YES After renaming modulo { 0->0, 2->1, 1->2, 3->3 }, it remains to prove termination of the 80-rule system { 0 0 0 0 1 1 0 2 3 2 1 3 2 0 1 0 3 3 -> 0 0 1 1 3 3 0 0 3 0 0 1 1 0 2 2 2 3 , 0 0 0 3 2 1 3 2 1 0 2 2 3 1 3 2 2 1 -> 0 3 0 2 3 2 2 2 0 0 1 1 2 2 3 1 1 3 , 0 0 2 2 1 1 3 0 2 3 2 3 3 2 3 3 0 3 -> 0 3 2 2 0 1 3 2 0 0 2 1 3 3 3 2 3 3 , 0 0 2 1 2 3 2 1 0 2 1 0 3 3 3 2 2 1 -> 1 3 1 3 2 2 2 2 3 0 1 2 0 3 2 0 0 1 , 0 0 2 1 3 1 2 1 2 1 2 3 0 1 2 2 1 1 -> 1 1 0 1 1 2 2 2 1 0 0 3 2 2 2 3 1 1 , 0 0 2 3 0 2 3 2 2 0 3 0 2 3 0 3 0 3 -> 0 0 0 0 3 2 3 0 2 2 3 3 3 0 2 2 3 0 , 0 0 2 3 2 3 1 3 3 2 1 0 2 3 3 0 2 2 -> 1 3 3 2 2 3 0 3 0 2 3 0 0 2 3 1 2 2 , 0 2 0 3 0 1 0 2 3 0 3 0 2 1 1 0 0 3 -> 0 3 0 0 0 1 1 2 0 0 3 0 1 3 3 2 2 0 , 0 2 2 3 3 2 3 3 2 1 2 2 3 0 1 0 2 1 -> 0 3 1 2 1 2 2 2 2 2 0 3 0 1 3 3 2 3 , 0 2 1 0 2 2 2 1 2 2 1 2 0 3 0 2 0 2 -> 2 1 0 0 0 1 2 0 1 2 2 2 2 3 2 2 0 2 , 0 2 1 2 1 0 3 3 2 1 2 3 2 1 2 3 2 0 -> 1 3 1 2 2 2 2 0 1 1 2 2 0 3 3 2 0 3 , 0 2 1 1 2 1 1 0 0 2 0 3 0 2 2 3 3 2 -> 0 2 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0 1 2 0 2 1 3 0 3 3 3 2 2 1 3 3 , 2 3 1 2 3 1 0 2 2 2 3 2 2 1 2 3 1 1 -> 2 2 3 2 0 1 2 2 3 1 2 2 2 3 1 1 3 1 , 2 3 1 3 0 1 1 2 1 0 0 3 2 3 1 0 2 3 -> 2 3 0 0 1 2 1 3 3 2 2 0 3 1 0 1 1 3 , 2 3 3 0 2 0 0 1 0 0 2 3 2 3 2 0 2 3 -> 2 2 3 0 3 0 0 2 2 3 1 0 3 3 2 0 2 0 , 1 0 1 0 1 0 3 2 1 0 2 3 2 2 0 2 2 0 -> 1 2 2 2 0 0 1 3 0 0 2 2 2 3 1 1 0 0 , 1 2 0 2 1 2 2 0 1 3 2 2 1 2 0 2 2 1 -> 1 2 0 0 2 1 1 2 2 0 2 2 2 1 2 3 2 1 , 1 2 1 1 2 0 2 1 3 3 2 0 2 2 1 0 2 2 -> 1 2 3 0 0 2 3 0 1 1 2 1 2 2 2 1 2 2 , 1 2 3 2 1 2 2 0 0 2 0 1 2 1 1 2 2 1 -> 1 2 2 1 2 2 0 0 2 2 1 0 3 1 1 2 2 1 , 1 2 3 2 1 2 3 3 0 1 0 1 2 1 1 3 0 1 -> 1 2 1 1 2 2 1 3 3 1 0 1 1 0 2 3 0 3 , 1 1 0 1 1 1 2 1 2 3 0 0 2 0 3 3 0 0 -> 1 0 1 0 2 3 1 1 1 2 0 0 3 1 2 3 0 0 , 1 1 0 1 1 3 1 0 3 3 0 3 0 0 3 1 1 3 -> 1 3 1 3 1 0 3 3 1 0 3 0 0 1 0 1 1 3 , 1 1 2 1 3 2 2 2 0 1 3 3 3 0 2 0 1 3 -> 1 1 2 2 2 2 1 1 2 3 0 3 0 0 3 3 1 3 , 1 1 1 1 0 3 1 1 0 3 2 0 2 3 3 2 0 1 -> 1 1 1 1 2 0 1 1 2 0 3 2 0 3 0 3 3 1 , 1 1 3 2 3 0 0 3 2 3 1 0 2 2 3 3 3 0 -> 3 0 0 1 1 3 1 3 2 2 2 2 3 3 3 0 3 0 , 1 3 2 0 2 3 3 2 1 2 3 0 1 0 3 3 2 0 -> 3 2 2 2 0 3 1 2 3 0 3 2 0 1 0 1 3 3 , 1 3 2 1 0 0 3 1 1 1 1 0 0 0 2 0 2 3 -> 1 1 0 1 1 1 0 0 3 0 3 3 0 2 2 0 2 1 , 1 3 1 3 1 3 0 1 3 0 3 0 2 0 1 3 3 3 -> 1 3 0 3 3 1 3 1 2 0 0 3 1 0 3 1 3 3 , 1 3 3 2 1 2 3 0 0 3 2 3 0 3 2 0 2 1 -> 1 1 1 3 3 2 0 3 3 2 2 3 0 0 3 2 2 0 , 1 3 3 1 3 3 2 3 1 3 1 3 3 1 2 3 1 3 -> 1 3 1 3 1 1 2 3 1 2 3 3 3 3 3 3 1 3 , 3 0 0 0 2 0 1 1 2 1 3 1 3 0 2 0 0 1 -> 3 0 2 0 0 1 1 3 3 1 0 2 2 0 0 1 0 1 , 3 0 0 3 0 1 3 2 1 0 0 2 1 3 0 0 0 2 -> 3 0 2 0 0 0 0 1 2 0 1 1 0 3 3 0 3 2 , 3 0 2 0 0 2 2 3 2 2 3 0 0 2 3 2 3 3 -> 3 3 0 2 3 2 2 0 2 2 2 3 0 3 3 0 2 0 , 3 0 2 1 0 0 1 0 0 2 3 0 2 2 2 0 2 2 -> 0 1 2 2 2 2 0 0 2 0 3 0 3 0 1 0 2 2 , 3 0 2 3 3 2 2 3 2 1 2 2 3 1 3 2 0 2 -> 3 2 2 3 3 2 3 3 0 2 1 2 2 3 1 2 0 2 , 3 0 1 3 1 0 3 2 0 3 3 2 2 1 3 2 3 2 -> 3 1 3 1 3 3 2 2 2 3 0 0 3 0 1 2 3 2 , 3 0 3 0 2 2 1 2 1 3 3 2 0 1 1 3 2 1 -> 1 0 2 3 3 3 1 3 1 0 2 2 2 1 0 1 2 3 , 3 2 0 0 1 0 2 2 1 2 3 1 1 1 1 0 0 0 -> 1 3 1 2 0 1 3 2 0 0 2 2 1 1 1 0 0 0 , 3 2 0 1 0 3 2 0 1 1 1 3 2 1 1 3 2 3 -> 1 1 3 2 1 3 0 1 3 1 3 0 0 3 2 2 2 1 , 3 2 0 3 2 1 1 3 2 3 3 3 1 2 2 3 0 2 -> 1 3 1 2 1 3 3 2 2 3 3 2 2 0 3 3 0 2 , 3 2 1 2 3 0 0 1 2 1 3 1 0 2 3 2 3 3 -> 3 2 2 3 0 3 2 3 1 3 0 1 2 3 1 1 2 0 , 3 2 1 3 1 1 1 1 1 2 0 2 0 1 0 0 0 3 -> 3 1 3 1 0 2 0 1 2 0 1 1 2 1 1 0 0 3 , 3 2 3 2 1 2 0 2 0 3 3 2 1 3 3 3 0 3 -> 3 3 3 2 2 0 3 0 1 2 2 3 2 3 3 1 0 3 , 3 2 3 2 1 3 0 1 3 3 2 3 2 2 1 2 0 0 -> 1 0 3 2 3 2 1 2 3 3 3 2 2 3 1 2 0 0 , 3 2 3 1 2 3 2 0 2 1 1 3 3 0 3 3 2 2 -> 3 3 3 2 1 0 1 2 3 1 3 3 3 0 2 2 2 2 , 3 2 3 1 1 1 1 3 1 0 3 0 0 3 1 1 1 1 -> 1 1 2 0 3 1 1 1 3 0 0 1 3 3 3 1 1 1 , 3 1 1 1 2 0 2 3 2 2 1 3 2 0 2 2 3 3 -> 3 2 1 3 2 2 2 3 0 1 1 1 3 2 2 2 0 3 , 3 3 0 1 2 1 1 3 2 1 0 1 0 2 3 0 0 2 -> 1 2 3 1 3 3 1 3 0 0 0 1 0 0 1 2 2 2 , 3 3 2 0 1 2 1 2 3 3 2 3 2 1 3 1 2 0 -> 3 3 1 2 2 2 2 2 3 3 3 1 0 3 2 1 0 1 , 3 3 2 0 3 0 3 1 1 1 3 2 2 1 3 1 2 3 -> 1 2 2 2 3 0 3 1 0 1 3 3 3 1 2 1 3 3 , 3 3 2 2 1 3 1 2 1 2 1 3 0 0 1 1 2 2 -> 3 1 2 1 2 1 3 0 1 3 3 1 0 1 2 2 2 2 , 3 3 1 2 0 1 3 2 1 1 1 1 2 3 3 0 3 1 -> 3 1 3 0 1 1 2 2 3 3 1 2 0 3 1 1 3 1 , 3 3 1 1 3 0 3 2 1 3 3 0 2 1 2 1 0 1 -> 3 1 2 2 1 3 1 1 2 3 3 3 0 0 3 0 1 1 , 3 3 3 2 0 1 2 0 2 3 3 2 3 3 3 0 2 1 -> 3 3 0 3 3 1 2 0 1 3 3 3 2 0 2 2 2 3 } Applying sparse 2-tiling [Hofbauer/Geser/Waldmann, FSCD 2019]. After renaming modulo { (0,0)->0, (0,1)->1, (1,1)->2, (1,0)->3, (0,2)->4, (2,3)->5, (3,2)->6, (2,1)->7, (1,3)->8, (2,0)->9, (0,3)->10, (3,3)->11, (3,0)->12, (2,2)->13, (3,1)->14, (3,5)->15, (4,0)->16, (1,2)->17, (1,5)->18, (4,1)->19, (0,5)->20, (2,5)->21, (4,2)->22, (4,3)->23 }, it remains to prove termination of the 2000-rule system { 0 0 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 6 9 1 3 10 11 12 -> 0 0 1 2 8 11 12 0 10 12 0 1 2 3 4 13 13 5 12 , 0 0 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 6 9 1 3 10 11 14 -> 0 0 1 2 8 11 12 0 10 12 0 1 2 3 4 13 13 5 14 , 0 0 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 6 9 1 3 10 11 6 -> 0 0 1 2 8 11 12 0 10 12 0 1 2 3 4 13 13 5 6 , 0 0 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 6 9 1 3 10 11 11 -> 0 0 1 2 8 11 12 0 10 12 0 1 2 3 4 13 13 5 11 , 0 0 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 6 9 1 3 10 11 15 -> 0 0 1 2 8 11 12 0 10 12 0 1 2 3 4 13 13 5 15 , 3 0 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 6 9 1 3 10 11 12 -> 3 0 1 2 8 11 12 0 10 12 0 1 2 3 4 13 13 5 12 , 3 0 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 6 9 1 3 10 11 14 -> 3 0 1 2 8 11 12 0 10 12 0 1 2 3 4 13 13 5 14 , 3 0 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 6 9 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7 8 14 2 17 5 11 11 12 0 10 12 1 2 18 , 10 11 11 6 9 1 17 9 4 5 11 6 5 11 11 12 4 7 3 -> 10 11 12 10 11 14 17 9 1 8 11 11 6 9 4 13 13 5 12 , 10 11 11 6 9 1 17 9 4 5 11 6 5 11 11 12 4 7 2 -> 10 11 12 10 11 14 17 9 1 8 11 11 6 9 4 13 13 5 14 , 10 11 11 6 9 1 17 9 4 5 11 6 5 11 11 12 4 7 17 -> 10 11 12 10 11 14 17 9 1 8 11 11 6 9 4 13 13 5 6 , 10 11 11 6 9 1 17 9 4 5 11 6 5 11 11 12 4 7 8 -> 10 11 12 10 11 14 17 9 1 8 11 11 6 9 4 13 13 5 11 , 10 11 11 6 9 1 17 9 4 5 11 6 5 11 11 12 4 7 18 -> 10 11 12 10 11 14 17 9 1 8 11 11 6 9 4 13 13 5 15 , 8 11 11 6 9 1 17 9 4 5 11 6 5 11 11 12 4 7 3 -> 8 11 12 10 11 14 17 9 1 8 11 11 6 9 4 13 13 5 12 , 8 11 11 6 9 1 17 9 4 5 11 6 5 11 11 12 4 7 2 -> 8 11 12 10 11 14 17 9 1 8 11 11 6 9 4 13 13 5 14 , 8 11 11 6 9 1 17 9 4 5 11 6 5 11 11 12 4 7 17 -> 8 11 12 10 11 14 17 9 1 8 11 11 6 9 4 13 13 5 6 , 8 11 11 6 9 1 17 9 4 5 11 6 5 11 11 12 4 7 8 -> 8 11 12 10 11 14 17 9 1 8 11 11 6 9 4 13 13 5 11 , 8 11 11 6 9 1 17 9 4 5 11 6 5 11 11 12 4 7 18 -> 8 11 12 10 11 14 17 9 1 8 11 11 6 9 4 13 13 5 15 , 5 11 11 6 9 1 17 9 4 5 11 6 5 11 11 12 4 7 3 -> 5 11 12 10 11 14 17 9 1 8 11 11 6 9 4 13 13 5 12 , 5 11 11 6 9 1 17 9 4 5 11 6 5 11 11 12 4 7 2 -> 5 11 12 10 11 14 17 9 1 8 11 11 6 9 4 13 13 5 14 , 5 11 11 6 9 1 17 9 4 5 11 6 5 11 11 12 4 7 17 -> 5 11 12 10 11 14 17 9 1 8 11 11 6 9 4 13 13 5 6 , 5 11 11 6 9 1 17 9 4 5 11 6 5 11 11 12 4 7 8 -> 5 11 12 10 11 14 17 9 1 8 11 11 6 9 4 13 13 5 11 , 5 11 11 6 9 1 17 9 4 5 11 6 5 11 11 12 4 7 18 -> 5 11 12 10 11 14 17 9 1 8 11 11 6 9 4 13 13 5 15 , 11 11 11 6 9 1 17 9 4 5 11 6 5 11 11 12 4 7 3 -> 11 11 12 10 11 14 17 9 1 8 11 11 6 9 4 13 13 5 12 , 11 11 11 6 9 1 17 9 4 5 11 6 5 11 11 12 4 7 2 -> 11 11 12 10 11 14 17 9 1 8 11 11 6 9 4 13 13 5 14 , 11 11 11 6 9 1 17 9 4 5 11 6 5 11 11 12 4 7 17 -> 11 11 12 10 11 14 17 9 1 8 11 11 6 9 4 13 13 5 6 , 11 11 11 6 9 1 17 9 4 5 11 6 5 11 11 12 4 7 8 -> 11 11 12 10 11 14 17 9 1 8 11 11 6 9 4 13 13 5 11 , 11 11 11 6 9 1 17 9 4 5 11 6 5 11 11 12 4 7 18 -> 11 11 12 10 11 14 17 9 1 8 11 11 6 9 4 13 13 5 15 , 23 11 11 6 9 1 17 9 4 5 11 6 5 11 11 12 4 7 3 -> 23 11 12 10 11 14 17 9 1 8 11 11 6 9 4 13 13 5 12 , 23 11 11 6 9 1 17 9 4 5 11 6 5 11 11 12 4 7 2 -> 23 11 12 10 11 14 17 9 1 8 11 11 6 9 4 13 13 5 14 , 23 11 11 6 9 1 17 9 4 5 11 6 5 11 11 12 4 7 17 -> 23 11 12 10 11 14 17 9 1 8 11 11 6 9 4 13 13 5 6 , 23 11 11 6 9 1 17 9 4 5 11 6 5 11 11 12 4 7 8 -> 23 11 12 10 11 14 17 9 1 8 11 11 6 9 4 13 13 5 11 , 23 11 11 6 9 1 17 9 4 5 11 6 5 11 11 12 4 7 18 -> 23 11 12 10 11 14 17 9 1 8 11 11 6 9 4 13 13 5 15 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 2: 0 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 1 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 2 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 3 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 4 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 5 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 6 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 7 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 8 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 9 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 10 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 11 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 12 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 13 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 14 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 15 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 16 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 17 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 18 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 19 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 20 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 21 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 22 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 23 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / After renaming modulo { 0->0, 4->1, 13->2, 7->3, 2->4, 8->5, 12->6, 5->7, 6->8, 11->9, 10->10, 9->11, 1->12, 14->13, 15->14, 3->15, 16->16, 17->17, 21->18, 18->19, 20->20, 22->21, 19->22, 23->23 }, it remains to prove termination of the 400-rule system { 0 0 1 2 3 4 5 6 1 7 8 7 9 8 7 9 6 10 6 -> 0 10 8 2 11 12 5 8 11 0 1 3 5 9 9 8 7 9 6 , 0 0 1 2 3 4 5 6 1 7 8 7 9 8 7 9 6 10 13 -> 0 10 8 2 11 12 5 8 11 0 1 3 5 9 9 8 7 9 13 , 0 0 1 2 3 4 5 6 1 7 8 7 9 8 7 9 6 10 8 -> 0 10 8 2 11 12 5 8 11 0 1 3 5 9 9 8 7 9 8 , 0 0 1 2 3 4 5 6 1 7 8 7 9 8 7 9 6 10 9 -> 0 10 8 2 11 12 5 8 11 0 1 3 5 9 9 8 7 9 9 , 0 0 1 2 3 4 5 6 1 7 8 7 9 8 7 9 6 10 14 -> 0 10 8 2 11 12 5 8 11 0 1 3 5 9 9 8 7 9 14 , 15 0 1 2 3 4 5 6 1 7 8 7 9 8 7 9 6 10 6 -> 15 10 8 2 11 12 5 8 11 0 1 3 5 9 9 8 7 9 6 , 15 0 1 2 3 4 5 6 1 7 8 7 9 8 7 9 6 10 13 -> 15 10 8 2 11 12 5 8 11 0 1 3 5 9 9 8 7 9 13 , 15 0 1 2 3 4 5 6 1 7 8 7 9 8 7 9 6 10 8 -> 15 10 8 2 11 12 5 8 11 0 1 3 5 9 9 8 7 9 8 , 15 0 1 2 3 4 5 6 1 7 8 7 9 8 7 9 6 10 9 -> 15 10 8 2 11 12 5 8 11 0 1 3 5 9 9 8 7 9 9 , 15 0 1 2 3 4 5 6 1 7 8 7 9 8 7 9 6 10 14 -> 15 10 8 2 11 12 5 8 11 0 1 3 5 9 9 8 7 9 14 , 11 0 1 2 3 4 5 6 1 7 8 7 9 8 7 9 6 10 6 -> 11 10 8 2 11 12 5 8 11 0 1 3 5 9 9 8 7 9 6 , 11 0 1 2 3 4 5 6 1 7 8 7 9 8 7 9 6 10 13 -> 11 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4 4 4 5 13 15 10 6 0 10 13 4 4 4 15 -> 3 4 17 11 10 13 4 4 5 6 0 12 5 9 9 13 4 4 15 , 7 8 7 13 4 4 4 5 13 15 10 6 0 10 13 4 4 4 4 -> 3 4 17 11 10 13 4 4 5 6 0 12 5 9 9 13 4 4 4 , 7 8 7 13 4 4 4 5 13 15 10 6 0 10 13 4 4 4 17 -> 3 4 17 11 10 13 4 4 5 6 0 12 5 9 9 13 4 4 17 , 7 8 7 13 4 4 4 5 13 15 10 6 0 10 13 4 4 4 5 -> 3 4 17 11 10 13 4 4 5 6 0 12 5 9 9 13 4 4 5 , 7 8 7 13 4 4 4 5 13 15 10 6 0 10 13 4 4 4 19 -> 3 4 17 11 10 13 4 4 5 6 0 12 5 9 9 13 4 4 19 , 9 8 7 13 4 4 4 5 13 15 10 6 0 10 13 4 4 4 15 -> 13 4 17 11 10 13 4 4 5 6 0 12 5 9 9 13 4 4 15 , 9 8 7 13 4 4 4 5 13 15 10 6 0 10 13 4 4 4 4 -> 13 4 17 11 10 13 4 4 5 6 0 12 5 9 9 13 4 4 4 , 9 8 7 13 4 4 4 5 13 15 10 6 0 10 13 4 4 4 17 -> 13 4 17 11 10 13 4 4 5 6 0 12 5 9 9 13 4 4 17 , 9 8 7 13 4 4 4 5 13 15 10 6 0 10 13 4 4 4 5 -> 13 4 17 11 10 13 4 4 5 6 0 12 5 9 9 13 4 4 5 , 9 8 7 13 4 4 4 5 13 15 10 6 0 10 13 4 4 4 19 -> 13 4 17 11 10 13 4 4 5 6 0 12 5 9 9 13 4 4 19 , 23 8 7 13 4 4 4 5 13 15 10 6 0 10 13 4 4 4 15 -> 22 4 17 11 10 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| | 0 1 | \ / 11 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 12 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 13 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 14 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 15 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 16 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 17 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 18 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 19 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 20 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 21 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 22 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 23 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / After renaming modulo { 0->0, 1->1, 2->2, 3->3, 4->4, 5->5, 6->6, 7->7, 8->8, 9->9, 10->10, 11->11, 12->12, 13->13, 14->14, 15->15, 16->16, 17->17, 19->18, 22->19, 20->20 }, it remains to prove termination of the 145-rule system { 0 0 1 2 3 4 5 6 1 7 8 7 9 8 7 9 6 10 6 -> 0 10 8 2 11 12 5 8 11 0 1 3 5 9 9 8 7 9 6 , 0 0 1 2 3 4 5 6 1 7 8 7 9 8 7 9 6 10 13 -> 0 10 8 2 11 12 5 8 11 0 1 3 5 9 9 8 7 9 13 , 0 0 1 2 3 4 5 6 1 7 8 7 9 8 7 9 6 10 8 -> 0 10 8 2 11 12 5 8 11 0 1 3 5 9 9 8 7 9 8 , 0 0 1 2 3 4 5 6 1 7 8 7 9 8 7 9 6 10 9 -> 0 10 8 2 11 12 5 8 11 0 1 3 5 9 9 8 7 9 9 , 0 0 1 2 3 4 5 6 1 7 8 7 9 8 7 9 6 10 14 -> 0 10 8 2 11 12 5 8 11 0 1 3 5 9 9 8 7 9 14 , 15 0 1 2 3 4 5 6 1 7 8 7 9 8 7 9 6 10 6 -> 15 10 8 2 11 12 5 8 11 0 1 3 5 9 9 8 7 9 6 , 15 0 1 2 3 4 5 6 1 7 8 7 9 8 7 9 6 10 13 -> 15 10 8 2 11 12 5 8 11 0 1 3 5 9 9 8 7 9 13 , 15 0 1 2 3 4 5 6 1 7 8 7 9 8 7 9 6 10 8 -> 15 10 8 2 11 12 5 8 11 0 1 3 5 9 9 8 7 9 8 , 15 0 1 2 3 4 5 6 1 7 8 7 9 8 7 9 6 10 9 -> 15 10 8 2 11 12 5 8 11 0 1 3 5 9 9 8 7 9 9 , 15 0 1 2 3 4 5 6 1 7 8 7 9 8 7 9 6 10 14 -> 15 10 8 2 11 12 5 8 11 0 1 3 5 9 9 8 7 9 14 , 11 0 1 2 3 4 5 6 1 7 8 7 9 8 7 9 6 10 6 -> 11 10 8 2 11 12 5 8 11 0 1 3 5 9 9 8 7 9 6 , 11 0 1 2 3 4 5 6 1 7 8 7 9 8 7 9 6 10 13 -> 11 10 8 2 11 12 5 8 11 0 1 3 5 9 9 8 7 9 13 , 11 0 1 2 3 4 5 6 1 7 8 7 9 8 7 9 6 10 8 -> 11 10 8 2 11 12 5 8 11 0 1 3 5 9 9 8 7 9 8 , 11 0 1 2 3 4 5 6 1 7 8 7 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10 13 4 5 13 -> 4 5 13 5 13 15 10 9 13 15 10 6 0 12 15 12 4 5 13 , 4 4 15 12 4 5 13 15 10 9 6 10 6 0 10 13 4 5 8 -> 4 5 13 5 13 15 10 9 13 15 10 6 0 12 15 12 4 5 8 , 4 4 15 12 4 5 13 15 10 9 6 10 6 0 10 13 4 5 9 -> 4 5 13 5 13 15 10 9 13 15 10 6 0 12 15 12 4 5 9 , 4 4 15 12 4 5 13 15 10 9 6 10 6 0 10 13 4 5 14 -> 4 5 13 5 13 15 10 9 13 15 10 6 0 12 15 12 4 5 14 , 3 4 15 12 4 5 13 15 10 9 6 10 6 0 10 13 4 5 6 -> 3 5 13 5 13 15 10 9 13 15 10 6 0 12 15 12 4 5 6 , 3 4 15 12 4 5 13 15 10 9 6 10 6 0 10 13 4 5 13 -> 3 5 13 5 13 15 10 9 13 15 10 6 0 12 15 12 4 5 13 , 3 4 15 12 4 5 13 15 10 9 6 10 6 0 10 13 4 5 8 -> 3 5 13 5 13 15 10 9 13 15 10 6 0 12 15 12 4 5 8 , 3 4 15 12 4 5 13 15 10 9 6 10 6 0 10 13 4 5 9 -> 3 5 13 5 13 15 10 9 13 15 10 6 0 12 15 12 4 5 9 , 3 4 15 12 4 5 13 15 10 9 6 10 6 0 10 13 4 5 14 -> 3 5 13 5 13 15 10 9 13 15 10 6 0 12 15 12 4 5 14 , 13 4 15 12 4 5 13 15 10 9 6 10 6 0 10 13 4 5 6 -> 13 5 13 5 13 15 10 9 13 15 10 6 0 12 15 12 4 5 6 , 13 4 15 12 4 5 13 15 10 9 6 10 6 0 10 13 4 5 13 -> 13 5 13 5 13 15 10 9 13 15 10 6 0 12 15 12 4 5 13 , 13 4 15 12 4 5 13 15 10 9 6 10 6 0 10 13 4 5 8 -> 13 5 13 5 13 15 10 9 13 15 10 6 0 12 15 12 4 5 8 , 13 4 15 12 4 5 13 15 10 9 6 10 6 0 10 13 4 5 9 -> 13 5 13 5 13 15 10 9 13 15 10 6 0 12 15 12 4 5 9 , 13 4 15 12 4 5 13 15 10 9 6 10 6 0 10 13 4 5 14 -> 13 5 13 5 13 15 10 9 13 15 10 6 0 12 15 12 4 5 14 , 19 4 15 12 4 5 13 15 10 9 6 10 6 0 10 13 4 5 6 -> 19 5 13 5 13 15 10 9 13 15 10 6 0 12 15 12 4 5 6 , 19 4 15 12 4 5 13 15 10 9 6 10 6 0 10 13 4 5 13 -> 19 5 13 5 13 15 10 9 13 15 10 6 0 12 15 12 4 5 13 , 19 4 15 12 4 5 13 15 10 9 6 10 6 0 10 13 4 5 8 -> 19 5 13 5 13 15 10 9 13 15 10 6 0 12 15 12 4 5 8 , 19 4 15 12 4 5 13 15 10 9 6 10 6 0 10 13 4 5 9 -> 19 5 13 5 13 15 10 9 13 15 10 6 0 12 15 12 4 5 9 , 19 4 15 12 4 5 13 15 10 9 6 10 6 0 10 13 4 5 14 -> 19 5 13 5 13 15 10 9 13 15 10 6 0 12 15 12 4 5 14 , 10 8 11 0 12 15 1 2 3 17 7 13 4 4 4 15 0 0 0 -> 12 5 13 17 11 12 5 8 11 0 1 2 3 4 4 15 0 0 0 , 10 8 11 0 12 15 1 2 3 17 7 13 4 4 4 15 0 0 12 -> 12 5 13 17 11 12 5 8 11 0 1 2 3 4 4 15 0 0 12 , 10 8 11 0 12 15 1 2 3 17 7 13 4 4 4 15 0 0 1 -> 12 5 13 17 11 12 5 8 11 0 1 2 3 4 4 15 0 0 1 , 10 8 11 0 12 15 1 2 3 17 7 13 4 4 4 15 0 0 10 -> 12 5 13 17 11 12 5 8 11 0 1 2 3 4 4 15 0 0 10 , 10 8 11 0 12 15 1 2 3 17 7 13 4 4 4 15 0 0 20 -> 12 5 13 17 11 12 5 8 11 0 1 2 3 4 4 15 0 0 20 , 5 8 11 0 12 15 1 2 3 17 7 13 4 4 4 15 0 0 0 -> 4 5 13 17 11 12 5 8 11 0 1 2 3 4 4 15 0 0 0 , 5 8 11 0 12 15 1 2 3 17 7 13 4 4 4 15 0 0 12 -> 4 5 13 17 11 12 5 8 11 0 1 2 3 4 4 15 0 0 12 , 5 8 11 0 12 15 1 2 3 17 7 13 4 4 4 15 0 0 1 -> 4 5 13 17 11 12 5 8 11 0 1 2 3 4 4 15 0 0 1 , 5 8 11 0 12 15 1 2 3 17 7 13 4 4 4 15 0 0 10 -> 4 5 13 17 11 12 5 8 11 0 1 2 3 4 4 15 0 0 10 , 5 8 11 0 12 15 1 2 3 17 7 13 4 4 4 15 0 0 20 -> 4 5 13 17 11 12 5 8 11 0 1 2 3 4 4 15 0 0 20 , 7 8 11 0 12 15 1 2 3 17 7 13 4 4 4 15 0 0 0 -> 3 5 13 17 11 12 5 8 11 0 1 2 3 4 4 15 0 0 0 , 7 8 11 0 12 15 1 2 3 17 7 13 4 4 4 15 0 0 12 -> 3 5 13 17 11 12 5 8 11 0 1 2 3 4 4 15 0 0 12 , 7 8 11 0 12 15 1 2 3 17 7 13 4 4 4 15 0 0 1 -> 3 5 13 17 11 12 5 8 11 0 1 2 3 4 4 15 0 0 1 , 7 8 11 0 12 15 1 2 3 17 7 13 4 4 4 15 0 0 10 -> 3 5 13 17 11 12 5 8 11 0 1 2 3 4 4 15 0 0 10 , 7 8 11 0 12 15 1 2 3 17 7 13 4 4 4 15 0 0 20 -> 3 5 13 17 11 12 5 8 11 0 1 2 3 4 4 15 0 0 20 , 9 8 11 0 12 15 1 2 3 17 7 13 4 4 4 15 0 0 0 -> 13 5 13 17 11 12 5 8 11 0 1 2 3 4 4 15 0 0 0 , 9 8 11 0 12 15 1 2 3 17 7 13 4 4 4 15 0 0 12 -> 13 5 13 17 11 12 5 8 11 0 1 2 3 4 4 15 0 0 12 , 9 8 11 0 12 15 1 2 3 17 7 13 4 4 4 15 0 0 1 -> 13 5 13 17 11 12 5 8 11 0 1 2 3 4 4 15 0 0 1 , 9 8 11 0 12 15 1 2 3 17 7 13 4 4 4 15 0 0 10 -> 13 5 13 17 11 12 5 8 11 0 1 2 3 4 4 15 0 0 10 , 9 8 11 0 12 15 1 2 3 17 7 13 4 4 4 15 0 0 20 -> 13 5 13 17 11 12 5 8 11 0 1 2 3 4 4 15 0 0 20 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 2: 0 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 1 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 2 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 3 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 4 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 5 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 6 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 7 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 8 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 9 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 10 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 11 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 12 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 13 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 14 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 15 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 16 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 17 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 18 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 19 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 20 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / After renaming modulo { 10->0, 8->1, 11->2, 0->3, 12->4, 15->5, 1->6, 2->7, 3->8, 17->9, 7->10, 13->11, 4->12, 5->13, 20->14 }, it remains to prove termination of the 15-rule system { 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12 12 5 3 3 3 -> 4 13 11 9 2 4 13 1 2 3 6 7 8 12 12 5 3 3 3 , 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12 12 5 3 3 4 -> 4 13 11 9 2 4 13 1 2 3 6 7 8 12 12 5 3 3 4 , 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12 12 5 3 3 6 -> 4 13 11 9 2 4 13 1 2 3 6 7 8 12 12 5 3 3 6 , 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12 12 5 3 3 0 -> 4 13 11 9 2 4 13 1 2 3 6 7 8 12 12 5 3 3 0 , 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12 12 5 3 3 14 -> 4 13 11 9 2 4 13 1 2 3 6 7 8 12 12 5 3 3 14 , 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12 12 5 3 3 3 -> 12 13 11 9 2 4 13 1 2 3 6 7 8 12 12 5 3 3 3 , 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12 12 5 3 3 4 -> 12 13 11 9 2 4 13 1 2 3 6 7 8 12 12 5 3 3 4 , 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12 12 5 3 3 6 -> 12 13 11 9 2 4 13 1 2 3 6 7 8 12 12 5 3 3 6 , 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12 12 5 3 3 0 -> 12 13 11 9 2 4 13 1 2 3 6 7 8 12 12 5 3 3 0 , 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12 12 5 3 3 14 -> 12 13 11 9 2 4 13 1 2 3 6 7 8 12 12 5 3 3 14 , 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12 12 5 3 3 3 -> 8 13 11 9 2 4 13 1 2 3 6 7 8 12 12 5 3 3 3 , 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12 12 5 3 3 4 -> 8 13 11 9 2 4 13 1 2 3 6 7 8 12 12 5 3 3 4 , 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12 12 5 3 3 6 -> 8 13 11 9 2 4 13 1 2 3 6 7 8 12 12 5 3 3 6 , 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12 12 5 3 3 0 -> 8 13 11 9 2 4 13 1 2 3 6 7 8 12 12 5 3 3 0 , 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12 12 5 3 3 14 -> 8 13 11 9 2 4 13 1 2 3 6 7 8 12 12 5 3 3 14 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 2: 0 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 1 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 2 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 3 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 4 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 5 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 6 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 7 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 8 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 9 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 10 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 11 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 12 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 13 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 14 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / After renaming modulo { }, it remains to prove termination of the 0-rule system { } The system is trivially terminating.