WORST_CASE(?, O(n^1))
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The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(1, n^1).

(0) DCpxTrs
(1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
(2) CpxRelTRS
(3) SInnermostTerminationProof [BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID), 155 ms]
(4) CpxRelTRS
(5) CpxTrsToCdtProof [UPPER BOUND(ID), 0 ms]
(6) CdtProblem
(7) CdtLeafRemovalProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
(8) CdtProblem
(9) CdtGraphSplitRhsProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
(10) CdtProblem
(11) CdtLeafRemovalProof [ComplexityIfPolyImplication, 0 ms]
(12) CdtProblem
(13) CdtUsableRulesProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
(14) CdtProblem
(15) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
(16) CdtProblem
(17) CdtRhsSimplificationProcessorProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
(18) CdtProblem
(19) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
(20) CdtProblem
(21) CdtRhsSimplificationProcessorProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
(22) CdtProblem
(23) CdtRuleRemovalProof [UPPER BOUND(ADD(n^1)), 55 ms]
(24) CdtProblem
(25) SIsEmptyProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
(26) BOUNDS(1, 1)


----------------------------------------

(0)
Obligation:
The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(1, n^1).


The TRS R consists of the following rules:

   f(0, 1, X) -> f(g(X, X), X, X)
   g(X, Y) -> X
   g(X, Y) -> Y

S is empty.
Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
The following rules have been added to S to convert the given derivational complexity problem to a runtime complexity problem:

   encArg(0) -> 0
   encArg(1) -> 1
   encArg(cons_f(x_1, x_2, x_3)) -> f(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_g(x_1, x_2)) -> g(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_f(x_1, x_2, x_3) -> f(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_0 -> 0
   encode_1 -> 1
   encode_g(x_1, x_2) -> g(encArg(x_1), encArg(x_2))


----------------------------------------

(2)
Obligation:
The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(1, n^1).


The TRS R consists of the following rules:

   f(0, 1, X) -> f(g(X, X), X, X)
   g(X, Y) -> X
   g(X, Y) -> Y

The (relative) TRS S consists of the following rules:

   encArg(0) -> 0
   encArg(1) -> 1
   encArg(cons_f(x_1, x_2, x_3)) -> f(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_g(x_1, x_2)) -> g(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_f(x_1, x_2, x_3) -> f(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_0 -> 0
   encode_1 -> 1
   encode_g(x_1, x_2) -> g(encArg(x_1), encArg(x_2))

Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(3) SInnermostTerminationProof (BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID))
proved innermost termination of relative rules
----------------------------------------

(4)
Obligation:
The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(1, n^1).


The TRS R consists of the following rules:

   f(0, 1, X) -> f(g(X, X), X, X)
   g(X, Y) -> X
   g(X, Y) -> Y

The (relative) TRS S consists of the following rules:

   encArg(0) -> 0
   encArg(1) -> 1
   encArg(cons_f(x_1, x_2, x_3)) -> f(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_g(x_1, x_2)) -> g(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_f(x_1, x_2, x_3) -> f(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_0 -> 0
   encode_1 -> 1
   encode_g(x_1, x_2) -> g(encArg(x_1), encArg(x_2))

Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(5) CpxTrsToCdtProof (UPPER BOUND(ID))
Converted Cpx (relative) TRS to CDT
----------------------------------------

(6)
Obligation:
Complexity Dependency Tuples Problem

Rules:
   encArg(0) -> 0
   encArg(1) -> 1
   encArg(cons_f(z0, z1, z2)) -> f(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))
   encArg(cons_g(z0, z1)) -> g(encArg(z0), encArg(z1))
   encode_f(z0, z1, z2) -> f(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))
   encode_0 -> 0
   encode_1 -> 1
   encode_g(z0, z1) -> g(encArg(z0), encArg(z1))
   f(0, 1, z0) -> f(g(z0, z0), z0, z0)
   g(z0, z1) -> z0
   g(z0, z1) -> z1
Tuples:
   ENCARG(0) -> c
   ENCARG(1) -> c1
   ENCARG(cons_f(z0, z1, z2)) -> c2(F(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2))
   ENCARG(cons_g(z0, z1)) -> c3(G(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCODE_F(z0, z1, z2) -> c4(F(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2))
   ENCODE_0 -> c5
   ENCODE_1 -> c6
   ENCODE_G(z0, z1) -> c7(G(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   F(0, 1, z0) -> c8(F(g(z0, z0), z0, z0), G(z0, z0))
   G(z0, z1) -> c9
   G(z0, z1) -> c10
S tuples:
   F(0, 1, z0) -> c8(F(g(z0, z0), z0, z0), G(z0, z0))
   G(z0, z1) -> c9
   G(z0, z1) -> c10
K tuples:none
Defined Rule Symbols:   f_3, g_2, encArg_1, encode_f_3, encode_0, encode_1, encode_g_2

Defined Pair Symbols:   ENCARG_1, ENCODE_F_3, ENCODE_0, ENCODE_1, ENCODE_G_2, F_3, G_2

Compound Symbols:   c, c1, c2_4, c3_3, c4_4, c5, c6, c7_3, c8_2, c9, c10


----------------------------------------

(7) CdtLeafRemovalProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
Removed 4 trailing nodes:
   ENCARG(0) -> c
   ENCODE_1 -> c6
   ENCARG(1) -> c1
   ENCODE_0 -> c5

----------------------------------------

(8)
Obligation:
Complexity Dependency Tuples Problem

Rules:
   encArg(0) -> 0
   encArg(1) -> 1
   encArg(cons_f(z0, z1, z2)) -> f(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))
   encArg(cons_g(z0, z1)) -> g(encArg(z0), encArg(z1))
   encode_f(z0, z1, z2) -> f(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))
   encode_0 -> 0
   encode_1 -> 1
   encode_g(z0, z1) -> g(encArg(z0), encArg(z1))
   f(0, 1, z0) -> f(g(z0, z0), z0, z0)
   g(z0, z1) -> z0
   g(z0, z1) -> z1
Tuples:
   ENCARG(cons_f(z0, z1, z2)) -> c2(F(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2))
   ENCARG(cons_g(z0, z1)) -> c3(G(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCODE_F(z0, z1, z2) -> c4(F(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2))
   ENCODE_G(z0, z1) -> c7(G(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   F(0, 1, z0) -> c8(F(g(z0, z0), z0, z0), G(z0, z0))
   G(z0, z1) -> c9
   G(z0, z1) -> c10
S tuples:
   F(0, 1, z0) -> c8(F(g(z0, z0), z0, z0), G(z0, z0))
   G(z0, z1) -> c9
   G(z0, z1) -> c10
K tuples:none
Defined Rule Symbols:   f_3, g_2, encArg_1, encode_f_3, encode_0, encode_1, encode_g_2

Defined Pair Symbols:   ENCARG_1, ENCODE_F_3, ENCODE_G_2, F_3, G_2

Compound Symbols:   c2_4, c3_3, c4_4, c7_3, c8_2, c9, c10


----------------------------------------

(9) CdtGraphSplitRhsProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
Split RHS of tuples not part of any SCC
----------------------------------------

(10)
Obligation:
Complexity Dependency Tuples Problem

Rules:
   encArg(0) -> 0
   encArg(1) -> 1
   encArg(cons_f(z0, z1, z2)) -> f(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))
   encArg(cons_g(z0, z1)) -> g(encArg(z0), encArg(z1))
   encode_f(z0, z1, z2) -> f(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))
   encode_0 -> 0
   encode_1 -> 1
   encode_g(z0, z1) -> g(encArg(z0), encArg(z1))
   f(0, 1, z0) -> f(g(z0, z0), z0, z0)
   g(z0, z1) -> z0
   g(z0, z1) -> z1
Tuples:
   ENCARG(cons_f(z0, z1, z2)) -> c2(F(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2))
   ENCARG(cons_g(z0, z1)) -> c3(G(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   F(0, 1, z0) -> c8(F(g(z0, z0), z0, z0), G(z0, z0))
   G(z0, z1) -> c9
   G(z0, z1) -> c10
   ENCODE_F(z0, z1, z2) -> c(F(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)))
   ENCODE_F(z0, z1, z2) -> c(ENCARG(z0))
   ENCODE_F(z0, z1, z2) -> c(ENCARG(z1))
   ENCODE_F(z0, z1, z2) -> c(ENCARG(z2))
   ENCODE_G(z0, z1) -> c(G(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_G(z0, z1) -> c(ENCARG(z0))
   ENCODE_G(z0, z1) -> c(ENCARG(z1))
S tuples:
   F(0, 1, z0) -> c8(F(g(z0, z0), z0, z0), G(z0, z0))
   G(z0, z1) -> c9
   G(z0, z1) -> c10
K tuples:none
Defined Rule Symbols:   f_3, g_2, encArg_1, encode_f_3, encode_0, encode_1, encode_g_2

Defined Pair Symbols:   ENCARG_1, F_3, G_2, ENCODE_F_3, ENCODE_G_2

Compound Symbols:   c2_4, c3_3, c8_2, c9, c10, c_1


----------------------------------------

(11) CdtLeafRemovalProof (ComplexityIfPolyImplication)
Removed 5 leading nodes:
   ENCODE_F(z0, z1, z2) -> c(ENCARG(z0))
   ENCODE_F(z0, z1, z2) -> c(ENCARG(z1))
   ENCODE_F(z0, z1, z2) -> c(ENCARG(z2))
   ENCODE_G(z0, z1) -> c(ENCARG(z0))
   ENCODE_G(z0, z1) -> c(ENCARG(z1))

----------------------------------------

(12)
Obligation:
Complexity Dependency Tuples Problem

Rules:
   encArg(0) -> 0
   encArg(1) -> 1
   encArg(cons_f(z0, z1, z2)) -> f(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))
   encArg(cons_g(z0, z1)) -> g(encArg(z0), encArg(z1))
   encode_f(z0, z1, z2) -> f(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))
   encode_0 -> 0
   encode_1 -> 1
   encode_g(z0, z1) -> g(encArg(z0), encArg(z1))
   f(0, 1, z0) -> f(g(z0, z0), z0, z0)
   g(z0, z1) -> z0
   g(z0, z1) -> z1
Tuples:
   ENCARG(cons_f(z0, z1, z2)) -> c2(F(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2))
   ENCARG(cons_g(z0, z1)) -> c3(G(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   F(0, 1, z0) -> c8(F(g(z0, z0), z0, z0), G(z0, z0))
   G(z0, z1) -> c9
   G(z0, z1) -> c10
   ENCODE_F(z0, z1, z2) -> c(F(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)))
   ENCODE_G(z0, z1) -> c(G(encArg(z0), encArg(z1)))
S tuples:
   F(0, 1, z0) -> c8(F(g(z0, z0), z0, z0), G(z0, z0))
   G(z0, z1) -> c9
   G(z0, z1) -> c10
K tuples:none
Defined Rule Symbols:   f_3, g_2, encArg_1, encode_f_3, encode_0, encode_1, encode_g_2

Defined Pair Symbols:   ENCARG_1, F_3, G_2, ENCODE_F_3, ENCODE_G_2

Compound Symbols:   c2_4, c3_3, c8_2, c9, c10, c_1


----------------------------------------

(13) CdtUsableRulesProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
The following rules are not usable and were removed:
   encode_f(z0, z1, z2) -> f(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))
   encode_0 -> 0
   encode_1 -> 1
   encode_g(z0, z1) -> g(encArg(z0), encArg(z1))

----------------------------------------

(14)
Obligation:
Complexity Dependency Tuples Problem

Rules:
   encArg(0) -> 0
   encArg(1) -> 1
   encArg(cons_f(z0, z1, z2)) -> f(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))
   encArg(cons_g(z0, z1)) -> g(encArg(z0), encArg(z1))
   f(0, 1, z0) -> f(g(z0, z0), z0, z0)
   g(z0, z1) -> z0
   g(z0, z1) -> z1
Tuples:
   ENCARG(cons_f(z0, z1, z2)) -> c2(F(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2))
   ENCARG(cons_g(z0, z1)) -> c3(G(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   F(0, 1, z0) -> c8(F(g(z0, z0), z0, z0), G(z0, z0))
   G(z0, z1) -> c9
   G(z0, z1) -> c10
   ENCODE_F(z0, z1, z2) -> c(F(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)))
   ENCODE_G(z0, z1) -> c(G(encArg(z0), encArg(z1)))
S tuples:
   F(0, 1, z0) -> c8(F(g(z0, z0), z0, z0), G(z0, z0))
   G(z0, z1) -> c9
   G(z0, z1) -> c10
K tuples:none
Defined Rule Symbols:   encArg_1, f_3, g_2

Defined Pair Symbols:   ENCARG_1, F_3, G_2, ENCODE_F_3, ENCODE_G_2

Compound Symbols:   c2_4, c3_3, c8_2, c9, c10, c_1


----------------------------------------

(15) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
Use narrowing to replace ENCARG(cons_f(z0, z1, z2)) -> c2(F(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2)) by 
   ENCARG(cons_f(x0, x1, 0)) -> c2(F(encArg(x0), encArg(x1), 0), ENCARG(x0), ENCARG(x1), ENCARG(0))
   ENCARG(cons_f(x0, x1, 1)) -> c2(F(encArg(x0), encArg(x1), 1), ENCARG(x0), ENCARG(x1), ENCARG(1))
   ENCARG(cons_f(x0, x1, cons_f(z0, z1, z2))) -> c2(F(encArg(x0), encArg(x1), f(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))), ENCARG(x0), ENCARG(x1), ENCARG(cons_f(z0, z1, z2)))
   ENCARG(cons_f(x0, x1, cons_g(z0, z1))) -> c2(F(encArg(x0), encArg(x1), g(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(x0), ENCARG(x1), ENCARG(cons_g(z0, z1)))
   ENCARG(cons_f(x0, 0, x2)) -> c2(F(encArg(x0), 0, encArg(x2)), ENCARG(x0), ENCARG(0), ENCARG(x2))
   ENCARG(cons_f(x0, 1, x2)) -> c2(F(encArg(x0), 1, encArg(x2)), ENCARG(x0), ENCARG(1), ENCARG(x2))
   ENCARG(cons_f(x0, cons_f(z0, z1, z2), x2)) -> c2(F(encArg(x0), f(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), encArg(x2)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(z0, z1, z2)), ENCARG(x2))
   ENCARG(cons_f(x0, cons_g(z0, z1), x2)) -> c2(F(encArg(x0), g(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x2)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_g(z0, z1)), ENCARG(x2))
   ENCARG(cons_f(0, x1, x2)) -> c2(F(0, encArg(x1), encArg(x2)), ENCARG(0), ENCARG(x1), ENCARG(x2))
   ENCARG(cons_f(1, x1, x2)) -> c2(F(1, encArg(x1), encArg(x2)), ENCARG(1), ENCARG(x1), ENCARG(x2))
   ENCARG(cons_f(cons_f(z0, z1, z2), x1, x2)) -> c2(F(f(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), encArg(x1), encArg(x2)), ENCARG(cons_f(z0, z1, z2)), ENCARG(x1), ENCARG(x2))
   ENCARG(cons_f(cons_g(z0, z1), x1, x2)) -> c2(F(g(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1), encArg(x2)), ENCARG(cons_g(z0, z1)), ENCARG(x1), ENCARG(x2))

----------------------------------------

(16)
Obligation:
Complexity Dependency Tuples Problem

Rules:
   encArg(0) -> 0
   encArg(1) -> 1
   encArg(cons_f(z0, z1, z2)) -> f(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))
   encArg(cons_g(z0, z1)) -> g(encArg(z0), encArg(z1))
   f(0, 1, z0) -> f(g(z0, z0), z0, z0)
   g(z0, z1) -> z0
   g(z0, z1) -> z1
Tuples:
   ENCARG(cons_g(z0, z1)) -> c3(G(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   F(0, 1, z0) -> c8(F(g(z0, z0), z0, z0), G(z0, z0))
   G(z0, z1) -> c9
   G(z0, z1) -> c10
   ENCODE_F(z0, z1, z2) -> c(F(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)))
   ENCODE_G(z0, z1) -> c(G(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCARG(cons_f(x0, x1, 0)) -> c2(F(encArg(x0), encArg(x1), 0), ENCARG(x0), ENCARG(x1), ENCARG(0))
   ENCARG(cons_f(x0, x1, 1)) -> c2(F(encArg(x0), encArg(x1), 1), ENCARG(x0), ENCARG(x1), ENCARG(1))
   ENCARG(cons_f(x0, x1, cons_f(z0, z1, z2))) -> c2(F(encArg(x0), encArg(x1), f(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))), ENCARG(x0), ENCARG(x1), ENCARG(cons_f(z0, z1, z2)))
   ENCARG(cons_f(x0, x1, cons_g(z0, z1))) -> c2(F(encArg(x0), encArg(x1), g(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(x0), ENCARG(x1), ENCARG(cons_g(z0, z1)))
   ENCARG(cons_f(x0, 0, x2)) -> c2(F(encArg(x0), 0, encArg(x2)), ENCARG(x0), ENCARG(0), ENCARG(x2))
   ENCARG(cons_f(x0, 1, x2)) -> c2(F(encArg(x0), 1, encArg(x2)), ENCARG(x0), ENCARG(1), ENCARG(x2))
   ENCARG(cons_f(x0, cons_f(z0, z1, z2), x2)) -> c2(F(encArg(x0), f(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), encArg(x2)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(z0, z1, z2)), ENCARG(x2))
   ENCARG(cons_f(x0, cons_g(z0, z1), x2)) -> c2(F(encArg(x0), g(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x2)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_g(z0, z1)), ENCARG(x2))
   ENCARG(cons_f(0, x1, x2)) -> c2(F(0, encArg(x1), encArg(x2)), ENCARG(0), ENCARG(x1), ENCARG(x2))
   ENCARG(cons_f(1, x1, x2)) -> c2(F(1, encArg(x1), encArg(x2)), ENCARG(1), ENCARG(x1), ENCARG(x2))
   ENCARG(cons_f(cons_f(z0, z1, z2), x1, x2)) -> c2(F(f(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), encArg(x1), encArg(x2)), ENCARG(cons_f(z0, z1, z2)), ENCARG(x1), ENCARG(x2))
   ENCARG(cons_f(cons_g(z0, z1), x1, x2)) -> c2(F(g(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1), encArg(x2)), ENCARG(cons_g(z0, z1)), ENCARG(x1), ENCARG(x2))
S tuples:
   F(0, 1, z0) -> c8(F(g(z0, z0), z0, z0), G(z0, z0))
   G(z0, z1) -> c9
   G(z0, z1) -> c10
K tuples:none
Defined Rule Symbols:   encArg_1, f_3, g_2

Defined Pair Symbols:   ENCARG_1, F_3, G_2, ENCODE_F_3, ENCODE_G_2

Compound Symbols:   c3_3, c8_2, c9, c10, c_1, c2_4


----------------------------------------

(17) CdtRhsSimplificationProcessorProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
Removed 8 trailing tuple parts
----------------------------------------

(18)
Obligation:
Complexity Dependency Tuples Problem

Rules:
   encArg(0) -> 0
   encArg(1) -> 1
   encArg(cons_f(z0, z1, z2)) -> f(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))
   encArg(cons_g(z0, z1)) -> g(encArg(z0), encArg(z1))
   f(0, 1, z0) -> f(g(z0, z0), z0, z0)
   g(z0, z1) -> z0
   g(z0, z1) -> z1
Tuples:
   ENCARG(cons_g(z0, z1)) -> c3(G(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   F(0, 1, z0) -> c8(F(g(z0, z0), z0, z0), G(z0, z0))
   G(z0, z1) -> c9
   G(z0, z1) -> c10
   ENCODE_F(z0, z1, z2) -> c(F(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)))
   ENCODE_G(z0, z1) -> c(G(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCARG(cons_f(x0, x1, cons_f(z0, z1, z2))) -> c2(F(encArg(x0), encArg(x1), f(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))), ENCARG(x0), ENCARG(x1), ENCARG(cons_f(z0, z1, z2)))
   ENCARG(cons_f(x0, x1, cons_g(z0, z1))) -> c2(F(encArg(x0), encArg(x1), g(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(x0), ENCARG(x1), ENCARG(cons_g(z0, z1)))
   ENCARG(cons_f(x0, cons_f(z0, z1, z2), x2)) -> c2(F(encArg(x0), f(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), encArg(x2)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(z0, z1, z2)), ENCARG(x2))
   ENCARG(cons_f(x0, cons_g(z0, z1), x2)) -> c2(F(encArg(x0), g(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x2)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_g(z0, z1)), ENCARG(x2))
   ENCARG(cons_f(cons_f(z0, z1, z2), x1, x2)) -> c2(F(f(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), encArg(x1), encArg(x2)), ENCARG(cons_f(z0, z1, z2)), ENCARG(x1), ENCARG(x2))
   ENCARG(cons_f(cons_g(z0, z1), x1, x2)) -> c2(F(g(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1), encArg(x2)), ENCARG(cons_g(z0, z1)), ENCARG(x1), ENCARG(x2))
   ENCARG(cons_f(x0, x1, 0)) -> c2(F(encArg(x0), encArg(x1), 0), ENCARG(x0), ENCARG(x1))
   ENCARG(cons_f(x0, x1, 1)) -> c2(F(encArg(x0), encArg(x1), 1), ENCARG(x0), ENCARG(x1))
   ENCARG(cons_f(x0, 0, x2)) -> c2(ENCARG(x0), ENCARG(x2))
   ENCARG(cons_f(x0, 1, x2)) -> c2(F(encArg(x0), 1, encArg(x2)), ENCARG(x0), ENCARG(x2))
   ENCARG(cons_f(0, x1, x2)) -> c2(F(0, encArg(x1), encArg(x2)), ENCARG(x1), ENCARG(x2))
   ENCARG(cons_f(1, x1, x2)) -> c2(ENCARG(x1), ENCARG(x2))
S tuples:
   F(0, 1, z0) -> c8(F(g(z0, z0), z0, z0), G(z0, z0))
   G(z0, z1) -> c9
   G(z0, z1) -> c10
K tuples:none
Defined Rule Symbols:   encArg_1, f_3, g_2

Defined Pair Symbols:   ENCARG_1, F_3, G_2, ENCODE_F_3, ENCODE_G_2

Compound Symbols:   c3_3, c8_2, c9, c10, c_1, c2_4, c2_3, c2_2


----------------------------------------

(19) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
Use narrowing to replace F(0, 1, z0) -> c8(F(g(z0, z0), z0, z0), G(z0, z0)) by 
   F(0, 1, z0) -> c8(F(z0, z0, z0), G(z0, z0))

----------------------------------------

(20)
Obligation:
Complexity Dependency Tuples Problem

Rules:
   encArg(0) -> 0
   encArg(1) -> 1
   encArg(cons_f(z0, z1, z2)) -> f(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))
   encArg(cons_g(z0, z1)) -> g(encArg(z0), encArg(z1))
   f(0, 1, z0) -> f(g(z0, z0), z0, z0)
   g(z0, z1) -> z0
   g(z0, z1) -> z1
Tuples:
   ENCARG(cons_g(z0, z1)) -> c3(G(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   G(z0, z1) -> c9
   G(z0, z1) -> c10
   ENCODE_F(z0, z1, z2) -> c(F(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)))
   ENCODE_G(z0, z1) -> c(G(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCARG(cons_f(x0, x1, cons_f(z0, z1, z2))) -> c2(F(encArg(x0), encArg(x1), f(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))), ENCARG(x0), ENCARG(x1), ENCARG(cons_f(z0, z1, z2)))
   ENCARG(cons_f(x0, x1, cons_g(z0, z1))) -> c2(F(encArg(x0), encArg(x1), g(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(x0), ENCARG(x1), ENCARG(cons_g(z0, z1)))
   ENCARG(cons_f(x0, cons_f(z0, z1, z2), x2)) -> c2(F(encArg(x0), f(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), encArg(x2)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(z0, z1, z2)), ENCARG(x2))
   ENCARG(cons_f(x0, cons_g(z0, z1), x2)) -> c2(F(encArg(x0), g(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x2)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_g(z0, z1)), ENCARG(x2))
   ENCARG(cons_f(cons_f(z0, z1, z2), x1, x2)) -> c2(F(f(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), encArg(x1), encArg(x2)), ENCARG(cons_f(z0, z1, z2)), ENCARG(x1), ENCARG(x2))
   ENCARG(cons_f(cons_g(z0, z1), x1, x2)) -> c2(F(g(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1), encArg(x2)), ENCARG(cons_g(z0, z1)), ENCARG(x1), ENCARG(x2))
   ENCARG(cons_f(x0, x1, 0)) -> c2(F(encArg(x0), encArg(x1), 0), ENCARG(x0), ENCARG(x1))
   ENCARG(cons_f(x0, x1, 1)) -> c2(F(encArg(x0), encArg(x1), 1), ENCARG(x0), ENCARG(x1))
   ENCARG(cons_f(x0, 0, x2)) -> c2(ENCARG(x0), ENCARG(x2))
   ENCARG(cons_f(x0, 1, x2)) -> c2(F(encArg(x0), 1, encArg(x2)), ENCARG(x0), ENCARG(x2))
   ENCARG(cons_f(0, x1, x2)) -> c2(F(0, encArg(x1), encArg(x2)), ENCARG(x1), ENCARG(x2))
   ENCARG(cons_f(1, x1, x2)) -> c2(ENCARG(x1), ENCARG(x2))
   F(0, 1, z0) -> c8(F(z0, z0, z0), G(z0, z0))
S tuples:
   G(z0, z1) -> c9
   G(z0, z1) -> c10
   F(0, 1, z0) -> c8(F(z0, z0, z0), G(z0, z0))
K tuples:none
Defined Rule Symbols:   encArg_1, f_3, g_2

Defined Pair Symbols:   ENCARG_1, G_2, ENCODE_F_3, ENCODE_G_2, F_3

Compound Symbols:   c3_3, c9, c10, c_1, c2_4, c2_3, c2_2, c8_2


----------------------------------------

(21) CdtRhsSimplificationProcessorProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
Removed 1 trailing tuple parts
----------------------------------------

(22)
Obligation:
Complexity Dependency Tuples Problem

Rules:
   encArg(0) -> 0
   encArg(1) -> 1
   encArg(cons_f(z0, z1, z2)) -> f(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))
   encArg(cons_g(z0, z1)) -> g(encArg(z0), encArg(z1))
   f(0, 1, z0) -> f(g(z0, z0), z0, z0)
   g(z0, z1) -> z0
   g(z0, z1) -> z1
Tuples:
   ENCARG(cons_g(z0, z1)) -> c3(G(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   G(z0, z1) -> c9
   G(z0, z1) -> c10
   ENCODE_F(z0, z1, z2) -> c(F(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)))
   ENCODE_G(z0, z1) -> c(G(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCARG(cons_f(x0, x1, cons_f(z0, z1, z2))) -> c2(F(encArg(x0), encArg(x1), f(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))), ENCARG(x0), ENCARG(x1), ENCARG(cons_f(z0, z1, z2)))
   ENCARG(cons_f(x0, x1, cons_g(z0, z1))) -> c2(F(encArg(x0), encArg(x1), g(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(x0), ENCARG(x1), ENCARG(cons_g(z0, z1)))
   ENCARG(cons_f(x0, cons_f(z0, z1, z2), x2)) -> c2(F(encArg(x0), f(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), encArg(x2)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(z0, z1, z2)), ENCARG(x2))
   ENCARG(cons_f(x0, cons_g(z0, z1), x2)) -> c2(F(encArg(x0), g(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x2)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_g(z0, z1)), ENCARG(x2))
   ENCARG(cons_f(cons_f(z0, z1, z2), x1, x2)) -> c2(F(f(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), encArg(x1), encArg(x2)), ENCARG(cons_f(z0, z1, z2)), ENCARG(x1), ENCARG(x2))
   ENCARG(cons_f(cons_g(z0, z1), x1, x2)) -> c2(F(g(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1), encArg(x2)), ENCARG(cons_g(z0, z1)), ENCARG(x1), ENCARG(x2))
   ENCARG(cons_f(x0, x1, 0)) -> c2(F(encArg(x0), encArg(x1), 0), ENCARG(x0), ENCARG(x1))
   ENCARG(cons_f(x0, x1, 1)) -> c2(F(encArg(x0), encArg(x1), 1), ENCARG(x0), ENCARG(x1))
   ENCARG(cons_f(x0, 0, x2)) -> c2(ENCARG(x0), ENCARG(x2))
   ENCARG(cons_f(x0, 1, x2)) -> c2(F(encArg(x0), 1, encArg(x2)), ENCARG(x0), ENCARG(x2))
   ENCARG(cons_f(0, x1, x2)) -> c2(F(0, encArg(x1), encArg(x2)), ENCARG(x1), ENCARG(x2))
   ENCARG(cons_f(1, x1, x2)) -> c2(ENCARG(x1), ENCARG(x2))
   F(0, 1, z0) -> c8(G(z0, z0))
S tuples:
   G(z0, z1) -> c9
   G(z0, z1) -> c10
   F(0, 1, z0) -> c8(G(z0, z0))
K tuples:none
Defined Rule Symbols:   encArg_1, f_3, g_2

Defined Pair Symbols:   ENCARG_1, G_2, ENCODE_F_3, ENCODE_G_2, F_3

Compound Symbols:   c3_3, c9, c10, c_1, c2_4, c2_3, c2_2, c8_1


----------------------------------------

(23) CdtRuleRemovalProof (UPPER BOUND(ADD(n^1)))
Found a reduction pair which oriented the following tuples strictly. Hence they can be removed from S.
   G(z0, z1) -> c9
   G(z0, z1) -> c10
   F(0, 1, z0) -> c8(G(z0, z0))
We considered the (Usable) Rules:none
And the Tuples:
   ENCARG(cons_g(z0, z1)) -> c3(G(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   G(z0, z1) -> c9
   G(z0, z1) -> c10
   ENCODE_F(z0, z1, z2) -> c(F(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)))
   ENCODE_G(z0, z1) -> c(G(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCARG(cons_f(x0, x1, cons_f(z0, z1, z2))) -> c2(F(encArg(x0), encArg(x1), f(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))), ENCARG(x0), ENCARG(x1), ENCARG(cons_f(z0, z1, z2)))
   ENCARG(cons_f(x0, x1, cons_g(z0, z1))) -> c2(F(encArg(x0), encArg(x1), g(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(x0), ENCARG(x1), ENCARG(cons_g(z0, z1)))
   ENCARG(cons_f(x0, cons_f(z0, z1, z2), x2)) -> c2(F(encArg(x0), f(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), encArg(x2)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(z0, z1, z2)), ENCARG(x2))
   ENCARG(cons_f(x0, cons_g(z0, z1), x2)) -> c2(F(encArg(x0), g(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x2)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_g(z0, z1)), ENCARG(x2))
   ENCARG(cons_f(cons_f(z0, z1, z2), x1, x2)) -> c2(F(f(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), encArg(x1), encArg(x2)), ENCARG(cons_f(z0, z1, z2)), ENCARG(x1), ENCARG(x2))
   ENCARG(cons_f(cons_g(z0, z1), x1, x2)) -> c2(F(g(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1), encArg(x2)), ENCARG(cons_g(z0, z1)), ENCARG(x1), ENCARG(x2))
   ENCARG(cons_f(x0, x1, 0)) -> c2(F(encArg(x0), encArg(x1), 0), ENCARG(x0), ENCARG(x1))
   ENCARG(cons_f(x0, x1, 1)) -> c2(F(encArg(x0), encArg(x1), 1), ENCARG(x0), ENCARG(x1))
   ENCARG(cons_f(x0, 0, x2)) -> c2(ENCARG(x0), ENCARG(x2))
   ENCARG(cons_f(x0, 1, x2)) -> c2(F(encArg(x0), 1, encArg(x2)), ENCARG(x0), ENCARG(x2))
   ENCARG(cons_f(0, x1, x2)) -> c2(F(0, encArg(x1), encArg(x2)), ENCARG(x1), ENCARG(x2))
   ENCARG(cons_f(1, x1, x2)) -> c2(ENCARG(x1), ENCARG(x2))
   F(0, 1, z0) -> c8(G(z0, z0))
The order we found is given by the following interpretation:

Polynomial interpretation :

   POL(0) = 0
   POL(1) = 0
   POL(ENCARG(x_1)) = [3]x_1
   POL(ENCODE_F(x_1, x_2, x_3)) = [2] + x_3
   POL(ENCODE_G(x_1, x_2)) = [1]
   POL(F(x_1, x_2, x_3)) = [2]
   POL(G(x_1, x_2)) = [1]
   POL(c(x_1)) = x_1
   POL(c10) = 0
   POL(c2(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(c2(x_1, x_2, x_3)) = x_1 + x_2 + x_3
   POL(c2(x_1, x_2, x_3, x_4)) = x_1 + x_2 + x_3 + x_4
   POL(c3(x_1, x_2, x_3)) = x_1 + x_2 + x_3
   POL(c8(x_1)) = x_1
   POL(c9) = 0
   POL(cons_f(x_1, x_2, x_3)) = [3] + x_1 + x_2 + x_3
   POL(cons_g(x_1, x_2)) = [3] + x_1 + x_2
   POL(encArg(x_1)) = [1] + [3]x_1
   POL(f(x_1, x_2, x_3)) = [3] + x_3
   POL(g(x_1, x_2)) = [2] + x_1 + x_2

----------------------------------------

(24)
Obligation:
Complexity Dependency Tuples Problem

Rules:
   encArg(0) -> 0
   encArg(1) -> 1
   encArg(cons_f(z0, z1, z2)) -> f(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))
   encArg(cons_g(z0, z1)) -> g(encArg(z0), encArg(z1))
   f(0, 1, z0) -> f(g(z0, z0), z0, z0)
   g(z0, z1) -> z0
   g(z0, z1) -> z1
Tuples:
   ENCARG(cons_g(z0, z1)) -> c3(G(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   G(z0, z1) -> c9
   G(z0, z1) -> c10
   ENCODE_F(z0, z1, z2) -> c(F(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)))
   ENCODE_G(z0, z1) -> c(G(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCARG(cons_f(x0, x1, cons_f(z0, z1, z2))) -> c2(F(encArg(x0), encArg(x1), f(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))), ENCARG(x0), ENCARG(x1), ENCARG(cons_f(z0, z1, z2)))
   ENCARG(cons_f(x0, x1, cons_g(z0, z1))) -> c2(F(encArg(x0), encArg(x1), g(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(x0), ENCARG(x1), ENCARG(cons_g(z0, z1)))
   ENCARG(cons_f(x0, cons_f(z0, z1, z2), x2)) -> c2(F(encArg(x0), f(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), encArg(x2)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(z0, z1, z2)), ENCARG(x2))
   ENCARG(cons_f(x0, cons_g(z0, z1), x2)) -> c2(F(encArg(x0), g(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x2)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_g(z0, z1)), ENCARG(x2))
   ENCARG(cons_f(cons_f(z0, z1, z2), x1, x2)) -> c2(F(f(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), encArg(x1), encArg(x2)), ENCARG(cons_f(z0, z1, z2)), ENCARG(x1), ENCARG(x2))
   ENCARG(cons_f(cons_g(z0, z1), x1, x2)) -> c2(F(g(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1), encArg(x2)), ENCARG(cons_g(z0, z1)), ENCARG(x1), ENCARG(x2))
   ENCARG(cons_f(x0, x1, 0)) -> c2(F(encArg(x0), encArg(x1), 0), ENCARG(x0), ENCARG(x1))
   ENCARG(cons_f(x0, x1, 1)) -> c2(F(encArg(x0), encArg(x1), 1), ENCARG(x0), ENCARG(x1))
   ENCARG(cons_f(x0, 0, x2)) -> c2(ENCARG(x0), ENCARG(x2))
   ENCARG(cons_f(x0, 1, x2)) -> c2(F(encArg(x0), 1, encArg(x2)), ENCARG(x0), ENCARG(x2))
   ENCARG(cons_f(0, x1, x2)) -> c2(F(0, encArg(x1), encArg(x2)), ENCARG(x1), ENCARG(x2))
   ENCARG(cons_f(1, x1, x2)) -> c2(ENCARG(x1), ENCARG(x2))
   F(0, 1, z0) -> c8(G(z0, z0))
S tuples:none
K tuples:
   G(z0, z1) -> c9
   G(z0, z1) -> c10
   F(0, 1, z0) -> c8(G(z0, z0))
Defined Rule Symbols:   encArg_1, f_3, g_2

Defined Pair Symbols:   ENCARG_1, G_2, ENCODE_F_3, ENCODE_G_2, F_3

Compound Symbols:   c3_3, c9, c10, c_1, c2_4, c2_3, c2_2, c8_1


----------------------------------------

(25) SIsEmptyProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
The set S is empty
----------------------------------------

(26)
BOUNDS(1, 1)