WORST_CASE(Omega(n^1), ?)
proof of /export/starexec/sandbox/benchmark/theBenchmark.xml
# AProVE Commit ID: 794c25de1cacf0d048858bcd21c9a779e1221865 marcel 20200619 unpublished dirty


The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).

(0) DCpxTrs
(1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
(2) CpxRelTRS
(3) SInnermostTerminationProof [BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID), 409 ms]
(4) CpxRelTRS
(5) RenamingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
(6) CpxRelTRS
(7) TypeInferenceProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
(8) typed CpxTrs
(9) OrderProof [LOWER BOUND(ID), 0 ms]
(10) typed CpxTrs
(11) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 318 ms]
(12) BEST
    (13) proven lower bound
        (14) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms]
        (15) BOUNDS(n^1, INF)
    (16) typed CpxTrs
        (17) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 14.5 s]
        (18) BOUNDS(1, INF)


----------------------------------------

(0)
Obligation:
The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   app(nil, k) -> k
   app(l, nil) -> l
   app(cons(x, l), k) -> cons(x, app(l, k))
   sum(cons(x, nil)) -> cons(x, nil)
   sum(cons(x, cons(y, l))) -> sum(cons(plus(x, y), l))
   sum(app(l, cons(x, cons(y, k)))) -> sum(app(l, sum(cons(x, cons(y, k)))))
   plus(s(x), s(y)) -> s(s(plus(if(gt(x, y), x, y), if(not(gt(x, y)), id(x), id(y)))))
   plus(s(x), x) -> plus(if(gt(x, x), id(x), id(x)), s(x))
   plus(zero, y) -> y
   plus(id(x), s(y)) -> s(plus(x, if(gt(s(y), y), y, s(y))))
   id(x) -> x
   if(true, x, y) -> x
   if(false, x, y) -> y
   not(x) -> if(x, false, true)
   gt(s(x), zero) -> true
   gt(zero, y) -> false
   gt(s(x), s(y)) -> gt(x, y)

S is empty.
Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
The following rules have been added to S to convert the given derivational complexity problem to a runtime complexity problem:

   encArg(nil) -> nil
   encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
   encArg(zero) -> zero
   encArg(true) -> true
   encArg(false) -> false
   encArg(cons_app(x_1, x_2)) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_sum(x_1)) -> sum(encArg(x_1))
   encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_id(x_1)) -> id(encArg(x_1))
   encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_not(x_1)) -> not(encArg(x_1))
   encArg(cons_gt(x_1, x_2)) -> gt(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_app(x_1, x_2) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_nil -> nil
   encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_sum(x_1) -> sum(encArg(x_1))
   encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
   encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_gt(x_1, x_2) -> gt(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_not(x_1) -> not(encArg(x_1))
   encode_id(x_1) -> id(encArg(x_1))
   encode_zero -> zero
   encode_true -> true
   encode_false -> false


----------------------------------------

(2)
Obligation:
The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   app(nil, k) -> k
   app(l, nil) -> l
   app(cons(x, l), k) -> cons(x, app(l, k))
   sum(cons(x, nil)) -> cons(x, nil)
   sum(cons(x, cons(y, l))) -> sum(cons(plus(x, y), l))
   sum(app(l, cons(x, cons(y, k)))) -> sum(app(l, sum(cons(x, cons(y, k)))))
   plus(s(x), s(y)) -> s(s(plus(if(gt(x, y), x, y), if(not(gt(x, y)), id(x), id(y)))))
   plus(s(x), x) -> plus(if(gt(x, x), id(x), id(x)), s(x))
   plus(zero, y) -> y
   plus(id(x), s(y)) -> s(plus(x, if(gt(s(y), y), y, s(y))))
   id(x) -> x
   if(true, x, y) -> x
   if(false, x, y) -> y
   not(x) -> if(x, false, true)
   gt(s(x), zero) -> true
   gt(zero, y) -> false
   gt(s(x), s(y)) -> gt(x, y)

The (relative) TRS S consists of the following rules:

   encArg(nil) -> nil
   encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
   encArg(zero) -> zero
   encArg(true) -> true
   encArg(false) -> false
   encArg(cons_app(x_1, x_2)) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_sum(x_1)) -> sum(encArg(x_1))
   encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_id(x_1)) -> id(encArg(x_1))
   encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_not(x_1)) -> not(encArg(x_1))
   encArg(cons_gt(x_1, x_2)) -> gt(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_app(x_1, x_2) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_nil -> nil
   encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_sum(x_1) -> sum(encArg(x_1))
   encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
   encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_gt(x_1, x_2) -> gt(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_not(x_1) -> not(encArg(x_1))
   encode_id(x_1) -> id(encArg(x_1))
   encode_zero -> zero
   encode_true -> true
   encode_false -> false

Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(3) SInnermostTerminationProof (BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID))
proved innermost termination of relative rules
----------------------------------------

(4)
Obligation:
The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   app(nil, k) -> k
   app(l, nil) -> l
   app(cons(x, l), k) -> cons(x, app(l, k))
   sum(cons(x, nil)) -> cons(x, nil)
   sum(cons(x, cons(y, l))) -> sum(cons(plus(x, y), l))
   sum(app(l, cons(x, cons(y, k)))) -> sum(app(l, sum(cons(x, cons(y, k)))))
   plus(s(x), s(y)) -> s(s(plus(if(gt(x, y), x, y), if(not(gt(x, y)), id(x), id(y)))))
   plus(s(x), x) -> plus(if(gt(x, x), id(x), id(x)), s(x))
   plus(zero, y) -> y
   plus(id(x), s(y)) -> s(plus(x, if(gt(s(y), y), y, s(y))))
   id(x) -> x
   if(true, x, y) -> x
   if(false, x, y) -> y
   not(x) -> if(x, false, true)
   gt(s(x), zero) -> true
   gt(zero, y) -> false
   gt(s(x), s(y)) -> gt(x, y)

The (relative) TRS S consists of the following rules:

   encArg(nil) -> nil
   encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
   encArg(zero) -> zero
   encArg(true) -> true
   encArg(false) -> false
   encArg(cons_app(x_1, x_2)) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_sum(x_1)) -> sum(encArg(x_1))
   encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_id(x_1)) -> id(encArg(x_1))
   encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_not(x_1)) -> not(encArg(x_1))
   encArg(cons_gt(x_1, x_2)) -> gt(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_app(x_1, x_2) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_nil -> nil
   encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_sum(x_1) -> sum(encArg(x_1))
   encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
   encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_gt(x_1, x_2) -> gt(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_not(x_1) -> not(encArg(x_1))
   encode_id(x_1) -> id(encArg(x_1))
   encode_zero -> zero
   encode_true -> true
   encode_false -> false

Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(5) RenamingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol.
----------------------------------------

(6)
Obligation:
The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   app(nil, k) -> k
   app(l, nil) -> l
   app(cons(x, l), k) -> cons(x, app(l, k))
   sum(cons(x, nil)) -> cons(x, nil)
   sum(cons(x, cons(y, l))) -> sum(cons(plus(x, y), l))
   sum(app(l, cons(x, cons(y, k)))) -> sum(app(l, sum(cons(x, cons(y, k)))))
   plus(s(x), s(y)) -> s(s(plus(if(gt(x, y), x, y), if(not(gt(x, y)), id(x), id(y)))))
   plus(s(x), x) -> plus(if(gt(x, x), id(x), id(x)), s(x))
   plus(zero, y) -> y
   plus(id(x), s(y)) -> s(plus(x, if(gt(s(y), y), y, s(y))))
   id(x) -> x
   if(true, x, y) -> x
   if(false, x, y) -> y
   not(x) -> if(x, false, true)
   gt(s(x), zero) -> true
   gt(zero, y) -> false
   gt(s(x), s(y)) -> gt(x, y)

The (relative) TRS S consists of the following rules:

   encArg(nil) -> nil
   encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
   encArg(zero) -> zero
   encArg(true) -> true
   encArg(false) -> false
   encArg(cons_app(x_1, x_2)) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_sum(x_1)) -> sum(encArg(x_1))
   encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_id(x_1)) -> id(encArg(x_1))
   encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_not(x_1)) -> not(encArg(x_1))
   encArg(cons_gt(x_1, x_2)) -> gt(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_app(x_1, x_2) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_nil -> nil
   encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_sum(x_1) -> sum(encArg(x_1))
   encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
   encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_gt(x_1, x_2) -> gt(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_not(x_1) -> not(encArg(x_1))
   encode_id(x_1) -> id(encArg(x_1))
   encode_zero -> zero
   encode_true -> true
   encode_false -> false

Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(7) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
Infered types.
----------------------------------------

(8)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
app(nil, k) -> k
app(l, nil) -> l
app(cons(x, l), k) -> cons(x, app(l, k))
sum(cons(x, nil)) -> cons(x, nil)
sum(cons(x, cons(y, l))) -> sum(cons(plus(x, y), l))
sum(app(l, cons(x, cons(y, k)))) -> sum(app(l, sum(cons(x, cons(y, k)))))
plus(s(x), s(y)) -> s(s(plus(if(gt(x, y), x, y), if(not(gt(x, y)), id(x), id(y)))))
plus(s(x), x) -> plus(if(gt(x, x), id(x), id(x)), s(x))
plus(zero, y) -> y
plus(id(x), s(y)) -> s(plus(x, if(gt(s(y), y), y, s(y))))
id(x) -> x
if(true, x, y) -> x
if(false, x, y) -> y
not(x) -> if(x, false, true)
gt(s(x), zero) -> true
gt(zero, y) -> false
gt(s(x), s(y)) -> gt(x, y)
encArg(nil) -> nil
encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(zero) -> zero
encArg(true) -> true
encArg(false) -> false
encArg(cons_app(x_1, x_2)) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_sum(x_1)) -> sum(encArg(x_1))
encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_id(x_1)) -> id(encArg(x_1))
encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_not(x_1)) -> not(encArg(x_1))
encArg(cons_gt(x_1, x_2)) -> gt(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_app(x_1, x_2) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_nil -> nil
encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_sum(x_1) -> sum(encArg(x_1))
encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_gt(x_1, x_2) -> gt(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_not(x_1) -> not(encArg(x_1))
encode_id(x_1) -> id(encArg(x_1))
encode_zero -> zero
encode_true -> true
encode_false -> false

Types:
app :: nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
nil :: nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
cons :: nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
sum :: nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
plus :: nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
s :: nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
if :: nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
gt :: nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
not :: nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
id :: nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
zero :: nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
true :: nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
false :: nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
encArg :: nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
cons_app :: nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
cons_sum :: nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
cons_plus :: nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
cons_id :: nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
cons_if :: nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
cons_not :: nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
cons_gt :: nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
encode_app :: nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
encode_nil :: nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
encode_cons :: nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
encode_sum :: nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
encode_plus :: nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
encode_s :: nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
encode_if :: nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
encode_gt :: nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
encode_not :: nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
encode_id :: nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
encode_zero :: nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
encode_true :: nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
encode_false :: nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
hole_nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt1_0 :: nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
gen_nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt2_0 :: Nat -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt

----------------------------------------

(9) OrderProof (LOWER BOUND(ID))
Heuristically decided to analyse the following defined symbols:
app, sum, plus, gt, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
app < sum
app < encArg
plus < sum
sum < encArg
gt < plus
plus < encArg
gt < encArg

----------------------------------------

(10)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
app(nil, k) -> k
app(l, nil) -> l
app(cons(x, l), k) -> cons(x, app(l, k))
sum(cons(x, nil)) -> cons(x, nil)
sum(cons(x, cons(y, l))) -> sum(cons(plus(x, y), l))
sum(app(l, cons(x, cons(y, k)))) -> sum(app(l, sum(cons(x, cons(y, k)))))
plus(s(x), s(y)) -> s(s(plus(if(gt(x, y), x, y), if(not(gt(x, y)), id(x), id(y)))))
plus(s(x), x) -> plus(if(gt(x, x), id(x), id(x)), s(x))
plus(zero, y) -> y
plus(id(x), s(y)) -> s(plus(x, if(gt(s(y), y), y, s(y))))
id(x) -> x
if(true, x, y) -> x
if(false, x, y) -> y
not(x) -> if(x, false, true)
gt(s(x), zero) -> true
gt(zero, y) -> false
gt(s(x), s(y)) -> gt(x, y)
encArg(nil) -> nil
encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(zero) -> zero
encArg(true) -> true
encArg(false) -> false
encArg(cons_app(x_1, x_2)) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_sum(x_1)) -> sum(encArg(x_1))
encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_id(x_1)) -> id(encArg(x_1))
encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_not(x_1)) -> not(encArg(x_1))
encArg(cons_gt(x_1, x_2)) -> gt(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_app(x_1, x_2) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_nil -> nil
encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_sum(x_1) -> sum(encArg(x_1))
encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_gt(x_1, x_2) -> gt(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_not(x_1) -> not(encArg(x_1))
encode_id(x_1) -> id(encArg(x_1))
encode_zero -> zero
encode_true -> true
encode_false -> false

Types:
app :: nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
nil :: nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
cons :: nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
sum :: nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
plus :: nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
s :: nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
if :: nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
gt :: nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
not :: nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
id :: nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
zero :: nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
true :: nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
false :: nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
encArg :: nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
cons_app :: nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
cons_sum :: nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
cons_plus :: nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
cons_id :: nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
cons_if :: nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
cons_not :: nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
cons_gt :: nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
encode_app :: nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
encode_nil :: nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
encode_cons :: nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
encode_sum :: nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
encode_plus :: nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
encode_s :: nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
encode_if :: nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
encode_gt :: nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
encode_not :: nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
encode_id :: nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
encode_zero :: nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
encode_true :: nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
encode_false :: nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
hole_nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt1_0 :: nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
gen_nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt2_0 :: Nat -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt


Generator Equations:
gen_nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt2_0(0) <=> nil
gen_nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt2_0(+(x, 1)) <=> cons(nil, gen_nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt2_0(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
app, sum, plus, gt, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
app < sum
app < encArg
plus < sum
sum < encArg
gt < plus
plus < encArg
gt < encArg

----------------------------------------

(11) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
app(gen_nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt2_0(n4_0), gen_nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt2_0(b)) -> gen_nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt2_0(+(n4_0, b)), rt in Omega(1 + n4_0)

Induction Base:
app(gen_nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt2_0(0), gen_nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt2_0(b)) ->_R^Omega(1)
gen_nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt2_0(b)

Induction Step:
app(gen_nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt2_0(+(n4_0, 1)), gen_nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt2_0(b)) ->_R^Omega(1)
cons(nil, app(gen_nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt2_0(n4_0), gen_nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt2_0(b))) ->_IH
cons(nil, gen_nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt2_0(+(b, c5_0)))

We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n).
----------------------------------------

(12)
Complex Obligation (BEST)

----------------------------------------

(13)
Obligation:
Proved the lower bound n^1 for the following obligation:

Innermost TRS:
Rules:
app(nil, k) -> k
app(l, nil) -> l
app(cons(x, l), k) -> cons(x, app(l, k))
sum(cons(x, nil)) -> cons(x, nil)
sum(cons(x, cons(y, l))) -> sum(cons(plus(x, y), l))
sum(app(l, cons(x, cons(y, k)))) -> sum(app(l, sum(cons(x, cons(y, k)))))
plus(s(x), s(y)) -> s(s(plus(if(gt(x, y), x, y), if(not(gt(x, y)), id(x), id(y)))))
plus(s(x), x) -> plus(if(gt(x, x), id(x), id(x)), s(x))
plus(zero, y) -> y
plus(id(x), s(y)) -> s(plus(x, if(gt(s(y), y), y, s(y))))
id(x) -> x
if(true, x, y) -> x
if(false, x, y) -> y
not(x) -> if(x, false, true)
gt(s(x), zero) -> true
gt(zero, y) -> false
gt(s(x), s(y)) -> gt(x, y)
encArg(nil) -> nil
encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(zero) -> zero
encArg(true) -> true
encArg(false) -> false
encArg(cons_app(x_1, x_2)) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_sum(x_1)) -> sum(encArg(x_1))
encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_id(x_1)) -> id(encArg(x_1))
encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_not(x_1)) -> not(encArg(x_1))
encArg(cons_gt(x_1, x_2)) -> gt(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_app(x_1, x_2) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_nil -> nil
encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_sum(x_1) -> sum(encArg(x_1))
encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_gt(x_1, x_2) -> gt(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_not(x_1) -> not(encArg(x_1))
encode_id(x_1) -> id(encArg(x_1))
encode_zero -> zero
encode_true -> true
encode_false -> false

Types:
app :: nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
nil :: nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
cons :: nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
sum :: nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
plus :: nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
s :: nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
if :: nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
gt :: nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
not :: nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
id :: nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
zero :: nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
true :: nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
false :: nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
encArg :: nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
cons_app :: nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
cons_sum :: nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
cons_plus :: nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
cons_id :: nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
cons_if :: nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
cons_not :: nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
cons_gt :: nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
encode_app :: nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
encode_nil :: nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
encode_cons :: nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
encode_sum :: nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
encode_plus :: nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
encode_s :: nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
encode_if :: nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
encode_gt :: nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
encode_not :: nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
encode_id :: nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
encode_zero :: nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
encode_true :: nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
encode_false :: nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
hole_nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt1_0 :: nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
gen_nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt2_0 :: Nat -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt


Generator Equations:
gen_nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt2_0(0) <=> nil
gen_nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt2_0(+(x, 1)) <=> cons(nil, gen_nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt2_0(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
app, sum, plus, gt, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
app < sum
app < encArg
plus < sum
sum < encArg
gt < plus
plus < encArg
gt < encArg

----------------------------------------

(14) LowerBoundPropagationProof (FINISHED)
Propagated lower bound.
----------------------------------------

(15)
BOUNDS(n^1, INF)

----------------------------------------

(16)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
app(nil, k) -> k
app(l, nil) -> l
app(cons(x, l), k) -> cons(x, app(l, k))
sum(cons(x, nil)) -> cons(x, nil)
sum(cons(x, cons(y, l))) -> sum(cons(plus(x, y), l))
sum(app(l, cons(x, cons(y, k)))) -> sum(app(l, sum(cons(x, cons(y, k)))))
plus(s(x), s(y)) -> s(s(plus(if(gt(x, y), x, y), if(not(gt(x, y)), id(x), id(y)))))
plus(s(x), x) -> plus(if(gt(x, x), id(x), id(x)), s(x))
plus(zero, y) -> y
plus(id(x), s(y)) -> s(plus(x, if(gt(s(y), y), y, s(y))))
id(x) -> x
if(true, x, y) -> x
if(false, x, y) -> y
not(x) -> if(x, false, true)
gt(s(x), zero) -> true
gt(zero, y) -> false
gt(s(x), s(y)) -> gt(x, y)
encArg(nil) -> nil
encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(zero) -> zero
encArg(true) -> true
encArg(false) -> false
encArg(cons_app(x_1, x_2)) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_sum(x_1)) -> sum(encArg(x_1))
encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_id(x_1)) -> id(encArg(x_1))
encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_not(x_1)) -> not(encArg(x_1))
encArg(cons_gt(x_1, x_2)) -> gt(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_app(x_1, x_2) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_nil -> nil
encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_sum(x_1) -> sum(encArg(x_1))
encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_gt(x_1, x_2) -> gt(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_not(x_1) -> not(encArg(x_1))
encode_id(x_1) -> id(encArg(x_1))
encode_zero -> zero
encode_true -> true
encode_false -> false

Types:
app :: nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
nil :: nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
cons :: nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
sum :: nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
plus :: nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
s :: nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
if :: nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
gt :: nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
not :: nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
id :: nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
zero :: nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
true :: nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
false :: nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
encArg :: nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
cons_app :: nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
cons_sum :: nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
cons_plus :: nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
cons_id :: nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
cons_if :: nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
cons_not :: nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
cons_gt :: nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
encode_app :: nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
encode_nil :: nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
encode_cons :: nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
encode_sum :: nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
encode_plus :: nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
encode_s :: nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
encode_if :: nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
encode_gt :: nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
encode_not :: nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
encode_id :: nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
encode_zero :: nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
encode_true :: nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
encode_false :: nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
hole_nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt1_0 :: nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt
gen_nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt2_0 :: Nat -> nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt


Lemmas:
app(gen_nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt2_0(n4_0), gen_nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt2_0(b)) -> gen_nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt2_0(+(n4_0, b)), rt in Omega(1 + n4_0)


Generator Equations:
gen_nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt2_0(0) <=> nil
gen_nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt2_0(+(x, 1)) <=> cons(nil, gen_nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt2_0(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
gt, sum, plus, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
plus < sum
sum < encArg
gt < plus
plus < encArg
gt < encArg

----------------------------------------

(17) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
encArg(gen_nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt2_0(n223808_0)) -> gen_nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt2_0(n223808_0), rt in Omega(0)

Induction Base:
encArg(gen_nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt2_0(0)) ->_R^Omega(0)
nil

Induction Step:
encArg(gen_nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt2_0(+(n223808_0, 1))) ->_R^Omega(0)
cons(encArg(nil), encArg(gen_nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt2_0(n223808_0))) ->_R^Omega(0)
cons(nil, encArg(gen_nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt2_0(n223808_0))) ->_IH
cons(nil, gen_nil:cons:s:zero:true:false:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_id:cons_if:cons_not:cons_gt2_0(c223809_0))

We have rt in Omega(1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n^0).
----------------------------------------

(18)
BOUNDS(1, INF)