WORST_CASE(Omega(n^1), ?)
proof of /export/starexec/sandbox/benchmark/theBenchmark.xml
# AProVE Commit ID: 794c25de1cacf0d048858bcd21c9a779e1221865 marcel 20200619 unpublished dirty


The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).

(0) DCpxTrs
(1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
(2) CpxRelTRS
(3) SInnermostTerminationProof [BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID), 232 ms]
(4) CpxRelTRS
(5) RenamingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
(6) CpxRelTRS
(7) TypeInferenceProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
(8) typed CpxTrs
(9) OrderProof [LOWER BOUND(ID), 0 ms]
(10) typed CpxTrs
(11) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 596 ms]
(12) BEST
    (13) proven lower bound
        (14) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms]
        (15) BOUNDS(n^1, INF)
    (16) typed CpxTrs
        (17) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 317 ms]
        (18) typed CpxTrs
        (19) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 1237 ms]
        (20) BOUNDS(1, INF)


----------------------------------------

(0)
Obligation:
The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   minus(x, 0) -> x
   minus(s(x), s(y)) -> minus(x, y)
   quot(0, s(y)) -> 0
   quot(s(x), s(y)) -> s(quot(minus(x, y), s(y)))
   minus(minus(x, y), z) -> minus(x, plus(y, z))
   plus(s(x), s(y)) -> s(s(plus(if(gt(x, y), x, y), if(not(gt(x, y)), id(x), id(y)))))
   plus(s(x), x) -> plus(if(gt(x, x), id(x), id(x)), s(x))
   plus(zero, y) -> y
   plus(id(x), s(y)) -> s(plus(x, if(gt(s(y), y), y, s(y))))
   id(x) -> x
   if(true, x, y) -> x
   if(false, x, y) -> y
   not(x) -> if(x, false, true)
   gt(s(x), zero) -> true
   gt(zero, y) -> false
   gt(s(x), s(y)) -> gt(x, y)

S is empty.
Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
The following rules have been added to S to convert the given derivational complexity problem to a runtime complexity problem:

   encArg(0) -> 0
   encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
   encArg(zero) -> zero
   encArg(true) -> true
   encArg(false) -> false
   encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_quot(x_1, x_2)) -> quot(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_id(x_1)) -> id(encArg(x_1))
   encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_not(x_1)) -> not(encArg(x_1))
   encArg(cons_gt(x_1, x_2)) -> gt(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_0 -> 0
   encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
   encode_quot(x_1, x_2) -> quot(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_gt(x_1, x_2) -> gt(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_not(x_1) -> not(encArg(x_1))
   encode_id(x_1) -> id(encArg(x_1))
   encode_zero -> zero
   encode_true -> true
   encode_false -> false


----------------------------------------

(2)
Obligation:
The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   minus(x, 0) -> x
   minus(s(x), s(y)) -> minus(x, y)
   quot(0, s(y)) -> 0
   quot(s(x), s(y)) -> s(quot(minus(x, y), s(y)))
   minus(minus(x, y), z) -> minus(x, plus(y, z))
   plus(s(x), s(y)) -> s(s(plus(if(gt(x, y), x, y), if(not(gt(x, y)), id(x), id(y)))))
   plus(s(x), x) -> plus(if(gt(x, x), id(x), id(x)), s(x))
   plus(zero, y) -> y
   plus(id(x), s(y)) -> s(plus(x, if(gt(s(y), y), y, s(y))))
   id(x) -> x
   if(true, x, y) -> x
   if(false, x, y) -> y
   not(x) -> if(x, false, true)
   gt(s(x), zero) -> true
   gt(zero, y) -> false
   gt(s(x), s(y)) -> gt(x, y)

The (relative) TRS S consists of the following rules:

   encArg(0) -> 0
   encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
   encArg(zero) -> zero
   encArg(true) -> true
   encArg(false) -> false
   encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_quot(x_1, x_2)) -> quot(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_id(x_1)) -> id(encArg(x_1))
   encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_not(x_1)) -> not(encArg(x_1))
   encArg(cons_gt(x_1, x_2)) -> gt(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_0 -> 0
   encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
   encode_quot(x_1, x_2) -> quot(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_gt(x_1, x_2) -> gt(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_not(x_1) -> not(encArg(x_1))
   encode_id(x_1) -> id(encArg(x_1))
   encode_zero -> zero
   encode_true -> true
   encode_false -> false

Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(3) SInnermostTerminationProof (BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID))
proved innermost termination of relative rules
----------------------------------------

(4)
Obligation:
The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   minus(x, 0) -> x
   minus(s(x), s(y)) -> minus(x, y)
   quot(0, s(y)) -> 0
   quot(s(x), s(y)) -> s(quot(minus(x, y), s(y)))
   minus(minus(x, y), z) -> minus(x, plus(y, z))
   plus(s(x), s(y)) -> s(s(plus(if(gt(x, y), x, y), if(not(gt(x, y)), id(x), id(y)))))
   plus(s(x), x) -> plus(if(gt(x, x), id(x), id(x)), s(x))
   plus(zero, y) -> y
   plus(id(x), s(y)) -> s(plus(x, if(gt(s(y), y), y, s(y))))
   id(x) -> x
   if(true, x, y) -> x
   if(false, x, y) -> y
   not(x) -> if(x, false, true)
   gt(s(x), zero) -> true
   gt(zero, y) -> false
   gt(s(x), s(y)) -> gt(x, y)

The (relative) TRS S consists of the following rules:

   encArg(0) -> 0
   encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
   encArg(zero) -> zero
   encArg(true) -> true
   encArg(false) -> false
   encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_quot(x_1, x_2)) -> quot(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_id(x_1)) -> id(encArg(x_1))
   encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_not(x_1)) -> not(encArg(x_1))
   encArg(cons_gt(x_1, x_2)) -> gt(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_0 -> 0
   encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
   encode_quot(x_1, x_2) -> quot(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_gt(x_1, x_2) -> gt(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_not(x_1) -> not(encArg(x_1))
   encode_id(x_1) -> id(encArg(x_1))
   encode_zero -> zero
   encode_true -> true
   encode_false -> false

Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(5) RenamingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol.
----------------------------------------

(6)
Obligation:
The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   minus(x, 0') -> x
   minus(s(x), s(y)) -> minus(x, y)
   quot(0', s(y)) -> 0'
   quot(s(x), s(y)) -> s(quot(minus(x, y), s(y)))
   minus(minus(x, y), z) -> minus(x, plus(y, z))
   plus(s(x), s(y)) -> s(s(plus(if(gt(x, y), x, y), if(not(gt(x, y)), id(x), id(y)))))
   plus(s(x), x) -> plus(if(gt(x, x), id(x), id(x)), s(x))
   plus(zero, y) -> y
   plus(id(x), s(y)) -> s(plus(x, if(gt(s(y), y), y, s(y))))
   id(x) -> x
   if(true, x, y) -> x
   if(false, x, y) -> y
   not(x) -> if(x, false, true)
   gt(s(x), zero) -> true
   gt(zero, y) -> false
   gt(s(x), s(y)) -> gt(x, y)

The (relative) TRS S consists of the following rules:

   encArg(0') -> 0'
   encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
   encArg(zero) -> zero
   encArg(true) -> true
   encArg(false) -> false
   encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_quot(x_1, x_2)) -> quot(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_id(x_1)) -> id(encArg(x_1))
   encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_not(x_1)) -> not(encArg(x_1))
   encArg(cons_gt(x_1, x_2)) -> gt(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_0 -> 0'
   encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
   encode_quot(x_1, x_2) -> quot(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_gt(x_1, x_2) -> gt(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_not(x_1) -> not(encArg(x_1))
   encode_id(x_1) -> id(encArg(x_1))
   encode_zero -> zero
   encode_true -> true
   encode_false -> false

Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(7) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
Infered types.
----------------------------------------

(8)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
minus(x, 0') -> x
minus(s(x), s(y)) -> minus(x, y)
quot(0', s(y)) -> 0'
quot(s(x), s(y)) -> s(quot(minus(x, y), s(y)))
minus(minus(x, y), z) -> minus(x, plus(y, z))
plus(s(x), s(y)) -> s(s(plus(if(gt(x, y), x, y), if(not(gt(x, y)), id(x), id(y)))))
plus(s(x), x) -> plus(if(gt(x, x), id(x), id(x)), s(x))
plus(zero, y) -> y
plus(id(x), s(y)) -> s(plus(x, if(gt(s(y), y), y, s(y))))
id(x) -> x
if(true, x, y) -> x
if(false, x, y) -> y
not(x) -> if(x, false, true)
gt(s(x), zero) -> true
gt(zero, y) -> false
gt(s(x), s(y)) -> gt(x, y)
encArg(0') -> 0'
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(zero) -> zero
encArg(true) -> true
encArg(false) -> false
encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_quot(x_1, x_2)) -> quot(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_id(x_1)) -> id(encArg(x_1))
encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_not(x_1)) -> not(encArg(x_1))
encArg(cons_gt(x_1, x_2)) -> gt(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_0 -> 0'
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_quot(x_1, x_2) -> quot(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_gt(x_1, x_2) -> gt(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_not(x_1) -> not(encArg(x_1))
encode_id(x_1) -> id(encArg(x_1))
encode_zero -> zero
encode_true -> true
encode_false -> false

Types:
minus :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
0' :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
s :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
quot :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
plus :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
if :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
gt :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
not :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
id :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
zero :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
true :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
false :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
encArg :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
cons_minus :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
cons_quot :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
cons_plus :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
cons_id :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
cons_if :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
cons_not :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
cons_gt :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
encode_minus :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
encode_0 :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
encode_s :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
encode_quot :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
encode_plus :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
encode_if :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
encode_gt :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
encode_not :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
encode_id :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
encode_zero :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
encode_true :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
encode_false :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
hole_0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt1_4 :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
gen_0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt2_4 :: Nat -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt

----------------------------------------

(9) OrderProof (LOWER BOUND(ID))
Heuristically decided to analyse the following defined symbols:
minus, quot, plus, gt, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
minus < quot
plus < minus
minus < encArg
quot < encArg
gt < plus
plus < encArg
gt < encArg

----------------------------------------

(10)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
minus(x, 0') -> x
minus(s(x), s(y)) -> minus(x, y)
quot(0', s(y)) -> 0'
quot(s(x), s(y)) -> s(quot(minus(x, y), s(y)))
minus(minus(x, y), z) -> minus(x, plus(y, z))
plus(s(x), s(y)) -> s(s(plus(if(gt(x, y), x, y), if(not(gt(x, y)), id(x), id(y)))))
plus(s(x), x) -> plus(if(gt(x, x), id(x), id(x)), s(x))
plus(zero, y) -> y
plus(id(x), s(y)) -> s(plus(x, if(gt(s(y), y), y, s(y))))
id(x) -> x
if(true, x, y) -> x
if(false, x, y) -> y
not(x) -> if(x, false, true)
gt(s(x), zero) -> true
gt(zero, y) -> false
gt(s(x), s(y)) -> gt(x, y)
encArg(0') -> 0'
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(zero) -> zero
encArg(true) -> true
encArg(false) -> false
encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_quot(x_1, x_2)) -> quot(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_id(x_1)) -> id(encArg(x_1))
encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_not(x_1)) -> not(encArg(x_1))
encArg(cons_gt(x_1, x_2)) -> gt(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_0 -> 0'
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_quot(x_1, x_2) -> quot(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_gt(x_1, x_2) -> gt(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_not(x_1) -> not(encArg(x_1))
encode_id(x_1) -> id(encArg(x_1))
encode_zero -> zero
encode_true -> true
encode_false -> false

Types:
minus :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
0' :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
s :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
quot :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
plus :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
if :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
gt :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
not :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
id :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
zero :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
true :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
false :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
encArg :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
cons_minus :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
cons_quot :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
cons_plus :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
cons_id :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
cons_if :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
cons_not :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
cons_gt :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
encode_minus :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
encode_0 :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
encode_s :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
encode_quot :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
encode_plus :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
encode_if :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
encode_gt :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
encode_not :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
encode_id :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
encode_zero :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
encode_true :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
encode_false :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
hole_0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt1_4 :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
gen_0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt2_4 :: Nat -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt


Generator Equations:
gen_0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt2_4(0) <=> 0'
gen_0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt2_4(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt2_4(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
gt, minus, quot, plus, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
minus < quot
plus < minus
minus < encArg
quot < encArg
gt < plus
plus < encArg
gt < encArg

----------------------------------------

(11) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
gt(gen_0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt2_4(+(1, n4_4)), gen_0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt2_4(+(1, n4_4))) -> *3_4, rt in Omega(n4_4)

Induction Base:
gt(gen_0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt2_4(+(1, 0)), gen_0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt2_4(+(1, 0)))

Induction Step:
gt(gen_0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt2_4(+(1, +(n4_4, 1))), gen_0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt2_4(+(1, +(n4_4, 1)))) ->_R^Omega(1)
gt(gen_0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt2_4(+(1, n4_4)), gen_0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt2_4(+(1, n4_4))) ->_IH
*3_4

We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n).
----------------------------------------

(12)
Complex Obligation (BEST)

----------------------------------------

(13)
Obligation:
Proved the lower bound n^1 for the following obligation:

Innermost TRS:
Rules:
minus(x, 0') -> x
minus(s(x), s(y)) -> minus(x, y)
quot(0', s(y)) -> 0'
quot(s(x), s(y)) -> s(quot(minus(x, y), s(y)))
minus(minus(x, y), z) -> minus(x, plus(y, z))
plus(s(x), s(y)) -> s(s(plus(if(gt(x, y), x, y), if(not(gt(x, y)), id(x), id(y)))))
plus(s(x), x) -> plus(if(gt(x, x), id(x), id(x)), s(x))
plus(zero, y) -> y
plus(id(x), s(y)) -> s(plus(x, if(gt(s(y), y), y, s(y))))
id(x) -> x
if(true, x, y) -> x
if(false, x, y) -> y
not(x) -> if(x, false, true)
gt(s(x), zero) -> true
gt(zero, y) -> false
gt(s(x), s(y)) -> gt(x, y)
encArg(0') -> 0'
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(zero) -> zero
encArg(true) -> true
encArg(false) -> false
encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_quot(x_1, x_2)) -> quot(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_id(x_1)) -> id(encArg(x_1))
encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_not(x_1)) -> not(encArg(x_1))
encArg(cons_gt(x_1, x_2)) -> gt(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_0 -> 0'
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_quot(x_1, x_2) -> quot(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_gt(x_1, x_2) -> gt(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_not(x_1) -> not(encArg(x_1))
encode_id(x_1) -> id(encArg(x_1))
encode_zero -> zero
encode_true -> true
encode_false -> false

Types:
minus :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
0' :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
s :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
quot :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
plus :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
if :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
gt :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
not :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
id :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
zero :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
true :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
false :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
encArg :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
cons_minus :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
cons_quot :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
cons_plus :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
cons_id :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
cons_if :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
cons_not :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
cons_gt :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
encode_minus :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
encode_0 :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
encode_s :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
encode_quot :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
encode_plus :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
encode_if :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
encode_gt :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
encode_not :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
encode_id :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
encode_zero :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
encode_true :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
encode_false :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
hole_0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt1_4 :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
gen_0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt2_4 :: Nat -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt


Generator Equations:
gen_0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt2_4(0) <=> 0'
gen_0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt2_4(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt2_4(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
gt, minus, quot, plus, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
minus < quot
plus < minus
minus < encArg
quot < encArg
gt < plus
plus < encArg
gt < encArg

----------------------------------------

(14) LowerBoundPropagationProof (FINISHED)
Propagated lower bound.
----------------------------------------

(15)
BOUNDS(n^1, INF)

----------------------------------------

(16)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
minus(x, 0') -> x
minus(s(x), s(y)) -> minus(x, y)
quot(0', s(y)) -> 0'
quot(s(x), s(y)) -> s(quot(minus(x, y), s(y)))
minus(minus(x, y), z) -> minus(x, plus(y, z))
plus(s(x), s(y)) -> s(s(plus(if(gt(x, y), x, y), if(not(gt(x, y)), id(x), id(y)))))
plus(s(x), x) -> plus(if(gt(x, x), id(x), id(x)), s(x))
plus(zero, y) -> y
plus(id(x), s(y)) -> s(plus(x, if(gt(s(y), y), y, s(y))))
id(x) -> x
if(true, x, y) -> x
if(false, x, y) -> y
not(x) -> if(x, false, true)
gt(s(x), zero) -> true
gt(zero, y) -> false
gt(s(x), s(y)) -> gt(x, y)
encArg(0') -> 0'
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(zero) -> zero
encArg(true) -> true
encArg(false) -> false
encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_quot(x_1, x_2)) -> quot(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_id(x_1)) -> id(encArg(x_1))
encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_not(x_1)) -> not(encArg(x_1))
encArg(cons_gt(x_1, x_2)) -> gt(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_0 -> 0'
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_quot(x_1, x_2) -> quot(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_gt(x_1, x_2) -> gt(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_not(x_1) -> not(encArg(x_1))
encode_id(x_1) -> id(encArg(x_1))
encode_zero -> zero
encode_true -> true
encode_false -> false

Types:
minus :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
0' :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
s :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
quot :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
plus :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
if :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
gt :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
not :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
id :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
zero :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
true :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
false :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
encArg :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
cons_minus :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
cons_quot :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
cons_plus :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
cons_id :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
cons_if :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
cons_not :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
cons_gt :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
encode_minus :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
encode_0 :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
encode_s :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
encode_quot :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
encode_plus :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
encode_if :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
encode_gt :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
encode_not :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
encode_id :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
encode_zero :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
encode_true :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
encode_false :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
hole_0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt1_4 :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
gen_0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt2_4 :: Nat -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt


Lemmas:
gt(gen_0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt2_4(+(1, n4_4)), gen_0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt2_4(+(1, n4_4))) -> *3_4, rt in Omega(n4_4)


Generator Equations:
gen_0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt2_4(0) <=> 0'
gen_0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt2_4(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt2_4(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
plus, minus, quot, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
minus < quot
plus < minus
minus < encArg
quot < encArg
plus < encArg

----------------------------------------

(17) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
minus(gen_0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt2_4(+(1, n2585_4)), gen_0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt2_4(+(1, n2585_4))) -> *3_4, rt in Omega(n2585_4)

Induction Base:
minus(gen_0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt2_4(+(1, 0)), gen_0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt2_4(+(1, 0)))

Induction Step:
minus(gen_0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt2_4(+(1, +(n2585_4, 1))), gen_0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt2_4(+(1, +(n2585_4, 1)))) ->_R^Omega(1)
minus(gen_0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt2_4(+(1, n2585_4)), gen_0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt2_4(+(1, n2585_4))) ->_IH
*3_4

We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n).
----------------------------------------

(18)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
minus(x, 0') -> x
minus(s(x), s(y)) -> minus(x, y)
quot(0', s(y)) -> 0'
quot(s(x), s(y)) -> s(quot(minus(x, y), s(y)))
minus(minus(x, y), z) -> minus(x, plus(y, z))
plus(s(x), s(y)) -> s(s(plus(if(gt(x, y), x, y), if(not(gt(x, y)), id(x), id(y)))))
plus(s(x), x) -> plus(if(gt(x, x), id(x), id(x)), s(x))
plus(zero, y) -> y
plus(id(x), s(y)) -> s(plus(x, if(gt(s(y), y), y, s(y))))
id(x) -> x
if(true, x, y) -> x
if(false, x, y) -> y
not(x) -> if(x, false, true)
gt(s(x), zero) -> true
gt(zero, y) -> false
gt(s(x), s(y)) -> gt(x, y)
encArg(0') -> 0'
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(zero) -> zero
encArg(true) -> true
encArg(false) -> false
encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_quot(x_1, x_2)) -> quot(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_id(x_1)) -> id(encArg(x_1))
encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_not(x_1)) -> not(encArg(x_1))
encArg(cons_gt(x_1, x_2)) -> gt(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_0 -> 0'
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_quot(x_1, x_2) -> quot(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_gt(x_1, x_2) -> gt(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_not(x_1) -> not(encArg(x_1))
encode_id(x_1) -> id(encArg(x_1))
encode_zero -> zero
encode_true -> true
encode_false -> false

Types:
minus :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
0' :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
s :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
quot :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
plus :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
if :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
gt :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
not :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
id :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
zero :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
true :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
false :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
encArg :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
cons_minus :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
cons_quot :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
cons_plus :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
cons_id :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
cons_if :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
cons_not :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
cons_gt :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
encode_minus :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
encode_0 :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
encode_s :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
encode_quot :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
encode_plus :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
encode_if :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
encode_gt :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
encode_not :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
encode_id :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
encode_zero :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
encode_true :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
encode_false :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
hole_0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt1_4 :: 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
gen_0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt2_4 :: Nat -> 0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt


Lemmas:
gt(gen_0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt2_4(+(1, n4_4)), gen_0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt2_4(+(1, n4_4))) -> *3_4, rt in Omega(n4_4)
minus(gen_0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt2_4(+(1, n2585_4)), gen_0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt2_4(+(1, n2585_4))) -> *3_4, rt in Omega(n2585_4)


Generator Equations:
gen_0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt2_4(0) <=> 0'
gen_0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt2_4(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt2_4(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
quot, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
quot < encArg

----------------------------------------

(19) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
encArg(gen_0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt2_4(n5599_4)) -> gen_0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt2_4(n5599_4), rt in Omega(0)

Induction Base:
encArg(gen_0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt2_4(0)) ->_R^Omega(0)
0'

Induction Step:
encArg(gen_0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt2_4(+(n5599_4, 1))) ->_R^Omega(0)
s(encArg(gen_0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt2_4(n5599_4))) ->_IH
s(gen_0':s:zero:true:false:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt2_4(c5600_4))

We have rt in Omega(1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n^0).
----------------------------------------

(20)
BOUNDS(1, INF)