YES After renaming modulo { 0->0, 3->1, 1->2, 2->3 }, it remains to prove termination of the 80-rule system { 0 0 0 0 0 1 0 0 2 1 2 1 2 3 1 2 1 2 -> 0 0 0 0 0 1 2 1 1 3 2 2 1 0 2 0 2 1 , 0 0 0 2 2 2 1 2 3 2 3 0 1 0 3 1 2 3 -> 0 1 3 2 0 0 1 3 2 0 2 3 2 1 2 3 0 2 , 0 0 0 2 3 1 2 0 1 3 1 0 0 1 1 2 3 3 -> 0 1 1 2 0 3 0 0 3 0 2 1 2 0 3 1 1 3 , 0 0 0 3 0 3 3 1 1 0 1 2 1 2 1 2 3 0 -> 1 1 0 0 1 3 1 0 0 2 3 3 1 3 2 0 2 0 , 0 0 0 1 2 0 3 3 1 3 0 1 0 3 2 3 2 0 -> 0 3 1 1 3 0 2 1 0 0 2 0 3 3 2 0 0 3 , 0 0 0 1 2 2 1 0 1 3 1 0 3 1 1 1 3 0 -> 0 2 1 1 3 1 1 0 0 2 0 0 0 1 1 1 3 3 , 0 2 2 0 0 0 2 3 3 2 2 3 3 1 1 2 2 3 -> 0 2 2 3 3 3 2 0 1 3 2 1 3 2 0 2 0 2 , 0 2 3 0 0 2 2 1 2 1 0 1 2 2 2 0 1 3 -> 0 2 2 2 2 0 3 2 1 2 0 3 2 1 0 1 1 0 , 0 2 3 2 2 2 1 2 0 1 2 1 2 2 1 2 3 2 -> 1 1 2 1 3 2 2 2 2 2 0 2 0 2 1 3 2 2 , 0 2 3 3 2 1 2 2 3 0 1 3 2 2 2 3 3 2 -> 0 2 3 3 0 2 2 3 3 3 2 2 2 2 1 1 3 2 , 0 3 0 0 3 0 3 2 1 0 3 2 2 1 2 1 0 1 -> 0 3 3 1 3 3 2 1 0 0 2 2 1 0 0 0 2 1 , 0 3 2 3 1 0 1 0 1 1 0 2 0 1 0 2 1 0 -> 0 1 3 0 1 1 0 2 0 1 2 1 1 3 2 0 0 0 , 0 3 2 1 0 0 3 2 2 2 2 2 2 1 3 0 0 3 -> 0 0 2 2 3 2 2 1 1 2 0 2 3 2 0 0 3 3 , 0 1 0 2 2 3 0 0 2 3 1 0 0 1 2 0 0 2 -> 0 0 2 0 0 0 0 3 3 2 0 1 1 1 2 2 0 2 , 0 1 0 2 1 3 3 1 2 3 3 2 2 0 1 3 2 0 -> 0 2 3 2 0 0 1 3 2 3 0 2 1 1 1 3 2 3 , 0 1 0 1 1 2 3 0 3 1 3 0 1 2 2 2 2 1 -> 1 3 2 1 3 3 2 1 1 0 0 1 2 0 2 0 2 1 , 0 1 2 0 0 3 1 3 0 2 3 1 0 1 3 0 3 3 -> 0 3 3 0 0 3 0 0 3 2 2 0 1 1 3 1 1 3 , 0 1 2 0 1 3 0 0 0 1 3 1 2 3 0 3 1 0 -> 0 0 3 3 1 1 0 1 0 0 1 3 1 0 2 2 3 0 , 0 1 3 0 0 0 0 2 1 2 0 1 2 1 1 0 2 3 -> 0 0 2 1 0 2 0 0 0 2 0 3 1 1 1 1 3 2 , 0 1 3 0 2 3 1 0 3 3 1 2 1 3 1 1 0 3 -> 3 1 1 3 1 1 1 3 0 0 0 0 2 3 3 1 2 3 , 0 1 3 3 3 0 0 1 2 1 2 0 1 2 0 1 0 0 -> 3 0 0 2 0 1 1 3 0 2 1 0 2 3 1 1 0 0 , 2 0 2 3 2 0 3 3 0 0 2 2 2 0 1 2 3 0 -> 3 3 2 0 2 0 3 2 0 3 2 0 1 2 0 2 2 0 , 2 0 3 0 3 0 0 3 2 2 2 2 3 3 1 2 3 0 -> 3 3 0 0 0 2 1 3 2 2 2 0 2 3 3 2 0 3 , 2 0 1 2 2 3 0 2 3 1 2 2 1 2 1 0 2 2 -> 2 0 2 1 0 2 0 1 2 2 2 2 3 1 1 2 3 2 , 2 2 0 1 1 1 2 3 3 0 1 0 1 3 3 3 1 2 -> 2 2 0 3 0 1 1 1 2 3 3 1 1 0 3 3 1 2 , 2 2 2 0 3 2 2 3 1 2 1 2 1 2 3 2 1 2 -> 1 1 3 2 2 1 1 2 2 3 2 2 0 2 2 3 2 2 , 2 2 2 2 1 2 1 0 3 3 2 0 3 1 2 3 0 3 -> 2 3 3 3 2 2 1 0 1 1 0 2 0 2 2 3 3 2 , 2 2 3 0 1 3 3 3 0 2 3 0 3 3 0 1 3 1 -> 2 3 3 3 2 3 3 2 0 3 1 3 0 3 1 0 0 1 , 2 2 3 2 1 2 0 0 3 0 0 0 1 2 2 2 2 3 -> 2 2 0 2 3 3 2 0 2 2 0 1 0 1 3 2 0 2 , 2 2 3 1 0 1 2 2 3 3 1 2 3 0 2 1 0 2 -> 3 2 1 2 0 2 2 2 0 2 3 1 0 3 1 1 3 2 , 2 2 1 2 3 0 2 0 0 0 1 1 0 3 0 1 2 3 -> 2 3 2 0 1 2 3 0 1 0 0 0 2 1 1 0 2 3 , 2 2 1 3 1 2 1 2 3 1 1 1 3 1 2 3 0 0 -> 2 3 0 3 1 3 2 2 2 2 1 1 1 1 1 3 1 0 , 2 3 0 3 3 1 3 2 3 1 1 2 1 2 3 1 2 2 -> 2 3 2 3 3 0 3 2 2 2 3 2 1 1 3 1 1 1 , 2 3 0 3 1 2 2 0 2 3 0 1 2 3 1 1 3 0 -> 2 2 0 0 0 2 1 1 2 3 1 2 1 3 3 3 3 0 , 2 3 0 1 2 3 1 3 2 0 1 0 1 2 1 3 0 2 -> 2 2 0 0 2 3 2 3 1 0 2 3 1 1 3 1 1 0 , 2 3 2 3 3 3 3 1 2 2 1 2 2 3 0 2 2 1 -> 2 2 1 3 2 3 2 3 2 0 3 1 2 3 3 2 2 1 , 2 3 1 0 1 3 0 1 3 1 0 1 0 3 1 2 2 3 -> 2 2 0 3 1 0 3 2 0 1 1 3 3 3 1 1 1 0 , 2 1 0 0 1 1 2 1 2 3 2 0 1 2 1 1 0 0 -> 2 1 1 1 1 0 0 2 0 2 1 2 1 0 0 1 3 2 , 2 1 2 2 2 3 1 0 3 1 1 1 2 3 1 2 3 0 -> 3 2 1 2 3 1 1 0 2 1 1 3 2 3 2 1 2 0 , 2 1 1 0 0 1 2 0 3 1 2 3 1 1 1 3 2 3 -> 2 1 1 0 2 3 0 1 0 2 3 2 1 1 1 3 1 3 , 3 0 0 1 3 0 1 2 1 0 3 3 3 3 0 2 2 2 -> 3 2 3 1 1 0 2 0 3 0 0 3 0 1 3 3 2 2 , 3 0 2 3 0 2 3 1 0 3 0 0 2 1 2 0 1 0 -> 3 3 1 1 0 0 0 2 3 2 1 0 2 0 0 3 0 2 , 3 0 2 3 0 3 1 0 0 1 1 3 3 0 2 2 2 3 -> 3 2 0 2 3 3 0 1 1 1 0 3 3 0 2 0 2 3 , 3 0 3 0 2 0 2 0 1 2 3 2 1 2 3 1 1 0 -> 2 1 0 2 0 3 1 1 3 2 0 0 3 3 2 1 2 0 , 3 0 3 3 0 1 0 1 2 2 2 1 1 3 1 0 1 0 -> 3 3 1 3 1 0 2 1 0 1 0 2 1 1 3 2 0 0 , 3 0 1 0 1 2 3 1 1 0 0 1 2 2 3 3 3 1 -> 3 1 1 3 0 1 3 2 2 2 0 1 3 0 1 0 3 1 , 3 0 1 2 1 0 3 2 3 3 1 2 0 1 0 0 1 0 -> 3 0 2 3 2 0 1 1 3 0 1 1 1 0 3 2 0 0 , 3 0 1 1 2 2 1 3 1 1 2 3 3 0 1 2 1 1 -> 3 1 2 1 1 2 3 2 2 0 3 3 0 1 1 1 1 1 , 3 2 2 2 3 1 0 3 0 0 1 2 0 0 1 3 3 0 -> 3 0 2 1 3 0 0 2 3 2 1 3 1 3 0 2 0 0 , 3 2 1 2 3 0 2 1 2 3 3 3 2 3 1 0 2 3 -> 3 3 2 1 1 3 3 3 0 3 2 0 1 3 2 2 2 2 , 3 1 2 0 1 1 2 1 1 0 1 0 3 3 1 3 3 3 -> 3 1 2 1 0 3 0 0 2 1 1 3 1 3 1 1 3 3 , 3 1 2 3 1 0 1 1 2 3 3 1 3 2 2 1 3 3 -> 3 1 3 3 1 2 2 3 1 3 3 2 1 1 1 2 0 3 , 3 1 3 1 1 3 1 3 1 3 0 0 2 1 2 2 2 1 -> 3 3 2 1 1 1 2 1 1 3 3 1 2 0 3 0 2 1 , 3 1 1 0 1 2 0 1 2 3 3 3 2 0 1 0 2 0 -> 3 1 0 1 2 0 1 3 1 1 3 2 0 2 3 0 2 0 , 3 1 1 2 3 1 2 3 0 2 0 3 0 3 2 2 2 3 -> 3 2 1 1 2 3 2 0 3 2 3 0 1 3 2 0 2 3 , 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 3 2 1 0 3 1 -> 1 1 0 1 1 1 1 0 0 2 0 3 1 0 0 0 3 1 , 1 0 0 1 3 3 2 0 3 1 0 2 0 3 2 1 2 2 -> 1 3 2 2 2 2 0 0 3 1 1 3 2 0 0 3 1 0 , 1 0 2 2 0 1 3 1 0 0 3 1 2 1 2 2 3 3 -> 3 2 2 1 1 3 2 1 0 0 3 1 2 0 0 1 3 2 , 1 0 2 3 0 3 1 1 2 2 1 2 3 0 1 1 0 2 -> 1 0 2 2 1 2 0 2 2 3 1 0 1 1 1 3 3 0 , 1 0 2 3 0 1 0 2 0 3 0 2 3 1 0 1 2 0 -> 0 0 3 2 0 2 1 1 1 1 0 3 2 0 2 3 0 0 , 1 0 3 2 3 3 1 2 2 1 2 2 0 1 0 1 0 2 -> 1 2 2 3 1 3 2 1 0 3 2 1 1 0 2 0 2 0 , 1 0 3 3 1 0 0 3 0 1 0 3 3 2 1 2 2 3 -> 1 3 3 0 0 0 2 1 1 1 3 0 3 0 2 2 3 3 , 1 0 3 1 0 2 1 0 2 2 2 1 0 3 1 3 3 0 -> 1 0 2 0 3 1 3 1 3 0 1 1 2 0 3 2 2 0 , 1 0 1 0 3 3 1 3 0 0 3 2 3 1 2 3 2 3 -> 0 3 3 1 3 0 3 0 1 3 2 0 2 1 1 3 2 3 , 1 0 1 3 2 1 0 0 3 1 0 2 3 0 1 3 3 0 -> 1 0 3 0 0 3 2 1 1 1 2 1 0 0 3 3 3 0 , 1 2 2 0 1 3 1 2 1 2 2 1 3 3 1 2 1 3 -> 1 2 3 1 3 1 3 0 2 1 1 2 1 1 3 2 2 2 , 1 2 2 2 2 1 2 3 2 1 0 0 0 1 0 2 1 0 -> 0 2 2 0 3 1 1 1 0 2 2 2 2 0 1 1 2 0 , 1 2 2 1 0 1 0 2 2 2 2 1 2 3 0 0 2 1 -> 0 2 2 2 2 3 1 1 0 2 2 0 0 2 1 1 2 1 , 1 2 2 1 0 1 1 2 1 2 2 2 1 2 0 1 0 0 -> 0 1 1 1 1 1 1 0 2 0 2 2 2 1 2 2 0 2 , 1 2 3 2 3 0 3 1 2 3 3 0 3 0 1 3 2 0 -> 0 1 0 3 2 2 0 3 3 3 3 2 1 1 2 0 3 3 , 1 2 3 3 1 0 0 1 2 3 1 2 3 1 1 3 2 0 -> 1 1 1 3 2 3 2 1 0 0 2 1 2 0 3 3 1 3 , 1 2 3 1 3 3 0 1 2 3 1 3 1 2 1 2 1 1 -> 1 3 0 2 3 2 2 2 1 3 3 3 1 1 1 1 1 1 , 1 2 1 2 3 0 3 0 1 2 1 3 3 2 0 1 1 0 -> 1 2 1 1 3 1 0 0 1 0 2 2 0 2 1 3 3 3 , 1 3 0 0 1 3 1 3 2 1 0 1 1 0 1 0 2 0 -> 1 3 3 1 2 2 1 0 3 1 1 1 1 0 0 0 0 0 , 1 3 0 1 2 0 3 3 3 2 3 0 1 2 2 2 3 1 -> 0 3 1 2 1 1 3 0 0 2 2 3 2 3 3 2 3 1 , 1 3 2 3 3 0 1 1 0 3 3 0 0 3 1 2 0 0 -> 0 3 3 1 1 1 1 3 3 2 0 3 2 3 0 0 0 0 , 1 3 1 0 2 3 0 2 0 1 1 0 0 2 2 1 3 0 -> 1 3 1 3 0 0 0 3 1 1 0 2 2 1 2 0 2 0 , 1 3 1 0 1 3 3 3 1 2 3 1 3 1 1 2 3 2 -> 1 2 1 3 3 2 3 3 1 1 1 3 1 1 0 2 3 3 , 1 1 2 3 0 3 3 1 2 3 0 1 3 2 0 2 2 3 -> 1 2 0 2 1 3 0 1 3 3 3 1 3 2 3 2 0 2 , 1 1 3 0 1 3 1 0 3 1 1 2 2 2 1 3 3 2 -> 1 1 1 1 3 1 0 2 0 3 3 1 1 2 3 3 2 2 } Applying sparse 2-tiling [Hofbauer/Geser/Waldmann, FSCD 2019]. After renaming modulo { (0,0)->0, (0,1)->1, (1,0)->2, (0,2)->3, (2,1)->4, (1,2)->5, (2,3)->6, (3,1)->7, (2,0)->8, (1,1)->9, (1,3)->10, (3,2)->11, (2,2)->12, (2,5)->13, (1,5)->14, (3,0)->15, (4,0)->16, (0,3)->17, (3,3)->18, (3,5)->19, (0,5)->20, (4,1)->21, (4,3)->22, (4,2)->23 }, it remains to prove termination of the 2000-rule system { 0 0 0 0 0 1 2 0 3 4 5 4 5 6 7 5 4 5 8 -> 0 0 0 0 0 1 5 4 9 10 11 12 4 2 3 8 3 4 2 , 0 0 0 0 0 1 2 0 3 4 5 4 5 6 7 5 4 5 4 -> 0 0 0 0 0 1 5 4 9 10 11 12 4 2 3 8 3 4 9 , 0 0 0 0 0 1 2 0 3 4 5 4 5 6 7 5 4 5 12 -> 0 0 0 0 0 1 5 4 9 10 11 12 4 2 3 8 3 4 5 , 0 0 0 0 0 1 2 0 3 4 5 4 5 6 7 5 4 5 6 -> 0 0 0 0 0 1 5 4 9 10 11 12 4 2 3 8 3 4 10 , 0 0 0 0 0 1 2 0 3 4 5 4 5 6 7 5 4 5 13 -> 0 0 0 0 0 1 5 4 9 10 11 12 4 2 3 8 3 4 14 , 2 0 0 0 0 1 2 0 3 4 5 4 5 6 7 5 4 5 8 -> 2 0 0 0 0 1 5 4 9 10 11 12 4 2 3 8 3 4 2 , 2 0 0 0 0 1 2 0 3 4 5 4 5 6 7 5 4 5 4 -> 2 0 0 0 0 1 5 4 9 10 11 12 4 2 3 8 3 4 9 , 2 0 0 0 0 1 2 0 3 4 5 4 5 6 7 5 4 5 12 -> 2 0 0 0 0 1 5 4 9 10 11 12 4 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12 4 10 18 11 13 -> 1 9 9 9 10 7 2 3 8 17 18 7 9 5 6 18 11 12 13 , 9 9 10 15 1 10 7 2 17 7 9 5 12 12 4 10 18 11 8 -> 9 9 9 9 10 7 2 3 8 17 18 7 9 5 6 18 11 12 8 , 9 9 10 15 1 10 7 2 17 7 9 5 12 12 4 10 18 11 4 -> 9 9 9 9 10 7 2 3 8 17 18 7 9 5 6 18 11 12 4 , 9 9 10 15 1 10 7 2 17 7 9 5 12 12 4 10 18 11 12 -> 9 9 9 9 10 7 2 3 8 17 18 7 9 5 6 18 11 12 12 , 9 9 10 15 1 10 7 2 17 7 9 5 12 12 4 10 18 11 6 -> 9 9 9 9 10 7 2 3 8 17 18 7 9 5 6 18 11 12 6 , 9 9 10 15 1 10 7 2 17 7 9 5 12 12 4 10 18 11 13 -> 9 9 9 9 10 7 2 3 8 17 18 7 9 5 6 18 11 12 13 , 4 9 10 15 1 10 7 2 17 7 9 5 12 12 4 10 18 11 8 -> 4 9 9 9 10 7 2 3 8 17 18 7 9 5 6 18 11 12 8 , 4 9 10 15 1 10 7 2 17 7 9 5 12 12 4 10 18 11 4 -> 4 9 9 9 10 7 2 3 8 17 18 7 9 5 6 18 11 12 4 , 4 9 10 15 1 10 7 2 17 7 9 5 12 12 4 10 18 11 12 -> 4 9 9 9 10 7 2 3 8 17 18 7 9 5 6 18 11 12 12 , 4 9 10 15 1 10 7 2 17 7 9 5 12 12 4 10 18 11 6 -> 4 9 9 9 10 7 2 3 8 17 18 7 9 5 6 18 11 12 6 , 4 9 10 15 1 10 7 2 17 7 9 5 12 12 4 10 18 11 13 -> 4 9 9 9 10 7 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11 12 13 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 2: 0 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 1 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 2 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 3 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 4 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 5 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 6 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 7 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 8 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 9 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 10 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 11 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 12 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 13 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 14 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 15 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 16 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 17 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 18 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 19 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 20 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 21 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 22 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 23 is interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / After renaming modulo { 0->0, 1->1, 2->2, 3->3, 4->4, 5->5, 6->6, 7->7, 8->8, 9->9, 10->10, 11->11, 12->12, 15->13, 16->14, 17->15, 18->16, 19->17, 13->18, 20->19, 21->20, 14->21, 22->22, 23->23 }, it remains to prove termination of the 1990-rule system { 0 0 0 0 0 1 2 0 3 4 5 4 5 6 7 5 4 5 8 -> 0 0 0 0 0 1 5 4 9 10 11 12 4 2 3 8 3 4 2 , 0 0 0 0 0 1 2 0 3 4 5 4 5 6 7 5 4 5 4 -> 0 0 0 0 0 1 5 4 9 10 11 12 4 2 3 8 3 4 9 , 0 0 0 0 0 1 2 0 3 4 5 4 5 6 7 5 4 5 12 -> 0 0 0 0 0 1 5 4 9 10 11 12 4 2 3 8 3 4 5 , 0 0 0 0 0 1 2 0 3 4 5 4 5 6 7 5 4 5 6 -> 0 0 0 0 0 1 5 4 9 10 11 12 4 2 3 8 3 4 10 , 2 0 0 0 0 1 2 0 3 4 5 4 5 6 7 5 4 5 8 -> 2 0 0 0 0 1 5 4 9 10 11 12 4 2 3 8 3 4 2 , 2 0 0 0 0 1 2 0 3 4 5 4 5 6 7 5 4 5 4 -> 2 0 0 0 0 1 5 4 9 10 11 12 4 2 3 8 3 4 9 , 2 0 0 0 0 1 2 0 3 4 5 4 5 6 7 5 4 5 12 -> 2 0 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interpreted by / \ | 1 1 | | 0 1 | \ / 17 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 18 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 19 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 20 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 21 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 22 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / 23 is interpreted by / \ | 1 0 | | 0 1 | \ / After renaming modulo { }, it remains to prove termination of the 0-rule system { } The system is trivially terminating.