YES After renaming modulo { 0->0, 1->1, 3->2, 2->3 }, it remains to prove termination of the 80-rule system { 0 0 0 0 0 1 2 3 0 2 2 3 2 3 3 3 1 1 -> 0 0 2 2 3 0 3 0 3 2 1 0 2 1 3 1 3 0 , 0 0 0 0 3 1 2 3 3 3 2 2 3 0 2 0 0 3 -> 0 2 3 2 1 0 0 3 2 0 3 2 0 0 3 0 3 3 , 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 3 3 1 0 0 1 2 1 -> 0 0 0 1 3 1 2 0 1 0 1 0 3 0 1 1 1 1 , 0 0 1 3 3 2 3 2 1 0 0 1 2 3 1 1 1 0 -> 0 0 1 1 0 1 0 3 2 3 2 1 1 1 2 3 3 0 , 0 0 1 2 2 3 2 3 3 2 0 0 3 2 3 3 2 0 -> 0 1 3 2 2 3 2 3 2 0 3 3 0 3 0 2 2 0 , 0 0 3 2 1 1 3 3 0 1 3 2 1 3 2 3 3 2 -> 2 1 1 3 2 0 3 3 3 1 3 2 0 3 2 0 3 1 , 0 0 2 1 0 3 0 2 3 1 2 2 2 2 3 0 0 1 -> 0 0 3 0 2 0 0 2 2 0 3 1 1 3 2 2 1 2 , 0 0 2 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 3 3 2 3 3 -> 2 2 1 3 1 0 0 1 1 0 1 0 3 0 3 1 0 3 , 0 0 2 1 2 0 0 2 3 3 0 0 2 1 2 2 3 2 -> 0 2 0 0 2 3 0 1 1 2 2 0 0 3 2 2 3 2 , 0 0 2 2 0 2 2 1 3 3 2 2 0 1 0 2 0 1 -> 0 1 0 0 1 2 0 1 2 2 3 0 3 2 2 2 0 2 , 0 1 1 0 2 0 3 2 3 1 1 3 3 0 1 1 2 3 -> 0 1 1 2 0 3 2 3 1 2 0 3 0 3 1 3 1 1 , 0 1 1 1 2 2 2 2 2 0 2 3 0 0 0 0 0 1 -> 0 1 2 1 0 2 1 2 0 2 0 2 0 2 0 3 0 1 , 0 1 3 0 2 2 2 3 0 2 0 0 0 2 0 0 2 2 -> 0 0 3 0 2 3 1 0 0 0 0 2 2 2 0 2 2 2 , 0 1 2 0 1 1 0 2 3 2 0 2 3 0 1 2 3 1 -> 0 1 2 2 0 3 3 1 1 0 1 0 3 2 0 2 2 1 , 0 3 0 2 0 2 2 3 3 0 3 1 1 3 0 2 3 1 -> 0 3 3 0 3 2 0 3 2 2 2 1 0 3 3 1 0 1 , 0 2 0 0 0 2 2 2 1 0 2 0 0 2 1 3 3 1 -> 0 2 1 1 2 0 2 0 0 3 1 0 0 3 2 2 2 0 , 0 2 1 3 3 0 1 3 0 1 2 1 2 0 1 2 1 2 -> 0 1 1 1 3 0 1 0 2 1 3 1 2 0 3 2 2 2 , 1 0 0 0 3 0 3 1 0 3 3 1 1 2 0 0 2 2 -> 1 1 0 3 0 3 3 2 0 1 1 0 0 0 0 3 2 2 , 1 0 0 1 3 3 1 0 1 2 3 0 3 0 2 0 0 0 -> 1 2 0 0 1 0 2 0 3 0 0 3 1 3 3 0 1 0 , 1 0 1 0 1 0 2 2 0 2 1 3 3 1 2 1 2 1 -> 1 0 2 1 0 2 3 2 0 1 2 1 1 0 1 3 2 1 , 1 1 0 0 1 3 1 3 3 0 3 2 3 2 0 3 3 0 -> 1 0 3 0 2 3 1 3 1 0 3 3 2 3 1 0 3 0 , 1 1 0 0 1 2 3 2 3 0 1 3 2 1 1 3 3 1 -> 1 1 3 3 2 1 1 1 3 3 1 2 0 0 3 1 2 0 , 1 1 0 1 0 1 1 3 3 1 1 1 1 2 2 1 2 0 -> 1 1 0 0 1 1 1 2 2 1 3 1 3 1 2 1 1 0 , 1 1 0 3 2 2 0 0 2 0 0 2 2 1 1 2 2 2 -> 1 1 0 3 2 2 2 0 1 0 2 0 1 2 2 0 2 2 , 1 1 1 1 2 3 1 0 0 2 2 0 0 2 3 1 2 2 -> 1 1 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2 2 3 1 2 3 1 1 2 1 2 2 0 3 2 2 , 1 2 2 3 3 0 2 1 2 0 1 3 1 3 0 2 3 1 -> 1 2 3 0 1 0 1 2 3 3 0 3 2 2 2 1 3 1 , 3 0 0 0 3 0 2 3 3 0 2 2 1 2 2 2 1 3 -> 3 2 2 3 2 1 2 3 0 0 2 2 0 1 3 0 0 3 , 3 0 0 1 2 1 0 3 3 3 3 2 3 2 3 3 3 0 -> 2 1 0 3 1 3 3 2 0 3 2 0 3 3 3 3 3 0 , 3 0 1 3 1 2 0 2 2 1 0 3 0 3 3 1 3 3 -> 3 3 3 1 0 3 1 1 0 2 2 3 2 0 1 0 3 3 , 3 0 3 3 1 0 1 0 1 3 3 0 0 2 1 1 1 1 -> 3 1 0 1 1 0 0 1 3 2 3 0 1 1 3 0 3 1 , 3 0 2 2 2 1 1 2 3 2 3 0 0 3 2 3 3 0 -> 3 0 1 0 1 2 3 3 2 3 2 2 2 3 2 0 3 0 , 3 1 0 0 2 3 1 1 3 0 1 1 3 3 3 0 3 1 -> 3 0 1 1 3 1 2 0 3 3 3 1 0 3 3 0 1 1 , 3 1 3 0 0 2 0 2 1 3 0 2 1 1 3 3 1 1 -> 3 2 2 3 2 3 0 3 0 3 0 1 0 1 1 1 1 1 , 3 1 3 3 0 1 3 0 3 1 3 3 2 0 3 3 0 0 -> 3 2 0 1 0 3 1 0 3 0 3 3 3 1 3 3 3 0 , 3 1 2 0 0 0 0 3 3 3 3 1 2 3 3 2 3 3 -> 3 0 3 2 3 1 3 0 3 1 0 3 0 3 2 3 2 3 , 3 3 0 0 0 0 0 0 3 3 1 1 2 0 3 1 1 1 -> 3 1 0 3 2 0 3 1 0 0 0 3 3 1 0 1 0 1 , 3 3 0 0 1 0 0 3 1 2 1 1 0 3 3 3 0 2 -> 3 3 0 0 3 3 0 3 0 1 1 1 1 3 2 0 0 2 , 3 3 0 1 3 2 1 1 3 1 1 3 2 3 0 1 3 2 -> 3 3 1 3 2 1 3 1 2 3 1 0 3 1 2 0 3 1 , 3 3 1 0 0 3 1 1 1 3 0 3 3 3 0 2 3 2 -> 3 3 1 0 3 3 0 1 1 3 3 1 0 3 2 0 3 2 , 3 3 1 3 0 0 0 0 3 3 0 1 3 3 0 0 1 3 -> 3 3 0 3 0 0 0 0 1 3 3 1 3 0 0 3 1 3 , 3 3 3 0 0 2 3 3 2 3 0 0 2 2 0 0 1 1 -> 2 1 3 0 0 0 3 0 3 2 0 1 3 3 2 3 2 0 , 3 3 2 2 1 1 2 0 0 0 1 0 1 3 2 3 0 0 -> 2 0 3 2 0 3 0 1 1 0 3 3 2 1 0 2 1 0 , 3 3 2 2 2 2 3 0 0 2 3 2 3 0 2 0 3 3 -> 3 3 3 2 0 3 2 3 2 2 0 2 0 3 2 0 3 2 , 3 2 1 3 0 1 2 3 1 3 2 3 3 2 3 0 2 2 -> 3 1 3 3 3 2 2 3 2 3 2 0 1 1 3 2 0 2 , 3 2 1 2 1 2 3 0 0 2 1 3 3 0 3 3 3 1 -> 3 1 3 1 1 0 3 2 2 2 2 3 1 0 3 0 3 3 , 3 2 1 2 3 0 0 2 1 1 0 2 2 3 3 0 1 2 -> 3 1 3 2 2 1 1 0 0 3 2 2 1 3 2 2 0 0 , 3 2 3 1 0 2 2 3 0 1 1 2 2 1 0 3 1 0 -> 3 0 3 2 2 1 1 1 1 0 3 1 2 2 3 0 2 0 , 3 2 3 1 2 0 2 3 1 2 1 3 2 2 3 0 0 1 -> 3 0 3 1 3 2 3 2 0 1 1 3 2 1 2 2 0 2 , 3 2 3 3 0 0 1 2 1 1 3 3 0 0 0 1 2 2 -> 3 0 3 1 2 0 0 3 2 2 0 3 0 1 1 2 3 1 , 3 2 3 2 1 0 0 3 1 2 1 3 3 1 2 3 3 3 -> 3 0 3 0 1 1 3 2 1 3 2 2 2 1 3 3 3 3 , 3 2 2 1 1 1 1 2 1 1 1 3 3 0 2 3 3 2 -> 3 1 1 2 3 2 1 3 2 1 1 1 2 0 3 3 1 2 , 2 0 0 0 0 2 3 3 3 0 0 2 2 3 3 2 0 1 -> 2 0 2 0 0 0 1 2 3 0 3 3 3 2 2 0 3 0 , 2 0 0 0 3 3 0 2 3 3 2 2 2 0 0 1 0 2 -> 2 2 0 2 0 3 0 3 2 2 0 0 0 3 2 3 0 1 , 2 0 1 2 0 1 0 0 2 2 3 3 3 2 1 1 1 2 -> 2 0 0 2 3 1 2 0 2 0 3 3 1 1 2 1 1 2 , 2 0 2 0 1 2 3 3 3 2 0 0 0 2 1 2 1 1 -> 2 0 1 1 2 2 0 3 0 3 0 2 2 1 3 1 2 0 , 2 0 2 0 2 3 0 2 1 1 2 0 2 2 2 2 1 2 -> 2 0 2 2 2 0 2 3 1 2 0 1 2 2 0 2 1 2 , 2 1 1 2 2 3 3 1 3 3 3 1 2 3 3 2 3 3 -> 2 3 2 2 3 1 1 3 1 3 2 3 1 2 3 3 3 3 , 2 1 1 2 2 3 3 3 1 1 1 0 0 2 0 1 2 0 -> 0 1 2 2 0 3 1 2 2 3 1 1 2 0 3 1 1 0 , 2 1 3 0 2 1 0 0 2 1 1 3 0 1 3 1 1 1 -> 2 1 1 0 3 1 1 3 0 1 2 1 0 2 1 0 3 1 , 2 1 2 2 3 3 0 2 1 1 3 2 3 3 2 2 3 0 -> 2 3 3 1 3 2 1 1 2 2 0 3 3 2 3 2 2 0 , 2 1 2 2 2 3 3 2 3 2 3 2 3 0 2 1 2 0 -> 2 3 2 1 3 1 3 2 2 3 2 2 2 2 3 0 2 0 , 2 3 0 0 0 0 0 3 3 1 3 2 1 3 2 0 3 1 -> 2 3 0 0 3 3 0 1 2 2 1 0 3 0 3 0 3 1 , 2 3 3 0 3 3 2 3 2 3 0 0 2 3 0 2 3 1 -> 0 0 3 2 2 2 0 3 3 3 2 2 3 3 0 3 3 1 , 2 3 3 0 2 0 2 1 3 3 1 3 1 0 0 1 3 2 -> 2 3 1 0 3 3 1 2 1 3 2 3 2 0 0 3 0 1 , 2 3 3 2 3 3 0 3 0 2 2 0 2 1 3 1 3 3 -> 2 2 0 3 1 0 3 3 2 3 2 2 3 0 3 3 1 3 , 2 3 3 2 3 2 2 2 1 0 1 3 3 0 1 0 2 1 -> 2 3 1 0 3 0 0 1 1 2 2 3 3 3 2 2 2 1 , 2 2 3 3 1 0 1 2 1 2 0 2 3 2 2 0 1 3 -> 2 2 0 1 3 2 2 2 0 3 1 1 2 0 3 2 1 3 } The system was reversed. After renaming modulo { 1->0, 3->1, 2->2, 0->3 }, it remains to prove termination of the 80-rule system { 0 0 1 1 1 2 1 2 2 3 1 2 0 3 3 3 3 3 -> 3 1 0 1 0 2 3 0 2 1 3 1 3 1 2 2 3 3 , 1 3 3 2 3 1 2 2 1 1 1 2 0 1 3 3 3 3 -> 1 1 3 1 3 3 2 1 3 2 1 3 3 0 2 1 2 3 , 0 2 0 3 3 0 1 1 3 3 0 0 0 0 0 3 3 3 -> 0 0 0 0 3 1 3 0 3 0 3 2 0 1 0 3 3 3 , 3 0 0 0 1 2 0 3 3 0 2 1 2 1 1 0 3 3 -> 3 1 1 2 0 0 0 2 1 2 1 3 0 3 0 0 3 3 , 3 2 1 1 2 1 3 3 2 1 1 2 1 2 2 0 3 3 -> 3 2 2 3 1 3 1 1 3 2 1 2 1 2 2 1 0 3 , 2 1 1 2 1 0 2 1 0 3 1 1 0 0 2 1 3 3 -> 0 1 3 2 1 3 2 1 0 1 1 1 3 2 1 0 0 2 , 0 3 3 1 2 2 2 2 0 1 2 3 1 3 0 2 3 3 -> 2 0 2 2 1 0 0 1 3 2 2 3 3 2 3 1 3 3 , 1 1 2 1 1 3 0 3 0 3 0 3 0 0 0 2 3 3 -> 1 3 0 1 3 1 3 0 3 0 0 3 3 0 1 0 2 2 , 2 1 2 2 0 2 3 3 1 1 2 3 3 2 0 2 3 3 -> 2 1 2 2 1 3 3 2 2 0 0 3 1 2 3 3 2 3 , 0 3 2 3 0 3 2 2 1 1 0 2 2 3 2 2 3 3 -> 2 3 2 2 2 1 3 1 2 2 0 3 2 0 3 3 0 3 , 1 2 0 0 3 1 1 0 0 1 2 1 3 2 3 0 0 3 -> 0 0 1 0 1 3 1 3 2 0 1 2 1 3 2 0 0 3 , 0 3 3 3 3 3 1 2 3 2 2 2 2 2 0 0 0 3 -> 0 3 1 3 2 3 2 3 2 3 2 0 2 3 0 2 0 3 , 2 2 3 3 2 3 3 3 2 3 1 2 2 2 3 1 0 3 -> 2 2 2 3 2 2 2 3 3 3 3 0 1 2 3 1 3 3 , 0 1 2 0 3 1 2 3 2 1 2 3 0 0 3 2 0 3 -> 0 2 2 3 2 1 3 0 3 0 0 1 1 3 2 2 0 3 , 0 1 2 3 1 0 0 1 3 1 1 2 2 3 2 3 1 3 -> 0 3 0 1 1 3 0 2 2 2 1 3 2 1 3 1 1 3 , 0 1 1 0 2 3 3 2 3 0 2 2 2 3 3 3 2 3 -> 3 2 2 2 1 3 3 0 1 3 3 2 3 2 0 0 2 3 , 2 0 2 0 3 2 0 2 0 3 1 0 3 1 1 0 2 3 -> 2 2 2 1 3 2 0 1 0 2 3 0 3 1 0 0 0 3 , 2 2 3 3 2 0 0 1 1 3 0 1 3 1 3 3 3 0 -> 2 2 1 3 3 3 3 0 0 3 2 1 1 3 1 3 0 0 , 3 3 3 2 3 1 3 1 2 0 3 0 1 1 0 3 3 0 -> 3 0 3 1 1 0 1 3 3 1 3 2 3 0 3 3 2 0 , 0 2 0 2 0 1 1 0 2 3 2 2 3 0 3 0 3 0 -> 0 2 1 0 3 0 0 2 0 3 2 1 2 3 0 2 3 0 , 3 1 1 3 2 1 2 1 3 1 1 0 1 0 3 3 0 0 -> 3 1 3 0 1 2 1 1 3 0 1 0 1 2 3 1 3 0 , 0 1 1 0 0 2 1 0 3 1 2 1 2 0 3 3 0 0 -> 3 2 0 1 3 3 2 0 1 1 0 0 0 2 1 1 0 0 , 3 2 0 2 2 0 0 0 0 1 1 0 0 3 0 3 0 0 -> 3 0 0 2 0 1 0 1 0 2 2 0 0 0 3 3 0 0 , 2 2 2 0 0 2 2 3 3 2 3 3 2 2 1 3 0 0 -> 2 2 3 2 2 0 3 2 3 0 3 2 2 2 1 3 0 0 , 2 2 0 1 2 3 3 2 2 3 3 0 1 2 0 0 0 0 -> 2 1 3 3 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2 2 0 2 0 0 1 2 0 1 2 2 2 0 , 0 1 2 3 1 0 1 0 3 2 0 2 3 1 1 2 2 0 -> 0 1 0 2 2 2 1 3 1 1 2 0 3 0 3 1 2 0 , 1 0 2 2 2 0 2 2 3 1 1 2 3 1 3 3 3 1 -> 1 3 3 1 0 3 2 2 3 3 1 2 0 2 1 2 2 1 , 3 1 1 1 2 1 2 1 1 1 1 3 0 2 0 3 3 1 -> 3 1 1 1 1 1 3 2 1 3 2 1 1 0 1 3 0 2 , 1 1 0 1 1 3 1 3 0 2 2 3 2 0 1 0 3 1 -> 1 1 3 0 3 2 1 2 2 3 0 0 1 3 0 1 1 1 , 0 0 0 0 2 3 3 1 1 0 3 0 3 0 1 1 3 1 -> 0 1 3 1 0 0 3 1 2 1 0 3 3 0 0 3 0 1 , 3 1 1 2 1 3 3 1 2 1 2 0 0 2 2 2 3 1 -> 3 1 3 2 1 2 2 2 1 2 1 1 2 0 3 0 3 1 , 0 1 3 1 1 1 0 0 3 1 0 0 1 2 3 3 0 1 -> 0 0 3 1 1 3 0 1 1 1 3 2 0 1 0 0 3 1 , 0 0 1 1 0 0 2 3 1 0 2 3 2 3 3 1 0 1 -> 0 0 0 0 0 3 0 3 1 3 1 3 1 2 1 2 2 1 , 3 3 1 1 3 2 1 1 0 1 3 1 0 3 1 1 0 1 -> 3 1 1 1 0 1 1 1 3 1 3 0 1 3 0 3 2 1 , 1 1 2 1 1 2 0 1 1 1 1 3 3 3 3 2 0 1 -> 1 2 1 2 1 3 1 3 0 1 3 1 0 1 2 1 3 1 , 0 0 0 1 3 2 0 0 1 1 3 3 3 3 3 3 1 1 -> 0 3 0 3 0 1 1 3 3 3 0 1 3 2 1 3 0 1 , 2 3 1 1 1 3 0 0 2 0 1 3 3 0 3 3 1 1 -> 2 3 3 2 1 0 0 0 0 3 1 3 1 1 3 3 1 1 , 2 1 0 3 1 2 1 0 0 1 0 0 2 1 0 3 1 1 -> 0 1 3 2 0 1 3 0 1 2 0 1 0 2 1 0 1 1 , 2 1 2 3 1 1 1 3 1 0 0 0 1 3 3 0 1 1 -> 2 1 3 2 1 3 0 1 1 0 0 3 1 1 3 0 1 1 , 1 0 3 3 1 1 0 3 1 1 3 3 3 3 1 0 1 1 -> 1 0 1 3 3 1 0 1 1 0 3 3 3 3 1 3 1 1 , 0 0 3 3 2 2 3 3 1 2 1 1 2 3 3 1 1 1 -> 3 2 1 2 1 1 0 3 2 1 3 1 3 3 3 1 0 2 , 3 3 1 2 1 0 3 0 3 3 3 2 0 0 2 2 1 1 -> 3 0 2 3 0 2 1 1 3 0 0 3 1 3 2 1 3 2 , 1 1 3 2 3 1 2 1 2 3 3 1 2 2 2 2 1 1 -> 2 1 3 2 1 3 2 3 2 2 1 2 1 3 2 1 1 1 , 2 2 3 1 2 1 1 2 1 0 1 2 0 3 1 0 2 1 -> 2 3 2 1 0 0 3 2 1 2 1 2 2 1 1 1 0 1 , 0 1 1 1 3 1 1 0 2 3 3 1 2 0 2 0 2 1 -> 1 1 3 1 3 0 1 2 2 2 2 1 3 0 0 1 0 1 , 2 0 3 1 1 2 2 3 0 0 2 3 3 1 2 0 2 1 -> 3 3 2 2 1 0 2 2 1 3 3 0 0 2 2 1 0 1 , 3 0 1 3 0 2 2 0 0 3 1 2 2 3 0 1 2 1 -> 3 2 3 1 2 2 0 1 3 0 0 0 0 2 2 1 3 1 , 0 3 3 1 2 2 1 0 2 0 1 2 3 2 0 1 2 1 -> 2 3 2 2 0 2 1 0 0 3 2 1 2 1 0 1 3 1 , 2 2 0 3 3 3 1 1 0 0 2 0 3 3 1 1 2 1 -> 0 1 2 0 0 3 1 3 2 2 1 3 3 2 0 1 3 1 , 1 1 1 2 0 1 1 0 2 0 1 3 3 0 2 1 2 1 -> 1 1 1 1 0 2 2 2 1 0 2 1 0 0 3 1 3 1 , 2 1 1 2 3 1 1 0 0 0 2 0 0 0 0 2 2 1 -> 2 0 1 1 3 2 0 0 0 2 1 0 2 1 2 0 0 1 , 0 3 2 1 1 2 2 3 3 1 1 1 2 3 3 3 3 2 -> 3 1 3 2 2 1 1 1 3 1 2 0 3 3 3 2 3 2 , 2 3 0 3 3 2 2 2 1 1 2 3 1 1 3 3 3 2 -> 0 3 1 2 1 3 3 3 2 2 1 3 1 3 2 3 2 2 , 2 0 0 0 2 1 1 1 2 2 3 3 0 3 2 0 3 2 -> 2 0 0 2 0 0 1 1 3 2 3 2 0 1 2 3 3 2 , 0 0 2 0 2 3 3 3 2 1 1 1 2 0 3 2 3 2 -> 3 2 0 1 0 2 2 3 1 3 1 3 2 2 0 0 3 2 , 2 0 2 2 2 2 3 2 0 0 2 3 1 2 3 2 3 2 -> 2 0 2 3 2 2 0 3 2 0 1 2 3 2 2 2 3 2 , 1 1 2 1 1 2 0 1 1 1 0 1 1 2 2 0 0 2 -> 1 1 1 1 2 0 1 2 1 0 1 0 0 1 2 2 1 2 , 3 2 0 3 2 3 3 0 0 0 1 1 1 2 2 0 0 2 -> 3 0 0 1 3 2 0 0 1 2 2 0 1 3 2 2 0 3 , 0 0 0 1 0 3 1 0 0 2 3 3 0 2 3 1 0 2 -> 0 1 3 0 2 3 0 2 0 3 1 0 0 1 3 0 0 2 , 3 1 2 2 1 1 2 1 0 0 2 3 1 1 2 2 0 2 -> 3 2 2 1 2 1 1 3 2 2 0 0 2 1 0 1 1 2 , 3 2 0 2 3 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2 0 2 -> 3 2 3 1 2 2 2 2 1 2 2 1 0 1 0 2 1 2 , 0 1 3 2 1 0 2 1 0 1 1 3 3 3 3 3 1 2 -> 0 1 3 1 3 1 3 0 2 2 0 3 1 1 3 3 1 2 , 0 1 2 3 1 2 3 3 1 2 1 2 1 1 3 1 1 2 -> 0 1 1 3 1 1 2 2 1 1 1 3 2 2 2 1 3 3 , 2 1 0 3 3 0 1 0 1 1 0 2 3 2 3 1 1 2 -> 0 3 1 3 3 2 1 2 1 0 2 0 1 1 3 0 1 2 , 1 1 0 1 0 2 3 2 2 3 1 3 1 1 2 1 1 2 -> 1 0 1 1 3 1 2 2 1 2 1 1 3 0 1 3 2 2 , 0 2 3 0 3 1 1 0 3 0 2 2 2 1 2 1 1 2 -> 0 2 2 2 1 1 1 2 2 0 0 3 3 1 3 0 1 2 , 1 0 3 2 2 1 2 3 2 0 2 0 3 0 1 1 2 2 -> 1 0 2 1 3 2 0 0 1 3 2 2 2 1 0 3 2 2 } Applying sparse 2-tiling [Hofbauer/Geser/Waldmann, FSCD 2019]. After renaming modulo { (0,0)->0, (0,1)->1, (1,1)->2, (1,2)->3, (2,1)->4, (2,2)->5, (2,3)->6, (3,1)->7, (2,0)->8, (0,3)->9, (3,3)->10, (3,0)->11, (1,0)->12, (0,2)->13, (1,3)->14, (3,2)->15, (3,5)->16, (4,0)->17, (4,3)->18, (4,1)->19, (2,5)->20, (4,2)->21, (0,5)->22, (1,5)->23 }, it remains to prove termination of the 2000-rule system { 0 0 1 2 2 3 4 3 5 6 7 3 8 9 10 10 10 10 11 -> 9 7 12 1 12 13 6 11 13 4 14 7 14 7 3 5 6 10 11 , 0 0 1 2 2 3 4 3 5 6 7 3 8 9 10 10 10 10 7 -> 9 7 12 1 12 13 6 11 13 4 14 7 14 7 3 5 6 10 7 , 0 0 1 2 2 3 4 3 5 6 7 3 8 9 10 10 10 10 15 -> 9 7 12 1 12 13 6 11 13 4 14 7 14 7 3 5 6 10 15 , 0 0 1 2 2 3 4 3 5 6 7 3 8 9 10 10 10 10 10 -> 9 7 12 1 12 13 6 11 13 4 14 7 14 7 3 5 6 10 10 , 0 0 1 2 2 3 4 3 5 6 7 3 8 9 10 10 10 10 16 -> 9 7 12 1 12 13 6 11 13 4 14 7 14 7 3 5 6 10 16 , 12 0 1 2 2 3 4 3 5 6 7 3 8 9 10 10 10 10 11 -> 14 7 12 1 12 13 6 11 13 4 14 7 14 7 3 5 6 10 11 , 12 0 1 2 2 3 4 3 5 6 7 3 8 9 10 10 10 10 7 -> 14 7 12 1 12 13 6 11 13 4 14 7 14 7 3 5 6 10 7 , 12 0 1 2 2 3 4 3 5 6 7 3 8 9 10 10 10 10 15 -> 14 7 12 1 12 13 6 11 13 4 14 7 14 7 3 5 6 10 15 , 12 0 1 2 2 3 4 3 5 6 7 3 8 9 10 10 10 10 10 -> 14 7 12 1 12 13 6 11 13 4 14 7 14 7 3 5 6 10 10 , 12 0 1 2 2 3 4 3 5 6 7 3 8 9 10 10 10 10 16 -> 14 7 12 1 12 13 6 11 13 4 14 7 14 7 3 5 6 10 16 , 8 0 1 2 2 3 4 3 5 6 7 3 8 9 10 10 10 10 11 -> 6 7 12 1 12 13 6 11 13 4 14 7 14 7 3 5 6 10 11 , 8 0 1 2 2 3 4 3 5 6 7 3 8 9 10 10 10 10 7 -> 6 7 12 1 12 13 6 11 13 4 14 7 14 7 3 5 6 10 7 , 8 0 1 2 2 3 4 3 5 6 7 3 8 9 10 10 10 10 15 -> 6 7 12 1 12 13 6 11 13 4 14 7 14 7 3 5 6 10 15 , 8 0 1 2 2 3 4 3 5 6 7 3 8 9 10 10 10 10 10 -> 6 7 12 1 12 13 6 11 13 4 14 7 14 7 3 5 6 10 10 , 8 0 1 2 2 3 4 3 5 6 7 3 8 9 10 10 10 10 16 -> 6 7 12 1 12 13 6 11 13 4 14 7 14 7 3 5 6 10 16 , 11 0 1 2 2 3 4 3 5 6 7 3 8 9 10 10 10 10 11 -> 10 7 12 1 12 13 6 11 13 4 14 7 14 7 3 5 6 10 11 , 11 0 1 2 2 3 4 3 5 6 7 3 8 9 10 10 10 10 7 -> 10 7 12 1 12 13 6 11 13 4 14 7 14 7 3 5 6 10 7 , 11 0 1 2 2 3 4 3 5 6 7 3 8 9 10 10 10 10 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14 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 15 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 16 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 17 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 18 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 19 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 20 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 21 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 22 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 23 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / After renaming modulo { 0->0, 13->1, 8->2, 9->3, 10->4, 11->5, 1->6, 2->7, 14->8, 7->9, 15->10, 12->11, 16->12, 17->13, 5->14, 6->15, 4->16, 22->17, 3->18, 21->19, 18->20, 23->21, 19->22, 20->23 }, it remains to prove termination of the 400-rule system { 0 1 2 3 4 5 6 7 8 4 5 0 0 0 0 3 4 4 5 -> 0 0 0 0 3 9 8 5 3 5 3 10 2 6 11 3 4 4 5 , 0 1 2 3 4 5 6 7 8 4 5 0 0 0 0 3 4 4 9 -> 0 0 0 0 3 9 8 5 3 5 3 10 2 6 11 3 4 4 9 , 0 1 2 3 4 5 6 7 8 4 5 0 0 0 0 3 4 4 10 -> 0 0 0 0 3 9 8 5 3 5 3 10 2 6 11 3 4 4 10 , 0 1 2 3 4 5 6 7 8 4 5 0 0 0 0 3 4 4 4 -> 0 0 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6 11 1 16 18 15 , 20 10 2 1 15 9 18 16 18 16 18 16 7 18 14 14 2 1 23 -> 20 10 15 9 18 14 14 14 16 18 14 16 11 6 11 1 16 18 23 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 2: 0 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 1 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 2 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 3 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 4 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 5 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 6 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 7 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 8 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 9 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 10 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 11 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 12 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 13 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 14 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 15 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 16 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 17 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 18 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 19 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 20 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 21 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 22 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 23 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / After renaming modulo { 0->0, 1->1, 2->2, 3->3, 4->4, 5->5, 6->6, 7->7, 8->8, 9->9, 10->10, 11->11, 12->12, 13->13, 14->14, 15->15, 16->16, 17->17, 18->18, 19->19, 20->20, 21->21, 22->22, 23->23 }, it remains to prove termination of the 395-rule system { 0 1 2 3 4 5 6 7 8 4 5 0 0 0 0 3 4 4 5 -> 0 0 0 0 3 9 8 5 3 5 3 10 2 6 11 3 4 4 5 , 0 1 2 3 4 5 6 7 8 4 5 0 0 0 0 3 4 4 9 -> 0 0 0 0 3 9 8 5 3 5 3 10 2 6 11 3 4 4 9 , 0 1 2 3 4 5 6 7 8 4 5 0 0 0 0 3 4 4 10 -> 0 0 0 0 3 9 8 5 3 5 3 10 2 6 11 3 4 4 10 , 0 1 2 3 4 5 6 7 8 4 5 0 0 0 0 3 4 4 4 -> 0 0 0 0 3 9 8 5 3 5 3 10 2 6 11 3 4 4 4 , 0 1 2 3 4 5 6 7 8 4 5 0 0 0 0 3 4 4 12 -> 0 0 0 0 3 9 8 5 3 5 3 10 2 6 11 3 4 4 12 , 11 1 2 3 4 5 6 7 8 4 5 0 0 0 0 3 4 4 5 -> 11 0 0 0 3 9 8 5 3 5 3 10 2 6 11 3 4 4 5 , 11 1 2 3 4 5 6 7 8 4 5 0 0 0 0 3 4 4 9 -> 11 0 0 0 3 9 8 5 3 5 3 10 2 6 11 3 4 4 9 , 11 1 2 3 4 5 6 7 8 4 5 0 0 0 0 3 4 4 10 -> 11 0 0 0 3 9 8 5 3 5 3 10 2 6 11 3 4 4 10 , 11 1 2 3 4 5 6 7 8 4 5 0 0 0 0 3 4 4 4 -> 11 0 0 0 3 9 8 5 3 5 3 10 2 6 11 3 4 4 4 , 11 1 2 3 4 5 6 7 8 4 5 0 0 0 0 3 4 4 12 -> 11 0 0 0 3 9 8 5 3 5 3 10 2 6 11 3 4 4 12 , 2 1 2 3 4 5 6 7 8 4 5 0 0 0 0 3 4 4 5 -> 2 0 0 0 3 9 8 5 3 5 3 10 2 6 11 3 4 4 5 , 2 1 2 3 4 5 6 7 8 4 5 0 0 0 0 3 4 4 9 -> 2 0 0 0 3 9 8 5 3 5 3 10 2 6 11 3 4 4 9 , 2 1 2 3 4 5 6 7 8 4 5 0 0 0 0 3 4 4 10 -> 2 0 0 0 3 9 8 5 3 5 3 10 2 6 11 3 4 4 10 , 2 1 2 3 4 5 6 7 8 4 5 0 0 0 0 3 4 4 4 -> 2 0 0 0 3 9 8 5 3 5 3 10 2 6 11 3 4 4 4 , 2 1 2 3 4 5 6 7 8 4 5 0 0 0 0 3 4 4 12 -> 2 0 0 0 3 9 8 5 3 5 3 10 2 6 11 3 4 4 12 , 5 1 2 3 4 5 6 7 8 4 5 0 0 0 0 3 4 4 5 -> 5 0 0 0 3 9 8 5 3 5 3 10 2 6 11 3 4 4 5 , 5 1 2 3 4 5 6 7 8 4 5 0 0 0 0 3 4 4 9 -> 5 0 0 0 3 9 8 5 3 5 3 10 2 6 11 3 4 4 9 , 5 1 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| | 0 1 | \ / 9 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 10 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 11 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 12 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 13 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 14 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 15 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 16 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 17 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 18 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 19 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 20 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 21 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 22 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 23 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / After renaming modulo { }, it remains to prove termination of the 0-rule system { } The system is trivially terminating.