WORST_CASE(Omega(n^1), ?) proof of /export/starexec/sandbox/benchmark/theBenchmark.xml # AProVE Commit ID: 794c25de1cacf0d048858bcd21c9a779e1221865 marcel 20200619 unpublished dirty The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). (0) DCpxTrs (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (2) CpxRelTRS (3) SInnermostTerminationProof [BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID), 556 ms] (4) CpxRelTRS (5) RenamingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (6) CpxRelTRS (7) TypeInferenceProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 2 ms] (8) typed CpxTrs (9) OrderProof [LOWER BOUND(ID), 0 ms] (10) typed CpxTrs (11) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 301 ms] (12) BEST (13) proven lower bound (14) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms] (15) BOUNDS(n^1, INF) (16) typed CpxTrs (17) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 3302 ms] (18) BOUNDS(1, INF) ---------------------------------------- (0) Obligation: The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: ge(x, 0) -> true ge(0, s(y)) -> false ge(s(x), s(y)) -> ge(x, y) rev(x) -> if(x, eq(0, length(x)), nil, 0, length(x)) if(x, true, z, c, l) -> z if(x, false, z, c, l) -> help(s(c), l, x, z) help(c, l, cons(x, y), z) -> if(append(y, cons(x, nil)), ge(c, l), cons(x, z), c, l) append(nil, y) -> y append(cons(x, y), z) -> cons(x, append(y, z)) length(nil) -> 0 length(cons(x, y)) -> s(length(y)) S is empty. Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) The following rules have been added to S to convert the given derivational complexity problem to a runtime complexity problem: encArg(0) -> 0 encArg(true) -> true encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(false) -> false encArg(eq(x_1, x_2)) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(nil) -> nil encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_ge(x_1, x_2)) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_rev(x_1)) -> rev(encArg(x_1)) encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5)) encArg(cons_help(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> help(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_append(x_1, x_2)) -> append(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_length(x_1)) -> length(encArg(x_1)) encode_ge(x_1, x_2) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0 encode_true -> true encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_false -> false encode_rev(x_1) -> rev(encArg(x_1)) encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5)) encode_eq(x_1, x_2) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_length(x_1) -> length(encArg(x_1)) encode_nil -> nil encode_help(x_1, x_2, x_3, x_4) -> help(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_append(x_1, x_2) -> append(encArg(x_1), encArg(x_2)) ---------------------------------------- (2) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: ge(x, 0) -> true ge(0, s(y)) -> false ge(s(x), s(y)) -> ge(x, y) rev(x) -> if(x, eq(0, length(x)), nil, 0, length(x)) if(x, true, z, c, l) -> z if(x, false, z, c, l) -> help(s(c), l, x, z) help(c, l, cons(x, y), z) -> if(append(y, cons(x, nil)), ge(c, l), cons(x, z), c, l) append(nil, y) -> y append(cons(x, y), z) -> cons(x, append(y, z)) length(nil) -> 0 length(cons(x, y)) -> s(length(y)) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(0) -> 0 encArg(true) -> true encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(false) -> false encArg(eq(x_1, x_2)) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(nil) -> nil encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_ge(x_1, x_2)) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_rev(x_1)) -> rev(encArg(x_1)) encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5)) encArg(cons_help(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> help(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_append(x_1, x_2)) -> append(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_length(x_1)) -> length(encArg(x_1)) encode_ge(x_1, x_2) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0 encode_true -> true encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_false -> false encode_rev(x_1) -> rev(encArg(x_1)) encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5)) encode_eq(x_1, x_2) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_length(x_1) -> length(encArg(x_1)) encode_nil -> nil encode_help(x_1, x_2, x_3, x_4) -> help(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_append(x_1, x_2) -> append(encArg(x_1), encArg(x_2)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (3) SInnermostTerminationProof (BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID)) proved innermost termination of relative rules ---------------------------------------- (4) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: ge(x, 0) -> true ge(0, s(y)) -> false ge(s(x), s(y)) -> ge(x, y) rev(x) -> if(x, eq(0, length(x)), nil, 0, length(x)) if(x, true, z, c, l) -> z if(x, false, z, c, l) -> help(s(c), l, x, z) help(c, l, cons(x, y), z) -> if(append(y, cons(x, nil)), ge(c, l), cons(x, z), c, l) append(nil, y) -> y append(cons(x, y), z) -> cons(x, append(y, z)) length(nil) -> 0 length(cons(x, y)) -> s(length(y)) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(0) -> 0 encArg(true) -> true encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(false) -> false encArg(eq(x_1, x_2)) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(nil) -> nil encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_ge(x_1, x_2)) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_rev(x_1)) -> rev(encArg(x_1)) encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5)) encArg(cons_help(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> help(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_append(x_1, x_2)) -> append(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_length(x_1)) -> length(encArg(x_1)) encode_ge(x_1, x_2) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0 encode_true -> true encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_false -> false encode_rev(x_1) -> rev(encArg(x_1)) encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5)) encode_eq(x_1, x_2) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_length(x_1) -> length(encArg(x_1)) encode_nil -> nil encode_help(x_1, x_2, x_3, x_4) -> help(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_append(x_1, x_2) -> append(encArg(x_1), encArg(x_2)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (5) RenamingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol. ---------------------------------------- (6) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: ge(x, 0') -> true ge(0', s(y)) -> false ge(s(x), s(y)) -> ge(x, y) rev(x) -> if(x, eq(0', length(x)), nil, 0', length(x)) if(x, true, z, c, l) -> z if(x, false, z, c, l) -> help(s(c), l, x, z) help(c, l, cons(x, y), z) -> if(append(y, cons(x, nil)), ge(c, l), cons(x, z), c, l) append(nil, y) -> y append(cons(x, y), z) -> cons(x, append(y, z)) length(nil) -> 0' length(cons(x, y)) -> s(length(y)) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(0') -> 0' encArg(true) -> true encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(false) -> false encArg(eq(x_1, x_2)) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(nil) -> nil encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_ge(x_1, x_2)) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_rev(x_1)) -> rev(encArg(x_1)) encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5)) encArg(cons_help(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> help(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_append(x_1, x_2)) -> append(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_length(x_1)) -> length(encArg(x_1)) encode_ge(x_1, x_2) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_true -> true encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_false -> false encode_rev(x_1) -> rev(encArg(x_1)) encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5)) encode_eq(x_1, x_2) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_length(x_1) -> length(encArg(x_1)) encode_nil -> nil encode_help(x_1, x_2, x_3, x_4) -> help(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_append(x_1, x_2) -> append(encArg(x_1), encArg(x_2)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (7) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Infered types. ---------------------------------------- (8) Obligation: Innermost TRS: Rules: ge(x, 0') -> true ge(0', s(y)) -> false ge(s(x), s(y)) -> ge(x, y) rev(x) -> if(x, eq(0', length(x)), nil, 0', length(x)) if(x, true, z, c, l) -> z if(x, false, z, c, l) -> help(s(c), l, x, z) help(c, l, cons(x, y), z) -> if(append(y, cons(x, nil)), ge(c, l), cons(x, z), c, l) append(nil, y) -> y append(cons(x, y), z) -> cons(x, append(y, z)) length(nil) -> 0' length(cons(x, y)) -> s(length(y)) encArg(0') -> 0' encArg(true) -> true encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(false) -> false encArg(eq(x_1, x_2)) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(nil) -> nil encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_ge(x_1, x_2)) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_rev(x_1)) -> rev(encArg(x_1)) encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5)) encArg(cons_help(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> help(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_append(x_1, x_2)) -> append(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_length(x_1)) -> length(encArg(x_1)) encode_ge(x_1, x_2) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_true -> true encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_false -> false encode_rev(x_1) -> rev(encArg(x_1)) encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5)) encode_eq(x_1, x_2) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_length(x_1) -> length(encArg(x_1)) encode_nil -> nil encode_help(x_1, x_2, x_3, x_4) -> help(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_append(x_1, x_2) -> append(encArg(x_1), encArg(x_2)) Types: ge :: 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length 0' :: 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length true :: 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length s :: 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length false :: 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length rev :: 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length if :: 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length eq :: 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length length :: 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length nil :: 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length help :: 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length cons :: 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length append :: 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length encArg :: 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length cons_ge :: 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length cons_rev :: 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length cons_if :: 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length cons_help :: 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length cons_append :: 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length cons_length :: 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length encode_ge :: 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length encode_0 :: 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length encode_true :: 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length encode_s :: 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length encode_false :: 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length encode_rev :: 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length encode_if :: 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length encode_eq :: 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length encode_length :: 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length encode_nil :: 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length encode_help :: 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length encode_cons :: 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length encode_append :: 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length hole_0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length1_6 :: 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length gen_0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length2_6 :: Nat -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length ---------------------------------------- (9) OrderProof (LOWER BOUND(ID)) Heuristically decided to analyse the following defined symbols: ge, if, length, help, append, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: ge < help ge < encArg if = help if < encArg length < encArg append < help help < encArg append < encArg ---------------------------------------- (10) Obligation: Innermost TRS: Rules: ge(x, 0') -> true ge(0', s(y)) -> false ge(s(x), s(y)) -> ge(x, y) rev(x) -> if(x, eq(0', length(x)), nil, 0', length(x)) if(x, true, z, c, l) -> z if(x, false, z, c, l) -> help(s(c), l, x, z) help(c, l, cons(x, y), z) -> if(append(y, cons(x, nil)), ge(c, l), cons(x, z), c, l) append(nil, y) -> y append(cons(x, y), z) -> cons(x, append(y, z)) length(nil) -> 0' length(cons(x, y)) -> s(length(y)) encArg(0') -> 0' encArg(true) -> true encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(false) -> false encArg(eq(x_1, x_2)) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(nil) -> nil encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_ge(x_1, x_2)) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_rev(x_1)) -> rev(encArg(x_1)) encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5)) encArg(cons_help(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> help(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_append(x_1, x_2)) -> append(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_length(x_1)) -> length(encArg(x_1)) encode_ge(x_1, x_2) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_true -> true encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_false -> false encode_rev(x_1) -> rev(encArg(x_1)) encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5)) encode_eq(x_1, x_2) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_length(x_1) -> length(encArg(x_1)) encode_nil -> nil encode_help(x_1, x_2, x_3, x_4) -> help(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_append(x_1, x_2) -> append(encArg(x_1), encArg(x_2)) Types: ge :: 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length 0' :: 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length true :: 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length s :: 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length false :: 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length rev :: 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length if :: 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length eq :: 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length length :: 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length nil :: 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length help :: 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length cons :: 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length append :: 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length encArg :: 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length cons_ge :: 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length cons_rev :: 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length cons_if :: 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length cons_help :: 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length cons_append :: 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length cons_length :: 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length encode_ge :: 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length encode_0 :: 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length encode_true :: 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length encode_s :: 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length encode_false :: 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length encode_rev :: 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length encode_if :: 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length encode_eq :: 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length encode_length :: 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length encode_nil :: 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length encode_help :: 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length encode_cons :: 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length encode_append :: 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length hole_0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length1_6 :: 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length gen_0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length2_6 :: Nat -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length Generator Equations: gen_0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length2_6(0) <=> 0' gen_0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length2_6(+(x, 1)) <=> s(gen_0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length2_6(x)) The following defined symbols remain to be analysed: ge, if, length, help, append, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: ge < help ge < encArg if = help if < encArg length < encArg append < help help < encArg append < encArg ---------------------------------------- (11) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: ge(gen_0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length2_6(n4_6), gen_0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length2_6(n4_6)) -> true, rt in Omega(1 + n4_6) Induction Base: ge(gen_0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length2_6(0), gen_0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length2_6(0)) ->_R^Omega(1) true Induction Step: ge(gen_0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length2_6(+(n4_6, 1)), gen_0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length2_6(+(n4_6, 1))) ->_R^Omega(1) ge(gen_0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length2_6(n4_6), gen_0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length2_6(n4_6)) ->_IH true We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (12) Complex Obligation (BEST) ---------------------------------------- (13) Obligation: Proved the lower bound n^1 for the following obligation: Innermost TRS: Rules: ge(x, 0') -> true ge(0', s(y)) -> false ge(s(x), s(y)) -> ge(x, y) rev(x) -> if(x, eq(0', length(x)), nil, 0', length(x)) if(x, true, z, c, l) -> z if(x, false, z, c, l) -> help(s(c), l, x, z) help(c, l, cons(x, y), z) -> if(append(y, cons(x, nil)), ge(c, l), cons(x, z), c, l) append(nil, y) -> y append(cons(x, y), z) -> cons(x, append(y, z)) length(nil) -> 0' length(cons(x, y)) -> s(length(y)) encArg(0') -> 0' encArg(true) -> true encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(false) -> false encArg(eq(x_1, x_2)) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(nil) -> nil encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_ge(x_1, x_2)) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_rev(x_1)) -> rev(encArg(x_1)) encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5)) encArg(cons_help(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> help(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_append(x_1, x_2)) -> append(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_length(x_1)) -> length(encArg(x_1)) encode_ge(x_1, x_2) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_true -> true encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_false -> false encode_rev(x_1) -> rev(encArg(x_1)) encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5)) encode_eq(x_1, x_2) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_length(x_1) -> length(encArg(x_1)) encode_nil -> nil encode_help(x_1, x_2, x_3, x_4) -> help(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_append(x_1, x_2) -> append(encArg(x_1), encArg(x_2)) Types: ge :: 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length 0' :: 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length true :: 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length s :: 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length false :: 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length rev :: 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length if :: 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length eq :: 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length length :: 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length nil :: 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length help :: 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length cons :: 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length append :: 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length encArg :: 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length cons_ge :: 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length cons_rev :: 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length cons_if :: 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length cons_help :: 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length cons_append :: 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length cons_length :: 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length encode_ge :: 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length encode_0 :: 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length encode_true :: 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length encode_s :: 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length encode_false :: 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length encode_rev :: 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length encode_if :: 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length encode_eq :: 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length encode_length :: 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length encode_nil :: 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length encode_help :: 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length encode_cons :: 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length encode_append :: 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length hole_0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length1_6 :: 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length gen_0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length2_6 :: Nat -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length Generator Equations: gen_0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length2_6(0) <=> 0' gen_0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length2_6(+(x, 1)) <=> s(gen_0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length2_6(x)) The following defined symbols remain to be analysed: ge, if, length, help, append, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: ge < help ge < encArg if = help if < encArg length < encArg append < help help < encArg append < encArg ---------------------------------------- (14) LowerBoundPropagationProof (FINISHED) Propagated lower bound. ---------------------------------------- (15) BOUNDS(n^1, INF) ---------------------------------------- (16) Obligation: Innermost TRS: Rules: ge(x, 0') -> true ge(0', s(y)) -> false ge(s(x), s(y)) -> ge(x, y) rev(x) -> if(x, eq(0', length(x)), nil, 0', length(x)) if(x, true, z, c, l) -> z if(x, false, z, c, l) -> help(s(c), l, x, z) help(c, l, cons(x, y), z) -> if(append(y, cons(x, nil)), ge(c, l), cons(x, z), c, l) append(nil, y) -> y append(cons(x, y), z) -> cons(x, append(y, z)) length(nil) -> 0' length(cons(x, y)) -> s(length(y)) encArg(0') -> 0' encArg(true) -> true encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(false) -> false encArg(eq(x_1, x_2)) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(nil) -> nil encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_ge(x_1, x_2)) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_rev(x_1)) -> rev(encArg(x_1)) encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5)) encArg(cons_help(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> help(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_append(x_1, x_2)) -> append(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_length(x_1)) -> length(encArg(x_1)) encode_ge(x_1, x_2) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_true -> true encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_false -> false encode_rev(x_1) -> rev(encArg(x_1)) encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5)) encode_eq(x_1, x_2) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_length(x_1) -> length(encArg(x_1)) encode_nil -> nil encode_help(x_1, x_2, x_3, x_4) -> help(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_append(x_1, x_2) -> append(encArg(x_1), encArg(x_2)) Types: ge :: 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length 0' :: 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length true :: 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length s :: 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length false :: 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length rev :: 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length if :: 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length eq :: 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length length :: 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length nil :: 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length help :: 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length cons :: 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length append :: 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length encArg :: 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length cons_ge :: 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length cons_rev :: 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length cons_if :: 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length cons_help :: 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length cons_append :: 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length cons_length :: 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length encode_ge :: 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length encode_0 :: 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length encode_true :: 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length encode_s :: 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length encode_false :: 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length encode_rev :: 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length encode_if :: 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length encode_eq :: 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length encode_length :: 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length encode_nil :: 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length encode_help :: 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length encode_cons :: 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length encode_append :: 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length hole_0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length1_6 :: 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length gen_0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length2_6 :: Nat -> 0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length Lemmas: ge(gen_0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length2_6(n4_6), gen_0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length2_6(n4_6)) -> true, rt in Omega(1 + n4_6) Generator Equations: gen_0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length2_6(0) <=> 0' gen_0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length2_6(+(x, 1)) <=> s(gen_0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length2_6(x)) The following defined symbols remain to be analysed: length, if, help, append, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: if = help if < encArg length < encArg append < help help < encArg append < encArg ---------------------------------------- (17) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: encArg(gen_0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length2_6(n677_6)) -> gen_0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length2_6(n677_6), rt in Omega(0) Induction Base: encArg(gen_0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length2_6(0)) ->_R^Omega(0) 0' Induction Step: encArg(gen_0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length2_6(+(n677_6, 1))) ->_R^Omega(0) s(encArg(gen_0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length2_6(n677_6))) ->_IH s(gen_0':true:s:false:eq:nil:cons:cons_ge:cons_rev:cons_if:cons_help:cons_append:cons_length2_6(c678_6)) We have rt in Omega(1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n^0). ---------------------------------------- (18) BOUNDS(1, INF)