YES After renaming modulo { 0->0, 1->1, 2->2, 3->3 }, it remains to prove termination of the 80-rule system { 0 0 1 1 2 2 3 2 2 0 1 1 2 0 3 2 2 0 -> 0 0 2 0 0 2 2 2 3 1 2 1 2 1 3 2 1 0 , 0 0 1 1 2 3 0 3 2 0 3 3 3 2 0 3 0 2 -> 0 0 2 0 1 3 3 2 3 2 3 0 1 3 2 3 0 0 , 0 0 2 1 0 1 1 2 3 0 3 2 0 0 1 2 1 1 -> 0 0 0 3 3 2 2 1 0 1 1 2 1 0 0 2 1 1 , 0 0 3 0 1 0 1 1 0 2 1 0 1 3 1 0 1 3 -> 0 0 1 1 0 2 0 0 0 1 1 3 1 0 1 3 1 3 , 0 0 3 3 0 2 0 3 0 2 3 0 2 0 3 0 2 2 -> 0 0 3 2 0 0 0 0 3 0 2 3 0 3 2 2 3 2 , 0 0 3 3 1 0 3 3 1 3 0 2 3 0 3 1 3 0 -> 0 0 3 3 1 3 1 1 0 3 3 0 0 3 3 3 2 0 , 0 1 1 2 0 2 2 1 0 2 3 3 3 2 2 0 3 3 -> 0 0 3 0 2 1 3 3 3 2 2 1 2 1 3 2 0 2 , 0 1 2 2 1 1 1 0 3 2 3 3 3 1 2 1 1 3 -> 0 2 3 3 1 0 1 1 3 2 1 3 2 1 3 1 1 2 , 0 1 3 0 3 3 0 3 1 3 1 0 3 3 3 0 2 3 -> 0 3 0 0 3 1 3 3 0 1 3 2 3 0 3 1 3 3 , 0 1 3 1 1 2 3 3 3 3 0 1 2 2 1 2 3 2 -> 0 2 3 1 3 3 3 3 1 1 2 2 1 1 2 0 3 2 , 0 2 0 1 0 3 2 1 0 2 0 2 0 3 3 3 2 2 -> 0 3 0 2 0 0 3 3 1 2 0 2 3 1 2 0 2 2 , 0 2 2 1 0 3 1 2 0 3 0 3 1 0 0 2 0 2 -> 0 3 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0 3 2 3 0 2 1 0 1 2 1 0 2 1 0 0 , 2 0 1 1 2 3 3 0 0 2 0 1 0 1 2 1 2 0 -> 2 0 2 3 3 2 1 0 0 1 2 0 2 1 1 1 0 0 , 2 0 1 2 2 2 2 2 3 0 0 3 3 1 0 1 1 1 -> 1 2 1 3 3 1 0 0 0 2 3 0 2 2 2 1 2 1 , 2 0 1 2 3 2 0 3 1 0 0 1 1 1 2 3 1 0 -> 1 1 1 0 0 0 3 3 2 1 2 0 3 2 1 2 1 0 , 2 0 2 0 3 0 2 1 1 3 3 1 2 2 3 1 3 3 -> 1 2 2 3 0 2 3 1 3 3 3 2 2 1 0 0 1 3 , 2 0 2 3 3 3 0 3 3 1 2 0 3 1 0 3 2 0 -> 1 1 3 0 3 2 3 2 3 3 2 0 0 3 2 3 0 0 , 2 0 3 0 2 0 2 1 1 1 3 0 2 3 3 3 0 2 -> 3 0 0 2 0 1 3 2 2 2 2 0 0 3 3 1 1 3 , 2 0 3 2 3 0 1 3 2 3 2 3 3 0 2 1 2 1 -> 1 2 0 2 1 3 3 0 0 2 2 3 1 3 3 2 3 2 , 2 0 3 3 1 2 0 1 0 1 0 3 2 1 0 3 1 1 -> 1 0 0 0 1 3 1 2 1 1 3 3 2 1 0 3 0 2 , 2 1 0 3 2 2 0 3 0 2 1 1 0 2 0 2 0 3 -> 3 3 2 2 0 0 0 0 2 2 1 0 0 1 1 3 2 2 , 2 1 1 2 1 2 2 1 2 3 0 0 3 3 0 0 2 2 -> 1 0 0 1 3 2 2 1 2 3 2 2 1 3 2 0 0 2 , 2 1 1 2 2 0 0 0 3 1 3 0 2 2 2 0 1 2 -> 1 2 3 2 1 3 2 0 0 0 0 0 2 2 2 1 1 2 , 2 1 1 2 3 2 3 1 2 3 1 3 1 1 2 0 0 1 -> 2 1 3 1 2 1 3 1 0 2 1 3 1 0 2 3 2 1 , 2 1 1 3 2 2 2 1 1 2 3 0 3 2 3 1 2 3 -> 2 2 2 2 2 1 3 2 3 3 3 2 1 1 1 1 0 3 , 2 1 2 1 1 2 1 0 3 1 2 3 0 2 3 3 0 2 -> 1 3 1 2 0 1 3 2 3 1 0 2 2 0 1 2 3 2 , 2 1 2 2 0 3 2 3 3 3 2 1 1 3 0 2 3 0 -> 1 3 0 3 2 0 2 3 2 2 3 3 2 2 3 1 1 0 , 2 1 2 2 2 1 3 0 0 3 1 2 2 3 1 0 1 1 -> 2 1 3 3 2 1 3 2 1 2 1 2 0 2 0 0 1 1 , 2 1 2 3 3 1 1 2 3 0 1 0 3 0 1 0 0 3 -> 1 0 0 2 3 3 2 1 2 3 0 0 1 3 3 1 1 0 , 2 1 3 0 3 2 1 2 3 2 3 0 3 3 0 2 1 3 -> 3 3 1 0 0 2 3 2 3 2 3 2 0 1 3 3 2 1 , 2 2 0 1 1 2 3 2 1 0 2 2 0 1 2 3 3 1 -> 2 2 2 2 1 3 1 0 2 0 0 2 1 1 3 3 2 1 , 2 2 0 2 3 3 1 0 3 0 2 1 1 0 3 3 2 0 -> 1 1 2 0 2 3 2 3 2 1 0 0 2 3 3 3 0 0 , 2 2 1 0 2 2 2 3 2 0 1 3 0 3 0 3 0 3 -> 2 3 3 2 3 1 0 2 0 0 0 0 2 3 1 2 2 3 , 2 2 3 1 0 3 1 1 3 0 3 0 1 0 3 3 0 2 -> 3 2 3 0 0 2 2 1 1 3 0 0 3 0 1 3 1 3 , 2 3 0 3 2 0 1 2 1 2 3 0 1 3 1 1 1 1 -> 2 1 1 0 1 3 2 2 1 0 0 1 1 3 3 3 2 1 , 2 3 0 3 2 3 0 0 1 3 0 3 2 1 1 2 1 1 -> 2 3 1 3 2 2 0 0 0 2 0 3 1 3 1 1 3 1 , 2 3 0 3 2 3 3 2 1 1 2 0 2 0 3 0 1 2 -> 2 1 3 2 2 0 3 0 1 1 0 0 2 3 3 2 2 3 , 2 3 2 0 3 3 2 1 1 2 2 2 2 3 3 0 3 2 -> 2 1 3 3 2 3 2 2 3 2 2 3 2 3 1 0 2 0 , 3 0 2 0 1 0 1 1 0 2 2 3 0 3 3 0 3 2 -> 2 0 3 0 1 2 0 0 1 3 0 0 1 3 3 2 2 3 , 3 0 3 1 1 2 0 3 1 2 2 3 1 0 3 1 2 0 -> 3 2 1 1 2 1 3 0 0 2 3 3 2 1 0 1 3 0 , 3 0 3 2 0 1 1 2 3 1 1 0 3 0 3 1 0 0 -> 3 0 0 1 1 3 3 0 1 3 1 2 1 3 0 2 0 0 , 3 0 3 2 2 1 3 0 1 3 0 1 2 1 2 1 0 2 -> 2 1 0 0 1 2 1 0 1 3 0 2 3 1 3 2 3 2 , 3 0 3 2 2 2 0 3 3 2 2 3 1 0 1 2 1 3 -> 2 0 0 3 3 2 3 3 2 2 0 2 1 3 2 1 1 3 , 3 1 0 3 1 2 1 1 1 0 3 2 2 0 2 3 3 2 -> 3 2 1 0 2 0 2 0 3 1 3 1 3 1 1 2 3 2 , 3 1 1 1 1 2 1 2 1 2 3 3 1 0 1 1 1 1 -> 3 1 1 1 0 1 1 1 1 3 1 3 2 2 1 2 1 1 , 3 1 1 1 2 0 2 1 3 3 1 0 0 0 0 3 0 0 -> 3 2 3 1 1 1 1 0 0 0 3 1 0 0 2 3 0 0 , 3 2 0 3 0 2 0 0 3 0 1 0 1 0 2 0 1 1 -> 3 2 0 0 0 2 1 0 2 0 0 1 0 0 1 3 1 3 , 3 2 1 0 2 0 1 2 2 0 2 2 0 3 3 2 3 0 -> 3 3 0 0 2 1 2 3 2 2 0 2 0 3 2 2 1 0 , 3 2 1 0 3 2 2 2 3 3 3 0 3 0 3 3 3 1 -> 3 3 3 3 3 1 2 0 0 2 2 3 2 3 3 3 0 1 , 3 2 2 0 3 3 3 3 1 0 3 2 0 1 3 0 3 2 -> 3 1 3 3 1 0 0 3 3 2 0 3 2 0 3 3 2 2 , 3 2 3 1 2 1 3 3 0 3 3 0 2 3 2 2 3 2 -> 3 2 2 1 3 3 2 3 3 3 2 1 0 0 3 2 3 2 , 3 2 3 3 3 0 1 0 3 2 1 3 0 3 3 0 3 1 -> 3 3 2 3 3 0 3 3 3 3 1 3 1 0 2 0 0 1 , 3 3 2 2 3 0 3 0 1 3 3 2 3 3 0 3 2 2 -> 3 3 3 3 3 3 2 2 2 3 3 0 1 2 3 0 0 2 , 3 3 2 3 1 0 3 3 3 0 0 1 3 1 2 0 2 0 -> 3 3 3 2 0 1 3 2 1 3 0 0 1 2 0 3 3 0 } Applying sparse 2-tiling [Hofbauer/Geser/Waldmann, FSCD 2019]. After renaming modulo { (0,0)->0, (0,1)->1, (1,1)->2, (1,2)->3, (2,2)->4, (2,3)->5, (3,2)->6, (2,0)->7, (0,3)->8, (0,2)->9, (3,1)->10, (2,1)->11, (1,3)->12, (1,0)->13, (0,5)->14, (3,0)->15, (4,0)->16, (3,3)->17, (2,5)->18, (1,5)->19, (3,5)->20, (4,1)->21, (4,2)->22, (4,3)->23 }, it remains to prove termination of the 2000-rule system { 0 0 1 2 3 4 5 6 4 7 1 2 3 7 8 6 4 7 0 -> 0 0 9 7 0 9 4 4 5 10 3 11 3 11 12 6 11 13 0 , 0 0 1 2 3 4 5 6 4 7 1 2 3 7 8 6 4 7 1 -> 0 0 9 7 0 9 4 4 5 10 3 11 3 11 12 6 11 13 1 , 0 0 1 2 3 4 5 6 4 7 1 2 3 7 8 6 4 7 9 -> 0 0 9 7 0 9 4 4 5 10 3 11 3 11 12 6 11 13 9 , 0 0 1 2 3 4 5 6 4 7 1 2 3 7 8 6 4 7 8 -> 0 0 9 7 0 9 4 4 5 10 3 11 3 11 12 6 11 13 8 , 0 0 1 2 3 4 5 6 4 7 1 2 3 7 8 6 4 7 14 -> 0 0 9 7 0 9 4 4 5 10 3 11 3 11 12 6 11 13 14 , 13 0 1 2 3 4 5 6 4 7 1 2 3 7 8 6 4 7 0 -> 13 0 9 7 0 9 4 4 5 10 3 11 3 11 12 6 11 13 0 , 13 0 1 2 3 4 5 6 4 7 1 2 3 7 8 6 4 7 1 -> 13 0 9 7 0 9 4 4 5 10 3 11 3 11 12 6 11 13 1 , 13 0 1 2 3 4 5 6 4 7 1 2 3 7 8 6 4 7 9 -> 13 0 9 7 0 9 4 4 5 10 3 11 3 11 12 6 11 13 9 , 13 0 1 2 3 4 5 6 4 7 1 2 3 7 8 6 4 7 8 -> 13 0 9 7 0 9 4 4 5 10 3 11 3 11 12 6 11 13 8 , 13 0 1 2 3 4 5 6 4 7 1 2 3 7 8 6 4 7 14 -> 13 0 9 7 0 9 4 4 5 10 3 11 3 11 12 6 11 13 14 , 7 0 1 2 3 4 5 6 4 7 1 2 3 7 8 6 4 7 0 -> 7 0 9 7 0 9 4 4 5 10 3 11 3 11 12 6 11 13 0 , 7 0 1 2 3 4 5 6 4 7 1 2 3 7 8 6 4 7 1 -> 7 0 9 7 0 9 4 4 5 10 3 11 3 11 12 6 11 13 1 , 7 0 1 2 3 4 5 6 4 7 1 2 3 7 8 6 4 7 9 -> 7 0 9 7 0 9 4 4 5 10 3 11 3 11 12 6 11 13 9 , 7 0 1 2 3 4 5 6 4 7 1 2 3 7 8 6 4 7 8 -> 7 0 9 7 0 9 4 4 5 10 3 11 3 11 12 6 11 13 8 , 7 0 1 2 3 4 5 6 4 7 1 2 3 7 8 6 4 7 14 -> 7 0 9 7 0 9 4 4 5 10 3 11 3 11 12 6 11 13 14 , 15 0 1 2 3 4 5 6 4 7 1 2 3 7 8 6 4 7 0 -> 15 0 9 7 0 9 4 4 5 10 3 11 3 11 12 6 11 13 0 , 15 0 1 2 3 4 5 6 4 7 1 2 3 7 8 6 4 7 1 -> 15 0 9 7 0 9 4 4 5 10 3 11 3 11 12 6 11 13 1 , 15 0 1 2 3 4 5 6 4 7 1 2 3 7 8 6 4 7 9 -> 15 0 9 7 0 9 4 4 5 10 3 11 3 11 12 6 11 13 9 , 15 0 1 2 3 4 5 6 4 7 1 2 3 7 8 6 4 7 8 -> 15 0 9 7 0 9 4 4 5 10 3 11 3 11 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7 8 17 15 1 , 17 17 6 5 10 13 8 17 17 15 0 1 12 10 3 7 9 7 9 -> 17 17 17 6 7 1 12 6 11 12 15 0 1 3 7 8 17 15 9 , 17 17 6 5 10 13 8 17 17 15 0 1 12 10 3 7 9 7 8 -> 17 17 17 6 7 1 12 6 11 12 15 0 1 3 7 8 17 15 8 , 17 17 6 5 10 13 8 17 17 15 0 1 12 10 3 7 9 7 14 -> 17 17 17 6 7 1 12 6 11 12 15 0 1 3 7 8 17 15 14 , 23 17 6 5 10 13 8 17 17 15 0 1 12 10 3 7 9 7 0 -> 23 17 17 6 7 1 12 6 11 12 15 0 1 3 7 8 17 15 0 , 23 17 6 5 10 13 8 17 17 15 0 1 12 10 3 7 9 7 1 -> 23 17 17 6 7 1 12 6 11 12 15 0 1 3 7 8 17 15 1 , 23 17 6 5 10 13 8 17 17 15 0 1 12 10 3 7 9 7 9 -> 23 17 17 6 7 1 12 6 11 12 15 0 1 3 7 8 17 15 9 , 23 17 6 5 10 13 8 17 17 15 0 1 12 10 3 7 9 7 8 -> 23 17 17 6 7 1 12 6 11 12 15 0 1 3 7 8 17 15 8 , 23 17 6 5 10 13 8 17 17 15 0 1 12 10 3 7 9 7 14 -> 23 17 17 6 7 1 12 6 11 12 15 0 1 3 7 8 17 15 14 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 2: 0 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 1 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 2 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 3 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 4 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 5 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 6 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 7 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 8 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 9 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 10 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 11 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 12 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 13 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 14 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 15 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 16 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 17 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 18 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 19 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 20 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 21 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 22 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 23 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / After renaming modulo { 0->0, 1->1, 2->2, 3->3, 4->4, 5->5, 6->6, 7->7, 8->8, 9->9, 10->10, 11->11, 12->12, 13->13, 14->14, 15->15, 16->16, 17->17, 19->18, 20->19, 18->20, 21->21, 22->22, 23->23 }, it remains to prove termination of the 1975-rule system { 0 0 1 2 3 4 5 6 4 7 1 2 3 7 8 6 4 7 0 -> 0 0 9 7 0 9 4 4 5 10 3 11 3 11 12 6 11 13 0 , 0 0 1 2 3 4 5 6 4 7 1 2 3 7 8 6 4 7 1 -> 0 0 9 7 0 9 4 4 5 10 3 11 3 11 12 6 11 13 1 , 0 0 1 2 3 4 5 6 4 7 1 2 3 7 8 6 4 7 9 -> 0 0 9 7 0 9 4 4 5 10 3 11 3 11 12 6 11 13 9 , 0 0 1 2 3 4 5 6 4 7 1 2 3 7 8 6 4 7 8 -> 0 0 9 7 0 9 4 4 5 10 3 11 3 11 12 6 11 13 8 , 0 0 1 2 3 4 5 6 4 7 1 2 3 7 8 6 4 7 14 -> 0 0 9 7 0 9 4 4 5 10 3 11 3 11 12 6 11 13 14 , 13 0 1 2 3 4 5 6 4 7 1 2 3 7 8 6 4 7 0 -> 13 0 9 7 0 9 4 4 5 10 3 11 3 11 12 6 11 13 0 , 13 0 1 2 3 4 5 6 4 7 1 2 3 7 8 6 4 7 1 -> 13 0 9 7 0 9 4 4 5 10 3 11 3 11 12 6 11 13 1 , 13 0 1 2 3 4 5 6 4 7 1 2 3 7 8 6 4 7 9 -> 13 0 9 7 0 9 4 4 5 10 3 11 3 11 12 6 11 13 9 , 13 0 1 2 3 4 5 6 4 7 1 2 3 7 8 6 4 7 8 -> 13 0 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0 | | 0 1 | \ / 13 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 14 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 15 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 16 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 17 is interpreted by / \ | 1 3 | | 0 1 | \ / 18 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 19 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 20 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 21 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 22 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 23 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / After renaming modulo { }, it remains to prove termination of the 0-rule system { } The system is trivially terminating.