WORST_CASE(Omega(n^1), ?) proof of /export/starexec/sandbox2/benchmark/theBenchmark.xml # AProVE Commit ID: 794c25de1cacf0d048858bcd21c9a779e1221865 marcel 20200619 unpublished dirty The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). (0) DCpxTrs (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (2) CpxRelTRS (3) SInnermostTerminationProof [BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID), 390 ms] (4) CpxRelTRS (5) RenamingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (6) CpxRelTRS (7) TypeInferenceProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (8) typed CpxTrs (9) OrderProof [LOWER BOUND(ID), 0 ms] (10) typed CpxTrs (11) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 277 ms] (12) BEST (13) proven lower bound (14) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms] (15) BOUNDS(n^1, INF) (16) typed CpxTrs (17) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 53 ms] (18) typed CpxTrs (19) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 1432 ms] (20) BOUNDS(1, INF) ---------------------------------------- (0) Obligation: The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: half(0) -> 0 half(s(0)) -> 0 half(s(s(x))) -> s(half(x)) lastbit(0) -> 0 lastbit(s(0)) -> s(0) lastbit(s(s(x))) -> lastbit(x) zero(0) -> true zero(s(x)) -> false conv(x) -> conviter(x, cons(0, nil)) conviter(x, l) -> if(zero(x), x, l) if(true, x, l) -> l if(false, x, l) -> conviter(half(x), cons(lastbit(x), l)) S is empty. Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) The following rules have been added to S to convert the given derivational complexity problem to a runtime complexity problem: encArg(0) -> 0 encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(true) -> true encArg(false) -> false encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(nil) -> nil encArg(cons_half(x_1)) -> half(encArg(x_1)) encArg(cons_lastbit(x_1)) -> lastbit(encArg(x_1)) encArg(cons_zero(x_1)) -> zero(encArg(x_1)) encArg(cons_conv(x_1)) -> conv(encArg(x_1)) encArg(cons_conviter(x_1, x_2)) -> conviter(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_half(x_1) -> half(encArg(x_1)) encode_0 -> 0 encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_lastbit(x_1) -> lastbit(encArg(x_1)) encode_zero(x_1) -> zero(encArg(x_1)) encode_true -> true encode_false -> false encode_conv(x_1) -> conv(encArg(x_1)) encode_conviter(x_1, x_2) -> conviter(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) ---------------------------------------- (2) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: half(0) -> 0 half(s(0)) -> 0 half(s(s(x))) -> s(half(x)) lastbit(0) -> 0 lastbit(s(0)) -> s(0) lastbit(s(s(x))) -> lastbit(x) zero(0) -> true zero(s(x)) -> false conv(x) -> conviter(x, cons(0, nil)) conviter(x, l) -> if(zero(x), x, l) if(true, x, l) -> l if(false, x, l) -> conviter(half(x), cons(lastbit(x), l)) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(0) -> 0 encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(true) -> true encArg(false) -> false encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(nil) -> nil encArg(cons_half(x_1)) -> half(encArg(x_1)) encArg(cons_lastbit(x_1)) -> lastbit(encArg(x_1)) encArg(cons_zero(x_1)) -> zero(encArg(x_1)) encArg(cons_conv(x_1)) -> conv(encArg(x_1)) encArg(cons_conviter(x_1, x_2)) -> conviter(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_half(x_1) -> half(encArg(x_1)) encode_0 -> 0 encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_lastbit(x_1) -> lastbit(encArg(x_1)) encode_zero(x_1) -> zero(encArg(x_1)) encode_true -> true encode_false -> false encode_conv(x_1) -> conv(encArg(x_1)) encode_conviter(x_1, x_2) -> conviter(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (3) SInnermostTerminationProof (BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID)) proved innermost termination of relative rules ---------------------------------------- (4) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: half(0) -> 0 half(s(0)) -> 0 half(s(s(x))) -> s(half(x)) lastbit(0) -> 0 lastbit(s(0)) -> s(0) lastbit(s(s(x))) -> lastbit(x) zero(0) -> true zero(s(x)) -> false conv(x) -> conviter(x, cons(0, nil)) conviter(x, l) -> if(zero(x), x, l) if(true, x, l) -> l if(false, x, l) -> conviter(half(x), cons(lastbit(x), l)) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(0) -> 0 encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(true) -> true encArg(false) -> false encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(nil) -> nil encArg(cons_half(x_1)) -> half(encArg(x_1)) encArg(cons_lastbit(x_1)) -> lastbit(encArg(x_1)) encArg(cons_zero(x_1)) -> zero(encArg(x_1)) encArg(cons_conv(x_1)) -> conv(encArg(x_1)) encArg(cons_conviter(x_1, x_2)) -> conviter(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_half(x_1) -> half(encArg(x_1)) encode_0 -> 0 encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_lastbit(x_1) -> lastbit(encArg(x_1)) encode_zero(x_1) -> zero(encArg(x_1)) encode_true -> true encode_false -> false encode_conv(x_1) -> conv(encArg(x_1)) encode_conviter(x_1, x_2) -> conviter(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (5) RenamingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol. ---------------------------------------- (6) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: half(0') -> 0' half(s(0')) -> 0' half(s(s(x))) -> s(half(x)) lastbit(0') -> 0' lastbit(s(0')) -> s(0') lastbit(s(s(x))) -> lastbit(x) zero(0') -> true zero(s(x)) -> false conv(x) -> conviter(x, cons(0', nil)) conviter(x, l) -> if(zero(x), x, l) if(true, x, l) -> l if(false, x, l) -> conviter(half(x), cons(lastbit(x), l)) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(0') -> 0' encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(true) -> true encArg(false) -> false encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(nil) -> nil encArg(cons_half(x_1)) -> half(encArg(x_1)) encArg(cons_lastbit(x_1)) -> lastbit(encArg(x_1)) encArg(cons_zero(x_1)) -> zero(encArg(x_1)) encArg(cons_conv(x_1)) -> conv(encArg(x_1)) encArg(cons_conviter(x_1, x_2)) -> conviter(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_half(x_1) -> half(encArg(x_1)) encode_0 -> 0' encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_lastbit(x_1) -> lastbit(encArg(x_1)) encode_zero(x_1) -> zero(encArg(x_1)) encode_true -> true encode_false -> false encode_conv(x_1) -> conv(encArg(x_1)) encode_conviter(x_1, x_2) -> conviter(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (7) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Infered types. ---------------------------------------- (8) Obligation: Innermost TRS: Rules: half(0') -> 0' half(s(0')) -> 0' half(s(s(x))) -> s(half(x)) lastbit(0') -> 0' lastbit(s(0')) -> s(0') lastbit(s(s(x))) -> lastbit(x) zero(0') -> true zero(s(x)) -> false conv(x) -> conviter(x, cons(0', nil)) conviter(x, l) -> if(zero(x), x, l) if(true, x, l) -> l if(false, x, l) -> conviter(half(x), cons(lastbit(x), l)) encArg(0') -> 0' encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(true) -> true encArg(false) -> false encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(nil) -> nil encArg(cons_half(x_1)) -> half(encArg(x_1)) encArg(cons_lastbit(x_1)) -> lastbit(encArg(x_1)) encArg(cons_zero(x_1)) -> zero(encArg(x_1)) encArg(cons_conv(x_1)) -> conv(encArg(x_1)) encArg(cons_conviter(x_1, x_2)) -> conviter(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_half(x_1) -> half(encArg(x_1)) encode_0 -> 0' encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_lastbit(x_1) -> lastbit(encArg(x_1)) encode_zero(x_1) -> zero(encArg(x_1)) encode_true -> true encode_false -> false encode_conv(x_1) -> conv(encArg(x_1)) encode_conviter(x_1, x_2) -> conviter(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) Types: half :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if 0' :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if s :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if lastbit :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if zero :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if true :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if false :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if conv :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if conviter :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if cons :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if nil :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if if :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if encArg :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if cons_half :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if cons_lastbit :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if cons_zero :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if cons_conv :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if cons_conviter :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if cons_if :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if encode_half :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if encode_0 :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if encode_s :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if encode_lastbit :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if encode_zero :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if encode_true :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if encode_false :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if encode_conv :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if encode_conviter :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if encode_cons :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if encode_nil :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if encode_if :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if hole_0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if1_4 :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if gen_0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if2_4 :: Nat -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if ---------------------------------------- (9) OrderProof (LOWER BOUND(ID)) Heuristically decided to analyse the following defined symbols: half, lastbit, conviter, if, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: half < if half < encArg lastbit < if lastbit < encArg conviter = if conviter < encArg if < encArg ---------------------------------------- (10) Obligation: Innermost TRS: Rules: half(0') -> 0' half(s(0')) -> 0' half(s(s(x))) -> s(half(x)) lastbit(0') -> 0' lastbit(s(0')) -> s(0') lastbit(s(s(x))) -> lastbit(x) zero(0') -> true zero(s(x)) -> false conv(x) -> conviter(x, cons(0', nil)) conviter(x, l) -> if(zero(x), x, l) if(true, x, l) -> l if(false, x, l) -> conviter(half(x), cons(lastbit(x), l)) encArg(0') -> 0' encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(true) -> true encArg(false) -> false encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(nil) -> nil encArg(cons_half(x_1)) -> half(encArg(x_1)) encArg(cons_lastbit(x_1)) -> lastbit(encArg(x_1)) encArg(cons_zero(x_1)) -> zero(encArg(x_1)) encArg(cons_conv(x_1)) -> conv(encArg(x_1)) encArg(cons_conviter(x_1, x_2)) -> conviter(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_half(x_1) -> half(encArg(x_1)) encode_0 -> 0' encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_lastbit(x_1) -> lastbit(encArg(x_1)) encode_zero(x_1) -> zero(encArg(x_1)) encode_true -> true encode_false -> false encode_conv(x_1) -> conv(encArg(x_1)) encode_conviter(x_1, x_2) -> conviter(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) Types: half :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if 0' :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if s :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if lastbit :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if zero :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if true :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if false :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if conv :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if conviter :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if cons :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if nil :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if if :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if encArg :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if cons_half :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if cons_lastbit :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if cons_zero :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if cons_conv :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if cons_conviter :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if cons_if :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if encode_half :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if encode_0 :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if encode_s :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if encode_lastbit :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if encode_zero :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if encode_true :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if encode_false :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if encode_conv :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if encode_conviter :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if encode_cons :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if encode_nil :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if encode_if :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if hole_0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if1_4 :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if gen_0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if2_4 :: Nat -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if Generator Equations: gen_0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if2_4(0) <=> 0' gen_0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if2_4(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if2_4(x)) The following defined symbols remain to be analysed: half, lastbit, conviter, if, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: half < if half < encArg lastbit < if lastbit < encArg conviter = if conviter < encArg if < encArg ---------------------------------------- (11) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: half(gen_0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if2_4(*(2, n4_4))) -> gen_0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if2_4(n4_4), rt in Omega(1 + n4_4) Induction Base: half(gen_0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if2_4(*(2, 0))) ->_R^Omega(1) 0' Induction Step: half(gen_0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if2_4(*(2, +(n4_4, 1)))) ->_R^Omega(1) s(half(gen_0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if2_4(*(2, n4_4)))) ->_IH s(gen_0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if2_4(c5_4)) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (12) Complex Obligation (BEST) ---------------------------------------- (13) Obligation: Proved the lower bound n^1 for the following obligation: Innermost TRS: Rules: half(0') -> 0' half(s(0')) -> 0' half(s(s(x))) -> s(half(x)) lastbit(0') -> 0' lastbit(s(0')) -> s(0') lastbit(s(s(x))) -> lastbit(x) zero(0') -> true zero(s(x)) -> false conv(x) -> conviter(x, cons(0', nil)) conviter(x, l) -> if(zero(x), x, l) if(true, x, l) -> l if(false, x, l) -> conviter(half(x), cons(lastbit(x), l)) encArg(0') -> 0' encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(true) -> true encArg(false) -> false encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(nil) -> nil encArg(cons_half(x_1)) -> half(encArg(x_1)) encArg(cons_lastbit(x_1)) -> lastbit(encArg(x_1)) encArg(cons_zero(x_1)) -> zero(encArg(x_1)) encArg(cons_conv(x_1)) -> conv(encArg(x_1)) encArg(cons_conviter(x_1, x_2)) -> conviter(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_half(x_1) -> half(encArg(x_1)) encode_0 -> 0' encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_lastbit(x_1) -> lastbit(encArg(x_1)) encode_zero(x_1) -> zero(encArg(x_1)) encode_true -> true encode_false -> false encode_conv(x_1) -> conv(encArg(x_1)) encode_conviter(x_1, x_2) -> conviter(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) Types: half :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if 0' :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if s :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if lastbit :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if zero :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if true :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if false :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if conv :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if conviter :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if cons :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if nil :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if if :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if encArg :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if cons_half :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if cons_lastbit :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if cons_zero :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if cons_conv :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if cons_conviter :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if cons_if :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if encode_half :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if encode_0 :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if encode_s :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if encode_lastbit :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if encode_zero :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if encode_true :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if encode_false :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if encode_conv :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if encode_conviter :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if encode_cons :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if encode_nil :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if encode_if :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if hole_0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if1_4 :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if gen_0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if2_4 :: Nat -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if Generator Equations: gen_0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if2_4(0) <=> 0' gen_0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if2_4(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if2_4(x)) The following defined symbols remain to be analysed: half, lastbit, conviter, if, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: half < if half < encArg lastbit < if lastbit < encArg conviter = if conviter < encArg if < encArg ---------------------------------------- (14) LowerBoundPropagationProof (FINISHED) Propagated lower bound. ---------------------------------------- (15) BOUNDS(n^1, INF) ---------------------------------------- (16) Obligation: Innermost TRS: Rules: half(0') -> 0' half(s(0')) -> 0' half(s(s(x))) -> s(half(x)) lastbit(0') -> 0' lastbit(s(0')) -> s(0') lastbit(s(s(x))) -> lastbit(x) zero(0') -> true zero(s(x)) -> false conv(x) -> conviter(x, cons(0', nil)) conviter(x, l) -> if(zero(x), x, l) if(true, x, l) -> l if(false, x, l) -> conviter(half(x), cons(lastbit(x), l)) encArg(0') -> 0' encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(true) -> true encArg(false) -> false encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(nil) -> nil encArg(cons_half(x_1)) -> half(encArg(x_1)) encArg(cons_lastbit(x_1)) -> lastbit(encArg(x_1)) encArg(cons_zero(x_1)) -> zero(encArg(x_1)) encArg(cons_conv(x_1)) -> conv(encArg(x_1)) encArg(cons_conviter(x_1, x_2)) -> conviter(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_half(x_1) -> half(encArg(x_1)) encode_0 -> 0' encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_lastbit(x_1) -> lastbit(encArg(x_1)) encode_zero(x_1) -> zero(encArg(x_1)) encode_true -> true encode_false -> false encode_conv(x_1) -> conv(encArg(x_1)) encode_conviter(x_1, x_2) -> conviter(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) Types: half :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if 0' :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if s :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if lastbit :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if zero :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if true :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if false :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if conv :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if conviter :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if cons :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if nil :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if if :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if encArg :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if cons_half :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if cons_lastbit :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if cons_zero :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if cons_conv :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if cons_conviter :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if cons_if :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if encode_half :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if encode_0 :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if encode_s :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if encode_lastbit :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if encode_zero :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if encode_true :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if encode_false :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if encode_conv :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if encode_conviter :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if encode_cons :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if encode_nil :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if encode_if :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if hole_0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if1_4 :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if gen_0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if2_4 :: Nat -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if Lemmas: half(gen_0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if2_4(*(2, n4_4))) -> gen_0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if2_4(n4_4), rt in Omega(1 + n4_4) Generator Equations: gen_0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if2_4(0) <=> 0' gen_0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if2_4(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if2_4(x)) The following defined symbols remain to be analysed: lastbit, conviter, if, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: lastbit < if lastbit < encArg conviter = if conviter < encArg if < encArg ---------------------------------------- (17) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: lastbit(gen_0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if2_4(*(2, n546_4))) -> gen_0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if2_4(0), rt in Omega(1 + n546_4) Induction Base: lastbit(gen_0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if2_4(*(2, 0))) ->_R^Omega(1) 0' Induction Step: lastbit(gen_0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if2_4(*(2, +(n546_4, 1)))) ->_R^Omega(1) lastbit(gen_0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if2_4(*(2, n546_4))) ->_IH gen_0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if2_4(0) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (18) Obligation: Innermost TRS: Rules: half(0') -> 0' half(s(0')) -> 0' half(s(s(x))) -> s(half(x)) lastbit(0') -> 0' lastbit(s(0')) -> s(0') lastbit(s(s(x))) -> lastbit(x) zero(0') -> true zero(s(x)) -> false conv(x) -> conviter(x, cons(0', nil)) conviter(x, l) -> if(zero(x), x, l) if(true, x, l) -> l if(false, x, l) -> conviter(half(x), cons(lastbit(x), l)) encArg(0') -> 0' encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(true) -> true encArg(false) -> false encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(nil) -> nil encArg(cons_half(x_1)) -> half(encArg(x_1)) encArg(cons_lastbit(x_1)) -> lastbit(encArg(x_1)) encArg(cons_zero(x_1)) -> zero(encArg(x_1)) encArg(cons_conv(x_1)) -> conv(encArg(x_1)) encArg(cons_conviter(x_1, x_2)) -> conviter(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_half(x_1) -> half(encArg(x_1)) encode_0 -> 0' encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_lastbit(x_1) -> lastbit(encArg(x_1)) encode_zero(x_1) -> zero(encArg(x_1)) encode_true -> true encode_false -> false encode_conv(x_1) -> conv(encArg(x_1)) encode_conviter(x_1, x_2) -> conviter(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) Types: half :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if 0' :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if s :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if lastbit :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if zero :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if true :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if false :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if conv :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if conviter :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if cons :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if nil :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if if :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if encArg :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if cons_half :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if cons_lastbit :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if cons_zero :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if cons_conv :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if cons_conviter :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if cons_if :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if encode_half :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if encode_0 :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if encode_s :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if encode_lastbit :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if encode_zero :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if encode_true :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if encode_false :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if encode_conv :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if encode_conviter :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if encode_cons :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if encode_nil :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if encode_if :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if hole_0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if1_4 :: 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if gen_0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if2_4 :: Nat -> 0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if Lemmas: half(gen_0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if2_4(*(2, n4_4))) -> gen_0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if2_4(n4_4), rt in Omega(1 + n4_4) lastbit(gen_0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if2_4(*(2, n546_4))) -> gen_0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if2_4(0), rt in Omega(1 + n546_4) Generator Equations: gen_0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if2_4(0) <=> 0' gen_0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if2_4(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if2_4(x)) The following defined symbols remain to be analysed: if, conviter, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: conviter = if conviter < encArg if < encArg ---------------------------------------- (19) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: encArg(gen_0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if2_4(n1731_4)) -> gen_0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if2_4(n1731_4), rt in Omega(0) Induction Base: encArg(gen_0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if2_4(0)) ->_R^Omega(0) 0' Induction Step: encArg(gen_0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if2_4(+(n1731_4, 1))) ->_R^Omega(0) s(encArg(gen_0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if2_4(n1731_4))) ->_IH s(gen_0':s:true:false:nil:cons:cons_half:cons_lastbit:cons_zero:cons_conv:cons_conviter:cons_if2_4(c1732_4)) We have rt in Omega(1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n^0). ---------------------------------------- (20) BOUNDS(1, INF)