WORST_CASE(Omega(n^1), ?)
proof of /export/starexec/sandbox2/benchmark/theBenchmark.xml
# AProVE Commit ID: 794c25de1cacf0d048858bcd21c9a779e1221865 marcel 20200619 unpublished dirty


The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).

(0) DCpxTrs
(1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
(2) CpxRelTRS
(3) SInnermostTerminationProof [BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID), 242 ms]
(4) CpxRelTRS
(5) RenamingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
(6) CpxRelTRS
(7) TypeInferenceProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 6 ms]
(8) typed CpxTrs
(9) OrderProof [LOWER BOUND(ID), 0 ms]
(10) typed CpxTrs
(11) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 242 ms]
(12) BEST
    (13) proven lower bound
        (14) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms]
        (15) BOUNDS(n^1, INF)
    (16) typed CpxTrs
        (17) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 66 ms]
        (18) typed CpxTrs
        (19) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 305 ms]
        (20) BOUNDS(1, INF)


----------------------------------------

(0)
Obligation:
The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   minus(0, x) -> 0
   minus(s(x), 0) -> s(x)
   minus(s(x), s(y)) -> minus(x, y)
   mod(x, 0) -> 0
   mod(x, s(y)) -> if(lt(x, s(y)), x, s(y))
   if(true, x, y) -> x
   if(false, x, y) -> mod(minus(x, y), y)
   gcd(x, 0) -> x
   gcd(0, s(y)) -> s(y)
   gcd(s(x), s(y)) -> gcd(mod(s(x), s(y)), mod(s(y), s(x)))
   lt(x, 0) -> false
   lt(0, s(x)) -> true
   lt(s(x), s(y)) -> lt(x, y)

S is empty.
Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
The following rules have been added to S to convert the given derivational complexity problem to a runtime complexity problem:

   encArg(0) -> 0
   encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
   encArg(true) -> true
   encArg(false) -> false
   encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_mod(x_1, x_2)) -> mod(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_gcd(x_1, x_2)) -> gcd(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_lt(x_1, x_2)) -> lt(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_0 -> 0
   encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
   encode_mod(x_1, x_2) -> mod(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_lt(x_1, x_2) -> lt(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_true -> true
   encode_false -> false
   encode_gcd(x_1, x_2) -> gcd(encArg(x_1), encArg(x_2))


----------------------------------------

(2)
Obligation:
The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   minus(0, x) -> 0
   minus(s(x), 0) -> s(x)
   minus(s(x), s(y)) -> minus(x, y)
   mod(x, 0) -> 0
   mod(x, s(y)) -> if(lt(x, s(y)), x, s(y))
   if(true, x, y) -> x
   if(false, x, y) -> mod(minus(x, y), y)
   gcd(x, 0) -> x
   gcd(0, s(y)) -> s(y)
   gcd(s(x), s(y)) -> gcd(mod(s(x), s(y)), mod(s(y), s(x)))
   lt(x, 0) -> false
   lt(0, s(x)) -> true
   lt(s(x), s(y)) -> lt(x, y)

The (relative) TRS S consists of the following rules:

   encArg(0) -> 0
   encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
   encArg(true) -> true
   encArg(false) -> false
   encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_mod(x_1, x_2)) -> mod(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_gcd(x_1, x_2)) -> gcd(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_lt(x_1, x_2)) -> lt(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_0 -> 0
   encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
   encode_mod(x_1, x_2) -> mod(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_lt(x_1, x_2) -> lt(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_true -> true
   encode_false -> false
   encode_gcd(x_1, x_2) -> gcd(encArg(x_1), encArg(x_2))

Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(3) SInnermostTerminationProof (BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID))
proved innermost termination of relative rules
----------------------------------------

(4)
Obligation:
The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   minus(0, x) -> 0
   minus(s(x), 0) -> s(x)
   minus(s(x), s(y)) -> minus(x, y)
   mod(x, 0) -> 0
   mod(x, s(y)) -> if(lt(x, s(y)), x, s(y))
   if(true, x, y) -> x
   if(false, x, y) -> mod(minus(x, y), y)
   gcd(x, 0) -> x
   gcd(0, s(y)) -> s(y)
   gcd(s(x), s(y)) -> gcd(mod(s(x), s(y)), mod(s(y), s(x)))
   lt(x, 0) -> false
   lt(0, s(x)) -> true
   lt(s(x), s(y)) -> lt(x, y)

The (relative) TRS S consists of the following rules:

   encArg(0) -> 0
   encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
   encArg(true) -> true
   encArg(false) -> false
   encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_mod(x_1, x_2)) -> mod(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_gcd(x_1, x_2)) -> gcd(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_lt(x_1, x_2)) -> lt(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_0 -> 0
   encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
   encode_mod(x_1, x_2) -> mod(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_lt(x_1, x_2) -> lt(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_true -> true
   encode_false -> false
   encode_gcd(x_1, x_2) -> gcd(encArg(x_1), encArg(x_2))

Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(5) RenamingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol.
----------------------------------------

(6)
Obligation:
The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   minus(0', x) -> 0'
   minus(s(x), 0') -> s(x)
   minus(s(x), s(y)) -> minus(x, y)
   mod(x, 0') -> 0'
   mod(x, s(y)) -> if(lt(x, s(y)), x, s(y))
   if(true, x, y) -> x
   if(false, x, y) -> mod(minus(x, y), y)
   gcd(x, 0') -> x
   gcd(0', s(y)) -> s(y)
   gcd(s(x), s(y)) -> gcd(mod(s(x), s(y)), mod(s(y), s(x)))
   lt(x, 0') -> false
   lt(0', s(x)) -> true
   lt(s(x), s(y)) -> lt(x, y)

The (relative) TRS S consists of the following rules:

   encArg(0') -> 0'
   encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
   encArg(true) -> true
   encArg(false) -> false
   encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_mod(x_1, x_2)) -> mod(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_gcd(x_1, x_2)) -> gcd(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_lt(x_1, x_2)) -> lt(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_0 -> 0'
   encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
   encode_mod(x_1, x_2) -> mod(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_lt(x_1, x_2) -> lt(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_true -> true
   encode_false -> false
   encode_gcd(x_1, x_2) -> gcd(encArg(x_1), encArg(x_2))

Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(7) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
Infered types.
----------------------------------------

(8)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
minus(0', x) -> 0'
minus(s(x), 0') -> s(x)
minus(s(x), s(y)) -> minus(x, y)
mod(x, 0') -> 0'
mod(x, s(y)) -> if(lt(x, s(y)), x, s(y))
if(true, x, y) -> x
if(false, x, y) -> mod(minus(x, y), y)
gcd(x, 0') -> x
gcd(0', s(y)) -> s(y)
gcd(s(x), s(y)) -> gcd(mod(s(x), s(y)), mod(s(y), s(x)))
lt(x, 0') -> false
lt(0', s(x)) -> true
lt(s(x), s(y)) -> lt(x, y)
encArg(0') -> 0'
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(true) -> true
encArg(false) -> false
encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_mod(x_1, x_2)) -> mod(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_gcd(x_1, x_2)) -> gcd(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_lt(x_1, x_2)) -> lt(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_0 -> 0'
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_mod(x_1, x_2) -> mod(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_lt(x_1, x_2) -> lt(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_true -> true
encode_false -> false
encode_gcd(x_1, x_2) -> gcd(encArg(x_1), encArg(x_2))

Types:
minus :: 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt
0' :: 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt
s :: 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt
mod :: 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt
if :: 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt
lt :: 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt
true :: 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt
false :: 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt
gcd :: 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt
encArg :: 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt
cons_minus :: 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt
cons_mod :: 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt
cons_if :: 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt
cons_gcd :: 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt
cons_lt :: 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt
encode_minus :: 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt
encode_0 :: 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt
encode_s :: 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt
encode_mod :: 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt
encode_if :: 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt
encode_lt :: 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt
encode_true :: 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt
encode_false :: 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt
encode_gcd :: 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt
hole_0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt1_4 :: 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt
gen_0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt2_4 :: Nat -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt

----------------------------------------

(9) OrderProof (LOWER BOUND(ID))
Heuristically decided to analyse the following defined symbols:
minus, mod, if, lt, gcd, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
minus < if
minus < encArg
mod = if
lt < mod
mod < gcd
mod < encArg
if < encArg
lt < encArg
gcd < encArg

----------------------------------------

(10)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
minus(0', x) -> 0'
minus(s(x), 0') -> s(x)
minus(s(x), s(y)) -> minus(x, y)
mod(x, 0') -> 0'
mod(x, s(y)) -> if(lt(x, s(y)), x, s(y))
if(true, x, y) -> x
if(false, x, y) -> mod(minus(x, y), y)
gcd(x, 0') -> x
gcd(0', s(y)) -> s(y)
gcd(s(x), s(y)) -> gcd(mod(s(x), s(y)), mod(s(y), s(x)))
lt(x, 0') -> false
lt(0', s(x)) -> true
lt(s(x), s(y)) -> lt(x, y)
encArg(0') -> 0'
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(true) -> true
encArg(false) -> false
encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_mod(x_1, x_2)) -> mod(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_gcd(x_1, x_2)) -> gcd(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_lt(x_1, x_2)) -> lt(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_0 -> 0'
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_mod(x_1, x_2) -> mod(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_lt(x_1, x_2) -> lt(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_true -> true
encode_false -> false
encode_gcd(x_1, x_2) -> gcd(encArg(x_1), encArg(x_2))

Types:
minus :: 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt
0' :: 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt
s :: 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt
mod :: 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt
if :: 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt
lt :: 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt
true :: 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt
false :: 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt
gcd :: 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt
encArg :: 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt
cons_minus :: 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt
cons_mod :: 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt
cons_if :: 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt
cons_gcd :: 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt
cons_lt :: 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt
encode_minus :: 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt
encode_0 :: 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt
encode_s :: 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt
encode_mod :: 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt
encode_if :: 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt
encode_lt :: 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt
encode_true :: 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt
encode_false :: 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt
encode_gcd :: 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt
hole_0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt1_4 :: 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt
gen_0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt2_4 :: Nat -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt


Generator Equations:
gen_0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt2_4(0) <=> 0'
gen_0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt2_4(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt2_4(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
minus, mod, if, lt, gcd, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
minus < if
minus < encArg
mod = if
lt < mod
mod < gcd
mod < encArg
if < encArg
lt < encArg
gcd < encArg

----------------------------------------

(11) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
minus(gen_0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt2_4(n4_4), gen_0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt2_4(n4_4)) -> gen_0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt2_4(0), rt in Omega(1 + n4_4)

Induction Base:
minus(gen_0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt2_4(0), gen_0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt2_4(0)) ->_R^Omega(1)
0'

Induction Step:
minus(gen_0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt2_4(+(n4_4, 1)), gen_0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt2_4(+(n4_4, 1))) ->_R^Omega(1)
minus(gen_0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt2_4(n4_4), gen_0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt2_4(n4_4)) ->_IH
gen_0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt2_4(0)

We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n).
----------------------------------------

(12)
Complex Obligation (BEST)

----------------------------------------

(13)
Obligation:
Proved the lower bound n^1 for the following obligation:

Innermost TRS:
Rules:
minus(0', x) -> 0'
minus(s(x), 0') -> s(x)
minus(s(x), s(y)) -> minus(x, y)
mod(x, 0') -> 0'
mod(x, s(y)) -> if(lt(x, s(y)), x, s(y))
if(true, x, y) -> x
if(false, x, y) -> mod(minus(x, y), y)
gcd(x, 0') -> x
gcd(0', s(y)) -> s(y)
gcd(s(x), s(y)) -> gcd(mod(s(x), s(y)), mod(s(y), s(x)))
lt(x, 0') -> false
lt(0', s(x)) -> true
lt(s(x), s(y)) -> lt(x, y)
encArg(0') -> 0'
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(true) -> true
encArg(false) -> false
encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_mod(x_1, x_2)) -> mod(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_gcd(x_1, x_2)) -> gcd(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_lt(x_1, x_2)) -> lt(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_0 -> 0'
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_mod(x_1, x_2) -> mod(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_lt(x_1, x_2) -> lt(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_true -> true
encode_false -> false
encode_gcd(x_1, x_2) -> gcd(encArg(x_1), encArg(x_2))

Types:
minus :: 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt
0' :: 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt
s :: 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt
mod :: 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt
if :: 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt
lt :: 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt
true :: 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt
false :: 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt
gcd :: 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt
encArg :: 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt
cons_minus :: 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt
cons_mod :: 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt
cons_if :: 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt
cons_gcd :: 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt
cons_lt :: 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt
encode_minus :: 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt
encode_0 :: 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt
encode_s :: 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt
encode_mod :: 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt
encode_if :: 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt
encode_lt :: 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt
encode_true :: 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt
encode_false :: 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt
encode_gcd :: 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt
hole_0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt1_4 :: 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt
gen_0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt2_4 :: Nat -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt


Generator Equations:
gen_0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt2_4(0) <=> 0'
gen_0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt2_4(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt2_4(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
minus, mod, if, lt, gcd, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
minus < if
minus < encArg
mod = if
lt < mod
mod < gcd
mod < encArg
if < encArg
lt < encArg
gcd < encArg

----------------------------------------

(14) LowerBoundPropagationProof (FINISHED)
Propagated lower bound.
----------------------------------------

(15)
BOUNDS(n^1, INF)

----------------------------------------

(16)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
minus(0', x) -> 0'
minus(s(x), 0') -> s(x)
minus(s(x), s(y)) -> minus(x, y)
mod(x, 0') -> 0'
mod(x, s(y)) -> if(lt(x, s(y)), x, s(y))
if(true, x, y) -> x
if(false, x, y) -> mod(minus(x, y), y)
gcd(x, 0') -> x
gcd(0', s(y)) -> s(y)
gcd(s(x), s(y)) -> gcd(mod(s(x), s(y)), mod(s(y), s(x)))
lt(x, 0') -> false
lt(0', s(x)) -> true
lt(s(x), s(y)) -> lt(x, y)
encArg(0') -> 0'
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(true) -> true
encArg(false) -> false
encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_mod(x_1, x_2)) -> mod(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_gcd(x_1, x_2)) -> gcd(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_lt(x_1, x_2)) -> lt(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_0 -> 0'
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_mod(x_1, x_2) -> mod(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_lt(x_1, x_2) -> lt(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_true -> true
encode_false -> false
encode_gcd(x_1, x_2) -> gcd(encArg(x_1), encArg(x_2))

Types:
minus :: 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt
0' :: 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt
s :: 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt
mod :: 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt
if :: 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt
lt :: 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt
true :: 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt
false :: 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt
gcd :: 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt
encArg :: 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt
cons_minus :: 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt
cons_mod :: 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt
cons_if :: 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt
cons_gcd :: 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt
cons_lt :: 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt
encode_minus :: 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt
encode_0 :: 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt
encode_s :: 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt
encode_mod :: 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt
encode_if :: 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt
encode_lt :: 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt
encode_true :: 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt
encode_false :: 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt
encode_gcd :: 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt
hole_0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt1_4 :: 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt
gen_0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt2_4 :: Nat -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt


Lemmas:
minus(gen_0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt2_4(n4_4), gen_0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt2_4(n4_4)) -> gen_0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt2_4(0), rt in Omega(1 + n4_4)


Generator Equations:
gen_0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt2_4(0) <=> 0'
gen_0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt2_4(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt2_4(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
lt, mod, if, gcd, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
mod = if
lt < mod
mod < gcd
mod < encArg
if < encArg
lt < encArg
gcd < encArg

----------------------------------------

(17) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
lt(gen_0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt2_4(n746_4), gen_0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt2_4(n746_4)) -> false, rt in Omega(1 + n746_4)

Induction Base:
lt(gen_0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt2_4(0), gen_0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt2_4(0)) ->_R^Omega(1)
false

Induction Step:
lt(gen_0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt2_4(+(n746_4, 1)), gen_0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt2_4(+(n746_4, 1))) ->_R^Omega(1)
lt(gen_0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt2_4(n746_4), gen_0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt2_4(n746_4)) ->_IH
false

We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n).
----------------------------------------

(18)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
minus(0', x) -> 0'
minus(s(x), 0') -> s(x)
minus(s(x), s(y)) -> minus(x, y)
mod(x, 0') -> 0'
mod(x, s(y)) -> if(lt(x, s(y)), x, s(y))
if(true, x, y) -> x
if(false, x, y) -> mod(minus(x, y), y)
gcd(x, 0') -> x
gcd(0', s(y)) -> s(y)
gcd(s(x), s(y)) -> gcd(mod(s(x), s(y)), mod(s(y), s(x)))
lt(x, 0') -> false
lt(0', s(x)) -> true
lt(s(x), s(y)) -> lt(x, y)
encArg(0') -> 0'
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(true) -> true
encArg(false) -> false
encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_mod(x_1, x_2)) -> mod(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_gcd(x_1, x_2)) -> gcd(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_lt(x_1, x_2)) -> lt(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_0 -> 0'
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_mod(x_1, x_2) -> mod(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_lt(x_1, x_2) -> lt(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_true -> true
encode_false -> false
encode_gcd(x_1, x_2) -> gcd(encArg(x_1), encArg(x_2))

Types:
minus :: 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt
0' :: 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt
s :: 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt
mod :: 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt
if :: 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt
lt :: 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt
true :: 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt
false :: 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt
gcd :: 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt
encArg :: 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt
cons_minus :: 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt
cons_mod :: 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt
cons_if :: 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt
cons_gcd :: 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt
cons_lt :: 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt
encode_minus :: 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt
encode_0 :: 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt
encode_s :: 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt
encode_mod :: 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt
encode_if :: 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt
encode_lt :: 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt
encode_true :: 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt
encode_false :: 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt
encode_gcd :: 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt
hole_0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt1_4 :: 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt
gen_0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt2_4 :: Nat -> 0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt


Lemmas:
minus(gen_0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt2_4(n4_4), gen_0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt2_4(n4_4)) -> gen_0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt2_4(0), rt in Omega(1 + n4_4)
lt(gen_0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt2_4(n746_4), gen_0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt2_4(n746_4)) -> false, rt in Omega(1 + n746_4)


Generator Equations:
gen_0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt2_4(0) <=> 0'
gen_0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt2_4(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt2_4(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
if, mod, gcd, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
mod = if
mod < gcd
mod < encArg
if < encArg
gcd < encArg

----------------------------------------

(19) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
encArg(gen_0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt2_4(n1725_4)) -> gen_0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt2_4(n1725_4), rt in Omega(0)

Induction Base:
encArg(gen_0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt2_4(0)) ->_R^Omega(0)
0'

Induction Step:
encArg(gen_0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt2_4(+(n1725_4, 1))) ->_R^Omega(0)
s(encArg(gen_0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt2_4(n1725_4))) ->_IH
s(gen_0':s:true:false:cons_minus:cons_mod:cons_if:cons_gcd:cons_lt2_4(c1726_4))

We have rt in Omega(1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n^0).
----------------------------------------

(20)
BOUNDS(1, INF)