WORST_CASE(Omega(n^1), ?) proof of /export/starexec/sandbox2/benchmark/theBenchmark.xml # AProVE Commit ID: 794c25de1cacf0d048858bcd21c9a779e1221865 marcel 20200619 unpublished dirty The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). (0) DCpxTrs (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (2) CpxRelTRS (3) SInnermostTerminationProof [BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID), 438 ms] (4) CpxRelTRS (5) RenamingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (6) CpxRelTRS (7) TypeInferenceProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (8) typed CpxTrs (9) OrderProof [LOWER BOUND(ID), 0 ms] (10) typed CpxTrs (11) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 264 ms] (12) BEST (13) proven lower bound (14) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms] (15) BOUNDS(n^1, INF) (16) typed CpxTrs (17) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 54 ms] (18) typed CpxTrs (19) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 16 ms] (20) typed CpxTrs (21) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 1779 ms] (22) BOUNDS(1, INF) ---------------------------------------- (0) Obligation: The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: check(0) -> zero check(s(0)) -> odd check(s(s(0))) -> even check(s(s(s(x)))) -> check(s(x)) half(0) -> 0 half(s(0)) -> 0 half(s(s(x))) -> s(half(x)) plus(0, y) -> y plus(s(x), y) -> s(plus(x, y)) times(x, y) -> timesIter(x, y, 0) timesIter(x, y, z) -> if(check(x), x, y, z, plus(z, y)) p(s(x)) -> x p(0) -> 0 if(zero, x, y, z, u) -> z if(odd, x, y, z, u) -> timesIter(p(x), y, u) if(even, x, y, z, u) -> plus(timesIter(half(x), y, half(z)), timesIter(half(x), y, half(s(z)))) S is empty. Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) The following rules have been added to S to convert the given derivational complexity problem to a runtime complexity problem: encArg(0) -> 0 encArg(zero) -> zero encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(odd) -> odd encArg(even) -> even encArg(cons_check(x_1)) -> check(encArg(x_1)) encArg(cons_half(x_1)) -> half(encArg(x_1)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_times(x_1, x_2)) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_timesIter(x_1, x_2, x_3)) -> timesIter(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_p(x_1)) -> p(encArg(x_1)) encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5)) encode_check(x_1) -> check(encArg(x_1)) encode_0 -> 0 encode_zero -> zero encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_odd -> odd encode_even -> even encode_half(x_1) -> half(encArg(x_1)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_times(x_1, x_2) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_timesIter(x_1, x_2, x_3) -> timesIter(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5)) encode_p(x_1) -> p(encArg(x_1)) ---------------------------------------- (2) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: check(0) -> zero check(s(0)) -> odd check(s(s(0))) -> even check(s(s(s(x)))) -> check(s(x)) half(0) -> 0 half(s(0)) -> 0 half(s(s(x))) -> s(half(x)) plus(0, y) -> y plus(s(x), y) -> s(plus(x, y)) times(x, y) -> timesIter(x, y, 0) timesIter(x, y, z) -> if(check(x), x, y, z, plus(z, y)) p(s(x)) -> x p(0) -> 0 if(zero, x, y, z, u) -> z if(odd, x, y, z, u) -> timesIter(p(x), y, u) if(even, x, y, z, u) -> plus(timesIter(half(x), y, half(z)), timesIter(half(x), y, half(s(z)))) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(0) -> 0 encArg(zero) -> zero encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(odd) -> odd encArg(even) -> even encArg(cons_check(x_1)) -> check(encArg(x_1)) encArg(cons_half(x_1)) -> half(encArg(x_1)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_times(x_1, x_2)) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_timesIter(x_1, x_2, x_3)) -> timesIter(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_p(x_1)) -> p(encArg(x_1)) encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5)) encode_check(x_1) -> check(encArg(x_1)) encode_0 -> 0 encode_zero -> zero encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_odd -> odd encode_even -> even encode_half(x_1) -> half(encArg(x_1)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_times(x_1, x_2) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_timesIter(x_1, x_2, x_3) -> timesIter(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5)) encode_p(x_1) -> p(encArg(x_1)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (3) SInnermostTerminationProof (BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID)) proved innermost termination of relative rules ---------------------------------------- (4) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: check(0) -> zero check(s(0)) -> odd check(s(s(0))) -> even check(s(s(s(x)))) -> check(s(x)) half(0) -> 0 half(s(0)) -> 0 half(s(s(x))) -> s(half(x)) plus(0, y) -> y plus(s(x), y) -> s(plus(x, y)) times(x, y) -> timesIter(x, y, 0) timesIter(x, y, z) -> if(check(x), x, y, z, plus(z, y)) p(s(x)) -> x p(0) -> 0 if(zero, x, y, z, u) -> z if(odd, x, y, z, u) -> timesIter(p(x), y, u) if(even, x, y, z, u) -> plus(timesIter(half(x), y, half(z)), timesIter(half(x), y, half(s(z)))) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(0) -> 0 encArg(zero) -> zero encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(odd) -> odd encArg(even) -> even encArg(cons_check(x_1)) -> check(encArg(x_1)) encArg(cons_half(x_1)) -> half(encArg(x_1)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_times(x_1, x_2)) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_timesIter(x_1, x_2, x_3)) -> timesIter(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_p(x_1)) -> p(encArg(x_1)) encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5)) encode_check(x_1) -> check(encArg(x_1)) encode_0 -> 0 encode_zero -> zero encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_odd -> odd encode_even -> even encode_half(x_1) -> half(encArg(x_1)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_times(x_1, x_2) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_timesIter(x_1, x_2, x_3) -> timesIter(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5)) encode_p(x_1) -> p(encArg(x_1)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (5) RenamingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol. ---------------------------------------- (6) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: check(0') -> zero check(s(0')) -> odd check(s(s(0'))) -> even check(s(s(s(x)))) -> check(s(x)) half(0') -> 0' half(s(0')) -> 0' half(s(s(x))) -> s(half(x)) plus(0', y) -> y plus(s(x), y) -> s(plus(x, y)) times(x, y) -> timesIter(x, y, 0') timesIter(x, y, z) -> if(check(x), x, y, z, plus(z, y)) p(s(x)) -> x p(0') -> 0' if(zero, x, y, z, u) -> z if(odd, x, y, z, u) -> timesIter(p(x), y, u) if(even, x, y, z, u) -> plus(timesIter(half(x), y, half(z)), timesIter(half(x), y, half(s(z)))) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(0') -> 0' encArg(zero) -> zero encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(odd) -> odd encArg(even) -> even encArg(cons_check(x_1)) -> check(encArg(x_1)) encArg(cons_half(x_1)) -> half(encArg(x_1)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_times(x_1, x_2)) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_timesIter(x_1, x_2, x_3)) -> timesIter(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_p(x_1)) -> p(encArg(x_1)) encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5)) encode_check(x_1) -> check(encArg(x_1)) encode_0 -> 0' encode_zero -> zero encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_odd -> odd encode_even -> even encode_half(x_1) -> half(encArg(x_1)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_times(x_1, x_2) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_timesIter(x_1, x_2, x_3) -> timesIter(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5)) encode_p(x_1) -> p(encArg(x_1)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (7) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Infered types. ---------------------------------------- (8) Obligation: Innermost TRS: Rules: check(0') -> zero check(s(0')) -> odd check(s(s(0'))) -> even check(s(s(s(x)))) -> check(s(x)) half(0') -> 0' half(s(0')) -> 0' half(s(s(x))) -> s(half(x)) plus(0', y) -> y plus(s(x), y) -> s(plus(x, y)) times(x, y) -> timesIter(x, y, 0') timesIter(x, y, z) -> if(check(x), x, y, z, plus(z, y)) p(s(x)) -> x p(0') -> 0' if(zero, x, y, z, u) -> z if(odd, x, y, z, u) -> timesIter(p(x), y, u) if(even, x, y, z, u) -> plus(timesIter(half(x), y, half(z)), timesIter(half(x), y, half(s(z)))) encArg(0') -> 0' encArg(zero) -> zero encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(odd) -> odd encArg(even) -> even encArg(cons_check(x_1)) -> check(encArg(x_1)) encArg(cons_half(x_1)) -> half(encArg(x_1)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_times(x_1, x_2)) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_timesIter(x_1, x_2, x_3)) -> timesIter(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_p(x_1)) -> p(encArg(x_1)) encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5)) encode_check(x_1) -> check(encArg(x_1)) encode_0 -> 0' encode_zero -> zero encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_odd -> odd encode_even -> even encode_half(x_1) -> half(encArg(x_1)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_times(x_1, x_2) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_timesIter(x_1, x_2, x_3) -> timesIter(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5)) encode_p(x_1) -> p(encArg(x_1)) Types: check :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if 0' :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if zero :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if s :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if odd :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if even :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if half :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if plus :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if times :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if timesIter :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if if :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if p :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if encArg :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if cons_check :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if cons_half :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if cons_plus :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if cons_times :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if cons_timesIter :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if cons_p :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if cons_if :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if encode_check :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if encode_0 :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if encode_zero :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if encode_s :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if encode_odd :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if encode_even :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if encode_half :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if encode_plus :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if encode_times :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if encode_timesIter :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if encode_if :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if encode_p :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if hole_0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if1_6 :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if gen_0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if2_6 :: Nat -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if ---------------------------------------- (9) OrderProof (LOWER BOUND(ID)) Heuristically decided to analyse the following defined symbols: check, half, plus, timesIter, if, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: check < timesIter check < encArg half < if half < encArg plus < timesIter plus < if plus < encArg timesIter = if timesIter < encArg if < encArg ---------------------------------------- (10) Obligation: Innermost TRS: Rules: check(0') -> zero check(s(0')) -> odd check(s(s(0'))) -> even check(s(s(s(x)))) -> check(s(x)) half(0') -> 0' half(s(0')) -> 0' half(s(s(x))) -> s(half(x)) plus(0', y) -> y plus(s(x), y) -> s(plus(x, y)) times(x, y) -> timesIter(x, y, 0') timesIter(x, y, z) -> if(check(x), x, y, z, plus(z, y)) p(s(x)) -> x p(0') -> 0' if(zero, x, y, z, u) -> z if(odd, x, y, z, u) -> timesIter(p(x), y, u) if(even, x, y, z, u) -> plus(timesIter(half(x), y, half(z)), timesIter(half(x), y, half(s(z)))) encArg(0') -> 0' encArg(zero) -> zero encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(odd) -> odd encArg(even) -> even encArg(cons_check(x_1)) -> check(encArg(x_1)) encArg(cons_half(x_1)) -> half(encArg(x_1)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_times(x_1, x_2)) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_timesIter(x_1, x_2, x_3)) -> timesIter(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_p(x_1)) -> p(encArg(x_1)) encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5)) encode_check(x_1) -> check(encArg(x_1)) encode_0 -> 0' encode_zero -> zero encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_odd -> odd encode_even -> even encode_half(x_1) -> half(encArg(x_1)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_times(x_1, x_2) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_timesIter(x_1, x_2, x_3) -> timesIter(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5)) encode_p(x_1) -> p(encArg(x_1)) Types: check :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if 0' :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if zero :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if s :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if odd :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if even :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if half :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if plus :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if times :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if timesIter :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if if :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if p :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if encArg :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if cons_check :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if cons_half :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if cons_plus :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if cons_times :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if cons_timesIter :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if cons_p :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if cons_if :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if encode_check :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if encode_0 :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if encode_zero :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if encode_s :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if encode_odd :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if encode_even :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if encode_half :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if encode_plus :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if encode_times :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if encode_timesIter :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if encode_if :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if encode_p :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if hole_0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if1_6 :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if gen_0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if2_6 :: Nat -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if Generator Equations: gen_0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if2_6(0) <=> 0' gen_0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if2_6(+(x, 1)) <=> s(gen_0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if2_6(x)) The following defined symbols remain to be analysed: check, half, plus, timesIter, if, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: check < timesIter check < encArg half < if half < encArg plus < timesIter plus < if plus < encArg timesIter = if timesIter < encArg if < encArg ---------------------------------------- (11) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: check(gen_0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if2_6(+(1, *(2, n4_6)))) -> odd, rt in Omega(1 + n4_6) Induction Base: check(gen_0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if2_6(+(1, *(2, 0)))) ->_R^Omega(1) odd Induction Step: check(gen_0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if2_6(+(1, *(2, +(n4_6, 1))))) ->_R^Omega(1) check(s(gen_0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if2_6(*(2, n4_6)))) ->_IH odd We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (12) Complex Obligation (BEST) ---------------------------------------- (13) Obligation: Proved the lower bound n^1 for the following obligation: Innermost TRS: Rules: check(0') -> zero check(s(0')) -> odd check(s(s(0'))) -> even check(s(s(s(x)))) -> check(s(x)) half(0') -> 0' half(s(0')) -> 0' half(s(s(x))) -> s(half(x)) plus(0', y) -> y plus(s(x), y) -> s(plus(x, y)) times(x, y) -> timesIter(x, y, 0') timesIter(x, y, z) -> if(check(x), x, y, z, plus(z, y)) p(s(x)) -> x p(0') -> 0' if(zero, x, y, z, u) -> z if(odd, x, y, z, u) -> timesIter(p(x), y, u) if(even, x, y, z, u) -> plus(timesIter(half(x), y, half(z)), timesIter(half(x), y, half(s(z)))) encArg(0') -> 0' encArg(zero) -> zero encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(odd) -> odd encArg(even) -> even encArg(cons_check(x_1)) -> check(encArg(x_1)) encArg(cons_half(x_1)) -> half(encArg(x_1)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_times(x_1, x_2)) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_timesIter(x_1, x_2, x_3)) -> timesIter(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_p(x_1)) -> p(encArg(x_1)) encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5)) encode_check(x_1) -> check(encArg(x_1)) encode_0 -> 0' encode_zero -> zero encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_odd -> odd encode_even -> even encode_half(x_1) -> half(encArg(x_1)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_times(x_1, x_2) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_timesIter(x_1, x_2, x_3) -> timesIter(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5)) encode_p(x_1) -> p(encArg(x_1)) Types: check :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if 0' :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if zero :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if s :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if odd :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if even :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if half :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if plus :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if times :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if timesIter :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if if :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if p :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if encArg :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if cons_check :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if cons_half :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if cons_plus :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if cons_times :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if cons_timesIter :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if cons_p :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if cons_if :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if encode_check :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if encode_0 :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if encode_zero :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if encode_s :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if encode_odd :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if encode_even :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if encode_half :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if encode_plus :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if encode_times :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if encode_timesIter :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if encode_if :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if encode_p :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if hole_0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if1_6 :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if gen_0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if2_6 :: Nat -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if Generator Equations: gen_0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if2_6(0) <=> 0' gen_0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if2_6(+(x, 1)) <=> s(gen_0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if2_6(x)) The following defined symbols remain to be analysed: check, half, plus, timesIter, if, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: check < timesIter check < encArg half < if half < encArg plus < timesIter plus < if plus < encArg timesIter = if timesIter < encArg if < encArg ---------------------------------------- (14) LowerBoundPropagationProof (FINISHED) Propagated lower bound. ---------------------------------------- (15) BOUNDS(n^1, INF) ---------------------------------------- (16) Obligation: Innermost TRS: Rules: check(0') -> zero check(s(0')) -> odd check(s(s(0'))) -> even check(s(s(s(x)))) -> check(s(x)) half(0') -> 0' half(s(0')) -> 0' half(s(s(x))) -> s(half(x)) plus(0', y) -> y plus(s(x), y) -> s(plus(x, y)) times(x, y) -> timesIter(x, y, 0') timesIter(x, y, z) -> if(check(x), x, y, z, plus(z, y)) p(s(x)) -> x p(0') -> 0' if(zero, x, y, z, u) -> z if(odd, x, y, z, u) -> timesIter(p(x), y, u) if(even, x, y, z, u) -> plus(timesIter(half(x), y, half(z)), timesIter(half(x), y, half(s(z)))) encArg(0') -> 0' encArg(zero) -> zero encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(odd) -> odd encArg(even) -> even encArg(cons_check(x_1)) -> check(encArg(x_1)) encArg(cons_half(x_1)) -> half(encArg(x_1)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_times(x_1, x_2)) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_timesIter(x_1, x_2, x_3)) -> timesIter(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_p(x_1)) -> p(encArg(x_1)) encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5)) encode_check(x_1) -> check(encArg(x_1)) encode_0 -> 0' encode_zero -> zero encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_odd -> odd encode_even -> even encode_half(x_1) -> half(encArg(x_1)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_times(x_1, x_2) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_timesIter(x_1, x_2, x_3) -> timesIter(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5)) encode_p(x_1) -> p(encArg(x_1)) Types: check :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if 0' :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if zero :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if s :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if odd :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if even :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if half :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if plus :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if times :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if timesIter :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if if :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if p :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if encArg :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if cons_check :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if cons_half :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if cons_plus :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if cons_times :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if cons_timesIter :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if cons_p :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if cons_if :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if encode_check :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if encode_0 :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if encode_zero :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if encode_s :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if encode_odd :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if encode_even :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if encode_half :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if encode_plus :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if encode_times :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if encode_timesIter :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if encode_if :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if encode_p :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if hole_0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if1_6 :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if gen_0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if2_6 :: Nat -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if Lemmas: check(gen_0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if2_6(+(1, *(2, n4_6)))) -> odd, rt in Omega(1 + n4_6) Generator Equations: gen_0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if2_6(0) <=> 0' gen_0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if2_6(+(x, 1)) <=> s(gen_0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if2_6(x)) The following defined symbols remain to be analysed: half, plus, timesIter, if, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: half < if half < encArg plus < timesIter plus < if plus < encArg timesIter = if timesIter < encArg if < encArg ---------------------------------------- (17) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: half(gen_0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if2_6(*(2, n440_6))) -> gen_0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if2_6(n440_6), rt in Omega(1 + n440_6) Induction Base: half(gen_0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if2_6(*(2, 0))) ->_R^Omega(1) 0' Induction Step: half(gen_0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if2_6(*(2, +(n440_6, 1)))) ->_R^Omega(1) s(half(gen_0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if2_6(*(2, n440_6)))) ->_IH s(gen_0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if2_6(c441_6)) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (18) Obligation: Innermost TRS: Rules: check(0') -> zero check(s(0')) -> odd check(s(s(0'))) -> even check(s(s(s(x)))) -> check(s(x)) half(0') -> 0' half(s(0')) -> 0' half(s(s(x))) -> s(half(x)) plus(0', y) -> y plus(s(x), y) -> s(plus(x, y)) times(x, y) -> timesIter(x, y, 0') timesIter(x, y, z) -> if(check(x), x, y, z, plus(z, y)) p(s(x)) -> x p(0') -> 0' if(zero, x, y, z, u) -> z if(odd, x, y, z, u) -> timesIter(p(x), y, u) if(even, x, y, z, u) -> plus(timesIter(half(x), y, half(z)), timesIter(half(x), y, half(s(z)))) encArg(0') -> 0' encArg(zero) -> zero encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(odd) -> odd encArg(even) -> even encArg(cons_check(x_1)) -> check(encArg(x_1)) encArg(cons_half(x_1)) -> half(encArg(x_1)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_times(x_1, x_2)) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_timesIter(x_1, x_2, x_3)) -> timesIter(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_p(x_1)) -> p(encArg(x_1)) encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5)) encode_check(x_1) -> check(encArg(x_1)) encode_0 -> 0' encode_zero -> zero encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_odd -> odd encode_even -> even encode_half(x_1) -> half(encArg(x_1)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_times(x_1, x_2) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_timesIter(x_1, x_2, x_3) -> timesIter(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5)) encode_p(x_1) -> p(encArg(x_1)) Types: check :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if 0' :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if zero :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if s :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if odd :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if even :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if half :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if plus :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if times :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if timesIter :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if if :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if p :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if encArg :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if cons_check :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if cons_half :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if cons_plus :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if cons_times :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if cons_timesIter :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if cons_p :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if cons_if :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if encode_check :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if encode_0 :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if encode_zero :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if encode_s :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if encode_odd :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if encode_even :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if encode_half :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if encode_plus :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if encode_times :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if encode_timesIter :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if encode_if :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if encode_p :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if hole_0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if1_6 :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if gen_0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if2_6 :: Nat -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if Lemmas: check(gen_0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if2_6(+(1, *(2, n4_6)))) -> odd, rt in Omega(1 + n4_6) half(gen_0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if2_6(*(2, n440_6))) -> gen_0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if2_6(n440_6), rt in Omega(1 + n440_6) Generator Equations: gen_0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if2_6(0) <=> 0' gen_0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if2_6(+(x, 1)) <=> s(gen_0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if2_6(x)) The following defined symbols remain to be analysed: plus, timesIter, if, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: plus < timesIter plus < if plus < encArg timesIter = if timesIter < encArg if < encArg ---------------------------------------- (19) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: plus(gen_0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if2_6(n1018_6), gen_0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if2_6(b)) -> gen_0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if2_6(+(n1018_6, b)), rt in Omega(1 + n1018_6) Induction Base: plus(gen_0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if2_6(0), gen_0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if2_6(b)) ->_R^Omega(1) gen_0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if2_6(b) Induction Step: plus(gen_0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if2_6(+(n1018_6, 1)), gen_0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if2_6(b)) ->_R^Omega(1) s(plus(gen_0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if2_6(n1018_6), gen_0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if2_6(b))) ->_IH s(gen_0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if2_6(+(b, c1019_6))) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (20) Obligation: Innermost TRS: Rules: check(0') -> zero check(s(0')) -> odd check(s(s(0'))) -> even check(s(s(s(x)))) -> check(s(x)) half(0') -> 0' half(s(0')) -> 0' half(s(s(x))) -> s(half(x)) plus(0', y) -> y plus(s(x), y) -> s(plus(x, y)) times(x, y) -> timesIter(x, y, 0') timesIter(x, y, z) -> if(check(x), x, y, z, plus(z, y)) p(s(x)) -> x p(0') -> 0' if(zero, x, y, z, u) -> z if(odd, x, y, z, u) -> timesIter(p(x), y, u) if(even, x, y, z, u) -> plus(timesIter(half(x), y, half(z)), timesIter(half(x), y, half(s(z)))) encArg(0') -> 0' encArg(zero) -> zero encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(odd) -> odd encArg(even) -> even encArg(cons_check(x_1)) -> check(encArg(x_1)) encArg(cons_half(x_1)) -> half(encArg(x_1)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_times(x_1, x_2)) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_timesIter(x_1, x_2, x_3)) -> timesIter(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_p(x_1)) -> p(encArg(x_1)) encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5)) encode_check(x_1) -> check(encArg(x_1)) encode_0 -> 0' encode_zero -> zero encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_odd -> odd encode_even -> even encode_half(x_1) -> half(encArg(x_1)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_times(x_1, x_2) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_timesIter(x_1, x_2, x_3) -> timesIter(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5)) encode_p(x_1) -> p(encArg(x_1)) Types: check :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if 0' :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if zero :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if s :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if odd :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if even :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if half :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if plus :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if times :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if timesIter :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if if :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if p :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if encArg :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if cons_check :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if cons_half :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if cons_plus :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if cons_times :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if cons_timesIter :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if cons_p :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if cons_if :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if encode_check :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if encode_0 :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if encode_zero :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if encode_s :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if encode_odd :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if encode_even :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if encode_half :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if encode_plus :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if encode_times :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if encode_timesIter :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if encode_if :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if encode_p :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if hole_0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if1_6 :: 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if gen_0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if2_6 :: Nat -> 0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if Lemmas: check(gen_0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if2_6(+(1, *(2, n4_6)))) -> odd, rt in Omega(1 + n4_6) half(gen_0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if2_6(*(2, n440_6))) -> gen_0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if2_6(n440_6), rt in Omega(1 + n440_6) plus(gen_0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if2_6(n1018_6), gen_0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if2_6(b)) -> gen_0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if2_6(+(n1018_6, b)), rt in Omega(1 + n1018_6) Generator Equations: gen_0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if2_6(0) <=> 0' gen_0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if2_6(+(x, 1)) <=> s(gen_0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if2_6(x)) The following defined symbols remain to be analysed: if, timesIter, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: timesIter = if timesIter < encArg if < encArg ---------------------------------------- (21) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: encArg(gen_0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if2_6(n2796_6)) -> gen_0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if2_6(n2796_6), rt in Omega(0) Induction Base: encArg(gen_0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if2_6(0)) ->_R^Omega(0) 0' Induction Step: encArg(gen_0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if2_6(+(n2796_6, 1))) ->_R^Omega(0) s(encArg(gen_0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if2_6(n2796_6))) ->_IH s(gen_0':zero:s:odd:even:cons_check:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_timesIter:cons_p:cons_if2_6(c2797_6)) We have rt in Omega(1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n^0). ---------------------------------------- (22) BOUNDS(1, INF)