WORST_CASE(Omega(n^1), ?) proof of /export/starexec/sandbox2/benchmark/theBenchmark.xml # AProVE Commit ID: 794c25de1cacf0d048858bcd21c9a779e1221865 marcel 20200619 unpublished dirty The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). (0) DCpxTrs (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (2) CpxRelTRS (3) SInnermostTerminationProof [BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID), 311 ms] (4) CpxRelTRS (5) RenamingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (6) CpxRelTRS (7) TypeInferenceProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (8) typed CpxTrs (9) OrderProof [LOWER BOUND(ID), 0 ms] (10) typed CpxTrs (11) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 280 ms] (12) BEST (13) proven lower bound (14) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms] (15) BOUNDS(n^1, INF) (16) typed CpxTrs (17) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 23 ms] (18) typed CpxTrs (19) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 2994 ms] (20) BOUNDS(1, INF) ---------------------------------------- (0) Obligation: The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: eq(0, 0) -> true eq(0, s(m)) -> false eq(s(n), 0) -> false eq(s(n), s(m)) -> eq(n, m) le(0, m) -> true le(s(n), 0) -> false le(s(n), s(m)) -> le(n, m) min(cons(0, nil)) -> 0 min(cons(s(n), nil)) -> s(n) min(cons(n, cons(m, x))) -> if_min(le(n, m), cons(n, cons(m, x))) if_min(true, cons(n, cons(m, x))) -> min(cons(n, x)) if_min(false, cons(n, cons(m, x))) -> min(cons(m, x)) replace(n, m, nil) -> nil replace(n, m, cons(k, x)) -> if_replace(eq(n, k), n, m, cons(k, x)) if_replace(true, n, m, cons(k, x)) -> cons(m, x) if_replace(false, n, m, cons(k, x)) -> cons(k, replace(n, m, x)) sort(nil) -> nil sort(cons(n, x)) -> cons(min(cons(n, x)), sort(replace(min(cons(n, x)), n, x))) S is empty. Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) The following rules have been added to S to convert the given derivational complexity problem to a runtime complexity problem: encArg(0) -> 0 encArg(true) -> true encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(false) -> false encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(nil) -> nil encArg(cons_eq(x_1, x_2)) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_le(x_1, x_2)) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_min(x_1)) -> min(encArg(x_1)) encArg(cons_if_min(x_1, x_2)) -> if_min(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_replace(x_1, x_2, x_3)) -> replace(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_if_replace(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if_replace(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_sort(x_1)) -> sort(encArg(x_1)) encode_eq(x_1, x_2) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0 encode_true -> true encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_false -> false encode_le(x_1, x_2) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_min(x_1) -> min(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_if_min(x_1, x_2) -> if_min(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_replace(x_1, x_2, x_3) -> replace(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_if_replace(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if_replace(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_sort(x_1) -> sort(encArg(x_1)) ---------------------------------------- (2) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: eq(0, 0) -> true eq(0, s(m)) -> false eq(s(n), 0) -> false eq(s(n), s(m)) -> eq(n, m) le(0, m) -> true le(s(n), 0) -> false le(s(n), s(m)) -> le(n, m) min(cons(0, nil)) -> 0 min(cons(s(n), nil)) -> s(n) min(cons(n, cons(m, x))) -> if_min(le(n, m), cons(n, cons(m, x))) if_min(true, cons(n, cons(m, x))) -> min(cons(n, x)) if_min(false, cons(n, cons(m, x))) -> min(cons(m, x)) replace(n, m, nil) -> nil replace(n, m, cons(k, x)) -> if_replace(eq(n, k), n, m, cons(k, x)) if_replace(true, n, m, cons(k, x)) -> cons(m, x) if_replace(false, n, m, cons(k, x)) -> cons(k, replace(n, m, x)) sort(nil) -> nil sort(cons(n, x)) -> cons(min(cons(n, x)), sort(replace(min(cons(n, x)), n, x))) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(0) -> 0 encArg(true) -> true encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(false) -> false encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(nil) -> nil encArg(cons_eq(x_1, x_2)) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_le(x_1, x_2)) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_min(x_1)) -> min(encArg(x_1)) encArg(cons_if_min(x_1, x_2)) -> if_min(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_replace(x_1, x_2, x_3)) -> replace(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_if_replace(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if_replace(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_sort(x_1)) -> sort(encArg(x_1)) encode_eq(x_1, x_2) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0 encode_true -> true encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_false -> false encode_le(x_1, x_2) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_min(x_1) -> min(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_if_min(x_1, x_2) -> if_min(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_replace(x_1, x_2, x_3) -> replace(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_if_replace(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if_replace(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_sort(x_1) -> sort(encArg(x_1)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (3) SInnermostTerminationProof (BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID)) proved innermost termination of relative rules ---------------------------------------- (4) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: eq(0, 0) -> true eq(0, s(m)) -> false eq(s(n), 0) -> false eq(s(n), s(m)) -> eq(n, m) le(0, m) -> true le(s(n), 0) -> false le(s(n), s(m)) -> le(n, m) min(cons(0, nil)) -> 0 min(cons(s(n), nil)) -> s(n) min(cons(n, cons(m, x))) -> if_min(le(n, m), cons(n, cons(m, x))) if_min(true, cons(n, cons(m, x))) -> min(cons(n, x)) if_min(false, cons(n, cons(m, x))) -> min(cons(m, x)) replace(n, m, nil) -> nil replace(n, m, cons(k, x)) -> if_replace(eq(n, k), n, m, cons(k, x)) if_replace(true, n, m, cons(k, x)) -> cons(m, x) if_replace(false, n, m, cons(k, x)) -> cons(k, replace(n, m, x)) sort(nil) -> nil sort(cons(n, x)) -> cons(min(cons(n, x)), sort(replace(min(cons(n, x)), n, x))) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(0) -> 0 encArg(true) -> true encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(false) -> false encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(nil) -> nil encArg(cons_eq(x_1, x_2)) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_le(x_1, x_2)) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_min(x_1)) -> min(encArg(x_1)) encArg(cons_if_min(x_1, x_2)) -> if_min(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_replace(x_1, x_2, x_3)) -> replace(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_if_replace(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if_replace(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_sort(x_1)) -> sort(encArg(x_1)) encode_eq(x_1, x_2) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0 encode_true -> true encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_false -> false encode_le(x_1, x_2) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_min(x_1) -> min(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_if_min(x_1, x_2) -> if_min(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_replace(x_1, x_2, x_3) -> replace(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_if_replace(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if_replace(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_sort(x_1) -> sort(encArg(x_1)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (5) RenamingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol. ---------------------------------------- (6) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: eq(0', 0') -> true eq(0', s(m)) -> false eq(s(n), 0') -> false eq(s(n), s(m)) -> eq(n, m) le(0', m) -> true le(s(n), 0') -> false le(s(n), s(m)) -> le(n, m) min(cons(0', nil)) -> 0' min(cons(s(n), nil)) -> s(n) min(cons(n, cons(m, x))) -> if_min(le(n, m), cons(n, cons(m, x))) if_min(true, cons(n, cons(m, x))) -> min(cons(n, x)) if_min(false, cons(n, cons(m, x))) -> min(cons(m, x)) replace(n, m, nil) -> nil replace(n, m, cons(k, x)) -> if_replace(eq(n, k), n, m, cons(k, x)) if_replace(true, n, m, cons(k, x)) -> cons(m, x) if_replace(false, n, m, cons(k, x)) -> cons(k, replace(n, m, x)) sort(nil) -> nil sort(cons(n, x)) -> cons(min(cons(n, x)), sort(replace(min(cons(n, x)), n, x))) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(0') -> 0' encArg(true) -> true encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(false) -> false encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(nil) -> nil encArg(cons_eq(x_1, x_2)) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_le(x_1, x_2)) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_min(x_1)) -> min(encArg(x_1)) encArg(cons_if_min(x_1, x_2)) -> if_min(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_replace(x_1, x_2, x_3)) -> replace(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_if_replace(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if_replace(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_sort(x_1)) -> sort(encArg(x_1)) encode_eq(x_1, x_2) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_true -> true encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_false -> false encode_le(x_1, x_2) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_min(x_1) -> min(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_if_min(x_1, x_2) -> if_min(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_replace(x_1, x_2, x_3) -> replace(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_if_replace(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if_replace(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_sort(x_1) -> sort(encArg(x_1)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (7) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Infered types. ---------------------------------------- (8) Obligation: Innermost TRS: Rules: eq(0', 0') -> true eq(0', s(m)) -> false eq(s(n), 0') -> false eq(s(n), s(m)) -> eq(n, m) le(0', m) -> true le(s(n), 0') -> false le(s(n), s(m)) -> le(n, m) min(cons(0', nil)) -> 0' min(cons(s(n), nil)) -> s(n) min(cons(n, cons(m, x))) -> if_min(le(n, m), cons(n, cons(m, x))) if_min(true, cons(n, cons(m, x))) -> min(cons(n, x)) if_min(false, cons(n, cons(m, x))) -> min(cons(m, x)) replace(n, m, nil) -> nil replace(n, m, cons(k, x)) -> if_replace(eq(n, k), n, m, cons(k, x)) if_replace(true, n, m, cons(k, x)) -> cons(m, x) if_replace(false, n, m, cons(k, x)) -> cons(k, replace(n, m, x)) sort(nil) -> nil sort(cons(n, x)) -> cons(min(cons(n, x)), sort(replace(min(cons(n, x)), n, x))) encArg(0') -> 0' encArg(true) -> true encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(false) -> false encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(nil) -> nil encArg(cons_eq(x_1, x_2)) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_le(x_1, x_2)) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_min(x_1)) -> min(encArg(x_1)) encArg(cons_if_min(x_1, x_2)) -> if_min(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_replace(x_1, x_2, x_3)) -> replace(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_if_replace(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if_replace(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_sort(x_1)) -> sort(encArg(x_1)) encode_eq(x_1, x_2) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_true -> true encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_false -> false encode_le(x_1, x_2) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_min(x_1) -> min(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_if_min(x_1, x_2) -> if_min(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_replace(x_1, x_2, x_3) -> replace(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_if_replace(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if_replace(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_sort(x_1) -> sort(encArg(x_1)) Types: eq :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort 0' :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort true :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort s :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort false :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort le :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort min :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort cons :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort nil :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort if_min :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort replace :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort if_replace :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort sort :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort encArg :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort cons_eq :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort cons_le :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort cons_min :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort cons_if_min :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort cons_replace :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort cons_if_replace :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort cons_sort :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort encode_eq :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort encode_0 :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort encode_true :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort encode_s :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort encode_false :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort encode_le :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort encode_min :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort encode_cons :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort encode_nil :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort encode_if_min :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort encode_replace :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort encode_if_replace :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort encode_sort :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort hole_0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort1_5 :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort gen_0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort2_5 :: Nat -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort ---------------------------------------- (9) OrderProof (LOWER BOUND(ID)) Heuristically decided to analyse the following defined symbols: eq, le, min, if_min, replace, if_replace, sort, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: eq < replace eq < encArg le < min le < encArg min = if_min min < sort min < encArg if_min < encArg replace = if_replace replace < sort replace < encArg if_replace < encArg sort < encArg ---------------------------------------- (10) Obligation: Innermost TRS: Rules: eq(0', 0') -> true eq(0', s(m)) -> false eq(s(n), 0') -> false eq(s(n), s(m)) -> eq(n, m) le(0', m) -> true le(s(n), 0') -> false le(s(n), s(m)) -> le(n, m) min(cons(0', nil)) -> 0' min(cons(s(n), nil)) -> s(n) min(cons(n, cons(m, x))) -> if_min(le(n, m), cons(n, cons(m, x))) if_min(true, cons(n, cons(m, x))) -> min(cons(n, x)) if_min(false, cons(n, cons(m, x))) -> min(cons(m, x)) replace(n, m, nil) -> nil replace(n, m, cons(k, x)) -> if_replace(eq(n, k), n, m, cons(k, x)) if_replace(true, n, m, cons(k, x)) -> cons(m, x) if_replace(false, n, m, cons(k, x)) -> cons(k, replace(n, m, x)) sort(nil) -> nil sort(cons(n, x)) -> cons(min(cons(n, x)), sort(replace(min(cons(n, x)), n, x))) encArg(0') -> 0' encArg(true) -> true encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(false) -> false encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(nil) -> nil encArg(cons_eq(x_1, x_2)) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_le(x_1, x_2)) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_min(x_1)) -> min(encArg(x_1)) encArg(cons_if_min(x_1, x_2)) -> if_min(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_replace(x_1, x_2, x_3)) -> replace(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_if_replace(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if_replace(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_sort(x_1)) -> sort(encArg(x_1)) encode_eq(x_1, x_2) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_true -> true encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_false -> false encode_le(x_1, x_2) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_min(x_1) -> min(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_if_min(x_1, x_2) -> if_min(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_replace(x_1, x_2, x_3) -> replace(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_if_replace(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if_replace(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_sort(x_1) -> sort(encArg(x_1)) Types: eq :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort 0' :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort true :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort s :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort false :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort le :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort min :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort cons :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort nil :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort if_min :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort replace :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort if_replace :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort sort :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort encArg :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort cons_eq :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort cons_le :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort cons_min :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort cons_if_min :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort cons_replace :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort cons_if_replace :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort cons_sort :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort encode_eq :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort encode_0 :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort encode_true :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort encode_s :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort encode_false :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort encode_le :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort encode_min :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort encode_cons :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort encode_nil :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort encode_if_min :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort encode_replace :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort encode_if_replace :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort encode_sort :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort hole_0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort1_5 :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort gen_0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort2_5 :: Nat -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort Generator Equations: gen_0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort2_5(0) <=> 0' gen_0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort2_5(+(x, 1)) <=> s(gen_0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort2_5(x)) The following defined symbols remain to be analysed: eq, le, min, if_min, replace, if_replace, sort, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: eq < replace eq < encArg le < min le < encArg min = if_min min < sort min < encArg if_min < encArg replace = if_replace replace < sort replace < encArg if_replace < encArg sort < encArg ---------------------------------------- (11) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: eq(gen_0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort2_5(n4_5), gen_0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort2_5(n4_5)) -> true, rt in Omega(1 + n4_5) Induction Base: eq(gen_0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort2_5(0), gen_0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort2_5(0)) ->_R^Omega(1) true Induction Step: eq(gen_0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort2_5(+(n4_5, 1)), gen_0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort2_5(+(n4_5, 1))) ->_R^Omega(1) eq(gen_0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort2_5(n4_5), gen_0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort2_5(n4_5)) ->_IH true We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (12) Complex Obligation (BEST) ---------------------------------------- (13) Obligation: Proved the lower bound n^1 for the following obligation: Innermost TRS: Rules: eq(0', 0') -> true eq(0', s(m)) -> false eq(s(n), 0') -> false eq(s(n), s(m)) -> eq(n, m) le(0', m) -> true le(s(n), 0') -> false le(s(n), s(m)) -> le(n, m) min(cons(0', nil)) -> 0' min(cons(s(n), nil)) -> s(n) min(cons(n, cons(m, x))) -> if_min(le(n, m), cons(n, cons(m, x))) if_min(true, cons(n, cons(m, x))) -> min(cons(n, x)) if_min(false, cons(n, cons(m, x))) -> min(cons(m, x)) replace(n, m, nil) -> nil replace(n, m, cons(k, x)) -> if_replace(eq(n, k), n, m, cons(k, x)) if_replace(true, n, m, cons(k, x)) -> cons(m, x) if_replace(false, n, m, cons(k, x)) -> cons(k, replace(n, m, x)) sort(nil) -> nil sort(cons(n, x)) -> cons(min(cons(n, x)), sort(replace(min(cons(n, x)), n, x))) encArg(0') -> 0' encArg(true) -> true encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(false) -> false encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(nil) -> nil encArg(cons_eq(x_1, x_2)) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_le(x_1, x_2)) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_min(x_1)) -> min(encArg(x_1)) encArg(cons_if_min(x_1, x_2)) -> if_min(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_replace(x_1, x_2, x_3)) -> replace(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_if_replace(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if_replace(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_sort(x_1)) -> sort(encArg(x_1)) encode_eq(x_1, x_2) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_true -> true encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_false -> false encode_le(x_1, x_2) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_min(x_1) -> min(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_if_min(x_1, x_2) -> if_min(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_replace(x_1, x_2, x_3) -> replace(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_if_replace(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if_replace(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_sort(x_1) -> sort(encArg(x_1)) Types: eq :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort 0' :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort true :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort s :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort false :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort le :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort min :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort cons :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort nil :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort if_min :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort replace :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort if_replace :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort sort :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort encArg :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort cons_eq :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort cons_le :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort cons_min :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort cons_if_min :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort cons_replace :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort cons_if_replace :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort cons_sort :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort encode_eq :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort encode_0 :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort encode_true :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort encode_s :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort encode_false :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort encode_le :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort encode_min :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort encode_cons :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort encode_nil :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort encode_if_min :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort encode_replace :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort encode_if_replace :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort encode_sort :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort hole_0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort1_5 :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort gen_0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort2_5 :: Nat -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort Generator Equations: gen_0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort2_5(0) <=> 0' gen_0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort2_5(+(x, 1)) <=> s(gen_0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort2_5(x)) The following defined symbols remain to be analysed: eq, le, min, if_min, replace, if_replace, sort, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: eq < replace eq < encArg le < min le < encArg min = if_min min < sort min < encArg if_min < encArg replace = if_replace replace < sort replace < encArg if_replace < encArg sort < encArg ---------------------------------------- (14) LowerBoundPropagationProof (FINISHED) Propagated lower bound. ---------------------------------------- (15) BOUNDS(n^1, INF) ---------------------------------------- (16) Obligation: Innermost TRS: Rules: eq(0', 0') -> true eq(0', s(m)) -> false eq(s(n), 0') -> false eq(s(n), s(m)) -> eq(n, m) le(0', m) -> true le(s(n), 0') -> false le(s(n), s(m)) -> le(n, m) min(cons(0', nil)) -> 0' min(cons(s(n), nil)) -> s(n) min(cons(n, cons(m, x))) -> if_min(le(n, m), cons(n, cons(m, x))) if_min(true, cons(n, cons(m, x))) -> min(cons(n, x)) if_min(false, cons(n, cons(m, x))) -> min(cons(m, x)) replace(n, m, nil) -> nil replace(n, m, cons(k, x)) -> if_replace(eq(n, k), n, m, cons(k, x)) if_replace(true, n, m, cons(k, x)) -> cons(m, x) if_replace(false, n, m, cons(k, x)) -> cons(k, replace(n, m, x)) sort(nil) -> nil sort(cons(n, x)) -> cons(min(cons(n, x)), sort(replace(min(cons(n, x)), n, x))) encArg(0') -> 0' encArg(true) -> true encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(false) -> false encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(nil) -> nil encArg(cons_eq(x_1, x_2)) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_le(x_1, x_2)) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_min(x_1)) -> min(encArg(x_1)) encArg(cons_if_min(x_1, x_2)) -> if_min(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_replace(x_1, x_2, x_3)) -> replace(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_if_replace(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if_replace(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_sort(x_1)) -> sort(encArg(x_1)) encode_eq(x_1, x_2) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_true -> true encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_false -> false encode_le(x_1, x_2) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_min(x_1) -> min(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_if_min(x_1, x_2) -> if_min(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_replace(x_1, x_2, x_3) -> replace(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_if_replace(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if_replace(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_sort(x_1) -> sort(encArg(x_1)) Types: eq :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort 0' :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort true :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort s :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort false :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort le :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort min :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort cons :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort nil :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort if_min :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort replace :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort if_replace :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort sort :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort encArg :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort cons_eq :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort cons_le :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort cons_min :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort cons_if_min :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort cons_replace :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort cons_if_replace :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort cons_sort :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort encode_eq :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort encode_0 :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort encode_true :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort encode_s :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort encode_false :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort encode_le :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort encode_min :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort encode_cons :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort encode_nil :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort encode_if_min :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort encode_replace :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort encode_if_replace :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort encode_sort :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort hole_0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort1_5 :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort gen_0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort2_5 :: Nat -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort Lemmas: eq(gen_0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort2_5(n4_5), gen_0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort2_5(n4_5)) -> true, rt in Omega(1 + n4_5) Generator Equations: gen_0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort2_5(0) <=> 0' gen_0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort2_5(+(x, 1)) <=> s(gen_0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort2_5(x)) The following defined symbols remain to be analysed: le, min, if_min, replace, if_replace, sort, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: le < min le < encArg min = if_min min < sort min < encArg if_min < encArg replace = if_replace replace < sort replace < encArg if_replace < encArg sort < encArg ---------------------------------------- (17) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: le(gen_0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort2_5(n931_5), gen_0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort2_5(n931_5)) -> true, rt in Omega(1 + n931_5) Induction Base: le(gen_0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort2_5(0), gen_0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort2_5(0)) ->_R^Omega(1) true Induction Step: le(gen_0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort2_5(+(n931_5, 1)), gen_0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort2_5(+(n931_5, 1))) ->_R^Omega(1) le(gen_0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort2_5(n931_5), gen_0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort2_5(n931_5)) ->_IH true We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (18) Obligation: Innermost TRS: Rules: eq(0', 0') -> true eq(0', s(m)) -> false eq(s(n), 0') -> false eq(s(n), s(m)) -> eq(n, m) le(0', m) -> true le(s(n), 0') -> false le(s(n), s(m)) -> le(n, m) min(cons(0', nil)) -> 0' min(cons(s(n), nil)) -> s(n) min(cons(n, cons(m, x))) -> if_min(le(n, m), cons(n, cons(m, x))) if_min(true, cons(n, cons(m, x))) -> min(cons(n, x)) if_min(false, cons(n, cons(m, x))) -> min(cons(m, x)) replace(n, m, nil) -> nil replace(n, m, cons(k, x)) -> if_replace(eq(n, k), n, m, cons(k, x)) if_replace(true, n, m, cons(k, x)) -> cons(m, x) if_replace(false, n, m, cons(k, x)) -> cons(k, replace(n, m, x)) sort(nil) -> nil sort(cons(n, x)) -> cons(min(cons(n, x)), sort(replace(min(cons(n, x)), n, x))) encArg(0') -> 0' encArg(true) -> true encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(false) -> false encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(nil) -> nil encArg(cons_eq(x_1, x_2)) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_le(x_1, x_2)) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_min(x_1)) -> min(encArg(x_1)) encArg(cons_if_min(x_1, x_2)) -> if_min(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_replace(x_1, x_2, x_3)) -> replace(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_if_replace(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if_replace(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_sort(x_1)) -> sort(encArg(x_1)) encode_eq(x_1, x_2) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_true -> true encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_false -> false encode_le(x_1, x_2) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_min(x_1) -> min(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_if_min(x_1, x_2) -> if_min(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_replace(x_1, x_2, x_3) -> replace(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_if_replace(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if_replace(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_sort(x_1) -> sort(encArg(x_1)) Types: eq :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort 0' :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort true :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort s :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort false :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort le :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort min :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort cons :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort nil :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort if_min :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort replace :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort if_replace :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort sort :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort encArg :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort cons_eq :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort cons_le :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort cons_min :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort cons_if_min :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort cons_replace :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort cons_if_replace :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort cons_sort :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort encode_eq :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort encode_0 :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort encode_true :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort encode_s :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort encode_false :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort encode_le :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort encode_min :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort encode_cons :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort encode_nil :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort encode_if_min :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort encode_replace :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort encode_if_replace :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort encode_sort :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort hole_0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort1_5 :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort gen_0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort2_5 :: Nat -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort Lemmas: eq(gen_0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort2_5(n4_5), gen_0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort2_5(n4_5)) -> true, rt in Omega(1 + n4_5) le(gen_0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort2_5(n931_5), gen_0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort2_5(n931_5)) -> true, rt in Omega(1 + n931_5) Generator Equations: gen_0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort2_5(0) <=> 0' gen_0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort2_5(+(x, 1)) <=> s(gen_0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort2_5(x)) The following defined symbols remain to be analysed: if_replace, min, if_min, replace, sort, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: min = if_min min < sort min < encArg if_min < encArg replace = if_replace replace < sort replace < encArg if_replace < encArg sort < encArg ---------------------------------------- (19) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: encArg(gen_0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort2_5(n1725_5)) -> gen_0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort2_5(n1725_5), rt in Omega(0) Induction Base: encArg(gen_0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort2_5(0)) ->_R^Omega(0) 0' Induction Step: encArg(gen_0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort2_5(+(n1725_5, 1))) ->_R^Omega(0) s(encArg(gen_0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort2_5(n1725_5))) ->_IH s(gen_0':true:s:false:nil:cons:cons_eq:cons_le:cons_min:cons_if_min:cons_replace:cons_if_replace:cons_sort2_5(c1726_5)) We have rt in Omega(1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n^0). ---------------------------------------- (20) BOUNDS(1, INF)