WORST_CASE(Omega(n^1), ?) proof of /export/starexec/sandbox2/benchmark/theBenchmark.xml # AProVE Commit ID: 794c25de1cacf0d048858bcd21c9a779e1221865 marcel 20200619 unpublished dirty The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). (0) DCpxTrs (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (2) CpxRelTRS (3) SInnermostTerminationProof [BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID), 286 ms] (4) CpxRelTRS (5) RenamingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (6) CpxRelTRS (7) TypeInferenceProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (8) typed CpxTrs (9) OrderProof [LOWER BOUND(ID), 0 ms] (10) typed CpxTrs (11) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 325 ms] (12) BEST (13) proven lower bound (14) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms] (15) BOUNDS(n^1, INF) (16) typed CpxTrs (17) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 84 ms] (18) typed CpxTrs (19) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 70 ms] (20) typed CpxTrs (21) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 174 ms] (22) typed CpxTrs (23) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 238 ms] (24) BOUNDS(1, INF) ---------------------------------------- (0) Obligation: The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: min(x, 0) -> 0 min(0, y) -> 0 min(s(x), s(y)) -> s(min(x, y)) max(x, 0) -> x max(0, y) -> y max(s(x), s(y)) -> s(max(x, y)) minus(x, 0) -> x minus(s(x), s(y)) -> s(minus(x, y)) gcd(s(x), s(y)) -> gcd(minus(max(x, y), min(x, transform(y))), s(min(x, y))) transform(x) -> s(s(x)) transform(cons(x, y)) -> cons(cons(x, x), x) transform(cons(x, y)) -> y transform(s(x)) -> s(s(transform(x))) cons(x, y) -> y cons(x, cons(y, s(z))) -> cons(y, x) cons(cons(x, z), s(y)) -> transform(x) S is empty. Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) The following rules have been added to S to convert the given derivational complexity problem to a runtime complexity problem: encArg(0) -> 0 encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_min(x_1, x_2)) -> min(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_max(x_1, x_2)) -> max(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_gcd(x_1, x_2)) -> gcd(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_transform(x_1)) -> transform(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_min(x_1, x_2) -> min(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0 encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_max(x_1, x_2) -> max(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_gcd(x_1, x_2) -> gcd(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_transform(x_1) -> transform(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) ---------------------------------------- (2) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: min(x, 0) -> 0 min(0, y) -> 0 min(s(x), s(y)) -> s(min(x, y)) max(x, 0) -> x max(0, y) -> y max(s(x), s(y)) -> s(max(x, y)) minus(x, 0) -> x minus(s(x), s(y)) -> s(minus(x, y)) gcd(s(x), s(y)) -> gcd(minus(max(x, y), min(x, transform(y))), s(min(x, y))) transform(x) -> s(s(x)) transform(cons(x, y)) -> cons(cons(x, x), x) transform(cons(x, y)) -> y transform(s(x)) -> s(s(transform(x))) cons(x, y) -> y cons(x, cons(y, s(z))) -> cons(y, x) cons(cons(x, z), s(y)) -> transform(x) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(0) -> 0 encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_min(x_1, x_2)) -> min(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_max(x_1, x_2)) -> max(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_gcd(x_1, x_2)) -> gcd(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_transform(x_1)) -> transform(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_min(x_1, x_2) -> min(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0 encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_max(x_1, x_2) -> max(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_gcd(x_1, x_2) -> gcd(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_transform(x_1) -> transform(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (3) SInnermostTerminationProof (BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID)) proved innermost termination of relative rules ---------------------------------------- (4) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: min(x, 0) -> 0 min(0, y) -> 0 min(s(x), s(y)) -> s(min(x, y)) max(x, 0) -> x max(0, y) -> y max(s(x), s(y)) -> s(max(x, y)) minus(x, 0) -> x minus(s(x), s(y)) -> s(minus(x, y)) gcd(s(x), s(y)) -> gcd(minus(max(x, y), min(x, transform(y))), s(min(x, y))) transform(x) -> s(s(x)) transform(cons(x, y)) -> cons(cons(x, x), x) transform(cons(x, y)) -> y transform(s(x)) -> s(s(transform(x))) cons(x, y) -> y cons(x, cons(y, s(z))) -> cons(y, x) cons(cons(x, z), s(y)) -> transform(x) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(0) -> 0 encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_min(x_1, x_2)) -> min(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_max(x_1, x_2)) -> max(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_gcd(x_1, x_2)) -> gcd(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_transform(x_1)) -> transform(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_min(x_1, x_2) -> min(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0 encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_max(x_1, x_2) -> max(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_gcd(x_1, x_2) -> gcd(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_transform(x_1) -> transform(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (5) RenamingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol. ---------------------------------------- (6) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: min(x, 0') -> 0' min(0', y) -> 0' min(s(x), s(y)) -> s(min(x, y)) max(x, 0') -> x max(0', y) -> y max(s(x), s(y)) -> s(max(x, y)) minus(x, 0') -> x minus(s(x), s(y)) -> s(minus(x, y)) gcd(s(x), s(y)) -> gcd(minus(max(x, y), min(x, transform(y))), s(min(x, y))) transform(x) -> s(s(x)) transform(cons(x, y)) -> cons(cons(x, x), x) transform(cons(x, y)) -> y transform(s(x)) -> s(s(transform(x))) cons(x, y) -> y cons(x, cons(y, s(z))) -> cons(y, x) cons(cons(x, z), s(y)) -> transform(x) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(0') -> 0' encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_min(x_1, x_2)) -> min(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_max(x_1, x_2)) -> max(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_gcd(x_1, x_2)) -> gcd(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_transform(x_1)) -> transform(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_min(x_1, x_2) -> min(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_max(x_1, x_2) -> max(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_gcd(x_1, x_2) -> gcd(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_transform(x_1) -> transform(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (7) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Infered types. ---------------------------------------- (8) Obligation: Innermost TRS: Rules: min(x, 0') -> 0' min(0', y) -> 0' min(s(x), s(y)) -> s(min(x, y)) max(x, 0') -> x max(0', y) -> y max(s(x), s(y)) -> s(max(x, y)) minus(x, 0') -> x minus(s(x), s(y)) -> s(minus(x, y)) gcd(s(x), s(y)) -> gcd(minus(max(x, y), min(x, transform(y))), s(min(x, y))) transform(x) -> s(s(x)) transform(cons(x, y)) -> cons(cons(x, x), x) transform(cons(x, y)) -> y transform(s(x)) -> s(s(transform(x))) cons(x, y) -> y cons(x, cons(y, s(z))) -> cons(y, x) cons(cons(x, z), s(y)) -> transform(x) encArg(0') -> 0' encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_min(x_1, x_2)) -> min(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_max(x_1, x_2)) -> max(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_gcd(x_1, x_2)) -> gcd(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_transform(x_1)) -> transform(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_min(x_1, x_2) -> min(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_max(x_1, x_2) -> max(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_gcd(x_1, x_2) -> gcd(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_transform(x_1) -> transform(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) Types: min :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons 0' :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons s :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons max :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons minus :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons gcd :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons transform :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons cons :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons encArg :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons cons_min :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons cons_max :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons cons_minus :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons cons_gcd :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons cons_transform :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons cons_cons :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons encode_min :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons encode_0 :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons encode_s :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons encode_max :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons encode_minus :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons encode_gcd :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons encode_transform :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons encode_cons :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons hole_0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons1_3 :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons2_3 :: Nat -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons ---------------------------------------- (9) OrderProof (LOWER BOUND(ID)) Heuristically decided to analyse the following defined symbols: min, max, minus, gcd, transform, cons, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: min < gcd min < encArg max < gcd max < encArg minus < gcd minus < encArg transform < gcd gcd < encArg transform = cons transform < encArg cons < encArg ---------------------------------------- (10) Obligation: Innermost TRS: Rules: min(x, 0') -> 0' min(0', y) -> 0' min(s(x), s(y)) -> s(min(x, y)) max(x, 0') -> x max(0', y) -> y max(s(x), s(y)) -> s(max(x, y)) minus(x, 0') -> x minus(s(x), s(y)) -> s(minus(x, y)) gcd(s(x), s(y)) -> gcd(minus(max(x, y), min(x, transform(y))), s(min(x, y))) transform(x) -> s(s(x)) transform(cons(x, y)) -> cons(cons(x, x), x) transform(cons(x, y)) -> y transform(s(x)) -> s(s(transform(x))) cons(x, y) -> y cons(x, cons(y, s(z))) -> cons(y, x) cons(cons(x, z), s(y)) -> transform(x) encArg(0') -> 0' encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_min(x_1, x_2)) -> min(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_max(x_1, x_2)) -> max(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_gcd(x_1, x_2)) -> gcd(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_transform(x_1)) -> transform(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_min(x_1, x_2) -> min(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_max(x_1, x_2) -> max(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_gcd(x_1, x_2) -> gcd(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_transform(x_1) -> transform(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) Types: min :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons 0' :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons s :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons max :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons minus :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons gcd :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons transform :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons cons :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons encArg :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons cons_min :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons cons_max :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons cons_minus :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons cons_gcd :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons cons_transform :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons cons_cons :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons encode_min :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons encode_0 :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons encode_s :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons encode_max :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons encode_minus :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons encode_gcd :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons encode_transform :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons encode_cons :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons hole_0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons1_3 :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons2_3 :: Nat -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons Generator Equations: gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons2_3(0) <=> 0' gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons2_3(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons2_3(x)) The following defined symbols remain to be analysed: min, max, minus, gcd, transform, cons, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: min < gcd min < encArg max < gcd max < encArg minus < gcd minus < encArg transform < gcd gcd < encArg transform = cons transform < encArg cons < encArg ---------------------------------------- (11) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: min(gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons2_3(n4_3), gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons2_3(n4_3)) -> gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons2_3(n4_3), rt in Omega(1 + n4_3) Induction Base: min(gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons2_3(0), gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons2_3(0)) ->_R^Omega(1) 0' Induction Step: min(gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons2_3(+(n4_3, 1)), gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons2_3(+(n4_3, 1))) ->_R^Omega(1) s(min(gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons2_3(n4_3), gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons2_3(n4_3))) ->_IH s(gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons2_3(c5_3)) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (12) Complex Obligation (BEST) ---------------------------------------- (13) Obligation: Proved the lower bound n^1 for the following obligation: Innermost TRS: Rules: min(x, 0') -> 0' min(0', y) -> 0' min(s(x), s(y)) -> s(min(x, y)) max(x, 0') -> x max(0', y) -> y max(s(x), s(y)) -> s(max(x, y)) minus(x, 0') -> x minus(s(x), s(y)) -> s(minus(x, y)) gcd(s(x), s(y)) -> gcd(minus(max(x, y), min(x, transform(y))), s(min(x, y))) transform(x) -> s(s(x)) transform(cons(x, y)) -> cons(cons(x, x), x) transform(cons(x, y)) -> y transform(s(x)) -> s(s(transform(x))) cons(x, y) -> y cons(x, cons(y, s(z))) -> cons(y, x) cons(cons(x, z), s(y)) -> transform(x) encArg(0') -> 0' encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_min(x_1, x_2)) -> min(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_max(x_1, x_2)) -> max(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_gcd(x_1, x_2)) -> gcd(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_transform(x_1)) -> transform(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_min(x_1, x_2) -> min(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_max(x_1, x_2) -> max(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_gcd(x_1, x_2) -> gcd(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_transform(x_1) -> transform(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) Types: min :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons 0' :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons s :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons max :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons minus :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons gcd :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons transform :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons cons :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons encArg :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons cons_min :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons cons_max :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons cons_minus :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons cons_gcd :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons cons_transform :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons cons_cons :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons encode_min :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons encode_0 :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons encode_s :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons encode_max :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons encode_minus :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons encode_gcd :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons encode_transform :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons encode_cons :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons hole_0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons1_3 :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons2_3 :: Nat -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons Generator Equations: gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons2_3(0) <=> 0' gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons2_3(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons2_3(x)) The following defined symbols remain to be analysed: min, max, minus, gcd, transform, cons, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: min < gcd min < encArg max < gcd max < encArg minus < gcd minus < encArg transform < gcd gcd < encArg transform = cons transform < encArg cons < encArg ---------------------------------------- (14) LowerBoundPropagationProof (FINISHED) Propagated lower bound. ---------------------------------------- (15) BOUNDS(n^1, INF) ---------------------------------------- (16) Obligation: Innermost TRS: Rules: min(x, 0') -> 0' min(0', y) -> 0' min(s(x), s(y)) -> s(min(x, y)) max(x, 0') -> x max(0', y) -> y max(s(x), s(y)) -> s(max(x, y)) minus(x, 0') -> x minus(s(x), s(y)) -> s(minus(x, y)) gcd(s(x), s(y)) -> gcd(minus(max(x, y), min(x, transform(y))), s(min(x, y))) transform(x) -> s(s(x)) transform(cons(x, y)) -> cons(cons(x, x), x) transform(cons(x, y)) -> y transform(s(x)) -> s(s(transform(x))) cons(x, y) -> y cons(x, cons(y, s(z))) -> cons(y, x) cons(cons(x, z), s(y)) -> transform(x) encArg(0') -> 0' encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_min(x_1, x_2)) -> min(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_max(x_1, x_2)) -> max(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_gcd(x_1, x_2)) -> gcd(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_transform(x_1)) -> transform(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_min(x_1, x_2) -> min(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_max(x_1, x_2) -> max(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_gcd(x_1, x_2) -> gcd(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_transform(x_1) -> transform(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) Types: min :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons 0' :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons s :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons max :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons minus :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons gcd :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons transform :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons cons :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons encArg :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons cons_min :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons cons_max :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons cons_minus :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons cons_gcd :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons cons_transform :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons cons_cons :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons encode_min :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons encode_0 :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons encode_s :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons encode_max :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons encode_minus :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons encode_gcd :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons encode_transform :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons encode_cons :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons hole_0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons1_3 :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons2_3 :: Nat -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons Lemmas: min(gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons2_3(n4_3), gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons2_3(n4_3)) -> gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons2_3(n4_3), rt in Omega(1 + n4_3) Generator Equations: gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons2_3(0) <=> 0' gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons2_3(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons2_3(x)) The following defined symbols remain to be analysed: max, minus, gcd, transform, cons, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: max < gcd max < encArg minus < gcd minus < encArg transform < gcd gcd < encArg transform = cons transform < encArg cons < encArg ---------------------------------------- (17) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: max(gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons2_3(n671_3), gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons2_3(n671_3)) -> gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons2_3(n671_3), rt in Omega(1 + n671_3) Induction Base: max(gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons2_3(0), gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons2_3(0)) ->_R^Omega(1) gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons2_3(0) Induction Step: max(gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons2_3(+(n671_3, 1)), gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons2_3(+(n671_3, 1))) ->_R^Omega(1) s(max(gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons2_3(n671_3), gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons2_3(n671_3))) ->_IH s(gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons2_3(c672_3)) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (18) Obligation: Innermost TRS: Rules: min(x, 0') -> 0' min(0', y) -> 0' min(s(x), s(y)) -> s(min(x, y)) max(x, 0') -> x max(0', y) -> y max(s(x), s(y)) -> s(max(x, y)) minus(x, 0') -> x minus(s(x), s(y)) -> s(minus(x, y)) gcd(s(x), s(y)) -> gcd(minus(max(x, y), min(x, transform(y))), s(min(x, y))) transform(x) -> s(s(x)) transform(cons(x, y)) -> cons(cons(x, x), x) transform(cons(x, y)) -> y transform(s(x)) -> s(s(transform(x))) cons(x, y) -> y cons(x, cons(y, s(z))) -> cons(y, x) cons(cons(x, z), s(y)) -> transform(x) encArg(0') -> 0' encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_min(x_1, x_2)) -> min(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_max(x_1, x_2)) -> max(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_gcd(x_1, x_2)) -> gcd(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_transform(x_1)) -> transform(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_min(x_1, x_2) -> min(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_max(x_1, x_2) -> max(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_gcd(x_1, x_2) -> gcd(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_transform(x_1) -> transform(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) Types: min :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons 0' :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons s :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons max :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons minus :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons gcd :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons transform :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons cons :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons encArg :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons cons_min :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons cons_max :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons cons_minus :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons cons_gcd :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons cons_transform :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons cons_cons :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons encode_min :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons encode_0 :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons encode_s :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons encode_max :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons encode_minus :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons encode_gcd :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons encode_transform :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons encode_cons :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons hole_0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons1_3 :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons2_3 :: Nat -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons Lemmas: min(gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons2_3(n4_3), gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons2_3(n4_3)) -> gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons2_3(n4_3), rt in Omega(1 + n4_3) max(gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons2_3(n671_3), gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons2_3(n671_3)) -> gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons2_3(n671_3), rt in Omega(1 + n671_3) Generator Equations: gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons2_3(0) <=> 0' gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons2_3(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons2_3(x)) The following defined symbols remain to be analysed: minus, gcd, transform, cons, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: minus < gcd minus < encArg transform < gcd gcd < encArg transform = cons transform < encArg cons < encArg ---------------------------------------- (19) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: minus(gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons2_3(n1524_3), gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons2_3(n1524_3)) -> gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons2_3(n1524_3), rt in Omega(1 + n1524_3) Induction Base: minus(gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons2_3(0), gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons2_3(0)) ->_R^Omega(1) gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons2_3(0) Induction Step: minus(gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons2_3(+(n1524_3, 1)), gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons2_3(+(n1524_3, 1))) ->_R^Omega(1) s(minus(gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons2_3(n1524_3), gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons2_3(n1524_3))) ->_IH s(gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons2_3(c1525_3)) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (20) Obligation: Innermost TRS: Rules: min(x, 0') -> 0' min(0', y) -> 0' min(s(x), s(y)) -> s(min(x, y)) max(x, 0') -> x max(0', y) -> y max(s(x), s(y)) -> s(max(x, y)) minus(x, 0') -> x minus(s(x), s(y)) -> s(minus(x, y)) gcd(s(x), s(y)) -> gcd(minus(max(x, y), min(x, transform(y))), s(min(x, y))) transform(x) -> s(s(x)) transform(cons(x, y)) -> cons(cons(x, x), x) transform(cons(x, y)) -> y transform(s(x)) -> s(s(transform(x))) cons(x, y) -> y cons(x, cons(y, s(z))) -> cons(y, x) cons(cons(x, z), s(y)) -> transform(x) encArg(0') -> 0' encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_min(x_1, x_2)) -> min(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_max(x_1, x_2)) -> max(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_gcd(x_1, x_2)) -> gcd(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_transform(x_1)) -> transform(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_min(x_1, x_2) -> min(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_max(x_1, x_2) -> max(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_gcd(x_1, x_2) -> gcd(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_transform(x_1) -> transform(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) Types: min :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons 0' :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons s :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons max :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons minus :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons gcd :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons transform :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons cons :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons encArg :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons cons_min :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons cons_max :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons cons_minus :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons cons_gcd :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons cons_transform :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons cons_cons :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons encode_min :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons encode_0 :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons encode_s :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons encode_max :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons encode_minus :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons encode_gcd :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons encode_transform :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons encode_cons :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons hole_0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons1_3 :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons2_3 :: Nat -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons Lemmas: min(gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons2_3(n4_3), gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons2_3(n4_3)) -> gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons2_3(n4_3), rt in Omega(1 + n4_3) max(gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons2_3(n671_3), gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons2_3(n671_3)) -> gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons2_3(n671_3), rt in Omega(1 + n671_3) minus(gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons2_3(n1524_3), gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons2_3(n1524_3)) -> gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons2_3(n1524_3), rt in Omega(1 + n1524_3) Generator Equations: gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons2_3(0) <=> 0' gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons2_3(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons2_3(x)) The following defined symbols remain to be analysed: cons, gcd, transform, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: transform < gcd gcd < encArg transform = cons transform < encArg cons < encArg ---------------------------------------- (21) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: transform(gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons2_3(+(1, n2311_3))) -> *3_3, rt in Omega(n2311_3) Induction Base: transform(gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons2_3(+(1, 0))) Induction Step: transform(gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons2_3(+(1, +(n2311_3, 1)))) ->_R^Omega(1) s(s(transform(gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons2_3(+(1, n2311_3))))) ->_IH s(s(*3_3)) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (22) Obligation: Innermost TRS: Rules: min(x, 0') -> 0' min(0', y) -> 0' min(s(x), s(y)) -> s(min(x, y)) max(x, 0') -> x max(0', y) -> y max(s(x), s(y)) -> s(max(x, y)) minus(x, 0') -> x minus(s(x), s(y)) -> s(minus(x, y)) gcd(s(x), s(y)) -> gcd(minus(max(x, y), min(x, transform(y))), s(min(x, y))) transform(x) -> s(s(x)) transform(cons(x, y)) -> cons(cons(x, x), x) transform(cons(x, y)) -> y transform(s(x)) -> s(s(transform(x))) cons(x, y) -> y cons(x, cons(y, s(z))) -> cons(y, x) cons(cons(x, z), s(y)) -> transform(x) encArg(0') -> 0' encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_min(x_1, x_2)) -> min(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_max(x_1, x_2)) -> max(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_gcd(x_1, x_2)) -> gcd(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_transform(x_1)) -> transform(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_min(x_1, x_2) -> min(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_max(x_1, x_2) -> max(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_gcd(x_1, x_2) -> gcd(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_transform(x_1) -> transform(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) Types: min :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons 0' :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons s :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons max :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons minus :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons gcd :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons transform :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons cons :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons encArg :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons cons_min :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons cons_max :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons cons_minus :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons cons_gcd :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons cons_transform :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons cons_cons :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons encode_min :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons encode_0 :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons encode_s :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons encode_max :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons encode_minus :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons encode_gcd :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons encode_transform :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons encode_cons :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons hole_0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons1_3 :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons2_3 :: Nat -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons Lemmas: min(gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons2_3(n4_3), gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons2_3(n4_3)) -> gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons2_3(n4_3), rt in Omega(1 + n4_3) max(gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons2_3(n671_3), gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons2_3(n671_3)) -> gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons2_3(n671_3), rt in Omega(1 + n671_3) minus(gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons2_3(n1524_3), gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons2_3(n1524_3)) -> gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons2_3(n1524_3), rt in Omega(1 + n1524_3) transform(gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons2_3(+(1, n2311_3))) -> *3_3, rt in Omega(n2311_3) Generator Equations: gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons2_3(0) <=> 0' gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons2_3(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons2_3(x)) The following defined symbols remain to be analysed: cons, gcd, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: transform < gcd gcd < encArg transform = cons transform < encArg cons < encArg ---------------------------------------- (23) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: encArg(gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons2_3(n4660_3)) -> gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons2_3(n4660_3), rt in Omega(0) Induction Base: encArg(gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons2_3(0)) ->_R^Omega(0) 0' Induction Step: encArg(gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons2_3(+(n4660_3, 1))) ->_R^Omega(0) s(encArg(gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons2_3(n4660_3))) ->_IH s(gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_minus:cons_gcd:cons_transform:cons_cons2_3(c4661_3)) We have rt in Omega(1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n^0). ---------------------------------------- (24) BOUNDS(1, INF)