n-1},a_{n}) After renaming modulo { [0, 0]->0, [0, 1]->1, [1, 0]->2, [0, 2]->3, [2, 0]->4, [2, 2]->5, [2, 1]->6, [1, 2]->7, [1, 3]->8, [3, 2]->9, [2, 3]->10, [3, 1]->11, [1, 1]->12, [0, 3]->13, [3, 3]->14, [3, 0]->15 }, it remains to prove termination of the 1296-rule system { 0 1 2 3 4 3 5 4 3 6 2 1 7 5 4 1 7 5 4 -> 0 3 6 2 0 0 3 6 7 6 7 5 4 0 1 7 5 5 4 , 3 6 7 5 4 3 6 8 9 10 9 10 11 7 6 7 6 7 4 -> 3 6 7 6 12 8 9 6 7 10 9 4 3 6 7 10 9 5 4 , 1 12 2 3 6 2 13 14 11 7 6 12 7 5 4 3 6 7 4 -> 1 12 2 3 5 6 12 12 12 7 10 9 5 10 11 2 0 3 4 , 13 11 8 14 11 12 8 9 5 10 11 2 3 5 5 4 1 7 4 -> 13 11 8 11 12 8 11 8 15 13 11 7 4 3 5 5 5 5 4 , 0 0 1 7 5 10 9 6 7 10 14 9 6 8 11 8 11 7 4 -> 0 13 11 8 14 9 4 3 6 12 7 5 10 11 12 7 10 9 4 , 13 15 13 11 2 3 6 7 4 0 13 11 7 6 2 13 11 7 4 -> 13 11 8 11 12 2 3 5 4 1 2 13 15 1 2 3 10 9 4 , 3 5 10 9 10 9 5 4 3 4 3 5 5 10 14 9 4 3 4 -> 3 10 14 9 5 5 5 4 13 15 3 5 5 4 13 9 5 5 4 , 0 13 11 7 6 7 4 3 4 1 7 10 11 12 7 6 2 3 4 -> 1 12 12 7 10 15 0 3 5 5 5 5 10 11 12 12 2 0 0 , 1 8 11 7 10 9 5 10 9 4 1 8 14 9 4 0 0 3 4 -> 0 13 9 10 9 10 11 12 12 2 0 13 9 5 5 10 15 3 4 , 1 7 5 10 9 6 12 7 5 6 7 4 13 9 5 10 15 3 4 -> 1 7 10 9 5 6 12 2 1 2 3 5 5 5 10 14 9 5 4 , 1 8 14 15 3 6 8 15 1 2 1 8 11 8 11 8 15 3 4 -> 1 2 13 14 14 11 12 2 0 3 10 14 11 12 2 13 11 7 4 , 0 1 8 9 10 11 7 10 9 10 9 10 11 7 10 9 10 9 4 -> 0 1 8 9 10 9 5 10 9 10 9 6 12 8 14 14 9 5 4 , 13 14 14 11 8 15 1 8 11 2 1 8 15 0 13 11 8 9 4 -> 13 14 15 1 12 7 10 15 1 8 11 2 13 14 14 11 8 15 0 , 13 14 15 3 4 1 8 14 9 5 4 1 8 15 3 4 13 9 4 -> 13 14 14 9 6 2 3 4 3 4 13 14 11 2 3 4 13 9 4 , 13 15 13 9 4 3 6 2 1 8 14 11 7 5 6 8 14 9 4 -> 0 1 8 11 7 4 13 15 13 14 14 14 9 6 12 7 5 5 4 , 1 7 10 9 10 9 4 3 5 5 4 3 10 14 11 8 14 9 4 -> 1 7 10 14 9 5 4 1 8 9 10 14 14 15 3 5 5 5 4 , 13 11 12 2 1 12 7 5 10 15 3 6 2 1 12 12 7 6 2 -> 13 14 15 1 12 7 6 12 12 12 7 5 6 2 0 1 7 6 2 , 1 8 9 4 13 15 13 9 5 10 14 15 3 6 12 8 9 6 2 -> 1 8 14 14 14 9 6 7 5 5 10 15 0 3 10 15 1 12 2 , 1 8 14 14 11 7 6 12 2 1 12 8 11 12 7 4 1 12 2 -> 1 12 2 0 3 10 14 9 6 12 12 8 11 12 8 11 12 12 2 , 1 8 9 5 4 1 2 1 12 2 13 11 2 1 8 15 1 12 2 -> 1 2 0 0 0 1 8 14 15 1 7 6 7 6 8 11 12 12 2 , 0 1 12 7 10 11 7 10 14 11 7 5 6 8 9 10 11 12 2 -> 13 9 10 15 13 14 9 6 12 12 12 7 5 5 10 11 12 12 2 , 13 9 6 2 3 5 6 8 14 11 12 2 1 2 1 7 4 1 2 -> 13 9 5 4 0 0 3 6 8 14 11 12 2 1 12 12 12 7 4 , 3 6 2 0 13 15 13 14 14 14 11 8 11 12 2 3 4 1 2 -> 3 6 8 14 14 15 1 12 7 10 15 13 11 2 0 13 15 1 2 , 3 4 0 1 2 0 13 15 3 5 6 2 3 6 8 11 2 1 2 -> 3 5 6 2 0 0 0 0 13 14 9 5 6 12 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14 9 6 7 4 1 8 11 8 9 4 0 1 12 12 8 14 -> 15 13 9 5 6 2 0 1 12 12 2 13 14 11 8 11 7 10 14 , 11 8 14 9 4 0 1 8 11 2 1 2 1 8 11 12 12 8 14 -> 14 14 15 1 12 12 2 13 14 15 1 12 2 1 7 6 12 8 14 , 15 13 9 10 9 4 3 5 10 15 0 3 10 11 8 11 12 8 14 -> 14 14 14 15 13 14 9 6 7 5 5 4 0 13 11 12 7 4 13 , 14 11 7 10 9 6 8 9 10 15 1 2 3 10 9 4 1 8 14 -> 14 11 8 11 2 3 10 9 5 6 2 13 14 9 10 11 7 4 13 , 14 14 11 8 9 4 0 0 3 4 0 0 3 10 15 0 1 8 14 -> 14 15 0 13 9 4 0 13 15 0 3 10 9 6 12 2 0 13 14 , 14 14 14 14 9 10 11 2 0 3 6 8 15 13 15 13 11 8 14 -> 14 15 13 15 13 15 1 12 7 10 14 14 14 9 6 8 15 13 14 , 14 11 7 6 7 10 14 15 13 14 9 10 11 8 9 5 4 13 14 -> 14 11 12 7 5 10 9 10 14 14 11 8 14 15 3 4 3 10 14 , 11 2 1 8 11 12 2 1 8 11 8 9 6 7 4 1 2 13 14 -> 11 12 12 12 8 11 8 11 2 0 1 8 14 15 3 5 4 1 8 , 14 9 6 7 4 3 10 11 7 5 5 6 8 11 2 1 2 13 14 -> 14 9 6 2 1 12 8 9 5 5 5 4 1 7 6 2 13 14 14 , 14 11 8 9 4 1 8 15 1 8 9 6 7 4 0 1 2 13 14 -> 14 9 4 0 1 8 14 15 1 7 5 10 14 11 12 12 2 0 13 , 11 8 9 5 10 9 6 2 1 2 0 0 1 8 15 1 2 13 14 -> 11 12 7 10 9 10 15 0 1 7 4 13 14 15 1 2 1 2 13 , 15 13 11 8 11 8 11 8 11 8 14 11 8 11 7 4 0 13 14 -> 14 14 11 12 8 9 4 1 8 15 0 13 11 12 8 11 8 14 14 , 15 1 2 1 2 13 11 8 15 0 1 2 1 2 1 2 0 13 14 -> 15 1 12 8 11 2 1 12 2 13 15 0 0 0 1 2 13 15 13 , 15 3 10 11 7 5 10 11 7 4 0 0 1 7 6 8 15 13 14 -> 11 2 3 4 1 8 11 2 1 2 13 14 9 5 5 5 4 13 14 , 15 0 1 8 15 1 7 6 2 0 0 3 6 2 13 14 15 13 14 -> 15 0 0 1 2 13 15 0 13 11 2 3 10 15 1 12 7 10 14 , 9 4 0 13 11 2 3 6 2 3 6 2 3 6 2 3 10 14 14 -> 9 10 11 12 2 0 1 8 15 13 15 3 5 6 7 5 4 0 13 , 14 15 3 5 4 1 7 5 4 3 10 11 8 14 11 12 8 14 14 -> 14 14 11 7 10 9 6 2 13 14 14 15 3 5 5 6 12 2 13 , 14 11 2 3 6 12 8 14 15 13 11 8 11 7 4 1 8 14 14 -> 14 15 13 11 12 12 12 7 10 9 6 12 8 14 14 14 15 0 13 , 11 8 9 10 15 13 11 7 10 11 7 4 3 6 8 14 14 14 14 -> 11 8 15 0 13 14 9 6 8 14 14 9 6 7 6 7 10 14 14 , 14 15 1 7 10 ->= 14 15 1 7 10 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 2: 0 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 1 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 2 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 3 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 4 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 5 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 6 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 7 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 8 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 9 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 10 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 11 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 12 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 13 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 14 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 15 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / After renaming modulo { 0->0, 1->1, 2->2, 3->3, 4->4, 5->5, 6->6, 7->7, 13->8, 11->9, 8->10, 14->11, 12->12, 9->13, 10->14, 15->15 }, it remains to prove termination of the 476-rule system { 0 1 2 3 4 3 5 4 3 6 2 1 7 5 4 1 7 5 4 -> 0 3 6 2 0 0 3 6 7 6 7 5 4 0 1 7 5 5 4 , 8 9 10 11 9 12 10 13 5 14 9 2 3 5 5 4 1 7 4 -> 8 9 10 9 12 10 9 10 15 8 9 7 4 3 5 5 5 5 4 , 3 5 14 13 14 13 5 4 3 4 3 5 5 14 11 13 4 3 4 -> 3 14 11 13 5 5 5 4 8 15 3 5 5 4 8 13 5 5 4 , 1 7 5 14 13 6 12 7 5 6 7 4 8 13 5 14 15 3 4 -> 1 7 14 13 5 6 12 2 1 2 3 5 5 5 14 11 13 5 4 , 8 11 15 3 4 1 10 11 13 5 4 1 10 15 3 4 8 13 4 -> 8 11 11 13 6 2 3 4 3 4 8 11 9 2 3 4 8 13 4 , 1 7 14 13 14 13 4 3 5 5 4 3 14 11 9 10 11 13 4 -> 1 7 14 11 13 5 4 1 10 13 14 11 11 15 3 5 5 5 4 , 8 9 12 2 1 12 7 5 14 15 3 6 2 1 12 12 7 6 2 -> 8 11 15 1 12 7 6 12 12 12 7 5 6 2 0 1 7 6 2 , 1 10 13 4 8 15 8 13 5 14 11 15 3 6 12 10 13 6 2 -> 1 10 11 11 11 13 6 7 5 5 14 15 0 3 14 15 1 12 2 , 1 10 13 5 4 1 2 1 12 2 8 9 2 1 10 15 1 12 2 -> 1 2 0 0 0 1 10 11 15 1 7 6 7 6 10 9 12 12 2 , 3 6 2 0 8 15 8 11 11 11 9 10 9 12 2 3 4 1 2 -> 3 6 10 11 11 15 1 12 7 14 15 8 9 2 0 8 15 1 2 , 1 10 13 5 14 9 10 9 7 14 13 4 1 10 13 4 3 4 0 -> 1 7 6 10 9 7 5 6 7 4 3 4 8 15 3 14 11 11 15 , 3 4 8 15 3 14 9 7 4 3 6 7 14 11 13 14 13 4 0 -> 3 14 13 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9 7 14 13 5 6 12 2 1 2 3 5 5 5 14 11 13 5 5 , 11 11 15 3 4 1 10 11 13 5 4 1 10 15 3 4 8 13 5 -> 11 11 11 13 6 2 3 4 3 4 8 11 9 2 3 4 8 13 5 , 9 7 14 13 14 13 4 3 5 5 4 3 14 11 9 10 11 13 5 -> 9 7 14 11 13 5 4 1 10 13 14 11 11 15 3 5 5 5 5 , 11 9 12 2 1 12 7 5 14 15 3 6 2 1 12 12 7 6 7 -> 11 11 15 1 12 7 6 12 12 12 7 5 6 2 0 1 7 6 7 , 9 10 13 4 8 15 8 13 5 14 11 15 3 6 12 10 13 6 7 -> 9 10 11 11 11 13 6 7 5 5 14 15 0 3 14 15 1 12 7 , 9 10 13 5 4 1 2 1 12 2 8 9 2 1 10 15 1 12 7 -> 9 2 0 0 0 1 10 11 15 1 7 6 7 6 10 9 12 12 7 , 13 6 2 0 8 15 8 11 11 11 9 10 9 12 2 3 4 1 7 -> 13 6 10 11 11 15 1 12 7 14 15 8 9 2 0 8 15 1 7 , 9 10 13 5 14 9 10 9 7 14 13 4 1 10 13 4 3 4 3 -> 9 7 6 10 9 7 5 6 7 4 3 4 8 15 3 14 11 11 13 , 13 4 8 15 3 14 9 7 4 3 6 7 14 11 13 14 13 4 3 -> 13 14 13 5 14 13 5 5 14 9 2 0 3 14 15 1 2 8 13 , 9 2 0 8 11 9 7 5 4 0 8 13 6 10 15 3 4 0 3 -> 9 10 15 8 13 5 5 14 9 2 0 0 0 1 2 0 3 14 13 , 15 3 4 1 10 11 15 8 15 3 4 0 3 4 3 6 2 0 3 -> 15 3 4 0 3 4 0 1 2 3 4 8 11 9 7 14 15 0 3 , 15 3 14 13 14 11 13 6 2 3 4 0 3 4 1 12 2 0 3 -> 15 3 14 11 13 4 1 12 7 4 0 0 3 5 14 9 2 0 3 , 9 10 11 15 8 13 14 13 5 14 13 6 10 15 0 1 2 0 3 -> 9 2 3 5 14 13 6 10 11 9 2 3 14 11 11 15 0 0 3 , 11 9 10 13 14 15 0 3 5 5 6 2 1 12 2 1 10 15 3 -> 11 9 10 11 9 2 3 6 10 15 1 12 7 4 3 5 4 0 3 , 11 15 8 15 3 14 11 13 4 0 3 14 15 8 11 15 8 15 3 -> 11 15 3 5 14 13 14 11 15 0 8 15 8 15 8 11 15 0 3 , 11 13 6 2 8 9 7 14 13 14 13 4 8 15 3 14 11 15 3 -> 11 11 9 2 0 3 14 11 13 5 5 6 7 14 15 8 11 15 3 , 15 3 4 1 10 13 4 0 0 0 1 2 3 4 8 13 5 14 13 -> 15 8 13 5 5 5 4 0 0 8 15 0 1 2 1 2 3 14 13 , 15 0 0 0 1 7 4 3 5 14 9 7 5 14 15 0 3 14 13 -> 15 0 3 6 2 1 2 0 3 5 5 5 5 4 8 11 15 8 13 , 15 8 9 10 13 4 8 9 10 9 2 8 15 0 8 11 13 14 13 -> 11 15 3 14 11 11 9 2 8 11 15 3 6 10 15 1 2 8 13 , 15 1 12 10 11 9 12 10 13 5 4 0 3 4 1 12 12 10 13 -> 15 0 3 6 10 13 14 15 1 12 10 9 12 12 12 7 4 8 13 , 15 8 11 13 6 7 4 1 10 9 10 13 4 0 1 12 12 10 13 -> 15 8 13 5 6 2 0 1 12 12 2 8 11 9 10 9 7 14 13 , 15 8 13 14 13 4 3 5 14 15 0 3 14 9 10 9 12 10 13 -> 11 11 11 15 8 11 13 6 7 5 5 4 0 8 9 12 7 4 3 , 11 9 7 14 13 6 10 13 14 15 1 2 3 14 13 4 1 10 13 -> 11 9 10 9 2 3 14 13 5 6 2 8 11 13 14 9 7 4 3 , 15 3 14 9 7 5 14 9 7 4 0 0 1 7 6 10 15 8 13 -> 9 2 3 4 1 10 9 2 1 2 8 11 13 5 5 5 4 8 13 , 11 15 3 5 4 1 7 5 4 3 14 9 10 11 9 12 10 11 13 -> 11 11 9 7 14 13 6 2 8 11 11 15 3 5 5 6 12 2 3 , 9 10 13 14 15 8 9 7 14 9 7 4 3 6 10 11 11 11 13 -> 9 10 15 0 8 11 13 6 10 11 11 13 6 7 6 7 14 11 13 , 11 15 1 7 5 ->= 11 15 1 7 5 , 15 1 2 3 4 3 5 4 3 6 2 1 7 5 4 1 7 5 14 -> 15 3 6 2 0 0 3 6 7 6 7 5 4 0 1 7 5 5 14 , 11 9 10 11 9 12 10 13 5 14 9 2 3 5 5 4 1 7 14 -> 11 9 10 9 12 10 9 10 15 8 9 7 4 3 5 5 5 5 14 , 13 5 14 13 14 13 5 4 3 4 3 5 5 14 11 13 4 3 14 -> 13 14 11 13 5 5 5 4 8 15 3 5 5 4 8 13 5 5 14 , 9 7 5 14 13 6 12 7 5 6 7 4 8 13 5 14 15 3 14 -> 9 7 14 13 5 6 12 2 1 2 3 5 5 5 14 11 13 5 14 , 11 11 15 3 4 1 10 11 13 5 4 1 10 15 3 4 8 13 14 -> 11 11 11 13 6 2 3 4 3 4 8 11 9 2 3 4 8 13 14 , 9 7 14 13 14 13 4 3 5 5 4 3 14 11 9 10 11 13 14 -> 9 7 14 11 13 5 4 1 10 13 14 11 11 15 3 5 5 5 14 , 11 9 12 2 1 12 7 5 14 15 3 6 2 1 12 12 7 6 10 -> 11 11 15 1 12 7 6 12 12 12 7 5 6 2 0 1 7 6 10 , 9 10 13 4 8 15 8 13 5 14 11 15 3 6 12 10 13 6 10 -> 9 10 11 11 11 13 6 7 5 5 14 15 0 3 14 15 1 12 10 , 9 10 13 5 4 1 2 1 12 2 8 9 2 1 10 15 1 12 10 -> 9 2 0 0 0 1 10 11 15 1 7 6 7 6 10 9 12 12 10 , 13 6 2 0 8 15 8 11 11 11 9 10 9 12 2 3 4 1 10 -> 13 6 10 11 11 15 1 12 7 14 15 8 9 2 0 8 15 1 10 , 9 10 13 5 14 9 10 9 7 14 13 4 1 10 13 4 3 4 8 -> 9 7 6 10 9 7 5 6 7 4 3 4 8 15 3 14 11 11 11 , 13 4 8 15 3 14 9 7 4 3 6 7 14 11 13 14 13 4 8 -> 13 14 13 5 14 13 5 5 14 9 2 0 3 14 15 1 2 8 11 , 9 2 0 8 11 9 7 5 4 0 8 13 6 10 15 3 4 0 8 -> 9 10 15 8 13 5 5 14 9 2 0 0 0 1 2 0 3 14 11 , 15 3 4 1 10 11 15 8 15 3 4 0 3 4 3 6 2 0 8 -> 15 3 4 0 3 4 0 1 2 3 4 8 11 9 7 14 15 0 8 , 15 3 14 13 14 11 13 6 2 3 4 0 3 4 1 12 2 0 8 -> 15 3 14 11 13 4 1 12 7 4 0 0 3 5 14 9 2 0 8 , 9 10 11 15 8 13 14 13 5 14 13 6 10 15 0 1 2 0 8 -> 9 2 3 5 14 13 6 10 11 9 2 3 14 11 11 15 0 0 8 , 11 9 10 13 14 15 0 3 5 5 6 2 1 12 2 1 10 15 8 -> 11 9 10 11 9 2 3 6 10 15 1 12 7 4 3 5 4 0 8 , 11 15 8 15 3 14 11 13 4 0 3 14 15 8 11 15 8 15 8 -> 11 15 3 5 14 13 14 11 15 0 8 15 8 15 8 11 15 0 8 , 11 13 6 2 8 9 7 14 13 14 13 4 8 15 3 14 11 15 8 -> 11 11 9 2 0 3 14 11 13 5 5 6 7 14 15 8 11 15 8 , 15 3 4 1 10 13 4 0 0 0 1 2 3 4 8 13 5 14 11 -> 15 8 13 5 5 5 4 0 0 8 15 0 1 2 1 2 3 14 11 , 15 0 0 0 1 7 4 3 5 14 9 7 5 14 15 0 3 14 11 -> 15 0 3 6 2 1 2 0 3 5 5 5 5 4 8 11 15 8 11 , 15 8 9 10 13 4 8 9 10 9 2 8 15 0 8 11 13 14 11 -> 11 15 3 14 11 11 9 2 8 11 15 3 6 10 15 1 2 8 11 , 15 1 12 10 11 9 12 10 13 5 4 0 3 4 1 12 12 10 11 -> 15 0 3 6 10 13 14 15 1 12 10 9 12 12 12 7 4 8 11 , 15 8 11 13 6 7 4 1 10 9 10 13 4 0 1 12 12 10 11 -> 15 8 13 5 6 2 0 1 12 12 2 8 11 9 10 9 7 14 11 , 15 8 13 14 13 4 3 5 14 15 0 3 14 9 10 9 12 10 11 -> 11 11 11 15 8 11 13 6 7 5 5 4 0 8 9 12 7 4 8 , 11 9 7 14 13 6 10 13 14 15 1 2 3 14 13 4 1 10 11 -> 11 9 10 9 2 3 14 13 5 6 2 8 11 13 14 9 7 4 8 , 15 3 14 9 7 5 14 9 7 4 0 0 1 7 6 10 15 8 11 -> 9 2 3 4 1 10 9 2 1 2 8 11 13 5 5 5 4 8 11 , 11 15 3 5 4 1 7 5 4 3 14 9 10 11 9 12 10 11 11 -> 11 11 9 7 14 13 6 2 8 11 11 15 3 5 5 6 12 2 8 , 9 10 13 14 15 8 9 7 14 9 7 4 3 6 10 11 11 11 11 -> 9 10 15 0 8 11 13 6 10 11 11 13 6 7 6 7 14 11 11 , 11 15 1 7 14 ->= 11 15 1 7 14 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 2: 0 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 1 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 2 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 3 is interpreted by / \ | 1 6 | | 0 1 | \ / 4 is interpreted by / \ | 1 6 | | 0 1 | \ / 5 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 6 is interpreted by / \ | 1 4 | | 0 1 | \ / 7 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 8 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 9 is interpreted by / \ | 1 3 | | 0 1 | \ / 10 is interpreted by / \ | 1 8 | | 0 1 | \ / 11 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 12 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 13 is interpreted by / \ | 1 13 | | 0 1 | \ / 14 is interpreted by / \ | 1 4 | | 0 1 | \ / 15 is interpreted by / \ | 1 5 | | 0 1 | \ / After renaming modulo { 8->0, 15->1, 1->2, 7->3, 4->4, 6->5, 5->6, 14->7, 10->8, 11->9 }, it remains to prove termination of the 16-rule system { 0 1 2 3 4 ->= 0 1 2 3 4 , 0 1 2 3 5 ->= 0 1 2 3 5 , 0 1 2 3 6 ->= 0 1 2 3 6 , 0 1 2 3 7 ->= 0 1 2 3 7 , 8 1 2 3 4 ->= 8 1 2 3 4 , 8 1 2 3 5 ->= 8 1 2 3 5 , 8 1 2 3 6 ->= 8 1 2 3 6 , 8 1 2 3 7 ->= 8 1 2 3 7 , 7 1 2 3 4 ->= 7 1 2 3 4 , 7 1 2 3 5 ->= 7 1 2 3 5 , 7 1 2 3 6 ->= 7 1 2 3 6 , 7 1 2 3 7 ->= 7 1 2 3 7 , 9 1 2 3 4 ->= 9 1 2 3 4 , 9 1 2 3 5 ->= 9 1 2 3 5 , 9 1 2 3 6 ->= 9 1 2 3 6 , 9 1 2 3 7 ->= 9 1 2 3 7 } The system is trivially terminating.