WORST_CASE(Omega(n^1), ?) proof of /export/starexec/sandbox/benchmark/theBenchmark.xml # AProVE Commit ID: 794c25de1cacf0d048858bcd21c9a779e1221865 marcel 20200619 unpublished dirty The Derivational Complexity (full) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). (0) DCpxTrs (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (2) CpxRelTRS (3) SInnermostTerminationProof [BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID), 457 ms] (4) CpxRelTRS (5) RenamingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (6) CpxRelTRS (7) TypeInferenceProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (8) typed CpxTrs (9) OrderProof [LOWER BOUND(ID), 0 ms] (10) typed CpxTrs (11) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 414 ms] (12) BEST (13) proven lower bound (14) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms] (15) BOUNDS(n^1, INF) (16) typed CpxTrs (17) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 103 ms] (18) typed CpxTrs (19) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 88 ms] (20) typed CpxTrs (21) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 102 ms] (22) typed CpxTrs (23) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 4348 ms] (24) BOUNDS(1, INF) ---------------------------------------- (0) Obligation: The Derivational Complexity (full) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: active(nats) -> mark(adx(zeros)) active(zeros) -> mark(cons(0, zeros)) active(incr(cons(X, Y))) -> mark(cons(s(X), incr(Y))) active(adx(cons(X, Y))) -> mark(incr(cons(X, adx(Y)))) active(hd(cons(X, Y))) -> mark(X) active(tl(cons(X, Y))) -> mark(Y) active(adx(X)) -> adx(active(X)) active(incr(X)) -> incr(active(X)) active(hd(X)) -> hd(active(X)) active(tl(X)) -> tl(active(X)) adx(mark(X)) -> mark(adx(X)) incr(mark(X)) -> mark(incr(X)) hd(mark(X)) -> mark(hd(X)) tl(mark(X)) -> mark(tl(X)) proper(nats) -> ok(nats) proper(adx(X)) -> adx(proper(X)) proper(zeros) -> ok(zeros) proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2)) proper(0) -> ok(0) proper(incr(X)) -> incr(proper(X)) proper(s(X)) -> s(proper(X)) proper(hd(X)) -> hd(proper(X)) proper(tl(X)) -> tl(proper(X)) adx(ok(X)) -> ok(adx(X)) cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2)) incr(ok(X)) -> ok(incr(X)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) hd(ok(X)) -> ok(hd(X)) tl(ok(X)) -> ok(tl(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) S is empty. Rewrite Strategy: FULL ---------------------------------------- (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) The following rules have been added to S to convert the given derivational complexity problem to a runtime complexity problem: encArg(nats) -> nats encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(zeros) -> zeros encArg(0) -> 0 encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_adx(x_1)) -> adx(encArg(x_1)) encArg(cons_incr(x_1)) -> incr(encArg(x_1)) encArg(cons_hd(x_1)) -> hd(encArg(x_1)) encArg(cons_tl(x_1)) -> tl(encArg(x_1)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_nats -> nats encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_adx(x_1) -> adx(encArg(x_1)) encode_zeros -> zeros encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0 encode_incr(x_1) -> incr(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_hd(x_1) -> hd(encArg(x_1)) encode_tl(x_1) -> tl(encArg(x_1)) encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) ---------------------------------------- (2) Obligation: The Runtime Complexity (full) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: active(nats) -> mark(adx(zeros)) active(zeros) -> mark(cons(0, zeros)) active(incr(cons(X, Y))) -> mark(cons(s(X), incr(Y))) active(adx(cons(X, Y))) -> mark(incr(cons(X, adx(Y)))) active(hd(cons(X, Y))) -> mark(X) active(tl(cons(X, Y))) -> mark(Y) active(adx(X)) -> adx(active(X)) active(incr(X)) -> incr(active(X)) active(hd(X)) -> hd(active(X)) active(tl(X)) -> tl(active(X)) adx(mark(X)) -> mark(adx(X)) incr(mark(X)) -> mark(incr(X)) hd(mark(X)) -> mark(hd(X)) tl(mark(X)) -> mark(tl(X)) proper(nats) -> ok(nats) proper(adx(X)) -> adx(proper(X)) proper(zeros) -> ok(zeros) proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2)) proper(0) -> ok(0) proper(incr(X)) -> incr(proper(X)) proper(s(X)) -> s(proper(X)) proper(hd(X)) -> hd(proper(X)) proper(tl(X)) -> tl(proper(X)) adx(ok(X)) -> ok(adx(X)) cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2)) incr(ok(X)) -> ok(incr(X)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) hd(ok(X)) -> ok(hd(X)) tl(ok(X)) -> ok(tl(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(nats) -> nats encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(zeros) -> zeros encArg(0) -> 0 encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_adx(x_1)) -> adx(encArg(x_1)) encArg(cons_incr(x_1)) -> incr(encArg(x_1)) encArg(cons_hd(x_1)) -> hd(encArg(x_1)) encArg(cons_tl(x_1)) -> tl(encArg(x_1)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_nats -> nats encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_adx(x_1) -> adx(encArg(x_1)) encode_zeros -> zeros encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0 encode_incr(x_1) -> incr(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_hd(x_1) -> hd(encArg(x_1)) encode_tl(x_1) -> tl(encArg(x_1)) encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Rewrite Strategy: FULL ---------------------------------------- (3) SInnermostTerminationProof (BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID)) proved innermost termination of relative rules ---------------------------------------- (4) Obligation: The Runtime Complexity (full) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: active(nats) -> mark(adx(zeros)) active(zeros) -> mark(cons(0, zeros)) active(incr(cons(X, Y))) -> mark(cons(s(X), incr(Y))) active(adx(cons(X, Y))) -> mark(incr(cons(X, adx(Y)))) active(hd(cons(X, Y))) -> mark(X) active(tl(cons(X, Y))) -> mark(Y) active(adx(X)) -> adx(active(X)) active(incr(X)) -> incr(active(X)) active(hd(X)) -> hd(active(X)) active(tl(X)) -> tl(active(X)) adx(mark(X)) -> mark(adx(X)) incr(mark(X)) -> mark(incr(X)) hd(mark(X)) -> mark(hd(X)) tl(mark(X)) -> mark(tl(X)) proper(nats) -> ok(nats) proper(adx(X)) -> adx(proper(X)) proper(zeros) -> ok(zeros) proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2)) proper(0) -> ok(0) proper(incr(X)) -> incr(proper(X)) proper(s(X)) -> s(proper(X)) proper(hd(X)) -> hd(proper(X)) proper(tl(X)) -> tl(proper(X)) adx(ok(X)) -> ok(adx(X)) cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2)) incr(ok(X)) -> ok(incr(X)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) hd(ok(X)) -> ok(hd(X)) tl(ok(X)) -> ok(tl(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(nats) -> nats encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(zeros) -> zeros encArg(0) -> 0 encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_adx(x_1)) -> adx(encArg(x_1)) encArg(cons_incr(x_1)) -> incr(encArg(x_1)) encArg(cons_hd(x_1)) -> hd(encArg(x_1)) encArg(cons_tl(x_1)) -> tl(encArg(x_1)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_nats -> nats encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_adx(x_1) -> adx(encArg(x_1)) encode_zeros -> zeros encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0 encode_incr(x_1) -> incr(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_hd(x_1) -> hd(encArg(x_1)) encode_tl(x_1) -> tl(encArg(x_1)) encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Rewrite Strategy: FULL ---------------------------------------- (5) RenamingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol. ---------------------------------------- (6) Obligation: The Runtime Complexity (full) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: active(nats) -> mark(adx(zeros)) active(zeros) -> mark(cons(0', zeros)) active(incr(cons(X, Y))) -> mark(cons(s(X), incr(Y))) active(adx(cons(X, Y))) -> mark(incr(cons(X, adx(Y)))) active(hd(cons(X, Y))) -> mark(X) active(tl(cons(X, Y))) -> mark(Y) active(adx(X)) -> adx(active(X)) active(incr(X)) -> incr(active(X)) active(hd(X)) -> hd(active(X)) active(tl(X)) -> tl(active(X)) adx(mark(X)) -> mark(adx(X)) incr(mark(X)) -> mark(incr(X)) hd(mark(X)) -> mark(hd(X)) tl(mark(X)) -> mark(tl(X)) proper(nats) -> ok(nats) proper(adx(X)) -> adx(proper(X)) proper(zeros) -> ok(zeros) proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2)) proper(0') -> ok(0') proper(incr(X)) -> incr(proper(X)) proper(s(X)) -> s(proper(X)) proper(hd(X)) -> hd(proper(X)) proper(tl(X)) -> tl(proper(X)) adx(ok(X)) -> ok(adx(X)) cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2)) incr(ok(X)) -> ok(incr(X)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) hd(ok(X)) -> ok(hd(X)) tl(ok(X)) -> ok(tl(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(nats) -> nats encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(zeros) -> zeros encArg(0') -> 0' encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_adx(x_1)) -> adx(encArg(x_1)) encArg(cons_incr(x_1)) -> incr(encArg(x_1)) encArg(cons_hd(x_1)) -> hd(encArg(x_1)) encArg(cons_tl(x_1)) -> tl(encArg(x_1)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_nats -> nats encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_adx(x_1) -> adx(encArg(x_1)) encode_zeros -> zeros encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_incr(x_1) -> incr(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_hd(x_1) -> hd(encArg(x_1)) encode_tl(x_1) -> tl(encArg(x_1)) encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Rewrite Strategy: FULL ---------------------------------------- (7) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Infered types. ---------------------------------------- (8) Obligation: TRS: Rules: active(nats) -> mark(adx(zeros)) active(zeros) -> mark(cons(0', zeros)) active(incr(cons(X, Y))) -> mark(cons(s(X), incr(Y))) active(adx(cons(X, Y))) -> mark(incr(cons(X, adx(Y)))) active(hd(cons(X, Y))) -> mark(X) active(tl(cons(X, Y))) -> mark(Y) active(adx(X)) -> adx(active(X)) active(incr(X)) -> incr(active(X)) active(hd(X)) -> hd(active(X)) active(tl(X)) -> tl(active(X)) adx(mark(X)) -> mark(adx(X)) incr(mark(X)) -> mark(incr(X)) hd(mark(X)) -> mark(hd(X)) tl(mark(X)) -> mark(tl(X)) proper(nats) -> ok(nats) proper(adx(X)) -> adx(proper(X)) proper(zeros) -> ok(zeros) proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2)) proper(0') -> ok(0') proper(incr(X)) -> incr(proper(X)) proper(s(X)) -> s(proper(X)) proper(hd(X)) -> hd(proper(X)) proper(tl(X)) -> tl(proper(X)) adx(ok(X)) -> ok(adx(X)) cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2)) incr(ok(X)) -> ok(incr(X)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) hd(ok(X)) -> ok(hd(X)) tl(ok(X)) -> ok(tl(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) encArg(nats) -> nats encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(zeros) -> zeros encArg(0') -> 0' encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_adx(x_1)) -> adx(encArg(x_1)) encArg(cons_incr(x_1)) -> incr(encArg(x_1)) encArg(cons_hd(x_1)) -> hd(encArg(x_1)) encArg(cons_tl(x_1)) -> tl(encArg(x_1)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_nats -> nats encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_adx(x_1) -> adx(encArg(x_1)) encode_zeros -> zeros encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_incr(x_1) -> incr(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_hd(x_1) -> hd(encArg(x_1)) encode_tl(x_1) -> tl(encArg(x_1)) encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Types: active :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top nats :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top mark :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top adx :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top zeros :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top cons :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top 0' :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top incr :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top s :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top hd :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top tl :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top proper :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top ok :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top top :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top encArg :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top cons_active :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top cons_adx :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top cons_incr :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top cons_hd :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top cons_tl :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top cons_proper :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top cons_cons :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top cons_s :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top cons_top :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top encode_active :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top encode_nats :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top encode_mark :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top encode_adx :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top encode_zeros :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top encode_cons :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top encode_0 :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top encode_incr :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top encode_s :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top encode_hd :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top encode_tl :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top encode_proper :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top encode_ok :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top encode_top :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top hole_nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top1_3 :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top gen_nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top2_3 :: Nat -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top ---------------------------------------- (9) OrderProof (LOWER BOUND(ID)) Heuristically decided to analyse the following defined symbols: active, adx, cons, s, incr, hd, tl, proper, top, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: adx < active cons < active s < active incr < active hd < active tl < active active < top active < encArg adx < proper adx < encArg cons < proper cons < encArg s < proper s < encArg incr < proper incr < encArg hd < proper hd < encArg tl < proper tl < encArg proper < top proper < encArg top < encArg ---------------------------------------- (10) Obligation: TRS: Rules: active(nats) -> mark(adx(zeros)) active(zeros) -> mark(cons(0', zeros)) active(incr(cons(X, Y))) -> mark(cons(s(X), incr(Y))) active(adx(cons(X, Y))) -> mark(incr(cons(X, adx(Y)))) active(hd(cons(X, Y))) -> mark(X) active(tl(cons(X, Y))) -> mark(Y) active(adx(X)) -> adx(active(X)) active(incr(X)) -> incr(active(X)) active(hd(X)) -> hd(active(X)) active(tl(X)) -> tl(active(X)) adx(mark(X)) -> mark(adx(X)) incr(mark(X)) -> mark(incr(X)) hd(mark(X)) -> mark(hd(X)) tl(mark(X)) -> mark(tl(X)) proper(nats) -> ok(nats) proper(adx(X)) -> adx(proper(X)) proper(zeros) -> ok(zeros) proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2)) proper(0') -> ok(0') proper(incr(X)) -> incr(proper(X)) proper(s(X)) -> s(proper(X)) proper(hd(X)) -> hd(proper(X)) proper(tl(X)) -> tl(proper(X)) adx(ok(X)) -> ok(adx(X)) cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2)) incr(ok(X)) -> ok(incr(X)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) hd(ok(X)) -> ok(hd(X)) tl(ok(X)) -> ok(tl(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) encArg(nats) -> nats encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(zeros) -> zeros encArg(0') -> 0' encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_adx(x_1)) -> adx(encArg(x_1)) encArg(cons_incr(x_1)) -> incr(encArg(x_1)) encArg(cons_hd(x_1)) -> hd(encArg(x_1)) encArg(cons_tl(x_1)) -> tl(encArg(x_1)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_nats -> nats encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_adx(x_1) -> adx(encArg(x_1)) encode_zeros -> zeros encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_incr(x_1) -> incr(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_hd(x_1) -> hd(encArg(x_1)) encode_tl(x_1) -> tl(encArg(x_1)) encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Types: active :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top nats :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top mark :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top adx :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top zeros :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top cons :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top 0' :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top incr :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top s :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top hd :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top tl :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top proper :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top ok :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top top :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top encArg :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top cons_active :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top cons_adx :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top cons_incr :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top cons_hd :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top cons_tl :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top cons_proper :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top cons_cons :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top cons_s :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top cons_top :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top encode_active :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top encode_nats :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top encode_mark :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top encode_adx :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top encode_zeros :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top encode_cons :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top encode_0 :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top encode_incr :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top encode_s :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top encode_hd :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top encode_tl :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top encode_proper :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top encode_ok :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top encode_top :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top hole_nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top1_3 :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top gen_nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top2_3 :: Nat -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top Generator Equations: gen_nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top2_3(0) <=> nats gen_nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top2_3(+(x, 1)) <=> mark(gen_nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top2_3(x)) The following defined symbols remain to be analysed: adx, active, cons, s, incr, hd, tl, proper, top, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: adx < active cons < active s < active incr < active hd < active tl < active active < top active < encArg adx < proper adx < encArg cons < proper cons < encArg s < proper s < encArg incr < proper incr < encArg hd < proper hd < encArg tl < proper tl < encArg proper < top proper < encArg top < encArg ---------------------------------------- (11) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: adx(gen_nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top2_3(+(1, n4_3))) -> *3_3, rt in Omega(n4_3) Induction Base: adx(gen_nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top2_3(+(1, 0))) Induction Step: adx(gen_nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top2_3(+(1, +(n4_3, 1)))) ->_R^Omega(1) mark(adx(gen_nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top2_3(+(1, n4_3)))) ->_IH mark(*3_3) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (12) Complex Obligation (BEST) ---------------------------------------- (13) Obligation: Proved the lower bound n^1 for the following obligation: TRS: Rules: active(nats) -> mark(adx(zeros)) active(zeros) -> mark(cons(0', zeros)) active(incr(cons(X, Y))) -> mark(cons(s(X), incr(Y))) active(adx(cons(X, Y))) -> mark(incr(cons(X, adx(Y)))) active(hd(cons(X, Y))) -> mark(X) active(tl(cons(X, Y))) -> mark(Y) active(adx(X)) -> adx(active(X)) active(incr(X)) -> incr(active(X)) active(hd(X)) -> hd(active(X)) active(tl(X)) -> tl(active(X)) adx(mark(X)) -> mark(adx(X)) incr(mark(X)) -> mark(incr(X)) hd(mark(X)) -> mark(hd(X)) tl(mark(X)) -> mark(tl(X)) proper(nats) -> ok(nats) proper(adx(X)) -> adx(proper(X)) proper(zeros) -> ok(zeros) proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2)) proper(0') -> ok(0') proper(incr(X)) -> incr(proper(X)) proper(s(X)) -> s(proper(X)) proper(hd(X)) -> hd(proper(X)) proper(tl(X)) -> tl(proper(X)) adx(ok(X)) -> ok(adx(X)) cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2)) incr(ok(X)) -> ok(incr(X)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) hd(ok(X)) -> ok(hd(X)) tl(ok(X)) -> ok(tl(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) encArg(nats) -> nats encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(zeros) -> zeros encArg(0') -> 0' encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_adx(x_1)) -> adx(encArg(x_1)) encArg(cons_incr(x_1)) -> incr(encArg(x_1)) encArg(cons_hd(x_1)) -> hd(encArg(x_1)) encArg(cons_tl(x_1)) -> tl(encArg(x_1)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_nats -> nats encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_adx(x_1) -> adx(encArg(x_1)) encode_zeros -> zeros encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_incr(x_1) -> incr(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_hd(x_1) -> hd(encArg(x_1)) encode_tl(x_1) -> tl(encArg(x_1)) encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Types: active :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top nats :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top mark :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top adx :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top zeros :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top cons :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top 0' :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top incr :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top s :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top hd :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top tl :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top proper :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top ok :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top top :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top encArg :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top cons_active :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top cons_adx :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top cons_incr :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top cons_hd :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top cons_tl :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top cons_proper :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top cons_cons :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top cons_s :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top cons_top :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top encode_active :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top encode_nats :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top encode_mark :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top encode_adx :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top encode_zeros :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top encode_cons :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top encode_0 :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top encode_incr :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top encode_s :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top encode_hd :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top encode_tl :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top encode_proper :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top encode_ok :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top encode_top :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top hole_nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top1_3 :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top gen_nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top2_3 :: Nat -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top Generator Equations: gen_nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top2_3(0) <=> nats gen_nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top2_3(+(x, 1)) <=> mark(gen_nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top2_3(x)) The following defined symbols remain to be analysed: adx, active, cons, s, incr, hd, tl, proper, top, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: adx < active cons < active s < active incr < active hd < active tl < active active < top active < encArg adx < proper adx < encArg cons < proper cons < encArg s < proper s < encArg incr < proper incr < encArg hd < proper hd < encArg tl < proper tl < encArg proper < top proper < encArg top < encArg ---------------------------------------- (14) LowerBoundPropagationProof (FINISHED) Propagated lower bound. ---------------------------------------- (15) BOUNDS(n^1, INF) ---------------------------------------- (16) Obligation: TRS: Rules: active(nats) -> mark(adx(zeros)) active(zeros) -> mark(cons(0', zeros)) active(incr(cons(X, Y))) -> mark(cons(s(X), incr(Y))) active(adx(cons(X, Y))) -> mark(incr(cons(X, adx(Y)))) active(hd(cons(X, Y))) -> mark(X) active(tl(cons(X, Y))) -> mark(Y) active(adx(X)) -> adx(active(X)) active(incr(X)) -> incr(active(X)) active(hd(X)) -> hd(active(X)) active(tl(X)) -> tl(active(X)) adx(mark(X)) -> mark(adx(X)) incr(mark(X)) -> mark(incr(X)) hd(mark(X)) -> mark(hd(X)) tl(mark(X)) -> mark(tl(X)) proper(nats) -> ok(nats) proper(adx(X)) -> adx(proper(X)) proper(zeros) -> ok(zeros) proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2)) proper(0') -> ok(0') proper(incr(X)) -> incr(proper(X)) proper(s(X)) -> s(proper(X)) proper(hd(X)) -> hd(proper(X)) proper(tl(X)) -> tl(proper(X)) adx(ok(X)) -> ok(adx(X)) cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2)) incr(ok(X)) -> ok(incr(X)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) hd(ok(X)) -> ok(hd(X)) tl(ok(X)) -> ok(tl(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) encArg(nats) -> nats encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(zeros) -> zeros encArg(0') -> 0' encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_adx(x_1)) -> adx(encArg(x_1)) encArg(cons_incr(x_1)) -> incr(encArg(x_1)) encArg(cons_hd(x_1)) -> hd(encArg(x_1)) encArg(cons_tl(x_1)) -> tl(encArg(x_1)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_nats -> nats encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_adx(x_1) -> adx(encArg(x_1)) encode_zeros -> zeros encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_incr(x_1) -> incr(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_hd(x_1) -> hd(encArg(x_1)) encode_tl(x_1) -> tl(encArg(x_1)) encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Types: active :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top nats :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top mark :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top adx :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top zeros :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top cons :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top 0' :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top incr :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top s :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top hd :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top tl :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top proper :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top ok :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top top :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top encArg :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top cons_active :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top cons_adx :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top cons_incr :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top cons_hd :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top cons_tl :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top cons_proper :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top cons_cons :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top cons_s :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top cons_top :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top encode_active :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top encode_nats :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top encode_mark :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top encode_adx :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top encode_zeros :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top encode_cons :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top encode_0 :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top encode_incr :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top encode_s :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top encode_hd :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top encode_tl :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top encode_proper :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top encode_ok :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top encode_top :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top hole_nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top1_3 :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top gen_nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top2_3 :: Nat -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top Lemmas: adx(gen_nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top2_3(+(1, n4_3))) -> *3_3, rt in Omega(n4_3) Generator Equations: gen_nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top2_3(0) <=> nats gen_nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top2_3(+(x, 1)) <=> mark(gen_nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top2_3(x)) The following defined symbols remain to be analysed: cons, active, s, incr, hd, tl, proper, top, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: cons < active s < active incr < active hd < active tl < active active < top active < encArg cons < proper cons < encArg s < proper s < encArg incr < proper incr < encArg hd < proper hd < encArg tl < proper tl < encArg proper < top proper < encArg top < encArg ---------------------------------------- (17) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: incr(gen_nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top2_3(+(1, n465_3))) -> *3_3, rt in Omega(n465_3) Induction Base: incr(gen_nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top2_3(+(1, 0))) Induction Step: incr(gen_nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top2_3(+(1, +(n465_3, 1)))) ->_R^Omega(1) mark(incr(gen_nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top2_3(+(1, n465_3)))) ->_IH mark(*3_3) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (18) Obligation: TRS: Rules: active(nats) -> mark(adx(zeros)) active(zeros) -> mark(cons(0', zeros)) active(incr(cons(X, Y))) -> mark(cons(s(X), incr(Y))) active(adx(cons(X, Y))) -> mark(incr(cons(X, adx(Y)))) active(hd(cons(X, Y))) -> mark(X) active(tl(cons(X, Y))) -> mark(Y) active(adx(X)) -> adx(active(X)) active(incr(X)) -> incr(active(X)) active(hd(X)) -> hd(active(X)) active(tl(X)) -> tl(active(X)) adx(mark(X)) -> mark(adx(X)) incr(mark(X)) -> mark(incr(X)) hd(mark(X)) -> mark(hd(X)) tl(mark(X)) -> mark(tl(X)) proper(nats) -> ok(nats) proper(adx(X)) -> adx(proper(X)) proper(zeros) -> ok(zeros) proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2)) proper(0') -> ok(0') proper(incr(X)) -> incr(proper(X)) proper(s(X)) -> s(proper(X)) proper(hd(X)) -> hd(proper(X)) proper(tl(X)) -> tl(proper(X)) adx(ok(X)) -> ok(adx(X)) cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2)) incr(ok(X)) -> ok(incr(X)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) hd(ok(X)) -> ok(hd(X)) tl(ok(X)) -> ok(tl(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) encArg(nats) -> nats encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(zeros) -> zeros encArg(0') -> 0' encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_adx(x_1)) -> adx(encArg(x_1)) encArg(cons_incr(x_1)) -> incr(encArg(x_1)) encArg(cons_hd(x_1)) -> hd(encArg(x_1)) encArg(cons_tl(x_1)) -> tl(encArg(x_1)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_nats -> nats encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_adx(x_1) -> adx(encArg(x_1)) encode_zeros -> zeros encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_incr(x_1) -> incr(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_hd(x_1) -> hd(encArg(x_1)) encode_tl(x_1) -> tl(encArg(x_1)) encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Types: active :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top nats :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top mark :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top adx :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top zeros :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top cons :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top 0' :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top incr :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top s :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top hd :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top tl :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top proper :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top ok :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top top :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top encArg :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top cons_active :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top cons_adx :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top cons_incr :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top cons_hd :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top cons_tl :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top cons_proper :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top cons_cons :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top cons_s :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top cons_top :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top encode_active :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top encode_nats :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top encode_mark :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top encode_adx :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top encode_zeros :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top encode_cons :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top encode_0 :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top encode_incr :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top encode_s :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top encode_hd :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top encode_tl :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top encode_proper :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top encode_ok :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top encode_top :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top hole_nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top1_3 :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top gen_nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top2_3 :: Nat -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top Lemmas: adx(gen_nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top2_3(+(1, n4_3))) -> *3_3, rt in Omega(n4_3) incr(gen_nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top2_3(+(1, n465_3))) -> *3_3, rt in Omega(n465_3) Generator Equations: gen_nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top2_3(0) <=> nats gen_nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top2_3(+(x, 1)) <=> mark(gen_nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top2_3(x)) The following defined symbols remain to be analysed: hd, active, tl, proper, top, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: hd < active tl < active active < top active < encArg hd < proper hd < encArg tl < proper tl < encArg proper < top proper < encArg top < encArg ---------------------------------------- (19) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: hd(gen_nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top2_3(+(1, n1010_3))) -> *3_3, rt in Omega(n1010_3) Induction Base: hd(gen_nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top2_3(+(1, 0))) Induction Step: hd(gen_nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top2_3(+(1, +(n1010_3, 1)))) ->_R^Omega(1) mark(hd(gen_nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top2_3(+(1, n1010_3)))) ->_IH mark(*3_3) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (20) Obligation: TRS: Rules: active(nats) -> mark(adx(zeros)) active(zeros) -> mark(cons(0', zeros)) active(incr(cons(X, Y))) -> mark(cons(s(X), incr(Y))) active(adx(cons(X, Y))) -> mark(incr(cons(X, adx(Y)))) active(hd(cons(X, Y))) -> mark(X) active(tl(cons(X, Y))) -> mark(Y) active(adx(X)) -> adx(active(X)) active(incr(X)) -> incr(active(X)) active(hd(X)) -> hd(active(X)) active(tl(X)) -> tl(active(X)) adx(mark(X)) -> mark(adx(X)) incr(mark(X)) -> mark(incr(X)) hd(mark(X)) -> mark(hd(X)) tl(mark(X)) -> mark(tl(X)) proper(nats) -> ok(nats) proper(adx(X)) -> adx(proper(X)) proper(zeros) -> ok(zeros) proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2)) proper(0') -> ok(0') proper(incr(X)) -> incr(proper(X)) proper(s(X)) -> s(proper(X)) proper(hd(X)) -> hd(proper(X)) proper(tl(X)) -> tl(proper(X)) adx(ok(X)) -> ok(adx(X)) cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2)) incr(ok(X)) -> ok(incr(X)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) hd(ok(X)) -> ok(hd(X)) tl(ok(X)) -> ok(tl(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) encArg(nats) -> nats encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(zeros) -> zeros encArg(0') -> 0' encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_adx(x_1)) -> adx(encArg(x_1)) encArg(cons_incr(x_1)) -> incr(encArg(x_1)) encArg(cons_hd(x_1)) -> hd(encArg(x_1)) encArg(cons_tl(x_1)) -> tl(encArg(x_1)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_nats -> nats encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_adx(x_1) -> adx(encArg(x_1)) encode_zeros -> zeros encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_incr(x_1) -> incr(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_hd(x_1) -> hd(encArg(x_1)) encode_tl(x_1) -> tl(encArg(x_1)) encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Types: active :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top nats :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top mark :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top adx :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top zeros :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top cons :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top 0' :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top incr :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top s :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top hd :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top tl :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top proper :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top ok :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top top :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top encArg :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top cons_active :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top cons_adx :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top cons_incr :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top cons_hd :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top cons_tl :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top cons_proper :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top cons_cons :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top cons_s :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top cons_top :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top encode_active :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top encode_nats :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top encode_mark :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top encode_adx :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top encode_zeros :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top encode_cons :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top encode_0 :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top encode_incr :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top encode_s :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top encode_hd :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top encode_tl :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top encode_proper :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top encode_ok :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top encode_top :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top hole_nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top1_3 :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top gen_nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top2_3 :: Nat -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top Lemmas: adx(gen_nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top2_3(+(1, n4_3))) -> *3_3, rt in Omega(n4_3) incr(gen_nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top2_3(+(1, n465_3))) -> *3_3, rt in Omega(n465_3) hd(gen_nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top2_3(+(1, n1010_3))) -> *3_3, rt in Omega(n1010_3) Generator Equations: gen_nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top2_3(0) <=> nats gen_nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top2_3(+(x, 1)) <=> mark(gen_nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top2_3(x)) The following defined symbols remain to be analysed: tl, active, proper, top, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: tl < active active < top active < encArg tl < proper tl < encArg proper < top proper < encArg top < encArg ---------------------------------------- (21) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: tl(gen_nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top2_3(+(1, n1656_3))) -> *3_3, rt in Omega(n1656_3) Induction Base: tl(gen_nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top2_3(+(1, 0))) Induction Step: tl(gen_nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top2_3(+(1, +(n1656_3, 1)))) ->_R^Omega(1) mark(tl(gen_nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top2_3(+(1, n1656_3)))) ->_IH mark(*3_3) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (22) Obligation: TRS: Rules: active(nats) -> mark(adx(zeros)) active(zeros) -> mark(cons(0', zeros)) active(incr(cons(X, Y))) -> mark(cons(s(X), incr(Y))) active(adx(cons(X, Y))) -> mark(incr(cons(X, adx(Y)))) active(hd(cons(X, Y))) -> mark(X) active(tl(cons(X, Y))) -> mark(Y) active(adx(X)) -> adx(active(X)) active(incr(X)) -> incr(active(X)) active(hd(X)) -> hd(active(X)) active(tl(X)) -> tl(active(X)) adx(mark(X)) -> mark(adx(X)) incr(mark(X)) -> mark(incr(X)) hd(mark(X)) -> mark(hd(X)) tl(mark(X)) -> mark(tl(X)) proper(nats) -> ok(nats) proper(adx(X)) -> adx(proper(X)) proper(zeros) -> ok(zeros) proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2)) proper(0') -> ok(0') proper(incr(X)) -> incr(proper(X)) proper(s(X)) -> s(proper(X)) proper(hd(X)) -> hd(proper(X)) proper(tl(X)) -> tl(proper(X)) adx(ok(X)) -> ok(adx(X)) cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2)) incr(ok(X)) -> ok(incr(X)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) hd(ok(X)) -> ok(hd(X)) tl(ok(X)) -> ok(tl(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) encArg(nats) -> nats encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(zeros) -> zeros encArg(0') -> 0' encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_adx(x_1)) -> adx(encArg(x_1)) encArg(cons_incr(x_1)) -> incr(encArg(x_1)) encArg(cons_hd(x_1)) -> hd(encArg(x_1)) encArg(cons_tl(x_1)) -> tl(encArg(x_1)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_nats -> nats encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_adx(x_1) -> adx(encArg(x_1)) encode_zeros -> zeros encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_incr(x_1) -> incr(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_hd(x_1) -> hd(encArg(x_1)) encode_tl(x_1) -> tl(encArg(x_1)) encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Types: active :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top nats :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top mark :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top adx :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top zeros :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top cons :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top 0' :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top incr :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top s :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top hd :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top tl :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top proper :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top ok :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top top :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top encArg :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top cons_active :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top cons_adx :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top cons_incr :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top cons_hd :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top cons_tl :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top cons_proper :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top cons_cons :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top cons_s :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top cons_top :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top encode_active :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top encode_nats :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top encode_mark :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top encode_adx :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top encode_zeros :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top encode_cons :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top encode_0 :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top encode_incr :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top encode_s :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top encode_hd :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top encode_tl :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top encode_proper :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top encode_ok :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top encode_top :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top hole_nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top1_3 :: nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top gen_nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top2_3 :: Nat -> nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top Lemmas: adx(gen_nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top2_3(+(1, n4_3))) -> *3_3, rt in Omega(n4_3) incr(gen_nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top2_3(+(1, n465_3))) -> *3_3, rt in Omega(n465_3) hd(gen_nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top2_3(+(1, n1010_3))) -> *3_3, rt in Omega(n1010_3) tl(gen_nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top2_3(+(1, n1656_3))) -> *3_3, rt in Omega(n1656_3) Generator Equations: gen_nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top2_3(0) <=> nats gen_nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top2_3(+(x, 1)) <=> mark(gen_nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top2_3(x)) The following defined symbols remain to be analysed: active, proper, top, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: active < top active < encArg proper < top proper < encArg top < encArg ---------------------------------------- (23) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: encArg(gen_nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top2_3(n27171_3)) -> gen_nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top2_3(n27171_3), rt in Omega(0) Induction Base: encArg(gen_nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top2_3(0)) ->_R^Omega(0) nats Induction Step: encArg(gen_nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top2_3(+(n27171_3, 1))) ->_R^Omega(0) mark(encArg(gen_nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top2_3(n27171_3))) ->_IH mark(gen_nats:zeros:mark:0':ok:cons_active:cons_adx:cons_incr:cons_hd:cons_tl:cons_proper:cons_cons:cons_s:cons_top2_3(c27172_3)) We have rt in Omega(1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n^0). ---------------------------------------- (24) BOUNDS(1, INF)