WORST_CASE(Omega(n^1), O(n^2))
proof of /export/starexec/sandbox2/benchmark/theBenchmark.xml
# AProVE Commit ID: 794c25de1cacf0d048858bcd21c9a779e1221865 marcel 20200619 unpublished dirty


The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, n^2).

(0) DCpxTrs
(1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
(2) CpxRelTRS
(3) SInnermostTerminationProof [BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID), 218 ms]
(4) CpxRelTRS
(5) CpxTrsToCdtProof [UPPER BOUND(ID), 0 ms]
(6) CdtProblem
    (7) CdtLeafRemovalProof [ComplexityIfPolyImplication, 0 ms]
    (8) CdtProblem
    (9) CdtGraphSplitRhsProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
    (10) CdtProblem
    (11) CdtLeafRemovalProof [ComplexityIfPolyImplication, 0 ms]
    (12) CdtProblem
    (13) CdtUsableRulesProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 20 ms]
    (14) CdtProblem
    (15) CdtRuleRemovalProof [UPPER BOUND(ADD(n^1)), 254 ms]
    (16) CdtProblem
    (17) CdtRuleRemovalProof [UPPER BOUND(ADD(n^2)), 655 ms]
    (18) CdtProblem
    (19) CdtRuleRemovalProof [UPPER BOUND(ADD(n^2)), 591 ms]
    (20) CdtProblem
    (21) CdtRuleRemovalProof [UPPER BOUND(ADD(n^2)), 392 ms]
    (22) CdtProblem
    (23) CdtRuleRemovalProof [UPPER BOUND(ADD(n^2)), 724 ms]
    (24) CdtProblem
    (25) CdtRuleRemovalProof [UPPER BOUND(ADD(n^2)), 559 ms]
    (26) CdtProblem
    (27) SIsEmptyProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
    (28) BOUNDS(1, 1)
(29) RenamingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
(30) CpxRelTRS
    (31) TypeInferenceProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
    (32) typed CpxTrs
    (33) OrderProof [LOWER BOUND(ID), 0 ms]
    (34) typed CpxTrs
    (35) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 240 ms]
    (36) BEST
        (37) proven lower bound
            (38) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms]
            (39) BOUNDS(n^1, INF)
        (40) typed CpxTrs
            (41) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 859 ms]
            (42) typed CpxTrs
            (43) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 444 ms]
            (44) BOUNDS(1, INF)


----------------------------------------

(0)
Obligation:
The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, n^2).


The TRS R consists of the following rules:

   le(0, y) -> true
   le(s(x), 0) -> false
   le(s(x), s(y)) -> le(x, y)
   pred(s(x)) -> x
   minus(x, 0) -> x
   minus(x, s(y)) -> pred(minus(x, y))
   mod(0, y) -> 0
   mod(s(x), 0) -> 0
   mod(s(x), s(y)) -> if_mod(le(y, x), s(x), s(y))
   if_mod(true, s(x), s(y)) -> mod(minus(x, y), s(y))
   if_mod(false, s(x), s(y)) -> s(x)

S is empty.
Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
The following rules have been added to S to convert the given derivational complexity problem to a runtime complexity problem:

   encArg(0) -> 0
   encArg(true) -> true
   encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
   encArg(false) -> false
   encArg(cons_le(x_1, x_2)) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_pred(x_1)) -> pred(encArg(x_1))
   encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_mod(x_1, x_2)) -> mod(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_if_mod(x_1, x_2, x_3)) -> if_mod(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_le(x_1, x_2) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_0 -> 0
   encode_true -> true
   encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
   encode_false -> false
   encode_pred(x_1) -> pred(encArg(x_1))
   encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_mod(x_1, x_2) -> mod(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_if_mod(x_1, x_2, x_3) -> if_mod(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))


----------------------------------------

(2)
Obligation:
The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, n^2).


The TRS R consists of the following rules:

   le(0, y) -> true
   le(s(x), 0) -> false
   le(s(x), s(y)) -> le(x, y)
   pred(s(x)) -> x
   minus(x, 0) -> x
   minus(x, s(y)) -> pred(minus(x, y))
   mod(0, y) -> 0
   mod(s(x), 0) -> 0
   mod(s(x), s(y)) -> if_mod(le(y, x), s(x), s(y))
   if_mod(true, s(x), s(y)) -> mod(minus(x, y), s(y))
   if_mod(false, s(x), s(y)) -> s(x)

The (relative) TRS S consists of the following rules:

   encArg(0) -> 0
   encArg(true) -> true
   encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
   encArg(false) -> false
   encArg(cons_le(x_1, x_2)) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_pred(x_1)) -> pred(encArg(x_1))
   encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_mod(x_1, x_2)) -> mod(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_if_mod(x_1, x_2, x_3)) -> if_mod(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_le(x_1, x_2) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_0 -> 0
   encode_true -> true
   encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
   encode_false -> false
   encode_pred(x_1) -> pred(encArg(x_1))
   encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_mod(x_1, x_2) -> mod(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_if_mod(x_1, x_2, x_3) -> if_mod(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))

Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(3) SInnermostTerminationProof (BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID))
proved innermost termination of relative rules
----------------------------------------

(4)
Obligation:
The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, n^2).


The TRS R consists of the following rules:

   le(0, y) -> true
   le(s(x), 0) -> false
   le(s(x), s(y)) -> le(x, y)
   pred(s(x)) -> x
   minus(x, 0) -> x
   minus(x, s(y)) -> pred(minus(x, y))
   mod(0, y) -> 0
   mod(s(x), 0) -> 0
   mod(s(x), s(y)) -> if_mod(le(y, x), s(x), s(y))
   if_mod(true, s(x), s(y)) -> mod(minus(x, y), s(y))
   if_mod(false, s(x), s(y)) -> s(x)

The (relative) TRS S consists of the following rules:

   encArg(0) -> 0
   encArg(true) -> true
   encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
   encArg(false) -> false
   encArg(cons_le(x_1, x_2)) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_pred(x_1)) -> pred(encArg(x_1))
   encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_mod(x_1, x_2)) -> mod(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_if_mod(x_1, x_2, x_3)) -> if_mod(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_le(x_1, x_2) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_0 -> 0
   encode_true -> true
   encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
   encode_false -> false
   encode_pred(x_1) -> pred(encArg(x_1))
   encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_mod(x_1, x_2) -> mod(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_if_mod(x_1, x_2, x_3) -> if_mod(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))

Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(5) CpxTrsToCdtProof (UPPER BOUND(ID))
Converted Cpx (relative) TRS to CDT
----------------------------------------

(6)
Obligation:
Complexity Dependency Tuples Problem

Rules:
   encArg(0) -> 0
   encArg(true) -> true
   encArg(s(z0)) -> s(encArg(z0))
   encArg(false) -> false
   encArg(cons_le(z0, z1)) -> le(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_pred(z0)) -> pred(encArg(z0))
   encArg(cons_minus(z0, z1)) -> minus(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_mod(z0, z1)) -> mod(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_if_mod(z0, z1, z2)) -> if_mod(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))
   encode_le(z0, z1) -> le(encArg(z0), encArg(z1))
   encode_0 -> 0
   encode_true -> true
   encode_s(z0) -> s(encArg(z0))
   encode_false -> false
   encode_pred(z0) -> pred(encArg(z0))
   encode_minus(z0, z1) -> minus(encArg(z0), encArg(z1))
   encode_mod(z0, z1) -> mod(encArg(z0), encArg(z1))
   encode_if_mod(z0, z1, z2) -> if_mod(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))
   le(0, z0) -> true
   le(s(z0), 0) -> false
   le(s(z0), s(z1)) -> le(z0, z1)
   pred(s(z0)) -> z0
   minus(z0, 0) -> z0
   minus(z0, s(z1)) -> pred(minus(z0, z1))
   mod(0, z0) -> 0
   mod(s(z0), 0) -> 0
   mod(s(z0), s(z1)) -> if_mod(le(z1, z0), s(z0), s(z1))
   if_mod(true, s(z0), s(z1)) -> mod(minus(z0, z1), s(z1))
   if_mod(false, s(z0), s(z1)) -> s(z0)
Tuples:
   ENCARG(0) -> c
   ENCARG(true) -> c1
   ENCARG(s(z0)) -> c2(ENCARG(z0))
   ENCARG(false) -> c3
   ENCARG(cons_le(z0, z1)) -> c4(LE(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_pred(z0)) -> c5(PRED(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_minus(z0, z1)) -> c6(MINUS(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_mod(z0, z1)) -> c7(MOD(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_if_mod(z0, z1, z2)) -> c8(IF_MOD(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2))
   ENCODE_LE(z0, z1) -> c9(LE(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCODE_0 -> c10
   ENCODE_TRUE -> c11
   ENCODE_S(z0) -> c12(ENCARG(z0))
   ENCODE_FALSE -> c13
   ENCODE_PRED(z0) -> c14(PRED(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCODE_MINUS(z0, z1) -> c15(MINUS(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCODE_MOD(z0, z1) -> c16(MOD(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCODE_IF_MOD(z0, z1, z2) -> c17(IF_MOD(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2))
   LE(0, z0) -> c18
   LE(s(z0), 0) -> c19
   LE(s(z0), s(z1)) -> c20(LE(z0, z1))
   PRED(s(z0)) -> c21
   MINUS(z0, 0) -> c22
   MINUS(z0, s(z1)) -> c23(PRED(minus(z0, z1)), MINUS(z0, z1))
   MOD(0, z0) -> c24
   MOD(s(z0), 0) -> c25
   MOD(s(z0), s(z1)) -> c26(IF_MOD(le(z1, z0), s(z0), s(z1)), LE(z1, z0))
   IF_MOD(true, s(z0), s(z1)) -> c27(MOD(minus(z0, z1), s(z1)), MINUS(z0, z1))
   IF_MOD(false, s(z0), s(z1)) -> c28
S tuples:
   LE(0, z0) -> c18
   LE(s(z0), 0) -> c19
   LE(s(z0), s(z1)) -> c20(LE(z0, z1))
   PRED(s(z0)) -> c21
   MINUS(z0, 0) -> c22
   MINUS(z0, s(z1)) -> c23(PRED(minus(z0, z1)), MINUS(z0, z1))
   MOD(0, z0) -> c24
   MOD(s(z0), 0) -> c25
   MOD(s(z0), s(z1)) -> c26(IF_MOD(le(z1, z0), s(z0), s(z1)), LE(z1, z0))
   IF_MOD(true, s(z0), s(z1)) -> c27(MOD(minus(z0, z1), s(z1)), MINUS(z0, z1))
   IF_MOD(false, s(z0), s(z1)) -> c28
K tuples:none
Defined Rule Symbols:   le_2, pred_1, minus_2, mod_2, if_mod_3, encArg_1, encode_le_2, encode_0, encode_true, encode_s_1, encode_false, encode_pred_1, encode_minus_2, encode_mod_2, encode_if_mod_3

Defined Pair Symbols:   ENCARG_1, ENCODE_LE_2, ENCODE_0, ENCODE_TRUE, ENCODE_S_1, ENCODE_FALSE, ENCODE_PRED_1, ENCODE_MINUS_2, ENCODE_MOD_2, ENCODE_IF_MOD_3, LE_2, PRED_1, MINUS_2, MOD_2, IF_MOD_3

Compound Symbols:   c, c1, c2_1, c3, c4_3, c5_2, c6_3, c7_3, c8_4, c9_3, c10, c11, c12_1, c13, c14_2, c15_3, c16_3, c17_4, c18, c19, c20_1, c21, c22, c23_2, c24, c25, c26_2, c27_2, c28


----------------------------------------

(7) CdtLeafRemovalProof (ComplexityIfPolyImplication)
Removed 1 leading nodes:
   ENCODE_S(z0) -> c12(ENCARG(z0))
Removed 6 trailing nodes:
   ENCODE_FALSE -> c13
   ENCARG(true) -> c1
   ENCODE_TRUE -> c11
   ENCARG(0) -> c
   ENCARG(false) -> c3
   ENCODE_0 -> c10

----------------------------------------

(8)
Obligation:
Complexity Dependency Tuples Problem

Rules:
   encArg(0) -> 0
   encArg(true) -> true
   encArg(s(z0)) -> s(encArg(z0))
   encArg(false) -> false
   encArg(cons_le(z0, z1)) -> le(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_pred(z0)) -> pred(encArg(z0))
   encArg(cons_minus(z0, z1)) -> minus(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_mod(z0, z1)) -> mod(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_if_mod(z0, z1, z2)) -> if_mod(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))
   encode_le(z0, z1) -> le(encArg(z0), encArg(z1))
   encode_0 -> 0
   encode_true -> true
   encode_s(z0) -> s(encArg(z0))
   encode_false -> false
   encode_pred(z0) -> pred(encArg(z0))
   encode_minus(z0, z1) -> minus(encArg(z0), encArg(z1))
   encode_mod(z0, z1) -> mod(encArg(z0), encArg(z1))
   encode_if_mod(z0, z1, z2) -> if_mod(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))
   le(0, z0) -> true
   le(s(z0), 0) -> false
   le(s(z0), s(z1)) -> le(z0, z1)
   pred(s(z0)) -> z0
   minus(z0, 0) -> z0
   minus(z0, s(z1)) -> pred(minus(z0, z1))
   mod(0, z0) -> 0
   mod(s(z0), 0) -> 0
   mod(s(z0), s(z1)) -> if_mod(le(z1, z0), s(z0), s(z1))
   if_mod(true, s(z0), s(z1)) -> mod(minus(z0, z1), s(z1))
   if_mod(false, s(z0), s(z1)) -> s(z0)
Tuples:
   ENCARG(s(z0)) -> c2(ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_le(z0, z1)) -> c4(LE(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_pred(z0)) -> c5(PRED(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_minus(z0, z1)) -> c6(MINUS(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_mod(z0, z1)) -> c7(MOD(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_if_mod(z0, z1, z2)) -> c8(IF_MOD(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2))
   ENCODE_LE(z0, z1) -> c9(LE(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCODE_PRED(z0) -> c14(PRED(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCODE_MINUS(z0, z1) -> c15(MINUS(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCODE_MOD(z0, z1) -> c16(MOD(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCODE_IF_MOD(z0, z1, z2) -> c17(IF_MOD(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2))
   LE(0, z0) -> c18
   LE(s(z0), 0) -> c19
   LE(s(z0), s(z1)) -> c20(LE(z0, z1))
   PRED(s(z0)) -> c21
   MINUS(z0, 0) -> c22
   MINUS(z0, s(z1)) -> c23(PRED(minus(z0, z1)), MINUS(z0, z1))
   MOD(0, z0) -> c24
   MOD(s(z0), 0) -> c25
   MOD(s(z0), s(z1)) -> c26(IF_MOD(le(z1, z0), s(z0), s(z1)), LE(z1, z0))
   IF_MOD(true, s(z0), s(z1)) -> c27(MOD(minus(z0, z1), s(z1)), MINUS(z0, z1))
   IF_MOD(false, s(z0), s(z1)) -> c28
S tuples:
   LE(0, z0) -> c18
   LE(s(z0), 0) -> c19
   LE(s(z0), s(z1)) -> c20(LE(z0, z1))
   PRED(s(z0)) -> c21
   MINUS(z0, 0) -> c22
   MINUS(z0, s(z1)) -> c23(PRED(minus(z0, z1)), MINUS(z0, z1))
   MOD(0, z0) -> c24
   MOD(s(z0), 0) -> c25
   MOD(s(z0), s(z1)) -> c26(IF_MOD(le(z1, z0), s(z0), s(z1)), LE(z1, z0))
   IF_MOD(true, s(z0), s(z1)) -> c27(MOD(minus(z0, z1), s(z1)), MINUS(z0, z1))
   IF_MOD(false, s(z0), s(z1)) -> c28
K tuples:none
Defined Rule Symbols:   le_2, pred_1, minus_2, mod_2, if_mod_3, encArg_1, encode_le_2, encode_0, encode_true, encode_s_1, encode_false, encode_pred_1, encode_minus_2, encode_mod_2, encode_if_mod_3

Defined Pair Symbols:   ENCARG_1, ENCODE_LE_2, ENCODE_PRED_1, ENCODE_MINUS_2, ENCODE_MOD_2, ENCODE_IF_MOD_3, LE_2, PRED_1, MINUS_2, MOD_2, IF_MOD_3

Compound Symbols:   c2_1, c4_3, c5_2, c6_3, c7_3, c8_4, c9_3, c14_2, c15_3, c16_3, c17_4, c18, c19, c20_1, c21, c22, c23_2, c24, c25, c26_2, c27_2, c28


----------------------------------------

(9) CdtGraphSplitRhsProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
Split RHS of tuples not part of any SCC
----------------------------------------

(10)
Obligation:
Complexity Dependency Tuples Problem

Rules:
   encArg(0) -> 0
   encArg(true) -> true
   encArg(s(z0)) -> s(encArg(z0))
   encArg(false) -> false
   encArg(cons_le(z0, z1)) -> le(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_pred(z0)) -> pred(encArg(z0))
   encArg(cons_minus(z0, z1)) -> minus(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_mod(z0, z1)) -> mod(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_if_mod(z0, z1, z2)) -> if_mod(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))
   encode_le(z0, z1) -> le(encArg(z0), encArg(z1))
   encode_0 -> 0
   encode_true -> true
   encode_s(z0) -> s(encArg(z0))
   encode_false -> false
   encode_pred(z0) -> pred(encArg(z0))
   encode_minus(z0, z1) -> minus(encArg(z0), encArg(z1))
   encode_mod(z0, z1) -> mod(encArg(z0), encArg(z1))
   encode_if_mod(z0, z1, z2) -> if_mod(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))
   le(0, z0) -> true
   le(s(z0), 0) -> false
   le(s(z0), s(z1)) -> le(z0, z1)
   pred(s(z0)) -> z0
   minus(z0, 0) -> z0
   minus(z0, s(z1)) -> pred(minus(z0, z1))
   mod(0, z0) -> 0
   mod(s(z0), 0) -> 0
   mod(s(z0), s(z1)) -> if_mod(le(z1, z0), s(z0), s(z1))
   if_mod(true, s(z0), s(z1)) -> mod(minus(z0, z1), s(z1))
   if_mod(false, s(z0), s(z1)) -> s(z0)
Tuples:
   ENCARG(s(z0)) -> c2(ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_le(z0, z1)) -> c4(LE(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_pred(z0)) -> c5(PRED(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_minus(z0, z1)) -> c6(MINUS(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_mod(z0, z1)) -> c7(MOD(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_if_mod(z0, z1, z2)) -> c8(IF_MOD(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2))
   LE(0, z0) -> c18
   LE(s(z0), 0) -> c19
   LE(s(z0), s(z1)) -> c20(LE(z0, z1))
   PRED(s(z0)) -> c21
   MINUS(z0, 0) -> c22
   MINUS(z0, s(z1)) -> c23(PRED(minus(z0, z1)), MINUS(z0, z1))
   MOD(0, z0) -> c24
   MOD(s(z0), 0) -> c25
   MOD(s(z0), s(z1)) -> c26(IF_MOD(le(z1, z0), s(z0), s(z1)), LE(z1, z0))
   IF_MOD(true, s(z0), s(z1)) -> c27(MOD(minus(z0, z1), s(z1)), MINUS(z0, z1))
   IF_MOD(false, s(z0), s(z1)) -> c28
   ENCODE_LE(z0, z1) -> c(LE(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_LE(z0, z1) -> c(ENCARG(z0))
   ENCODE_LE(z0, z1) -> c(ENCARG(z1))
   ENCODE_PRED(z0) -> c(PRED(encArg(z0)))
   ENCODE_PRED(z0) -> c(ENCARG(z0))
   ENCODE_MINUS(z0, z1) -> c(MINUS(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_MINUS(z0, z1) -> c(ENCARG(z0))
   ENCODE_MINUS(z0, z1) -> c(ENCARG(z1))
   ENCODE_MOD(z0, z1) -> c(MOD(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_MOD(z0, z1) -> c(ENCARG(z0))
   ENCODE_MOD(z0, z1) -> c(ENCARG(z1))
   ENCODE_IF_MOD(z0, z1, z2) -> c(IF_MOD(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)))
   ENCODE_IF_MOD(z0, z1, z2) -> c(ENCARG(z0))
   ENCODE_IF_MOD(z0, z1, z2) -> c(ENCARG(z1))
   ENCODE_IF_MOD(z0, z1, z2) -> c(ENCARG(z2))
S tuples:
   LE(0, z0) -> c18
   LE(s(z0), 0) -> c19
   LE(s(z0), s(z1)) -> c20(LE(z0, z1))
   PRED(s(z0)) -> c21
   MINUS(z0, 0) -> c22
   MINUS(z0, s(z1)) -> c23(PRED(minus(z0, z1)), MINUS(z0, z1))
   MOD(0, z0) -> c24
   MOD(s(z0), 0) -> c25
   MOD(s(z0), s(z1)) -> c26(IF_MOD(le(z1, z0), s(z0), s(z1)), LE(z1, z0))
   IF_MOD(true, s(z0), s(z1)) -> c27(MOD(minus(z0, z1), s(z1)), MINUS(z0, z1))
   IF_MOD(false, s(z0), s(z1)) -> c28
K tuples:none
Defined Rule Symbols:   le_2, pred_1, minus_2, mod_2, if_mod_3, encArg_1, encode_le_2, encode_0, encode_true, encode_s_1, encode_false, encode_pred_1, encode_minus_2, encode_mod_2, encode_if_mod_3

Defined Pair Symbols:   ENCARG_1, LE_2, PRED_1, MINUS_2, MOD_2, IF_MOD_3, ENCODE_LE_2, ENCODE_PRED_1, ENCODE_MINUS_2, ENCODE_MOD_2, ENCODE_IF_MOD_3

Compound Symbols:   c2_1, c4_3, c5_2, c6_3, c7_3, c8_4, c18, c19, c20_1, c21, c22, c23_2, c24, c25, c26_2, c27_2, c28, c_1


----------------------------------------

(11) CdtLeafRemovalProof (ComplexityIfPolyImplication)
Removed 10 leading nodes:
   ENCODE_LE(z0, z1) -> c(ENCARG(z0))
   ENCODE_LE(z0, z1) -> c(ENCARG(z1))
   ENCODE_PRED(z0) -> c(ENCARG(z0))
   ENCODE_MINUS(z0, z1) -> c(ENCARG(z0))
   ENCODE_MINUS(z0, z1) -> c(ENCARG(z1))
   ENCODE_MOD(z0, z1) -> c(ENCARG(z0))
   ENCODE_MOD(z0, z1) -> c(ENCARG(z1))
   ENCODE_IF_MOD(z0, z1, z2) -> c(ENCARG(z0))
   ENCODE_IF_MOD(z0, z1, z2) -> c(ENCARG(z1))
   ENCODE_IF_MOD(z0, z1, z2) -> c(ENCARG(z2))

----------------------------------------

(12)
Obligation:
Complexity Dependency Tuples Problem

Rules:
   encArg(0) -> 0
   encArg(true) -> true
   encArg(s(z0)) -> s(encArg(z0))
   encArg(false) -> false
   encArg(cons_le(z0, z1)) -> le(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_pred(z0)) -> pred(encArg(z0))
   encArg(cons_minus(z0, z1)) -> minus(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_mod(z0, z1)) -> mod(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_if_mod(z0, z1, z2)) -> if_mod(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))
   encode_le(z0, z1) -> le(encArg(z0), encArg(z1))
   encode_0 -> 0
   encode_true -> true
   encode_s(z0) -> s(encArg(z0))
   encode_false -> false
   encode_pred(z0) -> pred(encArg(z0))
   encode_minus(z0, z1) -> minus(encArg(z0), encArg(z1))
   encode_mod(z0, z1) -> mod(encArg(z0), encArg(z1))
   encode_if_mod(z0, z1, z2) -> if_mod(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))
   le(0, z0) -> true
   le(s(z0), 0) -> false
   le(s(z0), s(z1)) -> le(z0, z1)
   pred(s(z0)) -> z0
   minus(z0, 0) -> z0
   minus(z0, s(z1)) -> pred(minus(z0, z1))
   mod(0, z0) -> 0
   mod(s(z0), 0) -> 0
   mod(s(z0), s(z1)) -> if_mod(le(z1, z0), s(z0), s(z1))
   if_mod(true, s(z0), s(z1)) -> mod(minus(z0, z1), s(z1))
   if_mod(false, s(z0), s(z1)) -> s(z0)
Tuples:
   ENCARG(s(z0)) -> c2(ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_le(z0, z1)) -> c4(LE(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_pred(z0)) -> c5(PRED(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_minus(z0, z1)) -> c6(MINUS(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_mod(z0, z1)) -> c7(MOD(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_if_mod(z0, z1, z2)) -> c8(IF_MOD(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2))
   LE(0, z0) -> c18
   LE(s(z0), 0) -> c19
   LE(s(z0), s(z1)) -> c20(LE(z0, z1))
   PRED(s(z0)) -> c21
   MINUS(z0, 0) -> c22
   MINUS(z0, s(z1)) -> c23(PRED(minus(z0, z1)), MINUS(z0, z1))
   MOD(0, z0) -> c24
   MOD(s(z0), 0) -> c25
   MOD(s(z0), s(z1)) -> c26(IF_MOD(le(z1, z0), s(z0), s(z1)), LE(z1, z0))
   IF_MOD(true, s(z0), s(z1)) -> c27(MOD(minus(z0, z1), s(z1)), MINUS(z0, z1))
   IF_MOD(false, s(z0), s(z1)) -> c28
   ENCODE_LE(z0, z1) -> c(LE(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_PRED(z0) -> c(PRED(encArg(z0)))
   ENCODE_MINUS(z0, z1) -> c(MINUS(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_MOD(z0, z1) -> c(MOD(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_IF_MOD(z0, z1, z2) -> c(IF_MOD(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)))
S tuples:
   LE(0, z0) -> c18
   LE(s(z0), 0) -> c19
   LE(s(z0), s(z1)) -> c20(LE(z0, z1))
   PRED(s(z0)) -> c21
   MINUS(z0, 0) -> c22
   MINUS(z0, s(z1)) -> c23(PRED(minus(z0, z1)), MINUS(z0, z1))
   MOD(0, z0) -> c24
   MOD(s(z0), 0) -> c25
   MOD(s(z0), s(z1)) -> c26(IF_MOD(le(z1, z0), s(z0), s(z1)), LE(z1, z0))
   IF_MOD(true, s(z0), s(z1)) -> c27(MOD(minus(z0, z1), s(z1)), MINUS(z0, z1))
   IF_MOD(false, s(z0), s(z1)) -> c28
K tuples:none
Defined Rule Symbols:   le_2, pred_1, minus_2, mod_2, if_mod_3, encArg_1, encode_le_2, encode_0, encode_true, encode_s_1, encode_false, encode_pred_1, encode_minus_2, encode_mod_2, encode_if_mod_3

Defined Pair Symbols:   ENCARG_1, LE_2, PRED_1, MINUS_2, MOD_2, IF_MOD_3, ENCODE_LE_2, ENCODE_PRED_1, ENCODE_MINUS_2, ENCODE_MOD_2, ENCODE_IF_MOD_3

Compound Symbols:   c2_1, c4_3, c5_2, c6_3, c7_3, c8_4, c18, c19, c20_1, c21, c22, c23_2, c24, c25, c26_2, c27_2, c28, c_1


----------------------------------------

(13) CdtUsableRulesProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
The following rules are not usable and were removed:
   encode_le(z0, z1) -> le(encArg(z0), encArg(z1))
   encode_0 -> 0
   encode_true -> true
   encode_s(z0) -> s(encArg(z0))
   encode_false -> false
   encode_pred(z0) -> pred(encArg(z0))
   encode_minus(z0, z1) -> minus(encArg(z0), encArg(z1))
   encode_mod(z0, z1) -> mod(encArg(z0), encArg(z1))
   encode_if_mod(z0, z1, z2) -> if_mod(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))

----------------------------------------

(14)
Obligation:
Complexity Dependency Tuples Problem

Rules:
   encArg(0) -> 0
   encArg(true) -> true
   encArg(s(z0)) -> s(encArg(z0))
   encArg(false) -> false
   encArg(cons_le(z0, z1)) -> le(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_pred(z0)) -> pred(encArg(z0))
   encArg(cons_minus(z0, z1)) -> minus(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_mod(z0, z1)) -> mod(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_if_mod(z0, z1, z2)) -> if_mod(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))
   le(0, z0) -> true
   le(s(z0), 0) -> false
   le(s(z0), s(z1)) -> le(z0, z1)
   pred(s(z0)) -> z0
   minus(z0, 0) -> z0
   minus(z0, s(z1)) -> pred(minus(z0, z1))
   mod(0, z0) -> 0
   mod(s(z0), 0) -> 0
   mod(s(z0), s(z1)) -> if_mod(le(z1, z0), s(z0), s(z1))
   if_mod(true, s(z0), s(z1)) -> mod(minus(z0, z1), s(z1))
   if_mod(false, s(z0), s(z1)) -> s(z0)
Tuples:
   ENCARG(s(z0)) -> c2(ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_le(z0, z1)) -> c4(LE(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_pred(z0)) -> c5(PRED(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_minus(z0, z1)) -> c6(MINUS(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_mod(z0, z1)) -> c7(MOD(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_if_mod(z0, z1, z2)) -> c8(IF_MOD(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2))
   LE(0, z0) -> c18
   LE(s(z0), 0) -> c19
   LE(s(z0), s(z1)) -> c20(LE(z0, z1))
   PRED(s(z0)) -> c21
   MINUS(z0, 0) -> c22
   MINUS(z0, s(z1)) -> c23(PRED(minus(z0, z1)), MINUS(z0, z1))
   MOD(0, z0) -> c24
   MOD(s(z0), 0) -> c25
   MOD(s(z0), s(z1)) -> c26(IF_MOD(le(z1, z0), s(z0), s(z1)), LE(z1, z0))
   IF_MOD(true, s(z0), s(z1)) -> c27(MOD(minus(z0, z1), s(z1)), MINUS(z0, z1))
   IF_MOD(false, s(z0), s(z1)) -> c28
   ENCODE_LE(z0, z1) -> c(LE(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_PRED(z0) -> c(PRED(encArg(z0)))
   ENCODE_MINUS(z0, z1) -> c(MINUS(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_MOD(z0, z1) -> c(MOD(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_IF_MOD(z0, z1, z2) -> c(IF_MOD(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)))
S tuples:
   LE(0, z0) -> c18
   LE(s(z0), 0) -> c19
   LE(s(z0), s(z1)) -> c20(LE(z0, z1))
   PRED(s(z0)) -> c21
   MINUS(z0, 0) -> c22
   MINUS(z0, s(z1)) -> c23(PRED(minus(z0, z1)), MINUS(z0, z1))
   MOD(0, z0) -> c24
   MOD(s(z0), 0) -> c25
   MOD(s(z0), s(z1)) -> c26(IF_MOD(le(z1, z0), s(z0), s(z1)), LE(z1, z0))
   IF_MOD(true, s(z0), s(z1)) -> c27(MOD(minus(z0, z1), s(z1)), MINUS(z0, z1))
   IF_MOD(false, s(z0), s(z1)) -> c28
K tuples:none
Defined Rule Symbols:   encArg_1, le_2, pred_1, minus_2, mod_2, if_mod_3

Defined Pair Symbols:   ENCARG_1, LE_2, PRED_1, MINUS_2, MOD_2, IF_MOD_3, ENCODE_LE_2, ENCODE_PRED_1, ENCODE_MINUS_2, ENCODE_MOD_2, ENCODE_IF_MOD_3

Compound Symbols:   c2_1, c4_3, c5_2, c6_3, c7_3, c8_4, c18, c19, c20_1, c21, c22, c23_2, c24, c25, c26_2, c27_2, c28, c_1


----------------------------------------

(15) CdtRuleRemovalProof (UPPER BOUND(ADD(n^1)))
Found a reduction pair which oriented the following tuples strictly. Hence they can be removed from S.
   MOD(0, z0) -> c24
   MOD(s(z0), 0) -> c25
   IF_MOD(false, s(z0), s(z1)) -> c28
We considered the (Usable) Rules:none
And the Tuples:
   ENCARG(s(z0)) -> c2(ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_le(z0, z1)) -> c4(LE(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_pred(z0)) -> c5(PRED(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_minus(z0, z1)) -> c6(MINUS(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_mod(z0, z1)) -> c7(MOD(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_if_mod(z0, z1, z2)) -> c8(IF_MOD(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2))
   LE(0, z0) -> c18
   LE(s(z0), 0) -> c19
   LE(s(z0), s(z1)) -> c20(LE(z0, z1))
   PRED(s(z0)) -> c21
   MINUS(z0, 0) -> c22
   MINUS(z0, s(z1)) -> c23(PRED(minus(z0, z1)), MINUS(z0, z1))
   MOD(0, z0) -> c24
   MOD(s(z0), 0) -> c25
   MOD(s(z0), s(z1)) -> c26(IF_MOD(le(z1, z0), s(z0), s(z1)), LE(z1, z0))
   IF_MOD(true, s(z0), s(z1)) -> c27(MOD(minus(z0, z1), s(z1)), MINUS(z0, z1))
   IF_MOD(false, s(z0), s(z1)) -> c28
   ENCODE_LE(z0, z1) -> c(LE(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_PRED(z0) -> c(PRED(encArg(z0)))
   ENCODE_MINUS(z0, z1) -> c(MINUS(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_MOD(z0, z1) -> c(MOD(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_IF_MOD(z0, z1, z2) -> c(IF_MOD(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)))
The order we found is given by the following interpretation:

Polynomial interpretation :

   POL(0) = 0
   POL(ENCARG(x_1)) = x_1
   POL(ENCODE_IF_MOD(x_1, x_2, x_3)) = [1]
   POL(ENCODE_LE(x_1, x_2)) = 0
   POL(ENCODE_MINUS(x_1, x_2)) = 0
   POL(ENCODE_MOD(x_1, x_2)) = [1] + x_2
   POL(ENCODE_PRED(x_1)) = 0
   POL(IF_MOD(x_1, x_2, x_3)) = [1]
   POL(LE(x_1, x_2)) = 0
   POL(MINUS(x_1, x_2)) = 0
   POL(MOD(x_1, x_2)) = [1]
   POL(PRED(x_1)) = 0
   POL(c(x_1)) = x_1
   POL(c18) = 0
   POL(c19) = 0
   POL(c2(x_1)) = x_1
   POL(c20(x_1)) = x_1
   POL(c21) = 0
   POL(c22) = 0
   POL(c23(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(c24) = 0
   POL(c25) = 0
   POL(c26(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(c27(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(c28) = 0
   POL(c4(x_1, x_2, x_3)) = x_1 + x_2 + x_3
   POL(c5(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(c6(x_1, x_2, x_3)) = x_1 + x_2 + x_3
   POL(c7(x_1, x_2, x_3)) = x_1 + x_2 + x_3
   POL(c8(x_1, x_2, x_3, x_4)) = x_1 + x_2 + x_3 + x_4
   POL(cons_if_mod(x_1, x_2, x_3)) = [1] + x_1 + x_2 + x_3
   POL(cons_le(x_1, x_2)) = [1] + x_1 + x_2
   POL(cons_minus(x_1, x_2)) = [1] + x_1 + x_2
   POL(cons_mod(x_1, x_2)) = [1] + x_1 + x_2
   POL(cons_pred(x_1)) = [1] + x_1
   POL(encArg(x_1)) = [1] + x_1
   POL(false) = 0
   POL(if_mod(x_1, x_2, x_3)) = [1] + x_1 + x_2 + x_3
   POL(le(x_1, x_2)) = 0
   POL(minus(x_1, x_2)) = x_2
   POL(mod(x_1, x_2)) = [1] + x_1 + x_2
   POL(pred(x_1)) = [1] + x_1
   POL(s(x_1)) = x_1
   POL(true) = 0

----------------------------------------

(16)
Obligation:
Complexity Dependency Tuples Problem

Rules:
   encArg(0) -> 0
   encArg(true) -> true
   encArg(s(z0)) -> s(encArg(z0))
   encArg(false) -> false
   encArg(cons_le(z0, z1)) -> le(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_pred(z0)) -> pred(encArg(z0))
   encArg(cons_minus(z0, z1)) -> minus(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_mod(z0, z1)) -> mod(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_if_mod(z0, z1, z2)) -> if_mod(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))
   le(0, z0) -> true
   le(s(z0), 0) -> false
   le(s(z0), s(z1)) -> le(z0, z1)
   pred(s(z0)) -> z0
   minus(z0, 0) -> z0
   minus(z0, s(z1)) -> pred(minus(z0, z1))
   mod(0, z0) -> 0
   mod(s(z0), 0) -> 0
   mod(s(z0), s(z1)) -> if_mod(le(z1, z0), s(z0), s(z1))
   if_mod(true, s(z0), s(z1)) -> mod(minus(z0, z1), s(z1))
   if_mod(false, s(z0), s(z1)) -> s(z0)
Tuples:
   ENCARG(s(z0)) -> c2(ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_le(z0, z1)) -> c4(LE(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_pred(z0)) -> c5(PRED(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_minus(z0, z1)) -> c6(MINUS(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_mod(z0, z1)) -> c7(MOD(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_if_mod(z0, z1, z2)) -> c8(IF_MOD(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2))
   LE(0, z0) -> c18
   LE(s(z0), 0) -> c19
   LE(s(z0), s(z1)) -> c20(LE(z0, z1))
   PRED(s(z0)) -> c21
   MINUS(z0, 0) -> c22
   MINUS(z0, s(z1)) -> c23(PRED(minus(z0, z1)), MINUS(z0, z1))
   MOD(0, z0) -> c24
   MOD(s(z0), 0) -> c25
   MOD(s(z0), s(z1)) -> c26(IF_MOD(le(z1, z0), s(z0), s(z1)), LE(z1, z0))
   IF_MOD(true, s(z0), s(z1)) -> c27(MOD(minus(z0, z1), s(z1)), MINUS(z0, z1))
   IF_MOD(false, s(z0), s(z1)) -> c28
   ENCODE_LE(z0, z1) -> c(LE(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_PRED(z0) -> c(PRED(encArg(z0)))
   ENCODE_MINUS(z0, z1) -> c(MINUS(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_MOD(z0, z1) -> c(MOD(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_IF_MOD(z0, z1, z2) -> c(IF_MOD(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)))
S tuples:
   LE(0, z0) -> c18
   LE(s(z0), 0) -> c19
   LE(s(z0), s(z1)) -> c20(LE(z0, z1))
   PRED(s(z0)) -> c21
   MINUS(z0, 0) -> c22
   MINUS(z0, s(z1)) -> c23(PRED(minus(z0, z1)), MINUS(z0, z1))
   MOD(s(z0), s(z1)) -> c26(IF_MOD(le(z1, z0), s(z0), s(z1)), LE(z1, z0))
   IF_MOD(true, s(z0), s(z1)) -> c27(MOD(minus(z0, z1), s(z1)), MINUS(z0, z1))
K tuples:
   MOD(0, z0) -> c24
   MOD(s(z0), 0) -> c25
   IF_MOD(false, s(z0), s(z1)) -> c28
Defined Rule Symbols:   encArg_1, le_2, pred_1, minus_2, mod_2, if_mod_3

Defined Pair Symbols:   ENCARG_1, LE_2, PRED_1, MINUS_2, MOD_2, IF_MOD_3, ENCODE_LE_2, ENCODE_PRED_1, ENCODE_MINUS_2, ENCODE_MOD_2, ENCODE_IF_MOD_3

Compound Symbols:   c2_1, c4_3, c5_2, c6_3, c7_3, c8_4, c18, c19, c20_1, c21, c22, c23_2, c24, c25, c26_2, c27_2, c28, c_1


----------------------------------------

(17) CdtRuleRemovalProof (UPPER BOUND(ADD(n^2)))
Found a reduction pair which oriented the following tuples strictly. Hence they can be removed from S.
   MINUS(z0, 0) -> c22
   IF_MOD(true, s(z0), s(z1)) -> c27(MOD(minus(z0, z1), s(z1)), MINUS(z0, z1))
We considered the (Usable) Rules:
   le(s(z0), s(z1)) -> le(z0, z1)
   le(s(z0), 0) -> false
   if_mod(false, s(z0), s(z1)) -> s(z0)
   encArg(cons_pred(z0)) -> pred(encArg(z0))
   encArg(0) -> 0
   encArg(true) -> true
   encArg(cons_le(z0, z1)) -> le(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_minus(z0, z1)) -> minus(encArg(z0), encArg(z1))
   pred(s(z0)) -> z0
   encArg(s(z0)) -> s(encArg(z0))
   encArg(false) -> false
   encArg(cons_if_mod(z0, z1, z2)) -> if_mod(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))
   mod(s(z0), s(z1)) -> if_mod(le(z1, z0), s(z0), s(z1))
   minus(z0, s(z1)) -> pred(minus(z0, z1))
   mod(0, z0) -> 0
   if_mod(true, s(z0), s(z1)) -> mod(minus(z0, z1), s(z1))
   encArg(cons_mod(z0, z1)) -> mod(encArg(z0), encArg(z1))
   le(0, z0) -> true
   mod(s(z0), 0) -> 0
   minus(z0, 0) -> z0
And the Tuples:
   ENCARG(s(z0)) -> c2(ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_le(z0, z1)) -> c4(LE(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_pred(z0)) -> c5(PRED(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_minus(z0, z1)) -> c6(MINUS(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_mod(z0, z1)) -> c7(MOD(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_if_mod(z0, z1, z2)) -> c8(IF_MOD(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2))
   LE(0, z0) -> c18
   LE(s(z0), 0) -> c19
   LE(s(z0), s(z1)) -> c20(LE(z0, z1))
   PRED(s(z0)) -> c21
   MINUS(z0, 0) -> c22
   MINUS(z0, s(z1)) -> c23(PRED(minus(z0, z1)), MINUS(z0, z1))
   MOD(0, z0) -> c24
   MOD(s(z0), 0) -> c25
   MOD(s(z0), s(z1)) -> c26(IF_MOD(le(z1, z0), s(z0), s(z1)), LE(z1, z0))
   IF_MOD(true, s(z0), s(z1)) -> c27(MOD(minus(z0, z1), s(z1)), MINUS(z0, z1))
   IF_MOD(false, s(z0), s(z1)) -> c28
   ENCODE_LE(z0, z1) -> c(LE(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_PRED(z0) -> c(PRED(encArg(z0)))
   ENCODE_MINUS(z0, z1) -> c(MINUS(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_MOD(z0, z1) -> c(MOD(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_IF_MOD(z0, z1, z2) -> c(IF_MOD(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)))
The order we found is given by the following interpretation:

Polynomial interpretation :

   POL(0) = 0
   POL(ENCARG(x_1)) = [2] + x_1^2
   POL(ENCODE_IF_MOD(x_1, x_2, x_3)) = [1] + [2]x_1 + [2]x_2 + x_3 + x_3^2 + [2]x_2*x_3 + x_1*x_3 + x_1^2 + [2]x_1*x_2 + [2]x_2^2
   POL(ENCODE_LE(x_1, x_2)) = [1] + [2]x_2 + x_2^2 + x_1*x_2 + x_1^2
   POL(ENCODE_MINUS(x_1, x_2)) = [2] + [2]x_1 + [2]x_2 + [2]x_2^2 + [2]x_1*x_2 + [2]x_1^2
   POL(ENCODE_MOD(x_1, x_2)) = [1] + [2]x_1 + [2]x_2 + x_2^2 + x_1*x_2 + x_1^2
   POL(ENCODE_PRED(x_1)) = [2] + [2]x_1 + x_1^2
   POL(IF_MOD(x_1, x_2, x_3)) = x_2*x_3
   POL(LE(x_1, x_2)) = 0
   POL(MINUS(x_1, x_2)) = [2]
   POL(MOD(x_1, x_2)) = x_1*x_2
   POL(PRED(x_1)) = 0
   POL(c(x_1)) = x_1
   POL(c18) = 0
   POL(c19) = 0
   POL(c2(x_1)) = x_1
   POL(c20(x_1)) = x_1
   POL(c21) = 0
   POL(c22) = 0
   POL(c23(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(c24) = 0
   POL(c25) = 0
   POL(c26(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(c27(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(c28) = 0
   POL(c4(x_1, x_2, x_3)) = x_1 + x_2 + x_3
   POL(c5(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(c6(x_1, x_2, x_3)) = x_1 + x_2 + x_3
   POL(c7(x_1, x_2, x_3)) = x_1 + x_2 + x_3
   POL(c8(x_1, x_2, x_3, x_4)) = x_1 + x_2 + x_3 + x_4
   POL(cons_if_mod(x_1, x_2, x_3)) = [2] + x_1 + x_2 + x_3
   POL(cons_le(x_1, x_2)) = [2] + x_1 + x_2
   POL(cons_minus(x_1, x_2)) = [2] + x_1 + x_2
   POL(cons_mod(x_1, x_2)) = [2] + x_1 + x_2
   POL(cons_pred(x_1)) = x_1
   POL(encArg(x_1)) = x_1
   POL(false) = 0
   POL(if_mod(x_1, x_2, x_3)) = x_2
   POL(le(x_1, x_2)) = 0
   POL(minus(x_1, x_2)) = x_1
   POL(mod(x_1, x_2)) = x_1
   POL(pred(x_1)) = x_1
   POL(s(x_1)) = [2] + x_1
   POL(true) = 0

----------------------------------------

(18)
Obligation:
Complexity Dependency Tuples Problem

Rules:
   encArg(0) -> 0
   encArg(true) -> true
   encArg(s(z0)) -> s(encArg(z0))
   encArg(false) -> false
   encArg(cons_le(z0, z1)) -> le(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_pred(z0)) -> pred(encArg(z0))
   encArg(cons_minus(z0, z1)) -> minus(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_mod(z0, z1)) -> mod(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_if_mod(z0, z1, z2)) -> if_mod(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))
   le(0, z0) -> true
   le(s(z0), 0) -> false
   le(s(z0), s(z1)) -> le(z0, z1)
   pred(s(z0)) -> z0
   minus(z0, 0) -> z0
   minus(z0, s(z1)) -> pred(minus(z0, z1))
   mod(0, z0) -> 0
   mod(s(z0), 0) -> 0
   mod(s(z0), s(z1)) -> if_mod(le(z1, z0), s(z0), s(z1))
   if_mod(true, s(z0), s(z1)) -> mod(minus(z0, z1), s(z1))
   if_mod(false, s(z0), s(z1)) -> s(z0)
Tuples:
   ENCARG(s(z0)) -> c2(ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_le(z0, z1)) -> c4(LE(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_pred(z0)) -> c5(PRED(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_minus(z0, z1)) -> c6(MINUS(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_mod(z0, z1)) -> c7(MOD(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_if_mod(z0, z1, z2)) -> c8(IF_MOD(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2))
   LE(0, z0) -> c18
   LE(s(z0), 0) -> c19
   LE(s(z0), s(z1)) -> c20(LE(z0, z1))
   PRED(s(z0)) -> c21
   MINUS(z0, 0) -> c22
   MINUS(z0, s(z1)) -> c23(PRED(minus(z0, z1)), MINUS(z0, z1))
   MOD(0, z0) -> c24
   MOD(s(z0), 0) -> c25
   MOD(s(z0), s(z1)) -> c26(IF_MOD(le(z1, z0), s(z0), s(z1)), LE(z1, z0))
   IF_MOD(true, s(z0), s(z1)) -> c27(MOD(minus(z0, z1), s(z1)), MINUS(z0, z1))
   IF_MOD(false, s(z0), s(z1)) -> c28
   ENCODE_LE(z0, z1) -> c(LE(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_PRED(z0) -> c(PRED(encArg(z0)))
   ENCODE_MINUS(z0, z1) -> c(MINUS(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_MOD(z0, z1) -> c(MOD(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_IF_MOD(z0, z1, z2) -> c(IF_MOD(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)))
S tuples:
   LE(0, z0) -> c18
   LE(s(z0), 0) -> c19
   LE(s(z0), s(z1)) -> c20(LE(z0, z1))
   PRED(s(z0)) -> c21
   MINUS(z0, s(z1)) -> c23(PRED(minus(z0, z1)), MINUS(z0, z1))
   MOD(s(z0), s(z1)) -> c26(IF_MOD(le(z1, z0), s(z0), s(z1)), LE(z1, z0))
K tuples:
   MOD(0, z0) -> c24
   MOD(s(z0), 0) -> c25
   IF_MOD(false, s(z0), s(z1)) -> c28
   MINUS(z0, 0) -> c22
   IF_MOD(true, s(z0), s(z1)) -> c27(MOD(minus(z0, z1), s(z1)), MINUS(z0, z1))
Defined Rule Symbols:   encArg_1, le_2, pred_1, minus_2, mod_2, if_mod_3

Defined Pair Symbols:   ENCARG_1, LE_2, PRED_1, MINUS_2, MOD_2, IF_MOD_3, ENCODE_LE_2, ENCODE_PRED_1, ENCODE_MINUS_2, ENCODE_MOD_2, ENCODE_IF_MOD_3

Compound Symbols:   c2_1, c4_3, c5_2, c6_3, c7_3, c8_4, c18, c19, c20_1, c21, c22, c23_2, c24, c25, c26_2, c27_2, c28, c_1


----------------------------------------

(19) CdtRuleRemovalProof (UPPER BOUND(ADD(n^2)))
Found a reduction pair which oriented the following tuples strictly. Hence they can be removed from S.
   MOD(s(z0), s(z1)) -> c26(IF_MOD(le(z1, z0), s(z0), s(z1)), LE(z1, z0))
We considered the (Usable) Rules:
   le(s(z0), s(z1)) -> le(z0, z1)
   le(s(z0), 0) -> false
   if_mod(false, s(z0), s(z1)) -> s(z0)
   encArg(cons_pred(z0)) -> pred(encArg(z0))
   encArg(0) -> 0
   encArg(true) -> true
   encArg(cons_le(z0, z1)) -> le(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_minus(z0, z1)) -> minus(encArg(z0), encArg(z1))
   pred(s(z0)) -> z0
   encArg(s(z0)) -> s(encArg(z0))
   encArg(false) -> false
   encArg(cons_if_mod(z0, z1, z2)) -> if_mod(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))
   mod(s(z0), s(z1)) -> if_mod(le(z1, z0), s(z0), s(z1))
   minus(z0, s(z1)) -> pred(minus(z0, z1))
   mod(0, z0) -> 0
   if_mod(true, s(z0), s(z1)) -> mod(minus(z0, z1), s(z1))
   encArg(cons_mod(z0, z1)) -> mod(encArg(z0), encArg(z1))
   le(0, z0) -> true
   mod(s(z0), 0) -> 0
   minus(z0, 0) -> z0
And the Tuples:
   ENCARG(s(z0)) -> c2(ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_le(z0, z1)) -> c4(LE(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_pred(z0)) -> c5(PRED(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_minus(z0, z1)) -> c6(MINUS(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_mod(z0, z1)) -> c7(MOD(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_if_mod(z0, z1, z2)) -> c8(IF_MOD(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2))
   LE(0, z0) -> c18
   LE(s(z0), 0) -> c19
   LE(s(z0), s(z1)) -> c20(LE(z0, z1))
   PRED(s(z0)) -> c21
   MINUS(z0, 0) -> c22
   MINUS(z0, s(z1)) -> c23(PRED(minus(z0, z1)), MINUS(z0, z1))
   MOD(0, z0) -> c24
   MOD(s(z0), 0) -> c25
   MOD(s(z0), s(z1)) -> c26(IF_MOD(le(z1, z0), s(z0), s(z1)), LE(z1, z0))
   IF_MOD(true, s(z0), s(z1)) -> c27(MOD(minus(z0, z1), s(z1)), MINUS(z0, z1))
   IF_MOD(false, s(z0), s(z1)) -> c28
   ENCODE_LE(z0, z1) -> c(LE(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_PRED(z0) -> c(PRED(encArg(z0)))
   ENCODE_MINUS(z0, z1) -> c(MINUS(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_MOD(z0, z1) -> c(MOD(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_IF_MOD(z0, z1, z2) -> c(IF_MOD(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)))
The order we found is given by the following interpretation:

Polynomial interpretation :

   POL(0) = 0
   POL(ENCARG(x_1)) = x_1^2
   POL(ENCODE_IF_MOD(x_1, x_2, x_3)) = [2] + [2]x_1 + x_2 + [2]x_3 + [2]x_3^2 + x_2*x_3 + x_1*x_3 + [2]x_1^2 + x_1*x_2 + [2]x_2^2
   POL(ENCODE_LE(x_1, x_2)) = [2] + [2]x_1 + [2]x_2 + [2]x_2^2 + x_1*x_2 + [2]x_1^2
   POL(ENCODE_MINUS(x_1, x_2)) = [1] + [2]x_1 + x_2 + x_2^2 + x_1*x_2 + [2]x_1^2
   POL(ENCODE_MOD(x_1, x_2)) = [2] + x_1 + [2]x_2 + x_2^2 + [2]x_1*x_2 + [2]x_1^2
   POL(ENCODE_PRED(x_1)) = [2] + [2]x_1 + [2]x_1^2
   POL(IF_MOD(x_1, x_2, x_3)) = x_2
   POL(LE(x_1, x_2)) = 0
   POL(MINUS(x_1, x_2)) = [1]
   POL(MOD(x_1, x_2)) = [1] + x_1
   POL(PRED(x_1)) = 0
   POL(c(x_1)) = x_1
   POL(c18) = 0
   POL(c19) = 0
   POL(c2(x_1)) = x_1
   POL(c20(x_1)) = x_1
   POL(c21) = 0
   POL(c22) = 0
   POL(c23(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(c24) = 0
   POL(c25) = 0
   POL(c26(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(c27(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(c28) = 0
   POL(c4(x_1, x_2, x_3)) = x_1 + x_2 + x_3
   POL(c5(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(c6(x_1, x_2, x_3)) = x_1 + x_2 + x_3
   POL(c7(x_1, x_2, x_3)) = x_1 + x_2 + x_3
   POL(c8(x_1, x_2, x_3, x_4)) = x_1 + x_2 + x_3 + x_4
   POL(cons_if_mod(x_1, x_2, x_3)) = [1] + x_1 + x_2 + x_3
   POL(cons_le(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(cons_minus(x_1, x_2)) = [1] + x_1 + x_2
   POL(cons_mod(x_1, x_2)) = [1] + x_1 + x_2
   POL(cons_pred(x_1)) = x_1
   POL(encArg(x_1)) = x_1
   POL(false) = 0
   POL(if_mod(x_1, x_2, x_3)) = x_2
   POL(le(x_1, x_2)) = 0
   POL(minus(x_1, x_2)) = x_1
   POL(mod(x_1, x_2)) = x_1
   POL(pred(x_1)) = x_1
   POL(s(x_1)) = [2] + x_1
   POL(true) = 0

----------------------------------------

(20)
Obligation:
Complexity Dependency Tuples Problem

Rules:
   encArg(0) -> 0
   encArg(true) -> true
   encArg(s(z0)) -> s(encArg(z0))
   encArg(false) -> false
   encArg(cons_le(z0, z1)) -> le(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_pred(z0)) -> pred(encArg(z0))
   encArg(cons_minus(z0, z1)) -> minus(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_mod(z0, z1)) -> mod(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_if_mod(z0, z1, z2)) -> if_mod(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))
   le(0, z0) -> true
   le(s(z0), 0) -> false
   le(s(z0), s(z1)) -> le(z0, z1)
   pred(s(z0)) -> z0
   minus(z0, 0) -> z0
   minus(z0, s(z1)) -> pred(minus(z0, z1))
   mod(0, z0) -> 0
   mod(s(z0), 0) -> 0
   mod(s(z0), s(z1)) -> if_mod(le(z1, z0), s(z0), s(z1))
   if_mod(true, s(z0), s(z1)) -> mod(minus(z0, z1), s(z1))
   if_mod(false, s(z0), s(z1)) -> s(z0)
Tuples:
   ENCARG(s(z0)) -> c2(ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_le(z0, z1)) -> c4(LE(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_pred(z0)) -> c5(PRED(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_minus(z0, z1)) -> c6(MINUS(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_mod(z0, z1)) -> c7(MOD(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_if_mod(z0, z1, z2)) -> c8(IF_MOD(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2))
   LE(0, z0) -> c18
   LE(s(z0), 0) -> c19
   LE(s(z0), s(z1)) -> c20(LE(z0, z1))
   PRED(s(z0)) -> c21
   MINUS(z0, 0) -> c22
   MINUS(z0, s(z1)) -> c23(PRED(minus(z0, z1)), MINUS(z0, z1))
   MOD(0, z0) -> c24
   MOD(s(z0), 0) -> c25
   MOD(s(z0), s(z1)) -> c26(IF_MOD(le(z1, z0), s(z0), s(z1)), LE(z1, z0))
   IF_MOD(true, s(z0), s(z1)) -> c27(MOD(minus(z0, z1), s(z1)), MINUS(z0, z1))
   IF_MOD(false, s(z0), s(z1)) -> c28
   ENCODE_LE(z0, z1) -> c(LE(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_PRED(z0) -> c(PRED(encArg(z0)))
   ENCODE_MINUS(z0, z1) -> c(MINUS(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_MOD(z0, z1) -> c(MOD(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_IF_MOD(z0, z1, z2) -> c(IF_MOD(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)))
S tuples:
   LE(0, z0) -> c18
   LE(s(z0), 0) -> c19
   LE(s(z0), s(z1)) -> c20(LE(z0, z1))
   PRED(s(z0)) -> c21
   MINUS(z0, s(z1)) -> c23(PRED(minus(z0, z1)), MINUS(z0, z1))
K tuples:
   MOD(0, z0) -> c24
   MOD(s(z0), 0) -> c25
   IF_MOD(false, s(z0), s(z1)) -> c28
   MINUS(z0, 0) -> c22
   IF_MOD(true, s(z0), s(z1)) -> c27(MOD(minus(z0, z1), s(z1)), MINUS(z0, z1))
   MOD(s(z0), s(z1)) -> c26(IF_MOD(le(z1, z0), s(z0), s(z1)), LE(z1, z0))
Defined Rule Symbols:   encArg_1, le_2, pred_1, minus_2, mod_2, if_mod_3

Defined Pair Symbols:   ENCARG_1, LE_2, PRED_1, MINUS_2, MOD_2, IF_MOD_3, ENCODE_LE_2, ENCODE_PRED_1, ENCODE_MINUS_2, ENCODE_MOD_2, ENCODE_IF_MOD_3

Compound Symbols:   c2_1, c4_3, c5_2, c6_3, c7_3, c8_4, c18, c19, c20_1, c21, c22, c23_2, c24, c25, c26_2, c27_2, c28, c_1


----------------------------------------

(21) CdtRuleRemovalProof (UPPER BOUND(ADD(n^2)))
Found a reduction pair which oriented the following tuples strictly. Hence they can be removed from S.
   PRED(s(z0)) -> c21
   MINUS(z0, s(z1)) -> c23(PRED(minus(z0, z1)), MINUS(z0, z1))
We considered the (Usable) Rules:
   le(s(z0), s(z1)) -> le(z0, z1)
   le(s(z0), 0) -> false
   if_mod(false, s(z0), s(z1)) -> s(z0)
   encArg(cons_pred(z0)) -> pred(encArg(z0))
   encArg(0) -> 0
   encArg(true) -> true
   encArg(cons_le(z0, z1)) -> le(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_minus(z0, z1)) -> minus(encArg(z0), encArg(z1))
   pred(s(z0)) -> z0
   encArg(s(z0)) -> s(encArg(z0))
   encArg(false) -> false
   encArg(cons_if_mod(z0, z1, z2)) -> if_mod(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))
   mod(s(z0), s(z1)) -> if_mod(le(z1, z0), s(z0), s(z1))
   minus(z0, s(z1)) -> pred(minus(z0, z1))
   mod(0, z0) -> 0
   if_mod(true, s(z0), s(z1)) -> mod(minus(z0, z1), s(z1))
   encArg(cons_mod(z0, z1)) -> mod(encArg(z0), encArg(z1))
   le(0, z0) -> true
   mod(s(z0), 0) -> 0
   minus(z0, 0) -> z0
And the Tuples:
   ENCARG(s(z0)) -> c2(ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_le(z0, z1)) -> c4(LE(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_pred(z0)) -> c5(PRED(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_minus(z0, z1)) -> c6(MINUS(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_mod(z0, z1)) -> c7(MOD(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_if_mod(z0, z1, z2)) -> c8(IF_MOD(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2))
   LE(0, z0) -> c18
   LE(s(z0), 0) -> c19
   LE(s(z0), s(z1)) -> c20(LE(z0, z1))
   PRED(s(z0)) -> c21
   MINUS(z0, 0) -> c22
   MINUS(z0, s(z1)) -> c23(PRED(minus(z0, z1)), MINUS(z0, z1))
   MOD(0, z0) -> c24
   MOD(s(z0), 0) -> c25
   MOD(s(z0), s(z1)) -> c26(IF_MOD(le(z1, z0), s(z0), s(z1)), LE(z1, z0))
   IF_MOD(true, s(z0), s(z1)) -> c27(MOD(minus(z0, z1), s(z1)), MINUS(z0, z1))
   IF_MOD(false, s(z0), s(z1)) -> c28
   ENCODE_LE(z0, z1) -> c(LE(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_PRED(z0) -> c(PRED(encArg(z0)))
   ENCODE_MINUS(z0, z1) -> c(MINUS(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_MOD(z0, z1) -> c(MOD(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_IF_MOD(z0, z1, z2) -> c(IF_MOD(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)))
The order we found is given by the following interpretation:

Polynomial interpretation :

   POL(0) = 0
   POL(ENCARG(x_1)) = x_1^2
   POL(ENCODE_IF_MOD(x_1, x_2, x_3)) = [1] + x_1 + x_2 + x_3 + [2]x_3^2 + [2]x_2*x_3 + [2]x_1*x_3 + [2]x_1^2 + x_1*x_2 + [2]x_2^2
   POL(ENCODE_LE(x_1, x_2)) = [1] + [2]x_1 + [2]x_2 + x_2^2 + x_1*x_2 + [2]x_1^2
   POL(ENCODE_MINUS(x_1, x_2)) = [1] + [2]x_1 + [2]x_2 + x_2^2 + [2]x_1*x_2 + [2]x_1^2
   POL(ENCODE_MOD(x_1, x_2)) = [2] + x_1 + [2]x_2^2 + [2]x_1*x_2 + [2]x_1^2
   POL(ENCODE_PRED(x_1)) = [2] + [2]x_1^2
   POL(IF_MOD(x_1, x_2, x_3)) = [2]x_2*x_3
   POL(LE(x_1, x_2)) = 0
   POL(MINUS(x_1, x_2)) = [2]x_2
   POL(MOD(x_1, x_2)) = [2]x_1*x_2
   POL(PRED(x_1)) = [2]
   POL(c(x_1)) = x_1
   POL(c18) = 0
   POL(c19) = 0
   POL(c2(x_1)) = x_1
   POL(c20(x_1)) = x_1
   POL(c21) = 0
   POL(c22) = 0
   POL(c23(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(c24) = 0
   POL(c25) = 0
   POL(c26(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(c27(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(c28) = 0
   POL(c4(x_1, x_2, x_3)) = x_1 + x_2 + x_3
   POL(c5(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(c6(x_1, x_2, x_3)) = x_1 + x_2 + x_3
   POL(c7(x_1, x_2, x_3)) = x_1 + x_2 + x_3
   POL(c8(x_1, x_2, x_3, x_4)) = x_1 + x_2 + x_3 + x_4
   POL(cons_if_mod(x_1, x_2, x_3)) = x_1 + x_2 + x_3
   POL(cons_le(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(cons_minus(x_1, x_2)) = [2] + x_1 + x_2
   POL(cons_mod(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(cons_pred(x_1)) = [2] + x_1
   POL(encArg(x_1)) = x_1
   POL(false) = 0
   POL(if_mod(x_1, x_2, x_3)) = x_2
   POL(le(x_1, x_2)) = 0
   POL(minus(x_1, x_2)) = x_1
   POL(mod(x_1, x_2)) = x_1
   POL(pred(x_1)) = x_1
   POL(s(x_1)) = [2] + x_1
   POL(true) = 0

----------------------------------------

(22)
Obligation:
Complexity Dependency Tuples Problem

Rules:
   encArg(0) -> 0
   encArg(true) -> true
   encArg(s(z0)) -> s(encArg(z0))
   encArg(false) -> false
   encArg(cons_le(z0, z1)) -> le(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_pred(z0)) -> pred(encArg(z0))
   encArg(cons_minus(z0, z1)) -> minus(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_mod(z0, z1)) -> mod(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_if_mod(z0, z1, z2)) -> if_mod(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))
   le(0, z0) -> true
   le(s(z0), 0) -> false
   le(s(z0), s(z1)) -> le(z0, z1)
   pred(s(z0)) -> z0
   minus(z0, 0) -> z0
   minus(z0, s(z1)) -> pred(minus(z0, z1))
   mod(0, z0) -> 0
   mod(s(z0), 0) -> 0
   mod(s(z0), s(z1)) -> if_mod(le(z1, z0), s(z0), s(z1))
   if_mod(true, s(z0), s(z1)) -> mod(minus(z0, z1), s(z1))
   if_mod(false, s(z0), s(z1)) -> s(z0)
Tuples:
   ENCARG(s(z0)) -> c2(ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_le(z0, z1)) -> c4(LE(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_pred(z0)) -> c5(PRED(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_minus(z0, z1)) -> c6(MINUS(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_mod(z0, z1)) -> c7(MOD(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_if_mod(z0, z1, z2)) -> c8(IF_MOD(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2))
   LE(0, z0) -> c18
   LE(s(z0), 0) -> c19
   LE(s(z0), s(z1)) -> c20(LE(z0, z1))
   PRED(s(z0)) -> c21
   MINUS(z0, 0) -> c22
   MINUS(z0, s(z1)) -> c23(PRED(minus(z0, z1)), MINUS(z0, z1))
   MOD(0, z0) -> c24
   MOD(s(z0), 0) -> c25
   MOD(s(z0), s(z1)) -> c26(IF_MOD(le(z1, z0), s(z0), s(z1)), LE(z1, z0))
   IF_MOD(true, s(z0), s(z1)) -> c27(MOD(minus(z0, z1), s(z1)), MINUS(z0, z1))
   IF_MOD(false, s(z0), s(z1)) -> c28
   ENCODE_LE(z0, z1) -> c(LE(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_PRED(z0) -> c(PRED(encArg(z0)))
   ENCODE_MINUS(z0, z1) -> c(MINUS(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_MOD(z0, z1) -> c(MOD(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_IF_MOD(z0, z1, z2) -> c(IF_MOD(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)))
S tuples:
   LE(0, z0) -> c18
   LE(s(z0), 0) -> c19
   LE(s(z0), s(z1)) -> c20(LE(z0, z1))
K tuples:
   MOD(0, z0) -> c24
   MOD(s(z0), 0) -> c25
   IF_MOD(false, s(z0), s(z1)) -> c28
   MINUS(z0, 0) -> c22
   IF_MOD(true, s(z0), s(z1)) -> c27(MOD(minus(z0, z1), s(z1)), MINUS(z0, z1))
   MOD(s(z0), s(z1)) -> c26(IF_MOD(le(z1, z0), s(z0), s(z1)), LE(z1, z0))
   PRED(s(z0)) -> c21
   MINUS(z0, s(z1)) -> c23(PRED(minus(z0, z1)), MINUS(z0, z1))
Defined Rule Symbols:   encArg_1, le_2, pred_1, minus_2, mod_2, if_mod_3

Defined Pair Symbols:   ENCARG_1, LE_2, PRED_1, MINUS_2, MOD_2, IF_MOD_3, ENCODE_LE_2, ENCODE_PRED_1, ENCODE_MINUS_2, ENCODE_MOD_2, ENCODE_IF_MOD_3

Compound Symbols:   c2_1, c4_3, c5_2, c6_3, c7_3, c8_4, c18, c19, c20_1, c21, c22, c23_2, c24, c25, c26_2, c27_2, c28, c_1


----------------------------------------

(23) CdtRuleRemovalProof (UPPER BOUND(ADD(n^2)))
Found a reduction pair which oriented the following tuples strictly. Hence they can be removed from S.
   LE(0, z0) -> c18
   LE(s(z0), 0) -> c19
We considered the (Usable) Rules:
   le(s(z0), s(z1)) -> le(z0, z1)
   le(s(z0), 0) -> false
   if_mod(false, s(z0), s(z1)) -> s(z0)
   encArg(cons_pred(z0)) -> pred(encArg(z0))
   encArg(0) -> 0
   encArg(true) -> true
   encArg(cons_le(z0, z1)) -> le(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_minus(z0, z1)) -> minus(encArg(z0), encArg(z1))
   pred(s(z0)) -> z0
   encArg(s(z0)) -> s(encArg(z0))
   encArg(false) -> false
   encArg(cons_if_mod(z0, z1, z2)) -> if_mod(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))
   mod(s(z0), s(z1)) -> if_mod(le(z1, z0), s(z0), s(z1))
   minus(z0, s(z1)) -> pred(minus(z0, z1))
   mod(0, z0) -> 0
   if_mod(true, s(z0), s(z1)) -> mod(minus(z0, z1), s(z1))
   encArg(cons_mod(z0, z1)) -> mod(encArg(z0), encArg(z1))
   le(0, z0) -> true
   mod(s(z0), 0) -> 0
   minus(z0, 0) -> z0
And the Tuples:
   ENCARG(s(z0)) -> c2(ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_le(z0, z1)) -> c4(LE(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_pred(z0)) -> c5(PRED(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_minus(z0, z1)) -> c6(MINUS(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_mod(z0, z1)) -> c7(MOD(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_if_mod(z0, z1, z2)) -> c8(IF_MOD(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2))
   LE(0, z0) -> c18
   LE(s(z0), 0) -> c19
   LE(s(z0), s(z1)) -> c20(LE(z0, z1))
   PRED(s(z0)) -> c21
   MINUS(z0, 0) -> c22
   MINUS(z0, s(z1)) -> c23(PRED(minus(z0, z1)), MINUS(z0, z1))
   MOD(0, z0) -> c24
   MOD(s(z0), 0) -> c25
   MOD(s(z0), s(z1)) -> c26(IF_MOD(le(z1, z0), s(z0), s(z1)), LE(z1, z0))
   IF_MOD(true, s(z0), s(z1)) -> c27(MOD(minus(z0, z1), s(z1)), MINUS(z0, z1))
   IF_MOD(false, s(z0), s(z1)) -> c28
   ENCODE_LE(z0, z1) -> c(LE(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_PRED(z0) -> c(PRED(encArg(z0)))
   ENCODE_MINUS(z0, z1) -> c(MINUS(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_MOD(z0, z1) -> c(MOD(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_IF_MOD(z0, z1, z2) -> c(IF_MOD(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)))
The order we found is given by the following interpretation:

Polynomial interpretation :

   POL(0) = 0
   POL(ENCARG(x_1)) = x_1^2
   POL(ENCODE_IF_MOD(x_1, x_2, x_3)) = [2] + x_1 + [2]x_2 + [2]x_3 + [2]x_3^2 + x_2*x_3 + [2]x_1*x_3 + x_1^2 + x_1*x_2 + [2]x_2^2
   POL(ENCODE_LE(x_1, x_2)) = [1] + [2]x_2^2 + [2]x_1*x_2 + [2]x_1^2
   POL(ENCODE_MINUS(x_1, x_2)) = [2] + [2]x_2 + [2]x_2^2 + [2]x_1*x_2 + [2]x_1^2
   POL(ENCODE_MOD(x_1, x_2)) = [2] + [2]x_1 + [2]x_2 + [2]x_2^2 + [2]x_1*x_2 + x_1^2
   POL(ENCODE_PRED(x_1)) = [1] + [2]x_1^2
   POL(IF_MOD(x_1, x_2, x_3)) = x_2*x_3
   POL(LE(x_1, x_2)) = [1]
   POL(MINUS(x_1, x_2)) = 0
   POL(MOD(x_1, x_2)) = [1] + x_1*x_2
   POL(PRED(x_1)) = 0
   POL(c(x_1)) = x_1
   POL(c18) = 0
   POL(c19) = 0
   POL(c2(x_1)) = x_1
   POL(c20(x_1)) = x_1
   POL(c21) = 0
   POL(c22) = 0
   POL(c23(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(c24) = 0
   POL(c25) = 0
   POL(c26(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(c27(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(c28) = 0
   POL(c4(x_1, x_2, x_3)) = x_1 + x_2 + x_3
   POL(c5(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(c6(x_1, x_2, x_3)) = x_1 + x_2 + x_3
   POL(c7(x_1, x_2, x_3)) = x_1 + x_2 + x_3
   POL(c8(x_1, x_2, x_3, x_4)) = x_1 + x_2 + x_3 + x_4
   POL(cons_if_mod(x_1, x_2, x_3)) = x_1 + x_2 + x_3
   POL(cons_le(x_1, x_2)) = [1] + x_1 + x_2
   POL(cons_minus(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(cons_mod(x_1, x_2)) = [2] + x_1 + x_2
   POL(cons_pred(x_1)) = x_1
   POL(encArg(x_1)) = x_1
   POL(false) = 0
   POL(if_mod(x_1, x_2, x_3)) = x_2
   POL(le(x_1, x_2)) = 0
   POL(minus(x_1, x_2)) = x_1
   POL(mod(x_1, x_2)) = x_1
   POL(pred(x_1)) = x_1
   POL(s(x_1)) = [2] + x_1
   POL(true) = 0

----------------------------------------

(24)
Obligation:
Complexity Dependency Tuples Problem

Rules:
   encArg(0) -> 0
   encArg(true) -> true
   encArg(s(z0)) -> s(encArg(z0))
   encArg(false) -> false
   encArg(cons_le(z0, z1)) -> le(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_pred(z0)) -> pred(encArg(z0))
   encArg(cons_minus(z0, z1)) -> minus(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_mod(z0, z1)) -> mod(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_if_mod(z0, z1, z2)) -> if_mod(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))
   le(0, z0) -> true
   le(s(z0), 0) -> false
   le(s(z0), s(z1)) -> le(z0, z1)
   pred(s(z0)) -> z0
   minus(z0, 0) -> z0
   minus(z0, s(z1)) -> pred(minus(z0, z1))
   mod(0, z0) -> 0
   mod(s(z0), 0) -> 0
   mod(s(z0), s(z1)) -> if_mod(le(z1, z0), s(z0), s(z1))
   if_mod(true, s(z0), s(z1)) -> mod(minus(z0, z1), s(z1))
   if_mod(false, s(z0), s(z1)) -> s(z0)
Tuples:
   ENCARG(s(z0)) -> c2(ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_le(z0, z1)) -> c4(LE(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_pred(z0)) -> c5(PRED(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_minus(z0, z1)) -> c6(MINUS(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_mod(z0, z1)) -> c7(MOD(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_if_mod(z0, z1, z2)) -> c8(IF_MOD(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2))
   LE(0, z0) -> c18
   LE(s(z0), 0) -> c19
   LE(s(z0), s(z1)) -> c20(LE(z0, z1))
   PRED(s(z0)) -> c21
   MINUS(z0, 0) -> c22
   MINUS(z0, s(z1)) -> c23(PRED(minus(z0, z1)), MINUS(z0, z1))
   MOD(0, z0) -> c24
   MOD(s(z0), 0) -> c25
   MOD(s(z0), s(z1)) -> c26(IF_MOD(le(z1, z0), s(z0), s(z1)), LE(z1, z0))
   IF_MOD(true, s(z0), s(z1)) -> c27(MOD(minus(z0, z1), s(z1)), MINUS(z0, z1))
   IF_MOD(false, s(z0), s(z1)) -> c28
   ENCODE_LE(z0, z1) -> c(LE(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_PRED(z0) -> c(PRED(encArg(z0)))
   ENCODE_MINUS(z0, z1) -> c(MINUS(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_MOD(z0, z1) -> c(MOD(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_IF_MOD(z0, z1, z2) -> c(IF_MOD(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)))
S tuples:
   LE(s(z0), s(z1)) -> c20(LE(z0, z1))
K tuples:
   MOD(0, z0) -> c24
   MOD(s(z0), 0) -> c25
   IF_MOD(false, s(z0), s(z1)) -> c28
   MINUS(z0, 0) -> c22
   IF_MOD(true, s(z0), s(z1)) -> c27(MOD(minus(z0, z1), s(z1)), MINUS(z0, z1))
   MOD(s(z0), s(z1)) -> c26(IF_MOD(le(z1, z0), s(z0), s(z1)), LE(z1, z0))
   PRED(s(z0)) -> c21
   MINUS(z0, s(z1)) -> c23(PRED(minus(z0, z1)), MINUS(z0, z1))
   LE(0, z0) -> c18
   LE(s(z0), 0) -> c19
Defined Rule Symbols:   encArg_1, le_2, pred_1, minus_2, mod_2, if_mod_3

Defined Pair Symbols:   ENCARG_1, LE_2, PRED_1, MINUS_2, MOD_2, IF_MOD_3, ENCODE_LE_2, ENCODE_PRED_1, ENCODE_MINUS_2, ENCODE_MOD_2, ENCODE_IF_MOD_3

Compound Symbols:   c2_1, c4_3, c5_2, c6_3, c7_3, c8_4, c18, c19, c20_1, c21, c22, c23_2, c24, c25, c26_2, c27_2, c28, c_1


----------------------------------------

(25) CdtRuleRemovalProof (UPPER BOUND(ADD(n^2)))
Found a reduction pair which oriented the following tuples strictly. Hence they can be removed from S.
   LE(s(z0), s(z1)) -> c20(LE(z0, z1))
We considered the (Usable) Rules:
   le(s(z0), s(z1)) -> le(z0, z1)
   le(s(z0), 0) -> false
   if_mod(false, s(z0), s(z1)) -> s(z0)
   encArg(cons_pred(z0)) -> pred(encArg(z0))
   encArg(0) -> 0
   encArg(true) -> true
   encArg(cons_le(z0, z1)) -> le(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_minus(z0, z1)) -> minus(encArg(z0), encArg(z1))
   pred(s(z0)) -> z0
   encArg(s(z0)) -> s(encArg(z0))
   encArg(false) -> false
   encArg(cons_if_mod(z0, z1, z2)) -> if_mod(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))
   mod(s(z0), s(z1)) -> if_mod(le(z1, z0), s(z0), s(z1))
   minus(z0, s(z1)) -> pred(minus(z0, z1))
   mod(0, z0) -> 0
   if_mod(true, s(z0), s(z1)) -> mod(minus(z0, z1), s(z1))
   encArg(cons_mod(z0, z1)) -> mod(encArg(z0), encArg(z1))
   le(0, z0) -> true
   mod(s(z0), 0) -> 0
   minus(z0, 0) -> z0
And the Tuples:
   ENCARG(s(z0)) -> c2(ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_le(z0, z1)) -> c4(LE(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_pred(z0)) -> c5(PRED(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_minus(z0, z1)) -> c6(MINUS(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_mod(z0, z1)) -> c7(MOD(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_if_mod(z0, z1, z2)) -> c8(IF_MOD(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2))
   LE(0, z0) -> c18
   LE(s(z0), 0) -> c19
   LE(s(z0), s(z1)) -> c20(LE(z0, z1))
   PRED(s(z0)) -> c21
   MINUS(z0, 0) -> c22
   MINUS(z0, s(z1)) -> c23(PRED(minus(z0, z1)), MINUS(z0, z1))
   MOD(0, z0) -> c24
   MOD(s(z0), 0) -> c25
   MOD(s(z0), s(z1)) -> c26(IF_MOD(le(z1, z0), s(z0), s(z1)), LE(z1, z0))
   IF_MOD(true, s(z0), s(z1)) -> c27(MOD(minus(z0, z1), s(z1)), MINUS(z0, z1))
   IF_MOD(false, s(z0), s(z1)) -> c28
   ENCODE_LE(z0, z1) -> c(LE(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_PRED(z0) -> c(PRED(encArg(z0)))
   ENCODE_MINUS(z0, z1) -> c(MINUS(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_MOD(z0, z1) -> c(MOD(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_IF_MOD(z0, z1, z2) -> c(IF_MOD(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)))
The order we found is given by the following interpretation:

Polynomial interpretation :

   POL(0) = 0
   POL(ENCARG(x_1)) = x_1^2
   POL(ENCODE_IF_MOD(x_1, x_2, x_3)) = [2] + [2]x_1 + [2]x_2 + x_3 + [2]x_3^2 + [2]x_2*x_3 + [2]x_1*x_3 + x_1^2 + x_1*x_2 + [2]x_2^2
   POL(ENCODE_LE(x_1, x_2)) = [2] + [2]x_1 + [2]x_2 + x_2^2 + [2]x_1*x_2 + [2]x_1^2
   POL(ENCODE_MINUS(x_1, x_2)) = [2] + [2]x_2 + x_2^2 + x_1*x_2 + x_1^2
   POL(ENCODE_MOD(x_1, x_2)) = [1] + x_2 + x_2^2 + [2]x_1*x_2 + [2]x_1^2
   POL(ENCODE_PRED(x_1)) = [2] + [2]x_1 + [2]x_1^2
   POL(IF_MOD(x_1, x_2, x_3)) = [2]x_2*x_3
   POL(LE(x_1, x_2)) = x_1
   POL(MINUS(x_1, x_2)) = 0
   POL(MOD(x_1, x_2)) = x_2 + [2]x_1*x_2
   POL(PRED(x_1)) = 0
   POL(c(x_1)) = x_1
   POL(c18) = 0
   POL(c19) = 0
   POL(c2(x_1)) = x_1
   POL(c20(x_1)) = x_1
   POL(c21) = 0
   POL(c22) = 0
   POL(c23(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(c24) = 0
   POL(c25) = 0
   POL(c26(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(c27(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(c28) = 0
   POL(c4(x_1, x_2, x_3)) = x_1 + x_2 + x_3
   POL(c5(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(c6(x_1, x_2, x_3)) = x_1 + x_2 + x_3
   POL(c7(x_1, x_2, x_3)) = x_1 + x_2 + x_3
   POL(c8(x_1, x_2, x_3, x_4)) = x_1 + x_2 + x_3 + x_4
   POL(cons_if_mod(x_1, x_2, x_3)) = x_1 + x_2 + x_3
   POL(cons_le(x_1, x_2)) = [1] + x_1 + x_2
   POL(cons_minus(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(cons_mod(x_1, x_2)) = [1] + x_1 + x_2
   POL(cons_pred(x_1)) = x_1
   POL(encArg(x_1)) = x_1
   POL(false) = 0
   POL(if_mod(x_1, x_2, x_3)) = x_2
   POL(le(x_1, x_2)) = 0
   POL(minus(x_1, x_2)) = x_1
   POL(mod(x_1, x_2)) = x_1
   POL(pred(x_1)) = x_1
   POL(s(x_1)) = [2] + x_1
   POL(true) = 0

----------------------------------------

(26)
Obligation:
Complexity Dependency Tuples Problem

Rules:
   encArg(0) -> 0
   encArg(true) -> true
   encArg(s(z0)) -> s(encArg(z0))
   encArg(false) -> false
   encArg(cons_le(z0, z1)) -> le(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_pred(z0)) -> pred(encArg(z0))
   encArg(cons_minus(z0, z1)) -> minus(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_mod(z0, z1)) -> mod(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_if_mod(z0, z1, z2)) -> if_mod(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))
   le(0, z0) -> true
   le(s(z0), 0) -> false
   le(s(z0), s(z1)) -> le(z0, z1)
   pred(s(z0)) -> z0
   minus(z0, 0) -> z0
   minus(z0, s(z1)) -> pred(minus(z0, z1))
   mod(0, z0) -> 0
   mod(s(z0), 0) -> 0
   mod(s(z0), s(z1)) -> if_mod(le(z1, z0), s(z0), s(z1))
   if_mod(true, s(z0), s(z1)) -> mod(minus(z0, z1), s(z1))
   if_mod(false, s(z0), s(z1)) -> s(z0)
Tuples:
   ENCARG(s(z0)) -> c2(ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_le(z0, z1)) -> c4(LE(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_pred(z0)) -> c5(PRED(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_minus(z0, z1)) -> c6(MINUS(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_mod(z0, z1)) -> c7(MOD(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_if_mod(z0, z1, z2)) -> c8(IF_MOD(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2))
   LE(0, z0) -> c18
   LE(s(z0), 0) -> c19
   LE(s(z0), s(z1)) -> c20(LE(z0, z1))
   PRED(s(z0)) -> c21
   MINUS(z0, 0) -> c22
   MINUS(z0, s(z1)) -> c23(PRED(minus(z0, z1)), MINUS(z0, z1))
   MOD(0, z0) -> c24
   MOD(s(z0), 0) -> c25
   MOD(s(z0), s(z1)) -> c26(IF_MOD(le(z1, z0), s(z0), s(z1)), LE(z1, z0))
   IF_MOD(true, s(z0), s(z1)) -> c27(MOD(minus(z0, z1), s(z1)), MINUS(z0, z1))
   IF_MOD(false, s(z0), s(z1)) -> c28
   ENCODE_LE(z0, z1) -> c(LE(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_PRED(z0) -> c(PRED(encArg(z0)))
   ENCODE_MINUS(z0, z1) -> c(MINUS(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_MOD(z0, z1) -> c(MOD(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_IF_MOD(z0, z1, z2) -> c(IF_MOD(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)))
S tuples:none
K tuples:
   MOD(0, z0) -> c24
   MOD(s(z0), 0) -> c25
   IF_MOD(false, s(z0), s(z1)) -> c28
   MINUS(z0, 0) -> c22
   IF_MOD(true, s(z0), s(z1)) -> c27(MOD(minus(z0, z1), s(z1)), MINUS(z0, z1))
   MOD(s(z0), s(z1)) -> c26(IF_MOD(le(z1, z0), s(z0), s(z1)), LE(z1, z0))
   PRED(s(z0)) -> c21
   MINUS(z0, s(z1)) -> c23(PRED(minus(z0, z1)), MINUS(z0, z1))
   LE(0, z0) -> c18
   LE(s(z0), 0) -> c19
   LE(s(z0), s(z1)) -> c20(LE(z0, z1))
Defined Rule Symbols:   encArg_1, le_2, pred_1, minus_2, mod_2, if_mod_3

Defined Pair Symbols:   ENCARG_1, LE_2, PRED_1, MINUS_2, MOD_2, IF_MOD_3, ENCODE_LE_2, ENCODE_PRED_1, ENCODE_MINUS_2, ENCODE_MOD_2, ENCODE_IF_MOD_3

Compound Symbols:   c2_1, c4_3, c5_2, c6_3, c7_3, c8_4, c18, c19, c20_1, c21, c22, c23_2, c24, c25, c26_2, c27_2, c28, c_1


----------------------------------------

(27) SIsEmptyProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
The set S is empty
----------------------------------------

(28)
BOUNDS(1, 1)

----------------------------------------

(29) RenamingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol.
----------------------------------------

(30)
Obligation:
The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   le(0', y) -> true
   le(s(x), 0') -> false
   le(s(x), s(y)) -> le(x, y)
   pred(s(x)) -> x
   minus(x, 0') -> x
   minus(x, s(y)) -> pred(minus(x, y))
   mod(0', y) -> 0'
   mod(s(x), 0') -> 0'
   mod(s(x), s(y)) -> if_mod(le(y, x), s(x), s(y))
   if_mod(true, s(x), s(y)) -> mod(minus(x, y), s(y))
   if_mod(false, s(x), s(y)) -> s(x)

The (relative) TRS S consists of the following rules:

   encArg(0') -> 0'
   encArg(true) -> true
   encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
   encArg(false) -> false
   encArg(cons_le(x_1, x_2)) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_pred(x_1)) -> pred(encArg(x_1))
   encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_mod(x_1, x_2)) -> mod(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_if_mod(x_1, x_2, x_3)) -> if_mod(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_le(x_1, x_2) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_0 -> 0'
   encode_true -> true
   encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
   encode_false -> false
   encode_pred(x_1) -> pred(encArg(x_1))
   encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_mod(x_1, x_2) -> mod(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_if_mod(x_1, x_2, x_3) -> if_mod(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))

Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(31) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
Infered types.
----------------------------------------

(32)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
le(0', y) -> true
le(s(x), 0') -> false
le(s(x), s(y)) -> le(x, y)
pred(s(x)) -> x
minus(x, 0') -> x
minus(x, s(y)) -> pred(minus(x, y))
mod(0', y) -> 0'
mod(s(x), 0') -> 0'
mod(s(x), s(y)) -> if_mod(le(y, x), s(x), s(y))
if_mod(true, s(x), s(y)) -> mod(minus(x, y), s(y))
if_mod(false, s(x), s(y)) -> s(x)
encArg(0') -> 0'
encArg(true) -> true
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(false) -> false
encArg(cons_le(x_1, x_2)) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_pred(x_1)) -> pred(encArg(x_1))
encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_mod(x_1, x_2)) -> mod(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_if_mod(x_1, x_2, x_3)) -> if_mod(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_le(x_1, x_2) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_0 -> 0'
encode_true -> true
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_false -> false
encode_pred(x_1) -> pred(encArg(x_1))
encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_mod(x_1, x_2) -> mod(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_if_mod(x_1, x_2, x_3) -> if_mod(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))

Types:
le :: 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod
0' :: 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod
true :: 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod
s :: 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod
false :: 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod
pred :: 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod
minus :: 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod
mod :: 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod
if_mod :: 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod
encArg :: 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod
cons_le :: 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod
cons_pred :: 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod
cons_minus :: 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod
cons_mod :: 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod
cons_if_mod :: 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod
encode_le :: 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod
encode_0 :: 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod
encode_true :: 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod
encode_s :: 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod
encode_false :: 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod
encode_pred :: 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod
encode_minus :: 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod
encode_mod :: 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod
encode_if_mod :: 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod
hole_0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod1_4 :: 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod
gen_0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod2_4 :: Nat -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod

----------------------------------------

(33) OrderProof (LOWER BOUND(ID))
Heuristically decided to analyse the following defined symbols:
le, minus, mod, if_mod, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
le < mod
le < encArg
minus < if_mod
minus < encArg
mod = if_mod
mod < encArg
if_mod < encArg

----------------------------------------

(34)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
le(0', y) -> true
le(s(x), 0') -> false
le(s(x), s(y)) -> le(x, y)
pred(s(x)) -> x
minus(x, 0') -> x
minus(x, s(y)) -> pred(minus(x, y))
mod(0', y) -> 0'
mod(s(x), 0') -> 0'
mod(s(x), s(y)) -> if_mod(le(y, x), s(x), s(y))
if_mod(true, s(x), s(y)) -> mod(minus(x, y), s(y))
if_mod(false, s(x), s(y)) -> s(x)
encArg(0') -> 0'
encArg(true) -> true
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(false) -> false
encArg(cons_le(x_1, x_2)) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_pred(x_1)) -> pred(encArg(x_1))
encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_mod(x_1, x_2)) -> mod(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_if_mod(x_1, x_2, x_3)) -> if_mod(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_le(x_1, x_2) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_0 -> 0'
encode_true -> true
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_false -> false
encode_pred(x_1) -> pred(encArg(x_1))
encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_mod(x_1, x_2) -> mod(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_if_mod(x_1, x_2, x_3) -> if_mod(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))

Types:
le :: 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod
0' :: 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod
true :: 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod
s :: 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod
false :: 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod
pred :: 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod
minus :: 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod
mod :: 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod
if_mod :: 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod
encArg :: 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod
cons_le :: 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod
cons_pred :: 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod
cons_minus :: 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod
cons_mod :: 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod
cons_if_mod :: 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod
encode_le :: 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod
encode_0 :: 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod
encode_true :: 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod
encode_s :: 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod
encode_false :: 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod
encode_pred :: 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod
encode_minus :: 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod
encode_mod :: 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod
encode_if_mod :: 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod
hole_0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod1_4 :: 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod
gen_0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod2_4 :: Nat -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod


Generator Equations:
gen_0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod2_4(0) <=> 0'
gen_0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod2_4(+(x, 1)) <=> s(gen_0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod2_4(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
le, minus, mod, if_mod, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
le < mod
le < encArg
minus < if_mod
minus < encArg
mod = if_mod
mod < encArg
if_mod < encArg

----------------------------------------

(35) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
le(gen_0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod2_4(n4_4), gen_0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod2_4(n4_4)) -> true, rt in Omega(1 + n4_4)

Induction Base:
le(gen_0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod2_4(0), gen_0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod2_4(0)) ->_R^Omega(1)
true

Induction Step:
le(gen_0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod2_4(+(n4_4, 1)), gen_0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod2_4(+(n4_4, 1))) ->_R^Omega(1)
le(gen_0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod2_4(n4_4), gen_0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod2_4(n4_4)) ->_IH
true

We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n).
----------------------------------------

(36)
Complex Obligation (BEST)

----------------------------------------

(37)
Obligation:
Proved the lower bound n^1 for the following obligation:

Innermost TRS:
Rules:
le(0', y) -> true
le(s(x), 0') -> false
le(s(x), s(y)) -> le(x, y)
pred(s(x)) -> x
minus(x, 0') -> x
minus(x, s(y)) -> pred(minus(x, y))
mod(0', y) -> 0'
mod(s(x), 0') -> 0'
mod(s(x), s(y)) -> if_mod(le(y, x), s(x), s(y))
if_mod(true, s(x), s(y)) -> mod(minus(x, y), s(y))
if_mod(false, s(x), s(y)) -> s(x)
encArg(0') -> 0'
encArg(true) -> true
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(false) -> false
encArg(cons_le(x_1, x_2)) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_pred(x_1)) -> pred(encArg(x_1))
encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_mod(x_1, x_2)) -> mod(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_if_mod(x_1, x_2, x_3)) -> if_mod(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_le(x_1, x_2) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_0 -> 0'
encode_true -> true
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_false -> false
encode_pred(x_1) -> pred(encArg(x_1))
encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_mod(x_1, x_2) -> mod(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_if_mod(x_1, x_2, x_3) -> if_mod(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))

Types:
le :: 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod
0' :: 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod
true :: 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod
s :: 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod
false :: 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod
pred :: 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod
minus :: 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod
mod :: 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod
if_mod :: 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod
encArg :: 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod
cons_le :: 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod
cons_pred :: 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod
cons_minus :: 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod
cons_mod :: 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod
cons_if_mod :: 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod
encode_le :: 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod
encode_0 :: 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod
encode_true :: 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod
encode_s :: 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod
encode_false :: 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod
encode_pred :: 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod
encode_minus :: 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod
encode_mod :: 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod
encode_if_mod :: 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod
hole_0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod1_4 :: 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod
gen_0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod2_4 :: Nat -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod


Generator Equations:
gen_0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod2_4(0) <=> 0'
gen_0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod2_4(+(x, 1)) <=> s(gen_0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod2_4(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
le, minus, mod, if_mod, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
le < mod
le < encArg
minus < if_mod
minus < encArg
mod = if_mod
mod < encArg
if_mod < encArg

----------------------------------------

(38) LowerBoundPropagationProof (FINISHED)
Propagated lower bound.
----------------------------------------

(39)
BOUNDS(n^1, INF)

----------------------------------------

(40)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
le(0', y) -> true
le(s(x), 0') -> false
le(s(x), s(y)) -> le(x, y)
pred(s(x)) -> x
minus(x, 0') -> x
minus(x, s(y)) -> pred(minus(x, y))
mod(0', y) -> 0'
mod(s(x), 0') -> 0'
mod(s(x), s(y)) -> if_mod(le(y, x), s(x), s(y))
if_mod(true, s(x), s(y)) -> mod(minus(x, y), s(y))
if_mod(false, s(x), s(y)) -> s(x)
encArg(0') -> 0'
encArg(true) -> true
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(false) -> false
encArg(cons_le(x_1, x_2)) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_pred(x_1)) -> pred(encArg(x_1))
encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_mod(x_1, x_2)) -> mod(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_if_mod(x_1, x_2, x_3)) -> if_mod(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_le(x_1, x_2) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_0 -> 0'
encode_true -> true
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_false -> false
encode_pred(x_1) -> pred(encArg(x_1))
encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_mod(x_1, x_2) -> mod(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_if_mod(x_1, x_2, x_3) -> if_mod(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))

Types:
le :: 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod
0' :: 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod
true :: 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod
s :: 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod
false :: 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod
pred :: 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod
minus :: 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod
mod :: 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod
if_mod :: 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod
encArg :: 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod
cons_le :: 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod
cons_pred :: 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod
cons_minus :: 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod
cons_mod :: 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod
cons_if_mod :: 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod
encode_le :: 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod
encode_0 :: 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod
encode_true :: 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod
encode_s :: 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod
encode_false :: 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod
encode_pred :: 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod
encode_minus :: 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod
encode_mod :: 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod
encode_if_mod :: 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod
hole_0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod1_4 :: 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod
gen_0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod2_4 :: Nat -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod


Lemmas:
le(gen_0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod2_4(n4_4), gen_0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod2_4(n4_4)) -> true, rt in Omega(1 + n4_4)


Generator Equations:
gen_0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod2_4(0) <=> 0'
gen_0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod2_4(+(x, 1)) <=> s(gen_0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod2_4(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
minus, mod, if_mod, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
minus < if_mod
minus < encArg
mod = if_mod
mod < encArg
if_mod < encArg

----------------------------------------

(41) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
minus(gen_0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod2_4(a), gen_0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod2_4(+(1, n539_4))) -> *3_4, rt in Omega(n539_4)

Induction Base:
minus(gen_0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod2_4(a), gen_0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod2_4(+(1, 0)))

Induction Step:
minus(gen_0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod2_4(a), gen_0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod2_4(+(1, +(n539_4, 1)))) ->_R^Omega(1)
pred(minus(gen_0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod2_4(a), gen_0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod2_4(+(1, n539_4)))) ->_IH
pred(*3_4)

We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n).
----------------------------------------

(42)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
le(0', y) -> true
le(s(x), 0') -> false
le(s(x), s(y)) -> le(x, y)
pred(s(x)) -> x
minus(x, 0') -> x
minus(x, s(y)) -> pred(minus(x, y))
mod(0', y) -> 0'
mod(s(x), 0') -> 0'
mod(s(x), s(y)) -> if_mod(le(y, x), s(x), s(y))
if_mod(true, s(x), s(y)) -> mod(minus(x, y), s(y))
if_mod(false, s(x), s(y)) -> s(x)
encArg(0') -> 0'
encArg(true) -> true
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(false) -> false
encArg(cons_le(x_1, x_2)) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_pred(x_1)) -> pred(encArg(x_1))
encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_mod(x_1, x_2)) -> mod(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_if_mod(x_1, x_2, x_3)) -> if_mod(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_le(x_1, x_2) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_0 -> 0'
encode_true -> true
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_false -> false
encode_pred(x_1) -> pred(encArg(x_1))
encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_mod(x_1, x_2) -> mod(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_if_mod(x_1, x_2, x_3) -> if_mod(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))

Types:
le :: 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod
0' :: 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod
true :: 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod
s :: 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod
false :: 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod
pred :: 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod
minus :: 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod
mod :: 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod
if_mod :: 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod
encArg :: 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod
cons_le :: 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod
cons_pred :: 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod
cons_minus :: 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod
cons_mod :: 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod
cons_if_mod :: 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod
encode_le :: 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod
encode_0 :: 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod
encode_true :: 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod
encode_s :: 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod
encode_false :: 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod
encode_pred :: 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod
encode_minus :: 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod
encode_mod :: 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod
encode_if_mod :: 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod
hole_0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod1_4 :: 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod
gen_0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod2_4 :: Nat -> 0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod


Lemmas:
le(gen_0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod2_4(n4_4), gen_0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod2_4(n4_4)) -> true, rt in Omega(1 + n4_4)
minus(gen_0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod2_4(a), gen_0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod2_4(+(1, n539_4))) -> *3_4, rt in Omega(n539_4)


Generator Equations:
gen_0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod2_4(0) <=> 0'
gen_0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod2_4(+(x, 1)) <=> s(gen_0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod2_4(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
if_mod, mod, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
mod = if_mod
mod < encArg
if_mod < encArg

----------------------------------------

(43) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
encArg(gen_0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod2_4(n10778_4)) -> gen_0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod2_4(n10778_4), rt in Omega(0)

Induction Base:
encArg(gen_0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod2_4(0)) ->_R^Omega(0)
0'

Induction Step:
encArg(gen_0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod2_4(+(n10778_4, 1))) ->_R^Omega(0)
s(encArg(gen_0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod2_4(n10778_4))) ->_IH
s(gen_0':true:s:false:cons_le:cons_pred:cons_minus:cons_mod:cons_if_mod2_4(c10779_4))

We have rt in Omega(1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n^0).
----------------------------------------

(44)
BOUNDS(1, INF)