WORST_CASE(Omega(n^1), ?) proof of /export/starexec/sandbox2/benchmark/theBenchmark.xml # AProVE Commit ID: 794c25de1cacf0d048858bcd21c9a779e1221865 marcel 20200619 unpublished dirty The Derivational Complexity (full) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). (0) DCpxTrs (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (2) CpxRelTRS (3) SInnermostTerminationProof [BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID), 350 ms] (4) CpxRelTRS (5) RenamingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (6) CpxRelTRS (7) TypeInferenceProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (8) typed CpxTrs (9) OrderProof [LOWER BOUND(ID), 8 ms] (10) typed CpxTrs (11) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 713 ms] (12) BEST (13) proven lower bound (14) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms] (15) BOUNDS(n^1, INF) (16) typed CpxTrs (17) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 108.9 s] (18) BOUNDS(1, INF) ---------------------------------------- (0) Obligation: The Derivational Complexity (full) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: a__incr(nil) -> nil a__incr(cons(X, L)) -> cons(s(mark(X)), incr(L)) a__adx(nil) -> nil a__adx(cons(X, L)) -> a__incr(cons(mark(X), adx(L))) a__nats -> a__adx(a__zeros) a__zeros -> cons(0, zeros) a__head(cons(X, L)) -> mark(X) a__tail(cons(X, L)) -> mark(L) mark(incr(X)) -> a__incr(mark(X)) mark(adx(X)) -> a__adx(mark(X)) mark(nats) -> a__nats mark(zeros) -> a__zeros mark(head(X)) -> a__head(mark(X)) mark(tail(X)) -> a__tail(mark(X)) mark(nil) -> nil mark(cons(X1, X2)) -> cons(mark(X1), X2) mark(s(X)) -> s(mark(X)) mark(0) -> 0 a__incr(X) -> incr(X) a__adx(X) -> adx(X) a__nats -> nats a__zeros -> zeros a__head(X) -> head(X) a__tail(X) -> tail(X) S is empty. Rewrite Strategy: FULL ---------------------------------------- (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) The following rules have been added to S to convert the given derivational complexity problem to a runtime complexity problem: encArg(nil) -> nil encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(incr(x_1)) -> incr(encArg(x_1)) encArg(adx(x_1)) -> adx(encArg(x_1)) encArg(0) -> 0 encArg(zeros) -> zeros encArg(nats) -> nats encArg(head(x_1)) -> head(encArg(x_1)) encArg(tail(x_1)) -> tail(encArg(x_1)) encArg(cons_a__incr(x_1)) -> a__incr(encArg(x_1)) encArg(cons_a__adx(x_1)) -> a__adx(encArg(x_1)) encArg(cons_a__nats) -> a__nats encArg(cons_a__zeros) -> a__zeros encArg(cons_a__head(x_1)) -> a__head(encArg(x_1)) encArg(cons_a__tail(x_1)) -> a__tail(encArg(x_1)) encArg(cons_mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encode_a__incr(x_1) -> a__incr(encArg(x_1)) encode_nil -> nil encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_incr(x_1) -> incr(encArg(x_1)) encode_a__adx(x_1) -> a__adx(encArg(x_1)) encode_adx(x_1) -> adx(encArg(x_1)) encode_a__nats -> a__nats encode_a__zeros -> a__zeros encode_0 -> 0 encode_zeros -> zeros encode_a__head(x_1) -> a__head(encArg(x_1)) encode_a__tail(x_1) -> a__tail(encArg(x_1)) encode_nats -> nats encode_head(x_1) -> head(encArg(x_1)) encode_tail(x_1) -> tail(encArg(x_1)) ---------------------------------------- (2) Obligation: The Runtime Complexity (full) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: a__incr(nil) -> nil a__incr(cons(X, L)) -> cons(s(mark(X)), incr(L)) a__adx(nil) -> nil a__adx(cons(X, L)) -> a__incr(cons(mark(X), adx(L))) a__nats -> a__adx(a__zeros) a__zeros -> cons(0, zeros) a__head(cons(X, L)) -> mark(X) a__tail(cons(X, L)) -> mark(L) mark(incr(X)) -> a__incr(mark(X)) mark(adx(X)) -> a__adx(mark(X)) mark(nats) -> a__nats mark(zeros) -> a__zeros mark(head(X)) -> a__head(mark(X)) mark(tail(X)) -> a__tail(mark(X)) mark(nil) -> nil mark(cons(X1, X2)) -> cons(mark(X1), X2) mark(s(X)) -> s(mark(X)) mark(0) -> 0 a__incr(X) -> incr(X) a__adx(X) -> adx(X) a__nats -> nats a__zeros -> zeros a__head(X) -> head(X) a__tail(X) -> tail(X) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(nil) -> nil encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(incr(x_1)) -> incr(encArg(x_1)) encArg(adx(x_1)) -> adx(encArg(x_1)) encArg(0) -> 0 encArg(zeros) -> zeros encArg(nats) -> nats encArg(head(x_1)) -> head(encArg(x_1)) encArg(tail(x_1)) -> tail(encArg(x_1)) encArg(cons_a__incr(x_1)) -> a__incr(encArg(x_1)) encArg(cons_a__adx(x_1)) -> a__adx(encArg(x_1)) encArg(cons_a__nats) -> a__nats encArg(cons_a__zeros) -> a__zeros encArg(cons_a__head(x_1)) -> a__head(encArg(x_1)) encArg(cons_a__tail(x_1)) -> a__tail(encArg(x_1)) encArg(cons_mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encode_a__incr(x_1) -> a__incr(encArg(x_1)) encode_nil -> nil encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_incr(x_1) -> incr(encArg(x_1)) encode_a__adx(x_1) -> a__adx(encArg(x_1)) encode_adx(x_1) -> adx(encArg(x_1)) encode_a__nats -> a__nats encode_a__zeros -> a__zeros encode_0 -> 0 encode_zeros -> zeros encode_a__head(x_1) -> a__head(encArg(x_1)) encode_a__tail(x_1) -> a__tail(encArg(x_1)) encode_nats -> nats encode_head(x_1) -> head(encArg(x_1)) encode_tail(x_1) -> tail(encArg(x_1)) Rewrite Strategy: FULL ---------------------------------------- (3) SInnermostTerminationProof (BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID)) proved innermost termination of relative rules ---------------------------------------- (4) Obligation: The Runtime Complexity (full) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: a__incr(nil) -> nil a__incr(cons(X, L)) -> cons(s(mark(X)), incr(L)) a__adx(nil) -> nil a__adx(cons(X, L)) -> a__incr(cons(mark(X), adx(L))) a__nats -> a__adx(a__zeros) a__zeros -> cons(0, zeros) a__head(cons(X, L)) -> mark(X) a__tail(cons(X, L)) -> mark(L) mark(incr(X)) -> a__incr(mark(X)) mark(adx(X)) -> a__adx(mark(X)) mark(nats) -> a__nats mark(zeros) -> a__zeros mark(head(X)) -> a__head(mark(X)) mark(tail(X)) -> a__tail(mark(X)) mark(nil) -> nil mark(cons(X1, X2)) -> cons(mark(X1), X2) mark(s(X)) -> s(mark(X)) mark(0) -> 0 a__incr(X) -> incr(X) a__adx(X) -> adx(X) a__nats -> nats a__zeros -> zeros a__head(X) -> head(X) a__tail(X) -> tail(X) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(nil) -> nil encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(incr(x_1)) -> incr(encArg(x_1)) encArg(adx(x_1)) -> adx(encArg(x_1)) encArg(0) -> 0 encArg(zeros) -> zeros encArg(nats) -> nats encArg(head(x_1)) -> head(encArg(x_1)) encArg(tail(x_1)) -> tail(encArg(x_1)) encArg(cons_a__incr(x_1)) -> a__incr(encArg(x_1)) encArg(cons_a__adx(x_1)) -> a__adx(encArg(x_1)) encArg(cons_a__nats) -> a__nats encArg(cons_a__zeros) -> a__zeros encArg(cons_a__head(x_1)) -> a__head(encArg(x_1)) encArg(cons_a__tail(x_1)) -> a__tail(encArg(x_1)) encArg(cons_mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encode_a__incr(x_1) -> a__incr(encArg(x_1)) encode_nil -> nil encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_incr(x_1) -> incr(encArg(x_1)) encode_a__adx(x_1) -> a__adx(encArg(x_1)) encode_adx(x_1) -> adx(encArg(x_1)) encode_a__nats -> a__nats encode_a__zeros -> a__zeros encode_0 -> 0 encode_zeros -> zeros encode_a__head(x_1) -> a__head(encArg(x_1)) encode_a__tail(x_1) -> a__tail(encArg(x_1)) encode_nats -> nats encode_head(x_1) -> head(encArg(x_1)) encode_tail(x_1) -> tail(encArg(x_1)) Rewrite Strategy: FULL ---------------------------------------- (5) RenamingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol. ---------------------------------------- (6) Obligation: The Runtime Complexity (full) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: a__incr(nil) -> nil a__incr(cons(X, L)) -> cons(s(mark(X)), incr(L)) a__adx(nil) -> nil a__adx(cons(X, L)) -> a__incr(cons(mark(X), adx(L))) a__nats -> a__adx(a__zeros) a__zeros -> cons(0', zeros) a__head(cons(X, L)) -> mark(X) a__tail(cons(X, L)) -> mark(L) mark(incr(X)) -> a__incr(mark(X)) mark(adx(X)) -> a__adx(mark(X)) mark(nats) -> a__nats mark(zeros) -> a__zeros mark(head(X)) -> a__head(mark(X)) mark(tail(X)) -> a__tail(mark(X)) mark(nil) -> nil mark(cons(X1, X2)) -> cons(mark(X1), X2) mark(s(X)) -> s(mark(X)) mark(0') -> 0' a__incr(X) -> incr(X) a__adx(X) -> adx(X) a__nats -> nats a__zeros -> zeros a__head(X) -> head(X) a__tail(X) -> tail(X) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(nil) -> nil encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(incr(x_1)) -> incr(encArg(x_1)) encArg(adx(x_1)) -> adx(encArg(x_1)) encArg(0') -> 0' encArg(zeros) -> zeros encArg(nats) -> nats encArg(head(x_1)) -> head(encArg(x_1)) encArg(tail(x_1)) -> tail(encArg(x_1)) encArg(cons_a__incr(x_1)) -> a__incr(encArg(x_1)) encArg(cons_a__adx(x_1)) -> a__adx(encArg(x_1)) encArg(cons_a__nats) -> a__nats encArg(cons_a__zeros) -> a__zeros encArg(cons_a__head(x_1)) -> a__head(encArg(x_1)) encArg(cons_a__tail(x_1)) -> a__tail(encArg(x_1)) encArg(cons_mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encode_a__incr(x_1) -> a__incr(encArg(x_1)) encode_nil -> nil encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_incr(x_1) -> incr(encArg(x_1)) encode_a__adx(x_1) -> a__adx(encArg(x_1)) encode_adx(x_1) -> adx(encArg(x_1)) encode_a__nats -> a__nats encode_a__zeros -> a__zeros encode_0 -> 0' encode_zeros -> zeros encode_a__head(x_1) -> a__head(encArg(x_1)) encode_a__tail(x_1) -> a__tail(encArg(x_1)) encode_nats -> nats encode_head(x_1) -> head(encArg(x_1)) encode_tail(x_1) -> tail(encArg(x_1)) Rewrite Strategy: FULL ---------------------------------------- (7) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Infered types. ---------------------------------------- (8) Obligation: TRS: Rules: a__incr(nil) -> nil a__incr(cons(X, L)) -> cons(s(mark(X)), incr(L)) a__adx(nil) -> nil a__adx(cons(X, L)) -> a__incr(cons(mark(X), adx(L))) a__nats -> a__adx(a__zeros) a__zeros -> cons(0', zeros) a__head(cons(X, L)) -> mark(X) a__tail(cons(X, L)) -> mark(L) mark(incr(X)) -> a__incr(mark(X)) mark(adx(X)) -> a__adx(mark(X)) mark(nats) -> a__nats mark(zeros) -> a__zeros mark(head(X)) -> a__head(mark(X)) mark(tail(X)) -> a__tail(mark(X)) mark(nil) -> nil mark(cons(X1, X2)) -> cons(mark(X1), X2) mark(s(X)) -> s(mark(X)) mark(0') -> 0' a__incr(X) -> incr(X) a__adx(X) -> adx(X) a__nats -> nats a__zeros -> zeros a__head(X) -> head(X) a__tail(X) -> tail(X) encArg(nil) -> nil encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(incr(x_1)) -> incr(encArg(x_1)) encArg(adx(x_1)) -> adx(encArg(x_1)) encArg(0') -> 0' encArg(zeros) -> zeros encArg(nats) -> nats encArg(head(x_1)) -> head(encArg(x_1)) encArg(tail(x_1)) -> tail(encArg(x_1)) encArg(cons_a__incr(x_1)) -> a__incr(encArg(x_1)) encArg(cons_a__adx(x_1)) -> a__adx(encArg(x_1)) encArg(cons_a__nats) -> a__nats encArg(cons_a__zeros) -> a__zeros encArg(cons_a__head(x_1)) -> a__head(encArg(x_1)) encArg(cons_a__tail(x_1)) -> a__tail(encArg(x_1)) encArg(cons_mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encode_a__incr(x_1) -> a__incr(encArg(x_1)) encode_nil -> nil encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_incr(x_1) -> incr(encArg(x_1)) encode_a__adx(x_1) -> a__adx(encArg(x_1)) encode_adx(x_1) -> adx(encArg(x_1)) encode_a__nats -> a__nats encode_a__zeros -> a__zeros encode_0 -> 0' encode_zeros -> zeros encode_a__head(x_1) -> a__head(encArg(x_1)) encode_a__tail(x_1) -> a__tail(encArg(x_1)) encode_nats -> nats encode_head(x_1) -> head(encArg(x_1)) encode_tail(x_1) -> tail(encArg(x_1)) Types: a__incr :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark nil :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark cons :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark s :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark mark :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark incr :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark a__adx :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark adx :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark a__nats :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark a__zeros :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark 0' :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark zeros :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark a__head :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark a__tail :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark nats :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark head :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark tail :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark encArg :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark cons_a__incr :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark cons_a__adx :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark cons_a__nats :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark cons_a__zeros :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark cons_a__head :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark cons_a__tail :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark cons_mark :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark encode_a__incr :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark encode_nil :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark encode_cons :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark encode_s :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark encode_mark :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark encode_incr :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark encode_a__adx :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark encode_adx :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark encode_a__nats :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark encode_a__zeros :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark encode_0 :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark encode_zeros :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark encode_a__head :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark encode_a__tail :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark encode_nats :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark encode_head :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark encode_tail :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark hole_nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark1_3 :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark gen_nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark2_3 :: Nat -> nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark ---------------------------------------- (9) OrderProof (LOWER BOUND(ID)) Heuristically decided to analyse the following defined symbols: a__incr, mark, a__adx, a__nats, a__head, a__tail, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: a__incr = mark a__incr = a__adx a__incr = a__nats a__incr = a__head a__incr = a__tail a__incr < encArg mark = a__adx mark = a__nats mark = a__head mark = a__tail mark < encArg a__adx = a__nats a__adx = a__head a__adx = a__tail a__adx < encArg a__nats = a__head a__nats = a__tail a__nats < encArg a__head = a__tail a__head < encArg a__tail < encArg ---------------------------------------- (10) Obligation: TRS: Rules: a__incr(nil) -> nil a__incr(cons(X, L)) -> cons(s(mark(X)), incr(L)) a__adx(nil) -> nil a__adx(cons(X, L)) -> a__incr(cons(mark(X), adx(L))) a__nats -> a__adx(a__zeros) a__zeros -> cons(0', zeros) a__head(cons(X, L)) -> mark(X) a__tail(cons(X, L)) -> mark(L) mark(incr(X)) -> a__incr(mark(X)) mark(adx(X)) -> a__adx(mark(X)) mark(nats) -> a__nats mark(zeros) -> a__zeros mark(head(X)) -> a__head(mark(X)) mark(tail(X)) -> a__tail(mark(X)) mark(nil) -> nil mark(cons(X1, X2)) -> cons(mark(X1), X2) mark(s(X)) -> s(mark(X)) mark(0') -> 0' a__incr(X) -> incr(X) a__adx(X) -> adx(X) a__nats -> nats a__zeros -> zeros a__head(X) -> head(X) a__tail(X) -> tail(X) encArg(nil) -> nil encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(incr(x_1)) -> incr(encArg(x_1)) encArg(adx(x_1)) -> adx(encArg(x_1)) encArg(0') -> 0' encArg(zeros) -> zeros encArg(nats) -> nats encArg(head(x_1)) -> head(encArg(x_1)) encArg(tail(x_1)) -> tail(encArg(x_1)) encArg(cons_a__incr(x_1)) -> a__incr(encArg(x_1)) encArg(cons_a__adx(x_1)) -> a__adx(encArg(x_1)) encArg(cons_a__nats) -> a__nats encArg(cons_a__zeros) -> a__zeros encArg(cons_a__head(x_1)) -> a__head(encArg(x_1)) encArg(cons_a__tail(x_1)) -> a__tail(encArg(x_1)) encArg(cons_mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encode_a__incr(x_1) -> a__incr(encArg(x_1)) encode_nil -> nil encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_incr(x_1) -> incr(encArg(x_1)) encode_a__adx(x_1) -> a__adx(encArg(x_1)) encode_adx(x_1) -> adx(encArg(x_1)) encode_a__nats -> a__nats encode_a__zeros -> a__zeros encode_0 -> 0' encode_zeros -> zeros encode_a__head(x_1) -> a__head(encArg(x_1)) encode_a__tail(x_1) -> a__tail(encArg(x_1)) encode_nats -> nats encode_head(x_1) -> head(encArg(x_1)) encode_tail(x_1) -> tail(encArg(x_1)) Types: a__incr :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark nil :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark cons :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark s :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark mark :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark incr :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark a__adx :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark adx :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark a__nats :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark a__zeros :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark 0' :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark zeros :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark a__head :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark a__tail :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark nats :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark head :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark tail :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark encArg :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark cons_a__incr :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark cons_a__adx :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark cons_a__nats :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark cons_a__zeros :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark cons_a__head :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark cons_a__tail :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark cons_mark :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark encode_a__incr :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark encode_nil :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark encode_cons :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark encode_s :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark encode_mark :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark encode_incr :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark encode_a__adx :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark encode_adx :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark encode_a__nats :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark encode_a__zeros :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark encode_0 :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark encode_zeros :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark encode_a__head :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark encode_a__tail :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark encode_nats :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark encode_head :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark encode_tail :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark hole_nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark1_3 :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark gen_nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark2_3 :: Nat -> nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark Generator Equations: gen_nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark2_3(0) <=> nil gen_nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark2_3(+(x, 1)) <=> cons(gen_nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark2_3(x), nil) The following defined symbols remain to be analysed: mark, a__incr, a__adx, a__nats, a__head, a__tail, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: a__incr = mark a__incr = a__adx a__incr = a__nats a__incr = a__head a__incr = a__tail a__incr < encArg mark = a__adx mark = a__nats mark = a__head mark = a__tail mark < encArg a__adx = a__nats a__adx = a__head a__adx = a__tail a__adx < encArg a__nats = a__head a__nats = a__tail a__nats < encArg a__head = a__tail a__head < encArg a__tail < encArg ---------------------------------------- (11) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: mark(gen_nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark2_3(n4_3)) -> gen_nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark2_3(n4_3), rt in Omega(1 + n4_3) Induction Base: mark(gen_nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark2_3(0)) ->_R^Omega(1) nil Induction Step: mark(gen_nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark2_3(+(n4_3, 1))) ->_R^Omega(1) cons(mark(gen_nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark2_3(n4_3)), nil) ->_IH cons(gen_nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark2_3(c5_3), nil) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (12) Complex Obligation (BEST) ---------------------------------------- (13) Obligation: Proved the lower bound n^1 for the following obligation: TRS: Rules: a__incr(nil) -> nil a__incr(cons(X, L)) -> cons(s(mark(X)), incr(L)) a__adx(nil) -> nil a__adx(cons(X, L)) -> a__incr(cons(mark(X), adx(L))) a__nats -> a__adx(a__zeros) a__zeros -> cons(0', zeros) a__head(cons(X, L)) -> mark(X) a__tail(cons(X, L)) -> mark(L) mark(incr(X)) -> a__incr(mark(X)) mark(adx(X)) -> a__adx(mark(X)) mark(nats) -> a__nats mark(zeros) -> a__zeros mark(head(X)) -> a__head(mark(X)) mark(tail(X)) -> a__tail(mark(X)) mark(nil) -> nil mark(cons(X1, X2)) -> cons(mark(X1), X2) mark(s(X)) -> s(mark(X)) mark(0') -> 0' a__incr(X) -> incr(X) a__adx(X) -> adx(X) a__nats -> nats a__zeros -> zeros a__head(X) -> head(X) a__tail(X) -> tail(X) encArg(nil) -> nil encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(incr(x_1)) -> incr(encArg(x_1)) encArg(adx(x_1)) -> adx(encArg(x_1)) encArg(0') -> 0' encArg(zeros) -> zeros encArg(nats) -> nats encArg(head(x_1)) -> head(encArg(x_1)) encArg(tail(x_1)) -> tail(encArg(x_1)) encArg(cons_a__incr(x_1)) -> a__incr(encArg(x_1)) encArg(cons_a__adx(x_1)) -> a__adx(encArg(x_1)) encArg(cons_a__nats) -> a__nats encArg(cons_a__zeros) -> a__zeros encArg(cons_a__head(x_1)) -> a__head(encArg(x_1)) encArg(cons_a__tail(x_1)) -> a__tail(encArg(x_1)) encArg(cons_mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encode_a__incr(x_1) -> a__incr(encArg(x_1)) encode_nil -> nil encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_incr(x_1) -> incr(encArg(x_1)) encode_a__adx(x_1) -> a__adx(encArg(x_1)) encode_adx(x_1) -> adx(encArg(x_1)) encode_a__nats -> a__nats encode_a__zeros -> a__zeros encode_0 -> 0' encode_zeros -> zeros encode_a__head(x_1) -> a__head(encArg(x_1)) encode_a__tail(x_1) -> a__tail(encArg(x_1)) encode_nats -> nats encode_head(x_1) -> head(encArg(x_1)) encode_tail(x_1) -> tail(encArg(x_1)) Types: a__incr :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark nil :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark cons :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark s :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark mark :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark incr :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark a__adx :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark adx :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark a__nats :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark a__zeros :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark 0' :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark zeros :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark a__head :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark a__tail :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark nats :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark head :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark tail :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark encArg :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark cons_a__incr :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark cons_a__adx :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark cons_a__nats :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark cons_a__zeros :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark cons_a__head :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark cons_a__tail :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark cons_mark :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark encode_a__incr :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark encode_nil :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark encode_cons :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark encode_s :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark encode_mark :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark encode_incr :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark encode_a__adx :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark encode_adx :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark encode_a__nats :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark encode_a__zeros :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark encode_0 :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark encode_zeros :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark encode_a__head :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark encode_a__tail :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark encode_nats :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark encode_head :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark encode_tail :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark hole_nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark1_3 :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark gen_nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark2_3 :: Nat -> nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark Generator Equations: gen_nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark2_3(0) <=> nil gen_nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark2_3(+(x, 1)) <=> cons(gen_nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark2_3(x), nil) The following defined symbols remain to be analysed: mark, a__incr, a__adx, a__nats, a__head, a__tail, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: a__incr = mark a__incr = a__adx a__incr = a__nats a__incr = a__head a__incr = a__tail a__incr < encArg mark = a__adx mark = a__nats mark = a__head mark = a__tail mark < encArg a__adx = a__nats a__adx = a__head a__adx = a__tail a__adx < encArg a__nats = a__head a__nats = a__tail a__nats < encArg a__head = a__tail a__head < encArg a__tail < encArg ---------------------------------------- (14) LowerBoundPropagationProof (FINISHED) Propagated lower bound. ---------------------------------------- (15) BOUNDS(n^1, INF) ---------------------------------------- (16) Obligation: TRS: Rules: a__incr(nil) -> nil a__incr(cons(X, L)) -> cons(s(mark(X)), incr(L)) a__adx(nil) -> nil a__adx(cons(X, L)) -> a__incr(cons(mark(X), adx(L))) a__nats -> a__adx(a__zeros) a__zeros -> cons(0', zeros) a__head(cons(X, L)) -> mark(X) a__tail(cons(X, L)) -> mark(L) mark(incr(X)) -> a__incr(mark(X)) mark(adx(X)) -> a__adx(mark(X)) mark(nats) -> a__nats mark(zeros) -> a__zeros mark(head(X)) -> a__head(mark(X)) mark(tail(X)) -> a__tail(mark(X)) mark(nil) -> nil mark(cons(X1, X2)) -> cons(mark(X1), X2) mark(s(X)) -> s(mark(X)) mark(0') -> 0' a__incr(X) -> incr(X) a__adx(X) -> adx(X) a__nats -> nats a__zeros -> zeros a__head(X) -> head(X) a__tail(X) -> tail(X) encArg(nil) -> nil encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(incr(x_1)) -> incr(encArg(x_1)) encArg(adx(x_1)) -> adx(encArg(x_1)) encArg(0') -> 0' encArg(zeros) -> zeros encArg(nats) -> nats encArg(head(x_1)) -> head(encArg(x_1)) encArg(tail(x_1)) -> tail(encArg(x_1)) encArg(cons_a__incr(x_1)) -> a__incr(encArg(x_1)) encArg(cons_a__adx(x_1)) -> a__adx(encArg(x_1)) encArg(cons_a__nats) -> a__nats encArg(cons_a__zeros) -> a__zeros encArg(cons_a__head(x_1)) -> a__head(encArg(x_1)) encArg(cons_a__tail(x_1)) -> a__tail(encArg(x_1)) encArg(cons_mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encode_a__incr(x_1) -> a__incr(encArg(x_1)) encode_nil -> nil encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_incr(x_1) -> incr(encArg(x_1)) encode_a__adx(x_1) -> a__adx(encArg(x_1)) encode_adx(x_1) -> adx(encArg(x_1)) encode_a__nats -> a__nats encode_a__zeros -> a__zeros encode_0 -> 0' encode_zeros -> zeros encode_a__head(x_1) -> a__head(encArg(x_1)) encode_a__tail(x_1) -> a__tail(encArg(x_1)) encode_nats -> nats encode_head(x_1) -> head(encArg(x_1)) encode_tail(x_1) -> tail(encArg(x_1)) Types: a__incr :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark nil :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark cons :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark s :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark mark :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark incr :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark a__adx :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark adx :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark a__nats :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark a__zeros :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark 0' :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark zeros :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark a__head :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark a__tail :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark nats :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark head :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark tail :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark encArg :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark cons_a__incr :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark cons_a__adx :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark cons_a__nats :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark cons_a__zeros :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark cons_a__head :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark cons_a__tail :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark cons_mark :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark encode_a__incr :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark encode_nil :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark encode_cons :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark encode_s :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark encode_mark :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark encode_incr :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark encode_a__adx :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark encode_adx :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark encode_a__nats :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark encode_a__zeros :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark encode_0 :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark encode_zeros :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark encode_a__head :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark encode_a__tail :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark encode_nats :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark encode_head :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark encode_tail :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark hole_nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark1_3 :: nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark gen_nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark2_3 :: Nat -> nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark Lemmas: mark(gen_nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark2_3(n4_3)) -> gen_nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark2_3(n4_3), rt in Omega(1 + n4_3) Generator Equations: gen_nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark2_3(0) <=> nil gen_nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark2_3(+(x, 1)) <=> cons(gen_nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark2_3(x), nil) The following defined symbols remain to be analysed: a__incr, a__adx, a__nats, a__head, a__tail, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: a__incr = mark a__incr = a__adx a__incr = a__nats a__incr = a__head a__incr = a__tail a__incr < encArg mark = a__adx mark = a__nats mark = a__head mark = a__tail mark < encArg a__adx = a__nats a__adx = a__head a__adx = a__tail a__adx < encArg a__nats = a__head a__nats = a__tail a__nats < encArg a__head = a__tail a__head < encArg a__tail < encArg ---------------------------------------- (17) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: encArg(gen_nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark2_3(n19017_3)) -> gen_nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark2_3(n19017_3), rt in Omega(0) Induction Base: encArg(gen_nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark2_3(0)) ->_R^Omega(0) nil Induction Step: encArg(gen_nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark2_3(+(n19017_3, 1))) ->_R^Omega(0) cons(encArg(gen_nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark2_3(n19017_3)), encArg(nil)) ->_IH cons(gen_nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark2_3(c19018_3), encArg(nil)) ->_R^Omega(0) cons(gen_nil:cons:s:incr:adx:0':zeros:nats:head:tail:cons_a__incr:cons_a__adx:cons_a__nats:cons_a__zeros:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark2_3(n19017_3), nil) We have rt in Omega(1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n^0). ---------------------------------------- (18) BOUNDS(1, INF)