YES After renaming modulo { 3->0, 0->1, 1->2, 2->3, 4->4, 5->5 }, it remains to prove termination of the 42-rule system { 0 1 1 -> 0 0 0 2 0 2 0 3 0 0 , 1 1 2 4 -> 5 3 0 5 5 3 5 2 2 4 , 1 4 1 2 -> 5 0 3 3 3 0 3 3 0 2 , 4 1 1 0 -> 5 0 0 4 3 0 5 5 3 0 , 4 3 4 1 -> 2 2 5 1 3 2 0 1 0 4 , 5 1 1 4 -> 5 3 0 2 2 1 5 4 4 4 , 1 4 1 2 1 -> 5 3 0 5 4 2 5 5 0 3 , 2 1 1 2 1 -> 2 1 4 4 5 3 3 0 0 3 , 3 4 1 1 2 -> 3 1 3 0 0 0 0 0 4 2 , 0 1 4 1 5 -> 0 4 2 2 0 4 1 5 3 3 , 0 3 5 3 2 -> 0 3 3 0 2 2 4 0 2 2 , 5 1 1 4 2 -> 2 0 2 2 3 3 0 1 1 0 , 1 1 5 1 1 1 -> 1 0 4 5 4 4 4 1 4 4 , 2 1 1 1 4 0 -> 2 5 5 3 3 4 0 3 0 0 , 2 0 1 5 0 3 -> 2 3 0 1 0 0 2 5 3 3 , 2 0 3 4 5 1 -> 2 2 2 1 0 0 2 5 3 1 , 2 4 5 1 3 2 -> 2 3 2 2 3 2 0 5 5 2 , 3 1 4 3 5 0 -> 3 2 4 3 0 2 5 5 4 2 , 4 1 2 1 1 2 -> 4 3 4 2 0 4 2 5 5 2 , 4 2 4 4 1 4 -> 4 2 0 0 2 5 1 3 4 4 , 5 1 1 1 4 1 -> 5 1 5 0 4 2 2 1 0 4 , 5 4 3 1 1 5 -> 5 4 5 2 2 1 5 3 2 4 , 1 1 1 0 3 4 0 -> 5 3 3 5 5 4 1 2 3 0 , 1 1 3 4 1 5 1 -> 5 3 3 4 2 1 4 4 0 4 , 1 2 5 3 1 4 0 -> 1 2 2 2 0 3 1 0 4 0 , 1 4 0 0 1 1 5 -> 3 5 4 2 0 0 0 1 1 5 , 2 1 1 1 1 1 0 -> 5 3 5 2 2 3 5 2 1 2 , 2 1 1 1 5 4 2 -> 2 3 0 2 1 3 4 0 4 2 , 2 0 3 2 3 1 2 -> 2 4 3 2 0 2 2 5 0 2 , 3 1 3 1 2 4 4 -> 3 1 3 0 5 4 0 1 2 0 , 3 1 5 0 1 5 1 -> 3 5 5 2 3 2 2 4 4 1 , 3 2 4 3 5 1 2 -> 3 4 1 3 0 5 5 4 5 0 , 3 4 0 0 3 5 0 -> 3 4 4 3 0 3 3 4 4 5 , 3 5 0 1 4 0 3 -> 3 3 5 0 1 0 0 1 0 1 , 0 0 1 5 0 1 4 -> 0 0 4 2 1 5 5 0 2 4 , 0 4 2 4 5 4 3 -> 0 5 0 0 2 2 0 2 2 3 , 0 4 0 3 4 2 3 -> 0 5 2 2 2 5 0 2 0 1 , 4 3 5 4 1 3 2 -> 2 2 2 2 5 5 2 4 5 2 , 4 0 3 1 2 1 5 -> 4 0 2 0 0 1 2 1 0 4 , 4 0 0 3 0 4 0 -> 4 1 0 1 0 0 0 5 4 4 , 5 1 2 1 5 1 1 -> 5 1 1 2 2 0 4 0 1 1 , 5 4 1 2 4 1 2 -> 4 2 4 5 0 5 2 3 4 2 } Applying sparse 2-tiling [Hofbauer/Geser/Waldmann, FSCD 2019]. After renaming modulo { (0,0)->0, (0,1)->1, (1,1)->2, (1,0)->3, (0,2)->4, (2,0)->5, (0,3)->6, (3,0)->7, (1,2)->8, (1,3)->9, (1,4)->10, (0,4)->11, (1,5)->12, (0,5)->13, (1,7)->14, (0,7)->15, (4,0)->16, (5,0)->17, (6,0)->18, (2,4)->19, (5,3)->20, (5,5)->21, (3,5)->22, (5,2)->23, (2,2)->24, (4,1)->25, (4,2)->26, (4,3)->27, (4,4)->28, (4,5)->29, (4,7)->30, (2,1)->31, (2,5)->32, (3,1)->33, (5,1)->34, (6,1)->35, (6,5)->36, (3,3)->37, (2,3)->38, (2,7)->39, (3,4)->40, (5,4)->41, (6,4)->42, (3,2)->43, (6,2)->44, (3,7)->45, (6,3)->46, (5,7)->47 }, it remains to prove termination of the 2058-rule system { 0 1 2 3 -> 0 0 0 4 5 4 5 6 7 0 0 , 0 1 2 2 -> 0 0 0 4 5 4 5 6 7 0 1 , 0 1 2 8 -> 0 0 0 4 5 4 5 6 7 0 4 , 0 1 2 9 -> 0 0 0 4 5 4 5 6 7 0 6 , 0 1 2 10 -> 0 0 0 4 5 4 5 6 7 0 11 , 0 1 2 12 -> 0 0 0 4 5 4 5 6 7 0 13 , 0 1 2 14 -> 0 0 0 4 5 4 5 6 7 0 15 , 3 1 2 3 -> 3 0 0 4 5 4 5 6 7 0 0 , 3 1 2 2 -> 3 0 0 4 5 4 5 6 7 0 1 , 3 1 2 8 -> 3 0 0 4 5 4 5 6 7 0 4 , 3 1 2 9 -> 3 0 0 4 5 4 5 6 7 0 6 , 3 1 2 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29 17 13 23 38 40 26 32 , 22 41 25 8 19 25 8 39 -> 40 26 19 29 17 13 23 38 40 26 39 , 29 41 25 8 19 25 8 5 -> 28 26 19 29 17 13 23 38 40 26 5 , 29 41 25 8 19 25 8 31 -> 28 26 19 29 17 13 23 38 40 26 31 , 29 41 25 8 19 25 8 24 -> 28 26 19 29 17 13 23 38 40 26 24 , 29 41 25 8 19 25 8 38 -> 28 26 19 29 17 13 23 38 40 26 38 , 29 41 25 8 19 25 8 19 -> 28 26 19 29 17 13 23 38 40 26 19 , 29 41 25 8 19 25 8 32 -> 28 26 19 29 17 13 23 38 40 26 32 , 29 41 25 8 19 25 8 39 -> 28 26 19 29 17 13 23 38 40 26 39 , 21 41 25 8 19 25 8 5 -> 41 26 19 29 17 13 23 38 40 26 5 , 21 41 25 8 19 25 8 31 -> 41 26 19 29 17 13 23 38 40 26 31 , 21 41 25 8 19 25 8 24 -> 41 26 19 29 17 13 23 38 40 26 24 , 21 41 25 8 19 25 8 38 -> 41 26 19 29 17 13 23 38 40 26 38 , 21 41 25 8 19 25 8 19 -> 41 26 19 29 17 13 23 38 40 26 19 , 21 41 25 8 19 25 8 32 -> 41 26 19 29 17 13 23 38 40 26 32 , 21 41 25 8 19 25 8 39 -> 41 26 19 29 17 13 23 38 40 26 39 , 36 41 25 8 19 25 8 5 -> 42 26 19 29 17 13 23 38 40 26 5 , 36 41 25 8 19 25 8 31 -> 42 26 19 29 17 13 23 38 40 26 31 , 36 41 25 8 19 25 8 24 -> 42 26 19 29 17 13 23 38 40 26 24 , 36 41 25 8 19 25 8 38 -> 42 26 19 29 17 13 23 38 40 26 38 , 36 41 25 8 19 25 8 19 -> 42 26 19 29 17 13 23 38 40 26 19 , 36 41 25 8 19 25 8 32 -> 42 26 19 29 17 13 23 38 40 26 32 , 36 41 25 8 19 25 8 39 -> 42 26 19 29 17 13 23 38 40 26 39 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 2: 0 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 1 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 2 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 3 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 4 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 5 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 6 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 7 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 8 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 9 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 10 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 11 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 12 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 13 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 14 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 15 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 16 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 17 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 18 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 19 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 20 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 21 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 22 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 23 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 24 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 25 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 26 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 27 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 28 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 29 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 30 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 31 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 32 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 33 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 34 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 35 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 36 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 37 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 38 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 39 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 40 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 41 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 42 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 43 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 44 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 45 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 46 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 47 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / After renaming modulo { 0->0, 1->1, 2->2, 3->3, 4->4, 5->5, 6->6, 7->7, 8->8, 9->9, 10->10, 11->11, 12->12, 13->13, 14->14, 15->15, 16->16, 17->17, 18->18, 19->19, 20->20, 21->21, 22->22, 23->23, 24->24, 25->25, 26->26, 27->27, 28->28, 29->29, 30->30, 31->31, 32->32, 33->33, 34->34, 37->35, 38->36, 39->37, 40->38, 41->39, 42->40, 36->41, 43->42, 44->43, 45->44, 46->45, 47->46, 35->47 }, it remains to prove termination of the 2016-rule system { 0 1 2 3 -> 0 0 0 4 5 4 5 6 7 0 0 , 0 1 2 2 -> 0 0 0 4 5 4 5 6 7 0 1 , 0 1 2 8 -> 0 0 0 4 5 4 5 6 7 0 4 , 0 1 2 9 -> 0 0 0 4 5 4 5 6 7 0 6 , 0 1 2 10 -> 0 0 0 4 5 4 5 6 7 0 11 , 0 1 2 12 -> 0 0 0 4 5 4 5 6 7 0 13 , 0 1 2 14 -> 0 0 0 4 5 4 5 6 7 0 15 , 3 1 2 3 -> 3 0 0 4 5 4 5 6 7 0 0 , 3 1 2 2 -> 3 0 0 4 5 4 5 6 7 0 1 , 3 1 2 8 -> 3 0 0 4 5 4 5 6 7 0 4 , 3 1 2 9 -> 3 0 0 4 5 4 5 6 7 0 6 , 3 1 2 10 -> 3 0 0 4 5 4 5 6 7 0 11 , 3 1 2 12 -> 3 0 0 4 5 4 5 6 7 0 13 , 3 1 2 14 -> 3 0 0 4 5 4 5 6 7 0 15 , 5 1 2 3 -> 5 0 0 4 5 4 5 6 7 0 0 , 5 1 2 2 -> 5 0 0 4 5 4 5 6 7 0 1 , 5 1 2 8 -> 5 0 0 4 5 4 5 6 7 0 4 , 5 1 2 9 -> 5 0 0 4 5 4 5 6 7 0 6 , 5 1 2 10 -> 5 0 0 4 5 4 5 6 7 0 11 , 5 1 2 12 -> 5 0 0 4 5 4 5 6 7 0 13 , 5 1 2 14 -> 5 0 0 4 5 4 5 6 7 0 15 , 7 1 2 3 -> 7 0 0 4 5 4 5 6 7 0 0 , 7 1 2 2 -> 7 0 0 4 5 4 5 6 7 0 1 , 7 1 2 8 -> 7 0 0 4 5 4 5 6 7 0 4 , 7 1 2 9 -> 7 0 0 4 5 4 5 6 7 0 6 , 7 1 2 10 -> 7 0 0 4 5 4 5 6 7 0 11 , 7 1 2 12 -> 7 0 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interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 8 is interpreted by / \ | 1 2 | | 0 1 | \ / 9 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 10 is interpreted by / \ | 1 4 | | 0 1 | \ / 11 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 12 is interpreted by / \ | 1 4 | | 0 1 | \ / 13 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 14 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 15 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 16 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 17 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 18 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 19 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 20 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 21 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 22 is interpreted by / \ | 1 3 | | 0 1 | \ / 23 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 24 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 25 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 26 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 27 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 28 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 29 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 30 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 31 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 32 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 33 is interpreted by / \ | 1 2 | | 0 1 | \ / 34 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 35 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 36 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 37 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 38 is interpreted by / \ | 1 3 | | 0 1 | \ / 39 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 40 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 41 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 42 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 43 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 44 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 45 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 46 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 47 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / After renaming modulo { }, it remains to prove termination of the 0-rule system { } The system is trivially terminating.