WORST_CASE(Omega(n^1), ?) proof of /export/starexec/sandbox/benchmark/theBenchmark.xml # AProVE Commit ID: 794c25de1cacf0d048858bcd21c9a779e1221865 marcel 20200619 unpublished dirty The Derivational Complexity (full) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). (0) DCpxTrs (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (2) CpxRelTRS (3) SInnermostTerminationProof [BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID), 87 ms] (4) CpxRelTRS (5) RenamingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (6) CpxRelTRS (7) TypeInferenceProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (8) typed CpxTrs (9) OrderProof [LOWER BOUND(ID), 0 ms] (10) typed CpxTrs (11) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 393 ms] (12) BEST (13) proven lower bound (14) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms] (15) BOUNDS(n^1, INF) (16) typed CpxTrs (17) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 89 ms] (18) typed CpxTrs (19) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 77 ms] (20) typed CpxTrs (21) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 135 ms] (22) typed CpxTrs (23) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 80 ms] (24) BOUNDS(1, INF) ---------------------------------------- (0) Obligation: The Derivational Complexity (full) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: a(a(x1)) -> b(b(b(x1))) a(x1) -> c(d(x1)) b(b(x1)) -> c(c(c(x1))) c(c(x1)) -> d(d(d(x1))) e(d(x1)) -> a(b(c(d(e(x1))))) b(x1) -> d(d(x1)) e(c(x1)) -> b(a(a(e(x1)))) c(d(d(x1))) -> a(x1) S is empty. Rewrite Strategy: FULL ---------------------------------------- (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) The following rules have been added to S to convert the given derivational complexity problem to a runtime complexity problem: encArg(d(x_1)) -> d(encArg(x_1)) encArg(cons_a(x_1)) -> a(encArg(x_1)) encArg(cons_b(x_1)) -> b(encArg(x_1)) encArg(cons_c(x_1)) -> c(encArg(x_1)) encArg(cons_e(x_1)) -> e(encArg(x_1)) encode_a(x_1) -> a(encArg(x_1)) encode_b(x_1) -> b(encArg(x_1)) encode_c(x_1) -> c(encArg(x_1)) encode_d(x_1) -> d(encArg(x_1)) encode_e(x_1) -> e(encArg(x_1)) ---------------------------------------- (2) Obligation: The Runtime Complexity (full) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: a(a(x1)) -> b(b(b(x1))) a(x1) -> c(d(x1)) b(b(x1)) -> c(c(c(x1))) c(c(x1)) -> d(d(d(x1))) e(d(x1)) -> a(b(c(d(e(x1))))) b(x1) -> d(d(x1)) e(c(x1)) -> b(a(a(e(x1)))) c(d(d(x1))) -> a(x1) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(d(x_1)) -> d(encArg(x_1)) encArg(cons_a(x_1)) -> a(encArg(x_1)) encArg(cons_b(x_1)) -> b(encArg(x_1)) encArg(cons_c(x_1)) -> c(encArg(x_1)) encArg(cons_e(x_1)) -> e(encArg(x_1)) encode_a(x_1) -> a(encArg(x_1)) encode_b(x_1) -> b(encArg(x_1)) encode_c(x_1) -> c(encArg(x_1)) encode_d(x_1) -> d(encArg(x_1)) encode_e(x_1) -> e(encArg(x_1)) Rewrite Strategy: FULL ---------------------------------------- (3) SInnermostTerminationProof (BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID)) proved innermost termination of relative rules ---------------------------------------- (4) Obligation: The Runtime Complexity (full) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: a(a(x1)) -> b(b(b(x1))) a(x1) -> c(d(x1)) b(b(x1)) -> c(c(c(x1))) c(c(x1)) -> d(d(d(x1))) e(d(x1)) -> a(b(c(d(e(x1))))) b(x1) -> d(d(x1)) e(c(x1)) -> b(a(a(e(x1)))) c(d(d(x1))) -> a(x1) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(d(x_1)) -> d(encArg(x_1)) encArg(cons_a(x_1)) -> a(encArg(x_1)) encArg(cons_b(x_1)) -> b(encArg(x_1)) encArg(cons_c(x_1)) -> c(encArg(x_1)) encArg(cons_e(x_1)) -> e(encArg(x_1)) encode_a(x_1) -> a(encArg(x_1)) encode_b(x_1) -> b(encArg(x_1)) encode_c(x_1) -> c(encArg(x_1)) encode_d(x_1) -> d(encArg(x_1)) encode_e(x_1) -> e(encArg(x_1)) Rewrite Strategy: FULL ---------------------------------------- (5) RenamingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol. ---------------------------------------- (6) Obligation: The Runtime Complexity (full) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: a(a(x1)) -> b(b(b(x1))) a(x1) -> c(d(x1)) b(b(x1)) -> c(c(c(x1))) c(c(x1)) -> d(d(d(x1))) e(d(x1)) -> a(b(c(d(e(x1))))) b(x1) -> d(d(x1)) e(c(x1)) -> b(a(a(e(x1)))) c(d(d(x1))) -> a(x1) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(d(x_1)) -> d(encArg(x_1)) encArg(cons_a(x_1)) -> a(encArg(x_1)) encArg(cons_b(x_1)) -> b(encArg(x_1)) encArg(cons_c(x_1)) -> c(encArg(x_1)) encArg(cons_e(x_1)) -> e(encArg(x_1)) encode_a(x_1) -> a(encArg(x_1)) encode_b(x_1) -> b(encArg(x_1)) encode_c(x_1) -> c(encArg(x_1)) encode_d(x_1) -> d(encArg(x_1)) encode_e(x_1) -> e(encArg(x_1)) Rewrite Strategy: FULL ---------------------------------------- (7) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Infered types. ---------------------------------------- (8) Obligation: TRS: Rules: a(a(x1)) -> b(b(b(x1))) a(x1) -> c(d(x1)) b(b(x1)) -> c(c(c(x1))) c(c(x1)) -> d(d(d(x1))) e(d(x1)) -> a(b(c(d(e(x1))))) b(x1) -> d(d(x1)) e(c(x1)) -> b(a(a(e(x1)))) c(d(d(x1))) -> a(x1) encArg(d(x_1)) -> d(encArg(x_1)) encArg(cons_a(x_1)) -> a(encArg(x_1)) encArg(cons_b(x_1)) -> b(encArg(x_1)) encArg(cons_c(x_1)) -> c(encArg(x_1)) encArg(cons_e(x_1)) -> e(encArg(x_1)) encode_a(x_1) -> a(encArg(x_1)) encode_b(x_1) -> b(encArg(x_1)) encode_c(x_1) -> c(encArg(x_1)) encode_d(x_1) -> d(encArg(x_1)) encode_e(x_1) -> e(encArg(x_1)) Types: a :: d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e -> d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e b :: d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e -> d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e c :: d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e -> d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e d :: d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e -> d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e e :: d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e -> d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e encArg :: d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e -> d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e cons_a :: d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e -> d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e cons_b :: d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e -> d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e cons_c :: d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e -> d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e cons_e :: d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e -> d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e encode_a :: d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e -> d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e encode_b :: d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e -> d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e encode_c :: d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e -> d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e encode_d :: d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e -> d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e encode_e :: d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e -> d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e hole_d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e1_0 :: d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e gen_d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e2_0 :: Nat -> d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e ---------------------------------------- (9) OrderProof (LOWER BOUND(ID)) Heuristically decided to analyse the following defined symbols: a, b, c, e, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: a = b a = c a < e a < encArg b = c b < e b < encArg c < e c < encArg e < encArg ---------------------------------------- (10) Obligation: TRS: Rules: a(a(x1)) -> b(b(b(x1))) a(x1) -> c(d(x1)) b(b(x1)) -> c(c(c(x1))) c(c(x1)) -> d(d(d(x1))) e(d(x1)) -> a(b(c(d(e(x1))))) b(x1) -> d(d(x1)) e(c(x1)) -> b(a(a(e(x1)))) c(d(d(x1))) -> a(x1) encArg(d(x_1)) -> d(encArg(x_1)) encArg(cons_a(x_1)) -> a(encArg(x_1)) encArg(cons_b(x_1)) -> b(encArg(x_1)) encArg(cons_c(x_1)) -> c(encArg(x_1)) encArg(cons_e(x_1)) -> e(encArg(x_1)) encode_a(x_1) -> a(encArg(x_1)) encode_b(x_1) -> b(encArg(x_1)) encode_c(x_1) -> c(encArg(x_1)) encode_d(x_1) -> d(encArg(x_1)) encode_e(x_1) -> e(encArg(x_1)) Types: a :: d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e -> d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e b :: d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e -> d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e c :: d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e -> d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e d :: d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e -> d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e e :: d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e -> d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e encArg :: d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e -> d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e cons_a :: d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e -> d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e cons_b :: d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e -> d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e cons_c :: d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e -> d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e cons_e :: d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e -> d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e encode_a :: d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e -> d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e encode_b :: d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e -> d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e encode_c :: d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e -> d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e encode_d :: d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e -> d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e encode_e :: d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e -> d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e hole_d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e1_0 :: d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e gen_d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e2_0 :: Nat -> d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e Generator Equations: gen_d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e2_0(0) <=> hole_d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e1_0 gen_d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e2_0(+(x, 1)) <=> d(gen_d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e2_0(x)) The following defined symbols remain to be analysed: b, a, c, e, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: a = b a = c a < e a < encArg b = c b < e b < encArg c < e c < encArg e < encArg ---------------------------------------- (11) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: c(gen_d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e2_0(+(2, n10_0))) -> *3_0, rt in Omega(n10_0) Induction Base: c(gen_d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e2_0(+(2, 0))) Induction Step: c(gen_d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e2_0(+(2, +(n10_0, 1)))) ->_R^Omega(1) a(gen_d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e2_0(+(1, n10_0))) ->_R^Omega(1) c(d(gen_d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e2_0(+(1, n10_0)))) ->_IH *3_0 We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (12) Complex Obligation (BEST) ---------------------------------------- (13) Obligation: Proved the lower bound n^1 for the following obligation: TRS: Rules: a(a(x1)) -> b(b(b(x1))) a(x1) -> c(d(x1)) b(b(x1)) -> c(c(c(x1))) c(c(x1)) -> d(d(d(x1))) e(d(x1)) -> a(b(c(d(e(x1))))) b(x1) -> d(d(x1)) e(c(x1)) -> b(a(a(e(x1)))) c(d(d(x1))) -> a(x1) encArg(d(x_1)) -> d(encArg(x_1)) encArg(cons_a(x_1)) -> a(encArg(x_1)) encArg(cons_b(x_1)) -> b(encArg(x_1)) encArg(cons_c(x_1)) -> c(encArg(x_1)) encArg(cons_e(x_1)) -> e(encArg(x_1)) encode_a(x_1) -> a(encArg(x_1)) encode_b(x_1) -> b(encArg(x_1)) encode_c(x_1) -> c(encArg(x_1)) encode_d(x_1) -> d(encArg(x_1)) encode_e(x_1) -> e(encArg(x_1)) Types: a :: d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e -> d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e b :: d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e -> d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e c :: d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e -> d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e d :: d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e -> d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e e :: d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e -> d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e encArg :: d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e -> d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e cons_a :: d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e -> d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e cons_b :: d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e -> d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e cons_c :: d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e -> d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e cons_e :: d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e -> d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e encode_a :: d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e -> d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e encode_b :: d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e -> d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e encode_c :: d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e -> d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e encode_d :: d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e -> d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e encode_e :: d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e -> d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e hole_d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e1_0 :: d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e gen_d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e2_0 :: Nat -> d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e Generator Equations: gen_d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e2_0(0) <=> hole_d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e1_0 gen_d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e2_0(+(x, 1)) <=> d(gen_d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e2_0(x)) The following defined symbols remain to be analysed: c, a, e, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: a = b a = c a < e a < encArg b = c b < e b < encArg c < e c < encArg e < encArg ---------------------------------------- (14) LowerBoundPropagationProof (FINISHED) Propagated lower bound. ---------------------------------------- (15) BOUNDS(n^1, INF) ---------------------------------------- (16) Obligation: TRS: Rules: a(a(x1)) -> b(b(b(x1))) a(x1) -> c(d(x1)) b(b(x1)) -> c(c(c(x1))) c(c(x1)) -> d(d(d(x1))) e(d(x1)) -> a(b(c(d(e(x1))))) b(x1) -> d(d(x1)) e(c(x1)) -> b(a(a(e(x1)))) c(d(d(x1))) -> a(x1) encArg(d(x_1)) -> d(encArg(x_1)) encArg(cons_a(x_1)) -> a(encArg(x_1)) encArg(cons_b(x_1)) -> b(encArg(x_1)) encArg(cons_c(x_1)) -> c(encArg(x_1)) encArg(cons_e(x_1)) -> e(encArg(x_1)) encode_a(x_1) -> a(encArg(x_1)) encode_b(x_1) -> b(encArg(x_1)) encode_c(x_1) -> c(encArg(x_1)) encode_d(x_1) -> d(encArg(x_1)) encode_e(x_1) -> e(encArg(x_1)) Types: a :: d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e -> d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e b :: d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e -> d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e c :: d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e -> d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e d :: d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e -> d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e e :: d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e -> d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e encArg :: d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e -> d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e cons_a :: d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e -> d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e cons_b :: d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e -> d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e cons_c :: d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e -> d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e cons_e :: d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e -> d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e encode_a :: d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e -> d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e encode_b :: d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e -> d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e encode_c :: d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e -> d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e encode_d :: d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e -> d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e encode_e :: d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e -> d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e hole_d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e1_0 :: d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e gen_d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e2_0 :: Nat -> d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e Lemmas: c(gen_d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e2_0(+(2, n10_0))) -> *3_0, rt in Omega(n10_0) Generator Equations: gen_d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e2_0(0) <=> hole_d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e1_0 gen_d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e2_0(+(x, 1)) <=> d(gen_d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e2_0(x)) The following defined symbols remain to be analysed: a, b, e, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: a = b a = c a < e a < encArg b = c b < e b < encArg c < e c < encArg e < encArg ---------------------------------------- (17) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: a(gen_d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e2_0(n330_0)) -> *3_0, rt in Omega(n330_0) Induction Base: a(gen_d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e2_0(0)) Induction Step: a(gen_d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e2_0(+(n330_0, 1))) ->_R^Omega(1) c(d(gen_d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e2_0(+(n330_0, 1)))) ->_R^Omega(1) a(gen_d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e2_0(n330_0)) ->_IH *3_0 We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (18) Obligation: TRS: Rules: a(a(x1)) -> b(b(b(x1))) a(x1) -> c(d(x1)) b(b(x1)) -> c(c(c(x1))) c(c(x1)) -> d(d(d(x1))) e(d(x1)) -> a(b(c(d(e(x1))))) b(x1) -> d(d(x1)) e(c(x1)) -> b(a(a(e(x1)))) c(d(d(x1))) -> a(x1) encArg(d(x_1)) -> d(encArg(x_1)) encArg(cons_a(x_1)) -> a(encArg(x_1)) encArg(cons_b(x_1)) -> b(encArg(x_1)) encArg(cons_c(x_1)) -> c(encArg(x_1)) encArg(cons_e(x_1)) -> e(encArg(x_1)) encode_a(x_1) -> a(encArg(x_1)) encode_b(x_1) -> b(encArg(x_1)) encode_c(x_1) -> c(encArg(x_1)) encode_d(x_1) -> d(encArg(x_1)) encode_e(x_1) -> e(encArg(x_1)) Types: a :: d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e -> d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e b :: d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e -> d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e c :: d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e -> d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e d :: d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e -> d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e e :: d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e -> d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e encArg :: d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e -> d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e cons_a :: d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e -> d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e cons_b :: d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e -> d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e cons_c :: d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e -> d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e cons_e :: d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e -> d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e encode_a :: d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e -> d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e encode_b :: d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e -> d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e encode_c :: d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e -> d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e encode_d :: d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e -> d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e encode_e :: d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e -> d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e hole_d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e1_0 :: d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e gen_d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e2_0 :: Nat -> d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e Lemmas: c(gen_d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e2_0(+(2, n10_0))) -> *3_0, rt in Omega(n10_0) a(gen_d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e2_0(n330_0)) -> *3_0, rt in Omega(n330_0) Generator Equations: gen_d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e2_0(0) <=> hole_d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e1_0 gen_d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e2_0(+(x, 1)) <=> d(gen_d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e2_0(x)) The following defined symbols remain to be analysed: b, c, e, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: a = b a = c a < e a < encArg b = c b < e b < encArg c < e c < encArg e < encArg ---------------------------------------- (19) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: c(gen_d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e2_0(+(2, n781_0))) -> *3_0, rt in Omega(n781_0) Induction Base: c(gen_d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e2_0(+(2, 0))) Induction Step: c(gen_d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e2_0(+(2, +(n781_0, 1)))) ->_R^Omega(1) a(gen_d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e2_0(+(1, n781_0))) ->_R^Omega(1) c(d(gen_d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e2_0(+(1, n781_0)))) ->_IH *3_0 We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (20) Obligation: TRS: Rules: a(a(x1)) -> b(b(b(x1))) a(x1) -> c(d(x1)) b(b(x1)) -> c(c(c(x1))) c(c(x1)) -> d(d(d(x1))) e(d(x1)) -> a(b(c(d(e(x1))))) b(x1) -> d(d(x1)) e(c(x1)) -> b(a(a(e(x1)))) c(d(d(x1))) -> a(x1) encArg(d(x_1)) -> d(encArg(x_1)) encArg(cons_a(x_1)) -> a(encArg(x_1)) encArg(cons_b(x_1)) -> b(encArg(x_1)) encArg(cons_c(x_1)) -> c(encArg(x_1)) encArg(cons_e(x_1)) -> e(encArg(x_1)) encode_a(x_1) -> a(encArg(x_1)) encode_b(x_1) -> b(encArg(x_1)) encode_c(x_1) -> c(encArg(x_1)) encode_d(x_1) -> d(encArg(x_1)) encode_e(x_1) -> e(encArg(x_1)) Types: a :: d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e -> d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e b :: d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e -> d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e c :: d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e -> d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e d :: d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e -> d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e e :: d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e -> d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e encArg :: d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e -> d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e cons_a :: d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e -> d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e cons_b :: d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e -> d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e cons_c :: d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e -> d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e cons_e :: d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e -> d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e encode_a :: d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e -> d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e encode_b :: d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e -> d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e encode_c :: d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e -> d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e encode_d :: d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e -> d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e encode_e :: d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e -> d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e hole_d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e1_0 :: d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e gen_d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e2_0 :: Nat -> d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e Lemmas: c(gen_d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e2_0(+(2, n781_0))) -> *3_0, rt in Omega(n781_0) a(gen_d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e2_0(n330_0)) -> *3_0, rt in Omega(n330_0) Generator Equations: gen_d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e2_0(0) <=> hole_d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e1_0 gen_d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e2_0(+(x, 1)) <=> d(gen_d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e2_0(x)) The following defined symbols remain to be analysed: e, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: e < encArg ---------------------------------------- (21) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: e(gen_d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e2_0(+(1, n1356_0))) -> *3_0, rt in Omega(n1356_0) Induction Base: e(gen_d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e2_0(+(1, 0))) Induction Step: e(gen_d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e2_0(+(1, +(n1356_0, 1)))) ->_R^Omega(1) a(b(c(d(e(gen_d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e2_0(+(1, n1356_0))))))) ->_IH a(b(c(d(*3_0)))) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (22) Obligation: TRS: Rules: a(a(x1)) -> b(b(b(x1))) a(x1) -> c(d(x1)) b(b(x1)) -> c(c(c(x1))) c(c(x1)) -> d(d(d(x1))) e(d(x1)) -> a(b(c(d(e(x1))))) b(x1) -> d(d(x1)) e(c(x1)) -> b(a(a(e(x1)))) c(d(d(x1))) -> a(x1) encArg(d(x_1)) -> d(encArg(x_1)) encArg(cons_a(x_1)) -> a(encArg(x_1)) encArg(cons_b(x_1)) -> b(encArg(x_1)) encArg(cons_c(x_1)) -> c(encArg(x_1)) encArg(cons_e(x_1)) -> e(encArg(x_1)) encode_a(x_1) -> a(encArg(x_1)) encode_b(x_1) -> b(encArg(x_1)) encode_c(x_1) -> c(encArg(x_1)) encode_d(x_1) -> d(encArg(x_1)) encode_e(x_1) -> e(encArg(x_1)) Types: a :: d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e -> d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e b :: d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e -> d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e c :: d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e -> d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e d :: d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e -> d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e e :: d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e -> d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e encArg :: d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e -> d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e cons_a :: d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e -> d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e cons_b :: d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e -> d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e cons_c :: d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e -> d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e cons_e :: d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e -> d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e encode_a :: d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e -> d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e encode_b :: d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e -> d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e encode_c :: d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e -> d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e encode_d :: d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e -> d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e encode_e :: d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e -> d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e hole_d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e1_0 :: d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e gen_d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e2_0 :: Nat -> d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e Lemmas: c(gen_d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e2_0(+(2, n781_0))) -> *3_0, rt in Omega(n781_0) a(gen_d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e2_0(n330_0)) -> *3_0, rt in Omega(n330_0) e(gen_d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e2_0(+(1, n1356_0))) -> *3_0, rt in Omega(n1356_0) Generator Equations: gen_d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e2_0(0) <=> hole_d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e1_0 gen_d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e2_0(+(x, 1)) <=> d(gen_d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e2_0(x)) The following defined symbols remain to be analysed: encArg ---------------------------------------- (23) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: encArg(gen_d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e2_0(+(1, n2217_0))) -> *3_0, rt in Omega(0) Induction Base: encArg(gen_d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e2_0(+(1, 0))) Induction Step: encArg(gen_d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e2_0(+(1, +(n2217_0, 1)))) ->_R^Omega(0) d(encArg(gen_d:cons_a:cons_b:cons_c:cons_e2_0(+(1, n2217_0)))) ->_IH d(*3_0) We have rt in Omega(1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n^0). ---------------------------------------- (24) BOUNDS(1, INF)