YES Problem 1: (VAR v_NonEmpty:S k:S m:S n:S x:S) (RULES eq(0,0) -> ttrue eq(0,s(m:S)) -> ffalse eq(s(n:S),0) -> ffalse eq(s(n:S),s(m:S)) -> eq(n:S,m:S) if_min(ffalse,cons(n:S,cons(m:S,x:S))) -> min(cons(m:S,x:S)) if_min(ttrue,cons(n:S,cons(m:S,x:S))) -> min(cons(n:S,x:S)) if_replace(ffalse,n:S,m:S,cons(k:S,x:S)) -> cons(k:S,replace(n:S,m:S,x:S)) if_replace(ttrue,n:S,m:S,cons(k:S,x:S)) -> cons(m:S,x:S) le(0,m:S) -> ttrue le(s(n:S),0) -> ffalse le(s(n:S),s(m:S)) -> le(n:S,m:S) min(cons(0,nil)) -> 0 min(cons(s(n:S),nil)) -> s(n:S) min(cons(n:S,cons(m:S,x:S))) -> if_min(le(n:S,m:S),cons(n:S,cons(m:S,x:S))) replace(n:S,m:S,cons(k:S,x:S)) -> if_replace(eq(n:S,k:S),n:S,m:S,cons(k:S,x:S)) replace(n:S,m:S,nil) -> nil sort(cons(n:S,x:S)) -> cons(min(cons(n:S,x:S)),sort(replace(min(cons(n:S,x:S)),n:S,x:S))) sort(nil) -> nil ) (STRATEGY INNERMOST) Problem 1: Dependency Pairs Processor: -> Pairs: EQ(s(n:S),s(m:S)) -> EQ(n:S,m:S) IF_MIN(ffalse,cons(n:S,cons(m:S,x:S))) -> MIN(cons(m:S,x:S)) IF_MIN(ttrue,cons(n:S,cons(m:S,x:S))) -> MIN(cons(n:S,x:S)) IF_REPLACE(ffalse,n:S,m:S,cons(k:S,x:S)) -> REPLACE(n:S,m:S,x:S) LE(s(n:S),s(m:S)) -> LE(n:S,m:S) MIN(cons(n:S,cons(m:S,x:S))) -> IF_MIN(le(n:S,m:S),cons(n:S,cons(m:S,x:S))) MIN(cons(n:S,cons(m:S,x:S))) -> LE(n:S,m:S) REPLACE(n:S,m:S,cons(k:S,x:S)) -> EQ(n:S,k:S) REPLACE(n:S,m:S,cons(k:S,x:S)) -> IF_REPLACE(eq(n:S,k:S),n:S,m:S,cons(k:S,x:S)) SORT(cons(n:S,x:S)) -> MIN(cons(n:S,x:S)) SORT(cons(n:S,x:S)) -> REPLACE(min(cons(n:S,x:S)),n:S,x:S) SORT(cons(n:S,x:S)) -> SORT(replace(min(cons(n:S,x:S)),n:S,x:S)) -> Rules: eq(0,0) -> ttrue eq(0,s(m:S)) -> ffalse eq(s(n:S),0) -> ffalse eq(s(n:S),s(m:S)) -> eq(n:S,m:S) if_min(ffalse,cons(n:S,cons(m:S,x:S))) -> min(cons(m:S,x:S)) if_min(ttrue,cons(n:S,cons(m:S,x:S))) -> min(cons(n:S,x:S)) if_replace(ffalse,n:S,m:S,cons(k:S,x:S)) -> cons(k:S,replace(n:S,m:S,x:S)) if_replace(ttrue,n:S,m:S,cons(k:S,x:S)) -> cons(m:S,x:S) le(0,m:S) -> ttrue le(s(n:S),0) -> ffalse le(s(n:S),s(m:S)) -> le(n:S,m:S) min(cons(0,nil)) -> 0 min(cons(s(n:S),nil)) -> s(n:S) min(cons(n:S,cons(m:S,x:S))) -> if_min(le(n:S,m:S),cons(n:S,cons(m:S,x:S))) replace(n:S,m:S,cons(k:S,x:S)) -> if_replace(eq(n:S,k:S),n:S,m:S,cons(k:S,x:S)) replace(n:S,m:S,nil) -> nil sort(cons(n:S,x:S)) -> cons(min(cons(n:S,x:S)),sort(replace(min(cons(n:S,x:S)),n:S,x:S))) sort(nil) -> nil Problem 1: SCC Processor: -> Pairs: EQ(s(n:S),s(m:S)) -> EQ(n:S,m:S) IF_MIN(ffalse,cons(n:S,cons(m:S,x:S))) -> MIN(cons(m:S,x:S)) IF_MIN(ttrue,cons(n:S,cons(m:S,x:S))) -> MIN(cons(n:S,x:S)) IF_REPLACE(ffalse,n:S,m:S,cons(k:S,x:S)) -> REPLACE(n:S,m:S,x:S) LE(s(n:S),s(m:S)) -> LE(n:S,m:S) MIN(cons(n:S,cons(m:S,x:S))) -> IF_MIN(le(n:S,m:S),cons(n:S,cons(m:S,x:S))) MIN(cons(n:S,cons(m:S,x:S))) -> LE(n:S,m:S) REPLACE(n:S,m:S,cons(k:S,x:S)) -> EQ(n:S,k:S) REPLACE(n:S,m:S,cons(k:S,x:S)) -> IF_REPLACE(eq(n:S,k:S),n:S,m:S,cons(k:S,x:S)) SORT(cons(n:S,x:S)) -> MIN(cons(n:S,x:S)) SORT(cons(n:S,x:S)) -> REPLACE(min(cons(n:S,x:S)),n:S,x:S) SORT(cons(n:S,x:S)) -> SORT(replace(min(cons(n:S,x:S)),n:S,x:S)) -> Rules: eq(0,0) -> ttrue eq(0,s(m:S)) -> ffalse eq(s(n:S),0) -> ffalse eq(s(n:S),s(m:S)) -> eq(n:S,m:S) if_min(ffalse,cons(n:S,cons(m:S,x:S))) -> min(cons(m:S,x:S)) if_min(ttrue,cons(n:S,cons(m:S,x:S))) -> min(cons(n:S,x:S)) if_replace(ffalse,n:S,m:S,cons(k:S,x:S)) -> cons(k:S,replace(n:S,m:S,x:S)) if_replace(ttrue,n:S,m:S,cons(k:S,x:S)) -> cons(m:S,x:S) le(0,m:S) -> ttrue le(s(n:S),0) -> ffalse le(s(n:S),s(m:S)) -> le(n:S,m:S) min(cons(0,nil)) -> 0 min(cons(s(n:S),nil)) -> s(n:S) min(cons(n:S,cons(m:S,x:S))) -> if_min(le(n:S,m:S),cons(n:S,cons(m:S,x:S))) replace(n:S,m:S,cons(k:S,x:S)) -> if_replace(eq(n:S,k:S),n:S,m:S,cons(k:S,x:S)) replace(n:S,m:S,nil) -> nil sort(cons(n:S,x:S)) -> cons(min(cons(n:S,x:S)),sort(replace(min(cons(n:S,x:S)),n:S,x:S))) sort(nil) -> nil ->Strongly Connected Components: ->->Cycle: ->->-> Pairs: LE(s(n:S),s(m:S)) -> LE(n:S,m:S) ->->-> Rules: eq(0,0) -> ttrue eq(0,s(m:S)) -> ffalse eq(s(n:S),0) -> ffalse eq(s(n:S),s(m:S)) -> eq(n:S,m:S) if_min(ffalse,cons(n:S,cons(m:S,x:S))) -> min(cons(m:S,x:S)) if_min(ttrue,cons(n:S,cons(m:S,x:S))) -> min(cons(n:S,x:S)) if_replace(ffalse,n:S,m:S,cons(k:S,x:S)) -> cons(k:S,replace(n:S,m:S,x:S)) if_replace(ttrue,n:S,m:S,cons(k:S,x:S)) -> cons(m:S,x:S) le(0,m:S) -> ttrue le(s(n:S),0) -> ffalse le(s(n:S),s(m:S)) -> le(n:S,m:S) min(cons(0,nil)) -> 0 min(cons(s(n:S),nil)) -> s(n:S) min(cons(n:S,cons(m:S,x:S))) -> if_min(le(n:S,m:S),cons(n:S,cons(m:S,x:S))) replace(n:S,m:S,cons(k:S,x:S)) -> if_replace(eq(n:S,k:S),n:S,m:S,cons(k:S,x:S)) replace(n:S,m:S,nil) -> nil sort(cons(n:S,x:S)) -> cons(min(cons(n:S,x:S)),sort(replace(min(cons(n:S,x:S)),n:S,x:S))) sort(nil) -> nil ->->Cycle: ->->-> Pairs: IF_MIN(ffalse,cons(n:S,cons(m:S,x:S))) -> MIN(cons(m:S,x:S)) IF_MIN(ttrue,cons(n:S,cons(m:S,x:S))) -> MIN(cons(n:S,x:S)) MIN(cons(n:S,cons(m:S,x:S))) -> IF_MIN(le(n:S,m:S),cons(n:S,cons(m:S,x:S))) ->->-> Rules: eq(0,0) -> ttrue eq(0,s(m:S)) -> ffalse eq(s(n:S),0) -> ffalse eq(s(n:S),s(m:S)) -> eq(n:S,m:S) if_min(ffalse,cons(n:S,cons(m:S,x:S))) -> min(cons(m:S,x:S)) if_min(ttrue,cons(n:S,cons(m:S,x:S))) -> min(cons(n:S,x:S)) if_replace(ffalse,n:S,m:S,cons(k:S,x:S)) -> cons(k:S,replace(n:S,m:S,x:S)) if_replace(ttrue,n:S,m:S,cons(k:S,x:S)) -> cons(m:S,x:S) le(0,m:S) -> ttrue le(s(n:S),0) -> ffalse le(s(n:S),s(m:S)) -> le(n:S,m:S) min(cons(0,nil)) -> 0 min(cons(s(n:S),nil)) -> s(n:S) min(cons(n:S,cons(m:S,x:S))) -> if_min(le(n:S,m:S),cons(n:S,cons(m:S,x:S))) replace(n:S,m:S,cons(k:S,x:S)) -> if_replace(eq(n:S,k:S),n:S,m:S,cons(k:S,x:S)) replace(n:S,m:S,nil) -> nil sort(cons(n:S,x:S)) -> cons(min(cons(n:S,x:S)),sort(replace(min(cons(n:S,x:S)),n:S,x:S))) sort(nil) -> nil ->->Cycle: ->->-> Pairs: EQ(s(n:S),s(m:S)) -> EQ(n:S,m:S) ->->-> Rules: eq(0,0) -> ttrue eq(0,s(m:S)) -> ffalse eq(s(n:S),0) -> ffalse eq(s(n:S),s(m:S)) -> eq(n:S,m:S) if_min(ffalse,cons(n:S,cons(m:S,x:S))) -> min(cons(m:S,x:S)) if_min(ttrue,cons(n:S,cons(m:S,x:S))) -> min(cons(n:S,x:S)) if_replace(ffalse,n:S,m:S,cons(k:S,x:S)) -> cons(k:S,replace(n:S,m:S,x:S)) if_replace(ttrue,n:S,m:S,cons(k:S,x:S)) -> cons(m:S,x:S) le(0,m:S) -> ttrue le(s(n:S),0) -> ffalse le(s(n:S),s(m:S)) -> le(n:S,m:S) min(cons(0,nil)) -> 0 min(cons(s(n:S),nil)) -> s(n:S) min(cons(n:S,cons(m:S,x:S))) -> if_min(le(n:S,m:S),cons(n:S,cons(m:S,x:S))) replace(n:S,m:S,cons(k:S,x:S)) -> if_replace(eq(n:S,k:S),n:S,m:S,cons(k:S,x:S)) replace(n:S,m:S,nil) -> nil sort(cons(n:S,x:S)) -> cons(min(cons(n:S,x:S)),sort(replace(min(cons(n:S,x:S)),n:S,x:S))) sort(nil) -> nil ->->Cycle: ->->-> Pairs: IF_REPLACE(ffalse,n:S,m:S,cons(k:S,x:S)) -> REPLACE(n:S,m:S,x:S) REPLACE(n:S,m:S,cons(k:S,x:S)) -> IF_REPLACE(eq(n:S,k:S),n:S,m:S,cons(k:S,x:S)) ->->-> Rules: eq(0,0) -> ttrue eq(0,s(m:S)) -> ffalse eq(s(n:S),0) -> ffalse eq(s(n:S),s(m:S)) -> eq(n:S,m:S) if_min(ffalse,cons(n:S,cons(m:S,x:S))) -> min(cons(m:S,x:S)) if_min(ttrue,cons(n:S,cons(m:S,x:S))) -> min(cons(n:S,x:S)) if_replace(ffalse,n:S,m:S,cons(k:S,x:S)) -> cons(k:S,replace(n:S,m:S,x:S)) if_replace(ttrue,n:S,m:S,cons(k:S,x:S)) -> cons(m:S,x:S) le(0,m:S) -> ttrue le(s(n:S),0) -> ffalse le(s(n:S),s(m:S)) -> le(n:S,m:S) min(cons(0,nil)) -> 0 min(cons(s(n:S),nil)) -> s(n:S) min(cons(n:S,cons(m:S,x:S))) -> if_min(le(n:S,m:S),cons(n:S,cons(m:S,x:S))) replace(n:S,m:S,cons(k:S,x:S)) -> if_replace(eq(n:S,k:S),n:S,m:S,cons(k:S,x:S)) replace(n:S,m:S,nil) -> nil sort(cons(n:S,x:S)) -> cons(min(cons(n:S,x:S)),sort(replace(min(cons(n:S,x:S)),n:S,x:S))) sort(nil) -> nil ->->Cycle: ->->-> Pairs: SORT(cons(n:S,x:S)) -> SORT(replace(min(cons(n:S,x:S)),n:S,x:S)) ->->-> Rules: eq(0,0) -> ttrue eq(0,s(m:S)) -> ffalse eq(s(n:S),0) -> ffalse eq(s(n:S),s(m:S)) -> eq(n:S,m:S) if_min(ffalse,cons(n:S,cons(m:S,x:S))) -> min(cons(m:S,x:S)) if_min(ttrue,cons(n:S,cons(m:S,x:S))) -> min(cons(n:S,x:S)) if_replace(ffalse,n:S,m:S,cons(k:S,x:S)) -> cons(k:S,replace(n:S,m:S,x:S)) if_replace(ttrue,n:S,m:S,cons(k:S,x:S)) -> cons(m:S,x:S) le(0,m:S) -> ttrue le(s(n:S),0) -> ffalse le(s(n:S),s(m:S)) -> le(n:S,m:S) min(cons(0,nil)) -> 0 min(cons(s(n:S),nil)) -> s(n:S) min(cons(n:S,cons(m:S,x:S))) -> if_min(le(n:S,m:S),cons(n:S,cons(m:S,x:S))) replace(n:S,m:S,cons(k:S,x:S)) -> if_replace(eq(n:S,k:S),n:S,m:S,cons(k:S,x:S)) replace(n:S,m:S,nil) -> nil sort(cons(n:S,x:S)) -> cons(min(cons(n:S,x:S)),sort(replace(min(cons(n:S,x:S)),n:S,x:S))) sort(nil) -> nil The problem is decomposed in 5 subproblems. Problem 1.1: Subterm Processor: -> Pairs: LE(s(n:S),s(m:S)) -> LE(n:S,m:S) -> Rules: eq(0,0) -> ttrue eq(0,s(m:S)) -> ffalse eq(s(n:S),0) -> ffalse eq(s(n:S),s(m:S)) -> eq(n:S,m:S) if_min(ffalse,cons(n:S,cons(m:S,x:S))) -> min(cons(m:S,x:S)) if_min(ttrue,cons(n:S,cons(m:S,x:S))) -> min(cons(n:S,x:S)) if_replace(ffalse,n:S,m:S,cons(k:S,x:S)) -> cons(k:S,replace(n:S,m:S,x:S)) if_replace(ttrue,n:S,m:S,cons(k:S,x:S)) -> cons(m:S,x:S) le(0,m:S) -> ttrue le(s(n:S),0) -> ffalse le(s(n:S),s(m:S)) -> le(n:S,m:S) min(cons(0,nil)) -> 0 min(cons(s(n:S),nil)) -> s(n:S) min(cons(n:S,cons(m:S,x:S))) -> if_min(le(n:S,m:S),cons(n:S,cons(m:S,x:S))) replace(n:S,m:S,cons(k:S,x:S)) -> if_replace(eq(n:S,k:S),n:S,m:S,cons(k:S,x:S)) replace(n:S,m:S,nil) -> nil sort(cons(n:S,x:S)) -> cons(min(cons(n:S,x:S)),sort(replace(min(cons(n:S,x:S)),n:S,x:S))) sort(nil) -> nil ->Projection: pi(LE) = 1 Problem 1.1: SCC Processor: -> Pairs: Empty -> Rules: eq(0,0) -> ttrue eq(0,s(m:S)) -> ffalse eq(s(n:S),0) -> ffalse eq(s(n:S),s(m:S)) -> eq(n:S,m:S) if_min(ffalse,cons(n:S,cons(m:S,x:S))) -> min(cons(m:S,x:S)) if_min(ttrue,cons(n:S,cons(m:S,x:S))) -> min(cons(n:S,x:S)) if_replace(ffalse,n:S,m:S,cons(k:S,x:S)) -> cons(k:S,replace(n:S,m:S,x:S)) if_replace(ttrue,n:S,m:S,cons(k:S,x:S)) -> cons(m:S,x:S) le(0,m:S) -> ttrue le(s(n:S),0) -> ffalse le(s(n:S),s(m:S)) -> le(n:S,m:S) min(cons(0,nil)) -> 0 min(cons(s(n:S),nil)) -> s(n:S) min(cons(n:S,cons(m:S,x:S))) -> if_min(le(n:S,m:S),cons(n:S,cons(m:S,x:S))) replace(n:S,m:S,cons(k:S,x:S)) -> if_replace(eq(n:S,k:S),n:S,m:S,cons(k:S,x:S)) replace(n:S,m:S,nil) -> nil sort(cons(n:S,x:S)) -> cons(min(cons(n:S,x:S)),sort(replace(min(cons(n:S,x:S)),n:S,x:S))) sort(nil) -> nil ->Strongly Connected Components: There is no strongly connected component The problem is finite. Problem 1.2: Reduction Pairs Processor: -> Pairs: IF_MIN(ffalse,cons(n:S,cons(m:S,x:S))) -> MIN(cons(m:S,x:S)) IF_MIN(ttrue,cons(n:S,cons(m:S,x:S))) -> MIN(cons(n:S,x:S)) MIN(cons(n:S,cons(m:S,x:S))) -> IF_MIN(le(n:S,m:S),cons(n:S,cons(m:S,x:S))) -> Rules: eq(0,0) -> ttrue eq(0,s(m:S)) -> ffalse eq(s(n:S),0) -> ffalse eq(s(n:S),s(m:S)) -> eq(n:S,m:S) if_min(ffalse,cons(n:S,cons(m:S,x:S))) -> min(cons(m:S,x:S)) if_min(ttrue,cons(n:S,cons(m:S,x:S))) -> min(cons(n:S,x:S)) if_replace(ffalse,n:S,m:S,cons(k:S,x:S)) -> cons(k:S,replace(n:S,m:S,x:S)) if_replace(ttrue,n:S,m:S,cons(k:S,x:S)) -> cons(m:S,x:S) le(0,m:S) -> ttrue le(s(n:S),0) -> ffalse le(s(n:S),s(m:S)) -> le(n:S,m:S) min(cons(0,nil)) -> 0 min(cons(s(n:S),nil)) -> s(n:S) min(cons(n:S,cons(m:S,x:S))) -> if_min(le(n:S,m:S),cons(n:S,cons(m:S,x:S))) replace(n:S,m:S,cons(k:S,x:S)) -> if_replace(eq(n:S,k:S),n:S,m:S,cons(k:S,x:S)) replace(n:S,m:S,nil) -> nil sort(cons(n:S,x:S)) -> cons(min(cons(n:S,x:S)),sort(replace(min(cons(n:S,x:S)),n:S,x:S))) sort(nil) -> nil -> Usable rules: le(0,m:S) -> ttrue le(s(n:S),0) -> ffalse le(s(n:S),s(m:S)) -> le(n:S,m:S) ->Interpretation type: Linear ->Coefficients: Natural Numbers ->Dimension: 1 ->Bound: 2 ->Interpretation: [eq](X1,X2) = 0 [if_min](X1,X2) = 0 [if_replace](X1,X2,X3,X4) = 0 [le](X1,X2) = 1 [min](X) = 0 [replace](X1,X2,X3) = 0 [sort](X) = 0 [0] = 2 [cons](X1,X2) = X2 + 2 [fSNonEmpty] = 0 [false] = 1 [nil] = 0 [s](X) = X + 1 [true] = 1 [EQ](X1,X2) = 0 [IF_MIN](X1,X2) = 2.X1 + 2.X2 [IF_REPLACE](X1,X2,X3,X4) = 0 [LE](X1,X2) = 0 [MIN](X) = 2.X + 2 [REPLACE](X1,X2,X3) = 0 [SORT](X) = 0 Problem 1.2: SCC Processor: -> Pairs: IF_MIN(ttrue,cons(n:S,cons(m:S,x:S))) -> MIN(cons(n:S,x:S)) MIN(cons(n:S,cons(m:S,x:S))) -> IF_MIN(le(n:S,m:S),cons(n:S,cons(m:S,x:S))) -> Rules: eq(0,0) -> ttrue eq(0,s(m:S)) -> ffalse eq(s(n:S),0) -> ffalse eq(s(n:S),s(m:S)) -> eq(n:S,m:S) if_min(ffalse,cons(n:S,cons(m:S,x:S))) -> min(cons(m:S,x:S)) if_min(ttrue,cons(n:S,cons(m:S,x:S))) -> min(cons(n:S,x:S)) if_replace(ffalse,n:S,m:S,cons(k:S,x:S)) -> cons(k:S,replace(n:S,m:S,x:S)) if_replace(ttrue,n:S,m:S,cons(k:S,x:S)) -> cons(m:S,x:S) le(0,m:S) -> ttrue le(s(n:S),0) -> ffalse le(s(n:S),s(m:S)) -> le(n:S,m:S) min(cons(0,nil)) -> 0 min(cons(s(n:S),nil)) -> s(n:S) min(cons(n:S,cons(m:S,x:S))) -> if_min(le(n:S,m:S),cons(n:S,cons(m:S,x:S))) replace(n:S,m:S,cons(k:S,x:S)) -> if_replace(eq(n:S,k:S),n:S,m:S,cons(k:S,x:S)) replace(n:S,m:S,nil) -> nil sort(cons(n:S,x:S)) -> cons(min(cons(n:S,x:S)),sort(replace(min(cons(n:S,x:S)),n:S,x:S))) sort(nil) -> nil ->Strongly Connected Components: ->->Cycle: ->->-> Pairs: IF_MIN(ttrue,cons(n:S,cons(m:S,x:S))) -> MIN(cons(n:S,x:S)) MIN(cons(n:S,cons(m:S,x:S))) -> IF_MIN(le(n:S,m:S),cons(n:S,cons(m:S,x:S))) ->->-> Rules: eq(0,0) -> ttrue eq(0,s(m:S)) -> ffalse eq(s(n:S),0) -> ffalse eq(s(n:S),s(m:S)) -> eq(n:S,m:S) if_min(ffalse,cons(n:S,cons(m:S,x:S))) -> min(cons(m:S,x:S)) if_min(ttrue,cons(n:S,cons(m:S,x:S))) -> min(cons(n:S,x:S)) if_replace(ffalse,n:S,m:S,cons(k:S,x:S)) -> cons(k:S,replace(n:S,m:S,x:S)) if_replace(ttrue,n:S,m:S,cons(k:S,x:S)) -> cons(m:S,x:S) le(0,m:S) -> ttrue le(s(n:S),0) -> ffalse le(s(n:S),s(m:S)) -> le(n:S,m:S) min(cons(0,nil)) -> 0 min(cons(s(n:S),nil)) -> s(n:S) min(cons(n:S,cons(m:S,x:S))) -> if_min(le(n:S,m:S),cons(n:S,cons(m:S,x:S))) replace(n:S,m:S,cons(k:S,x:S)) -> if_replace(eq(n:S,k:S),n:S,m:S,cons(k:S,x:S)) replace(n:S,m:S,nil) -> nil sort(cons(n:S,x:S)) -> cons(min(cons(n:S,x:S)),sort(replace(min(cons(n:S,x:S)),n:S,x:S))) sort(nil) -> nil Problem 1.2: Reduction Pairs Processor: -> Pairs: IF_MIN(ttrue,cons(n:S,cons(m:S,x:S))) -> MIN(cons(n:S,x:S)) MIN(cons(n:S,cons(m:S,x:S))) -> IF_MIN(le(n:S,m:S),cons(n:S,cons(m:S,x:S))) -> Rules: eq(0,0) -> ttrue eq(0,s(m:S)) -> ffalse eq(s(n:S),0) -> ffalse eq(s(n:S),s(m:S)) -> eq(n:S,m:S) if_min(ffalse,cons(n:S,cons(m:S,x:S))) -> min(cons(m:S,x:S)) if_min(ttrue,cons(n:S,cons(m:S,x:S))) -> min(cons(n:S,x:S)) if_replace(ffalse,n:S,m:S,cons(k:S,x:S)) -> cons(k:S,replace(n:S,m:S,x:S)) if_replace(ttrue,n:S,m:S,cons(k:S,x:S)) -> cons(m:S,x:S) le(0,m:S) -> ttrue le(s(n:S),0) -> ffalse le(s(n:S),s(m:S)) -> le(n:S,m:S) min(cons(0,nil)) -> 0 min(cons(s(n:S),nil)) -> s(n:S) min(cons(n:S,cons(m:S,x:S))) -> if_min(le(n:S,m:S),cons(n:S,cons(m:S,x:S))) replace(n:S,m:S,cons(k:S,x:S)) -> if_replace(eq(n:S,k:S),n:S,m:S,cons(k:S,x:S)) replace(n:S,m:S,nil) -> nil sort(cons(n:S,x:S)) -> cons(min(cons(n:S,x:S)),sort(replace(min(cons(n:S,x:S)),n:S,x:S))) sort(nil) -> nil -> Usable rules: le(0,m:S) -> ttrue le(s(n:S),0) -> ffalse le(s(n:S),s(m:S)) -> le(n:S,m:S) ->Interpretation type: Linear ->Coefficients: Natural Numbers ->Dimension: 1 ->Bound: 2 ->Interpretation: [eq](X1,X2) = 0 [if_min](X1,X2) = 0 [if_replace](X1,X2,X3,X4) = 0 [le](X1,X2) = 2 [min](X) = 0 [replace](X1,X2,X3) = 0 [sort](X) = 0 [0] = 0 [cons](X1,X2) = 2.X2 + 2 [fSNonEmpty] = 0 [false] = 0 [nil] = 0 [s](X) = 2.X + 2 [true] = 2 [EQ](X1,X2) = 0 [IF_MIN](X1,X2) = 2.X1 + X2 + 2 [IF_REPLACE](X1,X2,X3,X4) = 0 [LE](X1,X2) = 0 [MIN](X) = 2.X + 2 [REPLACE](X1,X2,X3) = 0 [SORT](X) = 0 Problem 1.2: SCC Processor: -> Pairs: MIN(cons(n:S,cons(m:S,x:S))) -> IF_MIN(le(n:S,m:S),cons(n:S,cons(m:S,x:S))) -> Rules: eq(0,0) -> ttrue eq(0,s(m:S)) -> ffalse eq(s(n:S),0) -> ffalse eq(s(n:S),s(m:S)) -> eq(n:S,m:S) if_min(ffalse,cons(n:S,cons(m:S,x:S))) -> min(cons(m:S,x:S)) if_min(ttrue,cons(n:S,cons(m:S,x:S))) -> min(cons(n:S,x:S)) if_replace(ffalse,n:S,m:S,cons(k:S,x:S)) -> cons(k:S,replace(n:S,m:S,x:S)) if_replace(ttrue,n:S,m:S,cons(k:S,x:S)) -> cons(m:S,x:S) le(0,m:S) -> ttrue le(s(n:S),0) -> ffalse le(s(n:S),s(m:S)) -> le(n:S,m:S) min(cons(0,nil)) -> 0 min(cons(s(n:S),nil)) -> s(n:S) min(cons(n:S,cons(m:S,x:S))) -> if_min(le(n:S,m:S),cons(n:S,cons(m:S,x:S))) replace(n:S,m:S,cons(k:S,x:S)) -> if_replace(eq(n:S,k:S),n:S,m:S,cons(k:S,x:S)) replace(n:S,m:S,nil) -> nil sort(cons(n:S,x:S)) -> cons(min(cons(n:S,x:S)),sort(replace(min(cons(n:S,x:S)),n:S,x:S))) sort(nil) -> nil ->Strongly Connected Components: There is no strongly connected component The problem is finite. Problem 1.3: Subterm Processor: -> Pairs: EQ(s(n:S),s(m:S)) -> EQ(n:S,m:S) -> Rules: eq(0,0) -> ttrue eq(0,s(m:S)) -> ffalse eq(s(n:S),0) -> ffalse eq(s(n:S),s(m:S)) -> eq(n:S,m:S) if_min(ffalse,cons(n:S,cons(m:S,x:S))) -> min(cons(m:S,x:S)) if_min(ttrue,cons(n:S,cons(m:S,x:S))) -> min(cons(n:S,x:S)) if_replace(ffalse,n:S,m:S,cons(k:S,x:S)) -> cons(k:S,replace(n:S,m:S,x:S)) if_replace(ttrue,n:S,m:S,cons(k:S,x:S)) -> cons(m:S,x:S) le(0,m:S) -> ttrue le(s(n:S),0) -> ffalse le(s(n:S),s(m:S)) -> le(n:S,m:S) min(cons(0,nil)) -> 0 min(cons(s(n:S),nil)) -> s(n:S) min(cons(n:S,cons(m:S,x:S))) -> if_min(le(n:S,m:S),cons(n:S,cons(m:S,x:S))) replace(n:S,m:S,cons(k:S,x:S)) -> if_replace(eq(n:S,k:S),n:S,m:S,cons(k:S,x:S)) replace(n:S,m:S,nil) -> nil sort(cons(n:S,x:S)) -> cons(min(cons(n:S,x:S)),sort(replace(min(cons(n:S,x:S)),n:S,x:S))) sort(nil) -> nil ->Projection: pi(EQ) = 1 Problem 1.3: SCC Processor: -> Pairs: Empty -> Rules: eq(0,0) -> ttrue eq(0,s(m:S)) -> ffalse eq(s(n:S),0) -> ffalse eq(s(n:S),s(m:S)) -> eq(n:S,m:S) if_min(ffalse,cons(n:S,cons(m:S,x:S))) -> min(cons(m:S,x:S)) if_min(ttrue,cons(n:S,cons(m:S,x:S))) -> min(cons(n:S,x:S)) if_replace(ffalse,n:S,m:S,cons(k:S,x:S)) -> cons(k:S,replace(n:S,m:S,x:S)) if_replace(ttrue,n:S,m:S,cons(k:S,x:S)) -> cons(m:S,x:S) le(0,m:S) -> ttrue le(s(n:S),0) -> ffalse le(s(n:S),s(m:S)) -> le(n:S,m:S) min(cons(0,nil)) -> 0 min(cons(s(n:S),nil)) -> s(n:S) min(cons(n:S,cons(m:S,x:S))) -> if_min(le(n:S,m:S),cons(n:S,cons(m:S,x:S))) replace(n:S,m:S,cons(k:S,x:S)) -> if_replace(eq(n:S,k:S),n:S,m:S,cons(k:S,x:S)) replace(n:S,m:S,nil) -> nil sort(cons(n:S,x:S)) -> cons(min(cons(n:S,x:S)),sort(replace(min(cons(n:S,x:S)),n:S,x:S))) sort(nil) -> nil ->Strongly Connected Components: There is no strongly connected component The problem is finite. Problem 1.4: Subterm Processor: -> Pairs: IF_REPLACE(ffalse,n:S,m:S,cons(k:S,x:S)) -> REPLACE(n:S,m:S,x:S) REPLACE(n:S,m:S,cons(k:S,x:S)) -> IF_REPLACE(eq(n:S,k:S),n:S,m:S,cons(k:S,x:S)) -> Rules: eq(0,0) -> ttrue eq(0,s(m:S)) -> ffalse eq(s(n:S),0) -> ffalse eq(s(n:S),s(m:S)) -> eq(n:S,m:S) if_min(ffalse,cons(n:S,cons(m:S,x:S))) -> min(cons(m:S,x:S)) if_min(ttrue,cons(n:S,cons(m:S,x:S))) -> min(cons(n:S,x:S)) if_replace(ffalse,n:S,m:S,cons(k:S,x:S)) -> cons(k:S,replace(n:S,m:S,x:S)) if_replace(ttrue,n:S,m:S,cons(k:S,x:S)) -> cons(m:S,x:S) le(0,m:S) -> ttrue le(s(n:S),0) -> ffalse le(s(n:S),s(m:S)) -> le(n:S,m:S) min(cons(0,nil)) -> 0 min(cons(s(n:S),nil)) -> s(n:S) min(cons(n:S,cons(m:S,x:S))) -> if_min(le(n:S,m:S),cons(n:S,cons(m:S,x:S))) replace(n:S,m:S,cons(k:S,x:S)) -> if_replace(eq(n:S,k:S),n:S,m:S,cons(k:S,x:S)) replace(n:S,m:S,nil) -> nil sort(cons(n:S,x:S)) -> cons(min(cons(n:S,x:S)),sort(replace(min(cons(n:S,x:S)),n:S,x:S))) sort(nil) -> nil ->Projection: pi(IF_REPLACE) = 4 pi(REPLACE) = 3 Problem 1.4: SCC Processor: -> Pairs: REPLACE(n:S,m:S,cons(k:S,x:S)) -> IF_REPLACE(eq(n:S,k:S),n:S,m:S,cons(k:S,x:S)) -> Rules: eq(0,0) -> ttrue eq(0,s(m:S)) -> ffalse eq(s(n:S),0) -> ffalse eq(s(n:S),s(m:S)) -> eq(n:S,m:S) if_min(ffalse,cons(n:S,cons(m:S,x:S))) -> min(cons(m:S,x:S)) if_min(ttrue,cons(n:S,cons(m:S,x:S))) -> min(cons(n:S,x:S)) if_replace(ffalse,n:S,m:S,cons(k:S,x:S)) -> cons(k:S,replace(n:S,m:S,x:S)) if_replace(ttrue,n:S,m:S,cons(k:S,x:S)) -> cons(m:S,x:S) le(0,m:S) -> ttrue le(s(n:S),0) -> ffalse le(s(n:S),s(m:S)) -> le(n:S,m:S) min(cons(0,nil)) -> 0 min(cons(s(n:S),nil)) -> s(n:S) min(cons(n:S,cons(m:S,x:S))) -> if_min(le(n:S,m:S),cons(n:S,cons(m:S,x:S))) replace(n:S,m:S,cons(k:S,x:S)) -> if_replace(eq(n:S,k:S),n:S,m:S,cons(k:S,x:S)) replace(n:S,m:S,nil) -> nil sort(cons(n:S,x:S)) -> cons(min(cons(n:S,x:S)),sort(replace(min(cons(n:S,x:S)),n:S,x:S))) sort(nil) -> nil ->Strongly Connected Components: There is no strongly connected component The problem is finite. Problem 1.5: Reduction Pairs Processor: -> Pairs: SORT(cons(n:S,x:S)) -> SORT(replace(min(cons(n:S,x:S)),n:S,x:S)) -> Rules: eq(0,0) -> ttrue eq(0,s(m:S)) -> ffalse eq(s(n:S),0) -> ffalse eq(s(n:S),s(m:S)) -> eq(n:S,m:S) if_min(ffalse,cons(n:S,cons(m:S,x:S))) -> min(cons(m:S,x:S)) if_min(ttrue,cons(n:S,cons(m:S,x:S))) -> min(cons(n:S,x:S)) if_replace(ffalse,n:S,m:S,cons(k:S,x:S)) -> cons(k:S,replace(n:S,m:S,x:S)) if_replace(ttrue,n:S,m:S,cons(k:S,x:S)) -> cons(m:S,x:S) le(0,m:S) -> ttrue le(s(n:S),0) -> ffalse le(s(n:S),s(m:S)) -> le(n:S,m:S) min(cons(0,nil)) -> 0 min(cons(s(n:S),nil)) -> s(n:S) min(cons(n:S,cons(m:S,x:S))) -> if_min(le(n:S,m:S),cons(n:S,cons(m:S,x:S))) replace(n:S,m:S,cons(k:S,x:S)) -> if_replace(eq(n:S,k:S),n:S,m:S,cons(k:S,x:S)) replace(n:S,m:S,nil) -> nil sort(cons(n:S,x:S)) -> cons(min(cons(n:S,x:S)),sort(replace(min(cons(n:S,x:S)),n:S,x:S))) sort(nil) -> nil -> Usable rules: eq(0,0) -> ttrue eq(0,s(m:S)) -> ffalse eq(s(n:S),0) -> ffalse eq(s(n:S),s(m:S)) -> eq(n:S,m:S) if_min(ffalse,cons(n:S,cons(m:S,x:S))) -> min(cons(m:S,x:S)) if_min(ttrue,cons(n:S,cons(m:S,x:S))) -> min(cons(n:S,x:S)) if_replace(ffalse,n:S,m:S,cons(k:S,x:S)) -> cons(k:S,replace(n:S,m:S,x:S)) if_replace(ttrue,n:S,m:S,cons(k:S,x:S)) -> cons(m:S,x:S) le(0,m:S) -> ttrue le(s(n:S),0) -> ffalse le(s(n:S),s(m:S)) -> le(n:S,m:S) min(cons(0,nil)) -> 0 min(cons(s(n:S),nil)) -> s(n:S) min(cons(n:S,cons(m:S,x:S))) -> if_min(le(n:S,m:S),cons(n:S,cons(m:S,x:S))) replace(n:S,m:S,cons(k:S,x:S)) -> if_replace(eq(n:S,k:S),n:S,m:S,cons(k:S,x:S)) replace(n:S,m:S,nil) -> nil ->Interpretation type: Linear ->Coefficients: Natural Numbers ->Dimension: 1 ->Bound: 2 ->Interpretation: [eq](X1,X2) = 0 [if_min](X1,X2) = 2.X1 + X2 + 1 [if_replace](X1,X2,X3,X4) = 2.X1 + 2.X4 [le](X1,X2) = 1 [min](X) = 2.X + 2 [replace](X1,X2,X3) = 2.X3 [sort](X) = 0 [0] = 0 [cons](X1,X2) = 2.X2 + 1 [fSNonEmpty] = 0 [false] = 0 [nil] = 2 [s](X) = 0 [true] = 0 [EQ](X1,X2) = 0 [IF_MIN](X1,X2) = 0 [IF_REPLACE](X1,X2,X3,X4) = 0 [LE](X1,X2) = 0 [MIN](X) = 0 [REPLACE](X1,X2,X3) = 0 [SORT](X) = 2.X Problem 1.5: SCC Processor: -> Pairs: Empty -> Rules: eq(0,0) -> ttrue eq(0,s(m:S)) -> ffalse eq(s(n:S),0) -> ffalse eq(s(n:S),s(m:S)) -> eq(n:S,m:S) if_min(ffalse,cons(n:S,cons(m:S,x:S))) -> min(cons(m:S,x:S)) if_min(ttrue,cons(n:S,cons(m:S,x:S))) -> min(cons(n:S,x:S)) if_replace(ffalse,n:S,m:S,cons(k:S,x:S)) -> cons(k:S,replace(n:S,m:S,x:S)) if_replace(ttrue,n:S,m:S,cons(k:S,x:S)) -> cons(m:S,x:S) le(0,m:S) -> ttrue le(s(n:S),0) -> ffalse le(s(n:S),s(m:S)) -> le(n:S,m:S) min(cons(0,nil)) -> 0 min(cons(s(n:S),nil)) -> s(n:S) min(cons(n:S,cons(m:S,x:S))) -> if_min(le(n:S,m:S),cons(n:S,cons(m:S,x:S))) replace(n:S,m:S,cons(k:S,x:S)) -> if_replace(eq(n:S,k:S),n:S,m:S,cons(k:S,x:S)) replace(n:S,m:S,nil) -> nil sort(cons(n:S,x:S)) -> cons(min(cons(n:S,x:S)),sort(replace(min(cons(n:S,x:S)),n:S,x:S))) sort(nil) -> nil ->Strongly Connected Components: There is no strongly connected component The problem is finite.