YES After renaming modulo { 0->0, 1->1, 2->2 }, it remains to prove termination of the 99-rule system { 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 2 1 2 1 2 1 1 2 1 -> 2 1 1 1 2 1 2 0 2 2 1 0 0 0 1 2 0 2 1 2 , 0 0 0 1 0 0 0 2 1 0 1 0 0 2 0 1 1 1 2 2 -> 0 2 2 2 0 0 2 2 0 1 1 1 0 1 2 0 0 1 0 2 , 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 2 2 0 0 2 0 0 0 0 1 -> 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 0 2 0 0 2 1 0 2 2 1 , 0 0 0 1 2 0 2 2 1 1 0 0 0 2 0 1 0 1 2 0 -> 0 2 0 0 2 1 0 1 0 0 1 2 0 2 0 0 0 2 0 2 , 0 0 1 0 0 2 2 0 0 1 2 2 0 1 1 0 2 2 0 1 -> 2 0 2 2 2 0 2 2 2 0 0 0 1 2 0 0 1 1 2 1 , 0 0 1 1 1 2 2 1 0 2 2 1 2 2 1 1 2 2 0 0 -> 2 0 0 2 0 1 1 0 2 2 0 2 2 1 0 1 2 0 0 2 , 0 0 2 0 0 2 2 1 2 1 0 0 0 1 1 0 2 2 1 0 -> 2 2 1 0 0 0 0 2 2 1 0 0 1 0 2 2 2 1 2 0 , 0 0 2 0 2 1 1 1 2 1 1 2 0 0 0 0 0 1 0 0 -> 2 2 0 2 1 2 2 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 , 0 0 2 1 2 0 2 2 0 2 2 1 1 2 0 1 1 2 1 0 -> 1 0 0 2 0 0 1 2 2 2 2 0 0 0 2 1 0 2 1 0 , 0 0 2 2 0 2 0 1 1 2 1 1 0 2 2 1 0 0 1 0 -> 0 2 0 0 2 2 0 2 0 1 2 2 1 2 1 1 0 0 0 2 , 0 1 0 0 0 0 0 2 2 1 0 0 1 2 1 2 0 1 0 0 -> 2 0 2 0 0 0 2 0 2 1 1 0 0 2 2 1 0 0 0 2 , 0 1 0 0 1 2 2 0 0 2 1 1 0 0 1 2 1 0 1 0 -> 0 2 2 1 1 2 1 1 1 0 2 0 2 0 2 2 0 2 1 2 , 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 2 1 2 0 0 2 2 1 0 1 -> 1 1 1 1 2 1 2 2 0 1 2 0 0 0 2 0 0 0 0 0 , 0 1 1 0 1 2 2 1 1 1 0 1 2 0 0 2 2 2 0 2 -> 1 2 1 2 1 0 0 2 0 0 2 1 1 1 0 2 2 2 2 0 , 0 1 1 0 2 0 1 0 1 2 0 0 0 2 2 0 1 0 2 0 -> 0 0 2 0 1 0 0 0 2 2 0 2 0 0 1 1 1 2 0 0 , 0 1 1 2 1 0 2 1 0 2 2 0 0 1 0 0 2 1 1 2 -> 0 2 0 0 2 1 0 1 1 0 0 1 0 2 0 0 0 2 1 0 , 0 1 1 2 2 2 1 2 2 0 2 0 0 1 1 0 2 2 2 1 -> 2 1 1 0 0 1 1 2 2 0 2 2 2 0 2 2 2 0 2 1 , 0 1 2 0 1 2 0 2 0 1 0 0 1 0 2 1 0 0 2 1 -> 0 2 0 2 0 0 1 0 2 2 2 1 2 1 0 1 0 1 1 2 , 0 1 2 1 1 2 2 2 2 1 2 2 0 2 2 0 0 1 2 2 -> 2 1 0 2 2 0 0 2 0 0 1 2 2 0 2 2 2 0 2 1 , 0 1 2 2 0 1 1 2 0 2 2 1 0 0 2 0 2 0 2 2 -> 0 2 2 2 2 0 0 0 2 1 2 2 2 2 0 1 2 0 1 2 , 0 2 0 0 0 2 1 1 2 2 2 2 0 1 1 2 0 1 2 0 -> 1 0 0 2 2 2 2 1 1 2 0 0 2 0 2 0 2 2 0 0 , 0 2 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 2 1 2 2 1 0 2 2 -> 0 0 2 2 2 0 2 2 0 1 0 0 1 2 2 0 1 0 2 2 , 0 2 0 0 2 0 1 2 0 0 2 0 1 0 2 2 1 2 0 1 -> 0 2 2 0 0 1 2 2 0 2 2 0 2 1 2 0 2 1 0 0 , 0 2 0 2 0 2 2 0 0 0 1 0 1 1 1 0 2 0 0 0 -> 1 2 2 2 2 0 1 1 0 2 2 0 2 0 2 2 0 2 0 0 , 0 2 0 2 1 0 1 1 0 0 1 2 2 2 2 0 1 0 1 2 -> 2 1 0 2 2 0 0 1 2 2 2 2 0 2 0 1 0 1 2 0 , 0 2 1 1 1 2 0 2 1 2 0 0 0 2 2 0 0 0 0 1 -> 0 0 2 0 2 2 2 2 1 0 0 0 1 2 0 2 0 2 1 0 , 0 2 1 1 2 2 2 2 0 1 1 2 1 2 0 0 0 1 2 0 -> 2 2 2 0 0 1 0 0 0 1 0 2 1 2 2 0 1 2 0 0 , 0 2 2 0 0 2 2 0 1 0 2 2 1 2 1 1 1 0 2 2 -> 2 2 2 2 0 0 2 2 1 0 2 1 2 2 2 0 0 1 2 2 , 0 2 2 0 1 0 1 2 0 0 0 1 2 2 1 0 0 0 1 0 -> 0 2 2 2 1 2 2 0 0 2 1 0 1 0 1 2 0 0 2 2 , 0 2 2 0 1 0 1 2 2 2 2 2 1 2 0 2 0 0 0 1 -> 0 0 2 2 0 2 2 1 0 0 0 2 0 2 0 2 2 2 0 0 , 0 2 2 0 1 0 2 1 1 2 1 2 2 0 0 2 1 0 2 0 -> 0 0 1 0 1 0 0 2 2 0 2 0 2 0 2 0 2 2 0 2 , 0 2 2 0 2 0 1 0 2 1 1 1 0 0 0 1 1 2 2 0 -> 2 0 2 1 2 0 1 2 2 1 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 , 0 2 2 0 2 1 2 2 0 2 1 0 1 2 0 2 1 1 0 0 -> 1 1 0 2 0 0 1 2 1 2 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 , 0 2 2 1 2 0 2 0 2 0 2 2 1 1 1 1 2 2 2 1 -> 2 0 2 1 2 2 1 2 2 2 0 0 2 1 2 0 2 0 2 1 , 0 2 2 2 0 0 1 2 2 1 1 1 2 2 0 2 2 2 1 0 -> 0 0 2 2 2 2 0 0 2 1 2 2 1 0 2 1 0 2 2 0 , 0 2 2 2 1 0 0 2 1 2 2 0 0 2 1 0 1 2 1 0 -> 0 2 2 2 1 2 2 1 0 2 0 2 1 0 2 2 2 1 2 0 , 0 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 0 0 1 2 0 1 2 0 0 -> 0 2 2 1 0 2 2 2 0 0 0 2 0 0 2 2 2 2 1 0 , 1 0 0 1 0 1 0 0 2 2 2 1 0 2 2 1 0 1 0 1 -> 0 0 0 2 2 2 2 1 0 1 1 0 2 0 0 2 2 1 1 1 , 1 0 1 0 2 2 0 1 1 1 0 2 2 1 2 0 0 1 1 0 -> 0 2 2 0 2 2 1 2 2 0 2 0 2 1 1 1 2 1 2 1 , 1 0 1 0 2 2 2 2 1 1 2 1 1 1 0 1 0 2 2 1 -> 2 1 1 0 1 0 2 1 1 2 2 1 0 2 0 2 1 0 2 0 , 1 0 1 2 0 2 0 2 1 0 0 2 1 1 2 0 0 1 1 2 -> 1 2 2 0 0 1 1 0 0 2 2 2 2 1 1 1 2 2 0 1 , 1 0 2 2 0 1 0 2 2 1 1 1 2 2 2 2 1 1 2 0 -> 0 1 1 1 2 2 1 0 0 2 1 0 2 2 2 0 0 2 0 0 , 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 2 2 2 0 0 2 0 0 2 0 -> 2 0 2 0 0 0 2 0 0 0 0 1 2 2 2 0 2 2 0 0 , 1 1 0 2 0 2 0 0 2 1 2 1 2 2 0 0 2 2 2 1 -> 2 0 0 2 2 0 0 0 2 2 1 2 1 1 1 2 2 0 2 2 , 1 1 1 0 2 1 2 2 1 1 2 2 0 2 0 0 0 0 2 2 -> 2 0 0 2 2 2 0 2 2 0 0 0 0 1 1 2 1 2 1 1 , 1 1 2 0 0 0 0 2 1 0 2 2 2 2 1 0 0 1 2 0 -> 1 0 2 2 2 2 1 2 1 0 0 0 0 2 2 2 2 2 0 0 , 1 1 2 2 0 0 0 0 2 0 2 0 2 0 1 2 0 0 0 0 -> 2 1 0 2 2 0 0 2 0 0 2 2 2 0 2 2 0 0 1 2 , 1 2 0 1 0 2 0 0 0 2 2 0 1 2 0 2 1 2 2 2 -> 2 0 0 1 0 0 2 0 2 0 2 2 0 0 0 1 1 2 2 2 , 1 2 1 1 1 1 0 0 2 2 0 2 1 0 2 0 2 2 1 1 -> 1 0 1 0 2 2 0 1 2 1 1 2 1 0 0 0 0 0 2 1 , 1 2 1 2 0 1 0 2 2 1 1 2 2 2 2 1 0 2 2 0 -> 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 2 2 1 1 0 0 0 2 2 0 , 1 2 2 0 0 0 0 0 1 0 1 2 1 2 0 2 2 1 0 0 -> 2 2 1 2 0 0 0 2 0 0 2 0 2 0 2 0 0 0 2 1 , 1 2 2 0 0 2 1 0 2 0 1 2 0 2 0 1 1 2 2 0 -> 1 2 2 1 2 0 1 0 0 0 0 0 2 1 0 1 2 0 2 0 , 1 2 2 0 1 2 0 0 0 0 2 2 2 0 2 0 1 0 2 1 -> 1 0 2 0 0 0 2 1 2 2 2 0 2 2 0 0 0 2 0 2 , 1 2 2 0 1 2 0 1 2 1 0 0 2 0 2 2 1 1 0 0 -> 2 1 2 0 2 0 1 2 1 2 0 0 2 0 2 1 2 0 2 2 , 1 2 2 0 2 0 0 1 1 0 0 2 2 0 2 0 2 2 2 2 -> 0 2 2 2 1 0 0 0 2 0 2 0 0 0 0 0 0 2 2 1 , 1 2 2 2 2 2 0 2 1 1 2 2 0 0 1 0 1 0 2 2 -> 2 2 1 1 0 2 2 1 0 0 0 0 0 0 0 2 2 2 1 1 , 2 0 0 1 1 0 2 2 0 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 0 -> 0 0 0 0 0 0 2 0 2 2 0 2 1 0 0 2 0 0 2 1 , 2 0 0 1 2 1 0 1 2 2 2 1 0 0 0 0 2 0 1 0 -> 2 0 0 2 0 1 1 1 0 2 1 0 2 2 2 2 2 2 0 0 , 2 0 0 1 2 2 2 2 0 2 0 1 2 0 1 2 2 0 0 0 -> 2 0 0 0 2 0 2 2 2 0 2 0 0 2 0 2 0 2 1 0 , 2 0 0 2 0 2 0 1 1 0 1 2 0 2 0 1 0 0 1 2 -> 1 0 2 2 0 2 2 0 2 0 2 0 0 2 0 1 1 0 1 1 , 2 0 0 2 2 0 0 1 1 0 0 1 2 0 1 0 0 0 2 0 -> 0 2 1 2 0 1 0 2 0 0 0 2 2 2 0 1 2 0 2 0 , 2 0 1 1 0 1 1 1 2 2 1 2 0 2 2 2 2 1 0 2 -> 0 0 2 1 2 0 2 2 0 2 1 0 2 0 1 0 0 2 1 2 , 2 0 1 2 0 0 1 0 1 0 2 2 1 0 1 1 0 1 2 1 -> 1 2 2 0 0 0 2 2 1 2 1 1 0 2 2 0 1 0 2 0 , 2 0 1 2 1 2 2 1 0 1 1 0 2 0 0 2 0 0 2 0 -> 1 0 0 0 1 2 0 0 1 2 0 2 2 2 2 1 2 0 0 0 , 2 0 1 2 2 1 0 0 2 2 0 1 0 1 2 2 2 2 1 0 -> 2 1 0 2 0 2 2 0 0 0 1 1 1 1 0 2 2 0 2 0 , 2 0 1 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 1 1 0 2 1 0 2 -> 2 0 0 0 2 2 2 2 2 2 0 2 1 2 0 0 1 1 2 0 , 2 0 2 2 0 0 0 1 1 2 1 2 2 2 1 2 1 0 0 0 -> 2 2 0 2 1 2 2 2 2 0 2 2 0 0 2 0 0 0 0 1 , 2 0 2 2 0 1 2 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 2 2 1 -> 1 0 2 0 0 0 2 1 0 2 1 0 0 2 2 0 1 0 2 0 , 2 0 2 2 1 0 0 2 0 2 2 1 0 2 1 1 1 2 0 1 -> 2 1 0 2 0 2 0 1 2 1 0 2 2 1 2 0 2 2 0 1 , 2 1 0 0 1 0 1 2 0 0 0 2 1 2 0 0 1 0 2 0 -> 1 0 1 2 1 0 2 2 2 2 1 1 0 2 2 2 0 0 0 0 , 2 1 0 1 2 2 1 2 2 1 0 0 2 2 0 2 2 1 1 0 -> 2 0 0 2 0 2 0 2 0 1 2 2 0 0 2 1 2 2 0 2 , 2 1 0 2 0 2 0 2 1 0 0 1 2 1 0 0 0 2 2 0 -> 2 1 0 0 2 2 2 0 1 2 2 1 2 2 2 0 0 2 2 0 , 2 1 1 0 2 0 2 1 2 2 0 1 0 0 0 0 0 2 2 2 -> 2 2 2 1 0 0 0 2 0 2 2 0 1 1 2 0 0 0 2 2 , 2 1 1 0 2 0 2 2 0 1 0 2 2 1 0 1 2 2 2 2 -> 2 1 1 0 0 2 2 0 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 0 0 , 2 1 1 0 2 1 0 1 2 0 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 -> 0 1 2 1 0 1 2 2 2 0 1 2 1 0 1 0 2 0 1 2 , 2 1 1 2 1 2 2 1 2 0 2 2 0 1 2 1 2 2 2 2 -> 0 0 1 2 2 0 0 2 0 1 2 2 1 0 2 0 0 2 2 2 , 2 1 2 1 1 2 0 2 0 0 1 0 2 2 2 1 1 0 2 1 -> 0 0 0 1 0 1 1 2 2 2 0 2 2 0 2 0 0 2 0 2 , 2 1 2 1 2 1 2 2 0 2 1 0 2 0 1 2 1 0 1 2 -> 0 2 0 1 2 0 0 2 1 0 0 2 1 1 2 2 2 2 1 2 , 2 1 2 2 2 0 1 2 1 1 2 0 1 2 1 2 0 0 2 1 -> 1 0 2 2 2 0 2 2 0 1 2 1 0 2 1 2 1 1 0 1 , 2 2 0 1 1 1 2 2 0 0 0 2 0 0 1 2 0 2 2 1 -> 0 0 0 0 0 0 2 2 0 2 1 2 0 0 0 1 0 2 0 2 , 2 2 0 1 1 2 2 1 1 2 2 0 0 2 2 2 1 0 1 2 -> 0 0 0 2 0 0 2 2 0 0 1 2 0 2 0 2 1 2 0 0 , 2 2 0 2 1 0 0 1 0 2 2 2 1 0 1 0 2 1 1 0 -> 0 0 2 0 1 0 2 2 1 0 2 2 0 2 1 2 0 2 1 0 , 2 2 1 0 0 0 1 1 0 1 2 0 0 1 1 2 1 0 2 1 -> 0 0 0 0 1 0 2 0 1 2 1 2 1 0 1 0 0 2 0 0 , 2 2 1 0 1 1 2 0 0 2 2 0 1 1 2 0 0 1 2 0 -> 2 1 2 1 0 0 2 2 0 2 2 0 1 1 0 2 1 2 0 0 , 2 2 1 1 0 2 0 0 1 0 0 0 1 1 2 2 0 0 0 0 -> 1 2 0 2 0 0 1 0 2 0 0 0 2 2 2 0 0 2 1 0 , 2 2 1 2 0 0 0 0 0 2 0 0 1 1 2 0 2 0 1 2 -> 2 0 0 2 2 1 0 0 0 0 2 1 1 2 0 0 0 0 0 2 , 2 2 1 2 0 2 1 2 2 2 1 2 0 1 2 2 2 1 2 1 -> 1 0 1 2 0 2 2 2 0 2 1 2 0 1 0 2 2 0 0 0 , 2 2 1 2 1 0 0 2 2 0 1 1 2 1 2 2 2 2 0 1 -> 0 0 0 2 2 0 1 1 2 2 0 2 2 2 2 2 0 0 1 2 , 2 2 1 2 1 0 1 0 0 2 1 2 0 0 0 2 2 0 2 0 -> 2 2 2 0 2 2 0 2 0 2 0 1 2 0 0 2 2 2 0 2 , 2 2 1 2 1 0 2 0 2 0 0 2 0 1 2 0 1 0 1 0 -> 1 0 0 2 2 0 2 2 2 2 1 0 1 0 0 2 2 2 1 2 , 2 2 1 2 2 1 2 2 1 0 2 2 0 1 1 1 0 0 2 1 -> 2 2 1 1 2 1 2 0 1 2 2 1 0 2 2 2 2 0 2 0 , 2 2 2 0 0 2 1 1 2 1 1 1 1 0 2 1 2 2 2 0 -> 2 1 1 2 1 1 1 0 2 2 2 0 2 2 0 2 0 0 0 2 , 2 2 2 0 1 1 0 1 2 0 1 0 0 0 1 2 1 0 2 0 -> 0 2 0 2 2 1 2 2 2 1 0 2 0 1 0 0 0 1 1 0 , 2 2 2 0 2 1 0 0 2 1 2 2 1 1 0 0 1 0 1 0 -> 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 1 0 2 1 0 1 2 0 2 0 , 2 2 2 1 0 1 2 2 0 2 0 2 0 2 2 0 1 1 2 0 -> 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 0 2 1 1 0 2 2 2 0 , 2 2 2 1 2 2 0 1 2 1 1 2 2 0 1 2 2 0 0 1 -> 2 2 1 2 0 2 1 1 0 2 0 2 2 2 2 2 1 0 1 0 , 2 2 2 1 2 2 1 1 0 0 1 0 2 1 2 1 2 2 0 2 -> 2 2 1 2 1 1 2 1 0 0 2 2 2 2 2 2 1 0 2 0 , 2 2 2 2 1 1 0 2 1 1 1 0 2 2 0 0 1 1 2 0 -> 1 0 0 0 0 1 1 2 0 0 2 1 2 0 1 2 0 2 2 0 , 2 2 2 2 2 1 2 1 1 0 1 1 0 0 2 1 1 1 0 0 -> 0 2 2 1 0 2 2 0 0 0 1 0 2 1 2 2 0 1 2 2 } The system was reversed. After renaming modulo { 1->0, 2->1, 0->2 }, it remains to prove termination of the 99-rule system { 0 1 0 0 1 0 1 0 1 2 2 0 0 2 0 2 2 2 2 2 -> 1 0 1 2 1 0 2 2 2 0 1 1 2 1 0 1 0 0 0 1 , 1 1 0 0 0 2 1 2 2 0 2 0 1 2 2 2 0 2 2 2 -> 1 2 0 2 2 1 0 2 0 0 0 2 1 1 2 2 1 1 1 2 , 0 2 2 2 2 1 2 2 1 1 0 2 2 0 0 2 0 2 2 2 -> 0 1 1 2 0 1 2 2 1 2 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 , 2 1 0 2 0 2 1 2 2 2 0 0 1 1 2 1 0 2 2 2 -> 1 2 1 2 2 2 1 2 1 0 2 2 0 2 0 1 2 2 1 2 , 0 2 1 1 2 0 0 2 1 1 0 2 2 1 1 2 2 0 2 2 -> 0 1 0 0 2 2 1 0 2 2 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 , 2 2 1 1 0 0 1 1 0 1 1 2 0 1 1 0 0 0 2 2 -> 1 2 2 1 0 2 0 1 1 2 1 1 2 0 0 2 1 2 2 1 , 2 0 1 1 2 0 0 2 2 2 0 1 0 1 1 2 2 1 2 2 -> 2 1 0 1 1 1 2 0 2 2 0 1 1 2 2 2 2 0 1 1 , 2 2 0 2 2 2 2 2 1 0 0 1 0 0 0 1 2 1 2 2 -> 2 2 2 2 2 2 0 2 0 2 0 2 0 1 1 0 1 2 1 1 , 2 0 1 0 0 2 1 0 0 1 1 2 1 1 2 1 0 1 2 2 -> 2 0 1 2 0 1 2 2 2 1 1 1 1 0 2 2 1 2 2 0 , 2 0 2 2 0 1 1 2 0 0 1 0 0 2 1 2 1 1 2 2 -> 1 2 2 2 0 0 1 0 1 1 0 2 1 2 1 1 2 2 1 2 , 2 2 0 2 1 0 1 0 2 2 0 1 1 2 2 2 2 2 0 2 -> 1 2 2 2 0 1 1 2 2 0 0 1 2 1 2 2 2 1 2 1 , 2 0 2 0 1 0 2 2 0 0 1 2 2 1 1 0 2 2 0 2 -> 1 0 1 2 1 1 2 1 2 1 2 0 0 0 1 0 0 1 1 2 , 0 2 0 1 1 2 2 1 0 1 2 0 2 2 0 0 0 2 0 2 -> 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 0 2 1 1 0 1 0 0 0 0 , 1 2 1 1 1 2 2 1 0 2 0 0 0 1 1 0 2 0 0 2 -> 2 1 1 1 1 2 0 0 0 1 2 2 1 2 2 0 1 0 1 0 , 2 1 2 0 2 1 1 2 2 2 1 0 2 0 2 1 2 0 0 2 -> 2 2 1 0 0 0 2 2 1 2 1 1 2 2 2 0 2 1 2 2 , 1 0 0 1 2 2 0 2 2 1 1 2 0 1 2 0 1 0 0 2 -> 2 0 1 2 2 2 1 2 0 2 2 0 0 2 0 1 2 2 1 2 , 0 1 1 1 2 0 0 2 2 1 2 1 1 0 1 1 1 0 0 2 -> 0 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 0 0 2 2 0 0 1 , 0 1 2 2 0 1 2 0 2 2 0 2 1 2 1 0 2 1 0 2 -> 1 0 0 2 0 2 0 1 0 1 1 1 2 0 2 2 1 2 1 2 , 1 1 0 2 2 1 1 2 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 2 -> 0 1 2 1 1 1 2 1 1 0 2 2 1 2 2 1 1 2 0 1 , 1 1 2 1 2 1 2 2 0 1 1 2 1 0 0 2 1 1 0 2 -> 1 0 2 1 0 2 1 1 1 1 0 1 2 2 2 1 1 1 1 2 , 2 1 0 2 1 0 0 2 1 1 1 1 0 0 1 2 2 2 1 2 -> 2 2 1 1 2 1 2 1 2 2 1 0 0 1 1 1 1 2 2 0 , 1 1 2 0 1 1 0 1 2 2 2 0 2 2 2 0 2 2 1 2 -> 1 1 2 0 2 1 1 0 2 2 0 2 1 1 2 1 1 1 2 2 , 0 2 1 0 1 1 2 0 2 1 2 2 1 0 2 1 2 2 1 2 -> 2 2 0 1 2 1 0 1 2 1 1 2 1 1 0 2 2 1 1 2 , 2 2 2 1 2 0 0 0 2 0 2 2 2 1 1 2 1 2 1 2 -> 2 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 0 0 2 1 1 1 1 0 , 1 0 2 0 2 1 1 1 1 0 2 2 0 0 2 0 1 2 1 2 -> 2 1 0 2 0 2 1 2 1 1 1 1 0 2 2 1 1 2 0 1 , 0 2 2 2 2 1 1 2 2 2 1 0 1 2 1 0 0 0 1 2 -> 2 0 1 2 1 2 1 0 2 2 2 0 1 1 1 1 2 1 2 2 , 2 1 0 2 2 2 1 0 1 0 0 2 1 1 1 1 0 0 1 2 -> 2 2 1 0 2 1 1 0 1 2 0 2 2 2 0 2 2 1 1 1 , 1 1 2 0 0 0 1 0 1 1 2 0 2 1 1 2 2 1 1 2 -> 1 1 0 2 2 1 1 1 0 1 2 0 1 1 2 2 1 1 1 1 , 2 0 2 2 2 0 1 1 0 2 2 2 1 0 2 0 2 1 1 2 -> 1 1 2 2 1 0 2 0 2 0 1 2 2 1 1 0 1 1 1 2 , 0 2 2 2 1 2 1 0 1 1 1 1 1 0 2 0 2 1 1 2 -> 2 2 1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 0 1 1 2 1 1 2 2 , 2 1 2 0 1 2 2 1 1 0 1 0 0 1 2 0 2 1 1 2 -> 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 0 2 0 2 2 , 2 1 1 0 0 2 2 2 0 0 0 1 2 0 2 1 2 1 1 2 -> 2 2 2 2 2 2 2 2 1 0 0 1 1 0 2 1 0 1 2 1 , 2 2 0 0 1 2 1 0 2 0 1 2 1 1 0 1 2 1 1 2 -> 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 1 0 1 0 2 2 1 2 0 0 , 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 2 1 2 1 2 1 0 1 1 2 -> 0 1 2 1 2 1 0 1 2 2 1 1 1 0 1 1 0 1 2 1 , 2 0 1 1 1 2 1 1 0 0 0 1 1 0 2 2 1 1 1 2 -> 2 1 1 2 0 1 2 0 1 1 0 1 2 2 1 1 1 1 2 2 , 2 0 1 0 2 0 1 2 2 1 1 0 1 2 2 0 1 1 1 2 -> 2 1 0 1 1 1 2 0 1 2 1 2 0 1 1 0 1 1 1 2 , 2 2 1 0 2 1 0 2 2 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 2 -> 2 0 1 1 1 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 0 1 1 2 , 0 2 0 2 0 1 1 2 0 1 1 1 2 2 0 2 0 2 2 0 -> 0 0 0 1 1 2 2 1 2 0 0 2 0 1 1 1 1 2 2 2 , 2 0 0 2 2 1 0 1 1 2 0 0 0 2 1 1 2 0 2 0 -> 0 1 0 1 0 0 0 1 2 1 2 1 1 0 1 1 2 1 1 2 , 0 1 1 2 0 2 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1 2 0 2 0 -> 2 1 2 0 1 2 1 2 0 1 1 0 0 1 2 0 2 0 0 1 , 1 0 0 2 2 1 0 0 1 2 2 0 1 2 1 2 1 0 2 0 -> 0 2 1 1 0 0 0 1 1 1 1 2 2 0 0 2 2 1 1 0 , 2 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 2 0 2 1 1 2 0 -> 2 2 1 2 2 1 1 1 2 0 1 2 2 0 1 1 0 0 0 2 , 2 1 2 2 1 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 0 2 0 0 -> 2 2 1 1 2 1 1 1 0 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 1 , 0 1 1 1 2 2 1 1 0 1 0 1 2 2 1 2 1 2 0 0 -> 1 1 2 1 1 0 0 0 1 0 1 1 2 2 2 1 1 2 2 1 , 1 1 2 2 2 2 1 2 1 1 0 0 1 1 0 1 2 0 0 0 -> 0 0 1 0 1 0 0 2 2 2 2 1 1 2 1 1 1 2 2 1 , 2 1 0 2 2 0 1 1 1 1 2 0 1 2 2 2 2 1 0 0 -> 2 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 0 1 0 1 1 1 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1 1 2 0 2 2 0 1 2 1 1 -> 2 0 1 2 1 0 1 2 1 1 2 0 1 1 2 0 2 1 2 2 , 0 1 2 0 1 0 0 2 2 1 0 2 0 0 2 2 2 0 1 1 -> 2 2 1 2 2 0 2 0 1 0 1 0 2 1 2 0 2 2 2 2 , 2 1 0 2 2 1 0 0 2 1 1 2 2 1 0 0 2 0 1 1 -> 2 2 1 0 1 2 0 0 2 1 1 2 1 1 2 2 0 1 0 1 , 2 2 2 2 1 1 0 0 2 2 2 0 2 2 1 2 0 0 1 1 -> 2 0 1 2 2 1 1 1 2 2 2 1 2 0 2 2 1 2 1 0 , 1 0 2 1 2 1 0 0 2 2 1 2 2 2 2 2 1 0 1 1 -> 1 2 2 2 2 2 1 0 0 1 2 2 2 2 0 1 1 2 2 1 , 0 1 0 1 1 1 0 2 1 0 1 1 1 0 1 2 1 0 1 1 -> 2 2 2 1 1 2 0 2 1 0 1 2 1 1 1 2 1 0 2 0 , 0 2 1 1 1 1 0 1 0 0 2 1 1 2 2 0 1 0 1 1 -> 1 0 2 2 1 1 1 1 1 2 1 1 0 0 2 1 1 2 2 2 , 2 1 2 1 1 2 2 2 1 0 1 2 2 0 2 0 1 0 1 1 -> 1 2 1 1 1 2 2 1 0 2 1 2 1 2 1 1 2 1 1 1 , 2 0 2 0 2 1 0 2 1 2 2 1 2 1 2 0 1 0 1 1 -> 1 0 1 1 1 2 2 0 2 0 1 1 1 1 2 1 1 2 2 0 , 0 1 2 2 0 0 0 2 1 1 2 0 1 1 0 1 1 0 1 1 -> 2 1 2 1 1 1 1 2 0 1 1 0 2 1 0 1 0 0 1 1 , 2 1 1 1 0 1 2 0 0 0 0 1 0 0 1 2 2 1 1 1 -> 1 2 2 2 1 2 1 1 2 1 1 1 2 0 0 0 1 0 0 1 , 2 1 2 0 1 0 2 2 2 0 2 1 0 2 0 0 2 1 1 1 -> 2 0 0 2 2 2 0 2 1 2 0 1 1 1 0 1 1 2 1 2 , 2 0 2 0 2 2 0 0 1 1 0 1 2 2 0 1 2 1 1 1 -> 2 1 2 1 0 2 0 1 2 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 , 2 1 0 0 2 1 1 2 1 2 1 2 1 1 0 2 0 1 1 1 -> 2 1 1 1 2 0 0 1 2 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 , 0 2 2 1 1 0 2 1 1 0 0 1 0 2 1 1 0 1 1 1 -> 2 0 2 0 1 1 1 1 1 2 1 2 0 0 1 2 1 0 1 1 , 1 2 1 1 0 1 0 1 2 0 2 2 0 0 1 1 0 1 1 1 -> 2 1 2 0 1 1 1 1 1 1 2 2 0 1 0 0 1 0 1 1 , 2 1 0 0 2 2 1 1 2 0 0 0 1 2 0 0 1 1 1 1 -> 2 1 1 2 1 0 2 1 0 1 2 2 1 0 0 2 2 2 2 0 , 2 2 0 0 0 1 2 2 0 0 2 0 0 1 0 1 1 1 1 1 -> 1 1 0 2 1 1 0 1 2 0 2 2 2 1 1 2 0 1 1 2 } Applying sparse 2-tiling [Hofbauer/Geser/Waldmann, FSCD 2019]. After renaming modulo { (0,0)->0, (0,1)->1, (1,0)->2, (1,2)->3, (2,2)->4, (2,0)->5, (0,2)->6, (2,1)->7, (1,1)->8, (2,4)->9, (1,4)->10, (3,0)->11, (3,1)->12, (3,2)->13, (0,4)->14 }, it remains to prove termination of the 1584-rule system { 0 1 2 0 1 2 1 2 1 3 4 5 0 6 5 6 4 4 4 4 5 -> 1 2 1 3 7 2 6 4 4 5 1 8 3 7 2 1 2 0 0 1 2 , 0 1 2 0 1 2 1 2 1 3 4 5 0 6 5 6 4 4 4 4 7 -> 1 2 1 3 7 2 6 4 4 5 1 8 3 7 2 1 2 0 0 1 8 , 0 1 2 0 1 2 1 2 1 3 4 5 0 6 5 6 4 4 4 4 4 -> 1 2 1 3 7 2 6 4 4 5 1 8 3 7 2 1 2 0 0 1 3 , 0 1 2 0 1 2 1 2 1 3 4 5 0 6 5 6 4 4 4 4 9 -> 1 2 1 3 7 2 6 4 4 5 1 8 3 7 2 1 2 0 0 1 10 , 2 1 2 0 1 2 1 2 1 3 4 5 0 6 5 6 4 4 4 4 5 -> 8 2 1 3 7 2 6 4 4 5 1 8 3 7 2 1 2 0 0 1 2 , 2 1 2 0 1 2 1 2 1 3 4 5 0 6 5 6 4 4 4 4 7 -> 8 2 1 3 7 2 6 4 4 5 1 8 3 7 2 1 2 0 0 1 8 , 2 1 2 0 1 2 1 2 1 3 4 5 0 6 5 6 4 4 4 4 4 -> 8 2 1 3 7 2 6 4 4 5 1 8 3 7 2 1 2 0 0 1 3 , 2 1 2 0 1 2 1 2 1 3 4 5 0 6 5 6 4 4 4 4 9 -> 8 2 1 3 7 2 6 4 4 5 1 8 3 7 2 1 2 0 0 1 10 , 5 1 2 0 1 2 1 2 1 3 4 5 0 6 5 6 4 4 4 4 5 -> 7 2 1 3 7 2 6 4 4 5 1 8 3 7 2 1 2 0 0 1 2 , 5 1 2 0 1 2 1 2 1 3 4 5 0 6 5 6 4 4 4 4 7 -> 7 2 1 3 7 2 6 4 4 5 1 8 3 7 2 1 2 0 0 1 8 , 5 1 2 0 1 2 1 2 1 3 4 5 0 6 5 6 4 4 4 4 4 -> 7 2 1 3 7 2 6 4 4 5 1 8 3 7 2 1 2 0 0 1 3 , 5 1 2 0 1 2 1 2 1 3 4 5 0 6 5 6 4 4 4 4 9 -> 7 2 1 3 7 2 6 4 4 5 1 8 3 7 2 1 2 0 0 1 10 , 11 1 2 0 1 2 1 2 1 3 4 5 0 6 5 6 4 4 4 4 5 -> 12 2 1 3 7 2 6 4 4 5 1 8 3 7 2 1 2 0 0 1 2 , 11 1 2 0 1 2 1 2 1 3 4 5 0 6 5 6 4 4 4 4 7 -> 12 2 1 3 7 2 6 4 4 5 1 8 3 7 2 1 2 0 0 1 8 , 11 1 2 0 1 2 1 2 1 3 4 5 0 6 5 6 4 4 4 4 4 -> 12 2 1 3 7 2 6 4 4 5 1 8 3 7 2 1 2 0 0 1 3 , 11 1 2 0 1 2 1 2 1 3 4 5 0 6 5 6 4 4 4 4 9 -> 12 2 1 3 7 2 6 4 4 5 1 8 3 7 2 1 2 0 0 1 10 , 1 8 2 0 0 6 7 3 4 5 6 5 1 3 4 4 5 6 4 4 5 -> 1 3 5 6 4 7 2 6 5 0 0 6 7 8 3 4 7 8 8 3 5 , 1 8 2 0 0 6 7 3 4 5 6 5 1 3 4 4 5 6 4 4 7 -> 1 3 5 6 4 7 2 6 5 0 0 6 7 8 3 4 7 8 8 3 7 , 1 8 2 0 0 6 7 3 4 5 6 5 1 3 4 4 5 6 4 4 4 -> 1 3 5 6 4 7 2 6 5 0 0 6 7 8 3 4 7 8 8 3 4 , 1 8 2 0 0 6 7 3 4 5 6 5 1 3 4 4 5 6 4 4 9 -> 1 3 5 6 4 7 2 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interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 11 is interpreted by / \ | 1 2 | | 0 1 | \ / 12 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 13 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 14 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / After renaming modulo { }, it remains to prove termination of the 0-rule system { } The system is trivially terminating.