YES After renaming modulo { 0->0, 1->1, 3->2, 2->3 }, it remains to prove termination of the 80-rule system { 0 0 0 1 2 2 0 1 0 1 0 3 1 3 0 3 3 0 -> 0 0 0 0 1 0 3 3 1 1 3 3 2 0 0 2 1 0 , 0 0 1 0 3 1 0 0 2 0 1 2 0 0 0 2 2 1 -> 0 0 0 2 0 1 0 2 0 0 0 0 1 2 3 1 2 1 , 0 0 3 0 3 0 0 3 1 3 3 1 1 1 0 3 2 3 -> 0 1 0 3 3 1 0 0 0 0 3 3 3 3 1 2 1 3 , 0 0 3 0 2 0 0 3 0 0 1 0 3 3 1 3 3 0 -> 0 0 2 1 3 3 3 3 0 0 0 3 0 1 0 0 3 0 , 0 0 2 2 2 0 3 2 1 0 1 2 2 0 0 0 1 0 -> 0 1 0 1 0 2 2 2 0 0 0 2 0 2 1 3 2 0 , 0 1 3 2 3 0 3 2 1 0 0 2 1 1 1 1 1 3 -> 0 3 0 1 2 3 1 0 2 0 1 3 1 1 2 1 1 3 , 0 1 2 0 1 3 0 0 3 2 1 2 1 3 2 1 0 3 -> 0 2 0 1 0 0 2 3 2 1 3 1 1 1 2 0 3 3 , 0 3 0 0 3 2 2 2 1 0 1 2 1 2 3 0 3 2 -> 0 3 1 2 0 3 2 0 2 2 1 2 3 2 3 0 0 1 , 0 3 0 1 0 2 1 0 1 1 0 1 3 1 3 0 3 0 -> 0 1 0 0 3 1 1 0 1 1 2 3 3 1 0 0 3 0 , 0 3 1 0 1 2 0 2 3 0 2 1 0 1 0 2 0 2 -> 0 2 0 0 0 0 1 1 2 3 0 1 2 3 1 2 0 2 , 0 3 3 2 2 2 0 1 2 0 3 1 3 1 2 0 3 2 -> 0 3 2 3 0 2 3 1 1 2 2 0 2 3 0 1 3 2 , 0 3 2 1 0 0 2 1 0 3 1 3 0 2 2 0 3 2 -> 0 3 0 0 0 1 1 2 2 0 2 3 2 3 0 1 3 2 , 0 3 2 2 0 2 0 0 0 0 3 2 2 0 1 2 0 0 -> 0 0 2 0 2 2 0 2 3 3 0 0 2 0 1 2 0 0 , 0 3 2 2 2 3 3 2 0 1 0 3 0 2 0 0 0 2 -> 0 2 2 3 3 3 0 0 2 2 0 0 1 0 2 3 0 2 , 0 2 0 0 3 0 3 1 1 2 2 2 1 0 1 0 0 2 -> 0 0 0 1 1 0 1 3 2 0 2 2 3 0 2 1 0 2 , 0 2 1 1 3 3 2 0 0 3 1 2 2 2 3 3 2 3 -> 0 2 0 1 2 3 1 2 0 2 3 3 2 3 3 1 2 3 , 0 2 3 3 0 0 0 0 1 0 1 2 2 2 0 0 0 2 -> 0 2 1 3 0 0 0 0 3 0 2 0 1 0 2 2 0 2 , 1 0 0 0 3 3 2 2 1 3 0 3 3 2 1 3 1 3 -> 3 0 2 0 2 3 3 3 3 1 0 1 3 1 2 1 0 3 , 1 0 0 3 0 0 3 1 1 3 2 2 1 3 3 0 1 1 -> 3 3 0 0 0 0 2 3 1 2 1 3 1 3 1 0 1 1 , 1 0 0 3 1 0 0 2 0 0 0 1 2 2 2 1 0 2 -> 1 0 1 0 0 0 1 2 1 0 3 2 0 2 0 2 0 2 , 1 0 1 2 1 0 1 2 2 1 1 0 1 1 0 3 2 2 -> 1 2 3 0 1 2 1 1 1 2 0 0 1 1 0 1 2 2 , 1 0 3 0 1 1 3 2 0 0 3 0 3 1 0 1 0 2 -> 3 3 1 0 0 0 2 1 1 1 3 1 3 0 0 0 0 2 , 1 0 3 3 2 1 0 2 1 0 3 2 1 3 2 0 3 2 -> 1 2 3 0 2 3 1 3 0 0 2 2 1 3 1 0 3 2 , 1 0 2 1 0 1 1 0 1 1 0 0 3 0 3 0 1 3 -> 1 1 3 2 0 1 3 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 3 , 1 1 1 3 0 0 3 1 3 1 3 3 3 1 3 2 1 0 -> 1 1 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2 2 1 2 2 3 0 2 0 0 1 3 1 2 3 3 , 3 1 0 1 3 2 0 3 3 2 0 1 1 0 0 3 1 3 -> 3 3 0 0 0 1 0 2 0 3 1 2 3 3 1 3 1 1 , 3 1 0 2 2 1 0 3 1 3 0 3 1 1 2 1 0 3 -> 1 1 2 0 0 0 0 3 2 1 1 3 3 1 2 3 1 3 , 3 1 1 0 3 3 3 1 3 2 1 0 3 1 2 1 1 3 -> 3 1 1 3 3 0 1 2 3 3 3 1 1 2 3 0 1 1 , 3 1 1 3 0 3 1 0 0 3 1 3 2 2 1 0 0 2 -> 3 3 3 1 2 3 0 0 3 0 1 0 1 1 2 1 0 2 , 3 1 1 3 1 1 2 1 2 0 3 0 0 2 3 3 3 1 -> 3 1 2 1 0 1 1 2 0 0 1 3 2 3 3 3 3 1 , 3 1 1 3 3 1 2 0 0 0 2 2 2 3 0 3 0 2 -> 3 0 2 2 3 0 2 3 0 1 1 0 1 3 2 3 0 2 , 3 1 3 1 1 1 2 2 1 1 2 2 2 1 3 0 3 3 -> 3 2 3 3 1 2 1 2 2 3 1 1 1 2 1 1 0 3 , 3 1 3 2 3 0 1 3 2 0 3 3 0 3 0 1 0 3 -> 3 3 1 3 3 3 0 3 0 1 0 2 0 2 0 1 3 3 , 3 1 2 3 0 3 1 1 3 2 3 0 3 2 1 0 3 1 -> 3 1 2 2 0 1 3 0 0 1 3 3 3 3 2 3 1 1 , 3 1 2 2 3 2 1 3 2 1 3 0 1 3 3 1 1 1 -> 3 3 1 2 0 2 1 2 2 3 3 3 1 1 1 1 3 1 , 3 3 0 3 3 1 3 0 3 2 2 3 1 3 0 3 1 2 -> 3 3 2 0 2 0 1 3 3 3 3 1 3 3 1 0 3 2 , 3 3 0 3 2 0 3 3 0 3 0 1 1 3 3 1 1 3 -> 3 3 3 0 3 1 3 0 0 2 3 1 1 1 0 3 3 3 , 3 3 1 0 3 2 0 3 0 3 0 1 0 3 0 3 3 3 -> 3 3 3 3 0 0 0 1 1 2 3 3 0 3 0 0 3 3 , 3 3 1 1 1 0 3 2 3 3 2 2 2 0 1 1 2 2 -> 3 1 1 2 3 2 0 3 1 0 3 1 2 2 3 1 2 2 , 3 3 1 1 1 1 2 0 3 2 3 1 3 2 2 2 3 2 -> 3 3 3 3 2 1 1 1 3 1 1 2 0 2 2 3 2 2 , 3 3 3 3 2 1 0 3 0 3 0 3 0 1 3 3 1 3 -> 3 3 0 3 3 1 3 0 0 3 3 0 2 3 1 1 3 3 , 3 3 3 3 2 2 1 1 3 0 3 1 2 0 1 0 3 2 -> 3 3 0 0 2 1 2 1 2 3 1 3 3 3 1 0 3 2 , 3 3 2 1 0 1 0 3 0 3 3 2 1 1 3 3 3 0 -> 3 3 1 3 0 0 3 1 1 2 0 3 3 1 2 3 3 0 , 3 3 2 3 1 0 2 0 3 2 3 1 3 3 1 1 3 1 -> 3 3 2 0 1 2 0 2 3 3 1 1 3 3 3 3 1 1 , 3 2 0 3 1 3 1 2 1 1 0 1 2 1 3 0 3 1 -> 3 1 1 0 2 0 0 1 2 1 3 3 2 1 3 1 3 1 , 3 2 1 3 0 3 1 3 3 1 1 3 2 0 3 0 3 3 -> 3 3 3 3 2 3 3 3 1 2 3 1 1 0 0 1 0 3 , 3 2 1 2 3 1 3 3 2 2 0 1 0 3 1 3 3 3 -> 3 2 0 0 3 3 1 2 1 3 2 1 2 1 3 3 3 3 , 3 2 3 3 2 2 3 3 0 3 3 2 0 1 3 2 3 0 -> 3 3 2 1 3 3 3 2 3 2 0 2 3 3 3 0 2 0 , 3 2 2 1 3 1 3 1 2 1 0 3 0 3 1 1 1 0 -> 3 2 0 2 1 1 1 3 2 3 1 0 3 1 1 3 1 0 , 2 0 1 0 1 1 1 0 0 1 2 3 2 3 2 0 3 3 -> 2 0 2 2 3 1 0 1 2 1 0 0 1 1 0 3 3 3 , 2 0 1 3 2 2 2 0 0 2 3 2 3 2 1 3 1 0 -> 2 2 1 1 3 3 0 0 2 2 3 0 2 2 3 1 2 0 , 2 0 3 0 3 1 2 2 3 0 0 3 0 3 2 3 3 0 -> 2 0 3 0 3 2 2 0 3 2 3 0 0 1 3 3 3 0 , 2 0 3 2 2 0 0 2 0 3 1 1 0 2 1 3 2 3 -> 2 0 2 2 0 3 1 2 0 1 3 0 2 3 0 1 2 3 , 2 0 2 0 3 2 0 0 3 1 2 3 2 2 0 0 3 0 -> 2 0 0 2 0 2 0 0 2 3 0 1 3 2 2 3 3 0 , 2 1 1 2 3 1 2 2 2 2 3 1 2 1 0 1 1 2 -> 2 0 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 3 3 2 , 2 1 3 0 3 1 3 1 2 1 0 3 3 1 3 0 1 3 -> 2 1 1 3 1 0 1 0 1 0 3 3 3 2 3 3 1 3 , 2 3 3 1 2 3 2 2 0 1 1 1 0 3 2 1 3 3 -> 2 3 3 3 1 1 2 2 1 0 1 0 2 3 3 2 1 3 , 2 3 3 2 2 1 1 1 2 3 2 2 0 1 3 0 1 3 -> 2 0 1 2 1 2 3 1 2 0 1 2 3 1 2 3 3 3 , 2 3 2 2 2 0 1 0 2 3 1 3 2 1 3 2 3 0 -> 2 2 3 2 3 0 2 1 1 3 3 2 1 2 3 0 2 0 , 2 2 0 0 2 1 0 2 3 2 2 2 1 1 0 1 2 1 -> 2 2 0 1 1 3 2 2 0 2 2 1 0 2 0 1 2 1 , 2 2 1 0 1 1 0 3 2 1 2 2 1 0 0 3 3 1 -> 2 1 2 3 1 0 2 0 1 1 2 0 1 2 3 0 3 1 , 2 2 1 0 1 2 2 0 0 2 2 1 3 2 0 3 2 2 -> 2 2 0 2 3 0 2 2 3 0 1 1 0 2 2 1 2 2 , 2 2 1 0 2 1 2 1 2 1 3 1 3 1 3 2 3 2 -> 2 2 1 3 2 2 1 1 1 1 2 3 3 2 3 0 1 2 , 2 2 3 2 0 0 0 1 2 2 2 3 3 0 3 3 2 2 -> 2 2 0 1 2 3 2 3 3 3 2 0 2 0 0 3 2 2 , 2 2 2 0 0 1 2 0 2 0 0 3 3 2 1 1 2 2 -> 2 2 0 2 1 2 2 3 0 2 0 1 0 3 0 1 2 2 , 2 2 2 1 0 2 1 2 2 2 1 1 0 1 2 0 1 0 -> 2 2 1 0 0 1 1 2 0 2 1 1 2 2 2 1 2 0 , 2 2 2 2 1 0 1 3 3 3 2 2 1 0 0 3 0 0 -> 2 2 0 2 3 2 3 3 1 1 0 1 2 2 3 0 0 0 } The system was reversed. After renaming modulo { 0->0, 3->1, 1->2, 2->3 }, it remains to prove termination of the 80-rule system { 0 1 1 0 1 2 1 0 2 0 2 0 3 3 2 0 0 0 -> 0 2 3 0 0 3 1 1 2 2 1 1 0 2 0 0 0 0 , 2 3 3 0 0 0 3 2 0 3 0 0 2 1 0 2 0 0 -> 2 3 2 1 3 2 0 0 0 0 3 0 2 0 3 0 0 0 , 1 3 1 0 2 2 2 1 1 2 1 0 0 1 0 1 0 0 -> 1 2 3 2 1 1 1 1 0 0 0 0 2 1 1 0 2 0 , 0 1 1 2 1 1 0 2 0 0 1 0 0 3 0 1 0 0 -> 0 1 0 0 2 0 1 0 0 0 1 1 1 1 2 3 0 0 , 0 2 0 0 0 3 3 2 0 2 3 1 0 3 3 3 0 0 -> 0 3 1 2 3 0 3 0 0 0 3 3 3 0 2 0 2 0 , 1 2 2 2 2 2 3 0 0 2 3 1 0 1 3 1 2 0 -> 1 2 2 3 2 2 1 2 0 3 0 2 1 3 2 0 1 0 , 1 0 2 3 1 2 3 2 3 1 0 0 1 2 0 3 2 0 -> 1 1 0 3 2 2 2 1 2 3 1 3 0 0 2 0 3 0 , 3 1 0 1 3 2 3 2 0 2 3 3 3 1 0 0 1 0 -> 2 0 0 1 3 1 3 2 3 3 0 3 1 0 3 2 1 0 , 0 1 0 1 2 1 2 0 2 2 0 2 3 0 2 0 1 0 -> 0 1 0 0 2 1 1 3 2 2 0 2 2 1 0 0 2 0 , 3 0 3 0 2 0 2 3 0 1 3 0 3 2 0 2 1 0 -> 3 0 3 2 1 3 2 0 1 3 2 2 0 0 0 0 3 0 , 3 1 0 3 2 1 2 1 0 3 2 0 3 3 3 1 1 0 -> 3 1 2 0 1 3 0 3 3 2 2 1 3 0 1 3 1 0 , 3 1 0 3 3 0 1 2 1 0 2 3 0 0 2 3 1 0 -> 3 1 2 0 1 3 1 3 0 3 3 2 2 0 0 0 1 0 , 0 0 3 2 0 3 3 1 0 0 0 0 3 0 3 3 1 0 -> 0 0 3 2 0 3 0 0 1 1 3 0 3 3 0 3 0 0 , 3 0 0 0 3 0 1 0 2 0 3 1 1 3 3 3 1 0 -> 3 0 1 3 0 2 0 0 3 3 0 0 1 1 1 3 3 0 , 3 0 0 2 0 2 3 3 3 2 2 1 0 1 0 0 3 0 -> 3 0 2 3 0 1 3 3 0 3 1 2 0 2 2 0 0 0 , 1 3 1 1 3 3 3 2 1 0 0 3 1 1 2 2 3 0 -> 1 3 2 1 1 3 1 1 3 0 3 2 1 3 2 0 3 0 , 3 0 0 0 3 3 3 2 0 2 0 0 0 0 1 1 3 0 -> 3 0 3 3 0 2 0 3 0 1 0 0 0 0 1 2 3 0 , 1 2 1 2 3 1 1 0 1 2 3 3 1 1 0 0 0 2 -> 1 0 2 3 2 1 2 0 2 1 1 1 1 3 0 3 0 1 , 2 2 0 1 1 2 3 3 1 2 2 1 0 0 1 0 0 2 -> 2 2 0 2 1 2 1 2 3 2 1 3 0 0 0 0 1 1 , 3 0 2 3 3 3 2 0 0 0 3 0 0 2 1 0 0 2 -> 3 0 3 0 3 0 3 1 0 2 3 2 0 0 0 2 0 2 , 3 3 1 0 2 2 0 2 2 3 3 2 0 2 3 2 0 2 -> 3 3 2 0 2 2 0 0 3 2 2 2 3 2 0 1 3 2 , 3 0 2 0 2 1 0 1 0 0 3 1 2 2 0 1 0 2 -> 3 0 0 0 0 1 2 1 2 2 2 3 0 0 0 2 1 1 , 3 1 0 3 1 2 3 1 0 2 3 0 2 3 1 1 0 2 -> 3 1 0 2 1 2 3 3 0 0 1 2 1 3 0 1 3 2 , 1 2 0 1 0 1 0 0 2 2 0 2 2 0 2 3 0 2 -> 1 2 2 0 0 0 0 2 0 2 0 1 2 0 3 1 2 2 , 0 2 3 1 2 1 1 1 2 1 2 1 0 0 1 2 2 2 -> 0 2 1 1 3 2 0 1 0 2 2 1 1 1 1 2 2 2 , 2 0 3 3 3 2 1 0 0 3 3 3 3 2 3 1 2 2 -> 3 2 3 0 1 3 3 2 3 3 0 1 3 0 3 2 2 2 , 2 2 1 0 2 1 0 2 2 1 2 2 0 3 3 1 2 2 -> 2 1 1 0 1 3 2 2 0 2 3 2 2 1 2 0 2 2 , 2 0 1 0 0 1 2 2 3 0 3 2 3 1 2 3 2 2 -> 2 0 1 0 0 3 0 1 3 1 3 2 2 3 2 2 2 2 , 0 0 1 0 1 2 1 2 3 1 0 1 2 2 1 0 1 2 -> 0 0 1 1 1 1 2 3 2 2 0 1 1 2 0 2 1 0 , 1 1 1 2 2 2 3 3 3 1 0 1 2 2 3 0 1 2 -> 1 1 1 1 3 2 3 1 2 3 2 1 2 2 0 3 0 2 , 0 0 2 2 0 3 1 3 0 0 3 1 1 2 0 1 1 2 -> 0 0 0 1 1 3 1 3 2 2 3 2 1 1 2 0 0 0 , 2 1 2 1 3 1 3 2 1 1 1 2 3 2 2 3 1 2 -> 2 2 1 1 1 1 3 2 3 2 2 1 3 2 1 3 1 2 , 0 1 2 0 2 3 1 1 0 3 1 0 3 1 0 1 3 2 -> 0 1 2 2 3 0 1 3 1 3 1 1 0 0 0 1 3 2 , 1 3 1 2 0 1 1 0 1 3 3 3 3 2 0 0 0 1 -> 1 3 3 1 3 0 0 0 0 0 2 2 1 1 3 3 1 1 , 0 1 0 3 1 0 3 0 3 0 1 0 2 1 3 0 0 1 -> 0 1 3 3 0 3 0 0 0 0 1 0 1 0 2 1 3 1 , 1 2 2 1 1 2 2 3 3 1 3 1 3 0 0 1 0 1 -> 1 0 3 0 3 2 3 1 2 2 1 0 3 2 1 1 1 1 , 0 0 1 0 3 3 1 2 1 2 0 3 1 2 0 1 0 1 -> 0 0 2 1 1 1 1 0 0 2 0 0 3 3 2 3 1 1 , 1 1 3 3 3 2 3 1 2 3 1 3 0 0 2 1 0 1 -> 1 1 3 2 1 2 0 0 3 0 1 3 3 2 3 3 1 1 , 1 2 1 0 0 2 2 0 3 1 1 0 3 1 2 0 2 1 -> 2 2 1 2 1 1 3 2 1 0 3 0 2 0 0 0 1 1 , 1 0 2 3 2 2 1 0 1 2 1 0 2 3 3 0 2 1 -> 1 2 1 3 2 1 1 2 2 3 1 0 0 0 0 3 2 2 , 1 2 2 3 2 1 0 2 3 1 2 1 1 1 0 2 2 1 -> 2 2 0 1 3 2 2 1 1 1 3 2 0 1 1 2 2 1 , 3 0 0 2 3 3 1 2 1 0 0 2 1 0 1 2 2 1 -> 3 0 2 3 2 2 0 2 0 1 0 0 1 3 2 1 1 1 , 2 1 1 1 3 0 0 1 0 3 2 3 2 2 1 2 2 1 -> 2 1 1 1 1 3 1 2 0 0 3 2 2 0 2 3 2 1 , 3 0 1 0 1 3 3 3 0 0 0 3 2 1 1 2 2 1 -> 3 0 1 3 1 2 0 2 2 0 1 3 0 1 3 3 0 1 , 1 1 0 1 2 3 3 3 2 2 3 3 2 2 2 1 2 1 -> 1 0 2 2 3 2 2 2 1 3 3 2 3 2 1 1 3 1 , 1 0 2 0 1 0 1 1 0 3 1 2 0 1 3 1 2 1 -> 1 1 2 0 3 0 3 0 2 0 1 0 1 1 1 2 1 1 , 2 1 0 2 3 1 0 1 3 1 2 2 1 0 1 3 2 1 -> 2 2 1 3 1 1 1 1 2 0 0 1 2 0 3 3 2 1 , 2 2 2 1 1 2 0 1 2 3 1 2 3 1 3 3 2 1 -> 2 1 2 2 2 2 1 1 1 3 3 2 3 0 3 2 1 1 , 3 2 1 0 1 2 1 3 3 1 0 1 2 1 1 0 1 1 -> 3 1 0 2 1 1 2 1 1 1 1 2 0 3 0 3 1 1 , 1 2 2 1 1 2 2 0 1 0 1 1 0 3 1 0 1 1 -> 1 1 1 0 2 2 2 1 3 0 0 1 2 1 0 1 1 1 , 1 1 1 0 1 0 2 0 1 0 1 0 3 1 0 2 1 1 -> 1 1 0 0 1 0 1 1 3 2 2 0 0 0 1 1 1 1 , 3 3 2 2 0 3 3 3 1 1 3 1 0 2 2 2 1 1 -> 3 3 2 1 3 3 2 1 0 2 1 0 3 1 3 2 2 1 , 3 1 3 3 3 1 2 1 3 1 0 3 2 2 2 2 1 1 -> 3 3 1 3 3 0 3 2 2 1 2 2 2 3 1 1 1 1 , 1 2 1 1 2 0 1 0 1 0 1 0 2 3 1 1 1 1 -> 1 1 2 2 1 3 0 1 1 0 0 1 2 1 1 0 1 1 , 3 1 0 2 0 3 2 1 0 1 2 2 3 3 1 1 1 1 -> 3 1 0 2 1 1 1 2 1 3 2 3 2 3 0 0 1 1 , 0 1 1 1 2 2 3 1 1 0 1 0 2 0 2 3 1 1 -> 0 1 1 3 2 1 1 0 3 2 2 1 0 0 1 2 1 1 , 2 1 2 2 1 1 2 1 3 1 0 3 0 2 1 3 1 1 -> 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 3 0 3 2 0 3 1 1 , 2 1 0 1 2 3 2 0 2 2 3 2 1 2 1 0 3 1 -> 2 1 2 1 2 3 1 1 2 3 2 0 0 3 0 2 2 1 , 1 1 0 1 0 3 1 2 2 1 1 2 1 0 1 2 3 1 -> 1 0 2 0 0 2 2 1 3 2 1 1 1 3 1 1 1 1 , 1 1 1 2 1 0 2 0 3 3 1 1 2 1 3 2 3 1 -> 1 1 1 1 2 3 2 3 1 2 3 2 1 1 0 0 3 1 , 0 1 3 1 2 0 3 1 1 0 1 1 3 3 1 1 3 1 -> 0 3 0 1 1 1 3 0 3 1 3 1 1 1 2 3 1 1 , 0 2 2 2 1 0 1 0 2 3 2 1 2 1 2 3 3 1 -> 0 2 1 2 2 1 0 2 1 3 1 2 2 2 3 0 3 1 , 1 1 0 3 1 3 1 3 2 0 0 2 2 2 0 2 0 3 -> 1 1 1 0 2 2 0 0 2 3 2 0 2 1 3 3 0 3 , 0 2 1 2 3 1 3 1 3 0 0 3 3 3 1 2 0 3 -> 0 3 2 1 3 3 0 1 3 3 0 0 1 1 2 2 3 3 , 0 1 1 3 1 0 1 0 0 1 3 3 2 1 0 1 0 3 -> 0 1 1 1 2 0 0 1 3 1 0 3 3 1 0 1 0 3 , 1 3 1 2 3 0 2 2 1 0 3 0 0 3 3 1 0 3 -> 1 3 2 0 1 3 0 1 2 0 3 2 1 0 3 3 0 3 , 0 1 0 0 3 3 1 3 2 1 0 0 3 1 0 3 0 3 -> 0 1 1 3 3 1 2 0 1 3 0 0 3 0 3 0 0 3 , 3 2 2 0 2 3 2 1 3 3 3 3 2 1 3 2 2 3 -> 3 1 1 3 2 2 2 3 2 3 2 3 2 2 3 3 0 3 , 1 2 0 1 2 1 1 0 2 3 2 1 2 1 0 1 2 3 -> 1 2 1 1 3 1 1 1 0 2 0 2 0 2 1 2 2 3 , 1 1 2 3 1 0 2 2 2 0 3 3 1 3 2 1 1 3 -> 1 2 3 1 1 3 0 2 0 2 3 3 2 2 1 1 1 3 , 1 2 0 1 2 0 3 3 1 3 2 2 2 3 3 1 1 3 -> 1 1 1 3 2 1 3 2 0 3 2 1 3 2 3 2 0 3 , 0 1 3 1 2 3 1 2 1 3 0 2 0 3 3 3 1 3 -> 0 3 0 1 3 2 3 1 1 2 2 3 0 1 3 1 3 3 , 2 3 2 0 2 2 3 3 3 1 3 0 2 3 0 0 3 3 -> 2 3 2 0 3 0 2 3 3 0 3 3 1 2 2 0 3 3 , 2 1 1 0 0 2 3 3 2 3 1 0 2 2 0 2 3 3 -> 2 1 0 1 3 2 0 3 2 2 0 3 0 2 1 3 2 3 , 3 3 1 0 3 1 2 3 3 0 0 3 3 2 0 2 3 3 -> 3 3 2 3 3 0 2 2 0 1 3 3 0 1 3 0 3 3 , 3 1 3 1 2 1 2 1 2 3 2 3 2 3 0 2 3 3 -> 3 2 0 1 3 1 1 3 2 2 2 2 3 3 1 2 3 3 , 3 3 1 1 0 1 1 3 3 3 2 0 0 0 3 1 3 3 -> 3 3 1 0 0 3 0 3 1 1 1 3 1 3 2 0 3 3 , 3 3 2 2 3 1 1 0 0 3 0 3 2 0 0 3 3 3 -> 3 3 2 0 1 0 2 0 3 0 1 3 3 2 3 0 3 3 , 0 2 0 3 2 0 2 2 3 3 3 2 3 0 2 3 3 3 -> 0 3 2 3 3 3 2 2 3 0 3 2 2 0 0 2 3 3 , 0 0 1 0 0 2 3 3 1 1 1 2 0 2 3 3 3 3 -> 0 0 0 1 3 3 2 0 2 2 1 1 3 1 3 0 3 3 } Applying sparse 2-tiling [Hofbauer/Geser/Waldmann, FSCD 2019]. After renaming modulo { (0,0)->0, (0,1)->1, (1,1)->2, (1,0)->3, (1,2)->4, (2,1)->5, (0,2)->6, (2,0)->7, (0,3)->8, (3,3)->9, (3,2)->10, (2,3)->11, (3,0)->12, (3,1)->13, (2,2)->14, (0,5)->15, (4,0)->16, (1,3)->17, (4,2)->18, (4,1)->19, (4,3)->20, (2,5)->21, (1,5)->22, (3,5)->23 }, it remains to prove termination of the 2000-rule system { 0 1 2 3 1 4 5 3 6 7 6 7 8 9 10 7 0 0 0 -> 0 6 11 12 0 8 13 2 4 14 5 2 3 6 7 0 0 0 0 , 0 1 2 3 1 4 5 3 6 7 6 7 8 9 10 7 0 0 1 -> 0 6 11 12 0 8 13 2 4 14 5 2 3 6 7 0 0 0 1 , 0 1 2 3 1 4 5 3 6 7 6 7 8 9 10 7 0 0 6 -> 0 6 11 12 0 8 13 2 4 14 5 2 3 6 7 0 0 0 6 , 0 1 2 3 1 4 5 3 6 7 6 7 8 9 10 7 0 0 8 -> 0 6 11 12 0 8 13 2 4 14 5 2 3 6 7 0 0 0 8 , 0 1 2 3 1 4 5 3 6 7 6 7 8 9 10 7 0 0 15 -> 0 6 11 12 0 8 13 2 4 14 5 2 3 6 7 0 0 0 15 , 3 1 2 3 1 4 5 3 6 7 6 7 8 9 10 7 0 0 0 -> 3 6 11 12 0 8 13 2 4 14 5 2 3 6 7 0 0 0 0 , 3 1 2 3 1 4 5 3 6 7 6 7 8 9 10 7 0 0 1 -> 3 6 11 12 0 8 13 2 4 14 5 2 3 6 7 0 0 0 1 , 3 1 2 3 1 4 5 3 6 7 6 7 8 9 10 7 0 0 6 -> 3 6 11 12 0 8 13 2 4 14 5 2 3 6 7 0 0 0 6 , 3 1 2 3 1 4 5 3 6 7 6 7 8 9 10 7 0 0 8 -> 3 6 11 12 0 8 13 2 4 14 5 2 3 6 7 0 0 0 8 , 3 1 2 3 1 4 5 3 6 7 6 7 8 9 10 7 0 0 15 -> 3 6 11 12 0 8 13 2 4 14 5 2 3 6 7 0 0 0 15 , 7 1 2 3 1 4 5 3 6 7 6 7 8 9 10 7 0 0 0 -> 7 6 11 12 0 8 13 2 4 14 5 2 3 6 7 0 0 0 0 , 7 1 2 3 1 4 5 3 6 7 6 7 8 9 10 7 0 0 1 -> 7 6 11 12 0 8 13 2 4 14 5 2 3 6 7 0 0 0 1 , 7 1 2 3 1 4 5 3 6 7 6 7 8 9 10 7 0 0 6 -> 7 6 11 12 0 8 13 2 4 14 5 2 3 6 7 0 0 0 6 , 7 1 2 3 1 4 5 3 6 7 6 7 8 9 10 7 0 0 8 -> 7 6 11 12 0 8 13 2 4 14 5 2 3 6 7 0 0 0 8 , 7 1 2 3 1 4 5 3 6 7 6 7 8 9 10 7 0 0 15 -> 7 6 11 12 0 8 13 2 4 14 5 2 3 6 7 0 0 0 15 , 12 1 2 3 1 4 5 3 6 7 6 7 8 9 10 7 0 0 0 -> 12 6 11 12 0 8 13 2 4 14 5 2 3 6 7 0 0 0 0 , 12 1 2 3 1 4 5 3 6 7 6 7 8 9 10 7 0 0 1 -> 12 6 11 12 0 8 13 2 4 14 5 2 3 6 7 0 0 0 1 , 12 1 2 3 1 4 5 3 6 7 6 7 8 9 10 7 0 0 6 -> 12 6 11 12 0 8 13 2 4 14 5 2 3 6 7 0 0 0 6 , 12 1 2 3 1 4 5 3 6 7 6 7 8 9 10 7 0 0 8 -> 12 6 11 12 0 8 13 2 4 14 5 2 3 6 7 0 0 0 8 , 12 1 2 3 1 4 5 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17 9 10 7 6 14 5 2 17 13 17 12 8 9 12 , 0 0 1 3 0 6 11 9 13 2 2 4 7 6 11 9 9 9 13 -> 0 0 0 1 17 9 10 7 6 14 5 2 17 13 17 12 8 9 13 , 0 0 1 3 0 6 11 9 13 2 2 4 7 6 11 9 9 9 10 -> 0 0 0 1 17 9 10 7 6 14 5 2 17 13 17 12 8 9 10 , 0 0 1 3 0 6 11 9 13 2 2 4 7 6 11 9 9 9 9 -> 0 0 0 1 17 9 10 7 6 14 5 2 17 13 17 12 8 9 9 , 0 0 1 3 0 6 11 9 13 2 2 4 7 6 11 9 9 9 23 -> 0 0 0 1 17 9 10 7 6 14 5 2 17 13 17 12 8 9 23 , 3 0 1 3 0 6 11 9 13 2 2 4 7 6 11 9 9 9 12 -> 3 0 0 1 17 9 10 7 6 14 5 2 17 13 17 12 8 9 12 , 3 0 1 3 0 6 11 9 13 2 2 4 7 6 11 9 9 9 13 -> 3 0 0 1 17 9 10 7 6 14 5 2 17 13 17 12 8 9 13 , 3 0 1 3 0 6 11 9 13 2 2 4 7 6 11 9 9 9 10 -> 3 0 0 1 17 9 10 7 6 14 5 2 17 13 17 12 8 9 10 , 3 0 1 3 0 6 11 9 13 2 2 4 7 6 11 9 9 9 9 -> 3 0 0 1 17 9 10 7 6 14 5 2 17 13 17 12 8 9 9 , 3 0 1 3 0 6 11 9 13 2 2 4 7 6 11 9 9 9 23 -> 3 0 0 1 17 9 10 7 6 14 5 2 17 13 17 12 8 9 23 , 7 0 1 3 0 6 11 9 13 2 2 4 7 6 11 9 9 9 12 -> 7 0 0 1 17 9 10 7 6 14 5 2 17 13 17 12 8 9 12 , 7 0 1 3 0 6 11 9 13 2 2 4 7 6 11 9 9 9 13 -> 7 0 0 1 17 9 10 7 6 14 5 2 17 13 17 12 8 9 13 , 7 0 1 3 0 6 11 9 13 2 2 4 7 6 11 9 9 9 10 -> 7 0 0 1 17 9 10 7 6 14 5 2 17 13 17 12 8 9 10 , 7 0 1 3 0 6 11 9 13 2 2 4 7 6 11 9 9 9 9 -> 7 0 0 1 17 9 10 7 6 14 5 2 17 13 17 12 8 9 9 , 7 0 1 3 0 6 11 9 13 2 2 4 7 6 11 9 9 9 23 -> 7 0 0 1 17 9 10 7 6 14 5 2 17 13 17 12 8 9 23 , 12 0 1 3 0 6 11 9 13 2 2 4 7 6 11 9 9 9 12 -> 12 0 0 1 17 9 10 7 6 14 5 2 17 13 17 12 8 9 12 , 12 0 1 3 0 6 11 9 13 2 2 4 7 6 11 9 9 9 13 -> 12 0 0 1 17 9 10 7 6 14 5 2 17 13 17 12 8 9 13 , 12 0 1 3 0 6 11 9 13 2 2 4 7 6 11 9 9 9 10 -> 12 0 0 1 17 9 10 7 6 14 5 2 17 13 17 12 8 9 10 , 12 0 1 3 0 6 11 9 13 2 2 4 7 6 11 9 9 9 9 -> 12 0 0 1 17 9 10 7 6 14 5 2 17 13 17 12 8 9 9 , 12 0 1 3 0 6 11 9 13 2 2 4 7 6 11 9 9 9 23 -> 12 0 0 1 17 9 10 7 6 14 5 2 17 13 17 12 8 9 23 , 16 0 1 3 0 6 11 9 13 2 2 4 7 6 11 9 9 9 12 -> 16 0 0 1 17 9 10 7 6 14 5 2 17 13 17 12 8 9 12 , 16 0 1 3 0 6 11 9 13 2 2 4 7 6 11 9 9 9 13 -> 16 0 0 1 17 9 10 7 6 14 5 2 17 13 17 12 8 9 13 , 16 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0 1 | \ / 14 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 15 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 16 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 17 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 18 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 19 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 20 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 21 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 22 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 23 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / After renaming modulo { 0->0, 1->1, 2->2, 3->3, 4->4, 5->5, 6->6, 7->7, 8->8, 9->9, 10->10, 11->11, 12->12, 13->13, 14->14, 15->15, 16->16, 17->17, 18->18, 19->19, 20->20, 21->21, 22->22, 23->23 }, it remains to prove termination of the 1990-rule system { 0 1 2 3 1 4 5 3 6 7 6 7 8 9 10 7 0 0 0 -> 0 6 11 12 0 8 13 2 4 14 5 2 3 6 7 0 0 0 0 , 0 1 2 3 1 4 5 3 6 7 6 7 8 9 10 7 0 0 1 -> 0 6 11 12 0 8 13 2 4 14 5 2 3 6 7 0 0 0 1 , 0 1 2 3 1 4 5 3 6 7 6 7 8 9 10 7 0 0 6 -> 0 6 11 12 0 8 13 2 4 14 5 2 3 6 7 0 0 0 6 , 0 1 2 3 1 4 5 3 6 7 6 7 8 9 10 7 0 0 8 -> 0 6 11 12 0 8 13 2 4 14 5 2 3 6 7 0 0 0 8 , 0 1 2 3 1 4 5 3 6 7 6 7 8 9 10 7 0 0 15 -> 0 6 11 12 0 8 13 2 4 14 5 2 3 6 7 0 0 0 15 , 3 1 2 3 1 4 5 3 6 7 6 7 8 9 10 7 0 0 0 -> 3 6 11 12 0 8 13 2 4 14 5 2 3 6 7 0 0 0 0 , 3 1 2 3 1 4 5 3 6 7 6 7 8 9 10 7 0 0 1 -> 3 6 11 12 0 8 13 2 4 14 5 2 3 6 7 0 0 0 1 , 3 1 2 3 1 4 5 3 6 7 6 7 8 9 10 7 0 0 6 -> 3 6 11 12 0 8 13 2 4 14 5 2 3 6 7 0 0 0 6 , 3 1 2 3 1 4 5 3 6 7 6 7 8 9 10 7 0 0 8 -> 3 6 11 12 0 8 13 2 4 14 5 2 3 6 7 0 0 0 8 , 3 1 2 3 1 4 5 3 6 7 6 7 8 9 10 7 0 0 15 -> 3 6 11 12 0 8 13 2 4 14 5 2 3 6 7 0 0 0 15 , 7 1 2 3 1 4 5 3 6 7 6 7 8 9 10 7 0 0 0 -> 7 6 11 12 0 8 13 2 4 14 5 2 3 6 7 0 0 0 0 , 7 1 2 3 1 4 5 3 6 7 6 7 8 9 10 7 0 0 1 -> 7 6 11 12 0 8 13 2 4 14 5 2 3 6 7 0 0 0 1 , 7 1 2 3 1 4 5 3 6 7 6 7 8 9 10 7 0 0 6 -> 7 6 11 12 0 8 13 2 4 14 5 2 3 6 7 0 0 0 6 , 7 1 2 3 1 4 5 3 6 7 6 7 8 9 10 7 0 0 8 -> 7 6 11 12 0 8 13 2 4 14 5 2 3 6 7 0 0 0 8 , 7 1 2 3 1 4 5 3 6 7 6 7 8 9 10 7 0 0 15 -> 7 6 11 12 0 8 13 2 4 14 5 2 3 6 7 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is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 5 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 6 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 7 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 8 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 9 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 10 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 11 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 12 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 13 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 14 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 15 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 16 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 17 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 18 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 19 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 20 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 21 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 22 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 23 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / After renaming modulo { 0->0, 1->1, 2->2, 3->3, 4->4, 5->5, 6->6, 7->7, 8->8, 9->9, 10->10, 11->11, 12->12, 13->13, 14->14, 15->15, 16->16, 17->17, 18->18, 19->19, 20->20, 21->21, 22->22, 23->23 }, it remains to prove termination of the 1980-rule system { 0 1 2 3 1 4 5 3 6 7 6 7 8 9 10 7 0 0 0 -> 0 6 11 12 0 8 13 2 4 14 5 2 3 6 7 0 0 0 0 , 0 1 2 3 1 4 5 3 6 7 6 7 8 9 10 7 0 0 1 -> 0 6 11 12 0 8 13 2 4 14 5 2 3 6 7 0 0 0 1 , 0 1 2 3 1 4 5 3 6 7 6 7 8 9 10 7 0 0 6 -> 0 6 11 12 0 8 13 2 4 14 5 2 3 6 7 0 0 0 6 , 0 1 2 3 1 4 5 3 6 7 6 7 8 9 10 7 0 0 8 -> 0 6 11 12 0 8 13 2 4 14 5 2 3 6 7 0 0 0 8 , 0 1 2 3 1 4 5 3 6 7 6 7 8 9 10 7 0 0 15 -> 0 6 11 12 0 8 13 2 4 14 5 2 3 6 7 0 0 0 15 , 3 1 2 3 1 4 5 3 6 7 6 7 8 9 10 7 0 0 0 -> 3 6 11 12 0 8 13 2 4 14 5 2 3 6 7 0 0 0 0 , 3 1 2 3 1 4 5 3 6 7 6 7 8 9 10 7 0 0 1 -> 3 6 11 12 0 8 13 2 4 14 5 2 3 6 7 0 0 0 1 , 3 1 2 3 1 4 5 3 6 7 6 7 8 9 10 7 0 0 6 -> 3 6 11 12 0 8 13 2 4 14 5 2 3 6 7 0 0 0 6 , 3 1 2 3 1 4 5 3 6 7 6 7 8 9 10 7 0 0 8 -> 3 6 11 12 0 8 13 2 4 14 5 2 3 6 7 0 0 0 8 , 3 1 2 3 1 4 5 3 6 7 6 7 8 9 10 7 0 0 15 -> 3 6 11 12 0 8 13 2 4 14 5 2 3 6 7 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interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 16 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 17 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 18 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 19 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 20 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 21 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 22 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 23 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / After renaming modulo { }, it remains to prove termination of the 0-rule system { } The system is trivially terminating.