WORST_CASE(Omega(n^1), ?)
proof of /export/starexec/sandbox/benchmark/theBenchmark.xml
# AProVE Commit ID: 794c25de1cacf0d048858bcd21c9a779e1221865 marcel 20200619 unpublished dirty


The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).

(0) DCpxTrs
(1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
(2) CpxRelTRS
(3) SInnermostTerminationProof [BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID), 313 ms]
(4) CpxRelTRS
(5) RenamingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
(6) CpxRelTRS
(7) TypeInferenceProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
(8) typed CpxTrs
(9) OrderProof [LOWER BOUND(ID), 0 ms]
(10) typed CpxTrs
(11) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 615 ms]
(12) BEST
    (13) proven lower bound
        (14) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms]
        (15) BOUNDS(n^1, INF)
    (16) typed CpxTrs
        (17) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 2973 ms]
        (18) BOUNDS(1, INF)


----------------------------------------

(0)
Obligation:
The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   if(true, x, y) -> x
   if(false, x, y) -> y
   eq(0, 0) -> true
   eq(0, s(x)) -> false
   eq(s(x), 0) -> false
   eq(s(x), s(y)) -> eq(x, y)
   app(nil, l) -> l
   app(cons(x, l1), l2) -> cons(x, app(l1, l2))
   app(app(l1, l2), l3) -> app(l1, app(l2, l3))
   mem(x, nil) -> false
   mem(x, cons(y, l)) -> ifmem(eq(x, y), x, l)
   ifmem(true, x, l) -> true
   ifmem(false, x, l) -> mem(x, l)
   inter(x, nil) -> nil
   inter(nil, x) -> nil
   inter(app(l1, l2), l3) -> app(inter(l1, l3), inter(l2, l3))
   inter(l1, app(l2, l3)) -> app(inter(l1, l2), inter(l1, l3))
   inter(cons(x, l1), l2) -> ifinter(mem(x, l2), x, l1, l2)
   inter(l1, cons(x, l2)) -> ifinter(mem(x, l1), x, l2, l1)
   ifinter(true, x, l1, l2) -> cons(x, inter(l1, l2))
   ifinter(false, x, l1, l2) -> inter(l1, l2)

S is empty.
Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
The following rules have been added to S to convert the given derivational complexity problem to a runtime complexity problem:

   encArg(true) -> true
   encArg(false) -> false
   encArg(0) -> 0
   encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
   encArg(nil) -> nil
   encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_eq(x_1, x_2)) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_app(x_1, x_2)) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_mem(x_1, x_2)) -> mem(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_ifmem(x_1, x_2, x_3)) -> ifmem(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_inter(x_1, x_2)) -> inter(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_ifinter(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> ifinter(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
   encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_true -> true
   encode_false -> false
   encode_eq(x_1, x_2) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_0 -> 0
   encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
   encode_app(x_1, x_2) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_nil -> nil
   encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_mem(x_1, x_2) -> mem(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_ifmem(x_1, x_2, x_3) -> ifmem(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_inter(x_1, x_2) -> inter(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_ifinter(x_1, x_2, x_3, x_4) -> ifinter(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))


----------------------------------------

(2)
Obligation:
The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   if(true, x, y) -> x
   if(false, x, y) -> y
   eq(0, 0) -> true
   eq(0, s(x)) -> false
   eq(s(x), 0) -> false
   eq(s(x), s(y)) -> eq(x, y)
   app(nil, l) -> l
   app(cons(x, l1), l2) -> cons(x, app(l1, l2))
   app(app(l1, l2), l3) -> app(l1, app(l2, l3))
   mem(x, nil) -> false
   mem(x, cons(y, l)) -> ifmem(eq(x, y), x, l)
   ifmem(true, x, l) -> true
   ifmem(false, x, l) -> mem(x, l)
   inter(x, nil) -> nil
   inter(nil, x) -> nil
   inter(app(l1, l2), l3) -> app(inter(l1, l3), inter(l2, l3))
   inter(l1, app(l2, l3)) -> app(inter(l1, l2), inter(l1, l3))
   inter(cons(x, l1), l2) -> ifinter(mem(x, l2), x, l1, l2)
   inter(l1, cons(x, l2)) -> ifinter(mem(x, l1), x, l2, l1)
   ifinter(true, x, l1, l2) -> cons(x, inter(l1, l2))
   ifinter(false, x, l1, l2) -> inter(l1, l2)

The (relative) TRS S consists of the following rules:

   encArg(true) -> true
   encArg(false) -> false
   encArg(0) -> 0
   encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
   encArg(nil) -> nil
   encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_eq(x_1, x_2)) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_app(x_1, x_2)) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_mem(x_1, x_2)) -> mem(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_ifmem(x_1, x_2, x_3)) -> ifmem(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_inter(x_1, x_2)) -> inter(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_ifinter(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> ifinter(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
   encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_true -> true
   encode_false -> false
   encode_eq(x_1, x_2) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_0 -> 0
   encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
   encode_app(x_1, x_2) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_nil -> nil
   encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_mem(x_1, x_2) -> mem(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_ifmem(x_1, x_2, x_3) -> ifmem(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_inter(x_1, x_2) -> inter(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_ifinter(x_1, x_2, x_3, x_4) -> ifinter(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))

Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(3) SInnermostTerminationProof (BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID))
proved innermost termination of relative rules
----------------------------------------

(4)
Obligation:
The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   if(true, x, y) -> x
   if(false, x, y) -> y
   eq(0, 0) -> true
   eq(0, s(x)) -> false
   eq(s(x), 0) -> false
   eq(s(x), s(y)) -> eq(x, y)
   app(nil, l) -> l
   app(cons(x, l1), l2) -> cons(x, app(l1, l2))
   app(app(l1, l2), l3) -> app(l1, app(l2, l3))
   mem(x, nil) -> false
   mem(x, cons(y, l)) -> ifmem(eq(x, y), x, l)
   ifmem(true, x, l) -> true
   ifmem(false, x, l) -> mem(x, l)
   inter(x, nil) -> nil
   inter(nil, x) -> nil
   inter(app(l1, l2), l3) -> app(inter(l1, l3), inter(l2, l3))
   inter(l1, app(l2, l3)) -> app(inter(l1, l2), inter(l1, l3))
   inter(cons(x, l1), l2) -> ifinter(mem(x, l2), x, l1, l2)
   inter(l1, cons(x, l2)) -> ifinter(mem(x, l1), x, l2, l1)
   ifinter(true, x, l1, l2) -> cons(x, inter(l1, l2))
   ifinter(false, x, l1, l2) -> inter(l1, l2)

The (relative) TRS S consists of the following rules:

   encArg(true) -> true
   encArg(false) -> false
   encArg(0) -> 0
   encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
   encArg(nil) -> nil
   encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_eq(x_1, x_2)) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_app(x_1, x_2)) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_mem(x_1, x_2)) -> mem(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_ifmem(x_1, x_2, x_3)) -> ifmem(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_inter(x_1, x_2)) -> inter(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_ifinter(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> ifinter(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
   encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_true -> true
   encode_false -> false
   encode_eq(x_1, x_2) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_0 -> 0
   encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
   encode_app(x_1, x_2) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_nil -> nil
   encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_mem(x_1, x_2) -> mem(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_ifmem(x_1, x_2, x_3) -> ifmem(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_inter(x_1, x_2) -> inter(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_ifinter(x_1, x_2, x_3, x_4) -> ifinter(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))

Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(5) RenamingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol.
----------------------------------------

(6)
Obligation:
The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   if(true, x, y) -> x
   if(false, x, y) -> y
   eq(0', 0') -> true
   eq(0', s(x)) -> false
   eq(s(x), 0') -> false
   eq(s(x), s(y)) -> eq(x, y)
   app(nil, l) -> l
   app(cons(x, l1), l2) -> cons(x, app(l1, l2))
   app(app(l1, l2), l3) -> app(l1, app(l2, l3))
   mem(x, nil) -> false
   mem(x, cons(y, l)) -> ifmem(eq(x, y), x, l)
   ifmem(true, x, l) -> true
   ifmem(false, x, l) -> mem(x, l)
   inter(x, nil) -> nil
   inter(nil, x) -> nil
   inter(app(l1, l2), l3) -> app(inter(l1, l3), inter(l2, l3))
   inter(l1, app(l2, l3)) -> app(inter(l1, l2), inter(l1, l3))
   inter(cons(x, l1), l2) -> ifinter(mem(x, l2), x, l1, l2)
   inter(l1, cons(x, l2)) -> ifinter(mem(x, l1), x, l2, l1)
   ifinter(true, x, l1, l2) -> cons(x, inter(l1, l2))
   ifinter(false, x, l1, l2) -> inter(l1, l2)

The (relative) TRS S consists of the following rules:

   encArg(true) -> true
   encArg(false) -> false
   encArg(0') -> 0'
   encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
   encArg(nil) -> nil
   encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_eq(x_1, x_2)) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_app(x_1, x_2)) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_mem(x_1, x_2)) -> mem(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_ifmem(x_1, x_2, x_3)) -> ifmem(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_inter(x_1, x_2)) -> inter(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_ifinter(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> ifinter(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
   encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_true -> true
   encode_false -> false
   encode_eq(x_1, x_2) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_0 -> 0'
   encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
   encode_app(x_1, x_2) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_nil -> nil
   encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_mem(x_1, x_2) -> mem(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_ifmem(x_1, x_2, x_3) -> ifmem(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_inter(x_1, x_2) -> inter(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_ifinter(x_1, x_2, x_3, x_4) -> ifinter(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))

Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(7) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
Infered types.
----------------------------------------

(8)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
if(true, x, y) -> x
if(false, x, y) -> y
eq(0', 0') -> true
eq(0', s(x)) -> false
eq(s(x), 0') -> false
eq(s(x), s(y)) -> eq(x, y)
app(nil, l) -> l
app(cons(x, l1), l2) -> cons(x, app(l1, l2))
app(app(l1, l2), l3) -> app(l1, app(l2, l3))
mem(x, nil) -> false
mem(x, cons(y, l)) -> ifmem(eq(x, y), x, l)
ifmem(true, x, l) -> true
ifmem(false, x, l) -> mem(x, l)
inter(x, nil) -> nil
inter(nil, x) -> nil
inter(app(l1, l2), l3) -> app(inter(l1, l3), inter(l2, l3))
inter(l1, app(l2, l3)) -> app(inter(l1, l2), inter(l1, l3))
inter(cons(x, l1), l2) -> ifinter(mem(x, l2), x, l1, l2)
inter(l1, cons(x, l2)) -> ifinter(mem(x, l1), x, l2, l1)
ifinter(true, x, l1, l2) -> cons(x, inter(l1, l2))
ifinter(false, x, l1, l2) -> inter(l1, l2)
encArg(true) -> true
encArg(false) -> false
encArg(0') -> 0'
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(nil) -> nil
encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_eq(x_1, x_2)) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_app(x_1, x_2)) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_mem(x_1, x_2)) -> mem(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_ifmem(x_1, x_2, x_3)) -> ifmem(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_inter(x_1, x_2)) -> inter(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_ifinter(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> ifinter(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_true -> true
encode_false -> false
encode_eq(x_1, x_2) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_0 -> 0'
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_app(x_1, x_2) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_nil -> nil
encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_mem(x_1, x_2) -> mem(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_ifmem(x_1, x_2, x_3) -> ifmem(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_inter(x_1, x_2) -> inter(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_ifinter(x_1, x_2, x_3, x_4) -> ifinter(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))

Types:
if :: true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter
true :: true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter
false :: true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter
eq :: true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter
0' :: true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter
s :: true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter
app :: true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter
nil :: true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter
cons :: true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter
mem :: true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter
ifmem :: true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter
inter :: true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter
ifinter :: true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter
encArg :: true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter
cons_if :: true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter
cons_eq :: true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter
cons_app :: true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter
cons_mem :: true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter
cons_ifmem :: true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter
cons_inter :: true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter
cons_ifinter :: true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter
encode_if :: true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter
encode_true :: true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter
encode_false :: true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter
encode_eq :: true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter
encode_0 :: true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter
encode_s :: true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter
encode_app :: true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter
encode_nil :: true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter
encode_cons :: true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter
encode_mem :: true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter
encode_ifmem :: true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter
encode_inter :: true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter
encode_ifinter :: true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter
hole_true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter1_5 :: true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter
gen_true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter2_5 :: Nat -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter

----------------------------------------

(9) OrderProof (LOWER BOUND(ID))
Heuristically decided to analyse the following defined symbols:
eq, app, mem, ifmem, inter, ifinter, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
eq < mem
eq < encArg
app < inter
app < encArg
mem = ifmem
mem < inter
mem < encArg
ifmem < encArg
inter = ifinter
inter < encArg
ifinter < encArg

----------------------------------------

(10)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
if(true, x, y) -> x
if(false, x, y) -> y
eq(0', 0') -> true
eq(0', s(x)) -> false
eq(s(x), 0') -> false
eq(s(x), s(y)) -> eq(x, y)
app(nil, l) -> l
app(cons(x, l1), l2) -> cons(x, app(l1, l2))
app(app(l1, l2), l3) -> app(l1, app(l2, l3))
mem(x, nil) -> false
mem(x, cons(y, l)) -> ifmem(eq(x, y), x, l)
ifmem(true, x, l) -> true
ifmem(false, x, l) -> mem(x, l)
inter(x, nil) -> nil
inter(nil, x) -> nil
inter(app(l1, l2), l3) -> app(inter(l1, l3), inter(l2, l3))
inter(l1, app(l2, l3)) -> app(inter(l1, l2), inter(l1, l3))
inter(cons(x, l1), l2) -> ifinter(mem(x, l2), x, l1, l2)
inter(l1, cons(x, l2)) -> ifinter(mem(x, l1), x, l2, l1)
ifinter(true, x, l1, l2) -> cons(x, inter(l1, l2))
ifinter(false, x, l1, l2) -> inter(l1, l2)
encArg(true) -> true
encArg(false) -> false
encArg(0') -> 0'
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(nil) -> nil
encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_eq(x_1, x_2)) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_app(x_1, x_2)) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_mem(x_1, x_2)) -> mem(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_ifmem(x_1, x_2, x_3)) -> ifmem(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_inter(x_1, x_2)) -> inter(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_ifinter(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> ifinter(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_true -> true
encode_false -> false
encode_eq(x_1, x_2) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_0 -> 0'
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_app(x_1, x_2) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_nil -> nil
encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_mem(x_1, x_2) -> mem(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_ifmem(x_1, x_2, x_3) -> ifmem(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_inter(x_1, x_2) -> inter(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_ifinter(x_1, x_2, x_3, x_4) -> ifinter(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))

Types:
if :: true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter
true :: true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter
false :: true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter
eq :: true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter
0' :: true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter
s :: true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter
app :: true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter
nil :: true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter
cons :: true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter
mem :: true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter
ifmem :: true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter
inter :: true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter
ifinter :: true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter
encArg :: true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter
cons_if :: true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter
cons_eq :: true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter
cons_app :: true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter
cons_mem :: true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter
cons_ifmem :: true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter
cons_inter :: true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter
cons_ifinter :: true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter
encode_if :: true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter
encode_true :: true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter
encode_false :: true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter
encode_eq :: true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter
encode_0 :: true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter
encode_s :: true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter
encode_app :: true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter
encode_nil :: true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter
encode_cons :: true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter
encode_mem :: true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter
encode_ifmem :: true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter
encode_inter :: true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter
encode_ifinter :: true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter
hole_true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter1_5 :: true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter
gen_true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter2_5 :: Nat -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter


Generator Equations:
gen_true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter2_5(0) <=> true
gen_true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter2_5(+(x, 1)) <=> s(gen_true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter2_5(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
eq, app, mem, ifmem, inter, ifinter, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
eq < mem
eq < encArg
app < inter
app < encArg
mem = ifmem
mem < inter
mem < encArg
ifmem < encArg
inter = ifinter
inter < encArg
ifinter < encArg

----------------------------------------

(11) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
eq(gen_true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter2_5(+(1, n4_5)), gen_true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter2_5(+(1, n4_5))) -> *3_5, rt in Omega(n4_5)

Induction Base:
eq(gen_true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter2_5(+(1, 0)), gen_true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter2_5(+(1, 0)))

Induction Step:
eq(gen_true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter2_5(+(1, +(n4_5, 1))), gen_true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter2_5(+(1, +(n4_5, 1)))) ->_R^Omega(1)
eq(gen_true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter2_5(+(1, n4_5)), gen_true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter2_5(+(1, n4_5))) ->_IH
*3_5

We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n).
----------------------------------------

(12)
Complex Obligation (BEST)

----------------------------------------

(13)
Obligation:
Proved the lower bound n^1 for the following obligation:

Innermost TRS:
Rules:
if(true, x, y) -> x
if(false, x, y) -> y
eq(0', 0') -> true
eq(0', s(x)) -> false
eq(s(x), 0') -> false
eq(s(x), s(y)) -> eq(x, y)
app(nil, l) -> l
app(cons(x, l1), l2) -> cons(x, app(l1, l2))
app(app(l1, l2), l3) -> app(l1, app(l2, l3))
mem(x, nil) -> false
mem(x, cons(y, l)) -> ifmem(eq(x, y), x, l)
ifmem(true, x, l) -> true
ifmem(false, x, l) -> mem(x, l)
inter(x, nil) -> nil
inter(nil, x) -> nil
inter(app(l1, l2), l3) -> app(inter(l1, l3), inter(l2, l3))
inter(l1, app(l2, l3)) -> app(inter(l1, l2), inter(l1, l3))
inter(cons(x, l1), l2) -> ifinter(mem(x, l2), x, l1, l2)
inter(l1, cons(x, l2)) -> ifinter(mem(x, l1), x, l2, l1)
ifinter(true, x, l1, l2) -> cons(x, inter(l1, l2))
ifinter(false, x, l1, l2) -> inter(l1, l2)
encArg(true) -> true
encArg(false) -> false
encArg(0') -> 0'
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(nil) -> nil
encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_eq(x_1, x_2)) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_app(x_1, x_2)) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_mem(x_1, x_2)) -> mem(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_ifmem(x_1, x_2, x_3)) -> ifmem(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_inter(x_1, x_2)) -> inter(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_ifinter(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> ifinter(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_true -> true
encode_false -> false
encode_eq(x_1, x_2) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_0 -> 0'
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_app(x_1, x_2) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_nil -> nil
encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_mem(x_1, x_2) -> mem(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_ifmem(x_1, x_2, x_3) -> ifmem(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_inter(x_1, x_2) -> inter(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_ifinter(x_1, x_2, x_3, x_4) -> ifinter(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))

Types:
if :: true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter
true :: true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter
false :: true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter
eq :: true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter
0' :: true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter
s :: true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter
app :: true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter
nil :: true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter
cons :: true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter
mem :: true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter
ifmem :: true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter
inter :: true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter
ifinter :: true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter
encArg :: true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter
cons_if :: true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter
cons_eq :: true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter
cons_app :: true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter
cons_mem :: true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter
cons_ifmem :: true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter
cons_inter :: true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter
cons_ifinter :: true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter
encode_if :: true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter
encode_true :: true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter
encode_false :: true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter
encode_eq :: true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter
encode_0 :: true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter
encode_s :: true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter
encode_app :: true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter
encode_nil :: true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter
encode_cons :: true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter
encode_mem :: true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter
encode_ifmem :: true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter
encode_inter :: true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter
encode_ifinter :: true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter
hole_true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter1_5 :: true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter
gen_true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter2_5 :: Nat -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter


Generator Equations:
gen_true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter2_5(0) <=> true
gen_true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter2_5(+(x, 1)) <=> s(gen_true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter2_5(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
eq, app, mem, ifmem, inter, ifinter, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
eq < mem
eq < encArg
app < inter
app < encArg
mem = ifmem
mem < inter
mem < encArg
ifmem < encArg
inter = ifinter
inter < encArg
ifinter < encArg

----------------------------------------

(14) LowerBoundPropagationProof (FINISHED)
Propagated lower bound.
----------------------------------------

(15)
BOUNDS(n^1, INF)

----------------------------------------

(16)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
if(true, x, y) -> x
if(false, x, y) -> y
eq(0', 0') -> true
eq(0', s(x)) -> false
eq(s(x), 0') -> false
eq(s(x), s(y)) -> eq(x, y)
app(nil, l) -> l
app(cons(x, l1), l2) -> cons(x, app(l1, l2))
app(app(l1, l2), l3) -> app(l1, app(l2, l3))
mem(x, nil) -> false
mem(x, cons(y, l)) -> ifmem(eq(x, y), x, l)
ifmem(true, x, l) -> true
ifmem(false, x, l) -> mem(x, l)
inter(x, nil) -> nil
inter(nil, x) -> nil
inter(app(l1, l2), l3) -> app(inter(l1, l3), inter(l2, l3))
inter(l1, app(l2, l3)) -> app(inter(l1, l2), inter(l1, l3))
inter(cons(x, l1), l2) -> ifinter(mem(x, l2), x, l1, l2)
inter(l1, cons(x, l2)) -> ifinter(mem(x, l1), x, l2, l1)
ifinter(true, x, l1, l2) -> cons(x, inter(l1, l2))
ifinter(false, x, l1, l2) -> inter(l1, l2)
encArg(true) -> true
encArg(false) -> false
encArg(0') -> 0'
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(nil) -> nil
encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_eq(x_1, x_2)) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_app(x_1, x_2)) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_mem(x_1, x_2)) -> mem(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_ifmem(x_1, x_2, x_3)) -> ifmem(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_inter(x_1, x_2)) -> inter(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_ifinter(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> ifinter(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_true -> true
encode_false -> false
encode_eq(x_1, x_2) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_0 -> 0'
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_app(x_1, x_2) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_nil -> nil
encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_mem(x_1, x_2) -> mem(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_ifmem(x_1, x_2, x_3) -> ifmem(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_inter(x_1, x_2) -> inter(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_ifinter(x_1, x_2, x_3, x_4) -> ifinter(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))

Types:
if :: true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter
true :: true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter
false :: true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter
eq :: true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter
0' :: true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter
s :: true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter
app :: true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter
nil :: true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter
cons :: true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter
mem :: true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter
ifmem :: true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter
inter :: true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter
ifinter :: true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter
encArg :: true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter
cons_if :: true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter
cons_eq :: true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter
cons_app :: true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter
cons_mem :: true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter
cons_ifmem :: true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter
cons_inter :: true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter
cons_ifinter :: true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter
encode_if :: true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter
encode_true :: true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter
encode_false :: true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter
encode_eq :: true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter
encode_0 :: true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter
encode_s :: true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter
encode_app :: true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter
encode_nil :: true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter
encode_cons :: true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter
encode_mem :: true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter
encode_ifmem :: true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter
encode_inter :: true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter
encode_ifinter :: true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter
hole_true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter1_5 :: true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter
gen_true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter2_5 :: Nat -> true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter


Lemmas:
eq(gen_true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter2_5(+(1, n4_5)), gen_true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter2_5(+(1, n4_5))) -> *3_5, rt in Omega(n4_5)


Generator Equations:
gen_true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter2_5(0) <=> true
gen_true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter2_5(+(x, 1)) <=> s(gen_true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter2_5(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
app, mem, ifmem, inter, ifinter, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
app < inter
app < encArg
mem = ifmem
mem < inter
mem < encArg
ifmem < encArg
inter = ifinter
inter < encArg
ifinter < encArg

----------------------------------------

(17) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
encArg(gen_true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter2_5(n2898_5)) -> gen_true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter2_5(n2898_5), rt in Omega(0)

Induction Base:
encArg(gen_true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter2_5(0)) ->_R^Omega(0)
true

Induction Step:
encArg(gen_true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter2_5(+(n2898_5, 1))) ->_R^Omega(0)
s(encArg(gen_true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter2_5(n2898_5))) ->_IH
s(gen_true:false:0':s:nil:cons:cons_if:cons_eq:cons_app:cons_mem:cons_ifmem:cons_inter:cons_ifinter2_5(c2899_5))

We have rt in Omega(1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n^0).
----------------------------------------

(18)
BOUNDS(1, INF)