YES After renaming modulo { 0->0, 1->1, 2->2, 3->3 }, it remains to prove termination of the 80-rule system { 0 0 0 1 2 3 3 1 3 1 1 2 2 3 2 0 1 2 -> 0 0 3 2 0 1 0 2 2 3 1 1 3 1 3 2 1 2 , 0 0 1 1 2 0 1 0 3 1 2 1 1 3 0 0 0 2 -> 0 2 2 0 0 1 0 1 1 1 0 2 3 0 0 3 1 1 , 0 0 1 1 3 1 2 0 3 3 1 0 0 2 0 0 1 3 -> 0 1 2 0 1 0 3 2 0 3 1 3 0 0 1 0 1 3 , 0 0 1 3 0 1 3 2 3 1 3 1 1 2 0 1 1 3 -> 1 1 0 0 3 1 1 0 3 1 3 1 0 3 2 2 1 3 , 0 0 3 1 2 0 0 0 1 2 3 3 0 3 1 3 3 0 -> 0 1 0 3 0 0 0 0 1 1 3 0 2 2 3 3 3 3 , 0 1 2 0 0 0 2 3 0 2 1 0 3 1 3 0 3 1 -> 1 1 0 2 0 1 3 0 0 0 3 3 2 0 0 2 3 1 , 0 1 2 0 0 1 2 0 3 1 3 0 1 0 1 2 1 3 -> 1 1 0 2 3 1 0 3 0 2 0 1 1 0 3 0 1 2 , 0 1 2 1 2 0 2 0 3 0 1 2 3 0 2 2 1 3 -> 2 2 1 1 0 0 1 0 0 3 3 2 0 2 2 2 1 3 , 0 2 0 0 0 3 3 0 0 1 2 3 0 1 2 2 0 2 -> 0 1 0 2 0 0 0 0 1 0 0 3 2 2 3 2 3 2 , 0 2 0 1 0 2 0 1 2 0 3 3 1 2 2 3 3 0 -> 0 2 3 2 3 0 0 2 0 1 3 2 1 0 1 2 3 0 , 0 2 0 2 0 1 2 1 2 3 0 0 1 3 3 3 2 2 -> 0 2 2 3 3 1 0 2 2 2 2 0 1 0 1 3 0 3 , 0 2 0 2 1 3 0 1 3 2 0 3 0 1 3 0 3 2 -> 1 3 0 3 3 3 0 1 0 1 0 2 0 3 2 2 0 2 , 0 3 0 1 2 3 3 3 1 0 1 2 0 2 0 3 2 3 -> 0 2 0 2 1 0 3 3 2 1 1 0 3 0 3 3 2 3 , 0 3 0 3 3 2 2 1 1 1 2 0 2 0 1 2 0 3 -> 3 1 2 3 0 1 1 1 0 2 0 3 3 0 0 2 2 2 , 0 3 1 2 1 2 3 0 0 1 2 0 1 1 0 1 3 0 -> 0 2 0 1 2 3 0 2 1 1 3 3 1 1 1 0 0 0 , 0 3 1 3 1 3 1 0 0 3 0 3 0 3 2 3 1 2 -> 0 0 2 3 3 3 0 0 3 1 3 3 2 1 1 0 3 1 , 0 3 2 1 0 0 1 3 0 3 2 0 3 3 2 2 2 0 -> 0 2 3 2 0 0 3 0 1 1 2 0 2 3 2 3 0 3 , 0 3 2 1 0 0 2 0 1 2 0 2 2 1 2 1 0 3 -> 1 1 0 0 0 2 0 0 2 2 2 2 3 2 3 0 1 1 , 0 3 2 1 1 2 0 1 1 3 3 1 1 3 0 3 3 0 -> 2 3 3 3 0 1 1 1 1 0 3 2 1 3 0 1 3 0 , 0 3 3 0 1 0 0 1 2 1 3 3 3 0 0 2 0 3 -> 0 3 0 3 3 1 3 0 0 1 0 2 3 1 0 2 0 3 , 0 3 3 0 1 3 2 3 1 2 3 0 1 0 0 2 1 2 -> 1 0 2 3 0 2 0 0 1 1 0 1 2 3 3 3 2 3 , 0 3 3 1 0 2 0 3 1 2 3 0 3 0 2 0 3 0 -> 0 3 3 0 3 0 0 0 1 0 3 3 3 2 1 0 2 2 , 0 3 3 1 3 3 2 0 2 3 1 2 1 2 2 1 3 3 -> 3 2 2 3 3 3 1 2 3 2 0 0 1 1 2 1 3 3 , 0 3 3 3 2 1 1 1 0 3 1 2 0 0 0 2 2 2 -> 0 2 2 3 0 1 1 1 0 2 3 2 1 0 0 3 3 2 , 1 0 3 0 1 1 1 0 1 1 2 1 2 0 2 0 2 2 -> 0 3 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0 1 0 1 3 2 3 0 1 1 0 2 2 3 1 1 , 1 2 0 2 3 1 0 0 1 2 0 0 0 2 2 1 0 1 -> 0 0 0 1 0 0 3 0 2 2 2 2 1 0 2 1 1 1 , 1 2 0 3 1 3 1 1 2 1 2 3 1 3 1 0 1 2 -> 2 3 2 1 0 1 3 1 0 2 1 3 1 1 3 1 1 2 , 1 2 0 3 2 0 3 1 0 0 2 1 0 2 3 1 2 1 -> 3 1 0 2 3 0 3 2 1 1 0 0 2 2 2 1 1 0 , 1 2 1 0 2 3 0 2 1 3 3 0 1 3 2 0 1 2 -> 3 3 0 1 2 2 1 1 1 1 0 3 0 2 2 2 0 3 , 1 2 1 1 3 1 0 0 0 0 1 2 0 2 2 3 3 3 -> 0 2 0 2 3 1 0 3 3 0 1 1 0 1 1 2 2 3 , 1 2 1 3 2 3 1 3 0 3 1 2 0 3 0 1 1 3 -> 1 1 3 3 2 1 1 1 0 0 3 0 1 3 3 2 2 3 , 1 2 2 1 2 0 2 3 1 0 1 3 2 1 2 2 0 3 -> 2 1 2 2 3 1 2 2 3 0 1 0 0 2 3 1 1 2 , 1 2 3 0 2 1 2 3 1 1 2 2 0 0 0 1 2 0 -> 1 0 1 2 2 3 0 2 2 1 0 1 0 2 1 3 2 0 , 1 2 3 1 3 3 2 1 1 1 0 0 1 1 2 0 3 0 -> 1 3 2 3 3 1 1 1 3 1 2 2 0 0 1 0 1 0 , 1 3 0 3 3 2 1 0 3 2 1 0 2 1 3 1 3 3 -> 1 3 2 3 3 3 0 1 1 0 2 2 1 3 0 1 3 3 , 1 3 1 3 3 2 1 2 1 3 3 0 2 1 3 1 1 2 -> 3 1 3 2 1 1 1 1 0 1 3 3 2 3 3 2 2 1 , 1 3 2 2 0 3 0 3 2 3 1 1 2 2 0 2 1 2 -> 3 0 2 1 0 2 3 3 1 1 3 1 2 2 0 2 2 2 , 1 3 3 3 3 2 1 1 1 2 1 1 1 1 3 1 2 0 -> 1 1 2 2 3 3 1 1 0 1 1 1 3 3 3 2 1 1 , 2 0 0 0 3 2 1 2 0 3 0 2 1 3 1 3 1 2 -> 2 3 0 1 0 2 2 2 2 0 3 1 3 1 0 1 0 3 , 2 0 0 3 0 1 3 0 1 1 2 0 3 3 0 1 1 2 -> 2 0 1 0 1 0 0 1 3 3 3 1 2 0 0 1 3 2 , 2 1 0 1 2 3 1 2 2 0 1 3 2 3 2 0 2 1 -> 2 3 2 0 0 1 2 3 3 1 2 1 1 0 2 2 2 1 , 2 1 3 2 2 3 1 3 1 3 0 3 0 3 1 2 3 1 -> 3 3 0 2 3 1 2 3 3 1 0 3 2 3 2 1 1 1 , 2 2 0 0 1 0 1 2 2 1 1 0 1 2 1 3 1 2 -> 2 0 2 1 1 0 2 2 2 1 1 3 1 1 0 0 1 2 , 2 2 0 0 1 2 3 3 3 0 2 2 2 2 2 1 1 2 -> 2 3 2 2 0 3 1 0 2 2 2 3 0 1 1 2 2 2 , 2 2 0 3 0 0 1 2 0 2 2 3 0 2 1 3 2 0 -> 3 0 0 1 0 1 0 2 2 3 2 2 2 0 3 0 2 2 , 2 2 0 3 2 0 3 1 1 3 2 2 2 2 3 2 2 2 -> 2 2 2 1 0 2 1 0 2 2 3 2 3 3 2 2 2 3 , 2 2 1 0 1 1 1 3 1 2 2 2 3 0 3 3 3 0 -> 2 1 1 3 3 0 0 2 3 2 3 2 2 1 1 0 1 3 , 2 2 1 3 0 1 3 3 3 0 3 2 1 1 1 2 1 3 -> 2 1 2 3 1 1 3 2 3 0 2 3 1 3 0 1 1 3 , 2 2 3 1 2 0 3 1 2 2 0 1 0 3 2 1 0 0 -> 2 2 2 3 2 1 3 0 2 1 1 0 3 0 1 0 0 2 , 2 3 1 0 3 1 3 2 0 0 1 0 0 0 1 3 2 1 -> 2 3 1 0 2 1 3 3 0 3 1 0 2 1 1 0 0 0 , 2 3 2 0 3 2 0 0 0 1 1 2 0 2 3 0 1 2 -> 2 1 1 2 3 2 3 3 2 1 2 0 0 0 0 0 0 2 , 2 3 2 3 1 2 0 2 0 1 2 3 1 2 0 3 3 2 -> 2 2 3 1 3 1 1 3 0 2 0 2 0 2 2 3 3 2 , 3 0 0 3 1 1 1 2 2 0 3 0 0 3 2 2 1 3 -> 3 3 1 1 0 2 2 3 0 1 0 0 1 3 2 3 0 2 , 3 0 3 1 2 2 3 3 0 1 3 3 3 2 1 2 2 1 -> 3 3 1 2 3 1 2 1 3 0 0 2 3 2 3 3 2 1 , 3 0 3 2 1 1 3 0 0 3 3 1 3 1 2 0 3 3 -> 3 1 1 3 3 1 0 0 2 3 0 1 0 3 3 3 3 2 , 3 0 3 3 0 1 3 2 1 3 2 1 0 3 2 2 0 2 -> 1 2 1 2 2 3 3 3 3 3 1 0 0 0 0 2 3 2 , 3 0 3 3 2 0 0 3 3 3 1 0 1 2 1 3 3 3 -> 3 1 1 0 0 0 1 3 3 3 3 2 3 3 3 3 2 0 , 3 1 2 3 1 3 0 1 3 2 3 1 1 3 1 3 1 2 -> 1 3 3 3 2 3 2 3 2 1 1 1 1 1 1 3 0 3 , 3 1 2 3 3 0 0 0 0 1 2 2 2 2 0 2 3 3 -> 3 1 0 2 3 0 2 2 2 0 0 2 3 0 1 2 3 3 , 3 1 3 0 3 0 0 3 2 3 1 3 2 3 2 1 2 2 -> 3 2 1 3 3 0 3 0 3 3 1 1 0 2 2 3 2 2 , 3 1 3 2 3 1 1 2 0 0 3 2 1 2 0 3 3 3 -> 3 2 1 1 1 2 3 2 3 2 0 1 3 0 3 0 3 3 , 3 2 1 0 0 3 1 0 2 0 2 2 0 3 0 1 1 2 -> 2 2 1 0 1 0 2 0 0 2 3 1 0 0 1 3 3 2 , 3 3 0 2 3 2 0 3 1 3 1 2 0 1 2 0 0 0 -> 3 3 3 0 2 2 1 0 3 2 1 0 2 0 0 0 1 3 , 3 3 1 0 1 3 0 3 1 3 0 2 0 2 0 3 0 1 -> 2 3 0 0 0 2 3 1 3 3 0 0 1 0 3 3 1 1 , 3 3 1 2 2 0 3 1 3 3 2 3 3 0 2 0 1 2 -> 3 2 3 3 0 1 3 1 1 2 3 2 2 2 0 3 0 3 , 3 3 2 0 3 3 3 2 1 2 0 0 2 2 0 2 0 3 -> 3 2 3 0 2 2 3 1 2 2 3 2 3 0 0 3 0 0 , 3 3 3 0 3 2 1 0 0 2 1 3 3 2 1 2 0 2 -> 3 3 2 3 2 2 0 1 3 0 1 2 3 0 3 1 0 2 } The system was reversed. After renaming modulo { 2->0, 1->1, 0->2, 3->3 }, it remains to prove termination of the 80-rule system { 0 1 2 0 3 0 0 1 1 3 1 3 3 0 1 2 2 2 -> 0 1 0 3 1 3 1 1 3 0 0 2 1 2 0 3 2 2 , 0 2 2 2 3 1 1 0 1 3 2 1 2 0 1 1 2 2 -> 1 1 3 2 2 3 0 2 1 1 1 2 1 2 2 0 0 2 , 3 1 2 2 0 2 2 1 3 3 2 0 1 3 1 1 2 2 -> 3 1 2 1 2 2 3 1 3 2 0 3 2 1 2 0 1 2 , 3 1 1 2 0 1 1 3 1 3 0 3 1 2 3 1 2 2 -> 3 1 0 0 3 2 1 3 1 3 2 1 1 3 2 2 1 1 , 2 3 3 1 3 2 3 3 0 1 2 2 2 0 1 3 2 2 -> 3 3 3 3 0 0 2 3 1 1 2 2 2 2 3 2 1 2 , 1 3 2 3 1 3 2 1 0 2 3 0 2 2 2 0 1 2 -> 1 3 0 2 2 0 3 3 2 2 2 3 1 2 0 2 1 1 , 3 1 0 1 2 1 2 3 1 3 2 0 1 2 2 0 1 2 -> 0 1 2 3 2 1 1 2 0 2 3 2 1 3 0 2 1 1 , 3 1 0 0 2 3 0 1 2 3 2 0 2 0 1 0 1 2 -> 3 1 0 0 0 2 0 3 3 2 2 1 2 2 1 1 0 0 , 0 2 0 0 1 2 3 0 1 2 2 3 3 2 2 2 0 2 -> 0 3 0 3 0 0 3 2 2 1 2 2 2 2 0 2 1 2 , 2 3 3 0 0 1 3 3 2 0 1 2 0 2 1 2 0 2 -> 2 3 0 1 2 1 0 3 1 2 0 2 2 3 0 3 0 2 , 0 0 3 3 3 1 2 2 3 0 1 0 1 2 0 2 0 2 -> 3 2 3 1 2 1 2 0 0 0 0 2 1 3 3 0 0 2 , 0 3 2 3 1 2 3 2 0 3 1 2 3 1 0 2 0 2 -> 0 2 0 0 3 2 0 2 1 2 1 2 3 3 3 2 3 1 , 3 0 3 2 0 2 0 1 2 1 3 3 3 0 1 2 3 2 -> 3 0 3 3 2 3 2 1 1 0 3 3 2 1 0 2 0 2 , 3 2 0 1 2 0 2 0 1 1 1 0 0 3 3 2 3 2 -> 0 0 0 2 2 3 3 2 0 2 1 1 1 2 3 0 1 3 , 2 3 1 2 1 1 2 0 1 2 2 3 0 1 0 1 3 2 -> 2 2 2 1 1 1 3 3 1 1 0 2 3 0 1 2 0 2 , 0 1 3 0 3 2 3 2 3 2 2 1 3 1 3 1 3 2 -> 1 3 2 1 1 0 3 3 1 3 2 2 3 3 3 0 2 2 , 2 0 0 0 3 3 2 0 3 2 3 1 2 2 1 0 3 2 -> 3 2 3 0 3 0 2 0 1 1 2 3 2 2 0 3 0 2 , 3 2 1 0 1 0 0 2 0 1 2 0 2 2 1 0 3 2 -> 1 1 2 3 0 3 0 0 0 0 2 2 0 2 2 2 1 1 , 2 3 3 2 3 1 1 3 3 1 1 2 0 1 1 0 3 2 -> 2 3 1 2 3 1 0 3 2 1 1 1 1 2 3 3 3 0 , 3 2 0 2 2 3 3 3 1 0 1 2 2 1 2 3 3 2 -> 3 2 0 2 1 3 0 2 1 2 2 3 1 3 3 2 3 2 , 0 1 0 2 2 1 2 3 0 1 3 0 3 1 2 3 3 2 -> 3 0 3 3 3 0 1 2 1 1 2 2 0 2 3 0 2 1 , 2 3 2 0 2 3 2 3 0 1 3 2 0 2 1 3 3 2 -> 0 0 2 1 0 3 3 3 2 1 2 2 2 3 2 3 3 2 , 3 3 1 0 0 1 0 1 3 0 2 0 3 3 1 3 3 2 -> 3 3 1 0 1 1 2 2 0 3 0 1 3 3 3 0 0 3 , 0 0 0 2 2 2 0 1 3 2 1 1 1 0 3 3 3 2 -> 0 3 3 2 2 1 0 3 0 2 1 1 1 2 3 0 0 2 , 0 0 2 0 2 0 1 0 1 1 2 1 1 1 2 3 2 1 -> 1 1 0 2 1 2 1 1 0 0 0 2 1 2 1 0 3 2 , 0 1 2 3 3 1 2 0 0 0 1 0 2 0 0 3 2 1 -> 0 3 0 3 0 2 0 1 0 1 3 0 0 2 2 1 1 2 , 2 0 0 1 1 1 2 2 2 3 0 1 0 3 3 3 2 1 -> 3 2 0 0 2 2 1 3 0 2 3 1 3 0 2 1 1 1 , 0 2 0 1 0 2 2 0 1 2 3 1 3 1 3 2 1 1 -> 3 0 2 0 2 3 2 1 2 0 0 2 1 1 1 1 3 1 , 3 1 2 2 2 0 2 2 2 0 2 0 1 1 0 1 1 1 -> 0 1 2 2 1 2 3 1 2 0 0 2 2 0 2 1 1 1 , 1 1 3 0 2 3 3 1 0 2 0 2 0 1 2 0 1 1 -> 1 1 0 0 2 1 2 3 1 1 0 3 2 3 0 2 0 1 , 0 2 3 1 2 0 0 0 0 2 2 0 1 3 2 0 1 1 -> 0 0 0 2 1 0 1 1 0 0 3 2 3 0 2 2 1 2 , 3 2 2 1 3 2 1 0 1 3 3 2 3 3 1 0 1 1 -> 3 0 3 3 2 3 1 2 1 0 1 3 2 1 1 1 3 2 , 3 0 1 3 3 1 2 0 1 0 1 2 2 1 3 0 1 1 -> 3 0 0 0 0 2 1 2 3 3 1 1 1 1 3 1 2 1 , 3 0 0 1 1 3 2 3 2 1 0 1 1 0 2 3 1 1 -> 3 0 0 1 2 1 1 3 3 3 2 2 0 1 1 0 1 1 , 3 0 3 2 3 0 1 3 1 2 0 0 1 1 0 3 1 1 -> 3 0 1 0 0 3 3 0 1 3 3 1 1 0 2 1 2 1 , 1 1 3 2 2 1 1 1 0 3 1 3 1 2 2 2 0 1 -> 1 1 1 2 2 3 3 2 2 1 1 1 1 1 0 3 0 2 , 0 1 0 1 0 2 1 2 3 2 1 3 3 2 0 2 0 1 -> 0 0 3 1 0 2 3 3 1 1 0 2 2 1 0 2 2 1 , 0 0 2 2 1 3 1 2 1 3 1 3 1 1 0 2 0 1 -> 1 1 3 0 0 2 1 1 2 3 0 3 1 2 1 2 1 0 , 1 2 1 0 0 2 2 2 0 1 2 2 1 3 0 2 0 1 -> 1 1 1 0 2 1 0 0 0 0 2 3 2 2 1 2 2 2 , 0 1 2 1 3 1 3 0 1 0 1 1 3 1 3 2 0 1 -> 0 1 1 3 1 1 3 1 0 2 1 3 1 2 1 0 3 0 , 1 0 1 3 0 2 1 0 2 2 1 3 2 0 3 2 0 1 -> 2 1 1 0 0 0 2 2 1 1 0 3 2 3 0 2 1 3 , 0 1 2 0 3 1 2 3 3 1 0 2 3 0 2 1 0 1 -> 3 2 0 0 0 2 3 2 1 1 1 1 0 0 1 2 3 3 , 3 3 3 0 0 2 0 1 2 2 2 2 1 3 1 1 0 1 -> 3 0 0 1 1 2 1 1 2 3 3 2 1 3 0 2 0 2 , 3 1 1 2 3 2 0 1 3 2 3 1 3 0 3 1 0 1 -> 3 0 0 3 3 1 2 3 2 2 1 1 1 0 3 3 1 1 , 3 2 0 0 1 0 3 1 2 1 3 0 2 0 1 0 0 1 -> 0 1 1 3 0 2 2 1 2 3 0 0 1 3 0 0 1 0 , 2 0 1 2 2 2 0 0 1 1 3 0 1 0 2 3 0 1 -> 2 0 3 1 0 2 1 2 1 0 0 2 3 0 0 1 2 1 , 2 3 2 0 1 1 2 2 1 1 1 0 3 3 1 3 0 1 -> 2 1 2 1 2 2 0 0 1 3 1 1 1 3 3 0 3 1 , 3 3 1 3 1 0 2 1 0 3 2 1 0 3 3 2 3 1 -> 3 3 1 2 3 1 0 0 2 1 1 2 3 3 3 0 3 1 , 0 1 1 3 1 0 2 3 3 1 0 1 0 3 3 1 3 1 -> 1 0 0 3 3 0 3 3 1 2 1 1 1 1 0 3 1 3 , 0 1 0 2 0 0 1 1 3 0 3 2 3 2 0 0 3 1 -> 0 0 0 2 0 0 1 3 1 1 3 3 0 2 1 0 2 3 , 2 0 1 3 1 1 1 1 0 1 1 1 0 3 3 3 3 1 -> 1 1 0 3 3 3 1 1 1 2 1 1 3 3 0 0 1 1 , 0 1 3 1 3 1 0 2 3 2 0 1 0 3 2 2 2 0 -> 3 2 1 2 1 3 1 3 2 0 0 0 0 2 1 2 3 0 , 0 1 1 2 3 3 2 0 1 1 2 3 1 2 3 2 2 0 -> 0 3 1 2 2 0 1 3 3 3 1 2 2 1 2 1 2 0 , 1 0 2 0 3 0 3 1 2 0 0 1 3 0 1 2 1 0 -> 1 0 0 0 2 1 1 0 1 3 3 0 1 2 2 0 3 0 , 1 3 0 1 3 2 3 2 3 1 3 1 3 0 0 3 1 0 -> 1 1 1 0 3 0 3 2 1 3 3 0 1 3 0 2 3 3 , 0 1 3 1 0 1 2 1 1 0 0 1 2 1 2 2 0 0 -> 0 1 2 2 1 1 3 1 1 0 0 0 2 1 1 0 2 0 , 0 1 1 0 0 0 0 0 2 3 3 3 0 1 2 2 0 0 -> 0 0 0 1 1 2 3 0 0 0 2 1 3 2 0 0 3 0 , 2 0 3 1 0 2 3 0 0 2 0 1 2 2 3 2 0 0 -> 0 0 2 3 2 0 0 0 3 0 0 2 1 2 1 2 2 3 , 0 0 0 3 0 0 0 0 3 1 1 3 2 0 3 2 0 0 -> 3 0 0 0 3 3 0 3 0 0 2 1 0 2 1 0 0 0 , 2 3 3 3 2 3 0 0 0 1 3 1 1 1 2 1 0 0 -> 3 1 2 1 1 0 0 3 0 3 0 2 2 3 3 1 1 0 , 3 1 0 1 1 1 0 3 2 3 3 3 1 2 3 1 0 0 -> 3 1 1 2 3 1 3 0 2 3 0 3 1 1 3 0 1 0 , 2 2 1 0 3 2 1 2 0 0 1 3 2 0 1 3 0 0 -> 0 2 2 1 2 3 2 1 1 0 2 3 1 0 3 0 0 0 , 1 0 3 1 2 2 2 1 2 2 0 3 1 3 2 1 3 0 -> 2 2 2 1 1 0 2 1 3 2 3 3 1 0 2 1 3 0 , 0 1 2 3 0 2 0 1 1 2 2 2 0 3 2 0 3 0 -> 0 2 2 2 2 2 2 0 1 0 3 3 0 3 0 1 1 0 , 0 3 3 2 0 1 3 0 1 2 0 2 0 1 3 0 3 0 -> 0 3 3 0 0 2 0 2 0 2 3 1 1 3 1 3 0 0 , 3 1 0 0 3 2 2 3 2 0 0 1 1 1 3 2 2 3 -> 0 2 3 0 3 1 2 2 1 2 3 0 0 2 1 1 3 3 , 1 0 0 1 0 3 3 3 1 2 3 3 0 0 1 3 2 3 -> 1 0 3 3 0 3 0 2 2 3 1 0 1 3 0 1 3 3 , 3 3 2 0 1 3 1 3 3 2 2 3 1 1 0 3 2 3 -> 0 3 3 3 3 2 1 2 3 0 2 2 1 3 3 1 1 3 , 0 2 0 0 3 2 1 0 3 1 0 3 1 2 3 3 2 3 -> 0 3 0 2 2 2 2 1 3 3 3 3 3 0 0 1 0 1 , 3 3 3 1 0 1 2 1 3 3 3 2 2 0 3 3 2 3 -> 2 0 3 3 3 3 0 3 3 3 3 1 2 2 2 1 1 3 , 0 1 3 1 3 1 1 3 0 3 1 2 3 1 3 0 1 3 -> 3 2 3 1 1 1 1 1 1 0 3 0 3 0 3 3 3 1 , 3 3 0 2 0 0 0 0 1 2 2 2 2 3 3 0 1 3 -> 3 3 0 1 2 3 0 2 2 0 0 0 2 3 0 2 1 3 , 0 0 1 0 3 0 3 1 3 0 3 2 2 3 2 3 1 3 -> 0 0 3 0 0 2 1 1 3 3 2 3 2 3 3 1 0 3 , 3 3 3 2 0 1 0 3 2 2 0 1 1 3 0 3 1 3 -> 3 3 2 3 2 3 1 2 0 3 0 3 0 1 1 1 0 3 , 0 1 1 2 3 2 0 0 2 0 2 1 3 2 2 1 0 3 -> 0 3 3 1 2 2 1 3 0 2 2 0 2 1 2 1 0 0 , 2 2 2 0 1 2 0 1 3 1 3 2 0 3 0 2 3 3 -> 3 1 2 2 2 0 2 1 0 3 2 1 0 0 2 3 3 3 , 1 2 3 2 0 2 0 2 3 1 3 2 3 1 2 1 3 3 -> 1 1 3 3 2 1 2 2 3 3 1 3 0 2 2 2 3 0 , 0 1 2 0 2 3 3 0 3 3 1 3 2 0 0 1 3 3 -> 3 2 3 2 0 0 0 3 0 1 1 3 1 2 3 3 0 3 , 3 2 0 2 0 0 2 2 0 1 0 3 3 3 2 0 3 3 -> 2 2 3 2 2 3 0 3 0 0 1 3 0 0 2 3 0 3 , 0 2 0 1 0 3 3 1 0 2 2 1 0 3 2 3 3 3 -> 0 2 1 3 2 3 0 1 2 3 1 2 0 0 3 0 3 3 } Applying sparse 2-tiling [Hofbauer/Geser/Waldmann, FSCD 2019]. After renaming modulo { (0,0)->0, (0,1)->1, (1,2)->2, (2,0)->3, (0,3)->4, (3,0)->5, (1,1)->6, (1,3)->7, (3,1)->8, (3,3)->9, (2,2)->10, (1,0)->11, (0,2)->12, (2,1)->13, (3,2)->14, (2,3)->15, (2,5)->16, (4,0)->17, (4,1)->18, (4,3)->19, (1,5)->20, (4,2)->21, (0,5)->22, (3,5)->23 }, it remains to prove termination of the 2000-rule system { 0 1 2 3 4 5 0 1 6 7 8 7 9 5 1 2 10 10 3 -> 0 1 11 4 8 7 8 6 7 5 0 12 13 2 3 4 14 10 3 , 0 1 2 3 4 5 0 1 6 7 8 7 9 5 1 2 10 10 13 -> 0 1 11 4 8 7 8 6 7 5 0 12 13 2 3 4 14 10 13 , 0 1 2 3 4 5 0 1 6 7 8 7 9 5 1 2 10 10 10 -> 0 1 11 4 8 7 8 6 7 5 0 12 13 2 3 4 14 10 10 , 0 1 2 3 4 5 0 1 6 7 8 7 9 5 1 2 10 10 15 -> 0 1 11 4 8 7 8 6 7 5 0 12 13 2 3 4 14 10 15 , 0 1 2 3 4 5 0 1 6 7 8 7 9 5 1 2 10 10 16 -> 0 1 11 4 8 7 8 6 7 5 0 12 13 2 3 4 14 10 16 , 11 1 2 3 4 5 0 1 6 7 8 7 9 5 1 2 10 10 3 -> 11 1 11 4 8 7 8 6 7 5 0 12 13 2 3 4 14 10 3 , 11 1 2 3 4 5 0 1 6 7 8 7 9 5 1 2 10 10 13 -> 11 1 11 4 8 7 8 6 7 5 0 12 13 2 3 4 14 10 13 , 11 1 2 3 4 5 0 1 6 7 8 7 9 5 1 2 10 10 10 -> 11 1 11 4 8 7 8 6 7 5 0 12 13 2 3 4 14 10 10 , 11 1 2 3 4 5 0 1 6 7 8 7 9 5 1 2 10 10 15 -> 11 1 11 4 8 7 8 6 7 5 0 12 13 2 3 4 14 10 15 , 11 1 2 3 4 5 0 1 6 7 8 7 9 5 1 2 10 10 16 -> 11 1 11 4 8 7 8 6 7 5 0 12 13 2 3 4 14 10 16 , 3 1 2 3 4 5 0 1 6 7 8 7 9 5 1 2 10 10 3 -> 3 1 11 4 8 7 8 6 7 5 0 12 13 2 3 4 14 10 3 , 3 1 2 3 4 5 0 1 6 7 8 7 9 5 1 2 10 10 13 -> 3 1 11 4 8 7 8 6 7 5 0 12 13 2 3 4 14 10 13 , 3 1 2 3 4 5 0 1 6 7 8 7 9 5 1 2 10 10 10 -> 3 1 11 4 8 7 8 6 7 5 0 12 13 2 3 4 14 10 10 , 3 1 2 3 4 5 0 1 6 7 8 7 9 5 1 2 10 10 15 -> 3 1 11 4 8 7 8 6 7 5 0 12 13 2 3 4 14 10 15 , 3 1 2 3 4 5 0 1 6 7 8 7 9 5 1 2 10 10 16 -> 3 1 11 4 8 7 8 6 7 5 0 12 13 2 3 4 14 10 16 , 5 1 2 3 4 5 0 1 6 7 8 7 9 5 1 2 10 10 3 -> 5 1 11 4 8 7 8 6 7 5 0 12 13 2 3 4 14 10 3 , 5 1 2 3 4 5 0 1 6 7 8 7 9 5 1 2 10 10 13 -> 5 1 11 4 8 7 8 6 7 5 0 12 13 2 3 4 14 10 13 , 5 1 2 3 4 5 0 1 6 7 8 7 9 5 1 2 10 10 10 -> 5 1 11 4 8 7 8 6 7 5 0 12 13 2 3 4 14 10 10 , 5 1 2 3 4 5 0 1 6 7 8 7 9 5 1 2 10 10 15 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10 15 8 6 11 1 7 14 13 2 3 1 6 2 10 16 -> 1 6 7 14 10 15 5 12 13 6 6 2 13 2 10 3 0 12 16 , 11 12 10 10 15 8 6 11 1 7 14 13 2 3 1 6 2 10 3 -> 6 6 7 14 10 15 5 12 13 6 6 2 13 2 10 3 0 12 3 , 11 12 10 10 15 8 6 11 1 7 14 13 2 3 1 6 2 10 13 -> 6 6 7 14 10 15 5 12 13 6 6 2 13 2 10 3 0 12 13 , 11 12 10 10 15 8 6 11 1 7 14 13 2 3 1 6 2 10 10 -> 6 6 7 14 10 15 5 12 13 6 6 2 13 2 10 3 0 12 10 , 11 12 10 10 15 8 6 11 1 7 14 13 2 3 1 6 2 10 15 -> 6 6 7 14 10 15 5 12 13 6 6 2 13 2 10 3 0 12 15 , 11 12 10 10 15 8 6 11 1 7 14 13 2 3 1 6 2 10 16 -> 6 6 7 14 10 15 5 12 13 6 6 2 13 2 10 3 0 12 16 , 3 12 10 10 15 8 6 11 1 7 14 13 2 3 1 6 2 10 3 -> 13 6 7 14 10 15 5 12 13 6 6 2 13 2 10 3 0 12 3 , 3 12 10 10 15 8 6 11 1 7 14 13 2 3 1 6 2 10 13 -> 13 6 7 14 10 15 5 12 13 6 6 2 13 2 10 3 0 12 13 , 3 12 10 10 15 8 6 11 1 7 14 13 2 3 1 6 2 10 10 -> 13 6 7 14 10 15 5 12 13 6 6 2 13 2 10 3 0 12 10 , 3 12 10 10 15 8 6 11 1 7 14 13 2 3 1 6 2 10 15 -> 13 6 7 14 10 15 5 12 13 6 6 2 13 2 10 3 0 12 15 , 3 12 10 10 15 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interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 11 is interpreted by / \ | 1 2 | | 0 1 | \ / 12 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 13 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 14 is interpreted by / \ | 1 3 | | 0 1 | \ / 15 is interpreted by / \ | 1 2 | | 0 1 | \ / 16 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 17 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 18 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 19 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 20 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 21 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 22 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 23 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / After renaming modulo { }, it remains to prove termination of the 0-rule system { } The system is trivially terminating.