YES

Problem 1: 

(VAR v_NonEmpty:S x1:S)
(RULES
P(p(x1:S)) -> x1:S
P(x1:S) -> Q(Q(p(x1:S)))
Q(p(q(x1:S))) -> q(p(Q(x1:S)))
Q(q(x1:S)) -> x1:S
p(P(x1:S)) -> x1:S
p(Q(Q(x1:S))) -> Q(Q(p(x1:S)))
p(p(x1:S)) -> q(q(x1:S))
q(Q(x1:S)) -> x1:S
q(q(p(x1:S))) -> p(q(q(x1:S)))
)

Problem 1: 

Dependency Pairs Processor:
-> Pairs:
 P#(x1:S) -> Q#(Q(p(x1:S)))
 P#(x1:S) -> Q#(p(x1:S))
 P#(x1:S) -> p#(x1:S)
 Q#(p(q(x1:S))) -> Q#(x1:S)
 Q#(p(q(x1:S))) -> p#(Q(x1:S))
 Q#(p(q(x1:S))) -> q#(p(Q(x1:S)))
 p#(Q(Q(x1:S))) -> Q#(Q(p(x1:S)))
 p#(Q(Q(x1:S))) -> Q#(p(x1:S))
 p#(Q(Q(x1:S))) -> p#(x1:S)
 p#(p(x1:S)) -> q#(q(x1:S))
 p#(p(x1:S)) -> q#(x1:S)
 q#(q(p(x1:S))) -> p#(q(q(x1:S)))
 q#(q(p(x1:S))) -> q#(q(x1:S))
 q#(q(p(x1:S))) -> q#(x1:S)
-> Rules:
 P(p(x1:S)) -> x1:S
 P(x1:S) -> Q(Q(p(x1:S)))
 Q(p(q(x1:S))) -> q(p(Q(x1:S)))
 Q(q(x1:S)) -> x1:S
 p(P(x1:S)) -> x1:S
 p(Q(Q(x1:S))) -> Q(Q(p(x1:S)))
 p(p(x1:S)) -> q(q(x1:S))
 q(Q(x1:S)) -> x1:S
 q(q(p(x1:S))) -> p(q(q(x1:S)))

Problem 1: 

SCC Processor:
-> Pairs:
 P#(x1:S) -> Q#(Q(p(x1:S)))
 P#(x1:S) -> Q#(p(x1:S))
 P#(x1:S) -> p#(x1:S)
 Q#(p(q(x1:S))) -> Q#(x1:S)
 Q#(p(q(x1:S))) -> p#(Q(x1:S))
 Q#(p(q(x1:S))) -> q#(p(Q(x1:S)))
 p#(Q(Q(x1:S))) -> Q#(Q(p(x1:S)))
 p#(Q(Q(x1:S))) -> Q#(p(x1:S))
 p#(Q(Q(x1:S))) -> p#(x1:S)
 p#(p(x1:S)) -> q#(q(x1:S))
 p#(p(x1:S)) -> q#(x1:S)
 q#(q(p(x1:S))) -> p#(q(q(x1:S)))
 q#(q(p(x1:S))) -> q#(q(x1:S))
 q#(q(p(x1:S))) -> q#(x1:S)
-> Rules:
 P(p(x1:S)) -> x1:S
 P(x1:S) -> Q(Q(p(x1:S)))
 Q(p(q(x1:S))) -> q(p(Q(x1:S)))
 Q(q(x1:S)) -> x1:S
 p(P(x1:S)) -> x1:S
 p(Q(Q(x1:S))) -> Q(Q(p(x1:S)))
 p(p(x1:S)) -> q(q(x1:S))
 q(Q(x1:S)) -> x1:S
 q(q(p(x1:S))) -> p(q(q(x1:S)))
->Strongly Connected Components:
->->Cycle:
->->-> Pairs:
 Q#(p(q(x1:S))) -> Q#(x1:S)
 Q#(p(q(x1:S))) -> p#(Q(x1:S))
 Q#(p(q(x1:S))) -> q#(p(Q(x1:S)))
 p#(Q(Q(x1:S))) -> Q#(Q(p(x1:S)))
 p#(Q(Q(x1:S))) -> Q#(p(x1:S))
 p#(Q(Q(x1:S))) -> p#(x1:S)
 p#(p(x1:S)) -> q#(q(x1:S))
 p#(p(x1:S)) -> q#(x1:S)
 q#(q(p(x1:S))) -> p#(q(q(x1:S)))
 q#(q(p(x1:S))) -> q#(q(x1:S))
 q#(q(p(x1:S))) -> q#(x1:S)
->->-> Rules:
 P(p(x1:S)) -> x1:S
 P(x1:S) -> Q(Q(p(x1:S)))
 Q(p(q(x1:S))) -> q(p(Q(x1:S)))
 Q(q(x1:S)) -> x1:S
 p(P(x1:S)) -> x1:S
 p(Q(Q(x1:S))) -> Q(Q(p(x1:S)))
 p(p(x1:S)) -> q(q(x1:S))
 q(Q(x1:S)) -> x1:S
 q(q(p(x1:S))) -> p(q(q(x1:S)))

Problem 1: 

Reduction Pair Processor:
-> Pairs:
 Q#(p(q(x1:S))) -> Q#(x1:S)
 Q#(p(q(x1:S))) -> p#(Q(x1:S))
 Q#(p(q(x1:S))) -> q#(p(Q(x1:S)))
 p#(Q(Q(x1:S))) -> Q#(Q(p(x1:S)))
 p#(Q(Q(x1:S))) -> Q#(p(x1:S))
 p#(Q(Q(x1:S))) -> p#(x1:S)
 p#(p(x1:S)) -> q#(q(x1:S))
 p#(p(x1:S)) -> q#(x1:S)
 q#(q(p(x1:S))) -> p#(q(q(x1:S)))
 q#(q(p(x1:S))) -> q#(q(x1:S))
 q#(q(p(x1:S))) -> q#(x1:S)
-> Rules:
 P(p(x1:S)) -> x1:S
 P(x1:S) -> Q(Q(p(x1:S)))
 Q(p(q(x1:S))) -> q(p(Q(x1:S)))
 Q(q(x1:S)) -> x1:S
 p(P(x1:S)) -> x1:S
 p(Q(Q(x1:S))) -> Q(Q(p(x1:S)))
 p(p(x1:S)) -> q(q(x1:S))
 q(Q(x1:S)) -> x1:S
 q(q(p(x1:S))) -> p(q(q(x1:S)))
-> Usable rules:
 Q(p(q(x1:S))) -> q(p(Q(x1:S)))
 Q(q(x1:S)) -> x1:S
 p(P(x1:S)) -> x1:S
 p(Q(Q(x1:S))) -> Q(Q(p(x1:S)))
 p(p(x1:S)) -> q(q(x1:S))
 q(Q(x1:S)) -> x1:S
 q(q(p(x1:S))) -> p(q(q(x1:S)))
->Interpretation type:
 Linear
->Coefficients:
 Natural Numbers
->Dimension:
 1
->Bound:
 2
->Interpretation:
 
[P](X) = X
[Q](X) = 2.X + 2
[p](X) = 2.X + 2
[q](X) = 2.X + 2
[Q#](X) = 2.X + 1
[p#](X) = 2.X + 1
[q#](X) = 2.X + 1

Problem 1: 

SCC Processor:
-> Pairs:
 Q#(p(q(x1:S))) -> p#(Q(x1:S))
 Q#(p(q(x1:S))) -> q#(p(Q(x1:S)))
 p#(Q(Q(x1:S))) -> Q#(Q(p(x1:S)))
 p#(Q(Q(x1:S))) -> Q#(p(x1:S))
 p#(Q(Q(x1:S))) -> p#(x1:S)
 p#(p(x1:S)) -> q#(q(x1:S))
 p#(p(x1:S)) -> q#(x1:S)
 q#(q(p(x1:S))) -> p#(q(q(x1:S)))
 q#(q(p(x1:S))) -> q#(q(x1:S))
 q#(q(p(x1:S))) -> q#(x1:S)
-> Rules:
 P(p(x1:S)) -> x1:S
 P(x1:S) -> Q(Q(p(x1:S)))
 Q(p(q(x1:S))) -> q(p(Q(x1:S)))
 Q(q(x1:S)) -> x1:S
 p(P(x1:S)) -> x1:S
 p(Q(Q(x1:S))) -> Q(Q(p(x1:S)))
 p(p(x1:S)) -> q(q(x1:S))
 q(Q(x1:S)) -> x1:S
 q(q(p(x1:S))) -> p(q(q(x1:S)))
->Strongly Connected Components:
->->Cycle:
->->-> Pairs:
 Q#(p(q(x1:S))) -> p#(Q(x1:S))
 Q#(p(q(x1:S))) -> q#(p(Q(x1:S)))
 p#(Q(Q(x1:S))) -> Q#(Q(p(x1:S)))
 p#(Q(Q(x1:S))) -> Q#(p(x1:S))
 p#(Q(Q(x1:S))) -> p#(x1:S)
 p#(p(x1:S)) -> q#(q(x1:S))
 p#(p(x1:S)) -> q#(x1:S)
 q#(q(p(x1:S))) -> p#(q(q(x1:S)))
 q#(q(p(x1:S))) -> q#(q(x1:S))
 q#(q(p(x1:S))) -> q#(x1:S)
->->-> Rules:
 P(p(x1:S)) -> x1:S
 P(x1:S) -> Q(Q(p(x1:S)))
 Q(p(q(x1:S))) -> q(p(Q(x1:S)))
 Q(q(x1:S)) -> x1:S
 p(P(x1:S)) -> x1:S
 p(Q(Q(x1:S))) -> Q(Q(p(x1:S)))
 p(p(x1:S)) -> q(q(x1:S))
 q(Q(x1:S)) -> x1:S
 q(q(p(x1:S))) -> p(q(q(x1:S)))

Problem 1: 

Reduction Pair Processor:
-> Pairs:
 Q#(p(q(x1:S))) -> p#(Q(x1:S))
 Q#(p(q(x1:S))) -> q#(p(Q(x1:S)))
 p#(Q(Q(x1:S))) -> Q#(Q(p(x1:S)))
 p#(Q(Q(x1:S))) -> Q#(p(x1:S))
 p#(Q(Q(x1:S))) -> p#(x1:S)
 p#(p(x1:S)) -> q#(q(x1:S))
 p#(p(x1:S)) -> q#(x1:S)
 q#(q(p(x1:S))) -> p#(q(q(x1:S)))
 q#(q(p(x1:S))) -> q#(q(x1:S))
 q#(q(p(x1:S))) -> q#(x1:S)
-> Rules:
 P(p(x1:S)) -> x1:S
 P(x1:S) -> Q(Q(p(x1:S)))
 Q(p(q(x1:S))) -> q(p(Q(x1:S)))
 Q(q(x1:S)) -> x1:S
 p(P(x1:S)) -> x1:S
 p(Q(Q(x1:S))) -> Q(Q(p(x1:S)))
 p(p(x1:S)) -> q(q(x1:S))
 q(Q(x1:S)) -> x1:S
 q(q(p(x1:S))) -> p(q(q(x1:S)))
-> Usable rules:
 Q(p(q(x1:S))) -> q(p(Q(x1:S)))
 Q(q(x1:S)) -> x1:S
 p(P(x1:S)) -> x1:S
 p(Q(Q(x1:S))) -> Q(Q(p(x1:S)))
 p(p(x1:S)) -> q(q(x1:S))
 q(Q(x1:S)) -> x1:S
 q(q(p(x1:S))) -> p(q(q(x1:S)))
->Interpretation type:
 Linear
->Coefficients:
 Natural Numbers
->Dimension:
 1
->Bound:
 2
->Interpretation:
 
[P](X) = X
[Q](X) = 2.X + 2
[p](X) = 2.X + 2
[q](X) = 2.X + 2
[Q#](X) = 2.X + 2
[p#](X) = 2.X + 2
[q#](X) = 2.X + 2

Problem 1: 

SCC Processor:
-> Pairs:
 Q#(p(q(x1:S))) -> q#(p(Q(x1:S)))
 p#(Q(Q(x1:S))) -> Q#(Q(p(x1:S)))
 p#(Q(Q(x1:S))) -> Q#(p(x1:S))
 p#(Q(Q(x1:S))) -> p#(x1:S)
 p#(p(x1:S)) -> q#(q(x1:S))
 p#(p(x1:S)) -> q#(x1:S)
 q#(q(p(x1:S))) -> p#(q(q(x1:S)))
 q#(q(p(x1:S))) -> q#(q(x1:S))
 q#(q(p(x1:S))) -> q#(x1:S)
-> Rules:
 P(p(x1:S)) -> x1:S
 P(x1:S) -> Q(Q(p(x1:S)))
 Q(p(q(x1:S))) -> q(p(Q(x1:S)))
 Q(q(x1:S)) -> x1:S
 p(P(x1:S)) -> x1:S
 p(Q(Q(x1:S))) -> Q(Q(p(x1:S)))
 p(p(x1:S)) -> q(q(x1:S))
 q(Q(x1:S)) -> x1:S
 q(q(p(x1:S))) -> p(q(q(x1:S)))
->Strongly Connected Components:
->->Cycle:
->->-> Pairs:
 Q#(p(q(x1:S))) -> q#(p(Q(x1:S)))
 p#(Q(Q(x1:S))) -> Q#(Q(p(x1:S)))
 p#(Q(Q(x1:S))) -> Q#(p(x1:S))
 p#(Q(Q(x1:S))) -> p#(x1:S)
 p#(p(x1:S)) -> q#(q(x1:S))
 p#(p(x1:S)) -> q#(x1:S)
 q#(q(p(x1:S))) -> p#(q(q(x1:S)))
 q#(q(p(x1:S))) -> q#(q(x1:S))
 q#(q(p(x1:S))) -> q#(x1:S)
->->-> Rules:
 P(p(x1:S)) -> x1:S
 P(x1:S) -> Q(Q(p(x1:S)))
 Q(p(q(x1:S))) -> q(p(Q(x1:S)))
 Q(q(x1:S)) -> x1:S
 p(P(x1:S)) -> x1:S
 p(Q(Q(x1:S))) -> Q(Q(p(x1:S)))
 p(p(x1:S)) -> q(q(x1:S))
 q(Q(x1:S)) -> x1:S
 q(q(p(x1:S))) -> p(q(q(x1:S)))

Problem 1: 

Reduction Pair Processor:
-> Pairs:
 Q#(p(q(x1:S))) -> q#(p(Q(x1:S)))
 p#(Q(Q(x1:S))) -> Q#(Q(p(x1:S)))
 p#(Q(Q(x1:S))) -> Q#(p(x1:S))
 p#(Q(Q(x1:S))) -> p#(x1:S)
 p#(p(x1:S)) -> q#(q(x1:S))
 p#(p(x1:S)) -> q#(x1:S)
 q#(q(p(x1:S))) -> p#(q(q(x1:S)))
 q#(q(p(x1:S))) -> q#(q(x1:S))
 q#(q(p(x1:S))) -> q#(x1:S)
-> Rules:
 P(p(x1:S)) -> x1:S
 P(x1:S) -> Q(Q(p(x1:S)))
 Q(p(q(x1:S))) -> q(p(Q(x1:S)))
 Q(q(x1:S)) -> x1:S
 p(P(x1:S)) -> x1:S
 p(Q(Q(x1:S))) -> Q(Q(p(x1:S)))
 p(p(x1:S)) -> q(q(x1:S))
 q(Q(x1:S)) -> x1:S
 q(q(p(x1:S))) -> p(q(q(x1:S)))
-> Usable rules:
 Q(p(q(x1:S))) -> q(p(Q(x1:S)))
 Q(q(x1:S)) -> x1:S
 p(P(x1:S)) -> x1:S
 p(Q(Q(x1:S))) -> Q(Q(p(x1:S)))
 p(p(x1:S)) -> q(q(x1:S))
 q(Q(x1:S)) -> x1:S
 q(q(p(x1:S))) -> p(q(q(x1:S)))
->Interpretation type:
 Linear
->Coefficients:
 Natural Numbers
->Dimension:
 1
->Bound:
 2
->Interpretation:
 
[P](X) = X
[Q](X) = 2.X + 2
[p](X) = 2.X + 2
[q](X) = 2.X + 2
[Q#](X) = X + 2
[p#](X) = X + 2
[q#](X) = X + 2

Problem 1: 

SCC Processor:
-> Pairs:
 Q#(p(q(x1:S))) -> q#(p(Q(x1:S)))
 p#(Q(Q(x1:S))) -> Q#(Q(p(x1:S)))
 p#(Q(Q(x1:S))) -> p#(x1:S)
 p#(p(x1:S)) -> q#(q(x1:S))
 p#(p(x1:S)) -> q#(x1:S)
 q#(q(p(x1:S))) -> p#(q(q(x1:S)))
 q#(q(p(x1:S))) -> q#(q(x1:S))
 q#(q(p(x1:S))) -> q#(x1:S)
-> Rules:
 P(p(x1:S)) -> x1:S
 P(x1:S) -> Q(Q(p(x1:S)))
 Q(p(q(x1:S))) -> q(p(Q(x1:S)))
 Q(q(x1:S)) -> x1:S
 p(P(x1:S)) -> x1:S
 p(Q(Q(x1:S))) -> Q(Q(p(x1:S)))
 p(p(x1:S)) -> q(q(x1:S))
 q(Q(x1:S)) -> x1:S
 q(q(p(x1:S))) -> p(q(q(x1:S)))
->Strongly Connected Components:
->->Cycle:
->->-> Pairs:
 Q#(p(q(x1:S))) -> q#(p(Q(x1:S)))
 p#(Q(Q(x1:S))) -> Q#(Q(p(x1:S)))
 p#(Q(Q(x1:S))) -> p#(x1:S)
 p#(p(x1:S)) -> q#(q(x1:S))
 p#(p(x1:S)) -> q#(x1:S)
 q#(q(p(x1:S))) -> p#(q(q(x1:S)))
 q#(q(p(x1:S))) -> q#(q(x1:S))
 q#(q(p(x1:S))) -> q#(x1:S)
->->-> Rules:
 P(p(x1:S)) -> x1:S
 P(x1:S) -> Q(Q(p(x1:S)))
 Q(p(q(x1:S))) -> q(p(Q(x1:S)))
 Q(q(x1:S)) -> x1:S
 p(P(x1:S)) -> x1:S
 p(Q(Q(x1:S))) -> Q(Q(p(x1:S)))
 p(p(x1:S)) -> q(q(x1:S))
 q(Q(x1:S)) -> x1:S
 q(q(p(x1:S))) -> p(q(q(x1:S)))

Problem 1: 

Reduction Pair Processor:
-> Pairs:
 Q#(p(q(x1:S))) -> q#(p(Q(x1:S)))
 p#(Q(Q(x1:S))) -> Q#(Q(p(x1:S)))
 p#(Q(Q(x1:S))) -> p#(x1:S)
 p#(p(x1:S)) -> q#(q(x1:S))
 p#(p(x1:S)) -> q#(x1:S)
 q#(q(p(x1:S))) -> p#(q(q(x1:S)))
 q#(q(p(x1:S))) -> q#(q(x1:S))
 q#(q(p(x1:S))) -> q#(x1:S)
-> Rules:
 P(p(x1:S)) -> x1:S
 P(x1:S) -> Q(Q(p(x1:S)))
 Q(p(q(x1:S))) -> q(p(Q(x1:S)))
 Q(q(x1:S)) -> x1:S
 p(P(x1:S)) -> x1:S
 p(Q(Q(x1:S))) -> Q(Q(p(x1:S)))
 p(p(x1:S)) -> q(q(x1:S))
 q(Q(x1:S)) -> x1:S
 q(q(p(x1:S))) -> p(q(q(x1:S)))
-> Usable rules:
 Q(p(q(x1:S))) -> q(p(Q(x1:S)))
 Q(q(x1:S)) -> x1:S
 p(P(x1:S)) -> x1:S
 p(Q(Q(x1:S))) -> Q(Q(p(x1:S)))
 p(p(x1:S)) -> q(q(x1:S))
 q(Q(x1:S)) -> x1:S
 q(q(p(x1:S))) -> p(q(q(x1:S)))
->Interpretation type:
 Linear
->Coefficients:
 Natural Numbers
->Dimension:
 1
->Bound:
 2
->Interpretation:
 
[P](X) = 2.X
[Q](X) = 2.X + 1
[p](X) = 2.X + 1
[q](X) = 2.X + 1
[Q#](X) = 2.X + 2
[p#](X) = 2.X + 2
[q#](X) = 2.X + 2

Problem 1: 

SCC Processor:
-> Pairs:
 Q#(p(q(x1:S))) -> q#(p(Q(x1:S)))
 p#(Q(Q(x1:S))) -> Q#(Q(p(x1:S)))
 p#(p(x1:S)) -> q#(q(x1:S))
 p#(p(x1:S)) -> q#(x1:S)
 q#(q(p(x1:S))) -> p#(q(q(x1:S)))
 q#(q(p(x1:S))) -> q#(q(x1:S))
 q#(q(p(x1:S))) -> q#(x1:S)
-> Rules:
 P(p(x1:S)) -> x1:S
 P(x1:S) -> Q(Q(p(x1:S)))
 Q(p(q(x1:S))) -> q(p(Q(x1:S)))
 Q(q(x1:S)) -> x1:S
 p(P(x1:S)) -> x1:S
 p(Q(Q(x1:S))) -> Q(Q(p(x1:S)))
 p(p(x1:S)) -> q(q(x1:S))
 q(Q(x1:S)) -> x1:S
 q(q(p(x1:S))) -> p(q(q(x1:S)))
->Strongly Connected Components:
->->Cycle:
->->-> Pairs:
 Q#(p(q(x1:S))) -> q#(p(Q(x1:S)))
 p#(Q(Q(x1:S))) -> Q#(Q(p(x1:S)))
 p#(p(x1:S)) -> q#(q(x1:S))
 p#(p(x1:S)) -> q#(x1:S)
 q#(q(p(x1:S))) -> p#(q(q(x1:S)))
 q#(q(p(x1:S))) -> q#(q(x1:S))
 q#(q(p(x1:S))) -> q#(x1:S)
->->-> Rules:
 P(p(x1:S)) -> x1:S
 P(x1:S) -> Q(Q(p(x1:S)))
 Q(p(q(x1:S))) -> q(p(Q(x1:S)))
 Q(q(x1:S)) -> x1:S
 p(P(x1:S)) -> x1:S
 p(Q(Q(x1:S))) -> Q(Q(p(x1:S)))
 p(p(x1:S)) -> q(q(x1:S))
 q(Q(x1:S)) -> x1:S
 q(q(p(x1:S))) -> p(q(q(x1:S)))

Problem 1: 

Reduction Pair Processor:
-> Pairs:
 Q#(p(q(x1:S))) -> q#(p(Q(x1:S)))
 p#(Q(Q(x1:S))) -> Q#(Q(p(x1:S)))
 p#(p(x1:S)) -> q#(q(x1:S))
 p#(p(x1:S)) -> q#(x1:S)
 q#(q(p(x1:S))) -> p#(q(q(x1:S)))
 q#(q(p(x1:S))) -> q#(q(x1:S))
 q#(q(p(x1:S))) -> q#(x1:S)
-> Rules:
 P(p(x1:S)) -> x1:S
 P(x1:S) -> Q(Q(p(x1:S)))
 Q(p(q(x1:S))) -> q(p(Q(x1:S)))
 Q(q(x1:S)) -> x1:S
 p(P(x1:S)) -> x1:S
 p(Q(Q(x1:S))) -> Q(Q(p(x1:S)))
 p(p(x1:S)) -> q(q(x1:S))
 q(Q(x1:S)) -> x1:S
 q(q(p(x1:S))) -> p(q(q(x1:S)))
-> Usable rules:
 Q(p(q(x1:S))) -> q(p(Q(x1:S)))
 Q(q(x1:S)) -> x1:S
 p(P(x1:S)) -> x1:S
 p(Q(Q(x1:S))) -> Q(Q(p(x1:S)))
 p(p(x1:S)) -> q(q(x1:S))
 q(Q(x1:S)) -> x1:S
 q(q(p(x1:S))) -> p(q(q(x1:S)))
->Interpretation type:
 Linear
->Coefficients:
 Natural Numbers
->Dimension:
 1
->Bound:
 2
->Interpretation:
 
[P](X) = 2.X
[Q](X) = 2.X + 2
[p](X) = 2.X + 2
[q](X) = X
[Q#](X) = 2.X + 2
[p#](X) = 2.X + 2
[q#](X) = X

Problem 1: 

SCC Processor:
-> Pairs:
 Q#(p(q(x1:S))) -> q#(p(Q(x1:S)))
 p#(Q(Q(x1:S))) -> Q#(Q(p(x1:S)))
 p#(p(x1:S)) -> q#(x1:S)
 q#(q(p(x1:S))) -> p#(q(q(x1:S)))
 q#(q(p(x1:S))) -> q#(q(x1:S))
 q#(q(p(x1:S))) -> q#(x1:S)
-> Rules:
 P(p(x1:S)) -> x1:S
 P(x1:S) -> Q(Q(p(x1:S)))
 Q(p(q(x1:S))) -> q(p(Q(x1:S)))
 Q(q(x1:S)) -> x1:S
 p(P(x1:S)) -> x1:S
 p(Q(Q(x1:S))) -> Q(Q(p(x1:S)))
 p(p(x1:S)) -> q(q(x1:S))
 q(Q(x1:S)) -> x1:S
 q(q(p(x1:S))) -> p(q(q(x1:S)))
->Strongly Connected Components:
->->Cycle:
->->-> Pairs:
 Q#(p(q(x1:S))) -> q#(p(Q(x1:S)))
 p#(Q(Q(x1:S))) -> Q#(Q(p(x1:S)))
 p#(p(x1:S)) -> q#(x1:S)
 q#(q(p(x1:S))) -> p#(q(q(x1:S)))
 q#(q(p(x1:S))) -> q#(q(x1:S))
 q#(q(p(x1:S))) -> q#(x1:S)
->->-> Rules:
 P(p(x1:S)) -> x1:S
 P(x1:S) -> Q(Q(p(x1:S)))
 Q(p(q(x1:S))) -> q(p(Q(x1:S)))
 Q(q(x1:S)) -> x1:S
 p(P(x1:S)) -> x1:S
 p(Q(Q(x1:S))) -> Q(Q(p(x1:S)))
 p(p(x1:S)) -> q(q(x1:S))
 q(Q(x1:S)) -> x1:S
 q(q(p(x1:S))) -> p(q(q(x1:S)))

Problem 1: 

Reduction Pair Processor:
-> Pairs:
 Q#(p(q(x1:S))) -> q#(p(Q(x1:S)))
 p#(Q(Q(x1:S))) -> Q#(Q(p(x1:S)))
 p#(p(x1:S)) -> q#(x1:S)
 q#(q(p(x1:S))) -> p#(q(q(x1:S)))
 q#(q(p(x1:S))) -> q#(q(x1:S))
 q#(q(p(x1:S))) -> q#(x1:S)
-> Rules:
 P(p(x1:S)) -> x1:S
 P(x1:S) -> Q(Q(p(x1:S)))
 Q(p(q(x1:S))) -> q(p(Q(x1:S)))
 Q(q(x1:S)) -> x1:S
 p(P(x1:S)) -> x1:S
 p(Q(Q(x1:S))) -> Q(Q(p(x1:S)))
 p(p(x1:S)) -> q(q(x1:S))
 q(Q(x1:S)) -> x1:S
 q(q(p(x1:S))) -> p(q(q(x1:S)))
-> Usable rules:
 Q(p(q(x1:S))) -> q(p(Q(x1:S)))
 Q(q(x1:S)) -> x1:S
 p(P(x1:S)) -> x1:S
 p(Q(Q(x1:S))) -> Q(Q(p(x1:S)))
 p(p(x1:S)) -> q(q(x1:S))
 q(Q(x1:S)) -> x1:S
 q(q(p(x1:S))) -> p(q(q(x1:S)))
->Interpretation type:
 Linear
->Coefficients:
 Natural Numbers
->Dimension:
 1
->Bound:
 2
->Interpretation:
 
[P](X) = 2.X
[Q](X) = 2.X + 2
[p](X) = 2.X + 2
[q](X) = 2.X + 2
[Q#](X) = 2.X + 2
[p#](X) = 2.X + 2
[q#](X) = 2.X + 2

Problem 1: 

SCC Processor:
-> Pairs:
 Q#(p(q(x1:S))) -> q#(p(Q(x1:S)))
 p#(Q(Q(x1:S))) -> Q#(Q(p(x1:S)))
 q#(q(p(x1:S))) -> p#(q(q(x1:S)))
 q#(q(p(x1:S))) -> q#(q(x1:S))
 q#(q(p(x1:S))) -> q#(x1:S)
-> Rules:
 P(p(x1:S)) -> x1:S
 P(x1:S) -> Q(Q(p(x1:S)))
 Q(p(q(x1:S))) -> q(p(Q(x1:S)))
 Q(q(x1:S)) -> x1:S
 p(P(x1:S)) -> x1:S
 p(Q(Q(x1:S))) -> Q(Q(p(x1:S)))
 p(p(x1:S)) -> q(q(x1:S))
 q(Q(x1:S)) -> x1:S
 q(q(p(x1:S))) -> p(q(q(x1:S)))
->Strongly Connected Components:
->->Cycle:
->->-> Pairs:
 Q#(p(q(x1:S))) -> q#(p(Q(x1:S)))
 p#(Q(Q(x1:S))) -> Q#(Q(p(x1:S)))
 q#(q(p(x1:S))) -> p#(q(q(x1:S)))
 q#(q(p(x1:S))) -> q#(q(x1:S))
 q#(q(p(x1:S))) -> q#(x1:S)
->->-> Rules:
 P(p(x1:S)) -> x1:S
 P(x1:S) -> Q(Q(p(x1:S)))
 Q(p(q(x1:S))) -> q(p(Q(x1:S)))
 Q(q(x1:S)) -> x1:S
 p(P(x1:S)) -> x1:S
 p(Q(Q(x1:S))) -> Q(Q(p(x1:S)))
 p(p(x1:S)) -> q(q(x1:S))
 q(Q(x1:S)) -> x1:S
 q(q(p(x1:S))) -> p(q(q(x1:S)))

Problem 1: 

Reduction Pair Processor:
-> Pairs:
 Q#(p(q(x1:S))) -> q#(p(Q(x1:S)))
 p#(Q(Q(x1:S))) -> Q#(Q(p(x1:S)))
 q#(q(p(x1:S))) -> p#(q(q(x1:S)))
 q#(q(p(x1:S))) -> q#(q(x1:S))
 q#(q(p(x1:S))) -> q#(x1:S)
-> Rules:
 P(p(x1:S)) -> x1:S
 P(x1:S) -> Q(Q(p(x1:S)))
 Q(p(q(x1:S))) -> q(p(Q(x1:S)))
 Q(q(x1:S)) -> x1:S
 p(P(x1:S)) -> x1:S
 p(Q(Q(x1:S))) -> Q(Q(p(x1:S)))
 p(p(x1:S)) -> q(q(x1:S))
 q(Q(x1:S)) -> x1:S
 q(q(p(x1:S))) -> p(q(q(x1:S)))
-> Usable rules:
 Q(p(q(x1:S))) -> q(p(Q(x1:S)))
 Q(q(x1:S)) -> x1:S
 p(P(x1:S)) -> x1:S
 p(Q(Q(x1:S))) -> Q(Q(p(x1:S)))
 p(p(x1:S)) -> q(q(x1:S))
 q(Q(x1:S)) -> x1:S
 q(q(p(x1:S))) -> p(q(q(x1:S)))
->Interpretation type:
 Linear
->Coefficients:
 Natural Numbers
->Dimension:
 1
->Bound:
 2
->Interpretation:
 
[P](X) = 2.X
[Q](X) = 2.X + 2
[p](X) = 2.X + 2
[q](X) = 2.X + 2
[Q#](X) = 2.X + 2
[p#](X) = 2.X + 2
[q#](X) = 2.X + 2

Problem 1: 

SCC Processor:
-> Pairs:
 Q#(p(q(x1:S))) -> q#(p(Q(x1:S)))
 p#(Q(Q(x1:S))) -> Q#(Q(p(x1:S)))
 q#(q(p(x1:S))) -> p#(q(q(x1:S)))
 q#(q(p(x1:S))) -> q#(x1:S)
-> Rules:
 P(p(x1:S)) -> x1:S
 P(x1:S) -> Q(Q(p(x1:S)))
 Q(p(q(x1:S))) -> q(p(Q(x1:S)))
 Q(q(x1:S)) -> x1:S
 p(P(x1:S)) -> x1:S
 p(Q(Q(x1:S))) -> Q(Q(p(x1:S)))
 p(p(x1:S)) -> q(q(x1:S))
 q(Q(x1:S)) -> x1:S
 q(q(p(x1:S))) -> p(q(q(x1:S)))
->Strongly Connected Components:
->->Cycle:
->->-> Pairs:
 Q#(p(q(x1:S))) -> q#(p(Q(x1:S)))
 p#(Q(Q(x1:S))) -> Q#(Q(p(x1:S)))
 q#(q(p(x1:S))) -> p#(q(q(x1:S)))
 q#(q(p(x1:S))) -> q#(x1:S)
->->-> Rules:
 P(p(x1:S)) -> x1:S
 P(x1:S) -> Q(Q(p(x1:S)))
 Q(p(q(x1:S))) -> q(p(Q(x1:S)))
 Q(q(x1:S)) -> x1:S
 p(P(x1:S)) -> x1:S
 p(Q(Q(x1:S))) -> Q(Q(p(x1:S)))
 p(p(x1:S)) -> q(q(x1:S))
 q(Q(x1:S)) -> x1:S
 q(q(p(x1:S))) -> p(q(q(x1:S)))

Problem 1: 

Reduction Pair Processor:
-> Pairs:
 Q#(p(q(x1:S))) -> q#(p(Q(x1:S)))
 p#(Q(Q(x1:S))) -> Q#(Q(p(x1:S)))
 q#(q(p(x1:S))) -> p#(q(q(x1:S)))
 q#(q(p(x1:S))) -> q#(x1:S)
-> Rules:
 P(p(x1:S)) -> x1:S
 P(x1:S) -> Q(Q(p(x1:S)))
 Q(p(q(x1:S))) -> q(p(Q(x1:S)))
 Q(q(x1:S)) -> x1:S
 p(P(x1:S)) -> x1:S
 p(Q(Q(x1:S))) -> Q(Q(p(x1:S)))
 p(p(x1:S)) -> q(q(x1:S))
 q(Q(x1:S)) -> x1:S
 q(q(p(x1:S))) -> p(q(q(x1:S)))
-> Usable rules:
 Q(p(q(x1:S))) -> q(p(Q(x1:S)))
 Q(q(x1:S)) -> x1:S
 p(P(x1:S)) -> x1:S
 p(Q(Q(x1:S))) -> Q(Q(p(x1:S)))
 p(p(x1:S)) -> q(q(x1:S))
 q(Q(x1:S)) -> x1:S
 q(q(p(x1:S))) -> p(q(q(x1:S)))
->Interpretation type:
 Linear
->Coefficients:
 Natural Numbers
->Dimension:
 1
->Bound:
 2
->Interpretation:
 
[P](X) = X
[Q](X) = 2.X + 2
[p](X) = 2.X + 2
[q](X) = 2.X + 2
[Q#](X) = 2.X + 2
[p#](X) = 2.X + 2
[q#](X) = 2.X + 2

Problem 1: 

SCC Processor:
-> Pairs:
 Q#(p(q(x1:S))) -> q#(p(Q(x1:S)))
 p#(Q(Q(x1:S))) -> Q#(Q(p(x1:S)))
 q#(q(p(x1:S))) -> p#(q(q(x1:S)))
-> Rules:
 P(p(x1:S)) -> x1:S
 P(x1:S) -> Q(Q(p(x1:S)))
 Q(p(q(x1:S))) -> q(p(Q(x1:S)))
 Q(q(x1:S)) -> x1:S
 p(P(x1:S)) -> x1:S
 p(Q(Q(x1:S))) -> Q(Q(p(x1:S)))
 p(p(x1:S)) -> q(q(x1:S))
 q(Q(x1:S)) -> x1:S
 q(q(p(x1:S))) -> p(q(q(x1:S)))
->Strongly Connected Components:
->->Cycle:
->->-> Pairs:
 Q#(p(q(x1:S))) -> q#(p(Q(x1:S)))
 p#(Q(Q(x1:S))) -> Q#(Q(p(x1:S)))
 q#(q(p(x1:S))) -> p#(q(q(x1:S)))
->->-> Rules:
 P(p(x1:S)) -> x1:S
 P(x1:S) -> Q(Q(p(x1:S)))
 Q(p(q(x1:S))) -> q(p(Q(x1:S)))
 Q(q(x1:S)) -> x1:S
 p(P(x1:S)) -> x1:S
 p(Q(Q(x1:S))) -> Q(Q(p(x1:S)))
 p(p(x1:S)) -> q(q(x1:S))
 q(Q(x1:S)) -> x1:S
 q(q(p(x1:S))) -> p(q(q(x1:S)))

Problem 1: 

Reduction Pair Processor:
-> Pairs:
 Q#(p(q(x1:S))) -> q#(p(Q(x1:S)))
 p#(Q(Q(x1:S))) -> Q#(Q(p(x1:S)))
 q#(q(p(x1:S))) -> p#(q(q(x1:S)))
-> Rules:
 P(p(x1:S)) -> x1:S
 P(x1:S) -> Q(Q(p(x1:S)))
 Q(p(q(x1:S))) -> q(p(Q(x1:S)))
 Q(q(x1:S)) -> x1:S
 p(P(x1:S)) -> x1:S
 p(Q(Q(x1:S))) -> Q(Q(p(x1:S)))
 p(p(x1:S)) -> q(q(x1:S))
 q(Q(x1:S)) -> x1:S
 q(q(p(x1:S))) -> p(q(q(x1:S)))
-> Usable rules:
 Q(p(q(x1:S))) -> q(p(Q(x1:S)))
 Q(q(x1:S)) -> x1:S
 p(P(x1:S)) -> x1:S
 p(Q(Q(x1:S))) -> Q(Q(p(x1:S)))
 p(p(x1:S)) -> q(q(x1:S))
 q(Q(x1:S)) -> x1:S
 q(q(p(x1:S))) -> p(q(q(x1:S)))
->Interpretation type:
 Linear
->Coefficients:
 All rationals
->Dimension:
 1
->Bound:
 2
->Interpretation:
 
[P](X) = 1/2.X
[Q](X) = 2.X + 1/2
[p](X) = 2.X
[q](X) = 1/2.X
[Q#](X) = 2.X + 2
[p#](X) = 2.X + 1
[q#](X) = 1/2.X + 1

Problem 1: 

SCC Processor:
-> Pairs:
 p#(Q(Q(x1:S))) -> Q#(Q(p(x1:S)))
 q#(q(p(x1:S))) -> p#(q(q(x1:S)))
-> Rules:
 P(p(x1:S)) -> x1:S
 P(x1:S) -> Q(Q(p(x1:S)))
 Q(p(q(x1:S))) -> q(p(Q(x1:S)))
 Q(q(x1:S)) -> x1:S
 p(P(x1:S)) -> x1:S
 p(Q(Q(x1:S))) -> Q(Q(p(x1:S)))
 p(p(x1:S)) -> q(q(x1:S))
 q(Q(x1:S)) -> x1:S
 q(q(p(x1:S))) -> p(q(q(x1:S)))
->Strongly Connected Components:
 There is no strongly connected component

The problem is finite.