YES After renaming modulo { 0->0, 3->1, 2->2, 1->3 }, it remains to prove termination of the 80-rule system { 0 0 0 0 1 0 0 2 3 0 1 3 1 2 0 1 1 2 -> 0 0 1 2 0 3 0 1 1 3 0 1 2 0 0 1 0 2 , 0 0 0 2 0 2 0 2 3 0 0 0 2 3 3 1 3 3 -> 2 0 2 0 2 2 1 0 0 3 3 0 0 0 3 0 3 3 , 0 0 3 1 3 0 0 3 2 0 3 3 2 0 3 1 3 1 -> 0 1 0 2 3 0 3 3 0 3 0 3 1 0 2 3 3 1 , 0 0 2 0 2 2 2 2 0 1 3 2 3 1 1 0 0 0 -> 2 2 1 2 2 0 1 0 2 0 3 2 1 0 3 0 0 0 , 0 0 2 3 2 0 1 3 2 1 2 0 0 0 1 1 1 3 -> 0 2 3 1 1 2 2 3 1 0 2 0 0 3 0 1 0 1 , 0 0 1 2 2 0 1 2 1 2 3 1 1 3 2 2 2 2 -> 2 1 2 1 2 2 2 1 0 3 0 2 1 0 3 1 2 2 , 0 3 0 0 2 2 1 1 3 0 0 2 2 3 3 1 1 3 -> 0 3 2 1 2 1 0 3 0 3 0 2 3 2 3 1 0 1 , 0 3 2 0 1 0 2 0 0 1 1 3 0 0 0 0 3 0 -> 0 1 0 0 3 0 3 0 0 1 0 3 2 0 2 1 0 0 , 0 3 2 2 1 1 3 0 0 0 0 0 0 1 3 0 3 0 -> 0 3 0 3 2 1 0 0 1 1 3 0 0 2 0 3 0 0 , 0 2 0 1 1 1 0 0 2 0 2 1 1 3 0 1 1 2 -> 0 2 1 3 1 0 0 0 2 1 1 2 1 0 1 0 1 2 , 0 2 3 3 2 3 3 2 0 0 0 1 1 3 2 3 0 0 -> 0 0 1 0 3 3 3 0 2 1 2 0 2 3 0 3 2 3 , 0 2 3 1 1 3 0 0 3 0 1 3 2 3 1 1 3 3 -> 0 0 2 1 1 3 1 1 2 3 0 3 3 3 3 3 0 1 , 0 2 2 0 1 2 0 1 1 0 2 1 3 1 1 1 3 2 -> 0 1 2 2 2 1 3 1 1 1 0 2 0 3 1 2 1 0 , 0 2 2 1 0 0 1 3 2 0 0 1 1 3 2 3 0 0 -> 0 0 3 0 3 0 1 1 0 0 3 0 2 1 2 2 1 2 , 0 2 1 3 0 0 1 2 0 0 2 3 3 1 0 3 1 1 -> 0 2 1 3 1 0 3 1 0 2 3 0 1 2 3 0 0 1 , 0 1 3 0 3 1 1 1 2 1 1 0 2 2 0 1 2 0 -> 0 3 0 2 2 1 1 3 1 0 1 2 2 1 0 1 1 0 , 0 1 3 2 3 1 1 2 0 1 3 2 2 3 1 0 1 3 -> 0 3 2 2 1 3 1 0 3 1 0 2 3 1 1 2 1 3 , 0 1 1 2 0 3 3 3 2 3 2 0 0 2 1 3 3 2 -> 0 2 3 1 2 3 2 1 0 2 0 1 0 3 3 3 3 2 , 3 3 0 0 3 0 3 3 2 1 3 1 3 2 3 1 1 3 -> 3 3 3 3 0 3 3 2 1 3 3 1 2 0 1 0 1 3 , 3 3 3 0 2 3 2 3 3 2 3 2 3 0 1 1 0 0 -> 3 3 2 2 1 0 3 3 1 3 3 0 2 3 0 2 3 0 , 3 3 2 2 2 0 1 1 1 2 3 1 2 1 0 0 1 2 -> 3 3 1 2 2 3 0 1 1 1 0 2 1 0 2 2 1 2 , 3 2 0 0 2 1 2 1 2 2 0 2 0 2 3 2 0 2 -> 2 2 2 1 0 3 0 0 3 2 2 2 2 2 1 0 0 2 , 3 2 0 0 1 2 0 3 1 2 3 1 3 0 1 0 2 1 -> 3 2 2 3 1 0 0 3 0 3 1 1 2 1 0 0 2 1 , 3 2 3 0 2 2 3 3 1 3 0 0 1 1 3 0 0 1 -> 3 0 0 3 3 1 2 3 3 0 1 2 1 0 3 2 0 1 , 3 2 3 3 3 1 1 3 3 3 1 3 3 1 0 2 0 3 -> 3 1 3 3 3 3 0 2 2 3 3 3 1 3 1 1 0 3 , 3 1 0 2 3 3 2 0 0 1 1 3 3 0 1 3 2 3 -> 3 1 0 1 3 2 1 3 3 2 3 0 3 0 0 2 3 1 , 3 1 3 0 1 3 1 2 0 1 3 1 0 1 2 3 3 2 -> 3 0 1 1 3 1 2 1 3 1 2 1 3 0 3 0 3 2 , 3 1 3 3 1 2 2 1 3 1 2 0 1 2 1 0 1 2 -> 3 1 2 1 1 1 0 2 3 2 1 2 3 0 3 1 1 2 , 3 1 2 2 0 0 1 1 3 3 0 3 3 1 1 0 1 3 -> 3 0 3 3 1 1 0 3 0 3 1 0 1 2 1 2 1 3 , 3 1 1 1 3 2 0 2 0 2 3 2 3 1 1 1 3 0 -> 3 2 3 3 2 3 1 0 2 3 1 2 1 1 0 1 1 0 , 2 0 0 0 3 3 2 2 3 3 2 3 1 0 1 1 1 0 -> 2 2 2 3 2 1 1 0 1 0 3 3 0 3 1 0 3 0 , 2 0 3 1 3 1 0 1 1 3 2 3 1 0 0 3 0 3 -> 2 3 0 3 1 1 0 3 0 1 1 0 3 3 0 1 2 3 , 2 0 2 0 3 1 3 1 3 1 1 3 0 0 0 2 2 0 -> 1 0 2 0 1 2 3 3 0 2 3 2 3 0 1 0 1 0 , 2 0 1 2 2 2 2 3 1 1 3 3 2 3 0 0 1 3 -> 2 2 2 0 1 2 2 1 2 3 0 3 3 3 3 1 1 0 , 2 3 0 0 3 0 3 0 2 0 3 0 0 3 3 1 1 3 -> 2 3 0 1 0 3 0 2 3 0 0 0 3 0 3 1 3 3 , 2 3 3 0 0 1 3 1 1 2 1 0 1 2 0 1 3 1 -> 1 1 0 3 2 3 0 2 2 1 0 1 0 3 3 1 1 1 , 2 3 3 3 1 3 3 1 2 2 1 3 0 0 0 2 3 1 -> 0 3 2 3 0 2 1 3 3 3 3 2 1 2 0 3 1 1 , 2 3 2 0 2 2 2 2 2 0 1 1 3 0 0 2 0 2 -> 2 0 3 0 2 3 2 2 2 0 1 0 1 0 2 2 2 2 , 2 3 2 3 2 2 2 1 3 2 2 1 1 1 1 2 3 3 -> 2 3 1 2 2 2 3 1 2 1 1 2 2 1 2 3 3 3 , 2 2 3 2 3 3 1 3 0 1 1 1 1 1 2 3 2 2 -> 2 2 3 1 2 1 3 3 1 2 3 1 3 0 1 1 2 2 , 2 2 3 1 1 1 3 0 0 1 3 2 1 2 2 0 2 0 -> 2 1 0 3 2 2 2 1 0 3 0 3 2 2 1 0 1 1 , 2 1 0 0 0 2 3 2 0 2 1 2 3 3 0 1 1 0 -> 2 1 3 3 1 0 2 2 2 1 0 1 0 3 2 0 0 0 , 2 1 0 0 3 2 1 1 0 1 0 1 3 0 0 0 1 0 -> 2 1 0 0 1 0 2 3 0 1 1 0 3 1 0 1 0 0 , 2 1 3 2 1 2 1 0 2 0 0 0 0 3 3 0 1 2 -> 0 0 2 3 2 1 0 1 0 3 0 3 2 2 1 0 1 2 , 2 1 3 1 3 1 0 3 2 3 2 3 3 1 3 1 3 2 -> 2 3 2 1 1 3 3 3 1 1 1 2 0 3 3 3 3 2 , 2 1 2 0 0 1 3 2 3 0 1 0 2 2 1 3 3 0 -> 2 1 3 3 0 1 2 0 3 1 0 2 2 1 0 2 3 0 , 2 1 1 0 0 3 2 0 2 3 1 3 2 3 1 3 2 1 -> 2 1 1 0 3 2 2 1 3 3 0 0 2 1 3 1 2 3 , 2 1 1 1 0 2 3 1 1 3 1 0 2 0 1 3 2 2 -> 2 1 1 0 2 2 1 1 3 3 0 0 1 1 2 3 1 2 , 1 0 0 1 3 1 3 3 3 1 1 0 1 2 3 2 2 0 -> 1 3 2 1 3 3 2 1 3 1 0 2 1 0 3 0 1 0 , 1 0 0 1 1 3 2 0 2 3 3 2 0 0 0 0 0 3 -> 1 0 0 3 1 2 2 0 0 1 0 3 0 0 2 3 0 3 , 1 0 3 0 0 2 2 1 2 2 0 3 3 3 2 3 0 1 -> 1 0 3 0 2 3 2 2 3 0 2 3 0 1 0 3 2 1 , 1 0 2 0 0 0 1 2 1 2 2 2 1 1 3 2 0 2 -> 1 0 2 0 2 3 1 1 2 1 0 0 2 2 1 0 2 2 , 1 0 2 3 3 3 2 3 2 1 3 0 2 3 3 2 3 0 -> 1 3 3 1 2 3 0 3 2 3 2 0 3 3 2 2 3 0 , 1 3 0 0 0 2 0 1 1 1 1 0 1 3 3 2 0 2 -> 1 0 1 0 2 1 1 2 1 0 3 2 3 0 3 1 0 0 , 1 3 0 0 3 3 1 1 3 0 1 1 3 2 2 3 2 3 -> 1 0 2 3 3 2 3 1 0 1 3 3 0 3 3 1 2 1 , 1 3 0 3 1 3 2 0 0 0 3 2 0 0 0 0 0 0 -> 2 1 0 0 0 3 0 0 3 1 2 3 0 0 3 0 0 0 , 1 3 3 1 2 0 1 0 0 0 3 0 0 0 1 0 1 3 -> 1 1 0 3 0 0 2 1 0 1 0 1 0 0 3 3 0 3 , 1 3 2 0 2 1 3 2 2 2 2 2 2 0 1 3 2 1 -> 2 1 0 0 3 3 2 2 2 2 1 2 2 2 1 1 2 3 , 1 3 2 2 2 0 2 3 0 0 1 3 1 1 1 1 2 0 -> 1 0 1 2 0 0 1 3 3 2 2 3 1 1 2 1 2 0 , 1 3 2 1 3 0 1 3 0 2 3 2 0 3 2 1 0 1 -> 1 1 2 1 1 0 2 3 0 3 3 2 3 2 3 0 0 1 , 1 3 2 1 1 3 1 1 3 0 1 3 2 1 0 0 0 1 -> 1 3 3 1 0 3 2 1 0 1 2 1 0 1 0 3 1 1 , 1 3 1 3 1 3 2 3 2 1 1 3 1 1 1 2 1 2 -> 1 3 1 2 3 1 1 1 3 3 1 1 1 2 1 2 3 2 , 1 3 1 2 0 0 0 1 2 0 1 0 0 0 3 3 2 2 -> 1 0 1 0 2 2 3 3 0 0 2 1 0 0 1 0 3 2 , 1 2 0 0 1 1 1 1 3 1 3 3 3 2 1 2 0 1 -> 1 2 1 3 1 0 1 3 1 2 1 0 0 3 1 1 2 3 , 1 2 0 3 0 2 0 0 1 3 0 1 1 1 1 3 0 3 -> 1 2 1 3 0 1 2 1 1 0 0 0 3 0 3 1 0 3 , 1 2 0 3 2 0 2 2 3 3 1 1 0 0 1 3 1 1 -> 1 1 2 1 0 3 2 0 1 2 3 1 0 3 2 1 0 3 , 1 2 0 3 1 2 0 0 2 2 0 1 1 0 0 1 0 1 -> 1 0 0 2 0 2 1 0 2 1 1 0 3 1 0 0 2 1 , 1 2 0 1 3 2 3 2 2 0 2 2 0 2 3 1 1 1 -> 1 2 2 1 1 2 1 0 3 2 2 3 0 2 2 3 1 0 , 1 2 2 0 2 0 0 1 1 0 0 1 1 1 3 2 1 3 -> 1 1 1 2 2 1 0 2 1 0 0 3 1 0 0 2 1 3 , 1 2 2 0 1 1 2 3 0 1 2 3 2 0 2 3 3 1 -> 1 2 1 2 2 3 1 2 0 1 0 3 3 0 3 2 2 1 , 1 1 0 0 1 2 2 3 2 2 1 3 0 1 2 0 3 0 -> 1 0 2 2 1 0 2 1 0 1 3 3 1 0 3 2 2 0 , 1 1 3 0 1 3 1 1 3 0 2 0 0 0 3 3 2 3 -> 0 3 3 1 2 1 0 3 1 1 0 3 3 2 3 0 0 1 , 1 1 3 0 1 1 3 0 1 3 2 1 0 0 2 1 1 0 -> 1 3 1 0 3 1 2 1 1 1 0 1 3 0 0 2 1 0 , 1 1 3 3 3 0 3 2 0 2 1 1 3 2 1 3 1 3 -> 1 1 3 2 3 3 1 0 3 1 0 3 1 2 2 1 3 3 , 1 1 3 2 0 0 0 2 1 2 1 0 0 1 3 1 0 0 -> 1 0 1 0 0 2 2 3 3 1 0 1 2 0 1 0 1 0 , 1 1 2 0 3 3 3 1 1 2 2 0 0 2 0 0 0 1 -> 1 0 1 3 0 0 1 0 3 0 3 0 2 2 2 1 2 1 , 1 1 2 1 1 1 3 0 2 2 0 2 1 1 2 0 2 1 -> 1 1 2 0 3 2 1 0 2 1 2 1 2 2 1 1 0 1 , 1 1 1 3 1 3 2 1 3 1 3 0 1 0 2 3 1 1 -> 1 1 2 3 0 1 1 1 2 0 1 1 1 3 3 3 3 1 , 1 1 1 2 1 1 2 3 0 0 1 1 0 0 1 3 1 3 -> 1 1 1 2 1 2 3 1 0 3 0 0 1 1 0 1 1 3 , 1 1 1 1 2 1 2 2 0 1 3 3 1 2 3 2 3 1 -> 1 1 1 0 1 3 3 2 3 2 2 2 1 3 1 2 1 1 } The system was reversed. After renaming modulo { 2->0, 1->1, 0->2, 3->3 }, it remains to prove termination of the 80-rule system { 0 1 1 2 0 1 3 1 2 3 0 2 2 1 2 2 2 2 -> 0 2 1 2 2 0 1 2 3 1 1 2 3 2 0 1 2 2 , 3 3 1 3 3 0 2 2 2 3 0 2 0 2 0 2 2 2 -> 3 3 2 3 2 2 2 3 3 2 2 1 0 0 2 0 2 0 , 1 3 1 3 2 0 3 3 2 0 3 2 2 3 1 3 2 2 -> 1 3 3 0 2 1 3 2 3 2 3 3 2 3 0 2 1 2 , 2 2 2 1 1 3 0 3 1 2 0 0 0 0 2 0 2 2 -> 2 2 2 3 2 1 0 3 2 0 2 1 2 0 0 1 0 0 , 3 1 1 1 2 2 2 0 1 0 3 1 2 0 3 0 2 2 -> 1 2 1 2 3 2 2 0 2 1 3 0 0 1 1 3 0 2 , 0 0 0 0 3 1 1 3 0 1 0 1 2 0 0 1 2 2 -> 0 0 1 3 2 1 0 2 3 2 1 0 0 0 1 0 1 0 , 3 1 1 3 3 0 0 2 2 3 1 1 0 0 2 2 3 2 -> 1 2 1 3 0 3 0 2 3 2 3 2 1 0 1 0 3 2 , 2 3 2 2 2 2 3 1 1 2 2 0 2 1 2 0 3 2 -> 2 2 1 0 2 0 3 2 1 2 2 3 2 3 2 2 1 2 , 2 3 2 3 1 2 2 2 2 2 2 3 1 1 0 0 3 2 -> 2 2 3 2 0 2 2 3 1 1 2 2 1 0 3 2 3 2 , 0 1 1 2 3 1 1 0 2 0 2 2 1 1 1 2 0 2 -> 0 1 2 1 2 1 0 1 1 0 2 2 2 1 3 1 0 2 , 2 2 3 0 3 1 1 2 2 2 0 3 3 0 3 3 0 2 -> 3 0 3 2 3 0 2 0 1 0 2 3 3 3 2 1 2 2 , 3 3 1 1 3 0 3 1 2 3 2 2 3 1 1 3 0 2 -> 1 2 3 3 3 3 3 2 3 0 1 1 3 1 1 0 2 2 , 0 3 1 1 1 3 1 0 2 1 1 2 0 1 2 0 0 2 -> 2 1 0 1 3 2 0 2 1 1 1 3 1 0 0 0 1 2 , 2 2 3 0 3 1 1 2 2 0 3 1 2 2 1 0 0 2 -> 0 1 0 0 1 0 2 3 2 2 1 1 2 3 2 3 2 2 , 1 1 3 2 1 3 3 0 2 2 0 1 2 2 3 1 0 2 -> 1 2 2 3 0 1 2 3 0 2 1 3 2 1 3 1 0 2 , 2 0 1 2 0 0 2 1 1 0 1 1 1 3 2 3 1 2 -> 2 1 1 2 1 0 0 1 2 1 3 1 1 0 0 2 3 2 , 3 1 2 1 3 0 0 3 1 2 0 1 1 3 0 3 1 2 -> 3 1 0 1 1 3 0 2 1 3 2 1 3 1 0 0 3 2 , 0 3 3 1 0 2 2 0 3 0 3 3 3 2 0 1 1 2 -> 0 3 3 3 3 2 1 2 0 2 1 0 3 0 1 3 0 2 , 3 1 1 3 0 3 1 3 1 0 3 3 2 3 2 2 3 3 -> 3 1 2 1 2 0 1 3 3 1 0 3 3 2 3 3 3 3 , 2 2 1 1 2 3 0 3 0 3 3 0 3 0 2 3 3 3 -> 2 3 0 2 3 0 2 3 3 1 3 3 2 1 0 0 3 3 , 0 1 2 2 1 0 1 3 0 1 1 1 2 0 0 0 3 3 -> 0 1 0 0 2 1 0 2 1 1 1 2 3 0 0 1 3 3 , 0 2 0 3 0 2 0 2 0 0 1 0 1 0 2 2 0 3 -> 0 2 2 1 0 0 0 0 0 3 2 2 3 2 1 0 0 0 , 1 0 2 1 2 3 1 3 0 1 3 2 0 1 2 2 0 3 -> 1 0 2 2 1 0 1 1 3 2 3 2 2 1 3 0 0 3 , 1 2 2 3 1 1 2 2 3 1 3 3 0 0 2 3 0 3 -> 1 2 0 3 2 1 0 1 2 3 3 0 1 3 3 2 2 3 , 3 2 0 2 1 3 3 1 3 3 3 1 1 3 3 3 0 3 -> 3 2 1 1 3 1 3 3 3 0 0 2 3 3 3 3 1 3 , 3 0 3 1 2 3 3 1 1 2 2 0 3 3 0 2 1 3 -> 1 3 0 2 2 3 2 3 0 3 3 1 0 3 1 2 1 3 , 0 3 3 0 1 2 1 3 1 2 0 1 3 1 2 3 1 3 -> 0 3 2 3 2 3 1 0 1 3 1 0 1 3 1 1 2 3 , 0 1 2 1 0 1 2 0 1 3 1 0 0 1 3 3 1 3 -> 0 1 1 3 2 3 0 1 0 3 0 2 1 1 1 0 1 3 , 3 1 2 1 1 3 3 2 3 3 1 1 2 2 0 0 1 3 -> 3 1 0 1 0 1 2 1 3 2 3 2 1 1 3 3 2 3 , 2 3 1 1 1 3 0 3 0 2 0 2 0 3 1 1 1 3 -> 2 1 1 2 1 1 0 1 3 0 2 1 3 0 3 3 0 3 , 2 1 1 1 2 1 3 0 3 3 0 0 3 3 2 2 2 0 -> 2 3 2 1 3 2 3 3 2 1 2 1 1 0 3 0 0 0 , 3 2 3 2 2 1 3 0 3 1 1 2 1 3 1 3 2 0 -> 3 0 1 2 3 3 2 1 1 2 3 2 1 1 3 2 3 0 , 2 0 0 2 2 2 3 1 1 3 1 3 1 3 2 0 2 0 -> 2 1 2 1 2 3 0 3 0 2 3 3 0 1 2 0 2 1 , 3 1 2 2 3 0 3 3 1 1 3 0 0 0 0 1 2 0 -> 2 1 1 3 3 3 3 2 3 0 1 0 0 1 2 0 0 0 , 3 1 1 3 3 2 2 3 2 0 2 3 2 3 2 2 3 0 -> 3 3 1 3 2 3 2 2 2 3 0 2 3 2 1 2 3 0 , 1 3 1 2 0 1 2 1 0 1 1 3 1 2 2 3 3 0 -> 1 1 1 3 3 2 1 2 1 0 0 2 3 0 3 2 1 1 , 1 3 0 2 2 2 3 1 0 0 1 3 3 1 3 3 3 0 -> 1 1 3 2 0 1 0 3 3 3 3 1 0 2 3 0 3 2 , 0 2 0 2 2 3 1 1 2 0 0 0 0 0 2 0 3 0 -> 0 0 0 0 2 1 2 1 2 0 0 0 3 0 2 3 2 0 , 3 3 0 1 1 1 1 0 0 3 1 0 0 0 3 0 3 0 -> 3 3 3 0 1 0 0 1 1 0 1 3 0 0 0 1 3 0 , 0 0 3 0 1 1 1 1 1 2 3 1 3 3 0 3 0 0 -> 0 0 1 1 2 3 1 3 0 1 3 3 1 0 1 3 0 0 , 2 0 2 0 0 1 0 3 1 2 2 3 1 1 1 3 0 0 -> 1 1 2 1 0 0 3 2 3 2 1 0 0 0 3 2 1 0 , 2 1 1 2 3 3 0 1 0 2 0 3 0 2 2 2 1 0 -> 2 2 2 0 3 2 1 2 1 0 0 0 2 1 3 3 1 0 , 2 1 2 2 2 3 1 2 1 2 1 1 0 3 2 2 1 0 -> 2 2 1 2 1 3 2 1 1 2 3 0 2 1 2 2 1 0 , 0 1 2 3 3 2 2 2 2 0 2 1 0 1 0 3 1 0 -> 0 1 2 1 0 0 3 2 3 2 1 2 1 0 3 0 2 2 , 0 3 1 3 1 3 3 0 3 0 3 2 1 3 1 3 1 0 -> 0 3 3 3 3 2 0 1 1 1 3 3 3 1 1 0 3 0 , 2 3 3 1 0 0 2 1 2 3 0 3 1 2 2 0 1 0 -> 2 3 0 2 1 0 0 2 1 3 2 0 1 2 3 3 1 0 , 1 0 3 1 3 0 3 1 3 0 2 0 3 2 2 1 1 0 -> 3 0 1 3 1 0 2 2 3 3 1 0 0 3 2 1 1 0 , 0 0 3 1 2 0 2 1 3 1 1 3 0 2 1 1 1 0 -> 0 1 3 0 1 1 2 2 3 3 1 1 0 0 2 1 1 0 , 2 0 0 3 0 1 2 1 1 3 3 3 1 3 1 2 2 1 -> 2 1 2 3 2 1 0 2 1 3 1 0 3 3 1 0 3 1 , 3 2 2 2 2 2 0 3 3 0 2 0 3 1 1 2 2 1 -> 3 2 3 0 2 2 3 2 1 2 2 0 0 1 3 2 2 1 , 1 2 3 0 3 3 3 2 0 0 1 0 0 2 2 3 2 1 -> 1 0 3 2 1 2 3 0 2 3 0 0 3 0 2 3 2 1 , 0 2 0 3 1 1 0 0 0 1 0 1 2 2 2 0 2 1 -> 0 0 2 1 0 0 2 2 1 0 1 1 3 0 2 0 2 1 , 2 3 0 3 3 0 2 3 1 0 3 0 3 3 3 0 2 1 -> 2 3 0 0 3 3 2 0 3 0 3 2 3 0 1 3 3 1 , 0 2 0 3 3 1 2 1 1 1 1 2 0 2 2 2 3 1 -> 2 2 1 3 2 3 0 3 2 1 0 1 1 0 2 1 2 1 , 3 0 3 0 0 3 1 1 2 3 1 1 3 3 2 2 3 1 -> 1 0 1 3 3 2 3 3 1 2 1 3 0 3 3 0 2 1 , 2 2 2 2 2 2 0 3 2 2 2 0 3 1 3 2 3 1 -> 2 2 2 3 2 2 3 0 1 3 2 2 3 2 2 2 1 0 , 3 1 2 1 2 2 2 3 2 2 2 1 2 0 1 3 3 1 -> 3 2 3 3 2 2 1 2 1 2 1 0 2 2 3 2 1 1 , 1 0 3 1 2 0 0 0 0 0 0 3 1 0 2 0 3 1 -> 3 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 3 3 2 2 1 0 , 2 0 1 1 1 1 3 1 2 2 3 0 2 0 0 0 3 1 -> 2 0 1 0 1 1 3 0 0 3 3 1 2 2 0 1 2 1 , 1 2 1 0 3 2 0 3 0 2 3 1 2 3 1 0 3 1 -> 1 2 2 3 0 3 0 3 3 2 3 0 2 1 1 0 1 1 , 1 2 2 2 1 0 3 1 2 3 1 1 3 1 1 0 3 1 -> 1 1 3 2 1 2 1 0 1 2 1 0 3 2 1 3 3 1 , 0 1 0 1 1 1 3 1 1 0 3 0 3 1 3 1 3 1 -> 0 3 0 1 0 1 1 1 3 3 1 1 1 3 0 1 3 1 , 0 0 3 3 2 2 2 1 2 0 1 2 2 2 0 1 3 1 -> 0 3 2 1 2 2 1 0 2 2 3 3 0 0 2 1 2 1 , 1 2 0 1 0 3 3 3 1 3 1 1 1 1 2 2 0 1 -> 3 0 1 1 3 2 2 1 0 1 3 1 2 1 3 1 0 1 , 3 2 3 1 1 1 1 2 3 1 2 2 0 2 3 2 0 1 -> 3 2 1 3 2 3 2 2 2 1 1 0 1 2 3 1 0 1 , 1 1 3 1 2 2 1 1 3 3 0 0 2 0 3 2 0 1 -> 3 2 1 0 3 2 1 3 0 1 2 0 3 2 1 0 1 1 , 1 2 1 2 2 1 1 2 0 0 2 2 0 1 3 2 0 1 -> 1 0 2 2 1 3 2 1 1 0 2 1 0 2 0 2 2 1 , 1 1 1 3 0 2 0 0 2 0 0 3 0 3 1 2 0 1 -> 2 1 3 0 0 2 3 0 0 3 2 1 0 1 1 0 0 1 , 3 1 0 3 1 1 1 2 2 1 1 2 2 0 2 0 0 1 -> 3 1 0 2 2 1 3 2 2 1 0 2 1 0 0 1 1 1 , 1 3 3 0 2 0 3 0 1 2 3 0 1 1 2 0 0 1 -> 1 0 0 3 2 3 3 2 1 2 0 1 3 0 0 1 0 1 , 2 3 2 0 1 2 3 1 0 0 3 0 0 1 2 2 1 1 -> 2 0 0 3 2 1 3 3 1 2 1 0 2 1 0 0 2 1 , 3 0 3 3 2 2 2 0 2 3 1 1 3 1 2 3 1 1 -> 1 2 2 3 0 3 3 2 1 1 3 2 1 0 1 3 3 2 , 2 1 1 0 2 2 1 0 3 1 2 3 1 1 2 3 1 1 -> 2 1 0 2 2 3 1 2 1 1 1 0 1 3 2 1 3 1 , 3 1 3 1 0 3 1 1 0 2 0 3 2 3 3 3 1 1 -> 3 3 1 0 0 1 3 2 1 3 2 1 3 3 0 3 1 1 , 2 2 1 3 1 2 2 1 0 1 0 2 2 2 0 3 1 1 -> 2 1 2 1 2 0 1 2 1 3 3 0 0 2 2 1 2 1 , 1 2 2 2 0 2 2 0 0 1 1 3 3 3 2 0 1 1 -> 1 0 1 0 0 0 2 3 2 3 2 1 2 2 3 1 2 1 , 1 0 2 0 1 1 0 2 0 0 2 3 1 1 1 0 1 1 -> 1 2 1 1 0 0 1 0 1 0 2 1 0 3 2 0 1 1 , 1 1 3 0 2 1 2 3 1 3 1 0 3 1 3 1 1 1 -> 1 3 3 3 3 1 1 1 2 0 1 1 1 2 3 0 1 1 , 3 1 3 1 2 2 1 1 2 2 3 0 1 1 0 1 1 1 -> 3 1 1 2 1 1 2 2 3 2 1 3 0 1 0 1 1 1 , 1 3 0 3 0 1 3 3 1 2 0 0 1 0 1 1 1 1 -> 1 1 0 1 3 1 0 0 0 3 0 3 3 1 2 1 1 1 } Applying sparse 2-tiling [Hofbauer/Geser/Waldmann, FSCD 2019]. After renaming modulo { (0,0)->0, (0,1)->1, (1,1)->2, (1,2)->3, (2,0)->4, (1,3)->5, (3,1)->6, (2,3)->7, (3,0)->8, (0,2)->9, (2,2)->10, (2,1)->11, (3,2)->12, (2,5)->13, (1,0)->14, (4,0)->15, (0,3)->16, (3,3)->17, (0,5)->18, (4,3)->19, (4,1)->20, (4,2)->21, (3,5)->22, (1,5)->23 }, it remains to prove termination of the 2000-rule system { 0 1 2 3 4 1 5 6 3 7 8 9 10 11 3 10 10 10 4 -> 0 9 11 3 10 4 1 3 7 6 2 3 7 12 4 1 3 10 4 , 0 1 2 3 4 1 5 6 3 7 8 9 10 11 3 10 10 10 11 -> 0 9 11 3 10 4 1 3 7 6 2 3 7 12 4 1 3 10 11 , 0 1 2 3 4 1 5 6 3 7 8 9 10 11 3 10 10 10 10 -> 0 9 11 3 10 4 1 3 7 6 2 3 7 12 4 1 3 10 10 , 0 1 2 3 4 1 5 6 3 7 8 9 10 11 3 10 10 10 7 -> 0 9 11 3 10 4 1 3 7 6 2 3 7 12 4 1 3 10 7 , 0 1 2 3 4 1 5 6 3 7 8 9 10 11 3 10 10 10 13 -> 0 9 11 3 10 4 1 3 7 6 2 3 7 12 4 1 3 10 13 , 14 1 2 3 4 1 5 6 3 7 8 9 10 11 3 10 10 10 4 -> 14 9 11 3 10 4 1 3 7 6 2 3 7 12 4 1 3 10 4 , 14 1 2 3 4 1 5 6 3 7 8 9 10 11 3 10 10 10 11 -> 14 9 11 3 10 4 1 3 7 6 2 3 7 12 4 1 3 10 11 , 14 1 2 3 4 1 5 6 3 7 8 9 10 11 3 10 10 10 10 -> 14 9 11 3 10 4 1 3 7 6 2 3 7 12 4 1 3 10 10 , 14 1 2 3 4 1 5 6 3 7 8 9 10 11 3 10 10 10 7 -> 14 9 11 3 10 4 1 3 7 6 2 3 7 12 4 1 3 10 7 , 14 1 2 3 4 1 5 6 3 7 8 9 10 11 3 10 10 10 13 -> 14 9 11 3 10 4 1 3 7 6 2 3 7 12 4 1 3 10 13 , 4 1 2 3 4 1 5 6 3 7 8 9 10 11 3 10 10 10 4 -> 4 9 11 3 10 4 1 3 7 6 2 3 7 12 4 1 3 10 4 , 4 1 2 3 4 1 5 6 3 7 8 9 10 11 3 10 10 10 11 -> 4 9 11 3 10 4 1 3 7 6 2 3 7 12 4 1 3 10 11 , 4 1 2 3 4 1 5 6 3 7 8 9 10 11 3 10 10 10 10 -> 4 9 11 3 10 4 1 3 7 6 2 3 7 12 4 1 3 10 10 , 4 1 2 3 4 1 5 6 3 7 8 9 10 11 3 10 10 10 7 -> 4 9 11 3 10 4 1 3 7 6 2 3 7 12 4 1 3 10 7 , 4 1 2 3 4 1 5 6 3 7 8 9 10 11 3 10 10 10 13 -> 4 9 11 3 10 4 1 3 7 6 2 3 7 12 4 1 3 10 13 , 8 1 2 3 4 1 5 6 3 7 8 9 10 11 3 10 10 10 4 -> 8 9 11 3 10 4 1 3 7 6 2 3 7 12 4 1 3 10 4 , 8 1 2 3 4 1 5 6 3 7 8 9 10 11 3 10 10 10 11 -> 8 9 11 3 10 4 1 3 7 6 2 3 7 12 4 1 3 10 11 , 8 1 2 3 4 1 5 6 3 7 8 9 10 11 3 10 10 10 10 -> 8 9 11 3 10 4 1 3 7 6 2 3 7 12 4 1 3 10 10 , 8 1 2 3 4 1 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10 7 17 12 10 11 14 0 9 4 9 4 16 , 16 17 6 5 17 8 9 10 10 7 8 9 4 9 4 9 10 10 13 -> 16 17 12 7 12 10 10 7 17 12 10 11 14 0 9 4 9 4 18 , 5 17 6 5 17 8 9 10 10 7 8 9 4 9 4 9 10 10 4 -> 5 17 12 7 12 10 10 7 17 12 10 11 14 0 9 4 9 4 0 , 5 17 6 5 17 8 9 10 10 7 8 9 4 9 4 9 10 10 11 -> 5 17 12 7 12 10 10 7 17 12 10 11 14 0 9 4 9 4 1 , 5 17 6 5 17 8 9 10 10 7 8 9 4 9 4 9 10 10 10 -> 5 17 12 7 12 10 10 7 17 12 10 11 14 0 9 4 9 4 9 , 5 17 6 5 17 8 9 10 10 7 8 9 4 9 4 9 10 10 7 -> 5 17 12 7 12 10 10 7 17 12 10 11 14 0 9 4 9 4 16 , 5 17 6 5 17 8 9 10 10 7 8 9 4 9 4 9 10 10 13 -> 5 17 12 7 12 10 10 7 17 12 10 11 14 0 9 4 9 4 18 , 7 17 6 5 17 8 9 10 10 7 8 9 4 9 4 9 10 10 4 -> 7 17 12 7 12 10 10 7 17 12 10 11 14 0 9 4 9 4 0 , 7 17 6 5 17 8 9 10 10 7 8 9 4 9 4 9 10 10 11 -> 7 17 12 7 12 10 10 7 17 12 10 11 14 0 9 4 9 4 1 , 7 17 6 5 17 8 9 10 10 7 8 9 4 9 4 9 10 10 10 -> 7 17 12 7 12 10 10 7 17 12 10 11 14 0 9 4 9 4 9 , 7 17 6 5 17 8 9 10 10 7 8 9 4 9 4 9 10 10 7 -> 7 17 12 7 12 10 10 7 17 12 10 11 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23 -> 19 6 2 3 11 2 3 10 7 12 11 5 8 1 14 1 2 2 23 , 1 5 8 16 8 1 5 17 6 3 4 0 1 14 1 2 2 2 14 -> 1 2 14 1 5 6 14 0 0 16 8 16 17 6 3 11 2 2 14 , 1 5 8 16 8 1 5 17 6 3 4 0 1 14 1 2 2 2 2 -> 1 2 14 1 5 6 14 0 0 16 8 16 17 6 3 11 2 2 2 , 1 5 8 16 8 1 5 17 6 3 4 0 1 14 1 2 2 2 3 -> 1 2 14 1 5 6 14 0 0 16 8 16 17 6 3 11 2 2 3 , 1 5 8 16 8 1 5 17 6 3 4 0 1 14 1 2 2 2 5 -> 1 2 14 1 5 6 14 0 0 16 8 16 17 6 3 11 2 2 5 , 1 5 8 16 8 1 5 17 6 3 4 0 1 14 1 2 2 2 23 -> 1 2 14 1 5 6 14 0 0 16 8 16 17 6 3 11 2 2 23 , 2 5 8 16 8 1 5 17 6 3 4 0 1 14 1 2 2 2 14 -> 2 2 14 1 5 6 14 0 0 16 8 16 17 6 3 11 2 2 14 , 2 5 8 16 8 1 5 17 6 3 4 0 1 14 1 2 2 2 2 -> 2 2 14 1 5 6 14 0 0 16 8 16 17 6 3 11 2 2 2 , 2 5 8 16 8 1 5 17 6 3 4 0 1 14 1 2 2 2 3 -> 2 2 14 1 5 6 14 0 0 16 8 16 17 6 3 11 2 2 3 , 2 5 8 16 8 1 5 17 6 3 4 0 1 14 1 2 2 2 5 -> 2 2 14 1 5 6 14 0 0 16 8 16 17 6 3 11 2 2 5 , 2 5 8 16 8 1 5 17 6 3 4 0 1 14 1 2 2 2 23 -> 2 2 14 1 5 6 14 0 0 16 8 16 17 6 3 11 2 2 23 , 11 5 8 16 8 1 5 17 6 3 4 0 1 14 1 2 2 2 14 -> 11 2 14 1 5 6 14 0 0 16 8 16 17 6 3 11 2 2 14 , 11 5 8 16 8 1 5 17 6 3 4 0 1 14 1 2 2 2 2 -> 11 2 14 1 5 6 14 0 0 16 8 16 17 6 3 11 2 2 2 , 11 5 8 16 8 1 5 17 6 3 4 0 1 14 1 2 2 2 3 -> 11 2 14 1 5 6 14 0 0 16 8 16 17 6 3 11 2 2 3 , 11 5 8 16 8 1 5 17 6 3 4 0 1 14 1 2 2 2 5 -> 11 2 14 1 5 6 14 0 0 16 8 16 17 6 3 11 2 2 5 , 11 5 8 16 8 1 5 17 6 3 4 0 1 14 1 2 2 2 23 -> 11 2 14 1 5 6 14 0 0 16 8 16 17 6 3 11 2 2 23 , 6 5 8 16 8 1 5 17 6 3 4 0 1 14 1 2 2 2 14 -> 6 2 14 1 5 6 14 0 0 16 8 16 17 6 3 11 2 2 14 , 6 5 8 16 8 1 5 17 6 3 4 0 1 14 1 2 2 2 2 -> 6 2 14 1 5 6 14 0 0 16 8 16 17 6 3 11 2 2 2 , 6 5 8 16 8 1 5 17 6 3 4 0 1 14 1 2 2 2 3 -> 6 2 14 1 5 6 14 0 0 16 8 16 17 6 3 11 2 2 3 , 6 5 8 16 8 1 5 17 6 3 4 0 1 14 1 2 2 2 5 -> 6 2 14 1 5 6 14 0 0 16 8 16 17 6 3 11 2 2 5 , 6 5 8 16 8 1 5 17 6 3 4 0 1 14 1 2 2 2 23 -> 6 2 14 1 5 6 14 0 0 16 8 16 17 6 3 11 2 2 23 , 20 5 8 16 8 1 5 17 6 3 4 0 1 14 1 2 2 2 14 -> 20 2 14 1 5 6 14 0 0 16 8 16 17 6 3 11 2 2 14 , 20 5 8 16 8 1 5 17 6 3 4 0 1 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by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 13 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 14 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 15 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 16 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 17 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 18 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 19 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 20 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 21 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 22 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 23 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / After renaming modulo { 0->0, 1->1, 2->2, 3->3, 4->4, 5->5, 6->6, 7->7, 8->8, 9->9, 10->10, 11->11, 12->12, 13->13, 14->14, 15->15, 16->16, 17->17, 18->18, 19->19, 20->20, 21->21, 22->22, 23->23 }, it remains to prove termination of the 1995-rule system { 0 1 2 3 4 1 5 6 3 7 8 9 10 11 3 10 10 10 4 -> 0 9 11 3 10 4 1 3 7 6 2 3 7 12 4 1 3 10 4 , 0 1 2 3 4 1 5 6 3 7 8 9 10 11 3 10 10 10 11 -> 0 9 11 3 10 4 1 3 7 6 2 3 7 12 4 1 3 10 11 , 0 1 2 3 4 1 5 6 3 7 8 9 10 11 3 10 10 10 10 -> 0 9 11 3 10 4 1 3 7 6 2 3 7 12 4 1 3 10 10 , 0 1 2 3 4 1 5 6 3 7 8 9 10 11 3 10 10 10 7 -> 0 9 11 3 10 4 1 3 7 6 2 3 7 12 4 1 3 10 7 , 0 1 2 3 4 1 5 6 3 7 8 9 10 11 3 10 10 10 13 -> 0 9 11 3 10 4 1 3 7 6 2 3 7 12 4 1 3 10 13 , 14 1 2 3 4 1 5 6 3 7 8 9 10 11 3 10 10 10 4 -> 14 9 11 3 10 4 1 3 7 6 2 3 7 12 4 1 3 10 4 , 14 1 2 3 4 1 5 6 3 7 8 9 10 11 3 10 10 10 11 -> 14 9 11 3 10 4 1 3 7 6 2 3 7 12 4 1 3 10 11 , 14 1 2 3 4 1 5 6 3 7 8 9 10 11 3 10 10 10 10 -> 14 9 11 3 10 4 1 3 7 6 2 3 7 12 4 1 3 10 10 , 14 1 2 3 4 1 5 6 3 7 8 9 10 11 3 10 10 10 7 -> 14 9 11 3 10 4 1 3 7 6 2 3 7 12 4 1 3 10 7 , 14 1 2 3 4 1 5 6 3 7 8 9 10 11 3 10 10 10 13 -> 14 9 11 3 10 4 1 3 7 6 2 3 7 12 4 1 3 10 13 , 4 1 2 3 4 1 5 6 3 7 8 9 10 11 3 10 10 10 4 -> 4 9 11 3 10 4 1 3 7 6 2 3 7 12 4 1 3 10 4 , 4 1 2 3 4 1 5 6 3 7 8 9 10 11 3 10 10 10 11 -> 4 9 11 3 10 4 1 3 7 6 2 3 7 12 4 1 3 10 11 , 4 1 2 3 4 1 5 6 3 7 8 9 10 11 3 10 10 10 10 -> 4 9 11 3 10 4 1 3 7 6 2 3 7 12 4 1 3 10 10 , 4 1 2 3 4 1 5 6 3 7 8 9 10 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23 , 1 5 8 16 8 1 5 17 6 3 4 0 1 14 1 2 2 2 14 -> 1 2 14 1 5 6 14 0 0 16 8 16 17 6 3 11 2 2 14 , 1 5 8 16 8 1 5 17 6 3 4 0 1 14 1 2 2 2 2 -> 1 2 14 1 5 6 14 0 0 16 8 16 17 6 3 11 2 2 2 , 1 5 8 16 8 1 5 17 6 3 4 0 1 14 1 2 2 2 3 -> 1 2 14 1 5 6 14 0 0 16 8 16 17 6 3 11 2 2 3 , 1 5 8 16 8 1 5 17 6 3 4 0 1 14 1 2 2 2 5 -> 1 2 14 1 5 6 14 0 0 16 8 16 17 6 3 11 2 2 5 , 1 5 8 16 8 1 5 17 6 3 4 0 1 14 1 2 2 2 23 -> 1 2 14 1 5 6 14 0 0 16 8 16 17 6 3 11 2 2 23 , 2 5 8 16 8 1 5 17 6 3 4 0 1 14 1 2 2 2 14 -> 2 2 14 1 5 6 14 0 0 16 8 16 17 6 3 11 2 2 14 , 2 5 8 16 8 1 5 17 6 3 4 0 1 14 1 2 2 2 2 -> 2 2 14 1 5 6 14 0 0 16 8 16 17 6 3 11 2 2 2 , 2 5 8 16 8 1 5 17 6 3 4 0 1 14 1 2 2 2 3 -> 2 2 14 1 5 6 14 0 0 16 8 16 17 6 3 11 2 2 3 , 2 5 8 16 8 1 5 17 6 3 4 0 1 14 1 2 2 2 5 -> 2 2 14 1 5 6 14 0 0 16 8 16 17 6 3 11 2 2 5 , 2 5 8 16 8 1 5 17 6 3 4 0 1 14 1 2 2 2 23 -> 2 2 14 1 5 6 14 0 0 16 8 16 17 6 3 11 2 2 23 , 11 5 8 16 8 1 5 17 6 3 4 0 1 14 1 2 2 2 14 -> 11 2 14 1 5 6 14 0 0 16 8 16 17 6 3 11 2 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by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 14 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 15 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 16 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 17 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 18 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 19 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 20 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 21 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 22 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 23 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / After renaming modulo { }, it remains to prove termination of the 0-rule system { } The system is trivially terminating.