WORST_CASE(Omega(n^1), ?) proof of /export/starexec/sandbox/benchmark/theBenchmark.xml # AProVE Commit ID: 794c25de1cacf0d048858bcd21c9a779e1221865 marcel 20200619 unpublished dirty The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). (0) DCpxTrs (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (2) CpxRelTRS (3) SInnermostTerminationProof [BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID), 180 ms] (4) CpxRelTRS (5) RenamingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (6) CpxRelTRS (7) TypeInferenceProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 4 ms] (8) typed CpxTrs (9) OrderProof [LOWER BOUND(ID), 0 ms] (10) typed CpxTrs (11) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 292 ms] (12) BEST (13) proven lower bound (14) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms] (15) BOUNDS(n^1, INF) (16) typed CpxTrs (17) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 35 ms] (18) typed CpxTrs (19) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 321 ms] (20) BOUNDS(1, INF) ---------------------------------------- (0) Obligation: The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: 1024 -> 1024_1(0) 1024_1(x) -> if(lt(x, 10), x) if(true, x) -> double(1024_1(s(x))) if(false, x) -> s(0) lt(0, s(y)) -> true lt(x, 0) -> false lt(s(x), s(y)) -> lt(x, y) double(0) -> 0 double(s(x)) -> s(s(double(x))) 10 -> double(s(double(s(s(0))))) S is empty. Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) The following rules have been added to S to convert the given derivational complexity problem to a runtime complexity problem: encArg(0) -> 0 encArg(true) -> true encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(false) -> false encArg(cons_1024) -> 1024 encArg(cons_1024_1(x_1)) -> 1024_1(encArg(x_1)) encArg(cons_if(x_1, x_2)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_lt(x_1, x_2)) -> lt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_double(x_1)) -> double(encArg(x_1)) encArg(cons_10) -> 10 encode_1024 -> 1024 encode_1024_1(x_1) -> 1024_1(encArg(x_1)) encode_0 -> 0 encode_if(x_1, x_2) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_lt(x_1, x_2) -> lt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_10 -> 10 encode_true -> true encode_double(x_1) -> double(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_false -> false ---------------------------------------- (2) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: 1024 -> 1024_1(0) 1024_1(x) -> if(lt(x, 10), x) if(true, x) -> double(1024_1(s(x))) if(false, x) -> s(0) lt(0, s(y)) -> true lt(x, 0) -> false lt(s(x), s(y)) -> lt(x, y) double(0) -> 0 double(s(x)) -> s(s(double(x))) 10 -> double(s(double(s(s(0))))) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(0) -> 0 encArg(true) -> true encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(false) -> false encArg(cons_1024) -> 1024 encArg(cons_1024_1(x_1)) -> 1024_1(encArg(x_1)) encArg(cons_if(x_1, x_2)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_lt(x_1, x_2)) -> lt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_double(x_1)) -> double(encArg(x_1)) encArg(cons_10) -> 10 encode_1024 -> 1024 encode_1024_1(x_1) -> 1024_1(encArg(x_1)) encode_0 -> 0 encode_if(x_1, x_2) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_lt(x_1, x_2) -> lt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_10 -> 10 encode_true -> true encode_double(x_1) -> double(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_false -> false Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (3) SInnermostTerminationProof (BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID)) proved innermost termination of relative rules ---------------------------------------- (4) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: 1024 -> 1024_1(0) 1024_1(x) -> if(lt(x, 10), x) if(true, x) -> double(1024_1(s(x))) if(false, x) -> s(0) lt(0, s(y)) -> true lt(x, 0) -> false lt(s(x), s(y)) -> lt(x, y) double(0) -> 0 double(s(x)) -> s(s(double(x))) 10 -> double(s(double(s(s(0))))) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(0) -> 0 encArg(true) -> true encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(false) -> false encArg(cons_1024) -> 1024 encArg(cons_1024_1(x_1)) -> 1024_1(encArg(x_1)) encArg(cons_if(x_1, x_2)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_lt(x_1, x_2)) -> lt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_double(x_1)) -> double(encArg(x_1)) encArg(cons_10) -> 10 encode_1024 -> 1024 encode_1024_1(x_1) -> 1024_1(encArg(x_1)) encode_0 -> 0 encode_if(x_1, x_2) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_lt(x_1, x_2) -> lt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_10 -> 10 encode_true -> true encode_double(x_1) -> double(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_false -> false Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (5) RenamingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol. ---------------------------------------- (6) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: 1024' -> 1024_1(0') 1024_1(x) -> if(lt(x, 10'), x) if(true, x) -> double(1024_1(s(x))) if(false, x) -> s(0') lt(0', s(y)) -> true lt(x, 0') -> false lt(s(x), s(y)) -> lt(x, y) double(0') -> 0' double(s(x)) -> s(s(double(x))) 10' -> double(s(double(s(s(0'))))) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(0') -> 0' encArg(true) -> true encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(false) -> false encArg(cons_1024) -> 1024' encArg(cons_1024_1(x_1)) -> 1024_1(encArg(x_1)) encArg(cons_if(x_1, x_2)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_lt(x_1, x_2)) -> lt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_double(x_1)) -> double(encArg(x_1)) encArg(cons_10) -> 10' encode_1024 -> 1024' encode_1024_1(x_1) -> 1024_1(encArg(x_1)) encode_0 -> 0' encode_if(x_1, x_2) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_lt(x_1, x_2) -> lt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_10 -> 10' encode_true -> true encode_double(x_1) -> double(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_false -> false Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (7) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Infered types. ---------------------------------------- (8) Obligation: Innermost TRS: Rules: 1024' -> 1024_1(0') 1024_1(x) -> if(lt(x, 10'), x) if(true, x) -> double(1024_1(s(x))) if(false, x) -> s(0') lt(0', s(y)) -> true lt(x, 0') -> false lt(s(x), s(y)) -> lt(x, y) double(0') -> 0' double(s(x)) -> s(s(double(x))) 10' -> double(s(double(s(s(0'))))) encArg(0') -> 0' encArg(true) -> true encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(false) -> false encArg(cons_1024) -> 1024' encArg(cons_1024_1(x_1)) -> 1024_1(encArg(x_1)) encArg(cons_if(x_1, x_2)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_lt(x_1, x_2)) -> lt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_double(x_1)) -> double(encArg(x_1)) encArg(cons_10) -> 10' encode_1024 -> 1024' encode_1024_1(x_1) -> 1024_1(encArg(x_1)) encode_0 -> 0' encode_if(x_1, x_2) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_lt(x_1, x_2) -> lt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_10 -> 10' encode_true -> true encode_double(x_1) -> double(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_false -> false Types: 1024' :: 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 1024_1 :: 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 -> 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 0' :: 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 if :: 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 -> 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 -> 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 lt :: 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 -> 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 -> 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 10' :: 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 true :: 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 double :: 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 -> 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 s :: 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 -> 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 false :: 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 encArg :: 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 -> 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 cons_1024 :: 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 cons_1024_1 :: 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 -> 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 cons_if :: 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 -> 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 -> 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 cons_lt :: 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 -> 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 -> 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 cons_double :: 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 -> 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 cons_10 :: 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 encode_1024 :: 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 encode_1024_1 :: 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 -> 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 encode_0 :: 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 encode_if :: 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 -> 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 -> 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 encode_lt :: 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 -> 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 -> 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 encode_10 :: 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 encode_true :: 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 encode_double :: 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 -> 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 encode_s :: 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 -> 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 encode_false :: 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 hole_0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_101_3 :: 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 gen_0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_102_3 :: Nat -> 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 ---------------------------------------- (9) OrderProof (LOWER BOUND(ID)) Heuristically decided to analyse the following defined symbols: 1024_1, if, lt, double, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: 1024_1 = if lt < 1024_1 1024_1 < encArg double < if if < encArg lt < encArg double < encArg ---------------------------------------- (10) Obligation: Innermost TRS: Rules: 1024' -> 1024_1(0') 1024_1(x) -> if(lt(x, 10'), x) if(true, x) -> double(1024_1(s(x))) if(false, x) -> s(0') lt(0', s(y)) -> true lt(x, 0') -> false lt(s(x), s(y)) -> lt(x, y) double(0') -> 0' double(s(x)) -> s(s(double(x))) 10' -> double(s(double(s(s(0'))))) encArg(0') -> 0' encArg(true) -> true encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(false) -> false encArg(cons_1024) -> 1024' encArg(cons_1024_1(x_1)) -> 1024_1(encArg(x_1)) encArg(cons_if(x_1, x_2)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_lt(x_1, x_2)) -> lt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_double(x_1)) -> double(encArg(x_1)) encArg(cons_10) -> 10' encode_1024 -> 1024' encode_1024_1(x_1) -> 1024_1(encArg(x_1)) encode_0 -> 0' encode_if(x_1, x_2) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_lt(x_1, x_2) -> lt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_10 -> 10' encode_true -> true encode_double(x_1) -> double(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_false -> false Types: 1024' :: 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 1024_1 :: 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 -> 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 0' :: 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 if :: 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 -> 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 -> 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 lt :: 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 -> 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 -> 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 10' :: 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 true :: 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 double :: 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 -> 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 s :: 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 -> 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 false :: 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 encArg :: 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 -> 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 cons_1024 :: 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 cons_1024_1 :: 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 -> 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 cons_if :: 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 -> 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 -> 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 cons_lt :: 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 -> 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 -> 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 cons_double :: 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 -> 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 cons_10 :: 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 encode_1024 :: 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 encode_1024_1 :: 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 -> 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 encode_0 :: 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 encode_if :: 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 -> 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 -> 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 encode_lt :: 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 -> 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 -> 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 encode_10 :: 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 encode_true :: 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 encode_double :: 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 -> 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 encode_s :: 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 -> 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 encode_false :: 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 hole_0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_101_3 :: 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 gen_0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_102_3 :: Nat -> 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 Generator Equations: gen_0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_102_3(0) <=> 0' gen_0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_102_3(+(x, 1)) <=> s(gen_0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_102_3(x)) The following defined symbols remain to be analysed: lt, 1024_1, if, double, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: 1024_1 = if lt < 1024_1 1024_1 < encArg double < if if < encArg lt < encArg double < encArg ---------------------------------------- (11) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: lt(gen_0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_102_3(n4_3), gen_0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_102_3(+(1, n4_3))) -> true, rt in Omega(1 + n4_3) Induction Base: lt(gen_0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_102_3(0), gen_0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_102_3(+(1, 0))) ->_R^Omega(1) true Induction Step: lt(gen_0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_102_3(+(n4_3, 1)), gen_0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_102_3(+(1, +(n4_3, 1)))) ->_R^Omega(1) lt(gen_0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_102_3(n4_3), gen_0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_102_3(+(1, n4_3))) ->_IH true We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (12) Complex Obligation (BEST) ---------------------------------------- (13) Obligation: Proved the lower bound n^1 for the following obligation: Innermost TRS: Rules: 1024' -> 1024_1(0') 1024_1(x) -> if(lt(x, 10'), x) if(true, x) -> double(1024_1(s(x))) if(false, x) -> s(0') lt(0', s(y)) -> true lt(x, 0') -> false lt(s(x), s(y)) -> lt(x, y) double(0') -> 0' double(s(x)) -> s(s(double(x))) 10' -> double(s(double(s(s(0'))))) encArg(0') -> 0' encArg(true) -> true encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(false) -> false encArg(cons_1024) -> 1024' encArg(cons_1024_1(x_1)) -> 1024_1(encArg(x_1)) encArg(cons_if(x_1, x_2)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_lt(x_1, x_2)) -> lt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_double(x_1)) -> double(encArg(x_1)) encArg(cons_10) -> 10' encode_1024 -> 1024' encode_1024_1(x_1) -> 1024_1(encArg(x_1)) encode_0 -> 0' encode_if(x_1, x_2) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_lt(x_1, x_2) -> lt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_10 -> 10' encode_true -> true encode_double(x_1) -> double(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_false -> false Types: 1024' :: 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 1024_1 :: 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 -> 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 0' :: 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 if :: 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 -> 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 -> 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 lt :: 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 -> 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 -> 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 10' :: 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 true :: 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 double :: 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 -> 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 s :: 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 -> 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 false :: 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 encArg :: 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 -> 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 cons_1024 :: 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 cons_1024_1 :: 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 -> 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 cons_if :: 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 -> 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 -> 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 cons_lt :: 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 -> 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 -> 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 cons_double :: 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 -> 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 cons_10 :: 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 encode_1024 :: 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 encode_1024_1 :: 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 -> 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 encode_0 :: 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 encode_if :: 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 -> 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 -> 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 encode_lt :: 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 -> 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 -> 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 encode_10 :: 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 encode_true :: 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 encode_double :: 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 -> 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 encode_s :: 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 -> 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 encode_false :: 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 hole_0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_101_3 :: 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 gen_0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_102_3 :: Nat -> 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 Generator Equations: gen_0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_102_3(0) <=> 0' gen_0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_102_3(+(x, 1)) <=> s(gen_0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_102_3(x)) The following defined symbols remain to be analysed: lt, 1024_1, if, double, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: 1024_1 = if lt < 1024_1 1024_1 < encArg double < if if < encArg lt < encArg double < encArg ---------------------------------------- (14) LowerBoundPropagationProof (FINISHED) Propagated lower bound. ---------------------------------------- (15) BOUNDS(n^1, INF) ---------------------------------------- (16) Obligation: Innermost TRS: Rules: 1024' -> 1024_1(0') 1024_1(x) -> if(lt(x, 10'), x) if(true, x) -> double(1024_1(s(x))) if(false, x) -> s(0') lt(0', s(y)) -> true lt(x, 0') -> false lt(s(x), s(y)) -> lt(x, y) double(0') -> 0' double(s(x)) -> s(s(double(x))) 10' -> double(s(double(s(s(0'))))) encArg(0') -> 0' encArg(true) -> true encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(false) -> false encArg(cons_1024) -> 1024' encArg(cons_1024_1(x_1)) -> 1024_1(encArg(x_1)) encArg(cons_if(x_1, x_2)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_lt(x_1, x_2)) -> lt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_double(x_1)) -> double(encArg(x_1)) encArg(cons_10) -> 10' encode_1024 -> 1024' encode_1024_1(x_1) -> 1024_1(encArg(x_1)) encode_0 -> 0' encode_if(x_1, x_2) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_lt(x_1, x_2) -> lt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_10 -> 10' encode_true -> true encode_double(x_1) -> double(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_false -> false Types: 1024' :: 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 1024_1 :: 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 -> 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 0' :: 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 if :: 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 -> 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 -> 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 lt :: 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 -> 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 -> 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 10' :: 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 true :: 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 double :: 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 -> 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 s :: 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 -> 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 false :: 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 encArg :: 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 -> 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 cons_1024 :: 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 cons_1024_1 :: 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 -> 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 cons_if :: 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 -> 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 -> 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 cons_lt :: 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 -> 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 -> 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 cons_double :: 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 -> 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 cons_10 :: 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 encode_1024 :: 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 encode_1024_1 :: 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 -> 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 encode_0 :: 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 encode_if :: 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 -> 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 -> 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 encode_lt :: 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 -> 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 -> 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 encode_10 :: 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 encode_true :: 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 encode_double :: 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 -> 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 encode_s :: 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 -> 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 encode_false :: 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 hole_0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_101_3 :: 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 gen_0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_102_3 :: Nat -> 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 Lemmas: lt(gen_0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_102_3(n4_3), gen_0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_102_3(+(1, n4_3))) -> true, rt in Omega(1 + n4_3) Generator Equations: gen_0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_102_3(0) <=> 0' gen_0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_102_3(+(x, 1)) <=> s(gen_0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_102_3(x)) The following defined symbols remain to be analysed: double, 1024_1, if, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: 1024_1 = if 1024_1 < encArg double < if if < encArg double < encArg ---------------------------------------- (17) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: double(gen_0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_102_3(n550_3)) -> gen_0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_102_3(*(2, n550_3)), rt in Omega(1 + n550_3) Induction Base: double(gen_0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_102_3(0)) ->_R^Omega(1) 0' Induction Step: double(gen_0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_102_3(+(n550_3, 1))) ->_R^Omega(1) s(s(double(gen_0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_102_3(n550_3)))) ->_IH s(s(gen_0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_102_3(*(2, c551_3)))) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (18) Obligation: Innermost TRS: Rules: 1024' -> 1024_1(0') 1024_1(x) -> if(lt(x, 10'), x) if(true, x) -> double(1024_1(s(x))) if(false, x) -> s(0') lt(0', s(y)) -> true lt(x, 0') -> false lt(s(x), s(y)) -> lt(x, y) double(0') -> 0' double(s(x)) -> s(s(double(x))) 10' -> double(s(double(s(s(0'))))) encArg(0') -> 0' encArg(true) -> true encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(false) -> false encArg(cons_1024) -> 1024' encArg(cons_1024_1(x_1)) -> 1024_1(encArg(x_1)) encArg(cons_if(x_1, x_2)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_lt(x_1, x_2)) -> lt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_double(x_1)) -> double(encArg(x_1)) encArg(cons_10) -> 10' encode_1024 -> 1024' encode_1024_1(x_1) -> 1024_1(encArg(x_1)) encode_0 -> 0' encode_if(x_1, x_2) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_lt(x_1, x_2) -> lt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_10 -> 10' encode_true -> true encode_double(x_1) -> double(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_false -> false Types: 1024' :: 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 1024_1 :: 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 -> 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 0' :: 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 if :: 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 -> 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 -> 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 lt :: 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 -> 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 -> 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 10' :: 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 true :: 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 double :: 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 -> 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 s :: 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 -> 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 false :: 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 encArg :: 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 -> 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 cons_1024 :: 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 cons_1024_1 :: 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 -> 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 cons_if :: 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 -> 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 -> 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 cons_lt :: 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 -> 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 -> 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 cons_double :: 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 -> 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 cons_10 :: 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 encode_1024 :: 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 encode_1024_1 :: 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 -> 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 encode_0 :: 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 encode_if :: 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 -> 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 -> 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 encode_lt :: 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 -> 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 -> 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 encode_10 :: 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 encode_true :: 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 encode_double :: 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 -> 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 encode_s :: 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 -> 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 encode_false :: 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 hole_0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_101_3 :: 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 gen_0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_102_3 :: Nat -> 0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_10 Lemmas: lt(gen_0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_102_3(n4_3), gen_0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_102_3(+(1, n4_3))) -> true, rt in Omega(1 + n4_3) double(gen_0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_102_3(n550_3)) -> gen_0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_102_3(*(2, n550_3)), rt in Omega(1 + n550_3) Generator Equations: gen_0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_102_3(0) <=> 0' gen_0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_102_3(+(x, 1)) <=> s(gen_0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_102_3(x)) The following defined symbols remain to be analysed: if, 1024_1, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: 1024_1 = if 1024_1 < encArg if < encArg ---------------------------------------- (19) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: encArg(gen_0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_102_3(n1156_3)) -> gen_0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_102_3(n1156_3), rt in Omega(0) Induction Base: encArg(gen_0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_102_3(0)) ->_R^Omega(0) 0' Induction Step: encArg(gen_0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_102_3(+(n1156_3, 1))) ->_R^Omega(0) s(encArg(gen_0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_102_3(n1156_3))) ->_IH s(gen_0':true:s:false:cons_1024:cons_1024_1:cons_if:cons_lt:cons_double:cons_102_3(c1157_3)) We have rt in Omega(1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n^0). ---------------------------------------- (20) BOUNDS(1, INF)