WORST_CASE(Omega(n^1), ?)
proof of /export/starexec/sandbox2/benchmark/theBenchmark.xml
# AProVE Commit ID: 794c25de1cacf0d048858bcd21c9a779e1221865 marcel 20200619 unpublished dirty


The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).

(0) DCpxTrs
(1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
(2) CpxRelTRS
(3) SInnermostTerminationProof [BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID), 264 ms]
(4) CpxRelTRS
(5) RenamingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
(6) CpxRelTRS
(7) TypeInferenceProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
(8) typed CpxTrs
(9) OrderProof [LOWER BOUND(ID), 0 ms]
(10) typed CpxTrs
(11) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 293 ms]
(12) BEST
    (13) proven lower bound
        (14) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms]
        (15) BOUNDS(n^1, INF)
    (16) typed CpxTrs
        (17) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 81 ms]
        (18) typed CpxTrs
        (19) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 56 ms]
        (20) typed CpxTrs
        (21) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 3667 ms]
        (22) BOUNDS(1, INF)


----------------------------------------

(0)
Obligation:
The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   min(0, y) -> 0
   min(s(x), 0) -> 0
   min(s(x), s(y)) -> min(x, y)
   len(nil) -> 0
   len(cons(x, xs)) -> s(len(xs))
   sum(x, 0) -> x
   sum(x, s(y)) -> s(sum(x, y))
   le(0, x) -> true
   le(s(x), 0) -> false
   le(s(x), s(y)) -> le(x, y)
   take(0, cons(y, ys)) -> y
   take(s(x), cons(y, ys)) -> take(x, ys)
   addList(x, y) -> if(le(0, min(len(x), len(y))), 0, x, y, nil)
   if(false, c, x, y, z) -> z
   if(true, c, xs, ys, z) -> if(le(s(c), min(len(xs), len(ys))), s(c), xs, ys, cons(sum(take(c, xs), take(c, ys)), z))

S is empty.
Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
The following rules have been added to S to convert the given derivational complexity problem to a runtime complexity problem:

   encArg(0) -> 0
   encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
   encArg(nil) -> nil
   encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(true) -> true
   encArg(false) -> false
   encArg(cons_min(x_1, x_2)) -> min(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_len(x_1)) -> len(encArg(x_1))
   encArg(cons_sum(x_1, x_2)) -> sum(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_le(x_1, x_2)) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_take(x_1, x_2)) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_addList(x_1, x_2)) -> addList(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5))
   encode_min(x_1, x_2) -> min(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_0 -> 0
   encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
   encode_len(x_1) -> len(encArg(x_1))
   encode_nil -> nil
   encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_sum(x_1, x_2) -> sum(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_le(x_1, x_2) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_true -> true
   encode_false -> false
   encode_take(x_1, x_2) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_addList(x_1, x_2) -> addList(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5))


----------------------------------------

(2)
Obligation:
The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   min(0, y) -> 0
   min(s(x), 0) -> 0
   min(s(x), s(y)) -> min(x, y)
   len(nil) -> 0
   len(cons(x, xs)) -> s(len(xs))
   sum(x, 0) -> x
   sum(x, s(y)) -> s(sum(x, y))
   le(0, x) -> true
   le(s(x), 0) -> false
   le(s(x), s(y)) -> le(x, y)
   take(0, cons(y, ys)) -> y
   take(s(x), cons(y, ys)) -> take(x, ys)
   addList(x, y) -> if(le(0, min(len(x), len(y))), 0, x, y, nil)
   if(false, c, x, y, z) -> z
   if(true, c, xs, ys, z) -> if(le(s(c), min(len(xs), len(ys))), s(c), xs, ys, cons(sum(take(c, xs), take(c, ys)), z))

The (relative) TRS S consists of the following rules:

   encArg(0) -> 0
   encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
   encArg(nil) -> nil
   encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(true) -> true
   encArg(false) -> false
   encArg(cons_min(x_1, x_2)) -> min(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_len(x_1)) -> len(encArg(x_1))
   encArg(cons_sum(x_1, x_2)) -> sum(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_le(x_1, x_2)) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_take(x_1, x_2)) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_addList(x_1, x_2)) -> addList(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5))
   encode_min(x_1, x_2) -> min(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_0 -> 0
   encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
   encode_len(x_1) -> len(encArg(x_1))
   encode_nil -> nil
   encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_sum(x_1, x_2) -> sum(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_le(x_1, x_2) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_true -> true
   encode_false -> false
   encode_take(x_1, x_2) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_addList(x_1, x_2) -> addList(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5))

Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(3) SInnermostTerminationProof (BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID))
proved innermost termination of relative rules
----------------------------------------

(4)
Obligation:
The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   min(0, y) -> 0
   min(s(x), 0) -> 0
   min(s(x), s(y)) -> min(x, y)
   len(nil) -> 0
   len(cons(x, xs)) -> s(len(xs))
   sum(x, 0) -> x
   sum(x, s(y)) -> s(sum(x, y))
   le(0, x) -> true
   le(s(x), 0) -> false
   le(s(x), s(y)) -> le(x, y)
   take(0, cons(y, ys)) -> y
   take(s(x), cons(y, ys)) -> take(x, ys)
   addList(x, y) -> if(le(0, min(len(x), len(y))), 0, x, y, nil)
   if(false, c, x, y, z) -> z
   if(true, c, xs, ys, z) -> if(le(s(c), min(len(xs), len(ys))), s(c), xs, ys, cons(sum(take(c, xs), take(c, ys)), z))

The (relative) TRS S consists of the following rules:

   encArg(0) -> 0
   encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
   encArg(nil) -> nil
   encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(true) -> true
   encArg(false) -> false
   encArg(cons_min(x_1, x_2)) -> min(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_len(x_1)) -> len(encArg(x_1))
   encArg(cons_sum(x_1, x_2)) -> sum(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_le(x_1, x_2)) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_take(x_1, x_2)) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_addList(x_1, x_2)) -> addList(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5))
   encode_min(x_1, x_2) -> min(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_0 -> 0
   encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
   encode_len(x_1) -> len(encArg(x_1))
   encode_nil -> nil
   encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_sum(x_1, x_2) -> sum(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_le(x_1, x_2) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_true -> true
   encode_false -> false
   encode_take(x_1, x_2) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_addList(x_1, x_2) -> addList(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5))

Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(5) RenamingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol.
----------------------------------------

(6)
Obligation:
The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   min(0', y) -> 0'
   min(s(x), 0') -> 0'
   min(s(x), s(y)) -> min(x, y)
   len(nil) -> 0'
   len(cons(x, xs)) -> s(len(xs))
   sum(x, 0') -> x
   sum(x, s(y)) -> s(sum(x, y))
   le(0', x) -> true
   le(s(x), 0') -> false
   le(s(x), s(y)) -> le(x, y)
   take(0', cons(y, ys)) -> y
   take(s(x), cons(y, ys)) -> take(x, ys)
   addList(x, y) -> if(le(0', min(len(x), len(y))), 0', x, y, nil)
   if(false, c, x, y, z) -> z
   if(true, c, xs, ys, z) -> if(le(s(c), min(len(xs), len(ys))), s(c), xs, ys, cons(sum(take(c, xs), take(c, ys)), z))

The (relative) TRS S consists of the following rules:

   encArg(0') -> 0'
   encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
   encArg(nil) -> nil
   encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(true) -> true
   encArg(false) -> false
   encArg(cons_min(x_1, x_2)) -> min(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_len(x_1)) -> len(encArg(x_1))
   encArg(cons_sum(x_1, x_2)) -> sum(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_le(x_1, x_2)) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_take(x_1, x_2)) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_addList(x_1, x_2)) -> addList(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5))
   encode_min(x_1, x_2) -> min(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_0 -> 0'
   encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
   encode_len(x_1) -> len(encArg(x_1))
   encode_nil -> nil
   encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_sum(x_1, x_2) -> sum(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_le(x_1, x_2) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_true -> true
   encode_false -> false
   encode_take(x_1, x_2) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_addList(x_1, x_2) -> addList(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5))

Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(7) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
Infered types.
----------------------------------------

(8)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
min(0', y) -> 0'
min(s(x), 0') -> 0'
min(s(x), s(y)) -> min(x, y)
len(nil) -> 0'
len(cons(x, xs)) -> s(len(xs))
sum(x, 0') -> x
sum(x, s(y)) -> s(sum(x, y))
le(0', x) -> true
le(s(x), 0') -> false
le(s(x), s(y)) -> le(x, y)
take(0', cons(y, ys)) -> y
take(s(x), cons(y, ys)) -> take(x, ys)
addList(x, y) -> if(le(0', min(len(x), len(y))), 0', x, y, nil)
if(false, c, x, y, z) -> z
if(true, c, xs, ys, z) -> if(le(s(c), min(len(xs), len(ys))), s(c), xs, ys, cons(sum(take(c, xs), take(c, ys)), z))
encArg(0') -> 0'
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(nil) -> nil
encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(true) -> true
encArg(false) -> false
encArg(cons_min(x_1, x_2)) -> min(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_len(x_1)) -> len(encArg(x_1))
encArg(cons_sum(x_1, x_2)) -> sum(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_le(x_1, x_2)) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_take(x_1, x_2)) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_addList(x_1, x_2)) -> addList(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5))
encode_min(x_1, x_2) -> min(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_0 -> 0'
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_len(x_1) -> len(encArg(x_1))
encode_nil -> nil
encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_sum(x_1, x_2) -> sum(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_le(x_1, x_2) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_true -> true
encode_false -> false
encode_take(x_1, x_2) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_addList(x_1, x_2) -> addList(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5))

Types:
min :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
0' :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
s :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
len :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
nil :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
cons :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
sum :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
le :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
true :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
false :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
take :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
addList :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
if :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
encArg :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
cons_min :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
cons_len :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
cons_sum :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
cons_le :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
cons_take :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
cons_addList :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
cons_if :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
encode_min :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
encode_0 :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
encode_s :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
encode_len :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
encode_nil :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
encode_cons :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
encode_sum :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
encode_le :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
encode_true :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
encode_false :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
encode_take :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
encode_addList :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
encode_if :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
hole_0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if1_6 :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
gen_0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if2_6 :: Nat -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if

----------------------------------------

(9) OrderProof (LOWER BOUND(ID))
Heuristically decided to analyse the following defined symbols:
min, len, sum, le, take, if, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
min < if
min < encArg
len < if
len < encArg
sum < if
sum < encArg
le < if
le < encArg
take < if
take < encArg
if < encArg

----------------------------------------

(10)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
min(0', y) -> 0'
min(s(x), 0') -> 0'
min(s(x), s(y)) -> min(x, y)
len(nil) -> 0'
len(cons(x, xs)) -> s(len(xs))
sum(x, 0') -> x
sum(x, s(y)) -> s(sum(x, y))
le(0', x) -> true
le(s(x), 0') -> false
le(s(x), s(y)) -> le(x, y)
take(0', cons(y, ys)) -> y
take(s(x), cons(y, ys)) -> take(x, ys)
addList(x, y) -> if(le(0', min(len(x), len(y))), 0', x, y, nil)
if(false, c, x, y, z) -> z
if(true, c, xs, ys, z) -> if(le(s(c), min(len(xs), len(ys))), s(c), xs, ys, cons(sum(take(c, xs), take(c, ys)), z))
encArg(0') -> 0'
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(nil) -> nil
encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(true) -> true
encArg(false) -> false
encArg(cons_min(x_1, x_2)) -> min(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_len(x_1)) -> len(encArg(x_1))
encArg(cons_sum(x_1, x_2)) -> sum(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_le(x_1, x_2)) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_take(x_1, x_2)) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_addList(x_1, x_2)) -> addList(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5))
encode_min(x_1, x_2) -> min(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_0 -> 0'
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_len(x_1) -> len(encArg(x_1))
encode_nil -> nil
encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_sum(x_1, x_2) -> sum(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_le(x_1, x_2) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_true -> true
encode_false -> false
encode_take(x_1, x_2) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_addList(x_1, x_2) -> addList(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5))

Types:
min :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
0' :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
s :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
len :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
nil :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
cons :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
sum :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
le :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
true :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
false :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
take :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
addList :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
if :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
encArg :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
cons_min :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
cons_len :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
cons_sum :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
cons_le :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
cons_take :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
cons_addList :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
cons_if :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
encode_min :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
encode_0 :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
encode_s :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
encode_len :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
encode_nil :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
encode_cons :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
encode_sum :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
encode_le :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
encode_true :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
encode_false :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
encode_take :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
encode_addList :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
encode_if :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
hole_0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if1_6 :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
gen_0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if2_6 :: Nat -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if


Generator Equations:
gen_0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if2_6(0) <=> 0'
gen_0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if2_6(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if2_6(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
min, len, sum, le, take, if, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
min < if
min < encArg
len < if
len < encArg
sum < if
sum < encArg
le < if
le < encArg
take < if
take < encArg
if < encArg

----------------------------------------

(11) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
min(gen_0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if2_6(n4_6), gen_0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if2_6(n4_6)) -> gen_0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if2_6(0), rt in Omega(1 + n4_6)

Induction Base:
min(gen_0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if2_6(0), gen_0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if2_6(0)) ->_R^Omega(1)
0'

Induction Step:
min(gen_0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if2_6(+(n4_6, 1)), gen_0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if2_6(+(n4_6, 1))) ->_R^Omega(1)
min(gen_0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if2_6(n4_6), gen_0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if2_6(n4_6)) ->_IH
gen_0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if2_6(0)

We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n).
----------------------------------------

(12)
Complex Obligation (BEST)

----------------------------------------

(13)
Obligation:
Proved the lower bound n^1 for the following obligation:

Innermost TRS:
Rules:
min(0', y) -> 0'
min(s(x), 0') -> 0'
min(s(x), s(y)) -> min(x, y)
len(nil) -> 0'
len(cons(x, xs)) -> s(len(xs))
sum(x, 0') -> x
sum(x, s(y)) -> s(sum(x, y))
le(0', x) -> true
le(s(x), 0') -> false
le(s(x), s(y)) -> le(x, y)
take(0', cons(y, ys)) -> y
take(s(x), cons(y, ys)) -> take(x, ys)
addList(x, y) -> if(le(0', min(len(x), len(y))), 0', x, y, nil)
if(false, c, x, y, z) -> z
if(true, c, xs, ys, z) -> if(le(s(c), min(len(xs), len(ys))), s(c), xs, ys, cons(sum(take(c, xs), take(c, ys)), z))
encArg(0') -> 0'
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(nil) -> nil
encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(true) -> true
encArg(false) -> false
encArg(cons_min(x_1, x_2)) -> min(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_len(x_1)) -> len(encArg(x_1))
encArg(cons_sum(x_1, x_2)) -> sum(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_le(x_1, x_2)) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_take(x_1, x_2)) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_addList(x_1, x_2)) -> addList(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5))
encode_min(x_1, x_2) -> min(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_0 -> 0'
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_len(x_1) -> len(encArg(x_1))
encode_nil -> nil
encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_sum(x_1, x_2) -> sum(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_le(x_1, x_2) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_true -> true
encode_false -> false
encode_take(x_1, x_2) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_addList(x_1, x_2) -> addList(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5))

Types:
min :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
0' :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
s :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
len :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
nil :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
cons :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
sum :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
le :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
true :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
false :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
take :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
addList :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
if :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
encArg :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
cons_min :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
cons_len :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
cons_sum :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
cons_le :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
cons_take :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
cons_addList :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
cons_if :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
encode_min :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
encode_0 :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
encode_s :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
encode_len :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
encode_nil :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
encode_cons :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
encode_sum :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
encode_le :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
encode_true :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
encode_false :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
encode_take :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
encode_addList :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
encode_if :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
hole_0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if1_6 :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
gen_0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if2_6 :: Nat -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if


Generator Equations:
gen_0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if2_6(0) <=> 0'
gen_0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if2_6(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if2_6(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
min, len, sum, le, take, if, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
min < if
min < encArg
len < if
len < encArg
sum < if
sum < encArg
le < if
le < encArg
take < if
take < encArg
if < encArg

----------------------------------------

(14) LowerBoundPropagationProof (FINISHED)
Propagated lower bound.
----------------------------------------

(15)
BOUNDS(n^1, INF)

----------------------------------------

(16)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
min(0', y) -> 0'
min(s(x), 0') -> 0'
min(s(x), s(y)) -> min(x, y)
len(nil) -> 0'
len(cons(x, xs)) -> s(len(xs))
sum(x, 0') -> x
sum(x, s(y)) -> s(sum(x, y))
le(0', x) -> true
le(s(x), 0') -> false
le(s(x), s(y)) -> le(x, y)
take(0', cons(y, ys)) -> y
take(s(x), cons(y, ys)) -> take(x, ys)
addList(x, y) -> if(le(0', min(len(x), len(y))), 0', x, y, nil)
if(false, c, x, y, z) -> z
if(true, c, xs, ys, z) -> if(le(s(c), min(len(xs), len(ys))), s(c), xs, ys, cons(sum(take(c, xs), take(c, ys)), z))
encArg(0') -> 0'
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(nil) -> nil
encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(true) -> true
encArg(false) -> false
encArg(cons_min(x_1, x_2)) -> min(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_len(x_1)) -> len(encArg(x_1))
encArg(cons_sum(x_1, x_2)) -> sum(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_le(x_1, x_2)) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_take(x_1, x_2)) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_addList(x_1, x_2)) -> addList(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5))
encode_min(x_1, x_2) -> min(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_0 -> 0'
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_len(x_1) -> len(encArg(x_1))
encode_nil -> nil
encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_sum(x_1, x_2) -> sum(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_le(x_1, x_2) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_true -> true
encode_false -> false
encode_take(x_1, x_2) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_addList(x_1, x_2) -> addList(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5))

Types:
min :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
0' :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
s :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
len :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
nil :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
cons :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
sum :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
le :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
true :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
false :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
take :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
addList :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
if :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
encArg :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
cons_min :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
cons_len :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
cons_sum :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
cons_le :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
cons_take :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
cons_addList :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
cons_if :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
encode_min :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
encode_0 :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
encode_s :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
encode_len :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
encode_nil :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
encode_cons :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
encode_sum :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
encode_le :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
encode_true :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
encode_false :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
encode_take :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
encode_addList :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
encode_if :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
hole_0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if1_6 :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
gen_0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if2_6 :: Nat -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if


Lemmas:
min(gen_0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if2_6(n4_6), gen_0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if2_6(n4_6)) -> gen_0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if2_6(0), rt in Omega(1 + n4_6)


Generator Equations:
gen_0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if2_6(0) <=> 0'
gen_0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if2_6(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if2_6(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
len, sum, le, take, if, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
len < if
len < encArg
sum < if
sum < encArg
le < if
le < encArg
take < if
take < encArg
if < encArg

----------------------------------------

(17) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
sum(gen_0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if2_6(a), gen_0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if2_6(n830_6)) -> gen_0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if2_6(+(n830_6, a)), rt in Omega(1 + n830_6)

Induction Base:
sum(gen_0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if2_6(a), gen_0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if2_6(0)) ->_R^Omega(1)
gen_0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if2_6(a)

Induction Step:
sum(gen_0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if2_6(a), gen_0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if2_6(+(n830_6, 1))) ->_R^Omega(1)
s(sum(gen_0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if2_6(a), gen_0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if2_6(n830_6))) ->_IH
s(gen_0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if2_6(+(a, c831_6)))

We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n).
----------------------------------------

(18)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
min(0', y) -> 0'
min(s(x), 0') -> 0'
min(s(x), s(y)) -> min(x, y)
len(nil) -> 0'
len(cons(x, xs)) -> s(len(xs))
sum(x, 0') -> x
sum(x, s(y)) -> s(sum(x, y))
le(0', x) -> true
le(s(x), 0') -> false
le(s(x), s(y)) -> le(x, y)
take(0', cons(y, ys)) -> y
take(s(x), cons(y, ys)) -> take(x, ys)
addList(x, y) -> if(le(0', min(len(x), len(y))), 0', x, y, nil)
if(false, c, x, y, z) -> z
if(true, c, xs, ys, z) -> if(le(s(c), min(len(xs), len(ys))), s(c), xs, ys, cons(sum(take(c, xs), take(c, ys)), z))
encArg(0') -> 0'
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(nil) -> nil
encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(true) -> true
encArg(false) -> false
encArg(cons_min(x_1, x_2)) -> min(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_len(x_1)) -> len(encArg(x_1))
encArg(cons_sum(x_1, x_2)) -> sum(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_le(x_1, x_2)) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_take(x_1, x_2)) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_addList(x_1, x_2)) -> addList(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5))
encode_min(x_1, x_2) -> min(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_0 -> 0'
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_len(x_1) -> len(encArg(x_1))
encode_nil -> nil
encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_sum(x_1, x_2) -> sum(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_le(x_1, x_2) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_true -> true
encode_false -> false
encode_take(x_1, x_2) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_addList(x_1, x_2) -> addList(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5))

Types:
min :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
0' :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
s :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
len :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
nil :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
cons :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
sum :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
le :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
true :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
false :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
take :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
addList :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
if :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
encArg :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
cons_min :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
cons_len :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
cons_sum :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
cons_le :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
cons_take :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
cons_addList :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
cons_if :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
encode_min :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
encode_0 :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
encode_s :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
encode_len :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
encode_nil :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
encode_cons :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
encode_sum :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
encode_le :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
encode_true :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
encode_false :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
encode_take :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
encode_addList :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
encode_if :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
hole_0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if1_6 :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
gen_0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if2_6 :: Nat -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if


Lemmas:
min(gen_0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if2_6(n4_6), gen_0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if2_6(n4_6)) -> gen_0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if2_6(0), rt in Omega(1 + n4_6)
sum(gen_0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if2_6(a), gen_0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if2_6(n830_6)) -> gen_0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if2_6(+(n830_6, a)), rt in Omega(1 + n830_6)


Generator Equations:
gen_0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if2_6(0) <=> 0'
gen_0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if2_6(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if2_6(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
le, take, if, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
le < if
le < encArg
take < if
take < encArg
if < encArg

----------------------------------------

(19) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
le(gen_0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if2_6(n2241_6), gen_0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if2_6(n2241_6)) -> true, rt in Omega(1 + n2241_6)

Induction Base:
le(gen_0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if2_6(0), gen_0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if2_6(0)) ->_R^Omega(1)
true

Induction Step:
le(gen_0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if2_6(+(n2241_6, 1)), gen_0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if2_6(+(n2241_6, 1))) ->_R^Omega(1)
le(gen_0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if2_6(n2241_6), gen_0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if2_6(n2241_6)) ->_IH
true

We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n).
----------------------------------------

(20)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
min(0', y) -> 0'
min(s(x), 0') -> 0'
min(s(x), s(y)) -> min(x, y)
len(nil) -> 0'
len(cons(x, xs)) -> s(len(xs))
sum(x, 0') -> x
sum(x, s(y)) -> s(sum(x, y))
le(0', x) -> true
le(s(x), 0') -> false
le(s(x), s(y)) -> le(x, y)
take(0', cons(y, ys)) -> y
take(s(x), cons(y, ys)) -> take(x, ys)
addList(x, y) -> if(le(0', min(len(x), len(y))), 0', x, y, nil)
if(false, c, x, y, z) -> z
if(true, c, xs, ys, z) -> if(le(s(c), min(len(xs), len(ys))), s(c), xs, ys, cons(sum(take(c, xs), take(c, ys)), z))
encArg(0') -> 0'
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(nil) -> nil
encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(true) -> true
encArg(false) -> false
encArg(cons_min(x_1, x_2)) -> min(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_len(x_1)) -> len(encArg(x_1))
encArg(cons_sum(x_1, x_2)) -> sum(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_le(x_1, x_2)) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_take(x_1, x_2)) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_addList(x_1, x_2)) -> addList(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5))
encode_min(x_1, x_2) -> min(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_0 -> 0'
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_len(x_1) -> len(encArg(x_1))
encode_nil -> nil
encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_sum(x_1, x_2) -> sum(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_le(x_1, x_2) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_true -> true
encode_false -> false
encode_take(x_1, x_2) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_addList(x_1, x_2) -> addList(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5))

Types:
min :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
0' :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
s :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
len :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
nil :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
cons :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
sum :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
le :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
true :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
false :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
take :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
addList :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
if :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
encArg :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
cons_min :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
cons_len :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
cons_sum :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
cons_le :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
cons_take :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
cons_addList :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
cons_if :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
encode_min :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
encode_0 :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
encode_s :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
encode_len :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
encode_nil :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
encode_cons :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
encode_sum :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
encode_le :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
encode_true :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
encode_false :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
encode_take :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
encode_addList :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
encode_if :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
hole_0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if1_6 :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if
gen_0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if2_6 :: Nat -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if


Lemmas:
min(gen_0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if2_6(n4_6), gen_0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if2_6(n4_6)) -> gen_0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if2_6(0), rt in Omega(1 + n4_6)
sum(gen_0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if2_6(a), gen_0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if2_6(n830_6)) -> gen_0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if2_6(+(n830_6, a)), rt in Omega(1 + n830_6)
le(gen_0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if2_6(n2241_6), gen_0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if2_6(n2241_6)) -> true, rt in Omega(1 + n2241_6)


Generator Equations:
gen_0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if2_6(0) <=> 0'
gen_0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if2_6(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if2_6(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
take, if, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
take < if
take < encArg
if < encArg

----------------------------------------

(21) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
encArg(gen_0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if2_6(n2962_6)) -> gen_0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if2_6(n2962_6), rt in Omega(0)

Induction Base:
encArg(gen_0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if2_6(0)) ->_R^Omega(0)
0'

Induction Step:
encArg(gen_0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if2_6(+(n2962_6, 1))) ->_R^Omega(0)
s(encArg(gen_0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if2_6(n2962_6))) ->_IH
s(gen_0':s:nil:cons:true:false:cons_min:cons_len:cons_sum:cons_le:cons_take:cons_addList:cons_if2_6(c2963_6))

We have rt in Omega(1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n^0).
----------------------------------------

(22)
BOUNDS(1, INF)